Modelación explícita de embalse y acuífero

Haydeé Llanusa Ruiz

José Bienvenido Martinez Rodriguez

Instituto Superior Politécnico “José Antonio Echeverría", Cuba

Es necesario estudiar la interacción entre un embalse y un acuífero cuando en la superficie del terreno que cubre al acuífero se tiene un cuerpo de agua más o menos estable, como un embalse o una laguna, que mantiene una relación de intercambio de agua con aquel. La literatura científica y técnica sobre la modelación conjunta del agua superficial y Subterránea frecuentemente trabaja con mayor grado de detalle uno de los modelos y expresa el otro de una manera elemental. También se ha reportado la simulación del efecto de la interacción, de forma indirecta, a través de modelos separados de similar precisión, pero con los inconvenientes de la manipulación externa. Aquí de lo que se trata es de desarrollar los algoritmos necesarios para incluir explícitamente la simulación del embalse -con un grado equivalente de detalle- en el mismo sistema que simula al acuífero. De esta forma se logra un mayor acercamiento a la realidad, al simularse ambos siste- mas de forma sincrónica y con precisión equivalente.

Palabras clave: acuífero, embalse, simulación conjunta.

Introducción

La necesidad de cuantificar la interacción entre un em- balse y un acuífero se reconoce ampliamente (Sáenz, 1983) por su importancia capital en el manejo de los re- cursos. Sin embargo, en la literatura científica en general no se abordan en un solo modelo y de manera integral los complejos sistemas de recursos superficiales y sub- terráneos (Cruickshank, 1992). Lo mas común es desa- rrollar un modelo del acuífero y, paralelamente, correr un submodelo del embalse (Andreu, 1993). Este mismo en- foque se utiliza en Dilla et al. (1 988) y Dilla (1 donde se ratifica la necesidad de modelar ambos fenómenos, pero se reconoce el inconveniente de que el embalse queda submodelado. El enfoque contrario, submode- lando el acuífero, también ha sido empleado (Menéndez, 1996). Estrela (1993) sostiene que en ocasiones puede ser preferible el submodelo por razones de eficiencia fun- cional y computacional.

Si bien en la literatura aparecen numerosos trabajos que tratan el tema, algunos poseen un repunte más bien teórico como Bruch Chang y Yeh (I y Koussis

(1979). Otros lo abordan de manera indirecta, como Qazi y Danielson Smith Guymon y Welch Trilla y Estalrich (I Kansoh Hantush y Mariño

o de forma general, como Takahashi et a/.(1975), Allanach y Nickerson Widdowson et al. (1991) y Buras (1991). Pero aun los que lo acometen directamen- te, como Kasomekera y Luthin Anderson (1985) y Annable et a/. (I no llegan a presentar un modelo de simulación dinámica completamente simultáneo y capaz de resolver tanto tareas de diseño como de operación.

En un sistema de modelación matemática de acuíferos como AQÜIMPE (Martinez, 1989) se utiliza el método del elemento finito triangular cuadrático para la discretización de la región subterránea de estudio. En la superficie de esa región esta el cuerpo de agua del embalse abarcan- do una cierta extensión que deberá delimitarse mediante una parte de los triángulos empleados en la discretización general. Debe quedar claro que esos triángulos repre- sentan la parte del acuífero situada bajo el embalse y no al embalse mismo.

Por Io tanto, si se quiere lograr una simulación de la interacción entre el agua superficial (del embalse) y la

subterránea, habrá que modelar aparte, simultáneamen- te y dentro del mismo sistema, la ecuación de balance hídrico del embalse.

Por razones de espacio, el presente trabajo no puede abarcar todos los detalles del método empleado. Estos detalles pueden encontrarse en Llanusa (1997) y en Martinez y Llanusa como se ira indicando en el texto que sigue.

los valores de la cota del agua y la posición que ocupan respecto a los intervalos de tiempo definidos. El eje de abscisas se subdivide en unidades del intervalo de tiem- po At.

La curva continua ABCDE representa la variación de la h del acuífero; esta curva une arbitrariamente el punto A (estado inicial del acuífero) con los demás puntos cal- culados por AQÜIMPE (B, C, D, E) , los cuales correspon- den y se ubican al final de cada intervalo de tiempo. De acuerdo con la lógica de la discretización en el tiempo, esta curva puede aproximarse por los escalones repre- sentados en la ilustración

Como el embalse se resuelve primero, hay que su- poner que las cotas del acuífero no varían durante el tiem- po; por lo tanto, los cálculos sucesivos de la cota del agua en el embalse se sitúan en los puntos b, c, d , e de la ilustración siendo el punto a conocido por ser el es- tado inicial del embalse.

De esa manera, por ejemplo entre los puntos b y c se va produciendo una variación de la cota del agua en el embalse, mientras que la cota del acuífero no cambia. Acto seguido y con el resultado de recarga que resulta del calculo del embalse se resuelve el acuífero, cuya cota se mueve del punto B al punto C y así sucesivamente.

De este análisis se desprende una condición respec- to al tamaño del intervalo At. Como la recarga que resulta del cálculo del embalse influye en la variación posterior del acuífero, dicha variación tiene que ser pequeña, como para que sea valida la suposición de la constancia de las cotas del acuífero en cada At. Si esta variación resultara excesiva hay que reducir el tamaño del At para lograr la condición señalada.

Ecuación de recarga

En la monografía de Martínez -aunque no se dice explícitamente- las ecuaciones que dan la recarga se basan en que el acuífero se resuelve primero y, por tanto,

Discretización del tiempo

En la monografía que reseña la teoría básica del sistema AQÜIMPE (Martínez, 1989) se estudió el tema de la recar- ga desde un embalse y se plantearon ecuaciones para el calculo de la recarga (positiva o negativa) que se produ- ce en esta interacción.

Dado que no sería posible obtener una función analí- tica que describiera la variación de la recarga con el tiem- po y que permitiera calcular directamente la integral co- rrespondiente (ver ecuación más adelante) se vuelve necesario que en la ecuación de balance hídrico del em- balse también se haga la discretización en el tiempo y, en consecuencia, hay que resolver para cada tiempo, alter- nativamente, el sistema de ecuaciones que define las cargas piezométricas del acuífero y la ecuación de ba- lance del embalse (se sabe que las sucesivas soluciones de esta Última van produciendo tanto los valores de re- carga como los de la cota del agua en el embalse para cada tiempo).

AI arribar a la conclusión de que no es posible resol- ver simultáneamente las ecuaciones del acuífero y del embalse, se plantea la cuestión de saber cuál debe re- solverse primero: el acuífero o el embalse. Cuando se decida sobre esto, hay que tener en cuenta que la solu- ción alternativa de ecuaciones obliga a admitir la hipóte- sis de que las cotas del agua del que se resuelva en se- gundo lugar se mantienen constantes durante la resolu- ción del que se aborde primero.

Con el fin de ilustrar gráficamente este punto supón- gase que:

El embalse se resuelve primero y el acuífero después (en cada tiempo).

Las cotas del agua del acuífero se pueden represen- tar con un solo valor de h.

Bajo estas hipótesis, en la ilustración I se representa la variación de h en el tiempo t tanto para el acuífero como para el embalse. En esta ilustración sólo interesa obser- var el aspecto referido a la discretización en tiempo de

hay que admitir que la cota del embalse es la que se mantiene constante. Esto podría ser aceptable en el caso de que se utilizaran intervalos de tiempo pequeños (se- gundos), pero en la práctica de la simulación de acuíferos, el intervalo de tiempo es mayor (días, meses) y no cabe duda que la velocidad de respuesta de un acuífero es mucho más lenta que la de un embalse.

Sobre esta base es lógico entonces decidir que el embalse se resuelva primero, tal como se supuso en la explicación de la ilustración I y, en consecuencia, las ecuaciones de la monografía de Martínez (1989) no se aplican de la forma prevista entonces y las que resultan de este nuevo enfoque se simplifican considerablemen- te, como se verá en lo que sigue.

A los efectos del acuífero, la simulación se logra como se muestra en la ilustración en donde se acepta que el flujo es vertical.

La integral del flujo exterior en el método del elemento finito mediante la aproximación de Galerkin (Martínez, ver ecuación 23) se expresa por la ecuación:

donde:

= recarga total = función de forma. = lámina de recarga (flujo exterior).

dxdy = diferencial de área en un elemento finito. ei = elemento finito (triángulo j).

y aceptando que la recarga -calculada por la ecuación del embalse- se produce de manera uniforme en el in- tervalo, se puede hacer:

de donde (Martínez, ver ecuaciones y

en la cual:

= vector de recarga del triángulo en cada uno de sus nodos

= area del triángulo j. = recarga en el triángulo j. = { O O O

vector de coeficientes numéricos (traspuesto),

La fórmula anterior transforma el valor de recarga de un triángulo en valores equivalentes de gastos pun- tuales en los nodos intermedios del triángulo cuadrático.

Por su parte, la ecuación del embalse no da la recar- ga correspondiente a cada triángulo, sino un valor global para todo el embalse, esto es, para todos los triángulos que él abarca. Dado este valor de recarga global, se dis- tribuye entre los triángulos y entonces es que se aplica la fórmula de arriba (Llanusa, 1997).

Determinación del valor de la recarga

Con referencia a la ilustración y aceptando el esquema de análisis que en ella se propone, el valor de la lámina de recarga en un punto sería:

donde:

= permeabilidad vertical del suelo semiconfinante. = gradiente hidráulico. = espesor de la capa de suelo.

h, h, = cotas del acuífero y embalse, respectivamente.

Introduciendo esto en la ecuación :

lo cual significa que:

son constantes al menos en el triángulo j. Para sacar h de la integral se puede tomar un valor constante igual al promedio en el triángulo.

El valor de h, varía en el tiempo, pero no en el espa- cio (al menos dentro de cada triángulo).

se obtiene de los datos topográficos del vaso del embal- se. Su derivada, como es sabido, es igual al área del es- pejo A,:

AI integrar, se obtiene:

despejando dS y sustituyéndolo en la ecuación 8:

donde se observa, por comparación con la expresión que:

la evaporación puede expresarse en función de la lámina de evaporación así:

Vale notar que al tomar aquí valor I no introdu-

ce aproximación ni error alguno. En efecto, si se integra sin sacar la h , se obtiene la misma expresión de la página de la monografía de Martínez (1 989) y suman- do los gastos nodales para obtener el gasto total del trián- gulo va a resultar:

y la recarga, su vez, usando expresiones como la ecua- ción se puede formular:

donde la sumatoria en] recorre todos los triángulos aso- ciados con el embalse. Obsérvese que varios términos de la derecha de esta expresión tienen un subíndice lo que indica que pertenecen ese triángulo Y que su valor puede variar de un triángulo otro.

que da el mismo resultado que cuando se suman los gastos nodales de la ecuación La aproximación se in- troduce después, cuando a partir del gasto total en el triángulo se calculan los gastos nodales (Llanusa, 1997; Martinez y Llanusa, 1998). Kv

Ecuación de balance hídrico del embalse

La ecuación diferencial ordinaria clásica del cambio de volumen S de un embalse en el tiempo t se escribe:

Denominando Kc que tiene unidades de

trasmisividad, se puede escribir:

sustituyendo las ecuaciones y en la ecuación O:

donde los términos de la derecha se expresan en unida- des de gasto siendo Qe el escurrimiento de entra- da al embalse; E,,,, la entrega para usuario; Rc, la infiltra- ción o recarga que entra al embalse, y la evapora-

La función de variación del volumen almacenado en ción desde el espejo de agua. __

Los valores Kcj son constantes. Los valores Qe, E,,,, h, varían sólo con el tiempo y no dependen de h,. Los valo- res y A, dependen de y el valor de aunque simi- lar a Qe en que cambia sólo con el tiempo depende de h,, en el sentido de que sólo existe si el embalse tiene

el embalse S respecto a la cota h,:

agua. Si el embalse esta seco no hay agua que evaporar y, en ese caso, la lamina de evaporación toma valor nulo (no obstante, hay evaporación si hay entrada de agua).

Aunque quizás pudiera intentarse una solución analí- tica para la ecuación parece que es mas practico hacerlo por la vía numérica, ya que los valores de h,, h,, Lev pueden presentar discontinuidades y éstas pueden controlarse mejor si se trabaja con tiempos discretos.

Solución numérica de la ecuación del embalse

La solución de la ecuación por métodos numéricos se basa en la discretización de la variable independiente (el tiempo). Los intervalos de tiempo At ya vienen especifi- cados por el problema general (el del acuífero), pero al aplicar los métodos numéricos se requiere un paso de tiempo máximo para lograr convergencia y precisión. Como consecuencia, en el caso general, el intervalo At deberá subdividirse en subintervalos de modo que At = n donde n sera el número de subintervalos.

El método básico a emplear en la aproximación nu- mérica de la ecuación es el método del predictor-co- rrector de segundo orden (PCR2), que es suficientemen- te preciso y estable, además de que permite evaluar fá- cilmente el error de truncado. Este método requiere infor- mación de dos tiempos anteriores, por tanto necesita que se aplique algún otro método para la "arrancada" y aquí se ha escogido para ello un método de Rünge-Kutta de segundo orden (RK2), con iteración de las pendientes (McCracken y Dorn, 1975).

Para mantener la convergencia, estabilidad y preci- sión de la solución numérica, se definen las condiciones que limitan el tamaño del subintervalo Hay que verificar estas condiciones dinámicamente en cada paso de tiem- po, rectificando el tamaño si fuera necesario (Llanusa, 1997).

AI especificar la curva cota-volumen del embalse debe incluirse la cota de volumen cero, la del embalse lleno hNAN y la inicial h,,,. Opcionalmente se especifica la cota del nivel muerto h,,,.

En el calculo de la recarga hay que tener en cuenta los casos particulares extremos que pueden presentarse según la relación entre la cota del agua del embalse y la del acuífero.

También hay que prever casos particulares extremos cuando el embalse se llena o se vacía en relación con el subintervalo el cual deberá fraccionarse en dos partes para precisar el instante en que ocurre el llenado o vacia- do (Llanusa, 1997; Martínez y Llanusa, 1998).

Una vez calculada la ecuación del embalse, se tiene el valor de la recarga total para ese tiempo. Su distribu- ción entre los triángulos se realiza manteniendo la misma

proporción para cada triángulo que se deriva de la ecua- ción Sumando dicha ecuación en todos los triángulos del embalse se obtiene el total y la proporción corres- pondiente a cada triángulo.

Por Último, todos estos cálculos se han incorporado al sistema computacional AQÜIMPE (Martínez y Llanusa,

con su correspondiente puesta a punto y aplicación.

Aplicación

Con el propósito de validar la nueva versión del progra- ma AQÜIMPE, que incluye la simulación de la interacción embalse-acuífero, se desarrollaron diferentes trabajos por Álvarez y Mamadou Cruz y Fernández Fernández y Mesa Severin Herrera y Fernández Álvarez y Ngarukiyinka y Kebbé

cada uno de los cuales permitió avanzar en los distintos aspectos de la puesta a punto del algoritmo concebido.

Posteriormente se hicieron aplicaciones en un mode- lo hipotético y un modelo real.

Modelo hipotético

El modelo abarca una superficie de ha, siendo discretizada el area en triángulos con un total de nodos. Se ubicó un embalse en el centro del modelo, abarcando cuarenta hectáreas correspondientes a los triángulos siete y ocho (ilustración 3).

La capa semiconfinante ubicada entre el fondo del embalse y el techo del acuífero tiene un espesor de diez metros y una permeabilidad vertical Kv de m/d. Los nodos del contorno oeste se consideraron como con- tornos de carga conocida variable en el tiempo y los nodos del contorno este como nodos de carga fija. Los límites norte y sur se tomaron como contornos impermeables.

Se construyó la curva característica del embalse, con- siderandolo de paredes rectas. El acuífero tiene una conductividad hidráulica de m/d y una porosidad de

En el cuadro se recogen las características de algu- nas corridas realizadas a manera de ejemplo y que per- mitieron poner a prueba el algoritmo y los ajustes realiza- dos en el programa con el nuevo módulo que se incluyó. Como puede observarse, se hicieron variaciones en los valores de escurrimiento, evaporación, entrega y estado inicial.

Los cálculos de forma detallada -comparando los resultados del modelo con los cálculos realizados ma- nualmente- pueden verse en el trabajo de Ngarukiyinka y Kebbé (1996). En todos los casos se reproducen exac- tamente los valores esperados.

Modelo real

También se hizo una aplicación a un caso de estudio de un acuífero real (Moussa, donde se tienen las ob- servaciones de los niveles del acuífero y del embalse para un periodo de tiempo común. De esta forma, el proceso de calibración del acuífero reviste una mayor compleji- dad, porque no sólo es necesario reproducir los mapas de hidroisohipsas observados, sino también la secuen- cia de niveles del embalse.

La cuenca Vento-Almendares en la provincia Habana presenta una forma irregular, ocupando un area total de

km2; su configuración es casi elíptica, siendo una estructura cerrada de rocas carsificadas con surgencia

de manantiales. La atraviesa el río Almendares, que des- emboca en la costa norte y cuyas aguas han sido inter- ceptadas por la presa Ejercito Rebelde, que abarca un area de embalse de km2 para la cota m, la cual regula las avenidas y recarga al acuífero.

La cuenca Vento esta representada por una depre- sión que corresponde con la cuenca del escurrimiento superficial del río Almendares. El embalse Ejército Rebel- de, dado el carácter cársico de su vaso, presenta una relación directa con las aguas subterráneas. Se decidió escoger como periodo para la simulación a partir de no- viembre de hasta abril de El periodo de cali- bración se subdividió en seis intervalos de tiempo (tri- mestres). Los valores de la transmisividad se calcularon en un intervalo entre m2/d y m2/d o mayores, y los de almacenamiento desde hasta res- pectivamente.

Para modelar la interacción entre el embalse y el acuí- fero es necesario estimar el espesor de la capa semicon- finante, así como su conductividad vertical. Revisando la información de ambas cuencas, se comenzó la calibra- ción empleando espesores de la capa semiconfinante de cinco a seis metros, y valores de permeabilidad vertical entre m/d y m/d. Luego de varias corridas donde se fueron variando los datos para simular el embalse, se obtuvo la que se presenta en el cuadro Puede con- cluirse que se lograron reproducir los niveles del embal- se con un espesor de cinco metros y una permeabilidad vertical de m/d. Se estimó un valor promedio de re- carga de hectómetros cúbicos por mes.

En este trabajo de Moussa 997) se reporta una bas- tante buena aproximación del trabajo del embalse, pero todavía se requiere profundizar más en la calibración con- junta por lo dicho anteriormente. No se observan proble- mas con la factibilidad computacional ni consumos ex- cesivos de tiempo de máquina. En una PC Pentium cada tiempo demora unos dos o tres segundos (acuífero y embalse).

Conclusiones

La modelación explícita del embalse en el mismo siste- ma computacional que simula al acuífero puede realizar- se con un grado de detalle equivalente sin necesidad de simplificaciones excesivas (ilustración 4).

Esta modelación resulta factible y funcional. En un sis- tema como AQÜIMPE -basado en computadoras per- sonales- se obtienen soluciones rápidas y eficientes.

Las aplicaciones referidas confirman la validez del tra- tamiento teórico presentado en este trabajo, así como las ventajas que se derivan de la simulación conjunta (ex- plícita y simultánea) del embalse y el acuífero tanto en cuanto a obtener un mayor acercamiento a la realidad como en la comodidad del trabajo computacional. Hasta donde los autores conocen, esta es la primera vez que se reporta en la literatura la simulación dinámica simultá- nea de un acuífero y un embalse.

Nota

La monografía sobre la teoría básica del sistema AQÜIMPE (Martínez, 1989) se encuentra a disposición de quien la solicite a través del autor en la siguiente dirección: José Bienvenido Martínez Rodriguez Centro de Investigaciones Hidráulicas (CIH) Instituto Superior Politécnico “José Antonio Echeverría" (ISPJAE) Marianao, Habana, Cuba Correo electrónico: bienvenido@cih.ispjae.edu.cu

Recibido: 05/12/2000 Aprobado:

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pp.

Abstract

Llanusa Ruiz, H. & J.B. Martínez Rodríguez, "Explicit Modeling of a Reservoir and an Aquifer", Hydraulic Engineering in Mexico (in Spanish), vol. no. pages October-December,

The need to study the interactions between a reservoir and an aquifer arises when a more or less stable body of water, such as a reservoir or lake, is located in the ground surface covering the aquifer and maintains a water interchange with the aquifer. Scientific and technical literature about the joint modeling ofsurface and groundwater frequently represents one of the models in a very thorough way, while the other is expressed in an elementary fashion. The simulation of the interaction effect by means of separate detailed models by an indirect process has also been reported, but this has the associated inconvenience of an external handling of the results. The aim of this paper is to develop appropriate algorithms for the explicit introduction of the reservoir simulation, with equivalent degree of precision, into the same software system that simulates the aquifer. In this way, a better approach to reality is attained, since both systems are simultaneously simulated with a similar precision.

Keywords: aquifer, reservoir, joint simulation.

Dirección institucional de los autores:

Haydeé Llanusa Ruiz José Bienvenido Martínez Rodríguez

Centro de Investigaciones Hidráulicas (CIH) Instituto Superior Politécnico “José Antonio Echeverría" (ISPJAE) Matianao, La Habana, Cuba Correo electrónico: bienvenido@cih.ispjae.edu.cu