SVEUĈILIŠTE U ZAGREBU

FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA

DIPLOMSKI RAD br. 267

MJERENJE I REGULACIJA RELATIVNOG

POMAKA KORIŠTENJEM KAMERE

Marko Smokrović

Zagreb, lipanj 2011.

Sadržaj

1. Uvod ................................................................................................................ 1

2. Opis problema ................................................................................................. 3

3. Metodologija .................................................................................................... 5

3.1. Kalibracija kamere ..................................................................................... 6

3.2. Detekcija vrhova korištenjem Harrisovog detektora ................................ 10

3.3. Preklapanje toĉaka interesa korištenjem korelacijske metode ................ 14

3.4. 2D homografija ........................................................................................ 17

3.5. Matrice homografije ................................................................................. 19

3.6. Estimacija matrice homografije iz parova podudarnih toĉaka .................. 22

3.6.1. DLT algoritam ................................................................................... 22

3.7. RANSAC algoritam za uklanjanje pogrešnih podudarnih parova ............ 26

3.7.1. Primjena RANSAC algoritma za raĉunanje matrice homografije ...... 28

3.8. Mjerenje relativnog 3D pomaka ............................................................... 29

4. Rezultati ......................................................................................................... 32

4.1. Rezultati kalibracije GoPro kamere ......................................................... 32

4.2. Prikaz detektiranih vrhova Harrisovim detektorom .................................. 35

4.3. Prikaz pronaĊenih podudarnih parova toĉaka ......................................... 36

4.4. Rezultat obrade podudarnih parova RANSAC algoritmom ...................... 37

4.5. Rezultati mjerenja relativnog 3D pomaka ................................................ 39

5. Primjena na dinamiĉko pozicioniranje ............................................................ 46

5.1. Matematiĉki model podvodnog vozila...................................................... 46

5.1.1. Kinematiĉki model ............................................................................. 47

5.1.2. Dinamiĉki model ............................................................................... 48

5.1.3. Spregnuti model u xy ravnini ............................................................ 52

5.1.4. Nespregnuti model u xy ravnini......................................................... 53

5.2. Struktura regulatora................................................................................. 54

5.3. Model simulacije i simulacijski rezultati ................................................... 56

6. Zakljuĉak ........................................................................................................ 61

7. Literatura ........................................................................................................ 62

1

1. Uvod

Mjerenje relativnog pomaka korištenjem kamere predstavlja jedan od mogućih

naĉina relativne navigacije u odnosu na objekt, te općenito navigacije koja se

može primijeniti, izmeĊu ostaloga, i za dinamiĉko pozicioniranje podvodnih vozila.

Ideja metode je praćenje pomaka znaĉajki u nizu slika morskog dna na temelju

kojih se odreĊuje relativni pomak podvodnog vozila. Ukoliko je iz slika moguće

izdvojiti kvalitetne znaĉajke, tada proces odreĊivanja relativnog pomaka ne bi

trebao predstavljati problem. Prednosti kamere su njezina vrlo široka upotreba na

podvodnim vozilima i mala cijena.

Slike korištene za odreĊivanje pomaka mogu se odmah koristiti i za primjenu u

morskoj biologiji i arheologiji. Iz izdvojenih slika moguće je stvoriti foto mozaik ĉija

je prednost prostorna povezanost fotografija u odnosu na korištenje samo video

snimki ili fotografija. O primjeni foto mozaika u morskoj biologiji i arheologiji može

se više pronaći u [11]. Izdvojene slike pružaju mogućnost neinvazivnog pregleda

karakteristika staništa morskih organizama [9], te mogućnost pretraživanja

arheoloških nalazišta s ciljem odreĊivanja veliĉine i disperzije pronaĊenih

fragmenata. Analizom teksture moguća je i klasifikacija morskog dna [10].

Korištenje kamere u podvodnim primjenama zbog slabe vidljivosti ograniĉeno je

na malu udaljenost od morskog dna, a nedostatak je i velika raĉunska složenost

potrebna za obradu slike. Morske struje koje uzrokuju nestatiĉnost morske flore, te

prisutnost životinja u gibanju znatno otežavaju ili u potpunosti onemogućavaju

pronalazak nepromjenjivih znaĉajki unutar slike, tako da vrsta morskog dna

ograniĉava mogućnost korištenja kamere za odreĊivanje pomaka.

Metodu odreĊivanja pomaka kamerom moguće je usporediti sa metodama koje

ukljuĉuju korištenje DVL1-a. DVL je senzor koji korištenjem Dopplerovog efekta

omogućuje odreĊivanje brzine podvodnog vozila emitirajući ultrazvuĉne signale iz

ĉetiri snopa usmjerena prema morskom dnu pod kutem od 30° od vertikalne osi

instrumenta [12]. Ukoliko se vozilo giba, dolazi do promjene frekvencije

ultrazvuĉnih valova odbijenih od dna na temelju koje se odreĊuje brzina. U odnosu

na korištenje kamere prednost DVL-a je mogućnost rada na većoj udaljenost od

1 eng. Doppler Velocity Logger

2

dna, neosjetljivost na zamućenje vode i nije mu potreban izvor osvjetljenja.

Nedostatak predstavlja njegova veliĉina koja je relativno velika za primjene na

malim ronilicama, te visoka cijena.

Rad je podijeljen na 4 poglavlja.

Poglavlje 2: Opis problema i moguće metode njegova rješavanja.

Poglavlje 3: Korištena metodologija za rješavanje problema mjerenja pomaka.

Opisan je postupak ispravljanja distorzije slike na temelju parametara kamere

dobivenih kalibracijom. Naveden je postupak rada Harrisovog detektora vrhova i

korelacijske metode za pronalazak podudarnih vrhova iz izdvojenih slika video

okvira. Definirana je ravninska homografija i postupak estimacije matrice

homografije na temelju dobivenih parova podudarnih toĉaka. Opisan je robustan

algoritam RANSAC za odbacivanje pogrešno odreĊenih parova podudarnih

toĉaka. Na kraju je navedena metoda odreĊivanja pomaka na temelju prethodno

odreĊenih parametara.

Poglavlje 4: Rezultati mjerenja relativnog pomaka. Kalibracijom GoPro kamere

odreĊeni su unutrašnji parametri kamere i prikazane su prisutne distorzije slike.

Pomoću dobivene matrice kamere i koeficijenata distorzije provodi se postupak

ispravljanja slika. Ruĉno je snimljen pomak kamere iznad morskog dna, te su na

dvije izdvojene slike iz video okvira prikazani vrhovi odreĊeni Harrisovim

detektorom vrhova, podudarni parovi odreĊeni korelacijskom metodom i odbaĉeni

parovi RANSAC algoritmom. Iz izdvojenih slika snimljenog pomaka na temelju

metode opisane u poglavlju 3. odreĊen je relativan pomak.

Poglavlje 5: Moguća primjena mjerenja relativnog pomaka za dinamiĉko

pozicioniranje ronilice. Opisan je matematiĉki model ronilice, te njegovo

pojednostavljenje. Na temelju raspregnutog modela ronilice u xy ravnini i

modelske funkcije odreĊeni su parametri dva I-PD regulatora za regulaciju

pomaka u x i y smjeru. Djelovanjem sile poremećaja na simulacijski model

prikazani su dobiveni odzivi pomaka.

3

2. Opis problema

Korištenjem podvodnog vozila opremljenog kamerom usmjerenom prema

morskom dnu potrebno je mjeriti relativan pomak. Ideja je pronalazak i

iskorištavanje vizualnih znaĉajki morskog dna. Prepoznavanjem istih obilježja

izmeĊu video okvira te poznavanjem parametara kamere i visine od dna moguće

je odrediti pomak kamere, odnosno podvodnog vozila.

Podvodne slike su vrlo nezahvalne za obradu zbog nedostatka svjetla na većim

dubinama ili nagle promjene sunĉevog osvjetljenja zbog refleksije i loma od

nemirne površine vode na manjim dubinama, loše vidljivosti i nedostatka dobro

definiranih kontura. Zahtjevom za bolje osvjetljenje ronilice ili za osjetljivijom

kamerom riješio bi se problem nedostatka osvjetljenja na većim dubinama.

Kamerom dobivene slike posjeduju izobliĉenja koja je potrebno ispraviti kako bi se

omogućilo mjerenje relativnog pomaka. Medij u kojem se nalazi objektiv donosi

dodatno izobliĉenje, tako da slike iz zraka nemaju istu distorziju kao i one slikane u

vodi. Kalibracijom kamere dobivaju se parametri kojima se slike mogu ispraviti.

Zbog razliĉitih izobliĉenja koje donosi medij kalibraciju je potrebno provesti u vodi.

Pošto se za mjerenje relativnog pomaka koristi jedna kamera, udaljenost od dna

odreĊuje se laser sustavom ili altimetrom. Iako postoje metode estimacije 3D

toĉaka u prostoru samo na temelju izdvojenih slika iz video okvira korištenjem

epipolarne geometrije (prisutne kod stereovizije), rezultati zbog šuma nisu vrlo

pouzdani, [19]. Parametre relativnog pomaka moguće je odrediti nakon detekcije

istih obilježja na paru slika izdvojenih iz video okvira.

Metoda detekcije istih obilježja

Postupak pronalaska istih obilježja izmeĊu video okvira podijeljen je na:

Detekciju znaĉajki - izdvajanje lokacija na slici koje posjeduju obilježja na

temelju kojih će ih biti moguće na isti naĉin izdvojiti i u nadolazećoj slici

video okvira.

Proces pronalaska podudarnih znaĉajki – koristeći karakteristike okoline

izdvojenih lokacija raĉuna se mjera sliĉnosti kojom se odreĊuju mogući

podudarni parovi lokacija na dvije uzastopne slike video okvira.

4

Za detekciju znaĉajki najĉešće se koriste detektori vrhova ĉiji su izlaz lokacije,

odnosno koordinate piksela koji predstavljaju vrhove. Vrhovi se odreĊuju na

temelju razlike intenziteta susjednih piksela slike. Oni pikseli ĉija je razlika

intenziteta sa svim susjedima veća od postavljenog praga izdvajaju se kao

potencijalni vrhovi. Primjer takvih detektora su Moravecov i Harrisov koji su

obraĊeni u poglavlju 3. Primjer jednostavnog detektora znaĉajki predstavlja

metoda koja koristi Cannyev detektor rubova [13]. Nakon obrade slike Cannyevim

detektorm ostaju samo glavne konture slike. Vrh tada predstavlja presjek dva

ruba.

Pronalazak podudarnih znaĉajki predstavlja glavni korak za odreĊivanje pomaka

podvodnog vozila. Najĉešće su korištene korelacijske metode i mjere udaljenosti

koje su prikladne za primjene u stvarnom vremenu, [3]. Takve metode temelje se

na analizi intenziteta crno- bijelog uzorka oko toĉaka interesa. Predložene su i

metode za poboljšavanje rezultata korelacije korištenjem analize teksture, [13].

Kada izdvojeni dio slike ima veliku varijaciju intenziteta crno- bijele boje, tada je

dominantno svojstvo tog uzorka tekstura. Definirane su razliĉite mjere analize

teksture temeljene na srednjoj vrijednosti i devijaciji, prostornom rasporedu piksela

i spektru teksture. Korištenjem analize teksture poboljšani su rezultati korelacijske

metode.

OdreĎivanje parametara pomaka

Za mogućnost estimacije gibanja potrebna su dva seta podudarnih toĉaka. Ukoliko

se pretpostavi da je morsko dno ravnina za mjerenje relatinog pomaka moguće je

koristiti ravninsku homografiju koja preslikava toĉke izmeĊu dvije ravnine, [6].

Predložena je i metoda koja koristi epipolarnu geometriju, [19]. Navedena metoda

omogućuje estimaciju 3D pomaka iz dva razliĉita pogleda statiĉne scene bez

dodatne informacije o udaljenosti kamere od promatranog objekta.

5

3. Metodologija

Odabrana metodologija za rješavanje problema relativnog pomaka prikazana je na

slici 3.1.1. Nakon preuzimanja slike iz video okvira provodi se ispravljanje slike sa

parametrima koji su dobiveni kalibracijom kamere. Nad slikom se provodi detekcija

vrhova Harrisovim detektorom, a nakon izdvajanja vrhova korelacijskom metodom

se pronalaze podudarni parovi. Iz dva seta podudarnih toĉaka RANSAC

algoritmom se odbacuju pogrešno odreĊeni parovi, te se na temelju preostalih

provodi izraĉun matrice homografije. Preslikavanjem centra slike dobivenom

homografijom odreĊuje se 2D translacija unutar slike, te se uz poznatu fokalnu

udaljenost odreĊenu kalibracijom i poznate mjerene udaljenost od dna odreĊuje

3D pomak.

Kamera

Korekcija distorzije

(parametri dobiveni

kalibracijom)

Trenutna slika Prethodna slika

Detekcija vrhova

(Harris detektor)

Poklapanje toĉaka interesa

(korelacijska metoda)

2D pomak iz matrice

homografije

Mjerenje dubine

(altimetar)

3D pomak

Preuzmi

iduću sliku

Slika

Ravnina - morsko dno

Slika 3.1.1.: Prikaz dijagrama toka izvršavanja algoritma za mjerenje relativnog

pomaka

6

3.1. Kalibracija kamere

Iz 2D slike je moguće dobiti informacije o mjeri prostora samo ako je ta slika

dobivena idealnom kamerom koja u stvarnosti ne postoji. Svaka kamera zbog

nesavršenosti optike i senzora daje manje ili više izobliĉenu sliku. Umjeravanjem,

odnosno kalibracijom parametara kamere moguće je ispraviti izobliĉenja i dobiti

informacije o mjeri prostora iz 2D slika. Postoje razliĉite metode geometrijske

kalibracije kamere, a mogu se podijeliti na

metode pri kojima se koristi kalibracijski objekt poznatih dimenzija

Kalibracijski objekt predstavlja predmet sa pravilnim jasno oznaĉenim

znaĉajkama poznatih dimenzija. Najĉešće se koriste kalibracijski kavez,

ravnina i štap. Kalibracijski kavez je 3D objekt, obiĉno kocka ĉije su stranice

šahovske ploĉe. Dovoljan je samo jedan pogled na objekt za proraĉun

kalibracijskih parametara. Kalibracijska ravnina je ravninski uzorak,

najĉešće šahovska ploĉa ili pravilno razmješteni kružići crne boje. Za

proraĉun kalibracijskih parametara su potrebna najmanje dva pogleda na

objekt s razliĉitom orijentacijom kamere ili ravnine. Kalibracijski štap ima

oznaĉene tri toĉke na poznatim udaljenostima. Rotacijom štapa oko jedne

fiksne toĉke dobivaju se pogodne slike za kalibraciju.

autokalibracijske metode.

Autokalibracijske metode ne koriste kalibracijski objekt, već samo pomak

kamere u statiĉnoj sceni. Intriziĉni parametri se utvrĊuju iz niza

nekalibriranih slika s nepoznatim pomakom kamere. Metoda koristi princip

odabira toĉaka interesa koje zatim pretražuje u sekvencama slika nakon

pomaka kamere, te parametre odreĊuje korištenjem homografije ili

epipolarne geometrije. Dovoljno je pronaći podudarnost izmeĊu tri slike

kako bi se mogli odrediti intrinziĉni i ekstrinziĉni parametri. Ovom metodom

nije moguće dobiti pouzdane rezultate pošto postoji veliki broj parametara

koje je potrebno estimirati, [14].

Za kalibraciju GoPro kamere je odabrana metoda pri kojoj se koristi ravninski

uzorak šahovske ploĉe kao kalibracijski objekt. Ravninski uzorak je jednostavan

za izradu i jeftin. Dovoljno je ispisati uzorak poznatih dimenzija te ga zalijepiti na

ravnu plohu. Slike potrebne za kalibraciju dobivaju se promjenom pozicije i/ili

7

orijentacije kamere ili ravninske plohe. Cilj geometrijske kalibracije kamere je

odreĊivanje parametara koji opisuju preslikavanje 3D toĉaka prostora na 2D sliku.

Fiziĉki parametri kamere su podijeljeni na unutrašnje ili intrinziĉne i vanjske ili

ekstrinziĉne parametre. Kalibracijom se odreĊuju optimalne vrijednosti navedenih

parametara iz razliĉitih pogleda na poznatu ravninu.

Postupak kalibracije

1. Slikaj ravninski uzorak šahovske ploĉe mijenjajući poziciju i orijentaciju

kamere ili uzorka.

2. Odredi ishodište koordinatnog sustava svijeta na ravninskom uzorku, te

izdvoji vrhove kvadrata uzorka. Koordinate uzorka u koordinatnom sustavu

svijeta su poznate iz dimenzija kvadrata, te su poznate i u koordinatnom

sustavu slike (koordinate izdvojenih piksela).

3. Odredi vanjske i unutrašnje parametre na temelju izdvojenih koordinata iz

prethodnog koraka.

4. Optimiraj parametre minimizirajući kriterij.

Proces kalibracije odvija se u dva koraka: nakon poĉetne inicijalizacije slijedi

nelinearna optimizacija parametara, [5]. U inicijalizacijskom koraku raĉunaju se

parametri bez ukljuĉenih koeficijenata distorzije, dok se nelinearnom optimizacijom

minimizira pogreška (LS metodom) nad svim parametrima. U nastavku slijede

definicije unutrašnjih parametara koji su potrebni za ispravljanje slike, dok se

detaljan proces kalibracije ( [5], [15], [16] ), odnosno koraci 3. i 4. prethodnog

postupka, izostavlja.

Unutrašnji parametri:

Fokalna udaljenost – duljina od fokusa do glavne ravnine u jedinicama

horizontalnih i vertikalnih piksela prikazana je vektorom f dimenzije 2 1 .

Centar slike- zbog nesavršenosti procesa proizvodnje leće, centar slike ne mora

biti središnji piksel senzora. Centar slike je predstavljen vektorom c dimenzije 2 1

.

8

Koeficijent iskošenja- definiran je kutem c izmeĊu koordinatnih osi piksela.

Prema tome, dozvoljeno je da pikseli budu i oblika paralelograma. Koeficijent

iskošenja, koji je uveden zbog nedovoljno savršenog procesa proizvodnje

senzora, se danas rijetko koristi.

Distorzije- odstupanje od idealnog modela projekcije gdje se ravne linije scene

projiciraju u ravne linije na projekcijskoj ravnini. Ispravljaju se radijalna i

tangencijalna distorzija.

Radijalna distorzija može biti baĉvasta i jastuĉasta. Kod baĉvaste slika je

najveća u centru te se smanjuje prema rubovima, dok je kod jastuĉaste

obrnuto. Radijalna distorzija se povećava udaljavanjem od centra prema

periferiji slike.

Slika 3.1.2.: Utjecaj radijalne distorzije na mrežu pravaca (bačvasta- lijevo,

jastučasta- desno)

Tangencijalna distorzija nastaje kada položaj leće i senzora kamere nisu

centrirani. Na današnjim kamerama tangencijalna distorzija nije znaĉajno

izražena, tako da je moguće i zanemariti.

Distorzije su prikazane vektorom k dimenzije 5 1, pri ĉemu su tri parametra

namijenjena ispravljanju radijalne, a ostala dva tangencijalne distorzije.

Definicija unutrašnjih parametara

Koristeći navedene unutrašnje parametre toĉka P u prostoru koordinata kamere

cXX [ c c cX Y Z ] T projicirat će se na ravninu slike na sljedeći naĉin. Ukoliko je

normalizirana toĉkasta projekcija

9

c

cn

n c

c

X

Zx x

y Y y

Z

(3.1.1)

Uz 2 2 2r x y , nova normalizirana toĉka uz ukljuĉenu distorziju bit će

2 4 6

1 2 5(1 )d n

d n

x xk r k r k r d

y y (3.1.2)

pri ĉemu je d tangencijalni vektor distorzije

2 2

3 4

2 2

3 4

2 ( 2 )

( 2 ) 2

k xy k r xd

k r y k xy (3.1.3)

1k , 2k i 5k su koeficijenti radijalne distorzije, a 3k i 4k su koeficijenti tangencijalne

distorzije. Konaĉne koordinate piksela T

p px y projekcije toĉke P na ravninu

slike bit će:

1 1

p d

p d

x x

y K y (3.1.4)

Gdje je K matrica kamere

1 1 1

2 20

0 0 1

cf f c

K f c (3.1.5)

Omjer fokalnih udaljenosti 2 1f f je razliĉit od 1ukoliko pikseli nisu kvadratnog

oblika.

Algoritam za ispravljanje slike:

Kalibracijom su odreĊeni unutrašnji parametri: fokalna udaljenost, centar slike,

koeficijent iskošenja, te radijalna i tangencijalna distorzija koji su dovoljni za

ispravljanje bilo koje slike dobivene istom kamerom.

1. Na temelju dimenzija slike m n konstruiraj niz od m n koordinata slike

[ 1s sx y ] T pri ĉemu su koordinate cjelobrojne vrijednosti iz intervala

10

sx [0, 1m ] i sy [0, 1n ], te ih transformiraj u koordinate koordinatnog

sustava kamere jednadžbom

1

1 1

n s

n s

x x

y K y (3.1.6)

2. Korištenjem jednadžbi (3.1.2) i (3.1.3) , te koordinata odreĊenih u

prethodnom koraku izraĉunaj nove koordinate uz ukljuĉenu distorziju.

3. Izraĉunaj konaĉne koordinate piksela T

p px y koristeći jednadžbu (3.1.4).

4. Iz konaĉnih koordinata piksela odreĊenih u prethodnom koraku izdvoji one

koji se nalaze unutar dimenzija poĉetne slike, te vrijednost intenziteta

odredi interpolacijom meĊu najbližim pikselima.

3.2. Detekcija vrhova korištenjem Harrisovog detektora

Harrisov detektor vrhova predstavlja nadogradnju Moravecovog detektora vrhova

koji se temelji na odreĊivanju srednje promjene intenziteta slike, [1]. Prozorom se

zahvaća odreĊeni dio slike, te se njegovim pomicanjem u razliĉitim smjerovima

omogućuje odreĊivanje razlike intenziteta u odnosu na prozor u poĉetnom

položaju.

Razmatraju se tri sluĉaja:

1. Približno konstantan intenzitet unutar prozora

2. Prozor obuhvaća rub

3. Prozor obuhvaća vrh ili toĉku

U prvom sluĉaju promjena intenziteta bit će vrlo mala u svim smjerovima. U

drugom sluĉaju promjena intenziteta prilikom pomicanja prozora duž ruba bit će

puno manja u odnosu na promjenu prilikom pomicanja prozora okomito na smjer

pružanja ruba. U trećem sluĉaju pomicanjem prozora u svim smjerovima rezultirat

će velikom promjenom intenziteta.

11

Unutar 2D crno-bijele slike intenziteta I pomiĉe se prozor w za udaljenost

( , ).x y Suma kvadrata razlike intenziteta E dana je izrazom

2

,

( , ) ( , )( ( , ) - ( , ))x y

E x y w x y I x x y y I x y (3.2.1)

Moravecov detektor vrhova podrazumijeva ĉetiri pomaka pravokutnog prozora w ,

( , )x y = (1,0), (1,1), (0,1), (-1,1) , ĉija je vrijednost jedan unutar podruĉja kojeg

obuhvaća, a nula izvan. Prilikom odabira vrha Moravecov detektor pronalazi

minimalni E izmeĊu osnovnog prozora i njegova ĉetiri pomaka, te zatim na temelju

pretpostavljene graniĉne razine intenziteta meĊu izdvojenim kanditatima pronalazi

lokalne maksimume koji predstavljaju vrhove.

Nedostaci detektora su:

1. Prisutnost šuma zbog korištenja pravokutnog prozora sa dvije vrijednosti.

2. Rezultat nije uniforman u svim smjerovima jer se koriste pomaci prozora od

45°.

3. Lažne vrhove predstavljaju izdvojeni rubovi zbog korištenja minimuma od E.

Harrisov detektor vrhova je riješio navedene probleme:

1. Umjesto pravokutnog binarnog prozora uvodi se Gaussova funkcija prozora

2 2

2( , ) exp

2

x yw x y . (3.2.2)

2. Umjesto razmatranja pomaka prozora od 45°, u obzir se uzimaju svi mali

pomaci korištenjem Taylorovog razvoja prvog reda

( , ) ( , )xI I

I x x y y I x yyx y

. (3.2.3)

Uvrštavanjem jednadžbe (3.2.3) u jednadžbu (3.2.1) slijedi

2

,

( , ) ( , )x y

xI IE x y w x y

yx y (3.2.4)

korištenjem jednakosti 2 Tu u u slijedi

12

,

( , ) ( , )x y

E x y w x y [ x y ]

I

xI Ix

I yx y

y

(3.2.5)

( , )E x y [ x y ]

2 2

2

2 2,

2

( , )x y

I I

xx x yw x y

yI I

x y y

(3.2.6)

3. Kako bi se izbjegla osjetljivost na rubove uvodi se nova mjera za odabir

vrhova. Iz izraza (3.2.6) vidljivo je da se promjena E može prikazati kao

( , )E x y [ x y ]x

My

(3.2.7)

pri ĉemu je M simetriĉna matrica dimenzija 2x2

2

2,

( , )x x y

x y x y y

I I I A BM w x y

I I I B C (3.2.8)

gdje su xI i yI parcijalne derivacije intenziteta po varijablama x i y.

Novu mjera za odreĊivanje vrhova predstavlja analiza svojstvenih vrijednosti 1 i

2 matrice M . Matrica M je simetriĉna i pozitivno definitna ( 1 2, 0 ), te njezine

svojstvene vrijednosti odreĊuju dimenzije poluosi elipse koja je opisana

jednadžbom (3.2.7). Unutar prostora ( 1 2, ) moguće je izdvojiti podruĉja koja

odreĊuju tri stanja:

1. Ukoliko su obje vlastite vrijednosti male radi se o podruĉju približno

konstantnog intenziteta

2. Ukoliko je jedna vlastita vrijednost puno veća od druge radi se o rubu

3. Ukoliko su obje vlastite vrijednosti velike radi se o vrhu

Povećanjem kontrasta slike za faktor p obje vlastite vrijednosti će se

proporcionalno povećati za faktor 2p .

13

1

2

2 1

1 2

podruĉje

rubova

1 2

1 2

podruĉje

vrhova

podruĉje

rubova

podruĉje

konstantnog

intenziteta

Slika3.2.1.: Prikaz područja koje određuju svojstvene vrijednosti matrice M

Uz podjelu prostora na podruĉja rubova i vrhova uvodi se i brojĉana mjera R kao

funkcija vlastitih vrijednosti. Kako bi se izbjego raĉunanje vlastitih vrijednosti

matrice M u izraĉunu mjere R koristi se determinanta i trag matrice M.

2

1 2det( )M AC B (3.2.9)

tr 1 2( )M A C (3.2.10)

Predložena je sljedeća mjera

det( ) (R M k tr 2( ))M (3.2.11)

2 2 2

1 2 1 2( ) ( ) ( )R k AC B k A C , (3.2.12)

pri ĉemu je k empirijski dobivena konstanta iznosa 0.04 0.15k .

R je pozitivan u podruĉju vrhova, a negativan u podruĉju rubova. U podruĉju

približno konstantnog intenziteta vrijednost R-a je relativno malog iznosa, a prijelaz

u to podruĉje odreĊuje se odabirom vrijednosti praga. Vrhovi se odabiru kao

lokalni maksimumi toĉaka u 3x3 ili 5x5 dimenziji susjedstva. Pikseli predstavljaju

rubove ako je mjera R negativna i ako predstavljaju lokalne minimume u x ili y

smjeru.

14

Prednost Harrisovog detektora vrhova je neosjetljivost na rotaciju, male promjene

osvjetljenja te mala raĉunska složenost. Nedostatak je osjetljivost na veće

promjene skaliranjem i promjene kontrasta.

Pregled algoritma:

1. Izraĉunaj parcijalne derivacije intenziteta slike xI i yI po varijablama x i y

kao 1D konvoluciju sa koeficijentima kojima se aproksimira prva derivacija,

[2].

2. Izraĉunaj produkte derivacija za svaki piksel .x xA I I , .x yB I I , .y yC I I i

provedi fitraciju Gaussovom funkcijom, odnosno izraĉunaj matricu M.

3. Izraĉunaj mjeru det( ) (R M k tr 2( ))M

4. Provedi odabir najboljih kandidata za vrhove postavljanjem graniĉne

vrijednosti praga za mjeru R i provedi NMS2

NMS predstavlja algoritam za lokalnu potragu maksimuma unutar prozora

dimenzija (2 1) (2 1)r r gdje je r radijus prozora unutar kojeg se traži lokalni

maksimum. Lokalni maksimum predstavlja piksel koji ima najveću pridjeljenu

mjeru R meĊu susjednim pikselima unutar odabranog prozora.

3.3. Preklapanje točaka interesa korištenjem korelacijske

metode

Jednom kada su odreĊene toĉke interesa iz dvije uzastopne slike potrebno je

pronaći metodu kojom će se odrediti i izdvojiti podudarne toĉke . Intuitivna i

najĉešće korištena metoda kod estimacije gibanja objekata u 3D prostoru koje se

projicira na 2D sliku je bazirana na korelacijskoj tehnici.

Korelacijska metoda se temelji na analizi intenziteta crno-bijelih uzorka slike oko

toĉaka interesa, te na pronalasku najsliĉnijih raĉunanjem mjere korelacije meĊu

prozorima koji obuhvaćaju potencijalne parove interesnih toĉaka. Definiranjem

prozora ( , )w x y radijusa r oko toĉke interesa ( , )x y izdvaja se uzorak dimenzija

2 eng. non-maximal suppression

15

(2 1) (2 1)r r . Prozorima istih dimenzija obuhvaćaju se sve interesne toĉke u

obje promatrane slike. Za svaki prozor iz prve slike raĉuna se mjera korelacije sa

svakim prozorom iz druge slike. Kako bi se smanjila raĉunska složenost i ubrzao

algoritam moguće je pretpostaviti maksimalni radijus oko toĉke iz prve slike kojim

će se obuhvatiti potencijalni podudarni parovi u drugoj slici. Na taj se naĉin mjera

korelacije raĉuna samo za toĉke koje se nalaze unutar definiranog radijusa.

Potencijalni podudarajući prozori '( , )x yw x d y d su od referentnog pomaknuti za

cjelobrojne vrijednosti piksela xd i yd . Nakon izraĉuna korelacijskih mjera za jednu

toĉku iz prve slike sa svim toĉkama iz druge silke, za podudarni par se odabire

ona toĉka iz druge slike koja je sa toĉkom iz prve slike dala najveću vrijednost

korelacijske mjere.

Korelacijski estimatori su u odnosu na derivacijske manje osjetljivi na šum ,te ne

uzrokuju aliasing kao derivacijski uslijed većeg pomaka izmeĊu slika, [3]. Najĉešće

korištene korelacijske mjere za kvadratne uzorke su križna korelacija CC3

odreĊena jednadžbom (3.3.1) i njezine normalizirane verzije NCC4 i ZNCC5

odreĊene jednadžbama (3.3.2) i (3.3.3).

1 2

,

( , ) ( , )r

x y

i j r

CC I x i y j I x i d y j d (3.3.1)

1 2

, 2 2

1 2

, ,

( , ) ( , )

( , ) ( , )

rx y

r ri j r

x y

i j r i j r

I x i y j I x i d y j dNCC

I x i y j I x i d y j d

(3.3.2)

1 1 2 2

, 2 2

1 1 2 2

, ,

( ( , ) )( ( , ) )

( ( , ) ) ( ( , ) )

rx y

r ri j r

x y

i j r i j r

I x i y j i I x i d y j d iZNCC

I x i y j i I x i d y j d i

(3.3.3)

Gdje je r radijus prozora koji odreĊuje njegovu dimenziju (2 1) (2 1)r r , 1I i 2I

su intenziteti piksela na prvoj, odnosno drugoj slici, ( , )x yd d je pomak prozora na

drugoj slici, a 1i i 2i su srednje vrijednosti intenziteta na prvoj, odnosno drugoj

3 eng. cross correlation

4 eng. normalised cross correlation

5 eng. zero mean normalised cross correlation

16

slici. Standardna CC korelacijska metoda je osjetljiva na šum, pa se najĉešće

koristi njezina normalizirana verzija NCC ili ZNCC.

Uz korelacijsku metodu postoje i metode koje se temelje na mjeri razlike

intenziteta. Neke od najĉešće korištenih metoda su suma razlike apsolutnih

vrijednosti intenziteta SAD6, suma kvadrata razlike apsolutnih vrijednosti

intenziteta SSD7, te njihove inaĉice sa srednjom vrijednošću razlike intenziteta

jednakom nula (ZSAD i ZSSD) i inaĉice sa lokalnim skaliranjem intenziteta (LSAD

i LSSD). Za podudarajuće uzorke, kod metode koja se temelji na mjeri razlike

intenziteta, odabiru se ona dva prozora ĉija je vrijednost mjere minimalna.

1 2

,

( , ) ( , )r

x y

i j r

SAD I x i y j I x i d y j d (3.3.4)

2

1 2

,

( ( , ) ( , ))r

x y

i j r

SSD I x i y j I x i d y j d (3.3.5)

1 1 2 2

,

( , ) ( , )r

x y

i j r

ZSAD I x i y j i I x i d y j d i (3.3.6)

2

1 1 2 2

,

( ( , ) ( , ) )r

x y

i j r

ZSSD I x i y j i I x i d y j d i (3.3.7)

11 2

, 2

( , ) ( , )r

x y

i j r

iLSAD I x i y j I x i d y j d

i (3.3.8)

2

11 2

, 2

( , ) ( , )r

x y

i j r

iLSSD I x i y j I x i d y j d

i (3.3.9)

Analizu robusnosti mjere korelacije i razlike intenziteta na razliĉite tipove šuma i

distorzije slike moguće je pronaći u [4]. Eksperimentima su se korelacijske metode

pokazale prikladnima za praktiĉne primjene u stvarnom vremenu, [3].

6 eng. sum of absolute diferences

7 eng. sum of square differences

17

Pregled algoritma:

Ulazni podaci algoritma su dvije slike, koordinate interesnih toĉaka sa obje slike,

radijus kojim se odreĊuje željena dimenzija prozora i udaljenost kojim će se

ograniĉiti potraga podudarajućih prozora radi smanjenja raĉunske složenosti i

ubrzanja algoritma ukoliko se može pretpostaviti maksimalni mogući pomak.

1. Konstruiraj korelacijsku matricu tako da retci odgovaraju indeksima

interesnih toĉaka u prvoj slici, a stupaci odgovaraju indeksima interesnih

toĉaka u drugoj slici. Inicijaliziraj poĉetnu vrijednost matrice na ,

odnosno pretpostavi da interesne toĉke nemaju nikakvu sliĉnost.

2. Uzimaj u obzir samo znaĉajke koje se mogu obuhvatiti prozorom, odnosno

odbaci one koje su za manje od radijusa udaljene od ruba slika. Za svaku

izdvojenu znaĉajku u prvoj slici generiraj prozor. Izdvoji znaĉajke koje se

nalaze u poĉetno pretpostavljenom radijusu potrage u drugoj slici za svaku

znaĉajku iz prve slike. Tada za svaku izdvojenu znaĉajku iz druge slike

generiraj prozor i izraĉunaj elemente korelacijske matrice.

3. Iz korelacijske matrice pronaĊi maksimume unutar redaka i stupaca, te

konzistentna poklapanja u oba smjera. Retkom i stupcem svake od

izdvojenih znaĉajki iz korelacijske matrice povezani su indeksi sliĉnih

uzorke iz prve i druge slike.

3.4. 2D homografija

Mjerenje relativnog pomaka predstavlja estimaciju pomaka kamere, odnosno

odreĊivanja njezine rotacije i translacije na temelju dva razliĉita pogleda na objekt.

Ako je promatrani objekt ravna ploha pomak kamere se može dobiti iz matrice

homografije koja povezuje promatrana dva pogleda.

2D homografija ili projekcijska transformacija predstavlja preslikavanje toĉke iz

jedne u drugu ravninu .

18

Teorem: Preslikavanje 2 2:h je projekcijska transformacija ako i samo ako

postoji ne singularna matrica H dimenzija 3 3 tako da za svaku toĉku

predstavljenu vektorom m vrijedi ( )h m Hm .

Svaka toĉka iz 2 je predstavljena vektorom homogenih koordinata m koje se

dobiju tako da se 2D toĉki ( , )x y dodaje treća koordinata ( , ,1)x y . Na taj naĉin je

omogućen povratak iz homogenog prikaza toĉke samo uklanjanjem posljednje

koordinate. Homogene koordinate ( , ,1)x y i ( , , )kx ky k za 0k predstavljaju istu

toĉku, odnosno toĉke su jednake i ako se razlikuju za faktor skaliranja k .

Koordinate ( , )x y dobiju se iz homogenih ( , , )kx ky k dijeljenjem sa faktorom

skaliranja k .

Projekcijska transformacija homogene koordinate m u homogenu koordinatu 'm

korištenjem ne singularne matrice homografije H dana je sljedećim izrazom, [6]

'm Hm , (3.4.1)

odnosno

11 12 13

21 22 23

31 32 33

'

'

'

x h h h x

y h h h y

w h h h w

(3.4.2)

Projekcijska transformacija se ne mijenja ako se matrica H pomnoži sa faktorom

skaliranja koji je razliĉit od nule. Odnosno, matrica H je homogena jer je jedino

bitan omjer njezinih elemenata. Postoji 8 neovisnih omjera jer se matrica sastoji od

9 elemenata, pa projekcijska transformacija posjeduje 8 stupnjeva slobode.

Homografija se sastoji od grupe transformacija (dvije ili više transformacija se

mogu izraziti kao jedna transformacija).

19

SLIKA 1 SLIKA 2C1C2

M1

m1

m1'

m1'=Hm1

Slika 3.4.1: Primjer projekcijske transformacije između dvije slike

3.5. Matrice homografije

3.5.1. Transformacije izometrije

Izometrija predstavlja transformaciju ravnine pri ĉemu je oĉuvana Euklidska

udaljenost. Definirana je kao, [6]

cos sin

' sin cos0 1

0 0 1

x

E yT

tR t

m H m m t m (3.5.1)

pri ĉemu je 1 . Za 1 oĉuvana je orijentacija i transformacija je Euklidska,

dok je za 1 orijentacija suprotna (zrcaljenje). R je rotacijska ortogonalna

matrica

( T TR R RR I ) dimenzija 2 2 , a t je vektor translacije. Posebni sluĉajevi su

postojanje samo translacija ( R I ) i postojanje samo rotacije ( 0t ).

Euklidska transformacija posjeduje tri stupnja slobode, jednu za rotaciju i dvije za

translaciju. Transformacija je definirana ako su poznata tri parametra, te je

moguće izraĉunati iz dva para podudarnih toĉaka. Invarijantna je za duljinu

(udaljenost izmeĊu dviju toĉaka), površinu i kut (kut izmeĊu dvije linije).

20

3.5.2. Transformacije sličnosti

Transformacija sliĉnosti predstavlja izometriju sa dodanim faktorom skaliranja koji

je uniforman u svim smjerovima. Ukoliko je izometrija Euklidska transformacija

sliĉnosti je sljedećeg oblika, [6]

cos sin

' sin cos0 1

0 0 1

x

S yT

s s tsR t

m H m m s s t m , (3.5.2)

pri ĉemu je s faktor skaliranja.

Transformacija sliĉnosti posjeduje ĉetiri stupnja slobode, dva za translaciju, jedan

za rotaciju i jedan za skaliranje.

Transformacija je definirana ako su poznata ĉetiri parametra, te je moguće

izraĉunati iz dva para podudarnih toĉaka. Invarijantna je za omjer duljina i kut.

3.5.3. Afine transformacije

Afina transformacija je ne singularna linearna transformacija oblika, [6]

11 12

21 22'0 1

0 0 1

x

A yT

a a tA t

m H m m a a t m (3.5.3)

Posjeduje šest stupnjeva slobode koji odgovaraju broju nepoznatih elemenata

matrice, te je moguće izraĉunati iz tri para podudarnih toĉaka.

Kako bi se bolje prikazao geometrijski utjecaj ne singularne matrice A ona se

rastavlja na dvije transformacije, rotaciju i skaliranje koje nije uniformno u svim

smjerovima. Matrica A se može prikazati kao

( ) ( ) ( )A R R DR (3.5.4)

gdje su ( )R i ( )R matrice rotacija za kut , odnosno , a D je dijagonalna

matrica oblika

1

2

0

0D (3.5.5)

Dekompozicija slijedi direktno iz SVD8 algoritma

( )( ) ( ) ( ) ( )T T TA UDV UV VDV R R DR (3.5.6)

8 eng, Singular Value Decomposition

21

Matrica A je rastavljena na rotaciju za kut , skaliranje u rotiranim x i y

smjerovima za faktor 1 , odnosno 2 , rotaciju za kut , te konaĉno i rotaciju za

kut . Ne uniformni faktor skaliranja unosi još dva stupnja slobode u odnosu na

transformaciju sliĉnosti. To su kut koji odreĊuje smjer skaliranja i omjer faktora

skaliranja 1 2/ . Skaliranje u ortogonalnim smjerovima pri kutu prikazano je na

slici desno.

rotacija deformacija

( )R ( ) ( )R DR

Slika 3.5.1.: Geometrijski prikaz transformacija dobivenih dekompozicijom

Afina transformacija je invarijantna za paralelne linije, omjer duljina segmenata

paralelnih linija i omjer površina.

Singularna dekompozicija (SVD)

Singularna dekompozicija (SVD) je jedna od najĉešće korištenih metoda

dekompozicija matrica kod preodreĊenih sustava jednadžbi (broj jednadžbi veći je

od broja nepoznanica). Za proizvoljnu matricu A dimenzija m n pri ĉemu je

m n rezultati dekompozicije su:

- matrica U sa ortogonalnim stupcima ( TUU I ) dimenzija m n

- dijagonalna pozitivno semidefinitna matrica D dimenzija n n

- ortogonalna matrica V dimenzija n n

Vrijedi:

TA UDV (3.5.7)

Princip rada SVD algoritma može se pronaći u [7].

22

3.5.4. Projekcijske transformacije

Projekcijska transformacija je već prikazana kao općeniti prikaz 2D homografije.

Definirana je kao, [6]

11 12

21 22

1 2

'

x

P yT

a a tA t

m H m m a a t mv

v v

(3.5.8)

U odnosu na afinu transformaciju projekcijska posjeduje vektor v koji uzrokuje

nelinearne efekte projekcije. Transformacija izmeĊu dvije ravnine može biti

izraĉunata na temalju ĉetiri para podudarnih toĉaka od kojih tri ne smiju biti

kolinearne. Invarijantna je za križni omjer ĉetiri kolinearne toĉke.

3.6. Estimacija matrice homografije iz parova podudarnih

točaka

Estimacija matrice homografije predstavlja izraĉun projekcijske transformacije na

temelju para podudarnih toĉaka sa dvije projekcijske plohe, odnosno slike. Ukoliko

su poznate koordinate odreĊenog broja podudarnih toĉaka 'i im m izmeĊu dvije

slike, potrebno je izraĉunati matricu homografije H dimenzija 3 3 tako da za

svaki i vrijedi 'i im Hm .

Broj toĉaka koji je potreban za izraĉun matrice homografije ovisi o njezinom broju

stupnjeva slobode. Pošto projekcijska transformacija ima 8 stupnjeva slobode,

ukupno je protebno 8 toĉaka (4 para podudarnih toĉaka).

3.6.1. DLT9 algoritam

DLT predstavlja linearni algoritam za odreĊivanje matrice homografije na temelju

seta od najmanje ĉetiri para podudarnih toĉaka. Transformacija koja povezuje

podudarne homogene toĉke im [ i i ix y w ] T 'im [ ' ' 'i i ix y w ] T jednadžbom

'i im Hm može se prikazati u obliku vektorskog produkta, [6]

' 0i im Hm (3.6.1)

Pri ĉemu je matrica H oblika

9 eng. Direct Linear Transformation

23

1

1 2 3

2

4 5 6

3

7 8 9

T

T

T

h h h h

H h h h h

h h h h

(3.6.2)

Izraz za vektorski produkt je tada

3 2

1

1 3

2 1

' '

' ' '

' '

T T

i i i

T T

i i i i i i

T T

i i i i

y h m w h m

m Hm w h m x h m

x h m y h m

(3.6.3)

Kako je jT T j

i ih m m h za 1,2,3j prethodne jednadžbe se mogu zapisati u

sljedećem obliku

1

2

3

0 ' '

' 0 ' 0

' ' 0

T T T

i i i i

T T T

i i i i i

T T T

i i i i

w m y m h

Ah w m x m h

y m x m h

(3.6.4)

Pri ĉemu je matrica A dimenzija 3 9 , a vektor h 9 1.

Iako u izrazu postoje tri jednadžbe, samo su dvije linearno nezavisne. Prema tome

svaki par podudarnih toĉaka daje dvije jednadžbe. Uz postojanje ĉetiri para

podudarnih toĉaka dobiva se set jednadžbi 0iAh pri ĉemu je iA dimenzija 12 9 ,

te ima rang 8 tako da je moguće odrediti rješenje za vektor h .

Ukoliko postoji više od ĉetiri para podudarnih toĉaka 'i im m set jednadžbi

0iAh

je preodreĊen (broj jednadžbi veći je od broja nepoznanica). Ako su

koordinate toĉaka egzaktno odreĊene matrica iA će još uvijek imati rang 8, stoga

postoji rješenje za vektor h . Zbog postojanja šuma mjerenje koordinata nije

egzaktno, te neće biti moguće pronaći toĉno rješenje preodreĊenog sustava

jednadžbi. Umjesto pronalaska toĉnog rješenja moguće je minimizacijom

odreĊene kriterijske funkcije tražiti aproksimaciju rješenja. UvoĊenjem dodatnog

uvjeta 1h izbjegava se moguće rješenje 0h . Vrijednost norme može biti bilo

koja jer faktor skaliranja ne utjeĉe na matricu H . Pošto jednadžba 0iAh nema

egzaktno rješenje, minimizira se norma iAh uz uvjet 1h . Problem je identiĉan

pronalasku minimuma kvocijenta iAh h . Rješenje je vlastiti vektor od TA A sa

najmanjom vlastitom vrijednošću, što je ekvivalentno pronalasku singularnog

vektora koji odgovara najmanjoj singularnoj vrijednosti od A . Prikazom matrice A

24

u obliku TA UDV norma koju je potrebno minimizrati postaje TUDV h . Uzima se

T TUDV h DV h i Th V h Potrebno je minimizirati TDV h uz uvjet 1TV h .

Ako se uvede Ty V h , zadatak se svodi na minimizaciju Dy uz uvjet 1y .

Pošto je D dijagonalna matrica sa elementima ĉija se vrijednost smanjuje duž

dijagonale rješenje minimizacije je vektor ĉiji su svi elementi jednaki 0 osim

posljednjeg koji je jednak 1 y [0 0 ... 1 ] T . Kako je x Vy tražena vrijednost h

je posljednji stupac matrice V .

Pregled DLT algoritma:

Za 4n broj parova 2D podudarnih toĉaka im [ i i ix y w ] T

'im [ ' ' 'i i ix y w ] T odreĊuje se 2D matrica homografije H tako da vrijedi

jednadžba 'i im Hm .

1. Za svaki podudarni par toĉaka izraĉunaj matricu iA

2. Spoji n matrica iA u jednu dimenzija 2 9n

3. Provedi singularnu dekompoziciju (SVD rastav) matrice A kao TA UDV .

Traženo rješenje h je singularni vektor koji odgovara najmanjoj singularnoj

vrijednosti. Ako je u rastavu D dijagonalna matrica s pozitivnim elementima

ĉije vrijednosti opadaju duž dijagonale, tada je rješenje h posljednji stupac

matrice V .

4. Presloži vektor h tako da se dobije matrica homografije H .

Normalizacija

Rezultat DLT algoritma ovisi o koordinatnom sustavu u kojem su izražene

podudarne toĉke. Korištenjem navedenog algoritma može se dobiti rezultat koji

nije invarijantan na transformacije sliĉnosti slike. Korištenjem normalizacije koja se

sastoji od translacije i skaliranja koordinata slike dobivaju se bolji rezultati prilikom

izraĉuna matrice 2D homografije. Normalizacija se provodi prije korištenja DLT

algoritma.

25

Prvi korak normalizacije je translacija svih koordinata tako da se centroid

koordinata dovede u ishodište, na svakoj slici odvojeno. Koordinate su skalirane

tako da je u prosjeku toĉka m oblika m [ x y w ] T , pri ĉemu svaka od

koordinata x , y i w ima istu srednju vrijednost. Potom se provodi uniformno

skaliranje koordinata tako da je prosjeĉna udaljenost toĉke m od ishodišta

jednaka 2 . To znaĉi da je prosjeĉna koordinata jednaka [1 1 1] T .

Transformacija uniformnog skaliranja se može prikazati u tri koraka:

1. Translacija toĉaka tako da im je centroid u ishodištu.

2. Toĉke su skalirane tako da im je srednja udaljenost od ishodišta 2 .

3. Primjena prethodna dva koraka na svaku od dvije slike odvojeno.

Bez normalizacije tipiĉna toĉka m ima puno veće vrijednosti koordinata x i y u

odnosu na w . Ukoliko je toĉka m [100 100 1] T tada su elementi 'xx , 'xy , 'yx i

'yy matrice A reda veliĉine 410 , elementi 'xw , 'yw ,... su reda 210 , a element

'w w je jednak 1. Zamjenom matrice A sa normaliziranom matricom A neki

elementi su povećani, a neki smanjeni tako da je suma kvadrata razlike promjena

minimalna, a rang matrice je ostao 8. Povećanje elementa 'w w za 100 znaĉi

veliku promjenu koordinata slike, dok povećanje elementa 'xx za 100 ima puno

manji utjecaj na promjenu koordinata. To je glavni razlog zbog kojeg elementi

matrice A moraju imati sliĉnu vrijednost, te zbog kojeg se provodi normalizacija.

Normalizacijom se postižu znatno bolji rezultati DLT algoritma, tako da postupak

normalizacije postao njegov sastavni dio.

Pregled DLT algoritma uz uključenu normalizaciju:

Za 4n broj parova 2D podudarnih toĉaka im [ i i ix y w ] T

'im [ ' ' 'i i ix y w ] T odreĊuje se 2D matrica homografije H tako da vrijedi

jednadžba 'i im Hm .

26

1. Normalizacija toĉaka im : Izraĉunaj transformaciju sliĉnosti T koja

translacijom i skaliranjem prevodi toĉke im u nove normalizirane toĉke im

tako da je centroid toĉaka ishodište (0,0) T i da je srednja udaljenost od

ishodišta 2 .

2. Normalizacija toĉaka 'im : Izraĉunaj transformaciju sliĉnosti 'T koja

translacijom i skaliranjem prevodi toĉke 'im u nove normalizirane toĉke 'im

tako da je centroid toĉaka ishodište (0,0) T i da je srednja udaljenost od

ishodišta 2 .

3. Standardni DLT algoritam: Provedi ranije opisani standardni DLT algoritam

nad podudarnim toĉkama 'i im m kako bi se dobila matrica homografije

H .

4. Denormalizacija: Izraĉunaj denormaliziranu matricu homografije 1'H T HT

3.7. RANSAC algoritam za uklanjanje pogrešno odreĎenih

podudarnih parova

Pogrešno odreĊeni parovi podudarnih toĉaka negativno bi utjecali na toĉnost

odreĊene matrice homografije, stoga ih je potrebno detektirati i ne uzimati u obzir

prilikom raĉunanja matrice homografije DLT algoritmom. Jedan od naĉina je

korištenje robusnog estimatora RANSAC10, [6].

RANSAC algoritam omogućuje pronalazak modela na temelju seta podataka S u

kojem se nalaze i pogrešno odreĊeni podaci.

Općeniti prikaz algoritma:

1. Metodom sluĉajnog odabira odaberi s podataka iz seta podataka S na

temelju kojih stvori model.

2. Odredi set podataka iS koji se nalaze unutar graniĉne vrijednosti t modela.

iS je privremeni set ispravnih podataka iz seta S .

10

eng. RANdom SAmple Consensus

27

3. Ukoliko je broj ispravnih podataka (set iS ) veći od graniĉne vrijednosti T ,

reestimiraj model koristeći samo podatke iz seta iS i završi algoritam.

4. Ukoliko je broj ispravnih podataka (set iS ) manji od graniĉne vrijednosti T

vrati se na toĉku 1 algoritma.

5. Nakon N pokušaja odaberi najveći set iS (najviše ispravnih podataka), te

reestimiraj model koristeći odabrani set.

Broj pokušaja N se odreĊuje tako da se sa vjerojatnošću p osigura da barem

jedan od s sluĉajnih uzoraka nije pogrešno odreĊen. Najĉešće se odabere

0.99p . Ako je w vjerojatnost da je bilo koji podatak toĉno odreĊen, tada je

1 w vjerojatnost da je pogrešno odreĊen. Potrebno je najmanje N odabira

podataka koji se dobije iz relacije (1 sw ) 1N p , tako da je

log(1 )

log(1 (1 ) )s

pN (3.7.1)

Adaptivno odreĊivanje broja pokušaja N predstavlja njegovo smanjivanje u

svakom koraku u kojem se pronaĊe manja vjerojatnost pogrešno odreĊenih

podataka.

Adaptivni algoritam je oblika:

Dok je _N broj pokušaja

1. Odaberi set podataka S iz kojeg na temelju modela izdvoji set ispravnih

podataka iS .

2. Izraĉunaj vjerojatnost _ _

1_ _

broj ispravnih podataka

ukupan broj podataka

3. Odredi N iz izraza (3.7.1)

4. Povećaj _broj pokušaja za 1.

28

3.7.1. Primjena RANSAC algoritma za računanje matrice homografije

Set podataka S sastoji se od podudarnih parova toĉaka. Veliĉina uzorka s je 4,

jer je za odreĊivanje matrice homografije potrebno ĉetiri para podudarnih toĉaka.

Broj pokušaja N odreĊuje se adaptivno.

Na temelju odabranog uzorka od 4 toĉke DLT algoritmom se odreĊuje matrica

homografije koja se koristi za raĉunanje simetriĉne pogreške geometrijske

udaljenosti prikazane na slici.

H

H-1

Slika 1 Slika 2

m

m'd d'

Slika: Prikaz simetrične pogreške geometrijske udaljenosti

Simetriĉna pogreška geometrijske udaljenosti predstavlja sumu kvadrata

Euklidske udaljenosti 'd izmeĊu mjerene toĉke 'm i toĉke Hm u koju se preslikala

toĉka m iz prve slike i udaljenosti d izmeĊu mjerene toĉke m i toĉke 1 'H m u koju

se preslikala toĉka 'm iz druge slike. Pogreška je prikazana sljedećim izrazom

2 1 2( , ') ( ', )i i i ic d m H m d m Hm (3.7.2)

Izraĉunom pogreške za sve podudarne parove moguće je odbaciti sve toĉke koje

se nalaze izvan predviĊene graniĉne vrijednosti t . Izbacivanjem pogrešno

odreĊenih podudarnih parova u svakom koraku ostaje set iS toĉno odreĊenih

parova. Nakon N pokušaja izdvaja se set podataka sa najvećim brojem toĉno

odreĊenih parova te se iz njega raĉuna matrica homografije.

29

RANSAC algoritam za računanje matrice homografije glasi:

1. Odredi set S podudarnih parova toĉaka korištenjem željene metode.

2. Ponavljaj sljedeće N puta, pri ĉemu je N odreĊen adaptivnim algoritmom

metodom sluĉajnog odabira odaberi 4 para podudarnih toĉaka iz

seta S na temelju kojih korištenjem DLT algoritma izraĉunaj matricu

homografije H .

izraĉunaj simetriĉnu pogrešku geometrijske udaljenosti za sve

parove podudarnih toĉaka iz seta S koristeći matricu homografije

odreĊenu u prethodnom koraku.

konstruiraj set iS izbacivanjem parova toĉaka ĉija je simetriĉna

pogreška geometrijske udaljenosti veća ili jednaka od proizvoljno

definirane graniĉne vrijednosti t .

3. Odaberi najveći set iS (set koji posjeduje najveći broj toĉno odreĊenih

parova podudarnih toĉaka), te izraĉunaj matricu homografije H koristeći

samo odabrani set podataka.

3.8. Mjerenje relativnog 3D pomaka

Mjerenje relativnog 3D pomaka obavlja se korištenjem poznatog 2D pomaka slike i

poznate udaljenosti od stvarnog prostora, [18]. Uz pretpostavku da je morsko dno

ravnina i uz stabilnost ronilice u stupnjevima slobode valjanja i naginjanja moguće

je dobiti 2D pomak slike korištenjem matrice homografije. Valjanje ili naginjanje

ronilice izazvalo bi perspektivno iskrivljenje slike koje bi moglo uzrokovati detekciju

lažnog pomaka. Udaljenosti centra kamere od ravnine morskog dna dobiva se iz

altimeta. Shematski prikaz naĉina odreĊivanja pomaka prikazan je na slici 3.8.1.

30

m m'Z

f

M

C C'

d

DX

Y

Z

XY

Slika I Slika I'

Slika 3.8.1.: Određivanje 3D pomaka ronilice

Nakon što je nad slikama I i I' provedena korekcija distorzije, pronalazak vrhova

Harris detektorom i podudarnih toĉaka korelacijskom metodom, na temelju

pronaĊenih podudarnih parova odreĊuje se matrica homografije H .

Koordinata centra slike I (toĉka m na slici 3.8.1.) predstavlja projekciju centra

kamere na ravninu slike. Toĉka m sa slike I uslijed pomaka ronilice preslikava se

u toĉku 'm na slici I'. Koordinate toĉke 'm dobiju se iz izraĉunate matrice

homografije kao

'm Hm (3.8.1)

Iz poznatih koordinata m i 'm odreĊuje se udaljenost d u pikselima

'd m m (3.8.2)

'

'

1 1 1

x

y

d x x

d y y (3.8.3)

Poznavanjem fokalne duljine kamere f u pikselima i udaljenosti od dna Z u

metrima moguće je koristiti sljedeću geometrijsku relaciju

f Z

d D (3.8.4)

pri ĉemu je D pomak u globalnom koordinatnom sustavu koji se može rastaviti na

komponente

31

x x

ZD d

f (3.8.5)

y y

ZD d

f (3.8.6)

Negativni predznak y komponente pomaka D je zbog usklaĊivanja koordinatnog

sustava slike sa globalnim koordinatnim sustavom. Poznavanjem xD i yD

komponenata pomaka u globalnom koodinatnom sustavu uz poznatu visinu od

dna Z poznat je i 3D pomak ronilice.

32

4. Rezultati

Primjenom metoda i algoritama iz prethodnog poglavlja u programskom paketu

Matlab, uz korištenje funkcija [17] i kalibracijskog alata [5], implementirana je

metoda odreĊivanja relativnog pomaka koja se ne odvija u stvarnom vremenu.

Unutrašnji parametri kamere koji se koriste za ispravljanje slika i odreĊivanje 3D

pomaka dobiveni su kalibracijom GoPro kamere. Ruĉno je snimljen pomak kamere

iznad morskog dna, te je provedena implementirana metoda kojom su dobiveni

pomak u xyz koordinatnom sustavu. Na dvije izdvojene slike iz video okvira

prikazani su vrhovi odreĊeni Harrisovim detektorom vrhova, podudarni parovi

odreĊeni korelacijskom metodom i odbaĉeni parovi RANSAC algoritmom.

4.1. Rezultati kalibracije GoPro kamere

Kalibracija GoPro kamere provedena je korištenjem kalibracijskog alata za Matlab

[5]. Kalibracija se temelji na 48 podvodnih slika šahovske ploĉe prikazanih na slici

4.1.1.

Slike korištene pri kalibraciji

Slika 4.1.1.: Podvodne slike korištene za kalibraciju kamere

33

Slika 4.1.2.: Prikaz radijalne komponente distorzije kamere

Slika4.1.3.: Prikaz tangencijalne komponente distorzije kamere

0 100 200 300 400 500 600 700 800

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

10

10

10

10

10

10

20

20

20

20

20

20

30

30

30

30

30

30

40

40

40

40

40

40

50

50

50

50

50

50

60

60

60

60

60

70

70

70

70

70

80

80

80

90

90

Radijalna komponenta distorzije

0 100 200 300 400 500 600 700 800

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0.1

0.1

0.1

0.1

0.2

0.2

0.2

0.2

0.3

0.3

0.3

0.3

0.4

0.4

0.4

0.5

0.5

0.6

Tangencijalna komponenta distorzije

34

Slika 4.1.4.: Cjelokupan model distorzije uz dobivene unutrašnje parametre

kamere

Na prethodnim slikama svaka strelica predstavlja pomak piksela koji je uzrokovan

distorzijom leće, križić predstavlja središte slike, a kružić centar. Na kutovima slike

iz grafa radijalne distorzije vidljiva je maksimalna distorzija, odnosno pomak od 90

piksela. Na grafu tangencijalne distorzije maksimalan pomak iznosi 0.6 piksela.

Tangencijalna komponenta distorzije je puno manja od radijalne, te na graf

cjelokupnog distorzijskog modela koji je prikazan na slici 4.1.4. ima vrlo mali

utjecaj. Zbog toga je tangencijalnu komponentu moguće iskljuĉiti iz modela

distorzije. Koeficijent iskošenja iznosi 0.001c , odnosno kut izmeĊu osi piksela

je 90.0572°.

Matrica kamere iznosi

1 1 1

2 2

465.8693 -0.4645 429.8673

0 0 465.7729 252.5761

0 0 1 0 0 1

cf f c

K f c (4.1.1)

Pogreška piksela = [0.7872, 0.8286]

Fokalna duljina = (465.869, 465.773)

Centar slike = (429.867, 252.576)

Koeficijent iskošenja = -0.0009971

Radijalni koeficijenti = (-0.2847, 0.1037, -0.01954)

Tangencijalni koeficijenti = (0.0002571, -0.00041)

+/- [1.357, 1.329]

+/- [1.58, 1.119]

+/- 0.0005817

+/- [0.0043, 0.005709, 0.002114]

+/- [0.0002891, 0.000261]

0 100 200 300 400 500 600 700 800

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

10

10

10

10

10

10

20

20

20

20

20

20

30

30

30

30

30

30

40

40

40

40

40

40

50

50

50

50

50

50

60

60

60

60

60

70

70

70

70

70

80

80

80

90

90

Cjelokupan model distorzije

35

Matrica kamere i koeficijenti distorzije potrebni su za ispravljanje slika. Na slici

4.1.5. prikazane su dvije slike korištene pri kalibraciji i njihove ispravljene inaĉice.

Slika 4.1.5.: Izvorne slike GoPro kamere (lijevo) i ispravljene (desno)

4.2. Prikaz detektiranih vrhova Harrisovim detektorom

Rezultati obrade dvije uzastopne slike (I i I') preuzete iz video snimke kamere u

pokretu iznad morskog dna prikazani su na slikama 4.2.1 i 4.2.2. Harrisovim

detektorom vrhova uz graniĉnu vrijednost praga za mjeru R postavljenu na 17

odreĊeno je 113 vrhova na slici I i 82 vrha na slici I'. Vrhovi su na slikama 4.2.1 i

4.2.2 oznaĉeni crvenim plusevima.

36

Slika 4.2.1: Detektirani vrhovi prve slike I označeni crvenim plusevima

Slika 4.2.2.: Detektirani vrhovi druge slike I' označeni crvenim plusevima

4.3. Prikaz pronaĎenih podudarnih parova točaka

ProvoĊenjem korelacijske metode nad izdvojenim vrhovima uz veliĉinu prozora w

11 11 piksela, odnosno uz radijus prozora 5 piksela dobiveno je ukupno 68

37

podudarnih parova vrhova. Na slici 4.3.1 su prikazane zbrojene slike I i I' sa

oznaĉenim podudarnim parovima koji su povezani zelenom linijom. Vrhovi sa slike

I su oznaĉeni crvenim, a vrhovi sa slike I' zelenim plusevima.

100 200 300 400 500 600 700 800

50

100

150

200

250

300

350

400

450

Slika 4.3.1.: Zbrojene slike I i I' sa podudarnim točkama spojenim zelenim linijama

4.4. Rezultat obrade podudarnih parova RANSAC algoritmom

Na slici 4.4.1. su crvenim linijama oznaĉeni podudarni parovi koji su nakon obrade

RANSAC algoritmom izbaĉeni iz poĉetnog seta parova. RANSAC algoritmom za

raĉunanje matrice homografije odreĊen je set iS koji posjeduje najveći broj toĉno

odreĊenih podudarnih parova toĉaka na temelju kojeg je odreĊena matrica

homografije. Na slici 4.4.2. prikazane su zelenim linijama povezane podudarne

toĉke seta iS . Ukupno je odbaĉeno 7 parova toĉaka iz poĉetnog seta S . Korištena

je graniĉna vrijednosti pogreške 0.008t ĉija vrijednost ovisi o broj izdvojenih

parova toĉaka. Zbog toga što morsko dno nije ravnina RANSAC algoritmom mogu

biti odbaĉeni i neki od ispravo odreĊenih parova. Korištenjem ovog algoritma

osigurava se izbacivanje potpuno pogrešno odreĊenih podudarnih parova koji bi

utjecali na pogrešno odreĊivanje matrice homografije.

38

100 200 300 400 500 600 700 800

50

100

150

200

250

300

350

400

450

Slika 4.4.1: Podudarni parovi točaka bez obrade RANSAC algoritmom (68 parova)

100 200 300 400 500 600 700 800

50

100

150

200

250

300

350

400

450

Slika 4.4.2: Podudarni parovi točaka obrađeni RANSAC algoritmom ( 61 par)

39

4.5. Rezultati mjerenja relativnog 3D pomaka

Korištenjem GoPro kamere ĉiji su intrinziĉni parametri dobiveni kalibracijom u

potpoglavlju 4.1. snimljen je pomak pri udaljenosti od 35 cm iznad morskog dna.

Na dno je položeno uže sa zabilježenom duljinom kako bi bila moguća provjera

rezultata.

Dimenzija slika je 848 480 piksela, fokalna daljina i centar slike su dobiveni

kalibracijom te iznose 465f i (430,253)c , te je udaljenost od dna 0.35 m.

Na slici 4.5.1. je prikazano 26 izdvojenih slika iz video snimke ĉijom je obradom

dobivena putanja prikazana u xy ravnini na slici 4.5.2. i u xyz globalnom

koordinatnom sustavu na slici 4.5.3. Putanja je prikazana plavom linijom, a 26

mjesta na kojima se nalazio centar kamere prilikom prolaza su oznaĉena rozim

zvjezdicama. PrijeĊena udaljenost od 0.6 m dobivena obradom odgovara mjerenoj

vrijednosti sa oznaĉenog užeta.

Slike korištene pri kalibraciji

1

26

Slika 4.5.1.: Izdvojene slike iz video snimke korištene za izračun pomaka

40

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

x[m]

y[m

]

1

Slike korištene pri kalibraciji

26

Slika 4.5.2.: Putanja u xy ravnini

0

0.5

1

00.1

0.20.3

0.40.5

0.6

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

z[m

]

y[m] x[m]

1

Slike korištene pri kalibraciji

26

Slika 4.5.3.: Putanja u globalnom koordinatnom sustavu

41

Poĉetni položaj ronilice smješten je u ishodište koordinatnog sustava u xy ravnini.

Nakon obrade prve dvije slike koje odreĊuju poĉetni segment uz odreĊeni pomak

odreĊuje se i kut zaošijanja na sljedeći naĉin

i atan2 1 1

180( , )i i i ix x y y . (4.5.1)

Pošto atan2 funkcija daje rezultate na intervalu , ] nakon pretvorbe u

stupnjeve na dobivene negativne vrijednosti kuta dodaje se vrijednost 360°,

tako da je konaĉni kut zaošijanja na intervalu [0,360 >. Na slici 4.5.4. prikazan je

pomak u xy ravnini uz oznaĉen kut zaošijanja.

-0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

x[m]

y[m

]

1

1x2x

2y

1y 2

2 1y y

2 1x x

Slika 4.5.4.: Prikaz kuta zaošijanja

Tablica I: Vrijednosti kuta zaošijanja i pomaka iz provedenog prvog eksperimenta

Segment Pomak [m]

1 7.5854 0.0377

2 357.9708 0.0384

3 352.6132 0.0350

4 352.2756 0.0139

5 3.6412 0.0372

6 356.5222 0.0046

42

7 348.9814 0.0156

8 347.2184 0.0172

9 341.8114 0.0324

10 349.5381 0.0297

11 357.7244 0.0343

12 357.0280 0.0167

13 358.9744 0.0252

14 358.1437 0.0210

15 355.5737 0.0390

16 355.7082 0.0505

17 358.9857 0.0235

18 5.1680 0.0187

19 1.8468 0.0198

20 7.1572 0.0199

21 12.6052 0.0192

22 12.8513 0.0162

23 11.6139 0.0158

24 355.9829 0.0175

25 1.1555 0.0188

Ukupni pomak

[m] 0.6177

Na temelju dobivenih rezultata, putanje prikazane na slikama 4.5.2. i 4.5.3. i

vrijednosti pomaka iz tablice I., moguće je zakljuĉiti kako opisana i primijenjena

metoda mjerenja relativnog pomaka daje zadovoljavajuće rezultate prilikom

gibanja uz malu promjenu kuta zaošijanja . Dobivena je oĉekivana ravna putanja

s manjim odstupanjima koja su prisutna zbog ruĉnog naĉina snimanja.

Djelotvornost algoritma za veću promjenu kuta zaošijanja isprobana je sintetiĉki

zato jer je kamera ruĉna i nije opremljena kompasom ĉija bi mjerenja omogućila

provjeru rezultata. Slike iz prehodnog eksperimenta, poĉevši od druge, su

zarotirane za kut koji se linearno povećava. Tako da je druga slika zarotirana za

14.4°, treća za 2*14.4°,..., a zadnja slika za 25*14.4°, odnosno 360°. Na slici 4.5.5.

nalaze se zarotirane slike ĉijom je obradom dobivena putanja u xy ravnini

prikazana na slici 4.5.6., a u globalnom koordinatnom sustavu na slici 4.5.7.

43

Slike korištene pri kalibraciji

1

26

5

Slika 4.5.5.: Zarotirane slike iz prethodnog eksperimenta korištene za izračun

pomaka

-0.2 -0.18 -0.16 -0.14 -0.12 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

x[m]

y[m

]

Slike korištene pri kalibraciji

26

Slike korištene pri kalibraciji

1

Slike korištene pri kalibraciji

5

Slika 4.5.6.: Putanja u xy ravnini

44

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

z[m

]

x[m]y[m]

Slike korištene pri kalibraciji

26

Slike korištene pri kalibraciji

1

Slike korištene pri kalibraciji

5

Slika 4.5.7.: Putanja u globalnom koordinatnom sustavu

Tablica II: Vrijednosti kuta zaošijanja i pomaka iz provedenog drugog

eksperimenta

Segment Pomak [m]

1 350.6488 0.0375

2 325.2373 0.0386

3 306.0161 0.0357

4 286.8108 0.0154

5 288.5979 0.0384

6 259.0599 0.0068

7 246.4889 0.0179

8 232.6647 0.0191

9 213.5404 0.0338

10 208.0984 0.0318

11 201.8156 0.0355

12 190.9390 0.0179

13 176.7300 0.0258

14 162.8653 0.0211

15 142.9470 0.0382

16 128.2033 0.0486

17 119.6655 0.0221

18 112.4483 0.0171

19 92.6974 0.0177

20 82.7634 0.0177

21 71.4243 0.0168

22 54.7320 0.0139

45

23 37.0467 0.0133

24 3.4274 0.0157

25 354.0225 0.0177

Ukupni pomak

[m] 0.6142

Iz dobivenih rezultata, putanje na slikama 4.5.6. i 4.5.7. i vrijednosti pomaka i kuta

zaošijanja iz tablice II., vidi se oĉekivana promjena kuta zaošijanja od 360°, te

ukupan pomak od 0.61 m koji je isti u oba sluĉaja.

46

5. Primjena na dinamičko pozicioniranje

OdreĊivanje relativnog pomaka moguće je iskoristiti za dinamiĉko pozicioniranje

podvodnog vozila. Matematiĉki model podvodnog vozila je nelinearan i spregnut,

te ga je potrebno pojednostaviti kako bi se omogućilo projektiranje regulatora. Uz

raniju pretpostavku stabilnosti vozila u valjanju i naginjanju, gibanje vozila se

razmatra samo u xy ravnini. Ronilica bi trebala zadržavati poĉetni položaj neovisno

o utjecaju vanjskih poremećaja (valovi, vjetar, morske struje) korištenjem mjerenja

dobivenih obradom slike. Na temelju raspregnutog modela gibanja u x i y smjeru

projektirana su dva I-PD regulatora ĉiji su parametri odreĊeni korištenjem

modelske binomne funkcije.

5.1. Matematički model podvodnog vozila

Matematiĉkim modelom definirana su statiĉka i dinamiĉka svojstva plovila

Statiĉka svojstva definiraju objekt u mirovanju ili gibanju konstantnom brzinom,

dok dinamiĉka svojstva definiraju sile koje uzrokuju gibanje plovila. Varijable koje

se koriste pri definiranju matematiĉkog modela su: pozicije i orijentacije, linearne i

kutne brzine, te sile i momenti. Model se razmatra u 6 stupnjeva slobode jer je

potrebno 6 parametara za odreĊivanje pozicije i orijentacije plovila. Navedene

varijable su prikazane u tablici III.

Tablica III: SNAME11 notacija korištena kod plovnih i podvodnih vozila

Stupanj

slobode Opis gibanja

Sile i

momenti

( )

Linearne i kutne

brzine ( )

Pozicije i

orijentacije ( )

1 U smjeru x osi (napredovanje) X u x

2 U smjeru y osi (zanošenje) Y v y

3 U smjeru z osi (poniranje) Z z

4 Rotacija oko x osi (valjanje) K p

5 Rotacija oko y osi (naginjanje) M q

6 Rotacija oko z osi (zaošijanje) N r

11

eng. The Society of Naval Architects and Marine Engineers

47

5.1.1. Kinematički model

Analiza gibanja podvodnog vozila sa 6 stupnjeva slobode omogućena je

definiranjem mobilnog i fiksnog koordinatnog sustava. Mobilni koordinatni sustav

0 0 0x y z vezan je uz vozilo tako da je njegovo ishodište najĉešće smješteno u toĉki

težišta tijela, dok je fiksni (ili inercijalni) koordinatni sustav xyz vezan uz Zemlju.

Fiksni koordinatni sustav se koristi za definiranje pozicije i orijentacije vozila ( ) ,

dok se mobilni koordinatni sustav koristi za izražavanje linearnih i kutnih brzina

( ).Gibanje podvodnog vozila u potpunosti može biti opisano pomoću vektora ,

i , gdje predstavlja vektor sila i momenata koji uzrokuju gibanje podvodnog

vozila, a definirani su u mobilnom koordinatnom sustavu. Na Slici 5.1.1. su

prikazani vektori opisa gibanja:

U fiksnom koordinatnom sustavu

[ 1 2,T T ] T , gdje su 1 [ , ,x y z ] T pozicije, a 2 [ , , ] T orijentacije.

U mobilnom koordinatnom sustavu

[ 1 2,T T ] T , gdje su 1 [ , ,u v w ] T linearne, a 2 [ , ,p q r ] T kutne brzine.

[ 1 2,T T ] T , gdje su 1 [ , ,X Y Z ] T sile, a 2 [ , ,K M N ] T momenti.

Slika 5.1.1.: Prikaz mobilnog i fiksnog koordinatnog sustava ronilice

48

Kinematiĉki model povezuje brzine u mobilnom koordinatnom sustavu ( ) i brzine

( ) u fiksnom koordinatnom sustavu. Model opisuje sljedeća jednadžba, [20]:

( )J (5.1.1)

1 2 3 31 1

3 3 2 22 2

( ) 0

0 ( )

J

J (5.1.2)

Gdje su )( 21J i )( 22J matrice transformacija ĉije su vrijednosti jednake:

1 2

cos cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin

( ) sin cos cos cos sin sin sin cos sin sin sin cos

sin cos sin cos cos

J (5.1.3)

2 2

1 sin tan cos tan

( ) 0 cos sin

0 sin / cos cos / cos

J

(5.1.4)

5.1.2. Dinamički model

Dinamiĉki model povezuje sile koje djeluju na podvodno vozilo ( ) i brzine gibanja

vozila ( ) .Podvodno vozilo sa 6 stupnjeva slobode može biti opisano sa

nelinearnom dinamiĉkom jednadžbom, [20]:

( ) ( ) ( ) EM C D g (5.1.5)

Gdje je

M matrica inercije sa ukljuĉenom dodanom masom

( )C matrica Coriolisovih i centripetalnih izraza sa ukljuĉenom dodanom

masom

)(D matrica hidrodinamiĉkog prigušenja

)(g vektor gravitacijskih sila i momenata

vektor sila (uzrokovanih propulzijom) i momenata

E vektor sila poremećaja (valovi, vjetar, morske struje)

49

Matrica inercije

Matrica inercije M sastoji se od sume matrice inercije ĉvrstog tijela ( )RBM i

matrice dodanih masa ( )AM : RB AM M M . Dodana masa predstavlja tlaĉne sile

i momente koji su nastali kao posljedica prisilnog harmoniĉkog gibanja vozila, a

proporcionalni su akceleraciji samog tijela podvodnog vozila, [20].

je oblika

3 3

0

0 0 0

0 0 0

0 0 0( )

0( )

0

0

G G

G G

G GG

RB

G G x xy xzG

G G yx y yz

G G zx zy z

m mz my

m mz mx

m my mxmI mS rM

mz my I I ImS r I

mz mx I I I

my mx I I I

(5.1.6)

Gdje je m masa vozila, Gr [ , ,G G Gx y z ] T vektor težišta tijela , zxI ... momenti

inercije, , ,xy xz yzI produkti inercije, 33I matrica identiteta i )( GrS asimetriĉna matrica

oblika

3 2

3 1

2 1

0

( ) 0

0

S .

Ako je brzina gibanje ronilice mala i ako ronilica ima tri ravnine simetrije, tada je

matrica dodanih masa dijagonalna:

, , , , ,A u w p q rM diag X Y Z K M N (5.1.7)

gdje su elementi oblika uX koeficijenti uz derivaciju brzine koja je zapisana u

indeksu. Primjerice, hidrodinamiĉka dodana masa sile AY uzduž y-osi prema

akceleraciji u u smjeru osi x se zapisuje kao uYY uA , gdje je uYYu

/ .

Nedijagonalne elemente matrice inercija moguće je izbjeći ukoliko se mobilni

koordinatni sustav smjesti u težište tijela. Tada će vektor Gr biti [ , ,G G Gx y z ] T 0 , te

ukoliko se osi poklapaju sa osima inercije, tenzor inercije 0I će biti dijagonalan.

Tada je konaĉni oblik matrice inercije:

RBM

50

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

u

w

RB A

x p

y q

z r

m X

m Y

m ZM M M

I K

I M

I N

(5.1.8)

Matrica Coriolisovih i centripetalnih izraza

Matrica Coriolis i centripetalnih izraza sastoji se od sume matrica Coriolis i

centripetalnih sila ĉvrstog tijela RBC , te matrice dodane mase, odnosno matrice

hidrodinamiĉkih Coriolis i centripetalnih sila AC , [20].

RBC je oblika

0 0 0 ( ) ( ) ( )

0 0 0 ( ) ( ) ( )

0 0 0 ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) 0

G G G G

G G G G

G G G G

RB

G G G G yz xz z yz xy y

G G G G yz xz z xz

m y q z r m x q w m x r v

m y p w m z r x p m y r u

m z p v m z q u m x p y qC

m y q z r m y p w m z p v I q I p I r I r I p I q

m x q w m z r x p m z q u I q I p I r I

( ) ( ) ( ) 0

xy x

G G G G yz xy y xz xy x

r I q I p

m x r v m y r u m x p y q I r I p I q I r I q I p

(5.1.9)

AC je oblika

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0( )

0 0

0 0

0 0

w

w u

u

A

w r q

w u r p

u q p

Z w Y v

Z w X u

Y v X uC

Z w Y v N r M q

Z w X u N r K p

Y v X u M q K p

(5.1.10)

Koristeći identiĉne uvjete za dobivanje konaĉnog oblika matrice inercije slijedi:

51

0 0 0 0 ( ) ( )

0 0 0 ( ) 0 ( )

0 0 0 ( ) ( ) 0( ) ( ) ( )

0 ( ) ( ) 0 ( ) ( )

( ) 0 ( ) ( ) 0 ( )

( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0

w

w u

u

RB A

w z r y q

w u z r x p

u y q x p

m Z w m Y v

m Z w m X u

m Y v m X uC C C

m Z w m Y v I N r I M q

m Z w m X u I N r I K p

m Y v m X u I M q I K p

(5.1.11)

Matrica hidrodinamičkog prigušenja

Matrica hidrodonamiĉkog prigušenja definirana za ĉvrsto tijelo koje se giba kroz

fluid je realna, asimetriĉna i pozitivna. Uzroci hidrodinamiĉkog prigušenja su

potencijalno prigušenje zbog prisilnih oscilacija tijela, trenje površinskog sloja

vozila, valovi kod plovnih vozila i sila uzrokovana oscilatornim protokom.

Prigušenje podvodnog vozila koje se giba velikom brzinom je nelinearno. Ukoliko

se pretpostavi mala brzina gibanja i tri ravnine simetrije uz zanemarenje

prigušenja reda višeg od drugog, matrica hidrodinamiĉnog prigušenja postaje

dijagonalna sa linearnim i kvadratnim ĉlanovima. Njezin oblik je, [20].

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0( )

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

u u u

v v v

w w w

p p p

q q q

r r r

X X u

Y Y v

Z Z wD

K K p

M M q

N N r

(5.1.12)

Vektor gravitacijskih sila i momenata

Vektor gravitacijskih sila i momenata ĉine sila gravitacije i sila uzgona. Ako je m

masa vozila, W sila gravitacije i B sila uzgona, transformirane sile u mobilni

koordinatni sustav iznose, [20]:

52

1

2 1 2

0

( ) ( ) 0Gf J

W

(5.1.13)

1

2 1 2

0

( ) ( ) 0Bf J

B

(5.1.14)

Tada je vektor gravitacijskih sila i momenata definiran na sljedeći naĉin:

( ) ( )

( )( ) ( )

G B

G G B B

f fg

r f r f (5.1.15)

Ukoliko su iznosi sila B i W jednaki, te uz poklapanje toĉaka težišta tijela i centra

uzgona, vidi se da je iznos vektora jednak 0.

5.1.3. Spregnuti model u xy ravnini

Cjelokupan matematiĉki model plovila je nelinearan i spregnut, te ga je prilikom

izrade upravljaĉkog sustava potrebno pojednostaviti. Jedno od pojednostavljenja

je smanjenje stupnjeva slobode sa 6 na 3. Na temelju pretpostavke stabilnosti

podvodnog vozila u valjanju ( 0 ) i naginjanju ( 0 ), te rasprezanjem od

gibanja u smjeru z osi (poniranja, 0 ) dobiva se pojednostavljeni spregnuti

model u horizontalnoj ravnini. Kinematiĉki model tada se svodi na, [21]

cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

x u

y v

r

(5.1.16)

a dinamiĉki model poprima oblik

0 0 ( )

0 0 ( )

( ) ( ) 0

u v G G v

v v G G u

G G z r G v G u

m X X my u m x r v Y v u

X m Y mx v m y r u X u v

my mx I N r m x r v Y v m y r u X u r

0 0

0 0

0 0

u u u XE

v YEv v

NEr r r

X X u u X

Y Y v v Y

r NN N r

(5.1.17)

53

5.1.4. Nespregnuti model u xy ravnini

Rasprezanjem gibanja dodatno se pojednostavljuje model 5.1.17. Uz pretpostavku

da se plovilo giba malom brzinom moguće je izostaviti matricu Coriolisovih i

centripetalnih sila ( ) ( )RB AC C . Smještanjem mobilnog koordinatnog sustava u

težište tijela 0Gr , što je moguće uĉiniti kod malih podvodnih plovila, matrica

inercije i dodanih masa postaje dijagonalna RB AM M .

Primjenom pojednostavljenja jednadžba 5.1.17 postaje, [21]

0 00 0

0 0 0 0

0 0 0 0

u u uu XE

v v YEv v

z r NEr r r

X X um X u u X

m Y v Y Y v v Y

I N r r NN N r

(5.1.18)

Tako da su raspregnuti:

Napredovanje:

( ) ( )u u XEu um X u X X u u X (5.1.19)

Zanošenje:

( ) ( )v v YEv vm Y v Y Y v v Y (5.1.20)

Zaošijanje:

( ) ( )z r r NEr rI N r N N r r N (5.1.21)

Svaka od prethodnih jednadžbi se može napisati u sljedećem obliku

E (5.1.22)

Pri ĉemu je parametar inercije, a parametar prigušenja gibanja tijela u

fluidu.

54

5.2. Struktura regulatora

Odabirom PID regulatora sa iskljuĉivim I ponašanjem na pogrešci (I-PD struktura)

osigurava se voĊenje procesa s blažim upravljaĉkim signalima u odnosu na ostale

forme PID regulatora. Promjene refence u obliku stepa prolaze samo kroz

integralni dio regulatora, te se tako onemogućavaju nagle promjene upravljaĉke

veliĉine.Takva struktura prikladna je za korištenje na podvodnim i plovnim vozilima

jer je izbjegnuta velika promjena upravljaĉke veliĉine koja uzrokuje trošenje

aktuatora.

KI

KP

1

s

KD

- --

ref I PDu

Slika 5.2.1.: I-PD forma regulatora

Zakon upravljanja I-PD strukture regulatora dan je sa, [21], [22] :

0

( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )

t

I PD I ref P Du t K d K t K t (5.2.1)

Proces predstavlja model u xy ravnini odreĊen jednadžbom

E (5.2.2)

Koeficijenti procesa i odreĊuju se iz poznatih parametara matematiĉkog

modela podvodnog vozila, a parametri regulatora odreĊuju se na temelju željene

modelske funkcije.

55

KI

KP

1

s

1

s

KD

- --

ref

E

1

s

-

Slika 5.2.2.: Sustav upravljanja

Prijenosna funkcija zatvorenog kruga sustava sa slike 5.2.2. je

3 2

1

1D Pref

I I I

K Ks s s

K K K

(5.2.3)

Odabire se binomni oblik modelske funkcije koji je dan sa:

3

3 2 2 3( )

3 3

nm

n n n

G ss s s

, (5.2.4)

odnosno:

3 2

3 2

1( )

1 3 31

m

n n n

G s

s s s

. (5.2.5)

Parametri regulatora odreĊeni su tako da je prijenosna funkcija zatvorenog kruga

jednaka modelskoj funkciji, te oni iznose:

3

I nK (5.2.6)

23P nK (5.2.7)

3D nK (5.2.8)

56

5.3. Model simulacije i simulacijski rezultati

Upravljanje napredovanjem

Ako se uzme da je x , x , x . Pri ĉemu su parametri 215x ,

100x odreĊeni iz simulacijskog modela. Uz odabranu frekvenciju binomne

modelske funkcije 0.8n parametri regulatora iznose:

3 110.08Ix n xK

23 412.8Px n xK

3 416Dx n x xK

Upravljanje zanošenjem

Ako se uzme da je y , y , y . Pri ĉemu su parametri 265y ,

100y odreĊeni iz simulacijskog modela. Uz odabranu frekvenciju binomne

modelske funkcije 0.5n parametri regulatora iznose:

3 26.875Iy n yK

23 161.25Py n yK

3 222.5Dy n y yK

Sprječavanje namatanja integratora

Integrator ne staje s integriranjem uaznog signala pogreške dok je god on razliĉit

od nule. Pošto aktuator (propulzor) ima zasićenje, nakon što je postignuta

vrijednost zasićenja integrator bi trebao stati sa povećavanjem upravljaĉke veliĉine

jer se procesu ne može isporuĉiti veća vrijednost od zasićene. Ako je referentna

veliĉina velika regulator šalje procesu signal koji konstantno raste, a proces, zbog

zasićenja aktuatora, vidi konstantan signal. Opisana pojava naziva se namatanje

integratora i ako se ne sprijeĉi, nakon smanjenja referentne veliĉine signalu na

izlazu iz integratora trebat će puno vremena da se vrati na željenu razinu. Kako bi

se sprijeĉilo namatanje, kada aktuator uĊe u zasićenje izlaz iz regulatora treba

57

ostati na trenutnoj razini. Postupak uklanjanja namatanja naziva se antiwindup, a

korištena tehnika je prikazana na regulatorima sa slike 5.2.3., [22] [21]

Simulacijski model

Simulacijski model prikazuje upravljanje po relativnom pomaku u xy ravnini

korištenjem dva I-PD regulatora za pomak u x i y smjeru, ĉiji su parametri dobiveni

na temelju raspregnutog modela ronilice u xy ravnini i modelske binomne funkcije.

KIy

KPy

1

s

KDy

- --

refy

+

-

E

-

1

IyK

KIx

KPx

1

s

KDx

- --

refx

+

-

E

-

1

IxK

+

+

MODEL

ROV-aObrada

slike

X

Y

x

y1

s

T s

1

s

T s

Slika 5.2.3.: Simulacijski model za dinamičko pozicioniranje podvodnog vozila u xy

ravnini

Postavljena vrijednost zasićenja je od -100 do 100 N. Referentna vrijednost

položaja postavljena je na 0ref refx y , dok je vanjska poremećajna veliĉina u x i

y smjeru postavljena tako da djeluje od trenutka 40 s do trenutka 100 s u iznosu

od 90 N. Odzivi su prikazani na sljedećim slikama.

58

Slika 5.2.4.: Odziv pomaka u x smjeru

Slika 5.2.5.: Odziv pomaka u y smjeru

0 50 100 150-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Pom

ak u

x s

mje

ru [

m]

Vrijeme [s]

0 50 100 150-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Pom

ak u

y s

mje

ru [

m]

Vrijeme [s]

59

Slika 5.2.6.: Izlaz iz regulatora za x smjer

Slika 5.2.7.: Izlaz iz regulatora za y smjer

0 50 100 150-20

0

20

40

60

80

100

X (

Tau +

TauE

)

Vrijeme [s]

0 50 100 150-20

0

20

40

60

80

100

Y (

Tau +

TauE

)

Vrijeme [s]

60

Na slikama 5.2.4. i 5.2.5. su prikazani odzivi položaja u x i y smjeru nakon

djelovanja sile poremećaja. Podvodno vozilo se nakon poĉetka djelovanja

konstantnog poremećaja, ĉija je sila manja od postavljenog zasićenja, vraća u

poĉetni položaj te kompenzira djelovanje poremećaja do njegova prestanka.

Nakon prestanka djelovanja konstantne sile poremećaja dolazi do pomaka zbog

nestanka potrebe za kompenzacijom. Odzivi su dobiveni na temelju postojećeg

matematiĉkog modela ronilice iz kojeg se dobiva i pomak. Prilikom implementacije

na stvarni sustav mjerenje relativnog pomaka obavljalo bi se na naĉin koji je

opisan u poglavlju 3.

61

6. Zaključak

Kamera predstavlja senzor koji je moguće iskoristiti na razliĉite naĉine. Pokazana

je jedna od dodatnih mogućnosti korištenja kamere u podvodnoj robotici u vidu

mjerenja relativnog pomaka. Mjerenje pomaka moguće je iskoristiti za relativnu

navigaciju u odnosu na objekt, te na taj naĉin imati i redundantni sustav navigacije

na podvodnom vozilu.

Kako bi se riješio problem mjerenja pomaka primijenjena je metodologija koja

ukljuĉuje ispravljanje distorzije slike, detekciju vrhova i pronalazak podudarnih

vrhova iz izdvojenih slika video okvira. Robusnim algoritmom je odreĊena

ravninska homografija kojom se uz mjerenje visine od dna odredio 3D pomak iz

ruĉno snimljenog gibanja. Na temelju raspregnutog modela ronilice u xy ravnini za

napredovanje i zanošenje projektirani su I-PD regulatori za dinamiĉko

pozicioniranje koji su primjenjeni na simulacijskom modelu.

Metodologija obrade slike je raĉunski zahtjevna što uzrokuje povećanje

vremenskog intervala za uzimanje slika iz video okvira. Jedna od mogućnosti

poboljšanja metode je smanjenje dimenzija slika za obradu, a druga je pronalazak

metoda za ubrzavanje obrade slike manje raĉunski zahtjevnim algoritmima Budući

rad bio bi usmjeren ka obradi video snimke u stvarnom vremenu, te primjeni i

implementaciji regulacije za dinamiĉko pozicioniranje podvodnih vozila. Mjerenja

relativnog pomaka moguće je iskoristiti i za izgradnju mozaika morskog dna,

odnosno mape prostorno povezanih slika koju je moguće koristi i za istraživanja u

biologiji i arheologiji.

62

7. Literatura

[1] HARRIS, C. G.; STEPHENS, M. J.: A combined corner and edge detector,

Proceedings Fourth Alvey Vision Conference, Manchester, pp 147-151,

1988.

[2] FARID, H.; SIMONCELLI, E. P.: Differentiation of Discrete Multidimensional

Signals, IEEE Transactions on Image Processing, 13(4), pp 496-508, 2004.

[3] GIACHETTI, A.: Matching techniques to compute image motion, Image and

Vision Computing, no. 18, pp.247–260, 2000.

[4] ASCHWANDEN, P.; GUGGENBUHL, W.: Experimental results from acomparative

study on correlation-type registration algorithms, Forster, Ruwiedel (Eds.),

Robust Computer Vision, Wichmann, pp. 268–287, 1992.

[5] BOUGUET, J. Y.: http://www.vision.caltech.edu/bouguetj/calib_doc/index.html

[6] HARTLEY, R.; ZISSERMAN, A.: Multiple View Geometry in Computer Vision,

Cambridge University Press, second edition, 2003.

[7] GOLUB, G. H.; VAN LOAN C. F.: Matrix Computations, The Johns Hopkins

University Press, second edition, 1989.

[8] FISHLER M. A.; BOLES R. C.: Random sample concensus: A paradigm for

model fitting with applications to image analysis and automated cartography,

Comm. Assoc. Comp, Mach., Vol. 24, No 6, pp 381-395, 1981.

[9] FERRINI, V. L.; SINGH, H.: FISH_ROCK : a tool for identifying and counting

benthic organisms in bottom photographs, 2006.

[10] PICAN, N.; TRUCCO, E. et al.: Texture analysis for seabed classification: co-

occurrence matrices vs. self-organizing maps, OCEANS '98 Conference

Proceedings, Vol. 1, pp 424-428, 1998.

[11] LUDVIGSEN, M.; SORTLAND, B.; JOHNSEN, G; SINGH, H.: Applications of geo-

referenced underwater photo mosaics in marine biology and archaeology,

Oceanography 20, Vol. 4, pp 140-149, 2007.

[12] WHITCOMB, L.; YOERGER, D.; SINGH, H.: Advances in Doppler based

navigation of underwater robotic vehicles

63

[13] GARCIA, R.; CUFI, X.; BATTLE, J.: Detection of matchings in a sequence of

underwater images through texture analysis, International Conference on

Image Processing, Vol.1, pp 361–364, 2001.

[14] FAUGERAS O.D.; LUONG Q. T.; MAYBANK S. J.: Camera self-calibration:

Theory and experiments, Lecture Notes in Computer Science, Vol 588, pp

321-334, 1992.

[15] ZHANG, Z.: Flexible Camera Calibration by Viewing a Plane from Unknown

Orientations, ICCV99

[16] HEIKKILA, J.; SILVEN, O.: A Four-step Camera Calibration Procedure with

Implicit Image Correction, CVPR97

[17] KOVESI, P. D.: MATLAB and Octave Functions for Computer Vision and

Image Processing, http://www.csse.uwa.edu.au/~pk/research/matlabfns/

[18] GARCIA, R.; CUFI, X..; RIDAO, P.: An Approach to Vision-Based Station

Keeping for an Unmanned Underwater Vehicle

[19] ZHANG, Z.: A New Multistage Approach to Motion and Structure Estimation:

From Essential Parameters to Euclidean Motion Via Fundamental Matrix,

INRIA, 1996.

[20] FOSSEN, T. I.: Guidance and Control of Ocean Vehicles, John Wiley & Sons,

New York, 1994.

[21] MIŠKOVIĆ, N.: Primjena vlastitih oscilacija u voĊenju i upravljanju plovilima,

doktorska disertacija, Zagreb, 2010.

[22] VUKIĆ, Z.; KULJAĈA, LJ.: Automatsko upravljanje - analiza linearnih sustava,

Kigen, Zagreb, 2005.

64

Naslov: Mjerenje i regulacija relativnog pomaka korištenjem kamere

Sažetak:

Rad opisuje metodu mjerenja relativnog pomaka podvodnog vozila pomoću

kamere koja je usmjerena prema prema morskom dnu. Izdvajanjem znaĉajki

morskog dna izmeĊu slika preuzetih iz video okvira raĉuna se pomak u xy ravnini.

Metoda ukljuĉuje ispravljanje slike, pronalazak interesnih toĉaka i njihovih

podudarnih parova. Kalibracijom dobiveni parametri, homografija podudarnih

parova toĉaka i poznata udaljenost od dna koriste se za mjerenje 3D pomaka.

Mjerenje pomaka može se koristiti za dinamiĉko pozicioniranje podvodnih vozila.

Reguliranjem napredovanja i zanošenja na simulacijskom modelu je omogućeno

držanje poĉetnog položaja.

Ključne riječi: mjerenje relativnog pomaka, regulacija relativnog pomaka,

dinamiĉko pozicioniranje, podvodna vozila, obrada slike, detektor vrhova, 2D

homografija

Title: Measuring and controlling relative motion using a camera

Abstract:

The paper describes a method for measuring and controlling relative motion in

underwater vehicles using a camera oriented towards the seabed. Recognizing

the same features between frames can be used to calculate the xy distance

moved. The method is based on correction of image distortion, finding points of

interest and their matched pairs. Intrinsic calibration parameters, homography

matrix and known distance from the seabed are used for measuring relative 3D

position. Measured relative motion can be used for dynamic positioning of

underwater vehicles. Station keeping is obtained by controlling the surge and sway

motions of simulated mathematical model of underwater vehicle.

Keywords: measuring relative motion, controlling relative motion, dynamic

positioning, underwater vehicle, image processing, corner detector, 2D

homography