Uav Predictive Control

8/6/2019 Uav Predictive Control

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D e s i g n o f a m o d e l p r e d i c t i v e

c o n t r o l l e r t o c o n t r o l U A V s

A . J . M . R a e m a e k e r s

D C T 2 0 0 7 . 1 4 1

T r a i n e e s h i p r e p o r t

C o a c h ( e s ) : d r . R . H i l l ( R M I T )

p r o f . d r . L . W a n g ( R M I T )

S u p e r v i s o r : a s s . p r o f . d r . C . B i l ( R M I T )

p r o f . d r . H . N i j m e i j e r ( T U / e )

T e c h n i s c h e U n i v e r s i t e i t E i n d h o v e n R o y a l M e l b o u r n e I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y

D e p a r t m e n t M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g A e r o s p a c e D e s i g n T e c h n o l o g y

D y n a m i c s a n d C o n t r o l G r o u p S i r L a w r e n c e W a c k e t t C e n t r e

E i n d h o v e n , D e c e m b e r , 2 0 0 7


2/50

A b s t r a c t

I n t h i s r e p o r t a c o n t i n u o u s t i m e m o d e l p r e d i c t i v e c o n t r o l l e r i s a p p l i e d t o t h e c o n t r o l

o f a n U n m a n n e d A e r i a l V e h i c l e ( U A V ) . T h e p u r p o s e o f t h i s w o r k , i s t o s e e i f i t i s

p o s s i b l e t o d e s i g n a g o o d t r a c k i n g c o n t r o l l e r t h a t i s c a p a b l e o f s i m u l a t i n g a h i g h l y

n o n l i n e a r a i r c r a f t s y s t e m .

F o r t h e s i m u l a t i o n s a M A T L A B S i m u l i n k m o d e l o f t h e U A V ' A r i e l ' i s u s e d . T h e

n o n l i n e a r S i m u l i n k m o d e l c o v e r s a l l t h e a i r c r a f t d y n a m i c s . T h e m o d e l c o n s i s t s o f

v e i n p u t s , t w e l v e s t a t e s a n d t w e l v e o u t p u t s . T h i s m o d e l i s l i n e a r i z e d a t s e v e r a l

d i e r e n t o p e r a t i n g c o n d i t i o n s , f o r u s e w i t h t h e m o d e l p r e d i c t i v e c o n t r o l l e r .

T h e m o d e l p r e d i c t i v e c o n t r o l l e r i s c a p a b l e o f s i m u l a t i n g i n r e a l t i m e , m a k i n g i t

p o s s i b l e t o u s e t h i s i n o n - l i n e a p p l i c a t i o n s . T h e A r i e l m o d e l i s l i n e a r i z e d t o a l i n e a r

t i m e i n v a r i a n t s t a t e s p a c e s y s t e m . T h e s t a t e s p a c e m o d e l i s t h e n e x t e n d e d . T h i s

m e a n s t h e o u t p u t s o f t h e o r i g i n a l m o d e l a r e i n c l u d e d i n t h e s t a t e v e c t o r o f t h e

e x t e n d e d m o d e l . W i t h t h i s e x t e n d e d s t a t e s p a c e m o d e l , i t c a n b e s h o w n t h a t t h e

s e l e c t e d o u t p u t s c a n b e t r a c k e d b y t h e c o n t r o l l e r . T h e c o n t r o l l e r u s e s a n a l g o r i t h m

w h i c h r e d u c e s t h e r e q u i r e d c o m p u t a t i o n a l p o w e r c o m p a r e d t o c l a s s i c m o d e l p r e d i c -

t i v e c o n t r o l .

T h e p o s s i b i l i t y t o a p p l y c o n s t r a i n t s o n t h e c o n t r o l l e r i n p u t , t h e d e r i v a t i v e o f t h e

c o n t r o l l e r i n p u t , t h e s t a t e s a n d t h e o u t p u t s o f t h e s y s t e m , m a k e t h i s m o d e l p r e d i c -

t i v e c o n t r o l l e r a n o n l i n e a r s y s t e m . B e c a u s e i n r e a l l i f e c o n s t r a i n t s a r e a l m o s t a l w a y s

p r e s e n t o n a n y d y n a m i c a l s y s t e m , t h e p r e s e n t e d m o d e l p r e d i c t i v e c o n t r o l l e r h a s a

b r o a d a p p l i c a t i o n s c o p e .

T h e s i m u l a t i o n s s h o w t h a t t h e c o n t r o l l e r p e r f o r m s w e l l , a f t e r t u n i n g o f t h e p a -

r a m e t e r s . A p p l y i n g t h e c o n s t r a i n t s p u t s s o m e l i m i t s o n t h e p o s s i b l e r e f e r e n c e t r a -

j e c t o r i e s , b u t s h o w s t h a t t h e s y s t e m i s v e r y c a p a b l e o f h a n d l i n g t h e s e c o n t r o l s . A l s o ,

s i m u l a t i o n o f f a i l u r e o f o n e o f t h e c o n t r o l s i s p o s s i b l e , s i m p l y b y s e t t i n g t h e m a x i -

m u m a n d m i n i m u m v a l u e s t o z e r o . T h e U A V c o n t r o l l e r i s a b l e t o u s e t h e o t h e r t h r e e

c o n t r o l s t o c o m p e n s a t e f o r t h e l a c k o f t h e f o u r t h , k e e p i n g t h e a i r c r a f t a t s t e a d y i g h t .

T h e a p p l i c a t i o n o f m o d e l p r e d i c t i v e c o n t r o l t o a i r c r a f t c o n t r o l i s r e l a t i v e l y n e w .

T h i s r e p o r t s h o w s t h a t u s i n g a m o d e l p r e d i c t i v e c o n t r o l l e r w o r k s w e l l f o r t h e s i m u -

l a t i o n s d o n e i n t h i s r e p o r t . T h i s m e t h o d o f M P C c a n b e u s e d n o t o n l y o n a i r c r a f t

s y s t e m s , b u t i n g e n e r a l o n a l l t y p e s o f d y n a m i c s y s t e m s , w i t h t h e p o s s i b i l i t y o f

a p p l y i n g c o n s t r a i n t s .

F o r f u t u r e w o r k , a s w i t c h i n g c o n t r o l l e r c a n b e d e s i g n e d t o u s e t h e d i e r e n t l i n e a r i z e d

m o d e l s a t d i e r e n t o p e r a t i n g c o n d i t i o n s . W r a p p i n g a n o t h e r c o n t r o l l e r a r o u n d t h e

m o d e l p r e d i c t i v e c o n t r o l l e r p r e s e n t e d h e r e , s h o u l d m a k e i t p o s s i b l e t o l e t t h e a i r c r a f t

f o l l o w a s e t o f w a y - p o i n t s , t h u s n o t r e q u i r i n g a p r e - d e n e d r e f e r e n c e t r a j e c t o r y t o

b e a b l e t o y f u l l y a u t o n o m o u s l y .


3/50

C o n t e n t s

1 I n t r o d u c t i o n 3

2 U A V a n d i g h t b a c k g r o u n d 5

2 . 1 U A V d e v e l o p m e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 . 2 A i r c r a f t c o n t r o l h i s t o r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 F l i g h t d y n a m i c s 7

3 . 1 C o o r d i n a t e s y s t e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 . 1 . 1 B o d y - x e d c o o r d i n a t e s y s t e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 . 1 . 2 E a r t h - x e d c o o r d i n a t e s y s t e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 . 1 . 3 A t m o s p h e r e - x e d c o o r d i n a t e s y s t e m . . . . . . . . . . . . . . 8

3 . 2 E q u a t i o n s o f m o t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 . 2 . 1 A i r c r a f t c o n t r o l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0

3 . 3 A i r c r a f t t r i m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0

3 . 4 A r i e l m o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

3 . 5 L i n e a r i z i n g t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2

4 M o d e l P r e d i c t i v e C o n t r o l 1 4

4 . 1 M o d e l P r e d i c t i v e C o n t r o l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4

4 . 1 . 1 R e c e d i n g h o r i z o n c o n c e p t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4

4 . 1 . 2 O p t i m a l c o n t r o l f o r m u l a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5

4 . 2 C o n t i n u o u s t i m e m o d e l p r e d i c t i v e c o n t r o l d e s i g n u s i n g o r t h o n o r m a l

f u n c t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

4 . 2 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

4 . 2 . 2 D e s c r i p t i o n o f c o n t r o l t r a j e c t o r y . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7

4 . 2 . 3 P r e d i c t e d p l a n t o u t p u t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9

4 . 2 . 4 O p t i m a l c o n t r o l s t r a t e g y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1

5 S i m u l a t i o n s a n d r e s u l t s 2 4

5 . 1 M o d e l s e l e c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4

5 . 2 O u t p u t s e l e c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5

5 . 3 T u n i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7

5 . 4 S i m u l a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9

5 . 4 . 1 S i m u l a t i o n w i t h o u t c o n s t r a i n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9

5 . 4 . 2 S i m u l a t i o n w i t h c o n s t r a i n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1

5 . 4 . 3 S i m u l a t i o n o f f a i l u r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5

6 C o n c l u s i o n s a n d r e c o m m e n d a t i o n s 3 7

6 . 1 C o n c l u s i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7

6 . 2 R e c o m m e n d a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8

A T i m e d e p e n d e n t A m a t r i x 3 9

1


4/50

B L T I A r i e l m o d e l 4 0

C C o n t r o l s a n d s t a t e s s c e n a r i o 1 a n d 2 4 2

D T r i m c o n d i t i o n s 4 5

2


5/50

C h a p t e r 1

I n t r o d u c t i o n

I n r e c e n t y e a r s , m o d e l p r e d i c t i v e c o n t r o l ( M P C ) h a s b e e n a n u p c o m i n g c o n t r o l t e c h -

n i q u e i n o n - l i n e a p p l i c a t i o n s d u e t o t h e e v e r i n c r e a s i n g c o m p u t e r p o w e r o f m o d e r n

c o m p u t e r s . M P C i s m o s t l y u s e d t o c o n t r o l l a r g e t i m e s c a l e f a c t o r y p r o c e s s e s , b u t

i n r e c e n t y e a r s t h e a p p l i c a t i o n h a s m o v e d t o d y n a m i c p r o c e s s e s w i t h s m a l l e r t i m e

s c a l e s .

M o s t e x i s t i n g M P C i m p l e m e n t a t i o n s u s e a d i s c r e t e - t i m e f o r m ; t h e c o n t i n u o u s - t i m e

c o u n t e r p a r t w a s d e v e l o p e d m u c h l a t e r . C o n t i n u o u s t i m e m o d e l i n g g i v e s t h e a d v a n -

t a g e t h a t f u t u r e p r e d i c t i o n s c a n b e c a l c u l a t e d i n a n a n a l y t i c a l f o r m . T h i s r e d u c e s

t h e r e q u i r e d c o m p u t a t i o n a l e o r t b e c a u s e t h e r e a r e l e s s p a r a m e t e r s t h a t n e e d t o b e

o p t i m i z e d .

T h e r e s p o n s e t i m e o f t h e c o n t r o l s i g n a l i n t h e c o n t i n u o u s t i m e M P C c a s e i s a

b i t s l o w e r c o m p a r e d t o t h e d i s c r e t e t i m e c a s e [ 1 ] . T h i s m e a n s t h e p e r f o r m a n c e i s

s l i g h t l y w o r s e , b e c a u s e i t t a k e s m o r e t i m e b e f o r e t h e s y s t e m i s s t a b i l i z e d . H o w e v e r ,

c o n t i n u o u s t i m e M P C r e q u i r e s l e s s o p t i m i z a t i o n s t e p s t o c a l c u l a t e t h e c o n t r o l s i g -

n a l . I t a l s o m a k e s t h e t u n i n g o f t h e c o n t r o l l e r m o r e i n t u i t i v e , a n d t h e c a l c u l a t e d

c o n t r o l s i g n a l s m o o t h e r . O n e o f t h e l a t e s t d e v e l o p m e n t s i n c o n t i n u o u s t i m e M P C

i s t h e u s e o f o r t h o n o r m a l f u n c t i o n s t o d e s c r i b e t h e c o n t r o l s i g n a l [ 1 ] . I n t h i s r e p o r t

t h e a p p l i c a t i o n o f t h i s m e t h o d t o t h e c o n t r o l o f a U n m a n n e d A e r i a l V e h i c l e ( U A V )

w i l l b e d i s c u s s e d .

I n r e c e n t y e a r s , u n m a n n e d a i r c r a f t h a v e b e c o m e m o r e a n d m o r e p o p u l a r . T h e

m i l i t a r y h a s g r e a t i n t e r e s t i n t h e s e m a c h i n e s , f o r a m o n g s t o t h e r t h i n g s , b a t t l e e l d

s u r v e i l l a n c e , r e c o n n a i s s a n c e a n d t a r g e t i n g . T h e y c a n a l s o b e u s e d f o r c i v i l i a n a p -

p l i c a t i o n s s u c h a s r e c o n n a i s s a n c e , c r o p d u s t i n g , o b s e r v a t i o n s , p o l i c e s u r v e i l l a n c e ,

T V b r o a d c a s t i n g , p h o t o g r a p h y e t c . T h e f a c t t h a t t h e y a r e u n m a n n e d m a k e U A V s

p a r t i c u l a r l y s u i t a b l e f o r g o i n g i n t o i n h o s p i t a b l e o r h a z a r d o u s e n v i r o n m e n t s . I n g e n -

e r a l , U A V s h a v e t h e p o t e n t i a l t o c o m p l e m e n t t r a d i t i o n a l m a n n e d s u r v e i l l a n c e a n d

m o n i t o r i n g o p e r a t i o n s o r , f o r s o m e m i s s i o n s , c a n b e a c o s t e e c t i v e a l t e r n a t i v e .

I n t h e b e g i n n i n g o f t h e l a s t c e n t u r y t h e r e s e a r c h w a s m a i n l y f o c u s e d o n a u t o p i -

l o t s y s t e m s , b u t t h i s k n o w l e d g e w a s r e s t r i c t e d f o r t h e p u b l i c f o r m i l i t a r y s e c u r i t y .

C o n t r o l l e r s d e s i g n e d b e f o r e t h e d e v e l o p m e n t o f c l a s s i c a l c o n t r o l t h e o r y , w e r e s i m p l e

a l t i t u d e a n d h e a d i n g h o l d s . B u t w i t h t h e u p - c o m e o f c l a s s i c a l c o n t r o l t h e o r y a n d

t h e i n t r o d u c t i o n o f t h e j e t e n g i n e m o r e a n d m o r e c o n t r o l l e r s w e r e a p p l i e d t o t h e

a i r c r a f t t o a s s i s t t h e p i l o t i n y i n g t h e a i r c r a f t . T h e r e f o r e , c o n t r o l o f a i r c r a f t h a s

b e e n s t u d i e d f o r a l o n g t i m e , e v e r s i n c e t h e d e v e l o p m e n t o f m o d e r n c o m p u t e r s i n

t h e 1 9 5 0 ' s .

3


6/50

T o c o n t r o l U A V s , d i e r e n t m e t h o d s h a v e b e e n s t u d i e d o v e r t h e y e a r s , w i t h d i f -

f e r e n t r e s u l t s . I n t h i s r e p o r t a c o n t i n u o u s t i m e m o d e l p r e d i c t i v e c o n t r o l l e r w i t h

o r t h o n o r m a l f u n c t i o n s w i l l b e d e s i g n e d t o c o n t r o l a U A V . T h e U A V ' A r i e l ' u s e d i n

t h i s r e p o r t w a s m o d e l e d b y C r u m p [ 2 ] w i t h t h e M A T L A B S i m u l i n k s o f t w a r e .

T h i s S i m u l i n k m o d e l i s l i n e a r i z e d a t d i e r e n t o p e r a t i n g p o i n t s . T h e l i n e a r i z e d

m o d e l i s u s e d i n t h e m o d e l p r e d i c t i v e c o n t r o l l e r . T h e c o n t r o l l e r c a l c u l a t e s t h e s y s -

t e m c o n t r o l s , n e e d e d t o t r a c k t h e s e l e c t e d o u t p u t s o f t h e A r i e l a i r c r a f t m o d e l . T h e

m o d e l p r e d i c t i v e c o n t r o l l e r m a k e s i t p o s s i b l e t o a d d h a r d c o n s t r a i n t s t o t h e s t a t e s ,

c o n t r o l s a n d o u t p u t s o f t h e l i n e a r s t a t e s p a c e m o d e l . I t i s a l s o p o s s i b l e t o s i m u l a t e

f a i l u r e o f o n e o r m o r e o f t h e c o n t r o l s b y s e t t i n g t h e h a r d c o n s t r a i n t s t o z e r o .

M P C h a s b e e n a p p l i e d t o U A V c o n t r o l b e f o r e [ 3 ] , b u t t h i s m e t h o d d i e r s f r o m

t h e p r e v i o u s w o r k d o n e , b e c a u s e , b y u s i n g o r t h o n o r m a l f u n c t i o n s t o a p p r o x i m a t e

t h e c o n t r o l s i g n a l a n d c a l c u l a t e t h e U A V r e s p o n s e , t h e r e q u i r e d c o m p u t a t i o n e o r t

d e c r e a s e s , m a k i n g i t p o s s i b l e t o u s e t h i s v e r s i o n o f M P C t o c o n t r o l t h e A r i e l m o d e l

i n a n o n - l i n e e n v i r o n m e n t .

T h i s r e p o r t i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s ; i n t h e s e c o n d c h a p t e r t h e b a c k g r o u n d o f U A V

a n d i g h t c o n t r o l i s d e s c r i b e d . T h e t h i r d c h a p t e r g i v e s t h e r e a d e r s o m e i n s i g h t i n

i g h t d y n a m i c s a n d t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n d e s c r i b i n g t h e s t a t e s o f a n a i r c r a f t . I t

a l s o d e s c r i b e s t h e l i n e a r i z a t i o n o f t h e ( n o n l i n e a r ) e q u a t i o n s o f m o t i o n a n d h o w t h e

s t e a d y s t a t e o p e r a t i n g c o n d i t i o n s a r e d e t e r m i n e d . T h e f o u r t h c h a p t e r w i l l f a m i l i a r -

i z e t h e r e a d e r w i t h m o d e l p r e d i c t i v e c o n t r o l , a n d d e a l s w i t h t h e u s e o f o r t h o n o r m a l

f u n c t i o n s t o d e s c r i b e t h e c o n t r o l t r a j e c t o r y i n m o r e d e t a i l . T h e f t h c h a p t e r c o n -

t a i n s t h e s i m u l a t i o n s d o n e t o s h o w h o w t h e i m p l e m e n t a t i o n o f t h e m o d e l p r e d i c t i v e

c o n t r o l l e r i s a b l e t o c o n t r o l t h e A r i e l U A V a n d a l s o h o w i t i s a b l e t o d e a l w i t h

c o n s t r a i n t s o n a n d f a i l u r e o f o n e o r m o r e o f t h e c o n t r o l i n p u t s . F i n a l l y i n c h a p t e r

s i x t h e c o n c l u s i o n s a n d r e c o m m e n d a t i o n s a r e d e a l t w i t h .

4


7/50

C h a p t e r 2

U A V a n d i g h t b a c k g r o u n d

2 . 1 U A V d e v e l o p m e n t

I n t h e l a s t f e w d e c a d e s t h e u s e o f U n m a n n e d A e r i a l V e h i c l e s ( U A V s ) , h a s b e c o m e

m o r e a n d m o r e p o p u l a r . D u e t o t h e m o r e a d v a n c e d t e c h n o l o g y a v a i l a b l e n o w a d a y s ,

t h e e m p h a s i s h a s m o v e d f r o m R e m o t e l y P i l o t e d V e h i c l e s ( R P V s ) t o U A V s , w h i c h

h a v e a f o r m o f a u t o n o m y . T h e a u t o n o m o u s c a p a b i l i t i e s o f U A V s h a v e i m p r o v e d

o v e r t h e l a s t y e a r s d u e t o i m p r o v e m e n t s i n ( c o n t r o l ) t e c h n o l o g y a n d i m p r o v e m e n t s

o f c o m p u t a t i o n a l p o w e r .

A b r i e f r e v i e w o f t h e l a s t 2 0 y e a r s o f U A V a c t i v i t y i s g i v e n i n [ 4 ] . A n o t h e r r e -

v i e w o f U A V a c t i v i t y c a n b e f o u n d i n [ 5 ] , w h e r e s e v e r a l s p e c i c a i r c r a f t p l a t f o r m s

a r e d i s c u s s e d i n r e a s o n a b l e d e p t h . A l l r e p o r t s i n d i c a t e t h e i n c r e a s i n g p r o m i n e n c e

w h i c h U A V s a r e t a k i n g i n p r e s e n t d a y a r m e d f o r c e s . T h e s e d o c u m e n t s o n l y d i s c u s s

t h e d e v e l o p m e n t s i n W e s t e r n c o u n t r i e s , w h i l s t d e v e l o p m e n t w i t h i n t h e M i d d l e E a s t ,

t h e S o v i e t b l o c a n d A s i a i s a l s o w e l l u n d e r w a y .

T h e m a j o r i t y o f U A V d e v e l o p m e n t h a s b e e n m i l i t a r y b a s e d . M o s t w e l l k n o w n

a r e T h e P r e d a t o r ( a m e d i u m s i z e d t a c t i c a l U A V ) , d e v e l o p e d b y G e n e r a l A t o m i c s

a n d p r o d u c e d i n 1 9 9 7 a n d t h e N o r t h r o p G r u m m a n G l o b a l H a w k , w h i c h h a s b e e n

d e v e l o p e d a s a h i g h a l t i t u d e , l a r g e a r e a s u r v e i l l a n c e a i r c r a f t . B u t t h e r e h a v e b e e n

s e v e r a l c i v i l i a n f o r a y s i n t o t h e e l d a s w e l l . T h e t w o m o s t s u c c e s s f u l c i v i l i a n U A V

a r e t h e A e r o s o n d e a i r c r a f t , u s e d f o r m e t e o r o l o g i c a l s u r v e y i n g a n d t h e Y a m a h a A e r o -

R o b o t , a n u n m a n n e d h e l i c o p t e r u s e d f o r c r o p - d u s t i n g .

A s t u d y o f t h e m a r k e t i n A u s t r a l i a f o r b o t h c i v i l i a n a n d m i l i t a r y u s e s i s g i v e n

i n [ 6 , 7 ] . T h e y c o n c l u d e t h a t A u s t r a l i a h a s b o t h a v e r y l a r g e p o t e n t i a l m a r k e t f o r

U A V a p p l i c a t i o n s a n d a l s o a m a t u r e c a p a b i l i t y f o r a d v a n c e d a i r c r a f t d e s i g n , w h i c h

c o u l d b e a p p l i e d v e r y s u c c e s s f u l l y t o a ` s m a l l ' d e s i g n p r o j e c t s u c h a s a U A V . T h e

d e v e l o p m e n t o f a m u l t i - p u r p o s e A u s t r a l i a n U A V i s d i s c u s s e d i n [ 8 ] , a d d r e s s i n g s o m e

o f t h e i s s u e s t h a t m u s t b e c o n s i d e r e d i n d e s i g n f o r t h e A u s t r a l i a n e n v i r o n m e n t .

2 . 2 A i r c r a f t c o n t r o l h i s t o r y

T h e i n t r o d u c t i o n o f t h e j e t a i r c r a f t r e s u l t e d i n m o r e c o m p l i c a t e d a i r c r a f t d y n a m i c s .

U n d e r d a m p e d h i g h f r e q u e n c y m o d e s w h i c h b e c a m e i n c r e a s i n g l y d i c u l t f o r h u m a n

p i l o t s t o c o n t r o l b e c a m e e v i d e n t . T h e s o c a l l e d s h o r t p e r i o d l o n g i t u d i n a l m o d e a n d

t h e d u t c h r o l l l a t e r a l m o d e f a l l i n t h i s c a t e g o r y . T h u s , i n t h e s e j e t a i r c r a f t , a r t i -

c i a l d a m p i n g h a d t o b e p r o v i d e d t o a l l o w s a t i s f a c t o r y h a n d l i n g q u a l i t i e s . T h e s e

5


8/50

a r t i c i a l d a m p i n g s y s t e m s w e r e d e v e l o p e d u s i n g t h e e m e r g i n g c l a s s i c a l d e s i g n t e c h -

n i q u e s w h i c h a r e m a i n l y b a s e d o n w o r k i n g w i t h s i n g l e i n p u t s i n g l e o u t p u t ( S I S O )

s y s t e m s a n d u s i n g t o o l s s u c h a s B o d e p l o t s , N y q u i s t p l o t s a n d E v a n s R o o t L o c u s

t e c h n i q u e s . T h e s e t e c h n i q u e s a l l u s e t h e f r e q u e n c y d o m a i n a s a d e s i g n r e g i o n a n d

a r e w i d e l y a c c e p t e d , u t i l i z i n g p h a s e m a r g i n s a n d g a i n m a r g i n s t o i l l u s t r a t e r o b u s t -

n e s s . T h e s e c l a s s i c a l t e c h n i q u e s p r o v e d e x t r e m e l y s u c c e s s f u l f o r t h e a i r c r a f t o f t h e

t i m e ; h o w e v e r , t h e y h a v e s o m e w e l l k n o w n l i m i t a t i o n s . T h e m a i n d e s i g n t e c h n i q u e s

a r e a l l b a s e d u p o n l i n e a r t i m e i n v a r i a n t ( L T I ) S I S O s y s t e m s a n d w i t h i n c r e a s i n g l y

c o m p l i c a t e d a i r c r a f t a n d c o n t r o l o b j e c t i v e s , t h e s e t e c h n i q u e s b e c a m e i n c r e a s i n g l y

d i c u l t t o a p p l y . I n 1 9 6 0 , K a l m a n p u b l i s h e d t h r e e m a j o r p a p e r s t h a t w e r e t h e

b e g i n n i n g o f t h e m o d e r n c o n t r o l e r a .

T h e s e p a p e r s c o n t a i n e d d e t a i l e d d e v e l o p m e n t o f t h e o p t i m a l c o n t r o l o f s y s t e m s ,

t h r o u g h t h e u s e o f a L i n e a r Q u a d r a t i c R e g u l a t o r ( L Q R ) a n d t h e d e v e l o p m e n t o f

a n o p t i m a l l t e r i n g t e c h n i q u e , c o m m o n l y k n o w n t o d a y a s t h e K a l m a n l t e r . T h e

m a i n p o i n t o f K a l m a n ' s w o r k i s t h a t i t i s a t i m e d o m a i n a p p r o a c h t h a t u s e s l i n -

e a r a l g e b r a , s o s y s t e m s w i t h m u l t i p l e i n p u t s a n d m u l t i p l e o u t p u t s ( M I M O ) c a n b e

h a n d l e d w i t h n o e x t r a e o r t . H e a l s o i n t r o d u c e d t h e c o n c e p t o f t h e i n t e r n a l s t a t e ,

i m p l y i n g t h a t o n e i s c o n c e r n e d w i t h t h e i n t e r n a l s y s t e m b e h a v i o r a s w e l l a s t h e

s y s t e m i n p u t / o u t p u t b e h a v i o r . K a l m a n f o r m a l i z e d t h e c o n c e p t o f ` c o n t r o l o p t i m a l -

i t y ' b y m i n i m i z i n g a q u a d r a t i c e n e r g y f u n c t i o n , w h i c h p r o v i d e s a u n i q u e s o l u t i o n

w i t h g u a r a n t e e d p e r f o r m a n c e . H o w e v e r , o n l y b e c a u s e o f t h e d e v e l o p m e n t o f d i g i t a l

c o m p u t e r t e c h n o l o g y , i t w a s p o s s i b l e t o s o l v e h i s m a t r i x e q u a t i o n s , w h i c h a r e v e r y

t i m e i n t e n s i v e a n d d i c u l t t o s o l v e b y h a n d .

O n e m e t h o d t h a t h a s f o u n d a l a r g e a m o u n t o f a c c e p t a n c e i n t h e c o n t r o l i n d u s t r y i s

a n e x t e n s i o n o f b o t h l i n e a r q u a d r a t i c r e g u l a t o r s a n d K a l m a n l t e r s t o a t e c h n i q u e

k n o w n a s L i n e a r Q u a d r a t i c G a u s s i a n w i t h L o o p T r a n s f e r R e c o v e r y ( L Q G / L T R ) .

T h i s m e t h o d u t i l i z e s b o t h t h e l i n e a r q u a d r a t i c r e g u l a t o r ( L Q R ) w h i c h r e q u i r e s f u l l

s t a t e f e e d b a c k a n d t h e K a l m a n l t e r t o p r o v i d e a s t a t e e s t i m a t e b a s e d u p o n s y s t e m

o u t p u t s . T h i s m e t h o d d o e s n o t h a v e t h e g u a r a n t e e d p r o p e r t i e s o f e a c h i n d i v i d u a l

s y s t e m o n i t s o w n , s o t h e e n h a n c e m e n t , L o o p T r a n s f e r R e c o v e r y ( L T R ) , a t t e m p t s

t o a u t o m a t i c a l l y s y n t h e s i z e a n a p p r o p r i a t e K a l m a n l t e r g i v e n a r e g u l a t o r o r v i c e -

v e r s a . T h i s t e c h n i q u e w i l l g e n e r a l l y a l m o s t f u l l y r e c o v e r t h e d e s i r e d p r o p e r t i e s o f

t h e f u l l s t a t e f e e d b a c k r e g u l a t o r . E x a m p l e s o f t h e u s e o f t h i s t e c h n i q u e a r e g i v e n i n

[ 9 ] .

T h e s e n e w c o n t r o l t e c h n i q u e s h a v e t w o p r o b l e m s c o m p a r e d t o c l a s s i c a l t e c h n i q u e s .

T h e r s t p r o b l e m i s t h e l a c k o f e n g i n e e r i n g i n t u i t i o n i n c o n t r o l d e s i g n , w i t h a l l p r o b -

l e m s s i m p l y s o l v e d t h r o u g h t h e s o l u t i o n o f m a t r i x e q u a t i o n s , w h i l s t t h e s e c o n d m o r e

i m p o r t a n t p r o b l e m i s t h a t o f r o b u s t n e s s . T h e g u a r a n t e e d p e r f o r m a n c e o f m o d e r n

c o n t r o l d e s i g n s c o u l d q u i t e e a s i l y b e l o s t w h e n u n m o d e l e d d y n a m i c s , d i s t u r b a n c e s

a n d m e a s u r e m e n t n o i s e a r e i n t r o d u c e d . A l s o , t h e w e l l k n o w n p h a s e a n d g a i n m a r g i n

c o n c e p t s c a n n o t b e e a s i l y a p p l i e d t o t h e m u l t i v a r i a b l e s y s t e m s t h a t m o d e r n c o n t r o l

i s s o s u i t e d f o r . T h e s e p r o b l e m s l e a d t o t h e i n t r o d u c t i o n o f r o b u s t m o d e r n c o n t r o l

t h e o r y , a n d m o r e r e c e n t l y , w i t h c o m p u t i n g p o w e r s t i l l i n c r e a s i n g e v e r y d a y , t h e a p -

p l i c a t i o n o f m o d e l p r e d i c t i v e c o n t r o l ( M P C ) . M P C h a s b e e n k n o w n a n d u s e d s i n c e

t h e 1 9 7 0 ' s a n d h a s b e e n s u c c e s s f u l l y a p p l i e d t o s y s t e m s w i t h l a r g e t i m e c o n s t a n t s ,

e . g . i n t h e c o n t r o l o f p r o c e s s i n d u s t r y , b e c a u s e M P C r e q u i r e s a l o t o f c o m p u t a t i o n a l

p o w e r . H o w e v e r i n r e c e n t y e a r s t h e a p p l i c a t i o n o f M P C t o s y s t e m s w i t h s m a l l t i m e

c o n s t a n t s h a s i n c r e a s e d a n d n e w a p p l i c a t i o n s a r i s e e v e r y d a y .

6


9/50

C h a p t e r 3

F l i g h t d y n a m i c s

I n t h i s r e p o r t a c o n t i n u o u s t i m e m o d e l p r e d i c t i v e c o n t r o l l e r i s d e s i g n e d w i t h o r -

t h o n o r m a l f u n c t i o n s t o c o n t r o l a U A V m o d e l . M . C r u m p h a s d e v e l o p e d a n a c c u -

r a t e M A T L A B S i m u l i n k m o d e l o f t h e U A V A r i e l [ 2 ] , w h i c h i s a n u n m a n n e d a i r c r a f t

d e v e l o p e d b y t h e U A V g r o u p i n t h e D e p a r t m e n t o f A e r o n a u t i c a l E n g i n e e r i n g a t t h e

U n i v e r s i t y o f S y d n e y . A p i c t u r e o f t h i s a i r c r a f t i s s h o w n i n g u r e 3 . 1 . T h e m a j o r i t y

o f d a t a o n t h i s a i r c r a f t i s a v a i l a b l e i n [ 1 0 ] .

F i g u r e 3 . 1 : A r i e l U A V

3 . 1 C o o r d i n a t e s y s t e m

T h e m o v e m e n t o f a n a i r p l a n e i s d e s c r i b e d b y t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n w i t h r e s p e c t

t o t h e b o d y f r a m e c o o r d i n a t e s y s t e m . I n g e n e r a l t h e r e a r e t h r e e c o o r d i n a t e s y s t e m s

t h a t a r e i m p o r t a n t w h e n d e s c r i b i n g t h e m o t i o n o f a n a i r p l a n e [ 1 1 ] .

1 . B o d y - x e d c o o r d i n a t e s y s t e m

2 . E a r t h - x e d c o o r d i n a t e s y s t e m

3 . A t m o s p h e r e - x e d c o o r d i n a t e s y s t e m

T h e b o d y - x e d f r a m e c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e E a r t h - x e d f r a m e b y t h e

u s e o f E u l e r a n g l e s (

,

a n d

) .

7


10/50

3 . 1 . 1 B o d y - x e d c o o r d i n a t e s y s t e m

T h i s c o o r d i n a t e s y s t e m ' s o r i g i n i s l o c a t e d a t t h e a i r c r a f t c e n t e r o f g r a v i t y . T h e

x- a x i s

p o i n t s f o r w a r d a l o n g s o m e a x i s o f t h e f u s e l a g e i n t h e a i r c r a f t ' s p l a n e o f s y m m e t r y .

T h e

y- a x i s i s n o r m a l t o t h e p l a n e o f s y m m e t r y p o i n t i n g i n t h e d i r e c t i o n o f t h e r i g h t

w i n g . T h e

z- a x i s p o i n t s d o w n w a r d , c o m p l e t i n g t h e r i g h t - h a n d e d C a r t e s i a n s y s t e m .

S e e a l s o g u r e 3 . 2 ( a ) . R o t a t i o n s a b o u t t h e x, y a n d z - a x i s a r e c a l l e d r o l l ( ) , p i t c h (

) a n d y a w (

) r e s p e c t i v e l y . S e e a l s o g u r e 3 . 2 ( b ) . T h e B o d y - x e d c o o r d i n a t e

s y s t e m i s a l s o c a l l e d t h e A B C f r a m e .

( a ) B o d y C S ( b ) R o t a t i o n s

F i g u r e 3 . 2 : C o o r d i n a t e s y s t e m

3 . 1 . 2 E a r t h - x e d c o o r d i n a t e s y s t e m

T h e E a r t h - x e d c o o r d i n a t e s y s t e m p o i n t s i n t h e d i r e c t i o n s N o r t h , E a s t a n d D o w n

( N E D f r a m e ) . T h e x, y - p l a n e i s n o r m a l t o t h e l o c a l g r a v i t a t i o n a l v e c t o r w i t h t h e x

- a x i s p o i n t i n g n o r t h a n d t h e

y- a x i s p o i n t i n g e a s t . T h e

z- a x i s p o i n t s d o w n . F o r

n a v i g a t i o n o n a s m a l l p i e c e o f t h e E a r t h , t h e c u r v a t u r e o f t h e E a r t h c a n b e n e -

g l e c t e d f o r s i m p l i c a t i o n . T h e N E D f r a m e i s t h e n x e d a n d d o e s n o t r o t a t e . T h i s

s i m p l i c a t i o n i s a l s o c a l l e d t h e ' a t E a r t h ' a p p r o x i m a t i o n .

3 . 1 . 3 A t m o s p h e r e - x e d c o o r d i n a t e s y s t e m

T h e a t m o s p h e r e - x e d c o o r d i n a t e s y s t e m i s d e n e d s u c h t h a t a l l t h r e e a x e s a r e

a l w a y s p a r a l l e l t o t h o s e o f t h e E a r t h - x e d c o o r d i n a t e s y s t e m . H o w e v e r , t h e a t m o -

s p h e r i c c o o r d i n a t e s y s t e m m o v e s a t a c o n s t a n t v e l o c i t y r e l a t i v e t o t h e E a r t h - x e d

c o o r d i n a t e s y s t e m . T h e a t m o s p h e r e c o o r d i n a t e s y s t e m i s o n l y u s e d w h e n d e r i v i n g

t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n . I t i s a l s o u s e d i n w i n d t u n n e l t e s t i n g o f a i r c r a f t m o d e l s .

3 . 2 E q u a t i o n s o f m o t i o n

W h e n d e r i v i n g t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n , t h e a i r c r a f t i s c o n s i d e r e d a s a r i g i d b o d y .

T o s w i t c h b e t w e e n t h e A B C a n d N E D c o o r d i n a t e f r a m e , a m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n i s

u s e d , c o n s i s t i n g o f t h r e e r o t a t i o n s :

1 . R o t a t i o n a b o u t t h e

z- a x i s , p o s i t i v e n o s e r i g h t ( y a w

)

2 . R o t a t i o n a b o u t t h e n e w y - a x i s , p o s i t i v e n o s e u p ( p i t c h )

8


11/50

3 . R o t a t i o n a b o u t t h e n e w

x- a x i s , p o s i t i v e r i g h t w i n g d o w n ( b a n k

)

T h e y a w , p i t c h a n d b a n k a n g l e s a r e k n o w n a s t h e E u l e r a n g l e s . T h e t r a n s f o r m a t i o n

m a t r i x B i s g i v e n a s : xy

z

ABC

= B

xy

z

NE D

( 3 . 1 )

w i t h

B =

cos cos cos sin sin cos sin + sin sin cos cos cos + sin sin sin sin cos

sin sin + cos sin cos sin cos + cos sin sin cos cos

T h e i n e r t i a p r o p e r t i e s o f t h e r i g i d a i r p l a n e b o d y c a n b e d e n e d b y :

c1 =

(JyJz)JzJ2xz

c2 =

(JxJy+Jz)Jxz

c3 =

Jz

c4 =

Jxz

c5 =JzJx

Jyc6 =

JxzJy

c7 =1

Jyc8 =

Jx(JxJy)+J2xz

c9 =Jx

= JxJz J2xz( 3 . 2 )

A n d t h e a e r o d y n a m i c a n d p r o p u l s i v e f o r c e s a n d t o r q u e s w i l l b e s p l i t i n t o t h e b o d y

a x e s :

FB =

FxFy

Fz

TB =

LM

N

( 3 . 3 )

W i t h t h e s e d e n i t i o n s , t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n o f t h e a i r c r a f t c a n b e d e s c r i b e d b y :

U = RV QW g sin + Fx/m

V = RU + P W + g sin cos + Fy/m

W = QU P V + g cos cos + Fz/m

= P + tan (Q sin R cos )

= Q cos R sin

= (Q sin + R cos )/ cos

P = (c1R + c2P)Q + c3L + c4N

Q = c5P R c6(P2 R2) + c7M

R = (c8P c2R)Q + c4L + c9N

pN = Ucos cos + V(sin sin cos cos sin ) + W(sin sin cos + sin sin )

pE = Ucos sin + V(sin sin sin + cos cos ) + W(cos sin sin sin cos )

pD = Usin + V sin cos + W cos cos ( 3 . 4 )

W i t h t h e d e n i t i o n o f t h e s t a t e v e c t o r a s :

X =

U V W P Q R pN pE pDT

( 3 . 5 )

9


12/50

w i t h

U, V a n d W t h e v e l o c i t y w i t h r e s p e c t t o t h e b o d y a x e s x, y a n d z r e s p e c t i v e l y , a n d t h e t h r e e E u l e r a n g l e s P

,

Qa n d

Rt h e a n g u l a r r a t e s

pN, pE a n d pD t h e p o s i t i o n s w i t h r e s p e c t t o t h e N E D f r a m e . T h e m o d e l i s l i n e a r i z e d u s i n g t h e s o c a l l e d ' a t E a r t h ' a p p r o x i m a t i o n . I n t h i s

a p p r o x i m a t i o n i t i s a s s u m e d t h a t t h e E a r t h i s a t , a n d t h i s c a n b e u s e d w h e n

n a v i g a t i o n i s o n l y r e q u i r e d o v e r a s m a l l a r e a o f t h e E a r t h .

3 . 2 . 1 A i r c r a f t c o n t r o l s

T h e A r i e l U A V c a n b e c o n t r o l l e d b y f o u r d e e c t i v e s u r f a c e s a n d t h e t h r o t t l e , w h i c h

a r e s h o w n i n g u r e 3 . 3 . T h e c o n t r o l s a n d t h e i r e e c t o n t h e a i r c r a f t a r e :

1 . T h r o t t l e : A c c e l e r a t e s / d e c c e l e r a t e s t h e a i r c r a f t

2 . E l e v a t o r : C h a n g e t h e p i t c h ( ) o f t h e a i r c r a f t 3 . R u d d e r : C h a n g e t h e y a w (

) o f t h e a i r c r a f t .

4 . A i l e r o n : C h a n g e t h e b a n k i n g a n g l e (

) o f t h e a i r c r a f t .

5 . F l a p s : I n c r e a s e t h e l i f t o f t h e w i n g s . U s e d f o r t a k e - o a n d l a n d i n g .

F i g u r e 3 . 3 : A i r c r a f t c o n t r o l s

3 . 3 A i r c r a f t t r i m

A i r c r a f t t r i m i s t h e d e n i t i o n o f t h e a i r c r a f t y i n g a t s t e a d y s t a t e . T h i s m e a n s

t h a t a l l t h e a i r c r a f t v e l o c i t y v a r i a b l e s a r e x e d a t a c o n s t a n t v a l u e . T h e a i r c r a f t

i s ' t u n e d ' i n a w a y t h a t i t c o n d u c t s a s t e a d y i g h t a n d n o t o r q u e i s a p p l i e d t o t h e

1 0


13/50

a i r p l a n e ' s c e n t e r o f g r a v i t y . T h i s i m p l i e s t h a t t h e a i r c r a f t a c c e l e r a t i o n c o m p o n e n t s

a r e a l l z e r o . T h i s d e n i t i o n l e a d s t o :

U , V , W , P , Q, R 0, U > 0 ( 3 . 6 )

S t e a d y w i n g s - l e v e l i g h t a n d s t e a d y t u r n i n g i g h t i s a l l o w e d u s i n g t h e ' a t E a r t h '

s i m p l i c a t i o n d i s c u s s e d i n s e c t i o n 3 . 1 . 2 . I g n o r i n g t h e e e c t s o f c h a n g i n g d e n s i t y w i t h

a l t i t u d e , s t e a d y w i n g s - l e v e l c l i m b a n d s t e a d y c l i m b i n g t u r n a r e a l s o t r i m c o n d i t i o n s .

F o r e a c h o f t h e d i e r e n t t r i m c o n d i t i o n s e x t r a c o n s t r a i n t s n e e d t o b e a p p l i e d . F o r

i n s t a n c e , f o r a s t e a d y w i n g s l e v e l i g h t , t h e t r i m c o n d i t i o n a l s o r e q u i r e s :

, , ,P,Q,R, 0( 3 . 7 )

W i t h t h e s e c o n s t r a i n t s a n o p t i m u m t r i m c o n d i t i o n c a n b e f o u n d u s i n g a n o p t i m i z a -

t i o n a l g o r i t h m . I n g e n e r a l , a g o o d o b j e c t i v e f u n c t i o n t o o p t i m i z e i s t o m i n i m i z e t h e

s u m o f t h e s q u a r e o f t h e a i r c r a f t b o d y a c c e l e r a t i o n s . I n t h e w o r k o f C r u m p [ 2 ] a n

o p t i m i z a t i o n a l g o r i t h m h a s b e e n p r o v i d e d a n d i s u s e d t o o b t a i n t r i m c o n d i t i o n s f o r

t h e s t a t e , i n p u t a n d o u t p u t v a r i a b l e s f o r d i e r e n t o p e r a t i n g c o n d i t i o n s .

T h e A r i e l m o d e l i s l i n e a r i z e d a r o u n d d i e r e n t t r i m c o n d i t i o n s . E a c h t r i m c o n -

d i t i o n i s a s t e a d y s t a t e e q u i l i b r i u m , t h e r e f o r e , t h e s t a t e s p a c e s y s t e m o b t a i n e d f o r

d i e r e n t o p e r a t i n g c o n d i t i o n s i s s t a b l e . I n t h e s i m u l a t i o n s , t h e d e v i a t i o n s a r o u n d

t h e s t e a d y s t a t e s o f t h e d i e r e n t s t a t e s p a c e m o d e l s h a v e t o b e a d d e d t o t h e v a l u e s

o f t h e t r i m c o n d i t i o n s t o p r o v i d e t h e ' r e a l ' v a l u e s t h a t a r e u s e d a s i n p u t f o r t h e

n o n - l i n e a r A r i e l m o d e l .

3 . 4 A r i e l m o d e l

T h e A r i e l m o d e l i s b u i l t i n t h e M A T L A B S i m u l i n k e n v i r o n m e n t . T h e m o d e l u s e s

l o o k u p t a b l e s t o n d v a l u e s f o r t h e a e r o d y n a m i c a n d p r o p u l s i v e f o r c e s a n d a i r c r a f t

p a r a m e t e r s f o r d i e r e n t o p e r a t i n g c o n d i t i o n s , a c q u i r e d b y w i n d t u n n e l t e s t i n g . T h e

6 - d e g r e e o f f r e e d o m d y n a m i c m o d e l i s c o m p l e m e n t e d b y m o d e l i n g t h e e n g i n e , s e n s o r

a n d a c t u a t o r d y n a m i c s . M o r e d e t a i l s a b o u t t h e A r i e l S i m u l i n k m o d e l c a n b e f o u n d

i n [ 2 ] . T h e m o d e l h a s v e i n p u t s ; t h r o t t l e , e l e v a t o r s , a i l e r o n s , r u d d e r a n d a p s ,

r e p r e s e n t e d a s

T e a r f

r e s p e c t i v e l y . T h e v a l u e s a n d r a t e s o f t h e s e

i n p u t s a r e l i m i t e d . T h e s t a t e s o f t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n ( 3 . 5 ) a r e t h e i n t e r n a l

s t a t e s o f t h e m o d e l . T h e m e a s u r e d o u t p u t s a r e :

Y =

nx ny nz VT P Q R

T

( 3 . 8 )

w i t h

nx , ny a n d nz t h e a c c e l e r a t i o n s i n x, y a n d z d i r e c t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e A B C - f r a m e

VT t h e t o t a l v e l o c i t y , VT =

U2 + V2 + W2

t h e a n g l e o f a t t a c k t h e s i d e s l i p a n g l e P, Q a n d R t h e a n g u l a r r a t e s , a n d t h e E u l e r a n g l e s

1 1


14/50

3 . 5 L i n e a r i z i n g t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n

A g e n e r a l n o n l i n e a r s y s t e m c a n b e w r i t t e n i n t h e f o l l o w i n g f o r m :

x(t) = f(x(t), u(t), t)( 3 . 9 )

y(t) = g (x(t), u(t), t) ( 3 . 1 0 )

I n t h e s e e q u a t i o n s , x(t) r e p r e s e n t s t h e n - s t a t e s o f t h e m o d e l , u(t) r e p r e s e n t s t h e m

- i n p u t s o f t h e m o d e l , a n d

y(t)r e p r e s e n t s t h e

p- o u t p u t s o f t h e m o d e l .

A l i n e a r i z e d m o d e l o f t h i s s y s t e m i s v a l i d i n a s m a l l r e g i o n a r o u n d t h e o p e r a t i n g

p o i n t

t = t0 , x(t0) = x0 , u(t0) = u0 , a n d y(t0) = g(x0, u0, t0) = y0 . O p e r a t i n g p o i n t s c a n b e f o u n d u s i n g t h e t r i m a l g o r i t h m . S u b t r a c t i n g t h e o p e r a t i n g p o i n t

v a l u e s f r o m t h e s t a t e s , i n p u t s , a n d o u t p u t s d e n e s a s e t o f v a r i a b l e s c e n t e r e d a b o u t

t h e o p e r a t i n g p o i n t :

x(t) = x(t) x0y(t) = y(t) y0u(t) = u(t) u0

( 3 . 1 1 )

T h e l i n e a r i z e d m o d e l c a n b e w r i t t e n i n t e r m s o f t h e s e n e w v a r i a b l e s a n d i s u s u a l l y

v a l i d w h e n t h e s e v a r i a b l e s a r e s m a l l , i . e . w h e n t h e d e p a r t u r e f r o m t h e o p e r a t i n g

p o i n t i s s m a l l :

x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + ft

(x0, u0, t)

y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) + gt

(x0, u0, t)( 3 . 1 2 )

T h e s t a t e - s p a c e m a t r i c e s

A(t),

B(t),

C(t), a n d

D(t)o f t h i s l i n e a r i z e d m o d e l r e p r e -

s e n t t h e J a c o b i a n m a t r i c e s o f t h e s y s t e m , w h i c h a r e d e n e d a s f o l l o w s :

A(t) =

xf1(x0, u0, t)...

xfn(x0, u0, t)

B(t) = uf1(x0, u0, t)..

.

ufn(x0, u0, t)

C(t) =

xg1(x0, u0, t)

.

.

.

xgp(x0, u0, t)

D(t) =

ug1(x0, u0, t)

.

.

.

ugp(x0, u0, t)

( 3 . 1 3 )

w h e r e

xf(x0, u0, t) = f(x0,u0,t)

x1(t)f(x0,u0,t)

x2(t). . . f(x0,u0,t)

xn(t) ( 3 . 1 4 ) T h e o b t a i n e d m a t r i c e s

A(t),

B(t),

C(t), a n d

D(t)a r e a l l t i m e d e p e n d e n t . T h e

m a t r i x

A(t)i s s p e c i e d i n a p p e n d i x A . W h e n t h e a i r c r a f t t r i m c o n d i t i o n f o r s t e a d y

w i n g s - l e v e l i g h t ( s p e c i e d i n s e c t i o n 3 . 3 ) i s a p p l i e d , t h e s y s t e m m a t r i x f u r t h e r

1 2


15/50

s i m p l i e s t o :

A =

0 0

0.07 0

9.81 0 0

2.05 0.01 0 0 0

0 0 0 9.81 0 0 2.05 0 30 0 0 00.07 0 0 0 0 0 0.01 30 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0.07 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0.07c2 0 0.07c1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0.07c8 0 0.07c2 0 0 01 0 0 0 0 0.02 0 0 0 0 0 00 1 0 2.05 0 30 0 0 0 0 0 00 0 1 0.01 30 0 0 0 0 0 0 0

( 3 . 1 5 )

T h e o t h e r m a t r i c e s

B(t),

C(t)a n d

D(t)w i l l a l s o b e c o m e t i m e i n v a r i a n t . B e -

c a u s e a l l t h e a c c e l e r a t i o n s a r e z e r o a n d t h e e x t e r n a l f o r c e s d o n ' t c h a n g e o v e r t i m e ,

ft

(x0, u0, t) 0 a n d gt (x0, u0, t) 0 a n d t h e s e t e r m s c a n t h u s b e n e g l e c t e d . I n t h e s t e a d y w i n g s - l e v e l i g h t c a s e , t h e s t a t e s p a c e s y s t e m b e c o m e s a l i n e a r t i m e i n -

v a r i a n t ( L T I ) s t a t e s p a c e s y s t e m .

A s m e n t i o n e d b e f o r e i n s e c t i o n 3 . 3 t h e r e a r e f o u r d i e r e n t t r i m c o n d i t i o n s . T h e

m o d e l o n l y s i m p l i e s t o a L T I s t a t e s p a c e s y s t e m w h e n t h e t r i m c o n d i t i o n f o r

s t e a d y w i n g s - l e v e l i g h t o r s t e a d y w i n g s - l e v e l c l i m b i s a p p l i e d . W h e n t h e o t h e r

t r i m c o n d i t i o n s , s t e a d y t u r n i n g i g h t a n d s t e a d y c l i m b i n g t u r n , a r e u s e d t h e s t a t e

s p a c e s y s t e m w i l l r e m a i n t i m e d e p e n d e n t .

I n t h i s r e s e a r c h , o n l y t h e L T I s t a t e s p a c e m o d e l i s u s e d . U s i n g t h e t i m e v a r y i n g

m o d e l i n t h e m o d e l p r e d i c t i v e c o n t r o l l e r w i l l r e q u i r e m o r e c o m p u t a t i o n s , a n d t h e r e -

f o r e m a k e s i t n o t ( y e t ) p o s s i b l e t o u s e t h i s f o r r e a l t i m e c o n t r o l .

T h e g e n e r a l e q u a t i o n s o f m o t i o n a n d t h e a i r c r a f t s p e c i c p r o p u l s i v e a n d a e r o d y -

n a m i c f o r c e m o d e l s a r e c o m b i n e d i n t h e S i m u l i n k m o d e l o f t h e A r i e l U A V t o g e t h e r

w i t h t h e s e n s o r a n d a c t u a t o r d y n a m i c s . T o o b t a i n t h e L i n e a r T i m e I n v a r i a n t ( L T I )

m o d e l , a n u m e r i c a l p e r t u r b a t i o n a l g o r i t h m i s u s e d t o l i n e a r i z e t h e s y s t e m . T h i s

i n v o l v e s i n t r o d u c i n g s m a l l p e r t u r b a t i o n s t o t h e n o n l i n e a r m o d e l a n d m e a s u r i n g t h e

r e s p o n s e s t o t h e s e p e r t u r b a t i o n s . B o t h t h e p e r t u r b a t i o n s a n d t h e r e s p o n s e s a r e u s e d

t o c r e a t e t h e m a t r i c e s o f t h e l i n e a r s t a t e - s p a c e m o d e l . I n a p p e n d i x B a n e x a m p l e

o f a s t a t e s p a c e m o d e l i s g i v e n l i n e a r i z e d a r o u n d a t r i m c o n d i t i o n .

1 3


16/50

C h a p t e r 4

M o d e l P r e d i c t i v e C o n t r o l

I n t h e w o r k o f W a n g [ 1 ] i t i s s h o w n h o w t o c r e a t e a c o n t i n u o u s t i m e m o d e l p r e d i c t i v e

c o n t r o l l e r u s i n g o r t h o n o r m a l f u n c t i o n s . T h e b i g a d v a n t a g e o f t h i s m e t h o d i s t h a t

i t r e d u c e s t h e r e q u i r e d c o m p u t i n g p o w e r . F i r s t , g e n e r a l m o d e l p r e d i c t i v e c o n t r o l

w i l l b e d i s c u s s e d . S e c o n d l y , t h e u s e o f o r t h o n o r m a l f u n c t i o n s t o d e s i g n a c o n t i n u o u s

t i m e m o d e l p r e d i c t i v e c o n t r o l l e r w i l l b e d i s c u s s e d . I n t h i s s e c t i o n a m o d e l p r e d i c t i v e

c o n t r o l l e r i s p r e s e n t e d w h i c h c a n b e u s e d t o c o n t r o l a l l g e n e r a l t y p e s o f s t a t e s p a c e

m o d e l s , a s l o n g a s t h e y s a t i s f y c e r t a i n c o n d i t i o n s ( s e e 4 . 2 . 3 ) . T h i s m e t h o d r e d u c e s

t h e r e q u i r e d c o m p u t i n g p o w e r , t h u s g i v i n g i t s i g n i c a n t a d v a n t a g e s w h e n u s e d i n a n

o n - l i n e e n v i r o n m e n t . I n c h a p t e r 5 t h e a p p l i c a t i o n a n d r e s u l t s o f t h i s d e s i g n m e t h o d

t o c o n t r o l t h e A r i e l m o d e l w i l l b e d e s c r i b e d .

4 . 1 M o d e l P r e d i c t i v e C o n t r o l

M o d e l p r e d i c t i v e c o n t r o l i s a n a p p r o a c h t o c o n t r o l l e r d e s i g n t h a t i n v o l v e s o n - l i n e

o p t i m i z a t i o n c a l c u l a t i o n s . T h e o n l i n e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m t a k e s a c c o u n t o f s y s -

t e m d y n a m i c s , c o n s t r a i n t s a n d c o n t r o l o b j e c t i v e s . S e v e r a l a u t h o r s h a v e p u b l i s h e d

r e v i e w s o f M P C t h e o r e t i c a l i s s u e s , i n c l u d i n g t h e p a p e r s o f G a r c a e t a l . [ 1 2 ] , R i c k e r

[ 1 3 ] , M o r a r i a n d L e e [ 1 4 ] , M u s k e a n d R a w l i n g s [ 1 5 ] a n d R a w l i n g s e t a l . [ 1 6 ] . T h e

m a i n r e a s o n f o r t h e w i d e - s c a l e a d o p t i o n b y i n d u s t r y o f m o d e l p r e d i c t i v e c o n t r o l i s

i t s a b i l i t y t o h a n d l e h a r d c o n s t r a i n t s o n c o n t r o l s a n d s t a t e s t h a t a r i s e i n m o s t a p p l i -

c a t i o n s . C o n v e n t i o n a l m o d e l p r e d i c t i v e c o n t r o l r e q u i r e s t h e s o l u t i o n o f a n o p e n - l o o p

o p t i m a l c o n t r o l p r o b l e m , i n w h i c h t h e d e c i s i o n v a r i a b l e i s a s e q u e n c e o f c o n t r o l a c -

t i o n s , a t e a c h s a m p l e t i m e . C u r r e n t c o n t r o l a c t i o n i s s e t e q u a l t o t h e r s t t e r m o f

t h e o p t i m a l c o n t r o l s e q u e n c e .

4 . 1 . 1 R e c e d i n g h o r i z o n c o n c e p t

T h e r e c e d i n g h o r i z o n i d e a i s t h e b a s i c c o n c e p t b e h i n d M P C [ 1 7 ] . I n m o s t c a s e s ,

m o d e l p r e d i c t i v e c o n t r o l u s e s a d i s c r e t e t i m e s e t t i n g . A t t i m e

tt h e p r e d i c t e d p l a n t

o u t p u t i s c a l c u l a t e d u s i n g t h e i n t e r n a l p l a n t m o d e l . T h i s i s d o n e f o r t h e p r e d i c t i o n

h o r i z o n

p. B a s e d o n t h e p l a n t s p r e d i c t e d o u t p u t a t t i m e

t + p, a c o n t r o l e o r t i s

c o m p u t e d t o r e d u c e t h e s y s t e m e r r o r , t h u s f o l l o w i n g t h e r e f e r e n c e t r a j e c t o r y . T h e

r s t s t e p (

t + 1) o f t h e c a l c u l a t e d c o n t r o l i n p u t i s e x e c u t e d . T h e n t h e o u t p u t s a r e

m e a s u r e d a g a i n ( y + 1 ) , a n d b a s e d o n t h i s o u t p u t , t h e n e w p r e d i c t e d p l a n t s t a t e s a n d o u t p u t s a r e c a l c u l a t e d f o r t h e n e w p r e d i c t i o n h o r i z o n

t + 1 + p. T h i s w a y , t h e

p r e d i c t i o n h o r i z o n k e e p s s h i f t i n g , e v e r y t i m e

ps e c o n d s a h e a d o f t h e c u r r e n t t i m e

t.

T h i s p r i n c i p l e i s i l l u s t r a t e d i n g u r e 4 . 1 .

1 4


17/50

I n t h i s r e s e a r c h a c o n t i n u o u s t i m e M P C i s u s e d . T h i s m e a n s t h a t a c o n t i n u o u s

t i m e m o d e l i s u s e d t o c a l c u l a t e t h e s y s t e m b e h a v i o r a n d t h e d e s i r e d c o n t r o l t r a -

j e c t o r y . T h e e x e c u t i o n o f t h e a l g o r i t h m d o e s u s e a d i s c r e t e t i m e s e t t i n g i n t h e

s e n s e t h a t f o r a p r e d e n e d t i m e s t e p t h e c o n t r o l e o r t i s e x e c u t e d b e f o r e a n e w

o p t i m i z a t i o n s t e p i s m a d e .

F i g u r e 4 . 1 : R e c e d i n g h o r i z o n c o n t r o l

4 . 1 . 2 O p t i m a l c o n t r o l f o r m u l a t i o n

T h e p l a n t b e h a v i o r c a n b e d e s c r i b e d b y :

dx

dt= f(x,u,t)

( 4 . 1 )

T h e m o d e l o u t p u t s a r e c a l c u l a t e d u p t o t i m e p. T h e c o n t r o l o b j e c t i v e i s t o m i n i m i z e a c o s t f u n c t i o n , w h i c h h a s t h e f o r m :

V(x,u,t) = p

0

l(x(t), u(t), t)dt + F(x(p)) ( 4 . 2 )

w h e r e l(x(t), u(t), t) i s s o m e f u n c t i o n , s a t i s f y i n g l(x(t), u(t), t) 0 , F(x(p)) i s t h e t e r m i n a l s t a t e w e i g h t i n g ( a t t h e p r e d i c t i o n h o r i z o n

p) a n d t h e c o n t r o l i n p u t i s

c o n s t r a i n e d t o b e i n s o m e s e t u(t) U. T h i s i s a v e r y g e n e r a l f o r m u l a t i o n , a n d j u s t a b o u t e v e r y s e n s i b l e p r o b l e m c a n b e r e p r e s e n t e d i n t h i s f o r m b y u s i n g s u i t a b l e

f u n c t i o n s f, F a n d l .T o s o l v e t h e m i n i m i z a t i o n o f t h e c o s t f u n c t i o n , t h e f o l l o w i n g p a r t i a l d i e r e n t i a l

e q u a t i o n n e e d s t o b e s o l v e d :

tV0(x, t) = minuUH(x,u,

xV0(x, t))

( 4 . 3 )

W h e r e

H(x,u,) = l(x, u) + f(x, u), w i t h t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n

V(x, p) =F(x(p)). T h i s e q u a t i o n i s c a l l e d t h e H a m i l t o n - J a c o b i a n - B e l l m a n e q u a t i o n a n d i n

1 5


18/50

m o s t c a s e s i t i s v i r t u a l l y i m p o s s i b l e t o s o l v e t h i s p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n . I t

i s n e c e s s a r y t o m a k e s o m e a s s u m p t i o n s t o g e t s o l u t i o n s i n p r a c t i c e . O n e w a y i s t o

a s s u m e t h e p l a n t i s l i n e a r , s o t h a t

f(x,u,t)h a s t h e s p e c i a l f o r m :

x = A(t)x(t) + B(t)u(t)( 4 . 4 )

a n d t h a t t h e f u n c t i o n s l a n d F a r e q u a d r a t i c f u n c t i o n s :

l(x(t), u(t), t) = xT(t)Q(t)x(t) + uT(t)R(t)u(t) ( 4 . 5 )

F(x(p)) = xT(p)Sx(p)( 4 . 6 )

w h e r e Q(t) , R(t) a n d S a r e s q u a r e , p o s i t i v e - d e n i t e m a t r i c e s . I n t h a t c a s e t h e H a m i l t o n - J a c o b i - B e l l m a n e q u a t i o n s i m p l i e s t o a n o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n ,

t h e R i c a t t i e q u a t i o n . A c a n d i d a t e f u n c t i o n t o s o l v e t h e H J B e q u a t i o n i s t o m a i n t a i n

a q u a d r a t i c f o r m o f t h e c o s t f u n c t i o n a t a l l t i m e

t. A s s u m e t h a t :

V0(x, t) = xT(t)P(t)x(t), P(t) = PT(t) ( 4 . 7 )

T h e n , t h e H J B e q u a t i o n i s s i m p l i e d t o t h e f o l l o w i n g R i c c a t i e q u a t i o n :

P(t) = P(t)A(t) + A(t)TP(t) + Q(t) P(t)B(t)R1(t)B(t)TP(t) ( 4 . 8 ) P(p) = S ( 4 . 9 )

T h i s c a n b e s o l v e d a n d l e a d s t o a l i n e a r , t i m e - v a r y i n g f e e d b a c k l a w :

u(t) = F(t)x(t)( 4 . 1 0 )

w h e r e

F(t)i s t h e ' s t a t e f e e d b a c k ' m a t r i x , w h i c h d e p e n d s o n t h e s o l u t i o n o f t h e

R i c a t t i e q u a t i o n .

F(t) = R1(t)B(t)TP(t)( 4 . 1 1 )

4 . 2 C o n t i n u o u s t i m e m o d e l p r e d i c t i v e c o n t r o l d e -

s i g n u s i n g o r t h o n o r m a l f u n c t i o n s

4 . 2 . 1 I n t r o d u c t i o n

M o s t o f t h e M P C t e c h n i q u e s d e v e l o p e d o v e r t h e l a s t y e a r s h a v e f o c u s s e d o n d i s -

c r e t e t i m e s y s t e m s . I n r e c e n t y e a r s t h e i n t e r e s t i n c o n t i n u o u s t i m e m o d e l p r e d i c t i v e

c o n t r o l h a s g r o w n . I n g e n e r a l , c o n t i n u o u s t i m e M P C i s m o r e c o m p l i c a t e d t h a n i t s

d i s c r e t e t i m e c o u n t e r p a r t . T h i s i s b e c a u s e i n t h e c o n t i n u o u s t i m e c a s e , t h e f u t u r e

p l a n t b e h a v i o r i s c a l c u l a t e d t h r o u g h c o n v o l u t i o n i n s t e a d o f d i r e c t i t e r a t i o n , w h i c h

i s c o m p u t a t i o n a l l y m o r e d e m a n d i n g . A n e m u l a t o r w a s p r o p o s e d t o o b t a i n t h e p r e -

d i c t i o n s t h r o u g h a T a y l o r s e r i e s e x p a n s i o n i n [ 1 8 , 1 9 , 2 0 ] .

O n e o f t h e c r u c i a l s t e p s w i d e l y u s e d i n t h e d e r i v a t i o n o f d i s c r e t e t i m e M P C i s

t o c a p t u r e t h e p r o j e c t e d c o n t r o l s i g n a l o v e r a p r e d i c t i o n h o r i z o n u s i n g a m o v i n g

a v e r a g e s t r u c t u r e . T o m a k e t h e s t r u c t u r e n i t e d i m e n s i o n a l , l o n g t e r m i n c r e m e n t s

o f t h e f u t u r e c o n t r o l s i g n a l a r e a s s u m e d t o g o t o z e r o . T h i s t e c h n i q u e c a n n o t b e

n a t u r a l l y a d o p t e d i n c o n t i n u o u s t i m e M P C d e s i g n w h e r e t h e c o r r e s p o n d i n g c o m -

p o n e n t s a r e t h e d e r i v a t i v e s o f t h e c o n t r o l s i g n a l o v e r t h e p r e d i c t i o n h o r i z o n . T h e s e

c a n n o t b e a s s u m e d t o b e z e r o w i t h o u t a e c t i n g c l o s e d - l o o p p e r f o r m a n c e .

B a s e d o n a s t a t e s p a c e m o d e l , G a w t h r o p [ 2 1 ] p r o p o s e d t o u s e a s e t o f e x p o n e n t i a l

1 6


19/50

f u n c t i o n s t o c a p t u r e t h e c o n t r o l t r a j e c t o r y w i t h t h e p a r a m e t e r s r e l a t e d t o t h e l o -

c a t i o n o f t h e c l o s e d - l o o p p o l e s . I n h i s m e t h o d t h e n u m b e r o f e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s

m a t c h e s t h e n u m b e r o f s t a t e v a r i a b l e s .

T h e d e s i g n t e c h n i q u e p r e s e n t e d h e r e c a n b e u s e d a s a n a l t e r n a t i v e t o c l a s s i c a l r e -

c e d i n g h o r i z o n c o n t r o l w i t h o u t t h e n e e d t o s o l v e t h e m a t r i x d i e r e n t i a l R i c a t t i

e q u a t i o n . F u t u r e p r e d i c t i o n i s c a l c u l a t e d i n a n a n a l y t i c a l f o r m . T h e c o n t r o l t r a -

j e c t o r y i s c a l c u l a t e d u s i n g a p r e - c h o s e n s e t o f o r t h o n o r m a l b a s i s f u n c t i o n s . T h i s

t e c h n i q u e i s d e s i g n e d f o r c o n t i n u o u s t i m e , b u t i t c a n b e r e a d i l y e x t e n d e d t o d i s c r e t e

t i m e s y s t e m s a n d i t i s e x p e c t e d t o b e a p p l i c a b l e t o n o n - l i n e a r s y s t e m s a s w e l l [ 1 ] .

T h e r s t d e r i v a t i v e o f t h e c o n t r o l s i g n a l c a n b e a p p r o x i m a t e d w i t h i n t h e p r e d i c t i o n

h o r i z o n u s i n g o r t h o n o r m a l b a s i s f u n c t i o n s [ 2 2 ] . T h e a c c u r a c y o f t h e a p p r o x i m a t i o n ,

w h e n u s i n g o r t h o n o r m a l f u n c t i o n s , i s d e p e n d e n t o n t h e c h o i c e o f c e r t a i n s c a l i n g

f a c t o r s . F o r e x a m p l e , w h e n u s i n g a L a g u e r r e n e t w o r k , t h e p o l e l o c a t i o n i s i m p o r -

t a n t . T o s i m p l i f y t h e p e r f o r m a n c e s p e c i c a t i o n p r o c e d u r e , L a g u e r r e o r t h o n o r m a l

f u n c t i o n s a r e u s e d i n t h i s d e s i g n . T h e s c a l i n g f a c t o r i s m a d e a p e r f o r m a n c e t u n i n g

p a r a m e t e r . T h i s p a r a m e t e r p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e i n t h e r e s p o n s e s p e e d o f t h e

c l o s e d - l o o p s y s t e m .

T h e n o v e l t y o f t h i s a p p r o a c h l i e s i n t h e f a c t t h a t t h e p r o b l e m o f n d i n g t h e o p t i m a l

c o n t r o l s i g n a l i s c o n v e r t e d i n t o o n e o f n d i n g a s e t o f c o e c i e n t s f o r t h e L a g u e r r e

m o d e l . T h i s a p p r o a c h e e c t i v e l y r e d u c e s t h e n u m b e r o f p a r a m e t e r s r e q u i r e d i n t h e

o p e r a t i o n , t h u s o e r i n g a s u b s t a n t i a l a d v a n t a g e w h e n u s e d i n a n o n - l i n e e n v i r o n -

m e n t .

4 . 2 . 2 D e s c r i p t i o n o f c o n t r o l t r a j e c t o r y

I t i s k n o w n t h a t a n a r b i t r a r y f u n c t i o n

f(t)h a s a f o r m a l e x p a n s i o n a n a l o g o u s t o

a F o u r i e r e x p a n s i o n [ 2 3 ] . B a s e d o n t h i s t e c h n i q u e , a n a r b i t r a r y f u n c t i o n

f(t)i s

e x p r e s s e d i n t e r m s o f a s e r i e s e x p a n s i o n a s

f(t) =

i=1

ili(t) ( 4 . 1 2 )

w h e r e

i , i = 1, 2, . . . a r e t h e c o e c i e n t s a n d li(t), i = 1, 2, . . . a r e o r t h o g o n a l f u n c t i o n s s a t i s f y i n g

0

li(t)2dt = 1

0

li(t)lj (t)dt = 0 i = j ( 4 . 1 3 )

F u r t h e r , a s s u m i n g t h a t f(t) i s a p i e c e - w i s e c o n t i n u o u s f u n c t i o n s a t i s f y i n g

0

f(t)2dt < ( 4 . 1 4 )

t h e n f o r a n y > 0 a n d 0 t , t h e r e e x i s t s a n i n t e g e r N s u c h t h a t f o r a l l k N

0

(f(t)k

i=1

ili(t))2dt ( 4 . 1 5 )

I n s u m m a r y , a t r u n c a t e d e x p a n s i o n

Ni=1 ili(t) i s u s e d t o c l o s e l y a p p r o x i m a t e f(t) .

O n e s e t o f o r t h o n o r m a l f u n c t i o n s f r e q u e n t l y u s e d i s t h e s e t o f L a g u e r r e f u n c t i o n s .

1 7


20/50

L a g u e r r e f u n c t i o n s a r e a p p e a l i n g t o e n g i n e e r s b e c a u s e t h e L a p l a c e t r a n s f o r m o f

li(t)h a s a p a r t i c u l a r l y s i m p l e f o r m :

0

li(t)estdt =

2p

(s p)i1(s +p)i

( 4 . 1 6 )

w h e r e

pi s p o s i t i v e a n d o f t e n c a l l e d s c a l i n g f a c t o r . F r o m ( 4 . 1 6 ) , a d i e r e n t i a l e q u a -

t i o n c a n b e d e r i v e d , w h i c h i s s a t i s e d b y t h e L a g u e r r e f u n c t i o n s . S p e c i c a l l y , l e t

L(t) = [l1(t) l2(t) . . . lN(t)]T

a n d

L(0) =

2p[1 1 . . . 1]T. T h e n t h e L a g u e r r e

f u n c t i o n s s a t i s f y t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n :

L(t) = ApL(t) ( 4 . 1 7 )

w h e r e

Ap =

p 0 . . . 0

2p

p . . . 0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

2 p . . . 2p p

( 4 . 1 8 )

T h e s o l u t i o n o f t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n ( 4 . 1 7 ) l e a d s t o a r e p r e s e n t a t i o n o f t h e

L a g u e r r e f u n c t i o n s i n t e r m s o f a m a t r i x e x p o n e n t i a l f u n c t i o n :

L(t) = eAptL(0)( 4 . 1 9 )

F o r a l i n e a r t i m e i n v a r i a n t s y s t e m , w h e n t h e c l o s e d l o o p s y s t e m i s s t a b l e , t h e c o n t r o l

s i g n a l f o r a s e t - p o i n t c h a n g e o r a l o a d d i s t u r b a n c e r e j e c t i o n e x p o n e n t i a l l y c o n v e r g e s

t o a c o n s t a n t a f t e r t h e t r a n s i e n t r e s p o n s e p e r i o d . U s i n g t h i s i n t h e r e c e d i n g h o r i z o n

c o n t r o l d e s i g n , t h e f u t u r e c o n t r o l s i g n a l , d e r i v e d i n s e c t i o n 4 . 1 . 2 r e s p o n d s i n a t i m e

i n v a r i a n t f a s h i o n f o r e a c h m o v i n g h o r i z o n w i n d o w . T h u s t h e d e r i v a t i v e o f t h e c o n t r o l

s i g n a l

u(t)c o n v e r g e s t o z e r o , w h e n i t i s a s s u m e d t h a t t h e c l o s e d l o o p s y s t e m i s s t a b l e

w i t h i n e a c h m o v i n g h o r i z o n w i n d o w

ti t ti + Tp . I t i s s e e n t h a t : ti+Tpti

u(t)2dt < ( 4 . 2 0 )

B y a p p l y i n g t h e t e c h n i q u e u s e d b y W i e n e r a n d L e e [ 2 2 ] , t h e d e r i v a t i v e o f t h e c o n t r o l

s i g n a l c a n b e d e s c r i b e d b y u s i n g a L a g u e r r e f u n c t i o n b a s e d s e r i e s e x p a n s i o n a s :

u(t) =N

i=1ili(t) = L(t)

T( 4 . 2 1 )

w h e r e

= [1 2 . . . N]T

i s t h e v e c t o r o f c o e c i e n t s o f t h e o r t h o g o n a l f u n c t i o n s

li(t) w h i c h e x p r e s s t h e s e r i e s e x p a n s i o n o f u(t) .

R e m a r k s :

A s s u m e t h a t a m o v i n g t i m e w i n d o w i s t a k e n a s ti t ti + Tp , a n d w i t h i n t h i s w i n d o w t h e c o n t r o l s i g n a l i s d e n o t e d b y

u(t)a n d i t s d e r i v a t i v e b y

u(t).

I n g e n e r a l , t h e c o n t r o l s i g n a l i n a s t a b l e c l o s e d - l o o p s y s t e m d o e s n o t c o n v e r g e

t o z e r o a s t i f t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t e x t e r n a l s i g n a l s u c h a s a s e t - p o i n t s i g n a l , s t e p i n p u t d i s t u r b a n c e o r s t e p o u t p u t d i s t u r b a n c e .

S u p p o s e t h a t f o r ti t ti + Tp , t h e p r o j e c t e d c o n t r o l s i g n a l u(t) c o n v e r g e s e x p o n e n t i a l l y t o a c o n s t a n t , c o n s e q u e n t l y l e a d i n g t o t h e e x p o n e n t i a l c o n v e r -

g e n c e o f t h e d e r i v a t i v e , u(t), t o z e r o . A s a r e s u l t t h e o r t h o n o r m a l f u n c t i o n s

1 8


21/50

c a n n o t b e u s e d t o d e s c r i b e t h e c o n t r o l s i g n a l w i t h t h e e x p e c t a t i o n o f c o n v e r -

g e n c e o f t h e e x p a n s i o n i n a n i t e n u m b e r o f t e r m s . H o w e v e r , t h e d e r i v a t i v e

o f t h e c o n t r o l s i g n a l d o e s p r e s e r v e s t h e p r o p e r t y t h a t 0

u(t)2dt

.

I n s u m m a r y , i f t h e r e i s a n e x t e r n a l c o n s t a n t i n p u t s i g n a l t o t h e c l o s e d - l o o p

c o n t r o l s i g n a l , t h e s u i t a b l e c a n d i d a t e v a r i a b l e w h i c h c a n b e m o d e l l e d b y a s e t

o f o r t h o n o r m a l f u n c t i o n s i s t h e d e r i v a t i v e o f t h e c o n t r o l s i g n a l , n o t t h e c o n t r o l

s i g n a l i t s e l f . T h i s i s a r e a l i s t i c s i t u a t i o n a s s e t p o i n t c h a n g e a n d d i s t u r b a n c e

r e j e c t i o n a r e t h e p r i m a r y r o l e s i n w h i c h a f e e d b a c k c o n t r o l s y s t e m p l a y s .

M o d e l p r e d i c t i v e c o n t r o l i s a n o p e n - l o o p o p t i m i s a t i o n s t r a t e g y u n l e s s t h e s t a t e

v a r i a b l e

x(t)i s m e a s u r a b l e . T h e a c t u a l f e e d b a c k i s i n t r o d u c e d t h r o u g h t h e

u s e o f a n o b s e r v e r t o e s t i m a t e t h e s t a t e v a r i a b l e s ( s e e s e c t i o n 4 . 2 . 4 ) . A l s o , b y

i n t r o d u c i n g t h e c o n t r o l l e r , t h e o p e n l o o p p r o p e r t i e s o f t h e s y s t e m a r e a e c t e d .

A s s u m i n g t h a t t h e c l o s e d l o o p s y s t e m i s s t a b l e i s t h e r e f o r e q u e s t i o n a b l e .

4 . 2 . 3 P r e d i c t e d p l a n t o u t p u t

T h e p l a n t t o b e c o n t r o l l e d i s a m u l t i v a r i a b l e s t a t e s p a c e s y s t e m w i t h

ri n p u t s

u(t)a n d q o u t p u t s y(t) . F u r t h e r m o r e , i t i s a s s u m e d t h a t t h e p l a n t s u e r s f r o m e x t e r n a l d i s t u r b a n c e s (t) ( e . g . c h a n g i n g w i n d , t e m p e r a t u r e c h a n g e o f t h e a i r , c h a n g e s o f t h e a i r d e n s i t y ) a n d t h e m e a s u r e m e n t s o f t h e o u t p u t s a r e d i s t u r b e d w i t h

(t):

xm(t) = Amxm(t) + Bmu(t) + (t)

y(t) = Cmxm(t) + Dmu(t) + (t) ( 4 . 2 2 )

w h e r e

xm(t) i s t h e s t a t e v e c t o r o f d i m e n s i o n n. I t i s a s s u m e d t h a t

Ed(t)

dt = 0E

d(t)

dt

= 0 ( 4 . 2 3 )

a n d

E

d(t)

dt

d()T

d

= W(t )

E

d(t)

dt

d()T

d

= R(t ) ( 4 . 2 4 )

w h e r e

E{}d e n o t e s e x p e c t a t i o n a n d

(.)i s t h e D i r a c f u n c t i o n . H e r e i t i s a s s u m e d

t h a t (t) a n d (t) a r e c o n t i n u o u s t i m e w h i t e n o i s e p r o c e s s e s .

I n t r o d u c e t h e v a r i a b l e

z(t) = xm(t) =d

dt

Amxm(t) + Bmxm(t) + (t)

( 4 . 2 5 )

T h e s t a t e s p a c e s y s t e m ( 4 . 2 2 ) c a n n o w b e w r i t t e n i n a n a u g m e n t e d f o r m :

X(t) = AX(t) + Bu(t) +

(t)(t)

y(t) = CX(t)

( 4 . 2 6 )

w h e r e

X(t) =

z(t)y(t)

A =

Am 0Cm 0

B =

BmDm

C = [0 I]

1 9


22/50

Ii s t h e

q qu n i t m a t r i x . N o t e t h a t t h e a u g m e n t e d s t a t e s p a c e d e s c r i p t i o n ( 4 . 2 6 )

t a k e s t h e r s t d e r i v a t i v e o f t h e c o n t r o l s i g n a l a s i t s i n p u t a n d i t s o u t p u t r e m a i n s

t h e s a m e .

B e c a u s e t h e w h i t e n o i s e h a s a z e r o a v e r a g e , t h e e x p e c t e d e e c t o f t h e r a n d o m d i s t u r -

b a n c e s (

(t),

(t)) i n t h e f u t u r e p r e d i c t i o n i s a s s u m e d t o b e z e r o . T h e m e a s u r e m e n t

n o i s e (t) a n d t h e d i s t u r b a n c e s (t) a r e n o t a m p l i e d , b e c a u s e a n o b s e r v e r i s u s e d t o e s t i m a t e t h e s t a t e v a r i a b l e s s o t h a t e x p l i c i t d i e r e n t i a t i o n i s a v o i d e d . B e c a u s e

o f t h i s , t h e n o i s e t e r m s a r e n e g l e c t e d i n t h i s a n a l y t i c a l a p p r o a c h , a n d i t i s n o t n e c -

e s s a r y t o c a l c u l a t e t h e d e r i v a t i v e o f (t) a n d (t) i n e q u a t i o n ( 4 . 2 6 ) . S i m u l a t i o n s s h o w t h a t t h e p r e s e n c e o f m e a s u r e m e n t n o i s e a n d d i s t u r b a n c e s d o n o t i n u e n c e t h e

p e r f o r m a n c e o f t h e c o n t r o l l e r [ 1 ] .

I t c a n b e s h o w n t h a t i f t h e a u g m e n t e d s t a t e s p a c e s y s t e m i s o b s e r v a b l e a n d c o n -

t r o l l a b l e , i t i s p o s s i b l e t o t r a c k t h e o u t p u t s o f t h e o r i g i n a l s y s t e m u s i n g a m o d e l

p r e d i c t i v e c o n t r o l l e r [ 2 6 ] . O f c o u r s e , t h i s o n l y h o l d s w h e n t h e r e a r e n o c o n s t r a i n t s

a c t i v e o n t h e s y s t e m .

I t i s a s s u m e d t h a t a t t h e c u r r e n t t i m e

ti , t h e s t a t e v a r i a b l e X(ti) i s a v a i l a b l e . T h e n a t t h e f u t u r e t i m e ti + , > 0, t h e p r e d i c t e d s t a t e v a r i a b l e X(ti + ) i sd e s c r i b e d b y t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n :

X(ti + ) = eAX(ti) +

ti+ti

eA(ti+)Bu()d ( 4 . 2 7 )

= eAX(ti) +

0

eA()Bu(ti + )d ( 4 . 2 8 )

( 4 . 2 9 )

w h e r e t h e e x p e c t e d e e c t o f t h e r a n d o m d i s t u r b a n c e s (

(t),

(t)) i n t h e f u t u r e p r e -

d i c t i o n i s z e r o . T h e p r o j e c t e d c o n t r o l t r a j e c t o r y u(t) w i l l b e p a r a m e t e r i z e d u s i n g t h e o r t h o n o r m a l f u n c t i o n s d e s c r i b e d i n s e c t i o n 4 . 2 . 2 .

T h e c o n t r o l s i g n a l c a n b e w r i t t e n a s :

u(t) = [u1(t) u2(t) . . . ur(t)]T

a n d t h e i n p u t m a t r i x B a s :

B = [B1 B2 . . . Br]

w h e r e Bi i s t h e i- t h c o l u m n o f t h e B m a t r i x . T h e i- t h c o n t r o l s i g n a l ui(t) ( i =1, 2 . . . r

) i s e x p r e s s e d a s :

ui(t) = Li(t)Ti

w h e r e

Li(t)T =

li1(t) l

i2(t) . . . l

iNi

(t)

a n d

i =

i1 i2 . . .

iNi

T.

pia n d

Ni a r e p r e - c h o s e n . T h e n t h e p r e d i c t e d f u t u r e s t a t e a t t i m e ti + , X(ti + ), i s

X(ti + ) = eAX(ti)

+

0

eA()

B1L1()T B2L2()

T ... BrLr()T

d ( 4 . 3 0 )

w h e r e t h e c o e c i e n t v e c t o r T =

T1 T2 . . .

Tr

Th a s d i m e n s i o n

ri=1 Ni .

A c c o r d i n g l y , t h e p l a n t o u t p u t p r e d i c t i o n c a n b e r e p r e s e n t e d b y

y(ti + ) = CX(ti + ) ( 4 . 3 1 )

T h e m a j o r c o m p u t a t i o n l o a d i n e v a l u a t i n g t h e p r e d i c t i o n c o m e s f r o m t h e c o n v o l u -

t i o n o p e r a t i o n i n ( 4 . 3 0 ) , w h i c h r e q u i r e s t h e s o l u t i o n s o f (n + q)ri=1 Ni i n t e g r a l 2 0


23/50

e q u a t i o n s . F o r a g i v e n

, t h e i n t e g r a l e q u a t i o n s c a n b e s o l v e d n u m e r i c a l l y u s i n g

n i t e s u m a p p r o x i m a t i o n . H o w e v e r , s u c h a n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n i s u n n e c e s s a r y

a n d a n a l y t i c a l s o l u t i o n s c a n b e f o u n d f o r t h e c o n v o l u t i o n i n t e g r a l .

T h e c o n v o l u t i o n i n t e g r a l c o r r e s p o n d i n g t o t h e

i- t h i n p u t i s d e n e d a s :

Iint()i =

0

eA()Bi Li()Td

( 4 . 3 2 )

w h e r e

Iint()i

i s a m a t r i x w i t h d i m e n s i o n a l i t y o f

(n + q)Ni . S u b s t i t u t i n g t h i s i n ( 4 . 3 0 ) s h o w s t h a t t h e p r e d i c t i o n o f t h e f u t u r e t r a j e c t o r y c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s

o f Iint()i

w i t h 1 i r . T h e m a t r i x Iint()i c a n b e e x p r e s s e d a s :

AIint() Iint()ATp = BL()T + eABL(0)T ( 4 . 3 3 )

w h e r e L()T , L(0)T a n d Ap a r e d e n e d b y e q u a t i o n s ( 4 . 1 7 ) , ( 4 . 1 8 ) a n d ( 4 . 1 9 ) . U p o n o b t a i n i n g t h e m a t r i c e s Iint()i f o r i = 1, 2, . . . , r, a s o u t l i n e d a b o v e , t h e p r e d i c t i o n X(ti +) c a n b e d e t e r m i n e d . W i t h t h i s t h e p r e d i c t e d p l a n t o u t p u t c a n b e c a l c u l a t e d u s i n g ( 4 . 3 1 ) .

4 . 2 . 4 O p t i m a l c o n t r o l s t r a t e g y

T o c o m p u t e t h e o p t i m a l c o n t r o l a c o s t f u n c t i o n h a s t o b e o p t i m i z e d . S u p p o s e t h a t

a s e t o f f u t u r e s e t p o i n t s

r(ti + ) =

r1(ti + ) r2(ti + ) . . . rq(ti + )

,

0 Tp a r e a v a i l a b l e , w h e r e Tp i s t h e p r e d i c t i o n h o r i z o n . T h e c o m m o n o b j e c t i v e o f m o d e l p r e d i c t i v e c o n t r o l i s t o n d t h e c o n t r o l l a w t h a t w i l l d r i v e t h e p r e d i c t e d

p l a n t o u t p u t

y(ti + ) a s c l o s e a s p o s s i b l e , i n a l e a s t s q u a r e s s e n s e , t o t h e f u t u r e t r a j e c t o r y o f t h e s e t p o i n t r(ti + ) . T h e e q u i v a l e n t c o s t f u n c t i o n c a n b e d e n e d a s :

J =

Tp0

[r(ti +)y(ti +)]TQ[r(ti +)y(ti +)]d+Tp

0

u()TRu()d ( 4 . 3 4 )

w h e r e Q a n d R a r e s y m m e t r i c m a t r i c e s w i t h Q > 0 a n d R 0. T o s i m p l i f y t h e t u n i n g p r o c e s s ,

Qi s s e t t o t h e u n i t m a t r i x

Ia n d

Rt o z e r o . I n [ 1 ] i t i s s h o w n t h a t

t h e p e r f o r m a n c e o f t h e M P C i s p r e d o m i n a n t l y d e t e r m i n e d b y t u n i n g t h e v a l u e s o f

p a n d N a n d t u n i n g o f Q a n d R i s t h e r e f o r e n o t n e c e s s a r y . T h e t u n i n g o f t h e M P C w i l l b e d o n e b y c h a n g i n g t h e p a r a m e t e r s

p( p o l e s o f t h e L a g u e r r e f u n c t i o n s ) a n d

N( n u m b e r o f o r t h o n o r m a l f u n c t i o n s ) .

T h e c o s t f u n c t i o n c a n b e w r i t t e n a s a f u n c t i o n o f

i n s t e a d o f

y(ti + ). A s s u m i n g f u r t h e r t h a t t h e r e f e r e n c e t r a j e c t o r y d o e s n o t c h a n g e w i t h i n t h e p r e d i c t i o n h o r i z o n

Tp , t h e q u a d r a t i c c o s t f u n c t i o n c a n b e w r i t t e n a s :

J = T 2T{1r(ti) 2X(ti)}+Tp

0

wT(ti + )Qw(ti + )d ( 4 . 3 5 )

w h e r e

=

Tp0

()Q()Td + R

1 =

Tp0

()Qd ; 2 =

Tp0

()QCeAd

a n d

R = diag (iINiNi)

w h e r e

ia r e t h e e i g e n v a l u e s o f e x t e n d e d s y s t e m m a t r i x

Aa n d

INiNi

i s t h e

NiNiu n i t y m a t r i x .

2 1


24/50

T h e m i n i m u m o f ( 4 . 3 5 ) , w i t h o u t h a r d c o n s t r a i n t s o n t h e v a r i a b l e s , i s t h e n g i v e n b y

t h e l e a s t s q u a r e s s o l u t i o n :

= 1{1r(ti) 2X(ti)} ( 4 . 3 6 )

T h e d e r i v a t i v e o f t h e c o n t r o l i n p u t u(t) c a n n o w b e c o m p u t e d b y :

u(ti) =

L1(0)T 0 . . . 0

0 L2(0)T . . . 0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 . . . Lr(0)T

1{1r(ti) 2X(ti)} ( 4 . 3 7 )

I n t e g r a t i o n g i v e s t h e c o n t r o l l a w :

u(t) = t

0

u () d( 4 . 3 8 )

T h e c o s t f u n c t i o n c a n b e e x p a n d e d b y a d d i n g w e i g h t i n g t o t h e t e r m i n a l s t a t e [ 1 ] ,

t o g u a r a n t e e c l o s e d - l o o p s t a b i l i t y f o r c o n t i n u o u s t i m e m o d e l p r e d i c t i v e c o n t r o l [ 1 8 ] .

B e c a u s e t h e c o s t f u n c t i o n ( 4 . 3 5 ) i s a q u a d r a t i c f u n c t i o n , i t i s r e l a t i v e l y e a s y t o

p u t h a r d c o n s t r a i n t s o n t h e o u t p u t - , t h e c o n t r o l - a n d t h e r s t d e r i v a t i v e o f t h e

c o n t r o l v a r i a b l e s . T h e o p t i m i z a t i o n o f t h e c o s t f u n c t i o n , s u b j e c t t o a n u m b e r o f

i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s i s a s t a n d a r d q u a d r a t i c p r o g r a m m i n g p r o b l e m . T o f o r m a

s e t o f i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s f o r t h e o u t p u t a n d c o n t r o l s i g n a l s , d i s c r e t i z a t i o n o f t h e

t r a j e c t o r i e s i s n e c e s s a r y .

T h e b o u n d s o n t h e d e r i v a t i v e o f t h e c o n t r o l c a n b e d e n e d a s :

ulow(ti + i)

L1(i)T 0 . . . 0

0 L2(i)T . . . 0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 . . . Lr(i)T

uhigh(ti + i) ( 4 . 3 9 )

w h e r e i , i = 0, 1, . . . , K , d e n o t e s t h e s e t o f f u t u r e t i m e i n s t a n t s a t w h i c h w e w i s h t o i m p o s e t h e l i m i t s o n

u. ( 4 . 3 9 ) y i e l d s a s e t o f l i n e a r i n e q u a l i t y e q u a t i o n s . S i n c e

Lk() , k = 1, 2, . . . , r a r e t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s , w h i c h g u a r a n t e e s t h e e x p o n e n - t i a l d e c a y o f

u(ti + ), i t i s n e c e s s a r y t o a p p l y t h e c o n s t r a i n t s o n l y t o t h e i n i t i a l s t a g e o f t h e p r e d i c t i o n h o r i z o n . T h i s f e a t u r e c o u l d p o t e n t i a l l y r e d u c e t h e n u m b e r

o f c o n s t r a i n t s r e q u i r e d .

C o n s t r a i n t s o n t h e c o n t r o l s i g n a l , t h e o u t p u t v a r i a b l e s a n d t h e s y s t e m s t a t e s c a n

b e d e n e d a s f o l l o w s :

ulow(ti + i)

i

0L1()

Td 0 . . . 00

i0

L2()Td . . . 0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 . . .i

0Lr()Td

+ u(ti t)

uhigh(ti + i) ( 4 . 4 0 )

w h e r e

u(ti t) i s t h e p r e v i o u s c o n t r o l s i g n a l . S i m p l e c o m p u t a t i o n s h o w s t h a t , w i t h p a n d N s u i t a b l y c h o s e n ,

i0

Lk()Td =

A

1p (eApi I)L(0)T ( 4 . 4 1 )

2 2


25/50

w h e r e

Ap i s d e n e d b y e q u a t i o n ( 4 . 1 8 ) . T h u s , f o r a g i v e n s e t o f t i m e i n s t a n t s i ,e q u a t i o n ( 4 . 4 0 ) y i e l d s a s e t o f l i n e a r i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s o n t h e c o n t r o l s i g n a l .

Xlow eAiX(ti) +

Iint(i)1 Iint(i)2 . . . I int(i)r

Xhigh ( 4 . 4 2 ) a n d

ylow CeAiX(ti) + C

Iint(i)1 Iint(i)

2 . . . I int(i)r

yhigh ( 4 . 4 3 )

T h e w h o l e p r o c e d u r e d e s c r i b e d a b o v e a s s u m e s t h a t t h e s t a t e s a t t i m e ti a r e k n o w n . I n g e n e r a l i t i s n o t p o s s i b l e t o m e a s u r e t h e s t a t e o f a p l a n t . T h e s t a n d a r d a p p r o a c h

i s t h e u s e o f a n o b s e r v e r t o e s t i m a t e t e s t a t e v a r i a b l e s X(ti) [ 2 4 , 2 5 ] . T h e o b s e r v e r e q u a t i o n t h a t i s n e e d e d f o r t h e i m p l e m e n t a t i o n o f t h e c o n t i n u o u s t i m e M P C i s g i v e n

b y :

X(t) = AX(t) + Bu(t) + Job(y(t) CX(t)) ( 4 . 4 4 )

H e r e

X(t)i s t h e e s t i m a t e o f

X(t)a n d

Jobi s t h e o b s e r v e r g a i n .

u(t)i s d e t e r -

m i n e d f r o m t h e o p t i m a l s o l u t i o n o f t h e m o d e l p r e d i c t i v e c o n t r o l s t r a t e g y , e i t h e r

u s i n g t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n o r a q u a d r a t i c p r o g r a m m i n g a p p r o a c h . T h e o b s e r v e r

c a n b e d e s i g n e d u s i n g a c o n t i n u o u s t i m e s t e a d y - s t a t e K a l m a n l t e r o r u s i n g o t h e r

t e c h n i q u e s s u c h a s p o l e a s s i g n m e n t . H e r e , Job i s c a l c u l a t e d r e c u r s i v e l y u s i n g a K a l m a n l t e r . T h e i t e r a t i v e s o l u t i o n o f t h e R i c c a t i e q u a t i o n i s n o t r e q u i r e d i n

r e a l - t i m e . T h e o b s e r v e r g a i n i s c a l c u l a t e d o - l i n e . P r o v i d e d t h a t t h e s y s t e m m o d e l

(A,B,C,D) i s c o m p l e t e l y o b s e r v a b l e , i n t h e o r y , Job c a n b e c h o s e n s u c h t h a t t h e e r r o r ,

X(t) = X(t) X(t), d e c a y s e x p o n e n t i a l l y a t a n y d e s i r e d r a t e . H o w e v e r , i n

p r a c t i c e , t h e o b s e r v e r g a i n Job i s o f t e n l i m i t e d b y t h e e x i s t e n c e o f m e a s u r e m e n t n o i s e .

2 3


26/50


27/50

a b i l i t y a n d c o n t r o l l a b i l i t y c o n d i t i o n s a r e n o l o n g e r s a t i s e d a n d t h e o u t p u t s a n d

s t a t e s o f t h e o r i g i n a l s y s t e m c a n n o l o n g e r b e c o n t r o l l e d a n d / o r t r a c k e d . T h e r e f o r e ,

t h e m a x i m u m n u m b e r o f o u t p u t s t h a t c a n b e s e l e c t e d f o r t h i s p a r t i c u l a r s y s t e m i s

e q u a l t o f o u r . O t h e r s y s t e m s m a y b e a b l e t o i n c l u d e m o r e o r l e s s o u t p u t s , d e p e n d -

i n g o n t h e s p e c i c s y s t e m d y n a m i c s .

A l l t h e s i m u l a t i o n s a r e d o n e b y u s i n g o n e l i n e a r i z e d t i m e i n v a r i a n t m o d e l . F o r b e t -

t e r p e r f o r m a n c e a n d m o r e r e l i a b l e r e s u l t s , a s w i t c h i n g c o n t r o l l e r c a n b e d e s i g n e d ,

w h i c h s w i t c h e s b e t w e e n d i e r e n t l i n e a r i z e d m o d e l s w h e n t h e o p e r a t i n g c o n d i t i o n s

o f t h e a i r c r a f t c h a n g e . S w i t c h i n g b e t w e e n d i e r e n t m o d e l s c a n c a u s e i n s t a b i l i t y ,

a n d c a r e s h o u l d b e t a k e n w h e n a s w i t c h i n g c o n t r o l l e r i s a p p l i e d t h a t t h e o v e r a l l

s t a b i l i t y o f t h e s y s t e m i s m a i n t a i n e d . H o w e v e r , t o s h o w t h a t t h i s c o n t r o l m e t h o d

w o r k s , t h i s d o e s n o t n e c e s s a r i l y n e e d s t o b e i m p l e m e n t e d . A s c a n b e s e e n i n s e c t i o n

5 . 4 . 1 , o n l y t h e m a g n i t u d e s o f t h e s t a t e s p a c e s y s t e m d i e r f o r t h e d i e r e n t o p e r a t i n g

c o n d i t i o n s , t h e g e n e r a l d y n a m i c b e h a v i o r r e m a i n s t h e s a m e .

F o r t h e f o u r o u t p u t s t h a t a r e t r a c k e d , d i e r e n t r e f e r e n c e s i g n a l s a r e d e n e d . T h e

L T I m o d e l o b t a i n e d b y l i n e a r i z i n g t h e A r i e l m o d e l a t 1 0 0 0 m a l t i t u d e a n d 3 0 m/sv e l o c i t y i s u s e d i n a l l t h e s i m u l a t i o n s . T h i s m o d e l i s s p e c i e d i n a p p e n d i x B a n d

o p e r a t e s a t t h e f o l l o w i n g e q u i l i b r i u m p o i n t :

x0 =

26666666666666666664

U

V

W

P

Q

R

pNpEpD

37777777777777777775

=

26666666666666666664

30

0.012

2.052

0

0

0

0

0.068

0

0

0

1000

37777777777777777775

y0 =

26666666666666666664

nxnynzVT

P

Q

R

37777777777777777775

=

26666666666666666664

0.068

0

0.998

30.07

0.068

0

0

0

0

0

0.068

0

37777777777777777775

u0 =

266664

Tear

f

377775=

266664

0.238

2.790

0.328

0.061

1

377775

( 5 . 1 )

T h e r e f e r e n c e s i g n a l i s t h e c h a n g e f r o m t h e s t e a d y

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