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Diferenciação e Integração Numérica
Aula 4Métodos Numéricos Aplicados à
Engenharia
derivada
0
( ) ( )limx
dy f x x f x
dt x∆ →
+ ∆ −=∆
série de Taylor
Considerando… xi+1-xi=h
2 31 1 1 1
( )
1
´́ ( ) ´´ (́ )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ...
2! 3!
( )( )
!
i ii i i i i i i i i
nni
i i n
f x f xf x f x f x x x x x x x
f xx x R
n
+ + + +
+
′= + − + − + − +
+ − +
( )2 3
1
´´( ) ´´́ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ...
2! 3! !
nni i i
i i i n
f x f x f xf x f x f x h h h h R
n+ ′= + + + + + +
Sendo o resto dado por…
1)1(
)!1(
)( ++
+= n
n
n hn
fR
ξ)( 1+= n
n hOR
11
)1(
)()!1(
)( ++
+
−+
= nii
n
n xxn
fR
ξ
2
diferenciação numérica
Diferença finita Progressiva
Diferença finita Regressiva
Diferença finita Centrada
diferenciação numérica
)( 1+= nn hOR
1 1( ) ( )( ) i i
i
f x f x Rf x
h h+ −′ = +
1( ) ( )( ) ( )i i
i
f x f xf x O h
h+ −′ = +
1 1( ) ( ) ( )i i if x f x f x h R+ ′= + +
( )2 3
1
´ (́ ) ´́ ´( ) ( )( ) ( ) ( ) ...
2! 3! !
nni i i
i i i n
f x f x f xf x f x f x h h h h R
n+ ′= + + + + + +
Diferença finita progressiva de 1º ordem1( ) ( )i
ff x O h
h
∆′ = +
diferenciação numérica
21
´́ ( )( ) ( ) ( ) ...
2!i
i i i
f xf x f x f x h h− ′= − + −
1( ) ( )( ) i i i
i
f x f x ff x
h h−− ∇′ ≅ = Diferença finita regressiva de 1º ordem
( )Erro O h=
3
diferenciação numérica
2 31
( ) ( )( ) ( ) ( ) ...
2! 3!i i
i i i
f x f xf x f x f x h h h+
′′ ′′′′= + + +
2 31
( ) ( )( ) ( ) ( ) ...
2! 3!i i
i i i
f x f xf x f x f x h h h−
′′ ′′′′= − + − +
31 1
( )( ) ( ) 2 ( ) ...
3!i
i i i
f xf x f x f x h h+ −
′′′′− = + +
-
21 1( ) ( )( ) ( )
2i i
i
f x f xf x O h
h+ −−′ = − Diferença finita Centrada de 1º ordem
ordens superiores
22
( )( ) ( ) ( )(2 ) (2 ) ...
2!i
i i i
f xf x f x f x h h+
′′′= + + +
22 1( ) 2 ( ) ( ) ( ) ...i i i if x f x f x f x h+ + ′′− = − + +
2 12
( ) 2 ( ) ( )( ) ( )i i i
i
f x f x f xf x O h
h+ +− +′′ = −
21
( )( ) ( ) ( ) ...
2!i
i i i
f xf x f x f x h h+
′′′= + + +-2
Diferença finita progressiva de 2ª ordem
ordens superiores
2 12
( ) 2 ( ) ( )( ) ( )i i i
i
f x f x f xf x O h
h+ +− +′′ = − Diferença finita progressiva de 2ª ordem
1 22
( ) 2 ( ) ( )( ) ( )i i i
i
f x f x f xf x O h
h− −− +′′ = − Diferença finita regressiva de 2ª ordem
21 12
( ) 2 ( ) ( )( ) ( )i i i
i
f x f x f xf x O h
h+ −− +′′ = − Diferença finita centrada de 2ª ordem
1 1( ) ( ) ( ) ( )
( )
i i i i
i
f x f x f x f x
h hf xh
+ −− −−′′ ≅
A 2ª derivada como a “derivada de uma derivada”….
4
fórmulas mais exactas
• Podemos gerar fórmulas mais exactas utilizando termos adicionais da série de Taylor…
progressivas/forward
regressivas/backwards
5
centradas
integração
( )b
aI f x dx= ∫
métodos de cálculo sem computador
6
fórmulas de Newton-Cotes
• As fórmulas mais utilizadas para integração numérica
• Substituição de uma função complexa ou de um conjunto de pontos por uma função facilmente integrável
( ) ( )b b
na aI f x dx f x dx= ≅∫ ∫
10 1 1( ) n n
n n nf x a a x a x a x−−= + + + +L
Newton-Cotes
22 0 1 2( )f x a a x a x= + +1 0 1( )f x a a x= +
7
fórmula dos trapézios• É a fórmula de Newton-Cotes
mais simples – polinómio de 1ª ordem
• A área abaixo da linha recta é uma estimativa do integral
• Estimativa do erro
∫∫ ≅=b
a
b
a
dxxfdxxfI )()( 1
2
)()()(
bfafabI
+−=
31( )( )
12tE f b aξ′′= − −
8
aplicação múltipla da regra dos trapézios
01 2 1
( ) ( )( ) ( ) ... ( )
2 2n
n
f x f xI h f x f x f x −
= + + + +
∫∫∫−
+++=
==−=
n
n
x
x
x
x
x
x
n
dxxfdxxfdxxfI
xbxan
abh
1
2
1
1
0
)()()(
0
L
2
)()(
2
)()(
2
)()( 12110 nn xfxfh
xfxfh
xfxfhI
++++++= −L
fn
abE
fnif
a ′′−−=
′′≅′′∑
2
3
12
)(
)(ξQuando o número de intervalos duplica o erro fica quatro vezes menor
(se h for constante)
regras de Simpson
9
fórmula de Simpson
[ ]2
)()(4)(3
)())((
))(()(
))((
))(()(
))((
))((
)()(
210
21202
101
2101
200
2010
21
20
2
2
0
abhxfxfxf
hI
dxxfxxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxI
xbxa
dxxfdxxfI
x
x
b
a
b
a
−=++≅
−−−−+
−−−−+
−−−−=
==
≅=
∫
∫ ∫
bafab
Et pp ξξ )(2880
)( )4(5−−=
0 1 2( ) 4 ( ) ( )( )
6
f x f x f xI b a
+ +≅ −
aplicação múltipla da regra de Simpson 1/3
• A exactidão pode ser aumentada dividindo o intervalo de integração num número de segmentos iguais
• Permite obter resultados com boa exactidão e émelhor que a regra dos trapézios
• Utilização limitada a situações em que o intervalo é constante
• Só pode ser utilizado para um número par de segmentos (número ímpar de pontos)
aplicação múltipla da regra de Simpson 1/3
10
Simpson 3/8
[ ]
)(6480
5)(3
)(
)()(3)(3)(8
3
)()(
)4(
3210
3
ξfab
E
abh
xfxfxfxfh
I
dxxfdxxfI
t
b
a
b
a
−−=
−=
+++≅
≅= ∫ ∫
Simpson 3/8 Simpson 1/3 + 3/8
ruído…erro