Model suživota gdje jedna Model suživota gdje jedna veličina ometa druguveličina ometa drugu

SEMINARSKI RADSEMINARSKI RAD

Petar TurinskiPetar Turinski

Zagreb, ožujak 2010.

SadržajSadržaj

• Dinamički sustaviDinamički sustavi

• Model suživota gdje jedna veličina Model suživota gdje jedna veličina ometa druguometa drugu

• Istraživački dioIstraživački dio

Dinamički sustaviDinamički sustavi

• Govore o međusobnoj zavisnosti Govore o međusobnoj zavisnosti sustava varijabli i njihovim sustava varijabli i njihovim promjenama u nekom prostoru u promjenama u nekom prostoru u ovisnosti o vremenuovisnosti o vremenu

• Opisuju se diferencijalnim i Opisuju se diferencijalnim i diferencijskim jednadžbamadiferencijskim jednadžbama

• Cilj nije pronaći rješenja nego Cilj nije pronaći rješenja nego kvalitativno opisati sustavkvalitativno opisati sustav

• Trajektorije – život dinamičkog sustavaTrajektorije – život dinamičkog sustava• Linearni i nelinearni dinamički sustaviLinearni i nelinearni dinamički sustavi

Model suživota gdje jedna Model suživota gdje jedna veličina ometa druguveličina ometa drugu

• Varijable Varijable xx, , yy i i tt

• Nosivi kapacitetiNosivi kapaciteti

• Logistička jednadžba za razvoj varijable Logistička jednadžba za razvoj varijable xx : :

• Sigmoidalna krivuljaSigmoidalna krivulja

• Radi drugog pristupa tumačenju:Radi drugog pristupa tumačenju:

)K

1(ad

d'

xx

t

xx

Kaa

d

d'

xxx

t

xx

• Logistička jednadžba za razvoj Logistička jednadžba za razvoj varijable varijable yy bez prisutnosti varijable bez prisutnosti varijable xx : :

• Najjednostavniji model je da veličina Najjednostavniji model je da veličina xx nema drugog utjecaja na veličinu nema drugog utjecaja na veličinu yy osim što joj smanjuje kapacitetosim što joj smanjuje kapacitet za za neku funkciju od neku funkciju od xx, , f f ((x x ):):

)L

1( bd

d'

yy

t

yy

))(L

1( bd

d'

xf

yy

t

yy

• Najjednostavniji model je Najjednostavniji model je f f ((x x ) = ) = xx, ali , ali realno realno f f ((xx) = ) = cxcx, zato:, zato:

• Nelinearan sustav logističkih jednadžbi:Nelinearan sustav logističkih jednadžbi:

• Egzaktno rješavanje nije izgledno, zato Egzaktno rješavanje nije izgledno, zato se pristupa kvalitativnom opisu rješenjase pristupa kvalitativnom opisu rješenja

) cL

1(bd

d'

x

yy

t

yy

) cL

1(bd

d'

x

yy

t

yy

)

K1(a

d

d'

xx

t

xx

Primjeri modela u Primjeri modela u MathematiciMathematici

• Istraživanje utjecaja parametara Istraživanje utjecaja parametara sustava i početnih uvjeta na sudbinu sustava i početnih uvjeta na sudbinu dviju vrsta (agresori i žrtve)dviju vrsta (agresori i žrtve)

• Koeficijenti Koeficijenti aa i i b b

• Koeficijent Koeficijent c c

• Nosivi kapaciteti Nosivi kapaciteti K K i i LL

• Početni uvjeti, Početni uvjeti, xxoo i i yyoo

Primjer 1Primjer 1Početno stanje sustava - Početno stanje sustava - ravnotežaravnoteža

a : 0.1

b : 0.1

c : 0.1

K : 10

L : 11

fx_, y_ : a xt 1 xt Kgx_, y_ : b y t 1 y t L c xtx0 : 10

y0 : 10

tmax : 100

rjesenje : NDSolve x't fx, y, y't gx, y, x0 x0, y0 y0, x, y, t, 0, tmaxParametricPlot Evaluate xt, yt . rjesenje, t, 0, tmax, PlotRange All, AxesOrigin 0, 0velicinax : xt . Flattenrjesenje 1 velicinay : yt . Flattenrjesenje 2 Plot Evaluate velicinax, velicinay , t, 0, tmax, PlotRange All, AxesOrigin 0, 0

Primjer 2Primjer 2Utjecaj koeficijenta Utjecaj koeficijenta cc, odnosno , odnosno utjecaj napasnosti agresorautjecaj napasnosti agresora• a) a) cc=0,5=0,5

• b) b) cc=1=1

Primjer 3Primjer 3Utjecaj parametra Utjecaj parametra KK, odnosno , odnosno utjecaj kapaciteta agresorautjecaj kapaciteta agresora• a) a) KK=20=20

• b) b) KK=100=100

Primjer 4Primjer 4Utjecaj parametra Utjecaj parametra LL, odnosno , odnosno utjecaj kapaciteta žrtveutjecaj kapaciteta žrtve • a) a) LL=12=12

• b) b) LL=20=20

DigresijaDigresija • a) a) c c = 0,1 = 0,1 =>=> cc = 1 = 1

• b) b) cc = 1; = 1;

• K K = 10 = 10 =>=> K K = 20 ; = 20 ; L L = 20 = 20 =>=> L L = = 3030

Primjer 5Primjer 5Utjecaji koeficijenata Utjecaji koeficijenata aa i i bb, odnosno , odnosno intenziteta razmnožavanja pojedinih intenziteta razmnožavanja pojedinih

vrstavrsta • a) a) a a = 0,8= 0,8 b) b) bb=0.8=0.8

Primjer 6Primjer 6Utjecaj početnih uvjeta, Utjecaj početnih uvjeta, xxoo i i yyoo, , odnosno utjecaj početnog broja odnosno utjecaj početnog broja pojedinih vrstapojedinih vrsta• a) a) xxoo=1 =1

• b) b) yyoo=1=1

• početni uvjeti: početni uvjeti:

• xx00=3, =3, yy00=10=10 xx00=15, =15, yy00=5=5

• xx00=10, =10, yy00=20=20

ZAKLJUČAKZAKLJUČAK• Model je krajnje jednostavan i razumljivModel je krajnje jednostavan i razumljiv

• Pretpostavke modela:Pretpostavke modela:– dvije populacije različitih vrsta potpuno izolirane dvije populacije različitih vrsta potpuno izolirane

od ostatka svijetaod ostatka svijeta– međuodnos im je takav da jedna vrsta utječe na međuodnos im je takav da jedna vrsta utječe na

drugu redukcijom njenog nosivog kapaciteta, dok drugu redukcijom njenog nosivog kapaciteta, dok ova druga na prvu ne utječe uopćeova druga na prvu ne utječe uopće

• Omogućuje predviđanje ishoda ovisno o Omogućuje predviđanje ishoda ovisno o različitim faktorima kao što su početni broj različitim faktorima kao što su početni broj jedinki pojedine vrste, kapacitet svake vrste i jedinki pojedine vrste, kapacitet svake vrste i jačina utjecaja „agresivne“ vrste na ovu jačina utjecaja „agresivne“ vrste na ovu drugudrugu