Modelagem de SistemasLista de Exercicios

Aluno: Prazo: 13-04-2016

Formular as questões 1 a 18 seguintes e resolver no LINDO (ou LINGO), fazendo a analise dos resultados.

Entregar arquivos .doc do equacionamento e hardcopy da tela do resultado (Lindo ou LINGO) em DVD. (Não entregar em papel)

1) Um fabricante de móveis fornece os seguintes produtos: mesas, armários e cadeiras. A fabricação de cada tipo de produto requer chapas de mogno e dois tipos de mão de obra, uma para acabamento e outra para carpintaria. A quantidade de recursos para cada tipo de produto é dada na tabela abaixo.No momento, 48 m2 de chapas de mogno, 20 horas de acabamento e 8 horas de carpintaria estão disponíveis. O armário é vendido por $58, a mesa por $42 e a cadeira por $27. A empresa acredita que a demanda por armários e cadeiras seja ilimitada, mas que o mercado adquire no máximo 5 mesas. Uma vez que os recursos estejam disponíveis, a empresa deseja maximizar o seu lucro.

Usar as variáveis de decisão:x1 – qtde de armários a serem produzidosx2 – qtde de mesas a serem produzidas x3 - qtde de cadeiras a serem produzidas

Quadro ResumoProduto /Recursos Armario – x1 Mesa – x2 Cadeira – x3 CapacidadeMogno em placas 8 m2 6 m2 1 m2 48 m2Horas acabamento 4 h 2 h 1.5 h 20 hHoras carpintaria 2 h 1.5 h 0.5 h 8 hValor unitário ($) $ 58 $ 42 $ 27 -Max venda - 5 - -

1

2) A Wyndoor Glass Co. fabrica produtos de vidro de alta qualidade, dentre eles portas de janelas de vidro. A empresa tem três fabricas, sendo a fabrica 1 uma fabrica de esquadrias de alumínio e ferragens, a fabrica 2, esquadrias de madeira e a fabrica 3 produz vidros planos e faz a montagem das peças produzidas nas fabricas 1 e 2. Dois novos produtos estãosendo lançados, sendo :Produto 1 : uma porta de vidro de 2,5 m feita com esquadrias de alumínio. Produto 2: uma janela duplamente adornada com esquadrias de madeira, de 1,2 x 1,8 m.

Estes produtos são fabricados em lotes de 20 unidades. Cada lote do produto 1 requer 1 hora da fabrica 1 e 3 horas da fabrica 3. Cada lote do produto 2 requer 2 horas da fabrica 2 e 2 horas da fabrica 3 para ser produzido. O lucro obtido em cada lote do produto 1 é de $ 3.000 e em cada lote do produto 2 é de $ 5.000. Qual é o mix de produção semanal que a empresa deve implementar para maximizar seu lucro, se o tempo disponível na fabrica 1 é de 4 horas, na fabrica 2 de 12 horas e na fabrica 3 de 18 horas?

Usar as variáveis de decisão:x1 – numero de lotes do produto 1 produzido semanalmentex2 – numero de lotes do produto 2 produzido semanalmente

Quadro ResumoProdutos/Fabricas Produto1 – x1 Produto2 – x2 CapacidadeFabrica1 1 - 4 hFabrica2 - 2 12 hFabrica3 3 2 18 hLucro por lote $ 3.000 $ 5.000

2

3) Uma determinada empresa produz quatro produtos. Na fabricação destes produtos são empregados dois tipos de equipamentos M1 e M2 e dois tipos de mão-de-obra MO1 e MO2. O quadro de uso de recursos e disponibilidade total no mes estão na tabela a seguir.

Produto M1 M2 MO1 MO2 P1 5 2 2 7P2 4 6 4 3P3 8 - 2 -P4 8 6 8 7Disponib.Hrs/mes

80 20 120 160

O departamento comercial forneceu o seguinte potencial de vendas e os lucros esperados para cada produto.

Produto Potencial de vendas

Lucro unitário $

P1 80 12 P2 60 8 P3 40 10 P4 20 6

Qual deve ser a quantidade de cada produto para maximizar o lucro no mês?Usar as variáveis de decisão:x1 – numero de lotes do produto 1 produzido no mesx2 – numero de lotes do produto 2 produzido no mesx3 – numero de lotes do produto 3 produzido no mesx4 – numero de lotes do produto 4 produzido no mêsQuadro Resumo

Recurso/Produto

M1 M2 MO1 MO2 Potencial de vendas

Lucro unitário $

P1 - x1 5 2 2 7 80 12P2 – x2 4 6 4 3 60 8P3 – x3 8 - 2 - 40 10P4 – x4 8 6 8 7 20 6Disponib.Hrs/mes

80 h 20 h 120 h 160 h

3

4) Uma pequena empresa fabrica apenas os produtos X e Y, em uma única máquina, que funciona durante 40 horas por semana. O gerente da empresa decidiu rever seu mix de produção (quantidade fabricada de cada produto) porque tinha a sensação de estar fazendo algo errado e achava que poderia, de alguma maneira, aumentar seu lucro. Para isso, pediu ajuda a um engenheiro de produção, que fez diversas entrevistas e resumiu todos os dados adicionais, relevantes para o problema, na tabela abaixo.

produto X Ytempo de produção (hora/unidade) 1 0,2demanda (unidades/semana) 50 100margem de lucro $ $ 88 $ 45

O gerente explicou ao engenheiro que havia adotado o mix de produção atual porque acreditava ser mais interessante fabricar e vender o máximo possível do produto de maior margem de contribuição para o lucro e usar o resto da capacidade para produzir e vender o máximo possível do outro produto de menor margem. O engenheiro explicou ao gerente que essa hipótese poderia levar a um mau resultado e que seria necessário examinar melhor os "gargalos de lucro", ou seja, as restrições que poderiam efetivamente estar limitando o lucro.

Com base exclusivamente na situação acima, faça a modelagem do problema acima como PL de maximização do lucro.

Usar as variáveis de decisão:x1 – numero de lotes do produto X produzido na semanax2 – numero de lotes do produto Y produzido na semana

Quadro Resumoproduto X – x1 Y – x2 Capacidadetempo de produção (hora/unidade) 1 0,2 40 hdemanda máxima (unidades) 50 100margem de lucro $ $ 88 $ 45

4

5) Um problema de planejamento agrícola de três kibutz em Israel envolve alocação de cultura de plantações à três áreas, y1, y2 e y3. A área total e a disponibilidade de agua que pode ser utilizada em cada área, está na tabela à seguir.

Região Área disponivelHectares

Agua disponívelM3

Y1 kibutz1 400 600 Y2 kibutz2 600 800 Y3 kibutz3 300 375

As opções de cultura são três, x1, x2 e x3 (beterraba, algodão e sorgo), o limite máximo de cada cultura, o consumo de agua por hectare e lucro esperado por hectare estão na tabela à seguir. Formule o problema de PL de maximização do lucro.

Cultura Área maximahectares

Consumo de agua M3/hectare

Lucro porHectare $

X1 beterraba 600 3 1000 X2 algodão 500 2 750 X3 sorgo 325 1 250

Formular o problema de maximização do retorno, sabendo-se que foi acordado que os três kibutz irão plantar a mesma proporção de culturas em suas respectivas áreas.

Usar as variáveis de decisão:x1y1 – área plantada de beterraba no kibutz1x1y2 - área plantada de beterraba no kibutz2......x3y2 - área plantada de sorgo no kibutz2x3y3 - área plantada de sorgo no kibutz3

x1 = x1y1 + x1y2 + x1y3 – total da área plantada de beterrabax2 = x2y1 + x2y2 + x2y3 – total da área plantada de algodãox3 = x3y1 + x3y2 + x3y3 – total da área plantada de sorgoy1 = x1y1 + x2y1 + x3y1 – total da área plantada do kibutz1y2 = x1y2 + x2y2 + x3y2 – total da área plantada de kibutz2y3 = x1y3 + x2y3 + x3y3 – total da área plantada de kibutz3Quadros Resumos

Cultura Consumo de agua M3/hectare

Lucro porHectare $

x1y1 3 $ 1000 x1y2 3 $ 1000 x1y3 3 $ 1000 x2y1 2 $ 750 x2y2 2 $ 750 x3y3 2 $ 750 x3y1 1 $ 250 x1y2 1 $ 250 x1y3 1 $ 250

Cultura Kibutz1 – y1

Kibutz2 – y2

Kibutz3 – y3

Área maximahectares

x1 - beterraba x1y1 x1y2 x1y3 600 x2 - algodão x2y1 x2y2 x2y3 500 x3 - sorgo x3y1 x3y2 x3y3 325

5

Area disponivel 400 600 300Agua disponivel 600 800 375

6) Uma refinaria de petróleo fabrica dois tipos de gasolina G1 e G2, que são obtidos a partir do refino de dois tipos de petróleo P1 e P2. A disponibilidade no mercado e os custor por barril em dólar (U$/bbl) estão informados na tabela seguinte.

Tipo de petróleo Custo de aquisição U$/bbl

Disponibilidade no mercado mil bbl/mês

P1 120 100 P2 85 200

Os preços de venda e o percentual mínimo de processamento do petróleo tipo P1 na composição de G1 e G2 estão mostrados na tabela seguinte.

Tipo de gasolina % min do petróleo P1 Preço vendaU$/bbl

G1 60 159 G2 30 128

Formule o modelo de otimização para maximizar a margem de refino (receita da venda – custo do petroleo).

Usar as variáveis de decisão:g1p1 – gasolina g1 produzida com petróleo p1g1p2 – gasolina g1 produzida com petróleo p2g2p1 – gasolina g2 produzida com petróleo p1g2p2 – gasolina g2 produzida com petróleo p2g1 = g1p1 + g1p2 - total produzido de gasolina g1g2 = g2p1 + g2p1 – total produzido de gasolina p2p1 = g1p1 + g2p1 - total utilizado de petróleo p1p2 = g1p2 + g2p2 – total utilizado de petróleo p2

Quadro Resumo

Variavel Min de p1 Valor vendag1p1 60% $ 159g1p2 60% $ 159g2p1 30% $ 128g2p2 30% $ 128

Recurso p1 p2Custo/bbl $ 120 $ 85DisponibilidadeMil bbl/mes

100 200

7) Edson adora bifes e batatas. Assim, decidiu fazer uso apenas destes dois produtos para fazer sua dieta diária. Como está ciente de que não é uma dieta saudável, ele quer se assegurar de que está ingerindo as quantidades mínimas necessárias de nutrientes principais (carboidratos, proteínas) e não está excedendo o máximo de ingestão de gorduras a fim de atender requisitos nutricionais. Ele obteve as informações descritas na tabela a seguir de composição dos elementos em cada tipo de ingrediente e o preço por porção na refeição.

6

Ingredientes Composição do ingrediente Necessidade diária gramas Bife Batata

Carboidratos 5 15 >= 50Proteinas 20 5 >= 40Gordura 15 2 <= 60Custo por porção $

U$ 14 U$ 7

Formule a dieta diária de Edson, para o custo mínimo, atendendo as restrições de necessidade de nutrientes.

8) Frederico é administrador de uma propriedade rural familiar. Para complementar a renda da plantação de diversoas culturas, Fred tem ainda uma criação de suínos. Ele precisa determinar a quantidade necessária de cada produto (milho, tancagem e alfafa) na ração diária dos suínos. O objetivo é atender o padrão mínimo de nutrientes a um custo mínimo. O custo em centavos de dólar e a composição de nutrientes (carboidratos, proteínas e vitaminas) e gramas está na tabela a seguir.

IngredientesNutricionais

Milho kg

Tancagem kg

Alfafa kg Necessidade Minima diária kg

Carboidrato 90 20 40 210Proteínas 30 80 60 170Vitaminas 10 20 60 140Custo U$ 80 72 60

7

9) A Cia Metalco deseja misturar uma nova liga composta por 50% de estanho, 30% de zinco e 20% de chumbo, a partir de cinco diferentes ligas disponíveis no mercado, com as propriedades fornecidas na tabela seguinte, além do custo em $/kg.

Composição Ligas disponiveis L1 L2 L3 L4 L5

%Estanho 60 25 45 20 50 %Zinco 10 15 45 50 40 %Chumbo 30 60 10 30 10Custo $/kg 2.2 2.0 2.5 2.4 2.7

O objetivo é o de determinar a proporção das ligas que devem ser misturadas na matéria prima para produzir a nova liga a um custo mínimo.

Usar as variáveis de decisão:x1 – fração da matéria prima L1 em cada 1 kg da nova liga x2 - fração da matéria prima L2 em cada 1 kg da nova liga x3 - fração da matéria prima L3 em cada 1 kg da nova liga x4 - fração da matéria prima L4 em cada 1 kg da nova liga x5 - fração da matéria prima L5 em cada 1 kg da nova liga ex1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1 kg

10) Uma pessoa deve fazer uma dieta devendo ingerir diariamente quantidades minimas de vitaminas A, B, C e D. A dieta deverá conter os seguintes ingredientes: leite, arroz, feijão e carne, que apresentam diferentes composições de vitaminas (mg) por unidade ingerida (kg ou l). A tabela seguinte mostra a composição de vitaminas e custos unitários de cada alimento.

Vitaminas Alimentos Necessidade diária mgLeite litro Arroz kg Feijão kg Carne kg

A 10 5 9 10 80 B 8 7 6 6 70 C 16 3 4 7 100 D 20 1 3 9 60Custo unitário$/unid

8.0 4.5 6.2 35

Qual é a quantidade de cada um deste ingredientes que deve entrar na dieta de uma pessoa para que seja atendidas a quantidade de vitaminas mínima recomendada ao menor custo possível ?

11) Uma empresa fabrica um determinado produto em quatro cidades i i=1,2,3,4. O produto de destina-se ao consumo em três centros de consumo j j= 1,2,3. Sabe-se que a produção de cada cidade i i= 1,2,3,4 é de 20, 50, 40 e 20 unidades) respectivamente. A demanda em cada centro de consumo j j= 1,2,3 é de 40, 40 e 50 unidades. Os custos unitários de transporte a partir da cidade i para o centro de consumo j é dado pela tabela à seguir:

destinoorigem

1 2 3 Produção

1 11 12 14 20 2 10 ∞ 8 50 3 13 5 12 40 4 6 2 16 20Demandas 40 40 50

Formular o modelo matemático para minimizar o custo de transporte entre as fabricas i e os centros de consumo j.

8

12) Um dos principais produtos da P&T Co são ervilhas enlatadas. As ervilhas são preparadas em três fábricas de enlatados que ficam localizadas próximas a Belligham, Washington; Eugene, Oregon e Albert Lea, Minnesota. Estas são transportadas por caminhão até quatro centros de distribuição no oeste dos EUA (Sacramento, Califórnia; Salt Lake City, Utah; Dakota do Sul e Albuquerque, Novo México. Pelo fato de os custos de transporte serem uma despesa importante, a direção da empresa quer reduzir estes custos ao mínimo possível. Para a próxima temperada de vendas, foi feita uma estimativa de produção em cada fábrica e o total da demanda de ervilhas enlatadas em cada centro de distribuição.

Tabela 1 - Custo por ton de ervilha enlatada transportada Centro de distrib.fábrica

1 2 3 4 Produção (ton)

1 464 513 654 867 75 2 352 416 690 791 125 3 995 682 388 685 100 Demanda Total (ton)

80 65 70 85

Formular o modelo matemático para minimizar o custo de transporte entre as fabricas i e os centros de consumo j.

13) Uma distribuidora de produtos de petróleo possui quatro postos de serviço Pj j=1,2,3,4 que necessitam do fornecimento de gasolina em litros. Este suprimento pode ser realizado a partir de três depósitos Di i=1,2,3. Estes locais dispõe de volumes de gasolina que estão disponíveis, em litros. Os custos do envio em $ para estes postos de serviço a partir dos depósitos, os volumes demandados por semana e as disponibilidades estão ilustradas na tabela seguinte.

destinoorigem

1 2 3 4 Oferta litros 5No ficticio

1 70 60 60 60 80 2 50 80 60 70 100 3 80 50 80 60 50 Demanda litros 50 40 60 40

Dica: Como a oferta é maior do que a demanda, deve-ser criar um nó fictício P5, com excesso de oferta e custos de transporte M.

14) Um diretor de empresa está diante de um problema de designar gerentes para quatro regiões distintas do pais. Os custos estimados envolvidos na transferência de cada gerente para cada nova regiao de trabalho estao ilustrados na tabela seguinte. Qual é a política de designação que corrcsponde ao menor custo de transferência dos gerentes

Regiao de Destino

Gerente

R1 R2 R3 R4

G1 1 2 4 2G2 4 6 1 3G3 2 5 6 1G4 3 7 3 1

Formular o modelo matemático para minimizar o custo total de transferencia dos gerentes da empresa.

9

15) Um diretor de escola deve inscrever quatro estudantes numa Olimpíada .de Matemática englobando as seguintes matérias: Algebra, Geometria Analitica, Geometrica Descritiva e Lógica. Nenhum aluno pode ser inscrito em mais de uma matéria porque as provas ocorrem simultaneamente. A tabela seguinte mostra valores correspondente aos valores medios descontados da nota maxima (100) nas notas mais recentes obtidas pelos seus melhores estudantes E1, E2. E3 e E4 em cada uma das matérias em disputa na Olimpiada. Qual aluno deve ser inscrito em cada matéria na Olimpíada ?

Materia

aluno

algebra Geometriaanalitica

Geometria descritiva logica

E1 7 11 6 3E2 8 7 10 1E3 4 9 3 5E4 5 4 6 9

Formular o modelo matemático para minimizar os valores deduzidos da nota maxima nesta participacao dos alunos da escola na Olimpiada Matematica.

16) O gerente de planejamento e controle da produção de uma empresa de suco concentrado de laranja precisa decidir a mistura de matérias-primas (lotes de sucos primários) para atender a um pedido de um importador europeu. Esse pedido inclui dois tipos de produto final — sucos N (normal) e E (europeu fino) — que diferem entre si pela concentração mínima de açúcar e teor máximo de acidez, conforme apresentado na tabela I abaixo. As quantidades de cada tipo foram definidas pela área de vendas, e precisam ser integralmente respeitadas. Para atender ao pedido, o gerente dispõe hoje, nos tanques da fábrica, de apenas dois tipos de suco primário — G (Grande Lima) e P (Pera) —, cujos custos, concentração mínima de açúcar e teor máximo de acidez estão apresentados na tabela II a seguir.

Os custos de fabricação do produto final a partir de suco primário são idênticos, não importando o tipo de suco. Para produzir um tambor de produto final, é necessário um tambor de suco primário. Para definir a quantidade de cada tipo de suco primário que a indústria deve usar na mistura, o gerente montou um modelo de programação linear, denominado “problema de mistura” (blending problem), descrito a seguir.

Variáveis de decisão: xij = quantidade (em tambores) de suco primário tipo i para produzir produto final j (i = G, P; j = N, E)

1

Considerando as informações apresentadas, as equações de (1) a (7) e o conjunto de equações (8),julgue os próximos itens.

I A equação (1) representa a função objetivo do modelo e significa que se deseja minimizar o custo total de matéria-prima para se atender a demanda do pedido.II As equações (2) e (3) significam que as demandas por cada tipo de produto acabado serão plenamente atendidas.III A equação (5) representa a restrição de mistura para o produto tipo europeu fino, que deve ter concentração de açúcar de, no máximo, 80.IV A equação (6) representa a restrição de mistura para produto tipo normal, que deve ter teor de acidez de, no máximo, 2%.V A equação (7) representa a restrição de mistura para produto tipo normal, que deve ter teor de acidez de, no mínimo, 1%.

Estão certos apenas os itensA I, II e III.B I, II e IV.C I, III e V.D II, IV e V.E III, IV e V.

1