Métodos Numéricos Computacionais Integração Numérica Parte II Regra 3/8 de Simpson Quadratura Gaussiana

Métodos Numéricos Computacionais

Integração NuméricaParte II

Regra 3/8 de SimpsonQuadratura Gaussiana

REGRA 3/8 DE SIMPSONA 2ª Regra de Simpson é obtida aproximando-se a

função por um polinômio interpolador de 3º grau , que interpola nos pontos:

segue que

)(3 xp

bhxxhxxhxxx 3 e 2 e e a 0302010

)(xf

)(

)()(

)()(

3231303

210

2321202

3101

312101

320

03'2010

3213

xfxxxxxxxxxxxx

xfxxxxxxxxxxxx

xfxxxxxxxxxxxx

xfxxxxxxxxxxxx

xp

REGRA 3/8 DE SIMPSON

Integrando

)()(3)(3)(

83

)()(

32108/3

8/38/38/333

0

xfxfxfxfhI

EIEdxxpdxxf

S

SSS

bx

ax

b

a

Regra 3/8 de Simpson

cfhE ivS

58/3 80

3 30 , onde xxc

REGRA 3/8 DE SIMPSON REPETIDA

Considerando todos subintervalos

Enfim, o erro cometido pela regra 3/8 de Simpson é

})()(3)(3)(

....)()(3)(3)(

)()(3)(3)({83)(

123

7654

3210

mmmm

b

a

xfxfxfxfxfxfxfxf

xfxfxfxfhdxxf

],[ onde 803

35

8/3 baccfhmE iiiv

SR

Neste caso temos m/3 subintervalos

REGRA 3/8 DE SIMPSON REPETIDA

Para a determinação da fórmula composta, deve-se subdividir o intervalo de integração [a, b] em n subintervalos iguais de amplitude h.

Fórmula composta:

onde .

nnn yyyyyyyyyyhI 126543210 33...2332338

3

nabh

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

SejamNote que qualquer polinômio de grau 3

é combinação das funções acima. Assim, impomos que a fórmula da quadratura Gaussiana seja exata para estes polinô-mios, segue:

33

2210 )(,)(,)(,1)( ttFttFttFtF

)()()()()( 33221103 tFatFatFatFatP o

Quadratura Gaussiana Veremos nesta aula a Regra ou Fórmula da

Quadratura de Gauss. As fórmulas de Newton-Cotes integram

polinômios interpoladores e os erros envolvem a (n+1)-ésima ou (n+2)-ésima derivadas. Assim, elas são exatas para polinômios de grau < n+1 ou <n+2, respectivamente.

A Fórmula da Quadratura de Gauss integra exatamente polinômios de grau<2n+2

Quadratura Gaussiana

Como nos Métodos de Newton-Cotes escrevemos uma integral como

onde os coeficientes e os pontos parai=0,1,2,..,n devem ser determinados de modo a obter a melhor precisão possível.

Característica: Partição não-regular

nn

b

axfAxfAxfAdxxfI ....)( 1100

iA ix


Note que o Método da Quadratura Gaussiana envolve a determinação de 2n+2 coeficientes e , para i=0,..,n. Como temos 2n+2 parâmetros a

ajustar, podemos esperar que este método ajuste exatamente polinômios de graus inferiores a 2n+1.

iA ix


Comecemos o desenvolvimento para dois pontos:

Por simplicidade tomemos o intervalo [-1,1]. Note que sempre é possível passar do intervalo [a,b] --> [-1,1] através da transformação:

dtabdttxdx

tabtabtx

)(21)(

1,1 para )(21)(

21)(

1100)( xfAxfAdxxfIb

a


Segue

onde os parâmetros devem ser determinados de modo a integral ser exata para

polinômios de graus inferiores a 3.

1100

1

1

1

1

1

1

)(

)(21)(

21)(

21)( onde

)()())(()(

tFAtFAdttFI

abtabfabtF

dttFdttxtxfdxxfIb

a

1010 ,,, ttAA


como esperado, a fórmula é exata para este polinômios:

)()( )()()()(

)()()()(

)()(

)()()(

131030

13103031210202

11101011010000

1

1 33

1

1 22

1

1 11

1

1 003

1

1

tPAtPAtFAtFAatFAtFAatFAtFAatFAtFAa

dttFadttFa

dttFadttFadttP

1100

1

1)( tFAtFAdttFI


Considerando

podemos determinar as incógnitas

através de

Que gera um sistema linear 4X4. Vejamos

3,2,1,0 para 1100

1

1 ktAtAdttI kkk

33

2210 )(,)(,)(,1)( ttFttFttFtF

1010 ,,, ttAA


Obtemos o sistema

03

3/22

01

20

311

300

311

300

1

1

3

201

200

201

200

1

1

2

11001

111

00

1

1

1

100

110

00

1

1

0

tAtAtAtAdttk

tAtAtAtAdttk

tAtAtAtAdttk

AAtAtAdttk


Resolvendo o sistema, obtemos

de modo que podemos escrever a Fórmu-la de Quadratura Gaussiana, que é exata para polinômios de graus inferiores a 3, como

3/3e1 1010 ttAA

3

333)(

1

1FFdttFIGauss


Para 3 pontos, a fórmula da quadratura gaussiana é exata para polinômios de

graus inferiores e iguais a 5. Então,

Analogamente, qualquer polinômio de grau 5 pode ser escrito em termos de

221100

1

1)( tFAtFAtFAdttFI

55

44

33

2210 )(,)(,)(,)(,)(,1)( ttFttFttFttFttFtF


Agora podemos determinar as incógnitas

através do sistema linear 6X6 abaixo:

Escrevendo explicitamente o sistema,

5,4,3,2,1,0 para 221100

1

1 ktAtAtAdttI kkkk

210210 ,,,,, tttAAA


05

5/24

03

3/22

01

20

522

511

500

522

511

500

1

1

5

421

411

400

422

411

400

1

1

4

322

311

300

322

311

300

1

1

3

221

211

200

222

211

200

1

1

2

2211001

221

111

00

1

1

1

2100

220

110

00

1

1

0

tAtAtAtAtAtAdttk

tAtAtAtAtAtAdttk

tAtAtAtAtAtAdttk

tAtAtAtAtAtAdttk

tAtAtAtAtAtAdttk

AAAtAtAtAdttk


Resolvendo o sistema, obtemos

de modo que podemos escrever a Fórmu-la de Quadratura Gaussiana, que é exata para polinômios de graus inferiores a 5, como

0e53,

98e

95

120120 tttAAA

5

3950

98

53

95)(

1

1FFFdttFIGauss


Exemplo 1: Calcule utilizando quadratura gaussiana para 2 e 3 pontos.

Solução: Temos no intervalo [1,3].Fazendo a mudança de variáveis

dxeI x33

1

xexf 3)(

2t3eF(t) e1)(

1,1 temos3,1 para

2)(21)(

21)(

dtdttxdx

tx

tabtabtx


Então, seguem os valores exato e apro-ximados para n=2 e n=3 pontos

1004.52953

983

953

53

950

98

53

95)(3:3n

9309.5133

33

33)(3:2n

1018.523 :Exato

253

2253

1

1

3

1

233

233

1

1

3

1

3

1

eee

FFFdttFIdxe

ee

FFdttFIdxe

dxeI

Gaussx

Gaussx

x


Exemplo 2: Calcule utilizando quadratura gaussiana para 2 pontos.

Solução: Temos no intervalo [0,10].Fazendo a mudança de variáveis

dxeI x10

0

xexf )(

5-5t-eF(t) e5)(

1,1 temos10,0 para

55)(21)(

21)(

dtdttxdx

tx

tabtabtx


Então, seguem os valores exato e aproximado para n=2 são:

O erro verdadeiro:

O Método do Trapézio necessitaria de n=16 pontos para atingir este erro. Através de Simpson 1/3 seriam necessários n=9 pontos.

606102.055

335

335)(5:2n

999955.0 :Exato

533

5533

5

1

1

10

0

10

0

ee

FFdttFIdxe

dxeI

Gaussx

x

393853.0606102.0999955.0Erro

Quadratura GaussianaConclusão 1: As fórmulas da quadratura gaussiana

produzem melhores resultados que aquelas dos métodos de Newton-Cotes com partição regulares (trapézio, Simpson,...)

Conclusão 2: Quando aumentamos o número de pontos todos métodos melhoram a precisão.

Conclusão 3: Se o intervalo for grande, com no caso Trapézio e Simpson Repetidas, podemos criar subintervalos e aplicar quadratura gaussiana em cada intervalo

Problema: Se não tivermos f(x) e sim uma tabela de dados experimentais, então o método da quadratura gaussiana não é aplicável.


Exercício 1 : Considere a integral

a) Estime I por Trapézio quando h=1/4.b) Estime I por Simpson 1/3 quando h=1/4.c) Estime I por Simpson 3/8 quando h=1/4.d) Estime I por Gauss quando n=2 e n=3.

Dado:

dxeI x21

0

74682.021

0 dxeI x


Exercício 2: Dada a função , definida através da tabela abaixo calcular aplicando:

A 1ª Regra de Simpson. A 2ª Regra de Simpson.

xfy

6,1

1

dxxfI

xi yi

1,0 0,0991,1 0,1311,2 0,1631,3 0,1941,4 0,2241,5 0,2531,6 0,281


Exercício 3 - Determinar o valor da integral utilizando a 2ª Regra de Simpson com n = 6 e a

Quadratura Gaussiana com 4 pontos. Compare os valores encontrados.

27

1

22

2

1dx

xxI

Documents

Métodos Numéricos Computacionais Integração Numérica Parte II Regra 3/8 de Simpson Quadratura Gaussiana