Modelado y Control de un UAV

8/16/2019 Modelado y Control de un UAV

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DISEÑO Y SIMULACIÓN DE UN SISTEMA DE CONTROL PARA UN VEHÍCULO AÉREO NOTRIPULADO (UAV)

OMENDEY DE JESÚS SANCHEZ ALARCÓNJUAN SEBASTIÁN MOLINA GÓMEZ

HÉCTOR ANTONIO BOTERO

PRÁCTICA ACADÉMICA ESPECIAL (PAE)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIASEDE MEDELLÍN

FACULTAD DE MINAS2016


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1. Introducción

La aviación civil se ha basado hasta ahora en la noción de que un piloto dirige la aeronavey frecuentemente, con pasajeros a bordo. El retirar el piloto plantea varios problemas,tanto técnicos como operacionales. Los sistemas de aeronaves no tripuladas (UAV), sonun nuevo componente del sistema aeronáutico y permiten disminuir gran parte lasdecisiones humanas que puedan generar error al momento de controlar la aeronave.

Su aplicación se aprecia mucho más en el ámbito militar para defensa y debido a esto,sectores de industria dedican esfuerzos para el perfeccionamiento de los elementos queforman parte de éste, como son la instrumentación para el guiado, navegación y control,comunicaciones, sistemas de alimentación, entre otros. También se observa interés enaplicaciones civiles, aunque todavía incipiente, ya que se deben vencer grandesobstáculos, que van desde lo técnico hasta lo legal, pero la variedad de aplicaciones,hace prever un notable y rápido progreso en un futuro cercano. Algunas aplicacionesciviles para los UAV son: Patrulla de frontera y costas, Obtención de datos para

Cartografía, monitorización de infraestructura energética, entre otros.Una revisión del estado del arte para el modelo del UAV se muestra en [1], [2], [4], endonde se observan modelos para los movimientos translacionales y rotacionales de unaforma muy completa, pero las dinámicas asociadas con las leyes aerodinámicas no seencuentran completamente explicadas, por tal motivo se usan las referencias anteriores,combinando lo mejor de cada modelo y de esta forma obtener un modelo más completo ycompacto que logre representar de la mejor manera la dinámica del UAV.

Con respecto al diseño de sistemas de control, existe mucha literatura a cerca dediferentes técnicas aplicadas a éste tipo de sistemas, pero pocas han satisfecho losdiferentes parámetros de diseño. Estrategias como controladores predictivos no lineales(NMPC) [6], pero debido a las grandes restricciones para ser aplicado por los altos costoscomputacionales y la gran no linealidad de los modelos, siendo éstos muy variablesdebido a las condiciones climáticas y constantes cambios de puntos de operación, no hansido implementados. Técnicas como controladores adaptables también se han diseñado yhan mostrado mejores resultados ya que son controladores que se adaptan y presentanrobustez a cambios en los modelos y parámetros de este. [5].

Por lo tanto, en este trabajo se muestra el modelamiento y diseño de sistema de controlpara una aeronave no tripulada (UAV) a pequeña escala. El modelo del sistema a partirde las leyes fenomenológicas como lo son las leyes de newton, entre otros. El

controlador diseñado es un Regulador Lineal Cuadrático con acción integral para lograrseguir referencias y eliminar el error en estado estacionario; debido a que el sistema tienevariables complicadas de medir, como las velocidades de translación lineal, se diseña unFiltro de Kalman lineal con ganancia constante, para obtener todos los estados delsistema. Al final se muestran los resultados obtenidos en simulación con buenas mejoraspara el seguimiento de trayectorias rectas para el UAV.


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Este trabajo está dividido de la siguiente manera: En la sección 2, se muestra todo elprocedimiento para la obtención del modelo no lineal del UAV y las simulaciones antecambios en las entradas del sistema. En la sección 3, se describe el procedimiento para eldiseño del controlador LQR con acción integral basado en el modelo linealizado delsistema. En la sección 4, se muestran los resultados del sistema de control y el análisis de

los resultados obtenidos, y por último, conclusiones y referencias bibliográficas.

2. Modelado del Sistema

El modelado de un avión completo está muy bien establecido y documentado en laliteratura, sin embargo existe cierta limitación en el modelado de pequeños vehículosaéreos no tripulados (UAV), [2]. En esta sección del artículo, se detallara la forma dellevar a cabo el proceso de modelado de un UAV, corroborando su fidelidad a la realidadmediante simulaciones computacionales.

Para modelar el sistema se utilizó la metodología descrita en [3], denominadaModelamiento Semifisico de Base Fenomenológica (MSBF); dicha metodología tienecomo base las leyes de conservación y transporte, aplicadas sobre la basa, la energía y lacantidad de movimiento. El proceso de modelado propone una serie de pasos, los cualesse explican a continuación:

2.1 Descripción del sistema:

Figura 1. Diseño del UAV, Fuerzas y Momentos [2]


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La Figura 1 muestra una aproximación del diseño físico y geométrico de un UAV, a su vezindica las dinámicas más significativas de éste (que serán descritas posteriormente); unadescripción breve del funcionamiento de dicho sistema, el cual se plantea inicialmente conseis grados de libertad (Movimientos traslacionales en los tres ejes coordenados ysus respectivos movimientos rotacionales) se describe a continuación:

El UAV cuenta con una hélice acoplada a un motor en su parte delantera, que se encargade proporcionar movimiento al vehículo; dispone también de tres superficies de control(alerones, elevador y timón), mediante las cuales se pueden manipular las dinámicasrotacionales y traslacionales.

2.2 Hipótesis de modelado

De tal forma que el desarrollo del modelo del UAV sea factible, se tienen en cuenta lassiguientes hipótesis:

El avión (UAV) se considera como un cuerpo rígido de seis grados de libertad.

Avión plano completamente simétrico respecto al plano XZ. Modelo de tierra plana y gravedad constante. No se considera la dinámica del viento.

2.3 Aplicación de principios de conservación y selección de ecuaciones de balance

Para comprender de mejor manera el comportamiento de la dinámica del UAV, se planteadividir categóricamente cada una de las dinámicas como se muestra en la Figura 2.


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Figura 2. Dinámicas Categorizadas

Este conjunto de ecuaciones, fueron determinadas mediante el uso de las leyes denewton, las leyes aerodinámicas y transformadas rotacionales de Euler; de tal forma quese pueda presentar un modelo compacto, claro y entendible. [1], [2], [4].

2.3.1 Ecuaciones de movimiento (Fuerzas):

̇ (1)̇ (2)̇ (3)Con y

Donde

, , Velocidades lineales del cuerpo. , , Velocidades angulares del cuerpo.


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, , Posiciones angulares del cuerpo. Dinámica de la presión.

2.3.2 Ecuaciones de momento:

Tomando el momento respecto al centro aerodinámico del avión, las velocidadesangulares se definen como:

̇ ̇

(4)̇ ̅

(5)

̇ ̇

(6)

Donde

Velocidad de rotación de la hélice del avión. , , , , Coeficientes de momentos de inerciales para el avión.

Al tratarse de un modelo para un UAV, es posible eliminar la dinámica de la velocidad derotación de la hélice sin que se afecte el comportamiento de este. [2]. Por lo tanto lasEcuaciones 5 y 6 se modifican de la siguiente manera:

̇ ̅ (5)̇ ̇

(6)

2.3.3 Ecuaciones de cinemática de rotación:

Este conjunto de ecuaciones define la cinemática de rotación del avión respecto a lasvelocidades angulares del cuerpo ̇ (7) ̇ (8)


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̇ (9)

2.3.4 Ecuaciones de navegación o traslación:

Las ecuaciones que describen el comportamiento traslacional del UAV pueden serexpresadas en términos de los ángulos de Euler ( ϕ, θ, ψ)

̇ (10)

̇ (11)

̇ (12)

Donde

, , Posiciones del avión en coordenadasgeográficas.

2.3.5 Ecuaciones de fuerzas aerodinámicas:

Las fuerzas aerodinámicas en cada uno de los ejes, quedan determinadas por la dinámicade la presión y el área de la superficie de las alas de la siguiente manera:

(13) (14) (15)

, , Son los coeficientes de fuerza aerodinámica en cada uno de los ejes. Y sondescritos a continuación:

(16) (17)


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(18)Donde los coeficientes de levantamiento y arrastre (Lift y Drag) y respectivamente,son función de coeficientes no dimensionales ( ) los cuales se determinan deforma experimental (túneles de viento, pruebas de vuelo) y están muy relacionados al

diseño geométrico del aeronave [2]. Estas relaciones son mostradas a continuación:

(19) (20)Con y un factor de eficiencia cercano a la unidad.

2.3.6 Ecuaciones de Momento Aerodinámico:

Los momentos aerodinámicos del cuerpo del avión respecto a cada uno de los ejes(), está dado respectivamente por las siguientes relaciones: (21) (22) (23)Donde los coeficientes adimensionales de momento , , están dados por: ( ) (24) ̅ (25) (26)De la misma forma que para las fuerzas aerodinámicas, los coeficientes sondeterminados de forma experimental y varían según la geometría del UAV.

2.3.7 Ecuaciones de dinámica general

Son las ecuaciones que describen la dinámica general de la aeronave y se expresan entérminos de las velocidades lineales . () (27) ( ) (28)


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√ (29)

2.4 Definición de variables y parámetros

Como síntesis de la sección anterior, se muestra la siguiente tabla, la cual muestra ladescripción de cada una de las variables, entradas y parámetros del sistema.

Variables de Estado

Nombre Descripción Unidades Velocidades angulares del UAV respecto a ejes Velocidades lineales del UAV respecto a ejes Posiciones angulares del UAV (roll, pitch y yaw) en ejes Posiciones en coordenadas terrestres mTabla 1. Variables de Estado del Sistema.

Variables de Comportamiento General

Nombre Descripción Unidades Angulo de ataque del UAV Angulo de deslizamiento lateral del UAV Velocidad total del UAV Tabla 2. Variables de Comportamiento General.

Variables de Relaciones

Nombre Descripción Unidades Fuerzas sobre el UAV en direcciones x, y, z Coeficientes de fuerza aerodinámica en x, y, z Momentos aerodinámicos sobre el UAV Coeficientes adimensionales de momentos aerodinámicos Empuje de la propulsión Tabla 3. Relaciones Intermedias.

Entradas

Nombre Descripción Unidades Empuje % Deflexión de los alerones rad Deflexión del rudder o timón rad


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Deflexión del elevador radTabla 4. Entradas del Sistema.

Parámetros

Nombre Descripción Valor Unidades Área del ala del UAV 0.32 Envergadura 1.2 Cuerda media del ala 0.3 Masa del UAV 1.9 Densidad del aire 1.29 Aceleración de la gravedad 9.8 Coeficiente de fuerza aerodinámica 2.30e-1 Coeficiente de fuerza aerodinámica 4.58 Coeficiente de fuerza aerodinámica 1.30e-1

Coeficiente de fuerza aerodinámica 7.95

Coeficiente de fuerza aerodinámica 2-30e-1 Coeficiente de fuerza aerodinámica 4.34e-2 Coeficiente de fuerza aerodinámica 1.35e-2 Coeficiente de fuerza aerodinámica 3.03e-2 Coeficiente de fuerza aerodinámica -8.30e-1 Coeficiente de fuerza aerodinámica 1.91e-1 Coeficiente de fuerza aerodinámica 0 Coeficiente de fuerza aerodinámica 0 Coeficiente de momento aerodinámico 1.35e-1

Coeficiente de momento aerodinámico -1.50

Coeficiente de momento aerodinámico -1.13 Coeficiente de momento aerodinámico -5.08e1 Coeficiente de momento aerodinámico 3.44e-2 Coeficiente de momento aerodinámico -1.20e-2 Coeficiente de momento aerodinámico -3.45e-2 Coeficiente de momento aerodinámico -7.50e-2 Coeficiente de momento aerodinámico -4.11e-1 Coeficiente de momento aerodinámico -4.00e-2 Coeficiente de momento aerodinámico 6.77e-2

Coeficiente de momento aerodinámico 1.68e-2

Coeficiente de momento aerodinámico -4.14e-1 Coeficiente de momento aerodinámico 3.99e-1 Momento de inercia respecto a 8.94e-2 Momento de inercia respecto a 1.44e-1 Momento de inercia respecto a 1.62e-1 Momento de inercia respecto a 1.40e-4 Empuje máximo 40


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Tabla 5. Parámetros.

2.6 Desarrollo del modelo computacional y validación

Para el desarrollo del modelo computacional, se simularon las ecuaciones de lasdinámicas del UAV en el toolbox SIMULINK de MATLAB.

Para obtener unos resultados mediante los cuales fuera posible verificar la fidelidad delmodelo, se llevaron a cabo los siguientes pasos:

Hallar un punto en el cual las dinámicas del sistema fueran nulas (punto de equilibrio).

Iniciar las simulaciones del sistema en el punto de equilibrio y mediante pequeñoscambios en las entradas, verificar el comportamiento de las variables más relevantesde tal forma que se pudiese concluir si el modelo si se comporta de forma coherente.

2.6.1 Punto de equilibrio

Igualando todas las dinámicas del sistema a cero es posible hallar un punto de equilibriopara las variables de estado y las entradas; aunque de forma matemática, el sistemaposee varios puntos de equilibrio, se escogió el más coherente posible, es decir, un puntode equilibrio al que naturalmente se pudiera llegar en un sistema real. El punto deequilibrio hallado se muestra en la siguiente tabla.

Variable Valor

0

0 0 19.1682 0 0 0 0 0 0 100

0.0874

0 0 0.1195Tabla 6. Punto de Equilibrio

2.6.2 Resultados de las simulaciones


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Figura 3. Entradas aplicadas al sistema.

Se inician todas las entradas en el punto de equilibrio hallado anteriormente, y sondesviadas de dicho valor de tal forma que después de 10 segundos vuelvan a su valor deequilibrio como se muestra en la Figura 3. El objetivo de esto es ver el comportamiento delas variables que determinan el comportamiento general del UAV y ver si es coherente.Dichos comportamientos son mostrados a continuación:

Figura 4. Angulo de Ataque α.

0 10 50 90 100 150-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Tiempo [s]

D e f l e x i o n e s

[ r a d ]

e

a

r

0 10 50 90 100 150-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

Time [s]

[ r a d ]


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Figura 5. Velocidad Total VT.

Figura 6. Angulo de Deslizamiento Lateral β.

Se puede observar en la Figura 4 y 5 que solo el elevador y el timón tienen efecto sobre élángulo de ataque y la velocidad total del UAV. En la Figura 6 se observa que el ángulo dedeslizamiento lateral se ve afectado por el efecto del rudder o timon, y solo un poco porlos alerones. Resultado completamente coherente con el comportamiento real de un aviónde pequeña escala.

0 10 50 90 100 15018

18.5

19

19.5

20

20.5

Tiempo [s]

V T [ m ]

0 10 50 90 100 150-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

Tiempo [s]

[ r a d ]


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Respecto a la validación del modelo, aun no es posible llevarla a cabo de forma rigurosaya que no se cuenta con datos experimentales del sistema; pero según lo observado enlas simulaciones, el modelo es lo bastante preciso para describir el comportamiento delUAV de manera satisfactoria.

3. Diseño del sistema de control

3.1 Linealización

El diseño del sistema de Control se hace con base al sistema linealizado alrededor de lospuntos de equilibrio descritos en la Tabla 6. La linealización del sistema se hace hallandolos siguientes Jacobianos:

(30)

Con ̇ y , y son los estados estacionarios de los estados, las entradas ylas salidas respectivamente.

La función describe la dinámica completa del UAV y está conformada por lasEcuaciones (1)-(12); con un vector de estados y un vector de entradas definidos por:

(31)

(32)Luego de una aproximación a la derivada por medio de series de Taylor, el sistemalinealizado queda de la siguiente forma:

̇ (33)Debido a la gran cantidad de entradas en el sistema, sólo se hace variar una de ellas paraobservar los resultados que se obtienen con la linealización. A continuación, se muestranlos resultados obtenidos:


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Figura 7. Cambio en En la Figura anterior se hizo un cambio del 20% por encima del valor en estado

estacionario de la entrada para observar la respuesta del sistema lineal contra elsistema no lineal. En las figuras posteriores se aprecian dichos cambios:

Figura 8. Comparación de la variable entre el sistema no lineal y linealizado

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.085

0.09

0.095

0.1

0.105

0.11

Tiempo [s]

T [ %

]

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0x 10

-17

Tiempo [s]

[ r a d ]

linealización

No lineal


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Figura 9. Comparación de la variable entre el sistema no lineal y linealizado.


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10

-3

Tiempo [s]

[

r a d ]

Linealización

No lineal

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10019

19.5

20

20.5

21

21.5

Tiempo [s]

V T

[ m / s ]

Linealización

No lineal


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De las figuras anteriores se puede observar que ante cambios del 20% a los 20 segundosde una de las entradas, las variables de salida en el sistema linealizado se desvían pocodel sistema no lineal, concluyendo así que se obtuvo una buena linealización del sistema,con el cual se puede trabajar para el diseño del sistema de control lineal.

3.2 Diseño del controlador

Para el diseño del sistema de control, opto por aplicar un LQR con seguimiento dereferencia, ya que según literatura, es una estrategia bastante usada para éste tipo desistemas, además de su fácil implementación y diseño para sistemas multivariables [5].

Suponemos un sistema lineal de la forma:

̇ (34)En donde son los estados del sistema, son las entradas y son las salidas del sistema.El objetivo de esta estrategia es hallar tal que minimice la siguiente función objetivo:

∫

(35)

El sistema lleva a resolver la ecuación diferencia del Riccati, la cual tiene la siguienteforma:

̇ (36)La acción de control al resolver la ecuación anterior, queda de la siguiente manera:

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10095

100

105

110

115

120

125

Tiempo [s]

Z E

[ m

]

Linealización

No lineal


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(37)O visto de forma más compacta:

(38)El controlador anterior, permite llevar los estados a su punto de operación, siempre ycuando el sistema sea controlable; al implementarlo sobre el sistema no lineal, debido aque es un controlador proporcional, no permite eliminar el error en estado estacionario nimucho menos seguir cambios de referencia, lo cual para este caso resulta poco prácticoya que se desea que el sistema pueda seguir trayectorias lineales; es decir, permitaseguir cambios de referencia para las variables . Por este motivo, se diseña uncontrolador LQR con acción integral. Para esto se amplía el sistema, agregando el errorcomo un estado adicional.

El sistema ampliado queda de la siguiente manera:

̇ ̇ (39)

Expandiendo la anterior expresión, obtenemos:

̇

̇ *

+ [] * + *+

(40)Si se calcula una realimentación de estados, se obtendrá una matriz de ganancias como la mostrada a continuación:

(41)Lo cual genera una ganancia proporcional y una ganancia integral.

El diagrama anterior muestra la descripción del sistema con las señales de referenciaincluidas:


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Figura 12. Diagrama Incluidas Referencias.

Como el objetivo es lograr que el UAV este en la capacidad de seguir trayectorias en tresdimensiones, las variables a controlar son y , ya que son las relacionadas con lasdinámicas de traslación respecto a la tierra. Con un conocimiento detallado de lasdinámicas del modelo no lineal, se pensó en controlar simultáneamente las variables φ y θ aunque de una manera menos rigurosa; es decir, estas variables pueden moverse dentrode una brecha de error admisible. Al estas variables estar directamente relacionadas conlas dinámicas traslacionales ( y ), el tener cierto control sobre ellas mejorara en granmedida el desempeño del UAV a la hora de seguir la trayectoria.

Con lo dicho anteriormente, el vector de salidas queda definido como:

(42)El objetivo tanto para ϕ como para θ, es mantener su valor de estado estacionario,

contribuyendo a la estabilidad del sistema y a la robustez ante perturbaciones.

Como último criterio de diseño, se eligieron las matrices de penalización de los estados Qy de las entradas R, de la siguiente manera:

Se eligió la matriz Q de tal forma que se penalizara más el comportamiento de lasvariables ϕ, θ, y de todos los errores de seguimiento de referencia.

La matriz R se eligió de tal forma que garantizara unas acciones de control realizables yque se mantuvieran dentro de los rangos físicamente admisibles.


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4. Resultados del sistema de control y análisis

Para evaluar el desempeño del controlador diseñado se corroborara de forma gráfica, queel objetivo de control sea llevado a cabalidad. El comportamiento tanto de las variablescontroladas como de las acciones de control, es mostrado a continuación:

Figura 13a. Trayectoria Controlada.

0 0.5

1 1.5

2 2.5

x 104

-20

24

680

100

120

140

XE [m]YE [m]

Z E [ m ]

Trayectoria del UAV

Referencia


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Figura 13b. Trayectoria Controlada.

Figura 14. Acción de control .

0 0.5 1 1.5

2 2.5

x 104-5

0

5

80

100

120

140

YE [m]

Z E [ m ]

Trayectoria del UAV

Referencia

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tiempo [s]

T [ % ]


22/25



0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Tiempo [s]

a

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Tiempo [s]

r


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Figura 17. Acción de control .Se observa en las Figuras 13-17 que el objetivo de control se cumple satisfactoriamente,la trayectoria es seguida y las acciones de control que producen dicho comportamientoson alcanzables y completamente coherentes ya que no superan los límites nominales (0a 1 para y -0.45 a 0.45 radianes para las deflexiones , , ).

Ahora se observara el comportamiento de las salidas controladas ante la presencia deuna perturbación. La perturbación está asociada al vuelo de la aeronave ante la presencia

de vientos que causen desvíos en la trayectoria.

Figura 18a. Sistema ante perturbación del viento.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Tiempo [s]

e

0 0.5

1 1.5

2 2.5

x 104

-101

2345

80

90

100

110

120

130

XE [m]YE [m]

Z E [ m ]


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Figura 18b. Sistema ante perturbación del viento.

En la Figura 18a-b se observa que el controlador es capaz de rechazar la perturbación,logrando llevar nuevamente la aeronave a la trayectoria deseada. Por lo tanto, elcontrolador diseñado se desempeña de forma satisfactoria.

5. Conclusiones

En este trabajo se desarrolló el modelo y diseño de control de un vehículo aéreo notripulado (UAV). El controlador usado fue un LQR con acción integral, para lograr hacerseguimientos de referencia y eliminar el error en estado estacionario del sistema. Losresultados obtenidos fueron probados en simulación con ayuda del Software Simulink deMatlab. Se mostró que en literatura hay mucha información del acercar del modelamientode éste tipo de sistemas, pero no se encuentra un modelo compacto que represente lomejor posible la dinámica de un UAV para fines de control como éste caso. Además, losparámetros para el modelo de estos sistemas son muy complicados de hallar debido aque se requieren pruebas especiales y datos de vuelos para su obtención.

Para éste trabajo, se tomó como referencia varios textos de la literatura referente a éstetipo de modelos, se simularon de tal forma que se obtuvieron respuestas acertadas a loque puede llegar a realizar un UAV a escala.

En la actualidad son muchos los controladores diseñados e implementados en estos

sistemas, pero en éste caso se decidió diseñar un LQR por su fácil diseño eimplementación, además permite hacer seguimiento de trayectorias lineales, si estoscambios de trayectorias no son muy grandes. Los resultados obtenidos en simulación sonsatisfactorios para todas las salidas del sistema y para el seguimiento referencias,comprobando así que un tipo de controlador de ésta forma podría ser implementado paralograr los fines antes mencionados.

00.5

11.5

22.5

x 104-2

0

2

4

680

100

120

140

XE [m]YE [m]

Z E

[ m ]


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6. Referencias

[1] Federico R. Garza, Eugene A. Morelli. “ A collection of Nonlinear Aircraft Simulations inMatlab”. NASA/TM 2003

[2] Yew Chai Paw. “Synthesis and Validation of Flight Control for UAV”. University ofMinnesota. 2009

[3] Alvarez H, Gomez L, Botero H. “ Abstracciones Macroscopicas de la FenomenologiaPara el Modelo de Procesos”. Congreso Iberoamericano y Colombiano de IngenieríaQuímica. Cartagena. Colombia. 2014.

[4] Thor I. Fossen. “Mathematical Models for Control of Aircrafts and Satellites”. 3rdEdition. 2013

[5] Zachary T. Dydek, Anuradha M. Annaswamy, Eugene Lavretsky. “ Adaptive Control And The Nasa X-15-3 Flight Revisted”. IEEE Control System Magazine. 2010.

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