MODUL 18MODEL STOKHASTIK DAN IMPLEMENTASINYAModel Stokastik

Model stokastik mengandung unsur acak atau distribusi peluang, sehingga tidak hanya membuat penaksiran keluaran yang definitif tapi juga disertai dengan deviasi (variance).Semakin besar ketidak-pastian akan tingkah-laku suatu sistem, semakin penting penerapan model stokastik. Proses seperti kelahiran, migrasi, kematian, dan konversi kimia cenderung terjadi secara acak. Tingkah-laku sistem dapat menjadi deterministik apabila kuantitas besar dilibatkan, artinya variasi yang sangat kecil tidak begitu berarti dalam taksiran yang dihasilkan model. Kasus epidemiologi, dinamika populasi, pengendalian populasi kadangkadang didekati dengan model stokastik.

Model DeskriptifModel tanaman dalam penggunaannya dapat dibagi kepada dua bagian yaitu modeldeskriptif dan model eksplanatori. Suatu model deskriptif membatasi tingkah-laku atautabiat suatu sistem dalam suatu cara sederhana, dan mengandung sedikit, jika ada,mekanisme yang menyebabkan tingkah-laku tersebut. Pembentukan dan penggunaanAkan tetapi laju pertumbuhan tanaman tidak akan sama apabila keadaan tanah,pemeliharaan tanaman dan iklim berbeda. Perbedaan iklim saja dapat menghasilkanperbedaan pertumbuhan yang besar. Agar persamaan dapat meliput keadaan yang berbeda misalnya pertumbuhan tanaman pada musim tanam yang berbeda, titik awal dan maksimumdapat diadaptasikan. Tetapi penaksiran parameter demikian terlalu tidak tepat untuk studi produksi tanaman tertentu pada lahan dan musim tanam yang berbeda. Secara teori, konstanta dan persamaan yang dibutuhkan dapat dihasilkan dengan pelaksanaan Banyak percobaan sesuai dengan variasi lingkungan yang ingin diliput dengan tingkat akurasi yangdapat diterima. Tetapi sesungguhnya, pola pertumbuhan merupakan integrasi pengaruhdari banyak peubah yang sebagian bersifat konstan, seperti tekstur tanah, sedang yang lain seperti varietas dengan sifat-sifatnya dan pemeliharaan tanaman dapat terus berubah. Jadikuantifikasi semua peubah dengan cukup baik hampir tidak mungkin dengan pelaksanaan percobaan yang banyak. Karena itu model deskriptif bermanfaat hanya untuk keadaan dimana interpolasi (penyisipan) di antara observasi dicari dan tidak ada usaha untuk.mempelajari hal yang mendasari bentuk liku biomassa.model agak bersifat langsung dan sering terdiri dari satu atau lebih persamaan matematik. Suatu contoh persamaan demikian adalah yang diturunkan dari hasil pengamatan biomassatanaman dengan waktu

Model Eksplanatori

Suatu model eksplanatori terdiri dari deskripsi kuantitatif dari mekanisme dan proses yang menyebabkan tingkah-laku suatu sistem. Deskripsi ini merupakan pernyataan eksplisit (tegas) dari teori ilmiah dan hipotesis. Untuk menciptakan suatu model eksplanatori, suatu sistem dianalisis dan proses serta mekanismenya dikuantifikasi secara terpisah. Model dibangun dengan mengintegrasikan keseluruhan deskripsi dari sistem tersebut. Dalam pertumbuhan tanaman, model eksplanatori mengandung deskripsi berbagai proses seperti fotosintesis, perluasan daun dan pembentukan anakan Jadi pertumbuhan merupakan integrasi atau resultante dari berbagai proses yang mendukungnya Pengaruh faktor lingkungan terhadap setiap proses harusdikuantifikasi seperti radiasi dan suhu. Status tanaman harus dipertimbangkan termasuk antara lain luas daun, fase perkembangan dan kandungan nitrogen. Laju pertumbuhan kemudian dihitung untuk setiap fase dari masa pertumbuhan yang tergantung pada statustanaman aktual, tanah dan iklim yang berlaku. Semua faktor penting dapat dijelaskandengan cara ini asalkan ada cukup teori dan data untuk itu. Laju pertumbuhan pada suatu fase dapat dijelaskan dari segi proses fisiologi, fisika dan kimia serta pengaruh faktor lingkungan.

Dalam simulasi model eksplanatori dari sistem dinamis, laju perubahan dapat ditaksir cukup dekat dengan membuat laju proses konstan dalam jangka waktu yang pendek, dan ini dikenal sebagai pendekatan peubah keadaan. Interval waktu yang cukup ideal dalam simulasi tanaman adalah satu hari, dan biomassa yang dibentuk dalam jangka waktu tersebut adalah perkalian laju pertumbuhan dengan waktu. Ini ditambahkan ke biomassa sebelumnya, dan laju pertumbuhan berikutnya dihitung yang dapat berbeda akibat perbedaan dari faktor lingkungan dan keadaan tanaman. Jumlah proses yang sangat penting dalam simulasi pertumbuhan tanaman relatif terbatas, dan kuantifikasi proses tersebut secara rinci tidak perlu. Misalnya, perhitungan efisiensi sintesis setiap senyawa biokimia dalam biomassa biasanya tidak perlu, dan rata-rata dari setiap kelompok biasanya cukup. Aspek dinamis dari fisiologi sel dalam model pertumbuhan tanaman juga dianggap tidak perlu. Model eksplanatori dapat bermanfaat dari segi praktis sekalipun pengetahuan tentang proses tidak mencapai tingkat sel. Suatu hal yang perlu diingat adalah bahwa semakin rinci yang diinginkan dari model, semakin rinci yang harus dikandung model tersebut dan semakin banyak proses eksplanatori yang harus dilibatkan. Perkembangan model eksplanatori dalam beberapa dekade belakangan ini relatif lambat karena antara lain beberapa topik esensial tidak cukup difahami. Sekalipun model tersebut kaya informasi, tetapi susah dipakai (unwieldy). Penggunaanya sering hanya untuk menguji kembali hipotesis dan acuan dalam perbandingan model. Model tersebut jarang digunakan kecuali oleh ilmuan pembuatnya. Model eksplanatori, yang dapat dibagi menjadi tiga bentuk (preliminari, komphrehensif dan iktisar) berkembang secara perlahan. Model preliminari mempunyai struktur yang sederhana karena pemahaman pada tingkat eksplanatori masih samar. Model komphrehensif mewakili suatu sistem dengan unsur esensil difahami secara seksama dan banyak pengetahuan ini disatukan. Model ikhtisar merupakan abstraksi dari model komphrehensif, dan banyak digunakan belakangan ini dimana musim atau lengas tanah membatasi hasil.

Model Stokastik adalah model matematika dimana gejala-gejala dapat diukur dengan derajat kepastian yang tidak stabil. Pada Model Stokastik disebut juga model probabilistik peluang dari masing-masing kejadian benar-benar di hitung, menyusun sebuah model stokastik cenderung lebih sulit dari model deterministik. Kaidah-kaidah peluang adalah alat matematika yang cukup vital dalam menyusun model stokastik. Contoh model stokastik adalah teori antrian dan teori permainan, dimana ini merupakan pengembangan dari riset operasi modern.

Klasifikasi Model

klasifikasi model adalah management science terbagidalam MODEL DETERMINISTIK dan MODELSTOKASTIK(probablistik)pada model deterministiksemua parameter dapatditentukansecarapasif.pada model stokastikadabeberapaatausemua parameter dalam model terbentukvariabelraindom.Deterministik:

Linear programming

Metodetransportasi

Model persediaan

Metodepenugasan

Model antrian

Manajemenproyek CPM dan PERT2. stokastik

Crool programming

Rantaimarkov

Dynamie programming

Integer programming

Teori keputusan

Network model

Simulasi

Implementasi Model Stokhastik dalam Transportasi

1.Pendahuluan

Kebutuhan transportasi cenderung terus meningkat, hal ini terjadi di Indonesia, terutama diwilayah perkotaan. Transportasi akan menjadi kebutuhan semakin banyak orang, sejalandengan pertumbuhan penduduk dan jumlah kendaraan. Di wilayah perkotaan intensitastransportasi relatif lebih tinggi dibandingkan daerah luar kota dengan kerapatan pendudukyang rendah.Kajian sistem transportasi kota, akan memerlukan pemodelan untuk memperkirakan gerakan.Gerakan yang dimaksud adalah gerakan orang atau barang dengan menggunakan kendaraandiatas jalan dari asal ke tujuan. Pada suatu interval waktu kejadian gerakan yang telahdiperkirakan itu berlangsung serentak dimasing-masing ruas pada jaringan jalan.Pada interval waktu itu gerakan yang terjadi di ruas jalan dapat dinyatakan dengan besaranvolume ruas. Pada konteks waktu masa datang volume lalulintas tersebut, didapat dari hasilperkiraan melalui pemodelan termasuk model pembebanan lalulintas. Perkiraan volumelalulintas ini berguna sekali untuk perencanaan sistem jaringan jalan dan manajemenlalulintas. Perencanaan bersifat antisipasi terhadap kemungkinan yang mungkin terjadi dimasa datang, baik jangka pendek, jangka menengah maupun jangka panjang. Pengembanganriset pemodelan pemilihan rute memegang peranan penting dalam pengembangan pemodelantransportasi untuk kepentingan perencanaan sistem transportasi yang efektif dan efisien.Dalam kajian sistem transportasi kota diperlukan penyusunan prosedur perhitungan untukmenganalisa hubungan antara kebutuhan transportasi dan penyediaan sistem transportasi.Kebutuhan transportasi yang dimaksud adalah jumlah gerakan orang atau barang denganmenggunakan kendaraan diatas jalan dari asal ke tujuan. Sedangkan penyediaan adalahpenambahan atau pengaturan pemakaian ruas jalan yang menyatu dalam jaringan jalan.Dari sisi kebutuhan akan diperlukan suatu perkiraan jumlah dan pola sebaran terhadap ruang.Hal ini akan termasuk sebaran perilaku. Sisi penyediaan menyangkut sifat fisik dan sebaranruang. Kajian dilakukan simultan dari dua sisi tersebut.Sebagai bagian detil dari pemodelan prosedur perhitungan kajian kebutuhan-penyediaantransportasi diatas adalah pemodelan biaya perjalanan. Biaya perjalanan sangat dipengaruhioleh persepsi masing-masing pelaku perjalanan. Diperlukan suatu kajian untuk mendapatkanrumusan biaya perjalanan yang dapat digunakan untuk kajian kebutuhan-sediaan dalam kajiansistem. Kajian rumusan biaya perjalanan akan lebih baik jika menyertakan faktor persepsiyang terjadi dalam kenyataan.

2.Model Stokastik Pemilihan Rute

Pada model pemilihan rute all-or-nothing, Pemakai jalan secara rasional memilih ruteterpendek yang meminimumkan hambatan transportasi (jarak, waktu, dan biaya). Semualalulintas antara zona asal dan tujuan menggunakan rute yang sama dengan anggapan bahwapemakai jalan mengetahui rute yang tercepat tersebut. Dengan kata lain, pemakai jalanmengetahui rute terpendek yang meminimumkan waktu tempuh dan semuanya menggunakanrute tersebut, tidak ada yang menggunakan rute lain. Pembebanan all-or-nothing

Pemilihan rute dapat dimodelkan dengan mempertimbangkan efek stokastik, yaitu adanyakemungkinan perbedaan persepsi diantara para pelaku perjalanan. Ortuzar (1994) menuliskanbahwa teknik simulasi Monte Carlo dapat merepresentasikan keragaman persepsi pengemuditentang biaya (waktu tempuh) per ruas-ruas jalan. Kemudian pengembangan model Burreldijabarkan seperti dijelaskan kembali dalam Tamin (2000). Dasar pengembangan modelBurrell diawali dengan usaha membedakan antara biaya objektif yang ditentukan pengamatatau pemodel, dan biaya persepsi yang diperkirakan oleh kelompok pelaku perjalanan (padamodelall-or-nothinghanya satu persepsi, tidak ada sebaran persepsi), dengan asumsi adaperilaku sebaran persepsi.3.Pengembangan Model Stokastik Pemilihan RuteModel pemilihan rute yang mempertimbangkan adanya perbedaan persepsi biaya perjalanandapat dibentuk dengan menggunakan suatu sebaran untuk membangkitkan niali persepsi biayadari nilai objektif biaya yang diberlakukan sebagai rataan dari sebaran persepsi biaya. Bentuksebaran yang dapat digunakan bisa disesuaikan dengan pengamatan awal data persepsi, ataumelalui suatu asumsi misalnya digunakan sebaran merata atau sebaran normal (Kusdianet.al., 2005).Setiap pengguna jalan dimungkinan memiliki cara berbeda dalam cara pandang terhadapbiaya perjalanan antara tempat asal sampai tujuan. Diantara yang berbeda-beda ini laludikelompokan menjadi beberapa segmen, dimana dalam satu segmen persepsinya dianggapsama, sedangkan antar segmen berbeda. Pembentukan segmen ini akan berguna untuk tujuananalisa perkiraan jumlah beban lalulintas yang menggunakan masing-masing ruas padajaringan jalan.Tambahan pertimbangan yang menjadi kekhususan penelitian ini adalah bahwa polaperbedaan persepsi yang digambarkan oleh model distribusi persepsi, dpengaruhi oleh jarakperjalanan. Semakin dekat jarak akan semakin mudah diperkirakan biayanya dan hampirsemua orang memilih jalan dengan jarak tersebut. Semakin jauh jarak akan semakin tidakmudah memperkirakan besaran jarak tersebut atau biaya perjalanan yang diperklukan untukmenempuhnya, sehingga orang akan berbeda-beda perkiraannya. Perbedaan perkiraan inilahyang disebut perbedaan persepsi. Perbedaan persepsi berdasarkan jarak ini kemudiandimodelkan untuk memungkinkan analisis numerik. Cara yang digunakan adalah denganmemodelkannya dalam model matematis distribusi statistik dengan gradasi dispersi.Dispersi dikodekan sebagai penyimpangan dari suatu nilai rata-rata, dimana besarnyapenyimpangan diberikan dalam prosentase dari nilai rata-rata. Nilai rata-rata dari persepsibiaya perjalanan adalah nilai objektif atau nilai biaya perjalanan menurut sudut pandangpenganalisa.Biaya perjalanan objektif untuk tiap ruas jalan dihitung dengan cara menjumlahkan biayabahan bakar, biaya waktu dan ongkos tol. Untuk jalan yang bukan jalan to ongkos tol adalahnol. Yang dimaksud biaya waktu adalah waktu tempuh dikalikan dengan nilai waktu, dimananilai waktu adalah suatu faktor untuk mengkonversi waktu kedalam satuan biaya atau uang.3

Dalam penelitian ini nilai waktu didekati dengan nilai waktu kerja pemilik kendaraanpribadi pengguna jalan tol yang menjadi responden survey, yaitu jumlah rata-rata penghasilanper bulan dibagi jam kerja per bulan, lalu dirata-ratakan.Untuk analisis pemilihan rute dalam suatu jaringan, biaya perjalanan antar asal tujuandihitung melalui jumlah biaya ruas yang dilewati, dimana pada proses numerik dilakukanpembatasan jumlah ruas yang dilewati, proses pemilihan lintasan terbaik dilakukan denganmenggunakan algoritma Dijkstra (Bell dan Iida, 1997). Penggambaran adanya perbedaanpersepsi biaya perjalanan diproses melalui perbedaan persepsi biaya melintasi ruas jalan.Ruas-ruas jalan dalam jaringan dibagi menjadi kelompok pendek, sedang dan jauh. Perbedaanpersepsi dipolakan dari biaya objektif dan parameter sebaran dalam prosentase biaya objektif.Dalam hal ini biaya objektif dianggap sebagai rata-rata biaya persepsi. Untuk kelompok ruaspendek parameter dispersi diberi nilai nol, untuk ruas sedang parameter dispersi 15% daribiaya objektif dan untuk ruas panjang 30% dari biaya objektif. Model distribusi yangdigunakan adalah distribusi normal. Setiap distribusi persepsi dibagi menjadi empat segmen persepsi, masing-masing akan memiliki nilai biaya persepsi berbeda. Pencarian rute terpilihmenggunakan metoda minimisasi biaya perjalanan untuk setiap zona asal ke semua zonatujuan. Putaran hitungan pencarian rute dilakukan per segmen persepsi. Lihat Gambar 1 danGambar 2.

Persepsi Biaya Perjalanan

Dari satu tempat asal ke berbagai/semua tempat tujuan dalam jaringan: hitung biayaperjalanan untuk masing-masing ruas, hitung biaya perjalanan termurah untuk setiappasangan asal tujuan, dengan anggapan persepsi biaya perjalanan sama (didekati denganbiaya perjalanan setiap ruas sama bagi semua orang, tidak ada sebaran persepsi)..

Perjalanan dari satu tempat asal ke berbagai/semua tempat tujuan dalam jaringan dibagi menjadi kelompok yaitu perjalanan pendek, perjalanan jarak jauh, dan perjalanan jarak jauh dengan cara: cari jarak terpendek atau biaya termurah, cari jarak terpanjang ataubiaya termahal, cari rentang atau interval antara biaya termurah dan termahal, bagi rentangmenjadi 3 bagian yang sama, tentukan batas kelompok perjalanan pendek yaitu jarakterpendek ditambah 1 bagian rentang, tentukan batas kelompok perjalanan sedang denganperjalanan panjang yaitu batas perjalanan pendek ditambah lagi 1 bagian interval.Sehingga terdapat 3 kondisi:1.

Jika biaya perjalanan lebih besar atau sama dengan biaya perjalanan terpendek dan lebihkecil dari biaya perjalanan terpendek ditambah satu bagian interval maka perjalanan akantermasuk pada perjalanan pendek. Jarak atau biaya perjalanannya mudah diperkirakanbagi semua orang, persepsi semua orang tentang jarak terpendek atau biaya termurahcenderung sama tanpa sebaran.

Jika biaya perjalanan lebih besar atau sama dengan biaya perjalanan terpendek ditambahsatu bagian interval dan lebih kecil dari biaya perjalanan termurah ditambah dua bagianinterval, maka perjalanan akan termasuk pada perjalanan menengah. Perkiraan biayaperjalanan dan biaya termurah bagi para pelaku perjalanan berbeda. Untuk kelompok inidimisalkan mengikuti suatu sebaran dengan paramater dispersi yang lebih kecil darikelompok perjalanan jarak jauh. Misalkan dispersi 15% dari nilai rataan, dengan sebarannormal..

Jika biaya perjalanan lebih besar atau sama dengan biaya perjalanan termurah ditambahdua bagian interval dan lebih kecil dari biaya perjalanan terpanjang, maka perjalanan akantermasuk pada perjalanan panjang atau mahal. Semakin jauh jarak perjalanan akansemakin menyebar persepsi tentang biaya perjalanan dan biaya termurah antar asal-tujuan.Untuk kelompok perjalanan jauh, persepsi biaya perjalanan dimisalkan mengikuti sebarannormal dengan dispersi lebih besar dari kelompok perjalanan menengah, misalkan 30%dari nilai rataan.Penggunaan distribusi normal standar (dengan rataan) =0 dan deviasi standar untukmembangkitkan sebaran biaya persepsi perjalanan dari rataan biaya persepsi perjalanan yangtelah tertentu, dapat dilakukan melalui transformasi

,

Tahap awal implementasi model adalah mengkodekan algoritma kedalam program komputer,penelitian ini menggunakan pengkodean dengan bahasa FORTRAN. Tahap berkutnyadilakukan percobaan model pemilihan rute stokastik dengan sebaran persepsi biaya perjalananmempertimbangkan jarak perjalanan, untuk mengetahui pola pemilihan rute pada jaringanjalan contoh seperti pada

Dengan menganggap persepsi biaya perjalanan sama untuk semua pengguna jalan dalam memandang seluruh ruas dalam jaringan tanpa melihat perbedaan panjang ruas, pola hasil rutepilihan dengan menggunakan algoritma Dijkstra. Denganpembagian 4 segmen persepsi pada model pemilihan rute stokastik yang dikembangkan,dimana biaya persepsi perjalanan dibangkitkan dengan sebaran berbeda untuk kelompokpanjang ruas pendek, sedang dan panjang, sementara untuk pencarian rute biaya minimummenggunakan algoritma yang sama yaitu algoritma Dijkstra, dihasilkan masing-masing 4 polarute pilihan untuk setiap perjalanan dari satu zona asal ke semua zona tujuan. (Pada modelpersepsi biaya sama hanya ada 1 pola rute pilihan untuk setiap perjalanan dari satu zona asalke semua zona tujuan). Pola-pola rute pilihan hasil percobaan dengan model stokastikpemilihan rute berdasarkan jarak perjalanan. SOAL LATIHAN

Jawab:

Misalkan N(t) adalah variabel random yang menyatakan banyaknya pelanggan yang datang pada selang waktu (0, t]. Proses stokastik {N(t), t 0} adalah proses Poisson dengan rate (laju) = 3.

a. Nilai harapan jumlah pelanggan yang datang antara pukul 08.00 dan 10.00

E[N(10 8)]=E[N(2)]=3.2 = 6 pelanggan

b. P(S7 > 2) = P(N(2) < 7) = Manajemen Inventori dan Logistik

Hartri Putranto, SE. MM.Pusat Bahan Ajar dan ElearningUniversitas Mercu Buana

131