Modelagem e Análise Dinâmica de um Absorvedor de Vibrações ...repositorio.unicamp.br/bitstream/REPOSIP/...M.pdf · Faculdade de Engenharia Mecânica MARCOS VIEIRA DE ALBUQUERQUE

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

Faculdade de Engenharia Mecânica

MARCOS VIEIRA DE ALBUQUERQUE

Modelagem e Análise Dinâmica de um

Absorvedor de Vibrações por Efeito de

Impacto

CAMPINAS

2016

Dedicatória

Dedico este trabalho à minha família.

Agradecimentos

Primeiramente, agradeço a Deus, pois sei que sem Ele nada é possível.

Aos meus pais, Geraldo e Marcia, pelo amor, incentivo e dedicação sem fim. Às minhas

irmãs, Celina e Miriam, pelo apoio e carinho. À Gláucia, pelo amor e incentivo

constante.

Ao meu orientador, Prof. Robson Pederiva, pela oportunidade concedida. Agradeço

também pela orientação, amizade, pelo exemplo de profissionalismo e pela

possibilidade de dar sequência nos estudos.

Aos professores Alberto Luiz Serpa e Antônio Carlos de Oliveira Ferraz, membros da

banca examinadora do exame de qualificação, pelas ponderações e contribuições dadas

a este trabalho.

Ao Prof. Jorge Nei Brito, meu ex-orientador na Universidade Federal de São João del-

Rei, pela amizade e por ter me incentivado a ingressar no Mestrado.

Aos membros da banca examinadora, Prof. Anselmo Eduardo Diniz e Prof. Antônio

Carlos de Oliveira Ferraz, por aceitarem o convite para avaliar este trabalho.

Aos amigos do Laboratório de Vibrações, Henrique Silveira, Fabio Dalmazzo, Pedro

Grego, Clodoaldo Chagas, Lucas Carvalho, Wagner Sá, Henrique Severino e André

Suetti, pela convivência, amizade, e pela troca de experiências e conhecimentos.

Aos funcionários da oficina, Maurício, Eli, Ferreira e Mauro pelo essencial apoio na

construção da bancada experimental e na realização dos testes experimentais.

À CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior), por

conceder apoio financeiro para a realização deste trabalho.

Resumo

Os absorvedores de vibração por efeito de impacto são dispositivos passivos de

amortecimento que utilizam massa(s) secundária(s), com movimento livre entre uma

folga pré-estabelecida, para colidir(em) contra a estrutura a ser amortecida, dissipando

parte da energia a partir da transferência de momento linear entre as massas envolvidas.

Trabalhos recentes mostram a eficiência deste tipo de absorvedor, contudo, sua

eficiência depende de muitos parâmetros, como: a folga existente para o movimento da

partícula, razão entre a massa da partícula e a massa da estrutura, material e geometria

dos corpos, amplitude e frequência de vibração do sistema, coeficiente de restituição e

velocidade de impacto. Neste trabalho, um sistema de um grau de liberdade foi

modelado e, em seguida, foi adicionada uma massa secundária, interna à massa

principal, que se movimenta sem atrito entre uma determinada folga, adicionando mais

um grau de liberdade ao sistema. O contato entre a massa principal e a massa secundária

foi modelado por um conjunto não linear de mola – amortecedor, onde os parâmetros de

contato (rigidez e amortecimento) foram calculados de acordo com modelos

matemáticos, dependentes do material dos corpos, do coeficiente de restituição e

velocidade de impacto. Para validar o modelo matemático, foi projetada e construída

uma bancada experimental para representar um sistema de um grau de liberdade que

pode vibrar livremente ou forçadamente a partir do movimento de base. A bancada

permite adicionar uma massa para que ocorra o impacto entre uma determinada folga,

que pode ser variada dentro de certo limite. Ensaios experimentais foram realizados e as

respostas foram comparadas com as respostas teóricas. As equações de movimento

desenvolvidas foram integradas utilizando o software MATLAB®

para analisar a

resposta de deslocamento temporal, variando a folga e a razão de massa do sistema. No

caso de vibração forçada, a transmissibilidade de deslocamento foi obtida pela razão da

amplitude da estrutura pela amplitude da base e utilizada como parâmetro de

comparação dos casos sem e com impacto. As condições impostas à bancada

experimental foram reproduzidas no modelo matemático proposto e os resultados

teóricos mostraram, qualitativamente, coerência com os resultados experimentais nas

condições analisadas.

Palavras-chave: Vibração, Amortecimento, Impacto.

Abstract

Impact Dampers are passive devices that utilize auxiliary mass(es), or particle(s), with

free movement between a pre-set clearance, to collide against the structure to be

damped, dissipating part of energy from the momentum transfer between the masses

involved. Recent studies have shown the efficacy of this type of absorber, however its

efficiency depends on many parameters such as the existing clearance for the movement

of the particle, the system mass ratio (ratio between the mass of the particle and the

mass of the structure), materials and geometry of bodies, amplitude and frequency of

vibration system, coefficient of restitution and impact velocity. In this work, a single

degree of freedom system was modeled and then was added a secondary frictionless

mass (internal to the primary mass) that moves between a certain clearance, which

adds a new degree of freedom to the system. The contact between the primary and

secondary mass was modeled by a non-linear spring – damper set. The contact

parameters (stiffness and damping) were calculated according to mathematical models,

dependent on the body material, the coefficient of restitution and impact velocity. To

validate the mathematical model, it was designed and built a test rig to represent a

system that can vibrate freely or forced from harmonic base movement. The test rig

allows addition of an impact mass to collide to the structure between an adjustable

clearance. Experimental tests were carried out and the responses were compared with

theoretical results. The equations of motion developed were integrated using the

MATLAB® to analyze the temporal displacement response by varying the clearance and

the mass ratio of the system. In the case of forced vibration, the displacement

transmissibility was obtained. The conditions imposed on the test rig reproduced in the

proposed mathematical model, were qualitatively consistent with the experimental

results.

Keywords: Vibration, Damping, Impact.

Lista de Figuras

Figura 2.1: Impacto colinear (a) e impacto excêntrico (b). Fonte: Stronge (2000).

Figura 2.2: Fases durante um impacto. Fonte: (Hibbeler, 2010).

Figura 2.3: Posição de dois corpos antes do impacto. Fonte: Seifreid et al. (2010)

Figura 2.4: Variação da força de Contato e deformação. Fonte: Sronge (2000).

Figura 2.5: Comparação dos tempos de compressão e restituição. Fonte: Sronge (2000).

Figura 2.6: Propagação de onda numa barra. Adaptado de Timoshenko & Goodier

(1951).

Figura 2.7: Configurações de impacto. Fonte: Seifried et al. (2010).

Figura 2.8: Coeficiente de restituição para cada configuração. Fonte: Seifried et al.

(2010).

Figura 2.9: Variação do coeficiente de restituição em diferentes velocidades de impacto

para esferas de aço inox . Fonte: Wong et al. (2009).

Figura 2.10: Variação do coeficiente de restituição com o diâmetro da esfera. Fonte:

Aryaei et al. (2010).

Figura 2.11: Variação do coeficiente de restituição em diferentes velocidades de

impacto para esferas de aço inox em contato com placa Perspex . Fonte: Wong et al.

(2009).

Figura 2.12: Variação do Coeficiente de restituição com a velocidade para hastes

diferentes. Fonte: Seifried et al. (2010).

Figura 2.13: Superfícies de contato das hastes. Fonte: Seifried et al. (2010).

Figura 2.14: Diagrama esquemático de um amortecedor por impacto. Fonte: Ema &

Marui (2000).

Figura 2.15: Sistema utilizado por Gharib & Ghani (2013).

Figura 2.16: Resposta temporal para uma partícula. Fonte: Gharib & Ghani (2013).

Figura 2.17: Resposta temporal para 3 esferas. Fonte: Gharib & Ghani (2013).

Figura 2.18: Resposta temporal para 5 esferas. Fonte Gharib & Ghani (2013).

Figura 2.19: Modelo de absorvedor interno aplicado à uma massa principal. Fonte:

Cheng & Wang (2003).

Figura 2.20: (a) Diagrama esquemático do modelo com absorvedor externo em seção

transversal; (b) vista superior do absorvedor. Fonte: Cheng & Wang (2003).

Figura 2.21: Deslocamento da massa principal. Fonte: Cheng & Wang (2003).

Figura 2.22: Variação do amortecimento para diferentes razões de massa (μ). Adaptado

de Marhadi & Kinra (2005).

Figura 2.23: Variação do amortecimento para várias folgas internas. Fonte: Marhadi &

Kinra (2005).

Figura 2.24:Resposta ao deslocamento nas condições de: – – - d = 0,31 mm; ——,

d=4,61 mm; –··–, sem impacto. Fonte Cheng & Wang (2003).

Figura 2.25: Relação entre amplitude, folga e razão de massa. Adaptado de Cheng &

Wang (2003).

Figura 2.26: Deslocamento da massa principal com absorvedor, folga de a) 6,95mm (—

—) e b) 34,36mm (——); sem absorvedor (- - - - -). Fonte: Cheng & Wang (2003).

Figura 2.27: Relação entre inclinação do amortecimento e folga interna. Adaptado de

Yasuda & Toyoda (1978).

Figura 2.28: Variação da inclinação do amortecimento com a folga. Fonte: Bapat &

Sankar (1985).

Figura 2.29: Variação do amortecimento de acordo com o número de partículas. Fonte:

Marhadi & Kinra (2005).

Figura 2.30:Razão de amortecimento em função da amplitude da base e do coeficiente

de restituição. Adaptado de Duncan et al. (2005).

Figura 2.31: Efeito da folga sob excitação randômica. Adaptado de Li & Darby (2006).

Figura 3.1: Sistema 2 GDL.

Figura 3.2: Dimensões importantes para a modelagem.

Figura 3.3: Diagrama de corpo livre da massa principal.

Figura 3.4: Massa secundária entre as barreiras (a) e os diagramas de corpo livre (b) nas

condições de contato.

Figura 3.5: Sistema com excitação pela base.

Figura 4.1: Desenho esquemático da bancada experimental.

Figura 4.2: Base inferior.

Figura 4.3: Escala graduada de aço inox.

Figura 4.4: Reprodução da escala graduada.

Figura 4.5: Base Superior sem (a) e com barreiras (b).

Figura 4.6: Montagem do conjunto.

Figura 4.7: Detalhe da guia linear instalada.

Figura 4.8: Esferas utilizadas como massa de impacto.

Figura 4.9: Sensor a laser WENGLOR®

modelo YP06MGVL80.

Figura 4.10: Sensor de deslocamento instalado na bancada experimental.

Figura 4.11: Calibração do sensor de proximidade.

Figura 4.12: Acelerômetro de impacto Endevco®

226C.

Figura 4.13: Detalhe do posicionamento do acelerômetro em relação à estrutura.

Figura 4.14: Bancada experimental montada e instrumentada.

Figura 4.15: Resposta de vibração livre amortecida da bancada experimental.

Figura 4.16: Massa equivalente de uma viga em balanço. Adaptado de Rao (2008).

Figura 4.17: Sinal teórico x experimental, posição 28.

Figura 4.18: Bancada típica para o teste. Fonte: ASTM E1876-09.

Figura 4.19: Montagem para determinação do Módulo de Elasticidade.

Figura 4.20: Espectro da resposta devido ao impacto.

Figura 4.21: Primeiro modo de flexão da viga.

Figura 5.1: : Amplitude de vibração forçada sem e com impacto.

Figura 5.2: Resposta livre sem e com impacto.

Figura 5.3: Influência da massa na resposta em frequência.

Figura 5.4: Amplitude da massa principal com µ=0,0815 (a) e µ= 0,2444 (b).

Figura 5.5: Variação da amplitude da resposta pela folga.

Figura 5.6: Variação da amplitude da resposta em função do amortecimento externo.

Figura 5.7: Variação do amortecimento em função do amortecimento estrutural. Fonte:

Duncan et al. (2005).

Figura 5.8: Resposta livre da estrutura (experimental).

Figura 5.9: Comparação da resposta livre - Experimental x Teórico.

Figura 5.10: Amortecimento interno em função do velocidade relativa e do coeficiente

de restituição.

Figura 5.11: Amortecimento interno para e = 0,35 (esfera menor).

Figura 5.12: Amortecimento interno para e = 0,23 (esfera maior).

Figura 5.13: Velocidade e aceleração da estrutura - Folga 2.





Figura 5.18: Representação da inclinação de amortecimento. Adaptado de Yasuda &

Toyoda (1978)

Figura 5.19: Resposta livre experimental.

Figura 5.20: Resposta livre teórica.

Figura 5.21: Comparação dos resultados teóricos e experimentais obtidos por Du &

Wang (2010).

Figura 5.22: Sinal temporal da base e da estrutura (8,0 Hz).

Figura 5.23: Transmissibilidade de deslocamento (sem impacto).

Figura 5.24: Transmissibilidade de Deslocamento (Com impacto - Folga 2, esfera

menor).


menor).


menor).


menor).


menor).

Figura 5.29: Transmissibilidade de Deslocamento – Experimental (esfera menor).

Figura 5.30: Transmissibilidade de Deslocamento – teórica (esfera menor)


maior).


maior).


maior).


maior).


maior).

Figura 5.36: Transmissibilidade de Deslocamento - experimental (esfera maior).

Figura 5.37: Transmissibilidade de Deslocamento - teórica (esfera maior).

Figura 5.38: Resposta em frequência sem impacto.

Figura 5.39: Resposta em frequência com impacto.

Figura 5.40: Variação da resposta em frequência em função do amortecimento interno.

Lista de Tabelas

Tabela 2.1: Fator de amortecimento de histerese. Adaptado de Hu & Guo (2015)

Tabela 4.1: Massas dos elementos da Bancada Experimental

Tabela 4.2: Parâmetros da bancada em relação à posição da base superior

Tabela 4.3: Lista de equipamentos utilizados.

Tabela 4.4: Distâncias utilizadas entre as barreiras.

Tabela 5.1: Velocidades de impacto estimadas (esfera menor).

Tabela 5.2: Velocidades de impacto estimadas (esfera maior).

Lista de Variáveis e Abreviaturas

Letras Latinas

A Amplitude de deslocamento;

A0 Amplitude inicial de deslocamento;

b Largura da viga, mm;

c Parâmetro de amortecimento interno do modelo não linear de contato ou fator

de amortecimento por histerese;

c1 Coeficiente de amortecimento viscoso do sistema principal;

D Coeficiente de amortecimento do modelo não linear de contato;

d Folga;

e Coeficiente de restituição;

E Módulo de Elasticidade;

Ec Energia cinética;

Er Energia potencial;

F Força excitadora do sistema;

F Força;

FC Força atuante no amortecedor interno;

ff Frequência de ressonância da viga (flexão), Hz;

FN Força de contato;

FR Força atuante na mola interna;

hi Coeficiente de material dos corpos em contato;

k Parâmetro de rigidez interna do modelo de contato;

k1 Coeficiente de rigidez da mola externa do sistema;

L Comprimento da massa principal m1;

l0 Comprimento inicial da mola interna usada na modelagem do contato;

l10 Comprimento inicial da mola externa;

Lb Comprimento da viga, mm;

Lc Comprimento do corpo;

m1 Massa equivalente do sistema;

m Massa secundaria ou massa de impacto;

macel Massa do acelerômetro;

mb Massa da viga, g;

mbs Massa da base superior;

mcab Massa do cabo do acelerômetro;

mef Massa efetiva (soma das massas principal e secundária);

mesc Massa da escala;

mi Massa de cada corpo durante o contato;

n Constante da não linearidade do modelo de contato;

n Vetor normal;

Nro Número de reflexão da onda;

P Impulsos originados da força de contato;

Pc Impulso de compressão;

Pi Pontos de contato;

Q Quantidade de movimento;

R Impulso de Restituição;

ri Vetor posição;

Ri,j Raio dos corpos em contato;

t Tempo;

T1 Fator de correção para o modo fundamental de flexão;

tb Espessura da viga, mm;

tro Tempo de reflexão da onda;

V Velocidade do corpo no processo de contato;

vc Velocidade de propagação da onda elástica;

Ve Velocidade de propagação da onda no corpo;

W Trabalho realizado;

x1 Posição da massa principal m1;

x2 Posição da massa secundária m;

Y Amplitude de deslocamento da base;

Y1 Amplitude de deslocamento do primeiro pico da vibração livre;

Y1+no Amplitude de deslocamento do (1+no)-ésimo pico da vibração livre;

Letras Gregas

α Decremento logarítmico;

δ Deformação relativa;

�̇� Velocidade de impacto ou velocidade relativa dos corpos;

�̇�(−) Velocidade inicial de impacto ou velocidade inicial de indentação;

ζ Inclinação do amortecimento;

ϑ Coeficiente de Poison;

μ Razão de massa;

νo Velocidade relativa inicial do movimento;

ξ Fator de amortecimento;

ϕ Ângulo de fase;

ω Frequência de excitação;

ωd Frequência natural amortecida [rad/s];

ωn Frequência natural não amortecida [rad/s];

Sumário

1. Introdução ............................................................................................................... 19

1.1. Objetivos .................................................................................................................... 22

1.2. Objetivos Específicos .................................................................................................. 22

2. Revisão Bibliográfica .............................................................................................. 23

2.1. Princípio de Impulso e Quantidade de Movimento .................................................... 23

2.2. Colisão ou Impacto ..................................................................................................... 24

2.2.1. Colisão entre dois corpos ....................................................................................... 25

2.3. Impacto de Corpos Rígidos ......................................................................................... 27

2.3.1. Impactos Colineares entre dois corpos rígidos ....................................................... 28

2.3.1.1. Cinemática do Impacto ....................................................................................... 28

2.3.1.2. Movimento Relativo ........................................................................................... 30

2.3.2. Força de contato..................................................................................................... 31

2.3.3. Perda de Energia durante o impacto ...................................................................... 35

2.3.4. Coeficiente de Restituição ...................................................................................... 40

2.4. Absorvedores por efeito de impacto (Impact Dampers) ............................................ 46

3. Modelo Matemático ................................................................................................ 61

3.1. Hipóteses simplificadoras ........................................................................................... 62

3.2. Equações de Movimento ............................................................................................ 62

3.3. Condições para integração ......................................................................................... 67

4. Bancada Experimental ............................................................................................ 69

4.1. Projeto ........................................................................................................................ 69

4.2. Instrumentação .......................................................................................................... 74

4.3. Determinação dos parâmetros físicos da bancada experimental ............................... 77

4.4. Determinação dos parâmetros de contato ................................................................. 82

4.5. Equipamentos utilizados ............................................................................................ 86

4.6. Descrição dos ensaios experimentais ......................................................................... 87

5. Resultados ............................................................................................................... 89

5.1. Simulações iniciais ...................................................................................................... 89

5.2. Simulação da vibração livre sem impacto................................................................... 95

5.3. Cálculo dos Parâmetros internos de contato ............................................................. 96

5.3.1. Amortecimentos relacionados com as esferas ....................................................... 99

5.4. Simulação da vibração livre ...................................................................................... 102

5.5. Simulação da vibração forçada ................................................................................. 106

5.5.1. Simulação com a esfera menor ............................................................................ 108

5.5.2. Simulação com a esfera maior .............................................................................. 112

5.6. Influência da massa de impacto na resposta em frequência .................................... 117

6. Conclusões ............................................................................................................ 121

19

1. Introdução

A dinâmica de vibro-impacto tem trazido grandes benefícios nos últimos anos, principalmente

no controle de vibrações em estruturas e máquinas (Ibrahim, 2009). O trabalho de Paget,

intitulado ―Mechanical Damping by Impact de 1930, foi o pioneiro nesse estudo, daí em

diante, vários trabalhos foram publicados explorando a dinâmica de contato e sua aplicação

em sistemas para diminuir a amplitude vibracional. Surgiram, então, os absorvedores (ou

amortecedores) de vibração por efeito de impacto, conhecidos na literatura como Impact

Dampers ou Particle Impact Damper.

Os absorvedores de vibração por efeito de impacto são dispositivos passivos de

amortecimento que utilizam alguma(s) massa(s), definida(s) como massa(s) secundária(s) ou

partícula(s), que se move(m) livremente entre uma folga pré-estabelecida, chocando-se contra

a estrutura a ser amortecida, dissipando energia. Esses dispositivos são caracterizados pela

simplicidade mecânica, insensibilidade à degradação e à temperatura, nenhum requisito de

energia externa e baixo custo. São capazes de fornecer amortecimento eficaz sobre uma gama

de acelerações e frequências em ambientes onde alguns dispositivos tradicionais podem falhar

(Du & Wang, 2010). A forma mais simples desse amortecedor é aquele que utiliza apenas

uma massa de impacto, investigado analítica, numérica e experimentalmente por Masri

(1969), Bapat & Sankar (1985), Friend & Kinra (2000), Błażejczyk-Okolewska (2001),

Cheng & Wang (2003), Duncan et al. (2005), Cheng & Xu (2006), dentre outros.

Considerando um sistema principal que vibra com uma determinada amplitude, este

dispositivo, ao ser adicionado a esse sistema, induz a transferência de momento linear entre as

massas envolvidas (partícula e sistema), reduzindo a vibração do sistema principal (Masri,

1969). Um grande número de trabalhos tem mostrado a eficiência deste tipo de absorvedor,

contudo, sua eficiência depende de muitos parâmetros, ligados aos corpos propriamente ditos,

à vibração do sistema e também à interação entre eles durante o contato, como: a folga

existente para o movimento da partícula, a razão de massa do sistema (razão entre a massa da

partícula e a massa da estrutura), materiais e geometria dos corpos, amplitude e frequência de

vibração do sistema, coeficiente de restituição do contato e velocidade de impacto.

20

A redução da vibração não depende do número de impactos, mas, primeiramente, da colisão

entre os corpos quando se movem um contra o outro (Cheng & Xu, 2006). Popplewell et al.

(1983) verificaram que os amortecedores de impacto são mais eficazes quando duas colisões

ocorrem durante cada ciclo de oscilação, uma condição que ocorre apenas para os parâmetros

específicos (Pinotti & Sadek (1970) apud Duncan et al. (2005)). Assim, a folga interna é um

parâmetro que deve ser ajustado para que uma determinada massa de impacto execute as duas

colisões mencionadas. Estudos variando os materiais dos corpos também têm sido realizados.

Li & Darby (2009), por exemplo, introduziram diversos materiais entre a massa e as paredes

para reduzir tanto a aceleração e força de contato nas colisões, mostrando que alguns desses

materiais podem melhorar o desempenho do absorvedor.

Muitos investigadores também tem estudado o desempenho de absorvedores multi-partículas,

como Friend & Kinra (2000), Marhadi & Kinra (2005) e Gharib & Ghani (2013), e

amortecedores de impacto do tipo “bean bag”. A diferença entre esses dois tipos de

dispositivos consiste na estrutura que acomoda as partículas, no caso do bean bag a estrutura

é flexível. Em geral, os absorvedores multi-partículas e bean bag produzem menos choque e

ruído e são menos sensíveis aos parâmetros de vibração, gravidade e folga do que os seus

homólogos de partículas individuais (Fowler et al. (2001) apud Du et al. (2005)). Segundo

esses autores, o desempenho dos absorvedores multi-partículas, no entanto, é afetado pelo

tamanho das partículas utilizadas, onde partículas menores são mais eficazes no

amortecimento em amplitudes maiores.

Estudos aplicando esses absorvedores em operações reais têm sido realizados com resultados

de sucesso. A aplicação em operações de usinagem, por exemplo, tem trazido grandes

benefícios em relação ao acabamento superficial da peça usinada e à possibilidade de usinar

maiores profundidades em torneamento interno, condição desfavorável devido à baixa relação

comprimento-diâmetro do porta ferramenta. Nesse caso, esferas de aço são inseridas no

interior dos portas ferramentas, em diferentes configurações de fração de volume

(porcentagem do volume ocupado pelas esferas em relação ao volume total do furo do porta

ferramenta), para dissipar parte da energia de vibração (Biju & Shunmugam, 2014 e Suyama,

2014). A análise de sistemas multi-partículas é complexa. Entretanto, atualmente o Método

dos Elementos Discretos (DEM – Discret Element Method) vem sendo utilizado com êxito

em muitas simulações. O DEM é uma abordagem numérica que pode simular materiais

21

granulares, que considera explicitamente as partículas individuais de material granular e suas

interações (O'Sullivan, 2011).

O contato entre os corpos nos absorvedores por impacto é modelado muitas vezes por um

conjunto linear de mola-amortecedor viscoso ou diretamente pelo coeficiente de restituição

aplicado à velocidade de separação dos corpos. Os parâmetros de contato de rigidez e

amortecimento viscoso são estimados a partir do coeficiente de restituição e do tempo de

contato entre os corpos, como mostrado por Nagurka & Huang (2004) e Li & Darby (2009).

Estudos sobre impacto entre corpos vêm utilizando uma modelagem não-linear, baseado na

teoria de contato de Hertz e representado por um conjunto não linear de mola-amortecedor,

como Lankarani & Nikravesh (1990), Flores et al. (2011) e outros. Neste trabalho, foi

aplicada essa modelagem não linear no contato entre as massas envolvidas nos absorvedores

por impacto. Os parâmetros de contato (rigidez e amortecimento) foram calculados de acordo

com modelos matemáticos disponíveis na literatura, dependentes do material dos corpos, do

coeficiente de restituição e velocidade de impacto. A modelagem matemática de um sistema

de um grau de liberdade foi realizada e, em seguida, a massa de impacto foi adicionada a esse

sistema, com o contato modelado pela abordagem não-linear, caracterizando um sistema de

dois graus de liberdade, que pode ser excitado livre ou forçadamente (via movimento

harmônico de base).

Para validar o modelo matemático, foi projetada, construída e instrumentada uma bancada

experimental que pode vibrar livremente ou forçadamente a partir do movimento de base. A

bancada permite que seja adicionada uma massa para que ocorra o impacto entre uma

determinada folga, sendo que essa pode ser regulada dentro de certo limite. Ensaios

experimentais foram realizados e as respostas extraídas do experimento foram comparadas

com as respostas teóricas, obtidas pela integração das equações de movimento. A resposta de

deslocamento temporal foi analisada, variando a folga e a razão de massa do sistema em

vibração livre e forçada. No caso da vibração forçada, a transmissibilidade de deslocamento é

obtida pela razão da amplitude da estrutura pela amplitude da base e utilizada como parâmetro

de comparação dos casos sem e com impacto.

As condições impostas à bancada experimental foram reproduzidas no modelo matemático

proposto. Os resultados teóricos mostraram coerência com os resultados experimentais nas

condições analisadas.

22

1.1. Objetivos

O objetivo é analisar a resposta dinâmica de um sistema mecânico com impacto sob vibração

livre e vibração forçada (via movimento harmônico de base), utilizando valores de folgas e

massas diferentes, comparando com a resposta da estrutura sem o impacto sob as mesmas

condições de excitação. As respostas obtidas pela integração das equações de movimento

(respostas teóricas) são comparadas com as respostas reais da bancada experimental,

verificando se o modelo matemático descreve qualitativamente o comportamento real da

estrutura.

1.2. Objetivos Específicos

Os seguintes objetivos específicos são estabelecidos para atingir os objetivos propostos:

Revisão da literatura sobre dinâmica de impactos e absorvedores por efeito de impacto

(impact dampers);

Modelagem de um sistema de um grau de liberdade – excitação pela base;

Modelagem do contato utilizando um par mola-amortecedor não linear, baseado na

Teoria de Contato de Hertz;

Projeto, construção e instrumentação da bancada experimental;

Caracterização dos parâmetros físicos da bancada experimental;

Aquisição dos dados de resposta da bancada experimental submetida à vibração livre e

forçada sem e com impacto;

Simulação numérica das condições impostas à bancada experimental, utilizando os

parâmetros físicos levantados experimentalmente;

Comparação dos resultados teóricos e experimentais;

23

2. Revisão Bibliográfica

2.1. Princípio de Impulso e Quantidade de Movimento

O princípio de impulso e quantidade de movimento pode ser usado para resolver problemas

que envolvem força, massa, velocidade e tempo; sendo de particular interesse na solução de

problemas que envolvem movimentos impulsivos ou choques (Beer & Johnston, 1991). A

equação do principio de impulso e quantidade de movimento é obtida pela integração da

equação do movimento de Newton:

�⃗� = 𝑚. �⃗� (2.1)

∫ �⃗� 𝑑𝑡𝑡2

𝑡1

= 𝑚 ∫ 𝑑𝑣 𝑣2

𝑣1

∫ �⃗� 𝑑𝑡𝑡2

𝑡1

= 𝑚�⃗�2 − 𝑚�⃗�1 (2.2)

Os vetores de forma 𝑚�⃗�1 e 𝑚�⃗�2 representam a quantidade de movimento do ponto material

antes e depois do impacto, respectivamente. O impulso, representado pelo lado esquerdo da

Eq. (2.2), representa o efeito da força F durante o intervalo de tempo dt em que atua, podendo

ser variável no tempo ou constante.

De acordo com a Eq. (2.2) o impulso aplicado a um corpo pode ser escrito como a variação da

quantidade de movimento apresentada por este corpo. Reescrevendo esta equação, tem-se:

𝑚�⃗�1 + ∫ �⃗� 𝑑𝑡𝑡2

𝑡1

= 𝑚�⃗�2 (2.3)

Se o sistema for composto por vários pontos materiais que se movem em relação a um

referencial inercial:

∑ 𝑚𝑖�⃗�𝑖1+ ∑ ∫ �⃗�𝑖 𝑑𝑡

𝑡2

𝑡1

= ∑ 𝑚𝑖�⃗�𝑖2 (2.4)

24

Como a massa total do sistema pode ser escrita da forma 𝑚 = ∑ 𝑚𝑖 e, considerando a posição

do centro de gravidade G como 𝑚 𝑟𝐺 = ∑ 𝑚𝑖𝑟𝑖, a velocidade de G pode ser escrita a partir da

derivada temporal da posição como 𝑚 �⃗�𝐺 = ∑ 𝑚𝑖�⃗�𝑖. Portanto, a Eq. (2.4) pode ser reescrita

da seguinte maneira:

𝑚�⃗�𝐺1+ ∑ ∫ �⃗�𝑖 𝑑𝑡

𝑡2

𝑡1

= 𝑚�⃗�𝐺 2 (2.5)

Se durante um intervalo de tempo de t1 a t2 não houver um impulso atuando sobre o sistema

ou o somatório dos impulsos atuantes forem nulos, a quantidade de movimento do sistema

permanecerá constante. Esta condição é conhecida como conservação da quantidade de

movimento:

∑ 𝑚𝑖�⃗�𝑖1= ∑ 𝑚𝑖�⃗�𝑖2

(2.6)

A lei da conservação da quantidade de movimento é aplicada se existe uma interação entre

pontos materiais que se colidem. De acordo com Hibbeler (2005), deve-se analisar o diagrama

de corpo livre para o sistema inteiro a fim de identificar as forças internas e externas e as

direções nas quais a quantidade de movimento é conservada. O tempo de duração do contato

é, geralmente, muito curto e, durante este tempo, as forças geradas podem ter grande

magnitude, caracterizando as Forças Impulsivas. Forças impulsivas são aquelas que

produzem uma variação na quantidade de movimento enquanto que as Forças não Impulsivas

produzem impulsos desprezíveis.

2.2. Colisão ou Impacto

Quando dois corpos que se movimentam com uma velocidade relativa entram em contato,

diz-se que ocorreu uma colisão ou impacto. O impacto geralmente tem um tempo de duração

muito curto, porém, durante este tempo, valores altos de força se desenvolvem e atuam nos

corpos, mudando suas velocidades.

Quanto à sua natureza, o impacto pode ser: elástico, quando não há dissipação de energia,

parcialmente elástico, quando parte da energia é dissipada, e plástico quando toda energia é

25

dissipada. Entretanto, impactos elásticos não ocorrem na realidade, pois sempre haverá

dissipação de energia, contudo a Quantidade de Movimento se conserva, em todos os casos.

2.2.1. Colisão entre dois corpos

Quanto à incidência, existem dois tipos de impacto: os colineares e os oblíquos ou

excêntricos. Os impactos colineares ocorrem quando o vetor posição 𝑟𝑐 , que liga o centro de

massa G ao ponto de contato C do corpo B, está alinhado com o vetor 𝑟′⃗⃗⃗𝑐, que liga o centro de

massa G’ ao ponto de contato C’ do corpo B’, ou seja, os ângulos entre o plano tangente ao

ponto de contato dos corpos e os vetores posição são perpendiculares (Stronge, 2000),

conforme mostrado na Figura 2.1(a). Quando esta condição não é atendida, o impacto é

obliquo ou excêntrico, Figura 2.1(b).

Figura 2.1: Impacto colinear (a) e impacto excêntrico (b). Fonte: Stronge (2000).

Para compreender o mecanismo do impacto, são definidas cinco fases. Antes do impacto,

sejam dois corpos A e B com velocidades distintas na mesma direção, tal que �⃗�𝐴1> �⃗�𝐵1

,

Figura 2.2 (a). No instante do contato, ambos os corpos são deformados devido à força de

impulso (∫ 𝑃 𝑑𝑡), Figura 2.2 (b). Esta deformação aumenta até um valor máximo, instante no

qual os corpos terão a mesma velocidade (�⃗�𝐴1= �⃗�𝐵1

= �⃗�), Figura 2.2 (c). Em seguida,

surgem os impulsos de restituição que afastam os corpos, que ficam com suas formas

originais ou permanentemente deformados, Figura 2.2 (d). Por último, os corpos perdem o

26

contato e se movem com velocidades �⃗�𝐵2> �⃗�𝐴2

, Figura 2.2 (e). As forças geradas durante o

contato obedecem à terceira Lei de Newton (forças iguais em módulo e direção e com

sentidos opostos) e agem somente na direção radial para evitar a interpenetração dos corpos.

Figura 2.2: Fases durante um impacto. Fonte: (Hibbeler, 2010).

Considerando o movimento do corpo A durante o período de compressão, a única força

impulsiva atuante no corpo durante este período é aquela exercida pelo corpo B (𝑃𝐵).

Aplicando o princípio do impulso e quantidade de movimento, tem-se:

𝑚𝐴𝑣𝐴1 − ∫ 𝑃𝐵 𝑑𝑡 = 𝑚𝐴𝑣

Durante o período de restituição, a força exercida pelo corpo B sobre o corpo A é 𝑅𝐵. Então,

pelo princípio do impulso e quantidade de movimento:

𝑚𝐴𝑣 − ∫ 𝑅𝐵 𝑑𝑡 = 𝑚𝐴𝑣𝐴2

Os impulsos de deformação e de restituição atuantes em cada corpo podem ser obtidos desde

que se conheçam as velocidades dos corpos antes, durante e depois do impacto. A razão entre

os impulsos de restituição e de deformação conhecido como coeficiente de restituição (e).

𝑒 =∫ 𝑅 𝑑𝑡

∫ 𝑃 𝑑𝑡 (2.7)

Os coeficientes de restituição relacionados a cada corpo são obtidos em função de suas

velocidades:

27

𝑒𝐴 =∫ 𝑅 𝑑𝑡

∫ 𝑃 𝑑𝑡=

𝑣 − 𝑣𝐴2

𝑣𝐴1 − 𝑣

𝑒𝐵 =∫ 𝑅 𝑑𝑡

∫ 𝑃 𝑑𝑡=

𝑣𝐵2 − 𝑣

𝑣 − 𝑣𝐵1

(2.8)

Reunindo 𝑒𝐴 e 𝑒𝐵 e eliminando 𝑣, o coeficiente de restituição pode ser escrito em função das

velocidades relativas antes e após o impacto dos dois corpos, assim:

𝑒 =𝑣𝐵2 − 𝑣𝐴2

𝑣𝐴1 − 𝑣𝐵1 (2.9)

onde 𝑣𝐵2 − 𝑣𝐴2 e 𝑣𝐴1 − 𝑣𝐵1 representam as velocidades relativas dos corpos após e antes do

impacto, respectivamente.

Os valores do coeficiente de restituição estão entre 0 e 1. Existem dois casos especiais:

quando e = 0 (colisão inelástica ou plástica) e quando e = 1 (colisão elástica). Se a colisão é

inelástica, não há impulso de restituição, os corpos após o choque permanecem em contato e

com a mesma velocidade, ou seja, 𝑣𝐵2 = 𝑣𝐴2 = 𝑣. Pela conservação da quantidade de

movimento:

𝑚𝐴𝑣𝐴1+ 𝑚𝐵𝑣𝐵1

= (𝑚𝐴 + 𝑚𝐵)𝑣

Na colisão elástica o impulso de restituição é igual ao de deformação, opostos, de mesma

direção e com mesmo módulo, logo as velocidades relativas dos corpos permanecem

constantes.

𝑣𝐴1+ 𝑣𝐵1

= 𝑣𝐴2+ 𝑣𝐵2

2.3. Impacto de Corpos Rígidos

Corpos rígidos apresentam uma área de contato muito menor do que sua área superficial.

Como a rigidez é bem alta, uma pequena deformação da superfície implica em uma tensão de

contato muito alta, logo, uma força de contato também alta, responsável pela mudança da

28

velocidade. Estas forças de contato podem promover deformações plásticas no material dos

corpos, sendo uma fonte de perda de energia.

Durante o impacto os corpos rígidos apresentam uma pequena deformação. Mesmo com um

valor alto de força de contato, os corpos sofrerão uma deformação muito pequena, pois o

tempo de contato é muito curto. Segundo Teoria de Impacto dos Corpos Rígidos (Seifried et.

al, 2010). Entretanto, existem três condições onde a Teoria de Impacto dos Corpos Rígidos

não é aplicável: impactos que formam momento de binário; impacto de hastes com planos; e

impactos transversais em vigas e placas.

2.3.1. Impactos Colineares entre dois corpos rígidos

2.3.1.1. Cinemática do Impacto

A cinemática do impacto entre dois corpos de superfícies convexas (como uma esfera, por

exemplo) está relacionada com a posição do ponto onde ocorrerá o impacto, a distância entre

os corpos, especificamente a distância entre os pontos de impacto, e com a sua velocidade

relativa.

Sejam dois corpos 1 e 2 que estão separados a certa distância entre os pontos P1 e P2, de

acordo com a Figura 2.3. Os pontos P1 e P2 são os pontos de contato, e na superfície de cada

um tem-se o sistema de coordenada {Pi, ni, ti1, ti2}, onde n é o vetor normal e ti1 e ti2 definem

o plano tangente aos corpos.

Seja O (x,y,z) o referencial fixo no sistema de coordenadas. De acordo com Seifreid et

al. (2010), a distância entre o referencial e os pontos P1 e P2 é dada pelos vetores rOP1 e rOP2 e

entre os pontos pelo vetor g. Logo, a posição dos corpos na direção normal pode ser escrita da

seguinte forma:

𝑔𝑁 = �⃗⃗�1 �⃗� = −�⃗⃗�2 �⃗� → �⃗⃗�1 = −�⃗⃗�2 (2.10)

29

Figura 2.3: Posição de dois corpos antes do impacto. Adaptado de Seifreid et al. (2010)

Escrevendo g na forma dos vetores posição de cada ponto, temos:

�⃗� = 𝑟𝑂𝑃2 − 𝑟𝑂𝑃1

𝑔𝑁 = �⃗⃗�1 (𝑟𝑂𝑃2 − 𝑟𝑂𝑃1) = −�⃗⃗�2 (𝑟𝑂𝑃2 − 𝑟𝑂𝑃1) (2.11)

A Eq. (2.10) é a equação da posição dos corpos. Existem três condições possíveis a serem

observadas:

𝑔𝑁 > 0 → os pontos P1 e P2 estão separados, logo esta condição indica que não há

contato;

𝑔𝑁 = 0 → os pontos P1 e P2 são “coincidentes” , indicando a condição de contato;

𝑔𝑁 < 0 → indica penetração não física;

A derivada temporal da Equação (2.11) fornece a velocidade relativa na direção normal dos

corpos. Desta forma:

�̇�𝑁 = �⃗⃗�1 (�̇⃗�𝑂𝑃2 − �̇⃗�𝑂𝑃1)

�̇�𝑁 = �⃗⃗�1 (�⃗�2 − �⃗�1) (2.12)

30

A Equação da velocidade (2.12) também pode ser escrita em coordenadas generalizadas. Para

isso, reescrevemos a Equação (2.12) de acordo com a Equação (2.10) e, em seguida,

escrevemos �⃗�1 e �⃗�2 em termos dos Jacobianos ( 𝐽𝑖):

�̇�𝑁 = 𝑛1 �⃗�2 + 𝑛2 �⃗�1 (2.13)

𝑣1 = 𝐽1�̇� + �̇�1

𝑣2 = 𝐽2�̇� + �̇�2 (2.14)

Substituindo a Eq. (2.14) em (2.13) e colocando �̇� (velocidades generalizadas) em evidência,

temos:

�̇�𝑁 = 𝑛1 (𝐽2�̇� + �̇�2) + 𝑛2 (𝐽1�̇� + �̇�1)

�̇�𝑁 = (𝐽2 𝑛1 + 𝐽1𝑛2 )�̇� + (𝑛1 �̇�2 + 𝑛2 �̇�1) (2.15)

O primeiro termo da Eq. (2.15) é a projeção na direção normal das velocidades generalizadas

e o segundo é a projeção das velocidades locais.

2.3.1.2. Movimento Relativo

Dois corpos colineares irão colidir se estiverem se aproximando com uma velocidade relativa.

Durante o contato, forças compressivas opostas se desenvolvem nos pontos de contatos dos

corpos e, como consequência, surgem forças de reação (paralelas às velocidades) opostas ao

movimento relativo durante o contato.

Sejam dois corpos esféricos A e A’ de mesmo raio colidindo. Em colisões de corpos rígidos

as reações apresentam valores altos e produzem um impulso que altera as velocidades a cada

instante de tempo durante o contato, que, por terem esta característica, estas forças são

designadas de forças ativas (forças impulsivas). Para os corpos A e A’ tem-se que:

F e F’ são as forças atuantes no ponto de contato;

V e V’ são as velocidade de cada corpo;

31

P(t) e P’(t) são os impulsos originados pelas forças F e F’, respectivamente;

A força de contato atua na direção normal do plano tangente no ponto de contato, de forma

que as componentes normais das forças são 𝐹(𝑡) = 𝑭 ∙ 𝒏 e 𝐹′(𝑡) = 𝑭′ ∙ 𝒏, respectivamente

para os corpos A e A’, produzindo as componentes normais de impulsos 𝑃(𝑡) e 𝑃′(𝑡), onde:

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝐹(𝑡) e

𝑑𝑃′

𝑑𝑡= 𝐹′(𝑡)

De acordo com a segunda Lei de Newton:

𝐹 = 𝑚 𝑑𝑉

𝑑𝑡

Aplicando a equação de Newton para o caso dos corpos A e A’, tem-se:

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑚

𝑑𝑉

𝑑𝑡 → 𝑑𝑃 = 𝑚 𝑑𝑉

𝑑𝑃′

𝑑𝑡= 𝑚′

𝑑𝑉′

𝑑𝑡 → 𝑑𝑃′ = 𝑚′𝑑𝑉′

Considerando a velocidade relativa 𝑣 = 𝑉 − 𝑉′, a massa efetiva 𝑀𝑒𝑓 = 𝑚 + 𝑚′ e o impulso

como 𝑑𝑝 = 𝑑𝑃 = −𝑑𝑃′, a equação do movimento pode ser escrita como:

𝑀𝑒𝑓 𝑑𝑣 = 𝑑𝑝 (2.16)

Integrando a Eq. (2.16) o valor da velocidade relativa é obtido em função do impulso atuante

no corpo:

𝑣 = 𝑣𝑜 +𝑝

𝑀𝑒𝑓 (2.17)

2.3.2. Força de contato

Dois corpos que se aproximam com uma determinada velocidade relativa, ao se tocarem um

exerce sobre o outro uma força durante o período de tempo, denominada Força de Contato

(𝐹𝑁). Desprezando o atrito entre as superfícies em contato, esta força pode ser calculada pela

32

Teoria de Hertz, Equação (2.18), dada pelo produto da deformação local (δ) com o parâmetro

de rigidez (k), Lankarani & Nikravesh (1990) e Flores et al (2005).

𝐹𝑁 = 𝑘𝛿𝑛, 𝑛 = 3/2 (2.18)

A Teoria de Hertz (ou Modelo de Hertz) não considera a dissipação de energia que ocorre

durante o impacto, então este modelo não representa fielmente o contato entre dois corpos. De

acordo com Lankarani & Nikravesh (1990), o parâmetro de rigidez entre duas esferas em

contato é:

𝑘 =4

3𝜋(ℎ1 + ℎ2)(

𝑅1𝑅2

𝑅1 + 𝑅2)

1/2

ℎ𝑖 =1 − 𝜗𝑖

2

𝜋𝐸𝑖

(2.19)

onde 𝜗𝑖 é o coeficiente de Poison e 𝐸𝑖 é o Módulo de Elasticidade dos materiais.

Se o contato ocorrer entre uma esfera e um plano, segundo Goldsmith (1960) apud

Flores et al (2005) a rigidez é calculada por:

𝑘 =4

3𝜋(ℎ1 + ℎ2)(𝑅1)1/2

(2.20)

O Modelo de Kelvin-Voigt (ou somente Kelvin ou Voigt) considera que a força de contato

entre dois corpos pode ser representada por um conjunto de mola-amortecedor em paralelo.

Desta forma, a força de contato resultante é a soma da força na mola com a força no

amortecedor. Então:

𝐹𝑁 = 𝐾𝛿 + 𝐶�̇� (2.21)

A vantagem do modelo de Kelvin-Voigt em relação ao de Hertz consiste na abordagem da

dissipação de energia, representada pelo amortecimento viscoso. Estes modelos se diferem

também no valor do expoente n da deformação, logo, o modelo de Kelvin-Voigt (n=1) é um

modelo que não representa as não-linearidades do contato.

33

Hunt & Crossley (1975) se basearam no modelo de Hertz e acrescentaram a este modelo a

dissipação de energia devido a um amortecimento D, em que 𝐷 = 𝑐𝛿𝑛, onde c é o fator de

amortecimento de histerese. Logo, a força de contato torna-se:

𝐹𝑁 = 𝑘𝛿𝑛 + 𝐷�̇�

𝐹𝑁 = 𝑘𝛿3/2 + 𝑐𝛿3/2�̇� (2.22)

Este modelo, então, descreve não só a dissipação de energia, mas, também, as não

linearidades do contato. De acordo com Lankarani & Nikravesh (1990), a velocidade inicial

de indentação (�̇�(−)), que é a velocidade relativa inicial dos corpos, e a velocidade de

indentação em qualquer ponto (�̇�) podem ser calculadas a partir das massas dos corpos, da

rigidez e da indentação máxima e pontual, respectivamente. Assim:

(�̇�(−))2

=2(𝑚1 + 𝑚2)𝑘

𝑚1𝑚2(𝑛 + 1)𝛿𝑚

𝑛+1 (2.23)

(�̇�)2

= (�̇�(−))2

−2(𝑚1 + 𝑚2)𝑘

𝑚1𝑚2(𝑛 + 1)𝛿𝑛+1 (2.24)

Hu & Guo (2015) fizeram uma comparação entre os modelos de Lankarani & Nikravesh

(1990) e Flores et al. (2011), mostrando seus pontos positivos e suas discordâncias. A relação

entre a velocidade de indentação e as indentações máxima e local foi adaptada por Hu & Guo

(2015) com base nos trabalhos de Tasora et. al (2013) e Lin et. al. (2010), após comparar as

simulações obtidas pelo seu modelo matemático com os modelos de Lankarani & Nikravesh

(1990) e Flores et al. (2011), encontrando resultados entre estes dois modelos.

�̇� = �̇�(−)√1 − (𝛿

𝛿𝑚)

𝛽

(2.25)

A perda de energia (∆𝐸) associada ao amortecimento representa o trabalho realizado pela

força de amortecimento e é calculada a partir da integral da curva de histerese, substituindo o

34

coeficiente da força de amortecimento (D) pelo modelo proposto por Hunt & Crossley (1975)

e substituindo a velocidade de deformação pelo modelo de Lankarani & Nikravesh (1990).

∆𝐸𝑐 = ∫ 𝑐𝛿3/2𝛿𝑚

0

�̇�(−)√1 − (𝛿

𝛿𝑚)

52

𝑑𝛿

∆𝐸𝑟 = ∫ 𝑐𝛿3/2𝛿𝑚

0

|�̇�(+)|√1 − (𝛿

𝛿𝑚)

52

𝑑𝛿

∆𝐸 = ∆𝐸𝑐 + ∆𝐸𝑟 =4

15𝑐(1 + 𝑒) �̇�(−)𝛿𝑚

5/2

onde 𝑒 = −�̇�(+)

�̇�(−)

O fator de amortecimento de histerese (c) foi proposto de formas diferentes por Lankarani &

Nikravesh (1990), Hunt e Crossley (1975), Flores et al. (2011) e Hu & Guo (2015).

Basicamente, consiste na razão entre a rigidez (k) e a velocidade inicial de indentação (�̇�(−)),

multiplicada por um fator α que depende do coeficiente de restituição (e) e varia de acordo

com os autores mencionados. Hu & Guo (2015) analisou cada modelo e observou que os

modelos propostos por Lankarani & Nikravesh (1990) e Hunt e Crossley (1975) são mais

adequados para contatos com materiais rígidos, tal como os metais, com coeficiente de

restituição próximo a 1. Para baixos valores de coeficiente de restituição estes modelos não

apresentaram desempenho satisfatório quando comparado com o modelo de Flores et

al. (2011). Já o modelo de Hu & Guo (2015) apresentou resultados que são válidos para

quaisquer valores de coeficiente de restituição.

35

Tabela 2.1: Fator de amortecimento de histerese. Adaptado de Hu & Guo (2015)

Modelo c

Flores et al. (2011) 8(1 − 𝑒)

5𝑒

𝑘

�̇�(−)

Lankarani e Nikravesh (1990) 3(1 − 𝑒2)

4

𝑘

�̇�(−)

Hunt & Crossley (1975) 3(1 − 𝑒)

2

𝑘

�̇�(−)

Hu & Guo (2015) 3(1 − 𝑒)

2𝑒

𝑘

�̇�(−)

2.3.3. Perda de Energia durante o impacto

Existem vários meios de perda de energia na colisão entre dois ou mais corpos, como, por

exemplo, deformação, ondas vibratórias e atrito, que não ocorrerão sozinhos.

Corpos em colisão desenvolvem altos valores de força de contato que causa deformação em

ambos os corpos, permanente ou não. Durante a fase de compressão, à medida que o corpo se

deforma uma energia associada é armazenada, de forma que é liberada durante a fase da

restituição. Desta forma, o coeficiente de restituição é uma referência da quantidade de

energia perdida pelo sistema.

Na teoria de impactos de corpos rígidos, as deformações são desprezíveis fora da região de

contato, onde esta se comporta como uma mola não linear entre dois corpos (Stronge, 2000).

O mecanismo de colisão após o contato pode ser dividido em duas fases: compressão e

restituição. A compressão é causada pela força de contato aplicada aos corpos e está

diretamente relacionada com as características do material que compõe este corpo,

principalmente a rigidez (ou pela compliância, que é o inverso da rigidez), podendo causar

deformações elásticas ou plásticas (indentações). O ponto de máxima compressão (que

coincide com o início da restituição) ocorre quando a velocidade relativa torna-se zero, ou

seja, a energia cinética é convertida em energia de deformação. No instante seguinte, a

energia de deformação armazenada durante a compressão gera uma força impulsiva que

36

aumenta a energia cinética dos corpos, até o ponto em que se separam, no caso de colisões

não inelásticas. Porém, nem toda energia de deformação é convertida novamente em energia

cinética, durante a fase da restituição a compliância da região que está deformada é menor do

que a compliância do corpo ao ser comprimido (Stronge, 2000). Isto significa que após a

restituição, o corpo apresentará uma deformação residual 𝛿𝑓 na sua superfície (indentação),

Figura 2.4.

Figura 2.4: Variação da força de Contato e deformação. Adaptado de Sronge (2000).

Se o choque fosse perfeitamente elástico (e=1) além de não ocorrer dissipação de energia, o

corpo voltaria à sua forma original (sem deformação) e o tempo de restituição seria o mesmo

da compressão. Entretanto, como há dissipação de energia, o tempo gasto durante o período

da restituição será sempre menor em relação ao da compressão, Figura 2.5.

37

Figura 2.5: Comparação dos tempos de compressão e restituição. Adaptado de

Sronge (2000).

A perda de energia que ocorre durante a compressão está relacionada com a velocidade inicial

relativa do movimento (𝑣𝑜). A energia cinética inicial do sistema, responsável pela

compressão, é dada por:

𝐸𝑐𝑖 =1

2𝑚 𝑉𝑜

2 +1

2𝑚′𝑉′𝑜

2 (2.26)

Durante a compressão, a força de contato gera um impulso de compressão (pc). Quando a

compressão termina num determinado tempo tc (Figura 2.5) os corpos apresentam velocidade

relativa nula, ou seja, V = V’, logo pela Eq. (2.17):

0 = 𝑣𝑜 +𝑝𝑐

𝑀𝑒𝑓→ 𝑝𝑐 = −𝑀𝑒𝑓 𝑣𝑜 (2.27)

O trabalho realizado pela força de contato F atuante nos corpos é dado por:

𝑊 = ∫ 𝐹 𝑣 𝑑𝑡𝑡

0

Como a força é caracterizada pela aplicação variação temporal do impulso (F=dp/dt), o

trabalho pode ser reescrito como:

𝑊 = ∫ 𝑣 𝑑𝑝𝑝′

0

(2.28)

38

Substituindo a Eq. (2.17) na Eq. (2.28), temos:

𝑊𝑐 = ∫ 𝑣𝑜 +𝑝

𝑀𝑒𝑓 𝑑𝑝

𝑝𝑐

0

= 𝑣𝑜𝑝𝑐 −1

2𝑀𝑒𝑓𝑝𝑐

2 (2.29)

Resolvendo a Equação (2.29) a partir da relação encontrada na Eq. (2.27), o trabalho realizado

pela força de contato durante a fase de compressão, que equivale à energia de deformação

interna absorvida, é dado por:

𝑊𝑐 = −1

2𝑀𝑒𝑓 𝑣𝑜

2 (2.30)

Após a compressão, a parte da energia que se transformou em energia de deformação

(relacionada com a velocidade relativa inicial) é descontada da energia cinética inicial do

sistema. Portanto, no início da restituição, a energia é:

𝐸𝑐𝑟 = 𝐸𝑐𝑖 −1

2𝑀𝑒𝑓𝑣𝑜

2 (2.31)

Corpos em colisão estão submetidos a forças de contato proporcionais às suas velocidades que

os deformam e geram tensões nas superfícies de contato. As tensões geradas causam ondas de

tensão que radiam da região de contato e transmitem mudanças nas velocidades dos corpos

(Stronge, 2000).

A ação de uma força aplicada repentinamente não é transmitida de uma só vez para todas as

partes de um corpo. As deformações produzidas pela força se propagam através do corpo na

forma de ondas elásticas (Timoshenko & Goodier, 1951). Um exemplo clássico de

transmissão de ondas elásticas é o terremoto, onde o choque entre placas tectônicas cria ondas

sísmicas que são transmitidas à superfície terrestre. Considerando que uma tensão σ

compressiva é aplicada subitamente numa das extremidades de uma barra, como ilustrado na

Figura 2.6, uma compressão uniforme de uma camada infinitesimal será transmitida para as

camadas adjacentes, sucessivamente. Então, uma onda de compressão é gerada e se propaga

ao longo da barra com uma velocidade vc. Multiplicando a velocidade vc por um determinado

instante de tempo t, o deslocamento da onda é obtido, ou seja, vc t.

39

Figura 2.6: Propagação de onda numa barra. Adaptado de Timoshenko & Goodier (1951).

No impacto colinear entre duas esferas, a dissipação de energia cinética pode ocorrer a partir

dois mecanismos: propagação de ondas de tensão e deformação plástica (Wu et al., 2005).

Durante uma colisão, uma alta energia cinética é capaz de causar uma deformação plástica no

material sendo convertida em energia de deformação elástica e energia de deformação

plástica. Neste caso apenas a energia de deformação elástica pode ser recuperada como

energia cinética durante a separação dos corpos. A propagação de ondas de tensão também é

uma forma de perda da energia inicial, porém representa uma quantidade muito pequena

quando comparada com a perda provocada pela deformação plástica.

A propagação das ondas de tensão está diretamente relacionada com a dimensão e com as

características do material dos corpos. Tais características influenciam na velocidade de

propagação da onda no corpo (𝑉𝑒), enquanto que a dimensão está relacionada com o tempo de

reflexão da onda (𝑡𝑟𝑜), de acordo com as equações abaixo:

𝑉𝑒 = √𝐸0

𝜌 (2.32)

𝑡𝑟𝑜 =2𝐿𝑐

𝑉𝑒 (2.33)

onde Lc é o comprimento do corpo

Considerando que o tempo de contato entre os corpos seja 𝑡𝑐 é possível calcular o número de

reflexões da onda de acordo com o tempo de reflexão de onda 𝑡𝑟𝑜:

𝑁𝑟𝑜 =𝑡𝑐

𝑡𝑟𝑜 (2.34)

Wu et. al (2005) realizou testes de impacto com uma esfera em blocos (substratos) de

diferentes tamanhos e materiais, mostrando que as ondas de tensão dissipam mais energia

40

cinética em substratos maiores. Os resultados dos testes realizados por estes autores

mostraram que, se pelo menos uma reflexão de onda ocorrer no substrato, a perda de energia

por ondas de tensão é inferior a 3%, podendo ser desconsiderada.

Em impactos de esferas rígidas de aço em aços numa velocidade de 70 m/s, o coeficiente de

restituição encontrado foi em torno de 0,4 (Uetz & Gommel, 1966 apud Hutchings, 1979) o

que representa uma perda de aproximadamente 3% por ondas elásticas, segundo a Equação

(14) de Hutchings (1979).

Hunter (1957) analisou o contato de uma esfera de aço com um bloco de aço e vidro,

mostrando que pouca energia cinética é convertida em ondas elásticas. As formulações

propostas por este autor somente são aplicáveis para casos de impactos elásticos, pois são

baseadas na Teoria de Hertz. Para altas velocidades, as equações propostas por Hunter não

são aplicáveis (Hutchings, 1979).

2.3.4. Coeficiente de Restituição

O Coeficiente de Restituição (e) é um valor que representa o grau da perda de energia cinética

de um sistema durante um impacto, devido aos mecanismos inerentes dos sistemas que

causam dissipação, como, por exemplo, efeitos visco-elásticos, deformação plástica da

superfície, vibrações e propagação de ondas.

São estudados três tipos de coeficientes de restituição: cinemático; cinético; e energético;

diferindo-se pelas relações utilizadas para sua obtenção.

Em todos estes casos, o valor do coeficiente de restituição varia entre 0 e 1. Se e = 0, a

colisão é dita inelástica, onde toda energia do sistema é dissipada e os corpos permanecem na

mesma posição após o impacto. Quando e = 1, a colisão é ideal e há conservação da energia

do sistema, na prática esta condição não existe.

O coeficiente de restituição Cinemático (en) utiliza a metodologia de Newton, é a razão entre

as velocidades relativas na direção normal após e antes do impacto. O Cinético (ep), proposto

por Poison, utiliza a razão entre as forças atuantes durante a restituição e durante a

41

compressão. Por fim, o Energético (eE ) foi proposto por Stronge (2000) é a razão entre as

raízes quadradas das energias de deformação do sistema durante a restituição e compressão.

As definições de coeficiente de restituição descritas acima são equivalentes, exceto se a

configuração do contato for excêntrica, se for considerado o atrito entre os corpos e se a

direção do deslizamento (“slip”) varia durante o contato (Stronge, 2000). Entretanto, em

múltiplos contatos colineares sem atrito (simultâneos) estas definições são diferentes (Pfeiffer

& Glocker, 1996)

Uma colisão elástica (coeficiente de restituição igual à unidade) não acontece na realidade,

pois sempre haverá dissipação de energia. No início da restituição, parte da energia

armazenada pela deformação dos corpos é restaurada e a outra parte é perdida na forma de

calor e vibrações moleculares, devido ao deslizamento microscópico das moléculas (Hunt &

Crossley, 1975). Esta dissipação está relacionada com diversos fatores que compõe o sistema,

tais como: velocidade inicial do(s) corpo(s), tamanho e material do(s) corpo(s), geometria da

área de contato e presença de atrito, por exemplo. Com relação ao atrito, segundo Aryaei et al.

(2010), em colisões colineares o atrito não influencia tanto no coeficiente de restituição, pois

não existe força tangencial atuando no corpo.

Considerando a definição clássica do coeficiente de restituição como a razão entre as

velocidades relativas após e antes do impacto, é importante analisar como este é influenciado

com a velocidade no instante do impacto. A partir da Eq. (2.2), a força que caracteriza o

impulso é diretamente proporcional à velocidade do corpo, logo, ocorre uma maior

deformação na área de contato.

Seifried et al. (2010) realizou testes experimentais em quatro configurações de impacto

diferentes (impacto de esfera de aço com: cilindro, placa, haste e viga, feitos de alumínio) e

comprovou que o coeficiente de restituição diminui com o aumento da velocidade inicial,

Figura 2.7 e Figura 2.8 . O aumento da energia cinética, devido ao aumento da velocidade,

aumenta a energia gerada pela deformação e as vibrações moleculares dos corpos.

No contato entre corpos de mesmo material, o comportamento do coeficiente de restituição

com relação à velocidade inicial é o mesmo daquele descrito acima. A Figura 2.9 mostra este

comportamento para um contato entre esfera e placa de aço inox. No caso em que o corpo

esférico colide com um corpo plano, existe uma relação entre o diâmetro da esfera e o

42

coeficiente de restituição. Wong et al. (2009) analisaram experimentalmente a influência do

diâmetro de quatro tipos de esferas de aço inox durante o contato numa placa, também de aço

inox, Figura 2.9. Aryaei et al. (2010) se basearam nos resultados de Wong et al. (2009) e

analisaram os mesmos parâmetros, porém utilizado esferas de alumínio em contato com uma

placa de alumínio, Figura 2.10. Através destes experimentos os autores mostraram que à

medida que o diâmetro da esfera aumenta, o coeficiente de restituição diminui para uma

mesma velocidade. Entretanto, os valores são muito próximos, sendo considerados por estes

autores como similares.

A Figura 2.11 mostra a variação do coeficiente de restituição para o contato esfera-placa de

materiais diferentes (aço e arcrílico, respectivamente). Os valores encontrados são maiores do

que os da Figura 2.9, provando que o valor do coeficiente de restituição é altamente afetado

pelas propriedades da placa (Wong et al. ,2009). Este resultado também foi encontrado nos

testes experimentais de contato entre esfera de aço e hastes de ligas de alumínio diferentes,

realizados por Seifried et al. (2010), Figura 2.12.

Figura 2.7: Configurações de impacto. Adaptado de Seifried et al. (2010).

43

Figura 2.8: Coeficiente de restituição para cada configuração. Adaptado de Seifried et al.

(2010).

Figura 2.9: Variação do coeficiente de restituição em diferentes velocidades de impacto para

esferas de aço inox (SS) . Adaptado de Wong et al. (2009).

44

Figura 2.10: Variação do coeficiente de restituição com o diâmetro da esfera. Adaptado de

Aryaei et al. (2010).

Figura 2.11: Variação do coeficiente de restituição em diferentes velocidades de impacto

para esferas de aço inox em contato com placa de acrílico . Adaptado de Wong et al. (2009).

45

Figura 2.12: Variação do Coeficiente de restituição com a velocidade para hastes diferentes.

Adaptado de Seifried et al. (2010).

A influência da geometria de contato também foi analisada por Seifried et al. (2010) através

do contato entre uma esfera de aço e três hastes com superfícies diferentes: côncava, convexa

e plana, Figura 2.13.

Figura 2.13: Superfícies de contato das hastes. Adaptado de Seifried et al. (2010).

Os resultados do experimento realizado por Seifried et al. (2010) mostraram que superfícies

côncavas dissipam mais energia, logo o coeficiente de restituição assume valores menores em

comparação com as demais. As superfícies convexas dissipam menos energia, apresentando

valores maiores de coeficiente de restituição.

46

2.4. Absorvedores por efeito de impacto (Impact Dampers)

Vibrações em sistemas mecânicos ou estruturais podem ser extremamente indesejáveis, pois

além de comprometer o desempenho dos componentes podem levar a danos irreparáveis. Por

isso, as técnicas de controle vibracional são importantes no estudo de vibrações.

A função dos amortecedores em sistemas vibratórios é dissipar a energia gerada pelo

movimento, proporcionando uma diminuição da amplitude de vibração. Neste trabalho será

abordado o amortecimento causado pelo impacto de partícula(s) enclausurada(s) na massa

vibratória principal, que se move(m) livremente dentro de uma folga pré-estabelecida, cujo

diagrama esquemático é mostrado na Figura 2.14.

O modelo proposto de absorvedor (ou amortecedor) por impacto consiste em uma massa m

que se move dentro de uma folga pré-determinada da massa principal, chocando-se contra as

paredes, provocando mudanças em sua resposta dinâmica.

O trabalho de Lieber & Jensen (1945) apud Wong et al. (2009) foi um dos primeiros a serem

publicados a respeito deste assunto, onde foi introduzido o conceito deste absorvedor para

diminuir vibração em aviões, mas o pioneiro sobre o assunto foi Paget (1930) apud (Masri,

1969).

Figura 2.14: Diagrama esquemático de um amortecedor por impacto. Adaptado de Ema &

Marui (2000).

47

O absorvedor por impacto modifica o momento linear da massa impactante e do sistema

vibratório e dissipa energia durante o impacto para atenuar a resposta do sistema (Masri,

1969). A energia de vibração é dissipada pelo absorvedor a partir das colisões e do atrito entre

os corpos, além da transferência de momento linear da estrutura principal para a(s)

partícula(s) (Wong et al. 2008).

Os absorvedores por impacto podem ser construídos para que os impactos ocorram na direção

horizontal ou vertical em que, nesta última, a dinâmica do sistema é influenciada pela ação da

aceleração gravitacional.

As vantagens de usar o absorvedor por impacto em relação a outros dispositivos são: o baixo

custo, simplicidade, robustez e promover amortecimento em uma faixa de acelerações e

frequências, sendo usado em ferramentas de corte, torres de televisão, pás de turbinas, eixos,

placas, entre outras (Duncan et al., 2005). Além disso, a operação desse tipo de absorvedor

não depende da temperatura, sendo, portanto, utilizado em aplicações em que absorvedores

tradicionais podem falhar (Wong et al. 2008).

Alguns fatores influenciam a dinâmica do absorvedor, como: força e frequência de vibração,

massas da partícula e da estrutura, rigidez e amortecimento estrutural, dimensões da folga

entre a partícula e a massa principal, frequência natural da massa principal, deslocamento

inicial e coeficiente de restituição (Duncan et al., 2005 e Yasuda & Toyoda, 1978).

Estes absorvedores vêm sendo estudados nos últimos anos e os resultados têm mostrado

eficiência, onde a maioria dos estudos estão relacionados à modelagem e simulação de

sistemas de 1 e 2 GDL.

Gharib & Ghani (2013) simularam numericamente a resposta de um sistema com diferentes

configurações de partículas, a partir de um modelo matemático proposto (Figura 2.15). Este

sistema pode conter configurações diferentes, em relação ao tamanho e número de partículas.

Os parâmetros da estrutura utilizados na simulação foram obtidos experimentalmente por Li

& Darby (2009). O resultado da simulação utilizando apenas uma esfera na estrutura, Figura

2.16, mostra que a esfera amortece mais o sistema submetido a uma condição inicial de

deslocamento de 18,5mm.

48

Gharib & Ghani (2013) analisaram também o comportamento da estrutura com um número

maior de esferas, intercaladas entre esferas pequenas e grandes, encontrando um

amortecimento maior, conforme mostrado nas Figura 2.17 e Figura 2.18.

Figura 2.15: Sistema utilizado por Gharib & Ghani (2013).

Figura 2.16: Resposta temporal para uma partícula. Adaptado de Gharib & Ghani (2013).

49

Figura 2.17: Resposta temporal para 3 esferas. Adaptado de Gharib & Ghani (2013).

Figura 2.18: Resposta temporal para 5 esferas. Adaptado de Gharib & Ghani (2013).

Cheng & Wang (2003) analisaram a aplicação de um absorvedor por impacto interno a uma

massa principal, Figura 2.19, e externo a uma viga em balanço (Euler-Bernoulli), Figura 2.20,

para várias folgas diferentes (a influência da folga será descrita mais adiante). Os autores

mostraram que este absorvedor foi eficaz na redução da amplitude a partir de um

deslocamento inicial da estrutura. Figura 2.21.

50

Figura 2.19: Modelo de absorvedor interno aplicado à uma massa principal. Fonte: Cheng &

Wang (2003).

Figura 2.20: (a) Diagrama esquemático do modelo com absorvedor externo em seção

transversal; (b) vista superior do absorvedor. Fonte: Cheng & Wang (2003).

51

Figura 2.21: Deslocamento da massa principal. Adaptado de Cheng & Wang (2003).

Segundo Cheng & Wang (2003) os resultados mostram que a resposta de vibração do sistema

depende primeiramente da colisão entre a massa de impacto e a massa principal que se

movem uma contra a outra, não do número de impactos. Para os casos em que o sistema vibra

a partir de uma condição inicial de deslocamento, o absorvedor por impacto deve ser ajustado

de forma que a folga seja menor do que o dobro do deslocamento inicial imposto ao sistema

para que ocorra a redução da vibração em um curto período de tempo (Cheng & Wang, 2003).

Marhadi & Kinra (2005) analisaram um absorvedor, montado na posição vertical, com várias

partículas, verificando a influência da razão de massa, do número de partículas, do material e

das partículas em forma de pó na absorção de energia de vibração de uma viga horizontal

engastada com absorvedor por impacto montado em sua extremidade. Para compreender

melhor os resultados obtidos pelos autores, têm-se as seguintes variáveis adotadas:

Ψ =T𝑖 − T𝑖+1

T𝑖 (2.35)

Δ =𝑑 𝜔2

𝑔 (2.36)

52

onde Ψ é a capacidade de amortecimento específica, T é a energia cinética, Δ é a folga não

dimensional, 𝑑 é a folga interna do absorvedor, ω é a frequência natural não amortecida e 𝑔 é

a aceleração da gravidade.

A razão de massa (μ) é a razão entre as massas da(s) partícula(s) e do sistema principal.

Friend & Kinra (2000) realizaram o experimento com uma razão de massa fixa de 0,12. No

experimento de Marhadi & Kinra (2005) foram utilizadas esferas de chumbo com 1,2 mm de

diâmetro no interior do absorvedor com folga adimensional Δ=5,65, de forma que a razão de

massa fosse igual a μ=0,02, μ=0,04 e μ=0,1. Os testes mostraram que o amortecimento é

diretamente proporcional à razão de massa, ilustrado na Figura 2.22. A folga é outra

característica que altera a quantidade de amortecimento presente no sistema, neste caso, os

autores realizaram o teste variando a folga adimensional para grandes quantidades de três

materiais diferentes, encontrando uma relação direta entre a folga e o amortecimento

incorporado ao sistema, Figura 2.23.

Figura 2.22: Variação do amortecimento para diferentes razões de massa (μ). Adaptado de

Marhadi & Kinra (2005).

Cheng & Wang (2003) analisaram a resposta temporal de deslocamento da massa principal

para duas folgas internas diferentes (0,31 mm e 4.61 mm) onde a folga maior proporcionou

uma menor amplitude de vibração e um amortecimento mais rápido. Uma outra análise

realizada pelos autores mostrou como a relação entre a folga interna e a amplitude de vibração

53

estão relacionadas com a razão de massa do sistema, Figura 2.24 e Figura 2.25. Em

contrapartida, no modelo da viga de Euler-Bernoulli da Figura 2.20, o aumento da folga entre

a viga e o absorvedor externo aumentou a vibração.

Yasuda & Toyoda (1978) analisaram a relação entre a folga interna e a inclinação do

amortecimento para várias razões de massa, também para um sistema vibrando a partir de

uma condição inicial, encontrando que esta relação é linear, Figura 2.27. A inclinação do

amortecimento é calculada como a razão entre a diferença de dois picos seguidos pelos seus

respectivos tempos de ocorrência, assim:

𝜁 =𝐴𝑖 − 𝐴𝑖+1

𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖 (2.37)

Figura 2.23: Variação do amortecimento para várias folgas internas. Adaptado de Marhadi

& Kinra (2005).

54

Figura 2.24:Resposta ao deslocamento nas condições de: – – - d = 0,31 mm; ——,

d=4,61 mm; –··–, sem impacto. Adaptado de Cheng & Wang (2003).

Figura 2.25: Relação entre amplitude, folga e razão de massa. Adaptado de Cheng & Wang

(2003).

55

Figura 2.26: Deslocamento da massa principal com absorvedor, folga de a) 6,95mm(—) e b)

34,36mm (—); sem absorvedor (- - -). Adaptado de Cheng & Wang (2003).

Figura 2.27: Relação entre inclinação do amortecimento e folga interna. Adaptado de

Yasuda & Toyoda (1978).

Entretanto, o resultado mostrado na Figura 2.27 não corresponde com a realidade para

qualquer valor de folga. Trabalhos posteriores mostram que o intervalo de folga utilizado foi

pequeno e este resultado é real para folgas pequenas. Folgas maiores produzem um

comportamento inverso. O trabalho de Bapat & Sankar (1985), por exemplo, também mostra

a variação da inclinação do amortecimento (representado por c, pelos autores) com relação à

56

folga, Figura 2.28, neste caso, folgas maiores foram analisadas e apresentaram baixo

amortecimento. Isso se deve aos poucos impactos que ocorrem nas paredes da massa principal

devido à distância (folga) ser muito grande.

Independentemente se o absorvedor utiliza uma ou muitas partículas, fica claro que a folga

interna é um parâmetro muito importante e que deve ser adequadamente projetada para que o

absorvedor tenha uma eficiência maior, pois uma folga muito pequena ou muito grande

promove um amortecimento insatisfatório ao sistema ou até nenhum amortecimento.

Figura 2.28: Variação da inclinação do amortecimento com a folga. Adaptado de Bapat &

Sankar (1985).

A influência dos materiais e do número de partículas no amortecimento do sistema apresenta

uma característica altamente não linear. Basicamente, poucas partículas oferecem pouco

amortecimento, mas um grande número de partículas não promove uma variação acentuada

no amortecimento. No experimento de Marhadi & Kinra (2005) três diâmetros diferentes de

esferas de vidro, aço e chumbo foram utilizados para que diferentes números de partículas no

interior do absorvedor promovessem a mesma razão de massa dentro da mesma folga

adimensional. Os resultados obtidos por esses autores mostraram que, conforme o número de

partículas aumenta, o amortecimento independe do material da partícula, Figura 2.29.

57

Figura 2.29: Variação do amortecimento de acordo com o número de partículas, a) 207, b)

414 e c) 1035 partículas. Adaptado de Marhadi & Kinra (2005).

Outro parâmetro que foi estudado por vários autores, para verificar sua influência no

amortecimento, foi o coeficiente de restituição (e). Popplewell & Liao (1991) e Duncan et al.

(2005) relataram que o aumento do coeficiente de restituição (e) proporciona mais

amortecimento nos sistemas, e consequentemente, redução na amplitude. Duncan et al. (2005)

mostraram que quando 𝑒 → 1, a taxa de amortecimento apresenta uma elevação muito maior

quando comparada a valores menores. No trabalho de Bapat & Sankar (1985) foi analisada a

influência do coeficiente de restituição na inclinação do amortecimento, de modo que acima

de e = 0,3 esta relação é diretamente proporcional, ou seja, maiores amortecimentos são

produzidos por valores altos do coeficiente de restituição (e). Entretanto, esta comparação não

58

é tão simples, isto porque existe um outro parâmetro que é fundamental e influencia

diretamente esses resultados, a amplitude de aceleração.

A amplitude de aceleração da massa principal pode confirmar ou inverter os resultados

obtidos por Popplewell & Liao (1991) e Bapat & Sankar (1985) citados acima. Existe uma

determinada amplitude que proporciona um amortecimento máximo, se a massa principal

possuir uma amplitude inferior à esta, os resultados dos autores estão corretos; caso contrário,

os resultados são inversos. Duncan et al. (2005) fez esta análise e mostrou este

comportamento (razão de amortecimento x amplitude) com um sistema vertical (com

influência da gravidade) em ressonância para quatro valores diferentes de restituição,

conforme mostrado na Figura 2.30.

Figura 2.30:Razão de amortecimento em função da amplitude da base e do coeficiente de

restituição. Adaptado de Duncan et al. (2005).

Li & Darby (2006) demostraram experimentalmente a influência de diferentes materiais das

paredes do absorvedor na redução de vibração do sistema, definindo-o como “buffered impact

damper”. Nesse trabalho foi mostrado que esses materiais aumentam a eficiência do

absorvedor, principalmente se o material for menos rígido, atenuando as acelerações, a força

de contato e o ruído gerado pelo impacto, sendo menos sensíveis à variação dos parâmetros de

folga, massa e do tipo de excitação. Entretanto, este tipo de absorvedor produz uma vibração

59

maior em vibrações abaixo da frequência natural da estrutura. Da mesma forma que outros

autores citados anteriormente, Li & Darby (2006) também analisaram a influência da razão de

massa e da folga no comportamento do sistema e encontraram resultados semelhantes.

Contudo, a diferença no amortecimento é mais visível em folgas menores, conforme a Figura

2.31.

Figura 2.31: Efeito da folga sob excitação randômica, sem buffer (˗·˗) e com buffer (˗˗).

Adaptado de Li & Darby (2006).

Mostrou-se nessa revisão que a razão de massa, folga interna e coeficiente de restituição são

características que alteram a dinâmica do absorvedor por impacto, logo, fazer uma sintonia

adequada entre estas características é fundamental para garantir uma maior eficiência deste

dispositivo. Geralmente, a folga interna deve ser ajustada em função das outras duas

características e, também, do amortecimento inerente da estrutura. Popplewell & Liao (1991)

realizaram em seu estudo uma otimização da folga interna variando a razão de massa, o fator

de amortecimento da estrutura estudada e o coeficiente de restituição.

Por fim, a amplitude de vibração também é um parâmetro que está diretamente relacionado

com o desempenho dos absorvedores por impacto. Ema & Marui (1994) analisaram a

influência deste parâmetro em um absorvedor vertical, a partir da condição inicial de

60

deslocamento imposta à estrutura, utilizando diversas folgas internas e razão de massas

diferentes. Como resultado, obtiveram uma relação diretamente proporcional entre o aumento

da condição inicial (amplitude) e o amortecimento da estrutura (caracterizado pelo

decremento logarítmico). Os autores concluíram também que, neste caso, estruturas

submetidas à baixas amplitudes devem utilizar baixas razão de massa e folga interna e o

inverso para altas amplitudes. Logo, o sistema deve ser otimizado de acordo com o

deslocamento da estrutura para que se tenha a melhor eficiência, mas mesmo sem estes

ajustes, o dispositivo diminui a vibração da estrutura.

No caso de absorvedores verticais, existe uma determinada amplitude crítica na qual cessa o

amortecimento da estrutura, dependente da aceleração da gravidade e da frequência natural do

sistema. Isso não ocorre para os absorvedores horizontais, pois a direção de movimento é

perpendicular à aceleração gravitacional, além disso, a força de atrito gerado no movimento

atua como amortecimento no sistema Ema & Marui (1995).

61

3. Modelo Matemático

O sistema utilizado neste trabalho é composto por uma estrutura, que pode vibrar livre ou

forçadamente, onde internamente uma massa secundária se move e colide com a estrutura a

partir da vibração externa. Conforme mostrado no Capítulo 2, uma condição de contato é

representada por uma rigidez e um amortecimento equivalente entre os corpos.

Seja um sistema com dois graus de liberdade (2 GDL) conforme mostrado na Figura 3.1. Este

sistema consiste em uma massa principal M, rigidez k1 e amortecimento c1, e uma massa

secundária m que se move livremente entre duas barreiras. Para representar o contato entre a

massa secundária e as barreiras, é proposto um modelo mola-amortecedor que simule a

rigidez de contato e a dissipação de energia, respectivamente indicados por k e c.

Figura 3.1: Sistema 2 GDL.

A Figura 3.2 ilustra o sistema com algumas dimensões importantes para a modelagem

matemática a partir de um referencial fixo (x,y), sendo:

l10 – comprimento inicial da mola externa k1;

l0 – comprimento inicial das molas internas k;

L – comprimento da massa principal M;

62

Figura 3.2: Dimensões importantes para a modelagem.

3.1. Hipóteses simplificadoras

As hipóteses simplificadoras do modelo matemático proposto são:

O atrito entre a superfície da estrutura e a esfera é desprezado;

A esfera se move com velocidade constante por toda a folga;

O contato entre a esfera e as barreiras é colinear;

O atrito no ponto de contato da esfera com as barreiras é desprezado, ou seja, não há

componente de força de contato na direção tangencial à esfera;

3.2. Equações de Movimento

Para simplificar a modelagem do sistema, este será dividido em dois subsistemas da seguinte

forma:

63

I. Massa principal com 1 GDL

A Figura 3.3 (a) mostra a massa principal M com 1 GDL submetida a uma força F aplicada na

direção x. O diagrama de corpo livre (DCL) é ilustrado na Figura 3.3 (b), onde Fk e Fc

representam as forças da mola e do amortecedor, respectivamente.

Figura 3.3: Diagrama de corpo livre da massa principal.

Aplicando a Equação da Segunda Lei de Newton, considerando que o comprimento inicial da

mola é 𝑙10, tem-se:

∑𝐹 = 𝑚1𝑥1̈

𝐹 − 𝐹𝑘 − 𝐹𝑐 = 𝑚1𝑥1̈

𝐹 − 𝑘1(𝑥1 − 𝑙10) − 𝑐1�̇�1 = 𝑚1�̈�1 (3.1)

A Equação (3.1) representa um sistema de 1 GDL. Como o sistema proposto possui 2 GDL a

parcela relacionada à massa secundária terá que ser adicionada a esta equação.

II. Massa secundária em contato com a barreira

A massa secundária m se move livremente entre as barreiras, somente quando há o contato

entre estes dois corpos uma força referente à mola e outra ao amortecedor atuará no sistema,

conforme mostra a Figura 3.4 (b).

Como mostrado no Capítulo 2, durante a colisão, a força de contato (𝐹𝑁) pode ser

representada pelo modelo de Kelvin-Voigt:

𝐹𝑁 = 𝑘𝛿 + 𝐷�̇�

64

Figura 3.4: Massa secundária entre as barreiras (a) e os diagramas de corpo livre (b) nas

condições de contato.

Entretanto, o modelo de Kelvin-Voigt não representa corretamente o contato entre dois

corpos, pois não contempla as não linearidades do processo, por isso, um modelo não-linear

baseado na teoria de contato de Hertz é mais adequado. Diversas referências como Hunt &

Crossley (1975), Lankarani & Nikravesh (1990) e Flores et al. (2011) se basearam no trabalho

inicial de Hertz de 1882 e implementaram modelos matemáticos para representar o

amortecimento interno durante o contato, representando a dissipação de energia que ocorre

neste processo, não contemplado pelo modelo de Hertz. Sendo assim, segundo Hunt &

Crossley (1975) a Força de Contato será escrita da seguinte forma:

𝐹𝑁 = 𝐹𝑘 + 𝐹𝑐

𝐹𝑁 = 𝑘𝛿1,5 + 𝑐𝛿1,5�̇� (3.2)

onde: k é a rigidez de contato e c é definido como fator de amortecimento por histerese,

definidos por esses autores.

Aplicando a Equação da Segunda Lei de Newton, têm-se as condições de contato com as duas

barreiras.

𝐹𝑘𝑒 + 𝐹𝑐𝑒 = 𝑚𝑥2̈ (3.3)

−𝐹𝑘𝑑 − 𝐹𝑐𝑑 = 𝑚𝑥2̈ (3.4)

65

Como as duas condições acima, expressas pelas Equações (3.3) e (3.4), que representam as

condições de contato com a barreira da esquerda e da direita, respectivamente, não podem

ocorrer simultaneamente, tem-se que:

𝐹𝑘𝑒 + 𝐹𝑐𝑒−𝐹𝑘𝑑 − 𝐹𝑐𝑑 = 𝑚𝑥2̈

Considerando que o comprimento inicial das molas internas é 𝑙0, a distância entre as barreiras

é L e a posição da massa secundária é x2, tem-se:

𝑘𝑒(𝑥2 − 𝑥1 − 𝑙0)1,5 + 𝑐𝑒(𝑥2 − 𝑥1 − 𝑙0)1,5(�̇�2 − �̇�1) − 𝑘𝑑(𝑥1 − 𝑥2 + 𝐿 − 𝑙0)1,5

− 𝑐𝑑(𝑥1 − 𝑥2 + 𝐿 − 𝑙0)1,5(�̇�1 − �̇�2) = 𝑚�̈�2 (3.5)

A Equação (3.5) expressa o contato em qualquer uma das barreiras. Obviamente só é possível

o contato com uma barreira de cada vez, logo somente os termos de rigidez e amortecimento

da barreira em que houve o contato assumirão seus devidos valores, os demais serão nulos.

Portanto, as equações de movimento do sistema de 2 GDL são dadas por:

𝐹 − 𝑘1(𝑥1 − 𝑙10) − 𝑐�̇�1 − 𝑘𝑒(𝑥2 − 𝑥1 − 𝑙0)1,5 − 𝑐𝑒(𝑥2 − 𝑥1 − 𝑙0)1,5(�̇�2 − �̇�1) +

𝑘𝑑(𝑥1 − 𝑥2 + 𝐿 − 𝑙0)1,5 + 𝑐𝑑(𝑥1 − 𝑥2 + 𝐿 − 𝑙0)1,5(�̇�1 − �̇�2) = 𝑚𝑒𝑓�̈�1 (3.6)

𝑘𝑒(𝑥2 − 𝑥1 − 𝑙0)1,5 + 𝑐𝑒(𝑥2 − 𝑥1 − 𝑙0)1,5(�̇�2 − �̇�1) − 𝑘𝑑(𝑥1 − 𝑥2 + 𝐿 − 𝑙0)1,5 −

𝑐𝑑(𝑥1 − 𝑥2 + 𝐿 − 𝑙0)1,5(�̇�1 − �̇�2) = 𝑚�̈�2 (3.7)

As Equações (3.6) e (3.7) serão utilizadas para determinar a posição e a velocidade das

massas do sistema em vibração livre (F=0) a partir das condições iniciais impostas a este

sistema, onde a base inferior da bancada é mantida fixa e somente a base superior se

movimenta. Nos casos de vibração forçada, o projeto da bancada experimental se baseia em

um problema de excitação pela base, onde um deslocamento constante é imposto à base

inferior, transmitindo deslocamento à base superior. Desta forma, as equações (3.6) e (3.7)

precisam ser adaptadas para esta condição.

66

Um sistema mecânico submetido a movimento harmônico de base é ilustrado na Figura 3.5,

onde y(t) é o deslocamento da base e x(t) é o deslocamento da massa principal em relação à

sua posição de equilíbrio.

Figura 3.5: Sistema com excitação pela base.

A deformação da mola e a velocidade relativa são dadas por (𝑥 − 𝑦) e (�̇� − �̇�),

respectivamente. Dessa forma, a equação de movimento para esse sistema é dada por:

𝑚1�̈�1 + 𝑘1(𝑥1 − 𝑦) + 𝑐1(�̇�1 − �̇�) = 0

𝑚1�̈�1 + 𝑘1𝑥1 + 𝑐1�̇�1 = 𝑘1𝑦 + 𝑐1�̇� (3.8)

Considerando que o deslocamento da base seja dado por 𝑦(𝑡) = 𝑌𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡), substituindo na

Eq. (3.8), tem-se:

𝑚1�̈�1 + 𝑘1𝑥1 + 𝑐1�̇�1 = 𝑘1𝑌𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) + 𝑐1𝜔𝑌𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) (3.9)

O termo da direita da Eq.(3.9) pode ser escrito como 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝜑), com

𝐴 = 𝑌√𝑘12 + (𝑐1𝜔)2 e 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (

−𝑐1𝜔

𝑘1), o que significa que aplicar um movimento à base

equivale a aplicar uma força de magnitude A à massa principal (Rao, 2008). Com isso,

67

substituindo o termo da força F das equações (3.6) e (3.7) pelos termos da direita da Eq. (3.9),

têm-se as equações de movimento para o sistema proposto em excitação pela base:

𝑘1(𝑌𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)) + 𝑐1(𝜔𝑌𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)) − 𝑘1(𝑥1 − 𝑙10) − 𝑐1�̇�1 − 𝑘𝑒(𝑥1 − 𝑥2 + 𝑙0)1,5

− 𝑐𝑒(𝑥1 − 𝑥2 + 𝑙0)1,5(�̇�1 − �̇�2) + 𝑘𝑑(𝑥2 − 𝑥1 − 𝐿 + 𝑙0)1,5

+ 𝑐𝑑(𝑥2 − 𝑥1 − 𝐿 + 𝑙0)1,5(�̇�2 − �̇�1) = 𝑚𝑒𝑓�̈�1

(3.10)

𝑘𝑒(𝑥1 − 𝑥2 + 𝑙0)1,5 + 𝑐𝑒(𝑥1 − 𝑥2 + 𝑙0)1,5(�̇�1 − �̇�2) − 𝑘𝑑(𝑥2 − 𝑥1 − 𝐿 + 𝑙0)1,5 −

𝑐𝑑(𝑥2 − 𝑥1 − 𝐿 + 𝑙0)1,5(�̇�2 − �̇�1) = 𝑚�̈�2

(3.11)

3.3. Condições para integração

Integrando as equações de movimento do sistema, Eqs. (3.10) e (3.11), a velocidade e a

posição em cada instante de tempo são obtidas, sendo que, para isso, algumas condições

devem ser satisfeitas. Considerando as dimensões e as barreiras mostradas na Figura 3.2,

denominando-as como barreira esquerda e barreira direita, são utilizadas as seguintes

condições:

I. Contato com a barreira esquerda:

Esta condição existe quando a diferença entre a posição da massa secundária (x2) e da massa

principal (x1) for menor ou igual ao comprimento inicial da mola interna (l0). Então:

𝑘𝑒 = 𝑘

𝑘𝑑 = 0

𝑐𝑒 = 𝑐

𝑐𝑑 = 0

68

II. Contato com a barreira direita:

Esta condição existe quando a diferença entre a posição da massa secundária (x2) e da massa

principal (x1) for maior ou igual à diferença entre o comprimento da massa principal (L) e o

comprimento inicial da mola interna (l0). Então:

𝑘𝑒 = 0

𝑘𝑑 = 𝑘

𝑐𝑒 = 0

𝑐𝑑 = 𝑐

III. Sem contato:

Quando nenhuma das condições descritas acima ocorrer, a massa secundária se movimenta

livremente entre as barreiras, caracterizando a não existência de contato. Então:

𝑘𝑒 = 𝑘𝑑 = 0

𝑐𝑒 = 𝑐𝑑 = 0

Os valores de k e c representam a rigidez e o fator de amortecimento por histerese

característicos do contato esfera-barreira, calculados a partir dos modelos de Hertz (1896) e

Flores et. al. (2011), respectivamente.

A partir das condições mostradas acima, as equações de movimento são integradas no

software MATLAB®, utilizando a função ode15s. Esta função resolve equações diferenciais

do tipo �̇� = 𝑓(𝑦, 𝑡) dentro de um determinado intervalo de tempo, a partir das condições

iniciais de deslocamento e velocidade.

69

4. Bancada Experimental

Uma Bancada Experimental foi projetada e montada no Laboratório de Vibrações e Controle

com o objetivo de validar experimentalmente o modelo matemático proposto. Neste capítulo,

serão descritas as seguintes fases:

Projeto;

Instrumentação;

Determinação dos parâmetros físicos da bancada experimental;

Determinação dos parâmetros de contato;

Equipamentos utilizados;

Descrição dos testes experimentais;

4.1. Projeto

A bancada experimental projetada para avaliar um absorvedor de vibrações por efeito de

impacto possui cinco elementos básicos: base inferior, colunas (elementos de rigidez), base

superior, barreiras ajustáveis e massa móvel (massa de impacto). Com exceção das colunas e

da massa móvel, o material escolhido para a fabricação destas peças foi o Alumínio.

As dimensões básicas dos elementos são: bases (50 x 50 x 9,52mm), escalas

(330 x 28,95 x 0,95 mm) e barreiras (35 x 9,52 x 5 mm). Os desenhos de cada elemento e a

montagem virtual do conjunto foram desenvolvidos com auxílio do software Autodesk

Inventor 2015, mostrados nas figuras abaixo.

A base inferior tem função de fixação (Figura 4.2). Através desta base a bancada pode ser

fixada numa mesa inercial, por exemplo, ou acoplada a um shaker com auxílio de um flange,

podendo assim receber movimento de base e transmitir para a base superior.

As colunas conectam as bases inferior e superior e têm como função garantir a flexibilidade

para a bancada, funcionando como molas, podendo ter sua rigidez alterada de acordo com a

posição da base superior em relação à base inferior (fixa). Para garantir precisão no

70

posicionamento da base e, também, simplicidade ao projeto, escalas graduadas em aço inox

foram utilizadas como colunas, conforme mostrado na Figura 4.3. Na Figura 4.4 tem-se a

representação da escala graduada utilizada no projeto.

Figura 4.1: Desenho esquemático da bancada experimental.

Figura 4.2: Base inferior.

Figura 4.3: Escala graduada de aço inox.

Colunas (escalas)

Base Inferior

Base Superior

Barreiras

71

Figura 4.4: Reprodução da escala graduada.

Na base superior foram projetados três sulcos para acomodar esferas de rolamento (massas de

impacto) que se movimentam em uma determinada folga e colidem contra as barreiras. A

folga é a distância entre as barreiras, podendo ser ajustada dentro de um limite e fixa na

posição desejada, Figura 4.5. Este ajuste é muito importante, pois, conforme descrito na

Revisão Bibliográfica, a folga é um dos parâmetros mais relevantes juntamente com a massa

de impacto nestes absorvedores. A base superior permite ainda o ajuste vertical, se

aproximando ou se afastando da base inferior, possibilitando a variação da rigidez do sistema.

Figura 4.5: Base Superior sem (a) e com barreiras (b).

O conjunto montado, composto pelos quatro elementos mostrados acima, é mostrado na

Figura 4.6. As massas de cada elemento e do conjunto montado encontram-se na Tabela 4.1.

Para realizar um movimento harmônico de base na bancada experimental, foi utilizada uma

guia linear (Figura 4.7), onde a base inferior foi fixada ao carrinho e conectada ao shaker por

meio de um stinger. Esta montagem proporciona movimento em apenas uma direção e a

eliminação da influencia do shaker na vibração do sistema, devido à inércia do carrinho,

caracterizando este sistema como um sistema clássico de Excitação pela Base. Se a bancada

72

experimental fosse fixada diretamente ao shaker, este passaria a influenciar diretamente na

dinâmica do sistema, aumentando o amortecimento e diminuindo a frequência natural da

estrutura.

Figura 4.6: Montagem do conjunto.

Tabela 4.1: Massas dos elementos da Bancada Experimental

ELEMENTO MASSA (g)

Base Inferior 61

Base Superior 52

Barreiras (par) 8

Colunas (Escalas - par) 120

Outros (parafusos, arruelas, etc) 76

Conjunto montado 317

73

Figura 4.7: Detalhe da guia linear instalada.

Para dissipar energia da estrutura submetida a um movimento harmônico foram escolhidas

duas esferas diferentes para serem utilizadas como massas de impacto, uma de 1/4”

(6,35 mm) e outra de 3/8” (9,52 mm) de diâmetro, com massas de 1,04 g e 3,52 g,

respectivamente denominadas como esfera menor e esfera maior (Figura 4.8).

Figura 4.8: Esferas utilizadas como massa de impacto.

.

74

4.2. Instrumentação

As medições desejadas na bancada experimental são os deslocamentos da base (imposto pelo

shaker) e da estrutura (massa principal), para a obtenção da Transmissibilidade de

Deslocamento (TD). O movimento da base foi monitorado por um sensor de proximidade

indutivo, devido à sua precisão para mensurar pequenas amplitudes de deslocamento. Na

estrutura, o deslocamento foi obtido por meio de um sensor laser, já que nesse ponto, as

amplitudes de deslocamento são bem maiores do que as da base, principalmente na

ressonância.

O modelo do sensor a laser utilizado é indicado para medir até 10 mm de deslocamento em

frequências abaixo de 100 Hz, com uma precisão de até 100 μm. Apesar dessa precisão,

amplitudes próximas e esse valor, apresentam uma relação sinal-ruído baixa, por isso foi

escolhido o sensor de proximidade indutivo para monitorar o movimento da base.

Figura 4.9: Sensor a laser WENGLOR® modelo YP06MGVL80.

A calibração do sensor a laser é fornecida pelo próprio manual de instruções e vale

0,5 mm/V, para qualquer material, desde que a superfície não seja na cor preta, enquanto que

o sensor de proximidade precisa ser calibrado de acordo com cada material. Então, para

calibrar o sensor de proximidade, este foi montado de um lado e o sensor laser do lado oposto

de uma pequena chapa de aço fixada à bancada, de forma que o deslocamento da base é

medido pelo deslocamento dessa chapa, conforme ilustrado na Figura 4.10.

75

Figura 4.10: Sensor de deslocamento instalado na bancada experimental.

Como a calibração do laser já é conhecida aplica-se um movimento harmônico pelo shaker

medindo simultaneamente o deslocamento na base com o laser e o sensor de proximidade.

Em seguida, a partir do pós-processamento dos sinais medidos, ajusta-se o sinal obtido pelo

sensor de proximidade para que coincida com o sinal obtido pelo laser, dividindo o sinal por

uma constante, em unidade de tensão por comprimento. Nesse caso, a calibração a constante

foi 2,85 V/mm.

Figura 4.11: Calibração do sensor de proximidade.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Sinal temporal

Tempo (s)

y(t

)

Laser

Sensor de proximidade

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10010

-5

100

Espectro do sinal

76

Um acelerômetro Endevco®

226C foi fixado na estrutura para captar o sinal de aceleração e

detectar a ocorrência dos impactos.

Figura 4.12: Acelerômetro de impacto Endevco® 226C.

Figura 4.13: Detalhe do posicionamento do acelerômetro em relação à estrutura.

77

Figura 4.14: Bancada experimental montada e instrumentada.

4.3. Determinação dos parâmetros físicos da bancada experimental

Com a montagem e a instrumentação da bancada experimental os parâmetros físicos de

rigidez e amortecimento da estrutura podem ser determinados experimentalmente. Como o

amortecimento não é conhecido, uma maneira de determiná-lo por meios experimentais é a

partir do Decremento Logarítmico, que representa a taxa de redução de amplitude de uma

resposta livre, definido como o logaritmo natural da razão entre duas amplitudes separadas

por n ciclos, onde n ≥ 1.

78

O método do Decremento Logarítmico é eficiente, assim como outros métodos tais como

Banda de Meia Potência ou Decremento Randômico (Random Decrement). Segundo

Frenceschini & Gomes (2010) todos estes métodos são adequados para avaliar o

amortecimento estrutural, entretanto o Decremento Randômico é mais indicado para avaliar

este parâmetro em equipamentos em operação, sendo, no caso desta bancada experimental,

mais aconselhável o uso do Decremento Logarítmico.

Considerando a montagem da bancada como fixa na base inferior, de forma que somente a

base superior se movimenta, a bancada se comporta como um sistema de um grau de

liberdade (1 GDL). Assim, com a aplicação de um deslocamento inicial conhecido, a estrutura

vibra livremente e o sinal da resposta (deslocamento medido pelo sensor laser) é registrado

em um sistema de aquisição de dados e processado por um algoritmo MATLAB®

onde são

gerados o gráfico de posição temporal (Figura 4.15) e o espectro do sinal. A partir do sinal

temporal gerado, é possível calcular o Decremento Logarítmico e estabelecer, assim, o

amortecimento da estrutura. Já a rigidez é obtida a partir da massa equivalente da estrutura e

da frequência natural não amortecida.

Figura 4.15: Resposta de vibração livre amortecida da bancada experimental.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1

2

Sinal temporal

Tempo (s)

Am

plit

ude (

mm

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10010

-10

10-5

100

Espectro do sinal

Frequência (Hz)

|Y(f

)|

𝑦1

79

O Decremento Logarítmico (α) consiste no logaritmo natural da razão de duas amplitudes

subsequentes, a partir de uma vibração livre na estrutura,

𝛼 = 𝑙𝑛1

𝑛𝑜(

𝑌1

𝑌1+𝑛𝑜

) (4.1)

onde: no é o número de oscilações até a amplitude desejada, 𝑌1 é a primeira amplitude e 𝑌1+𝑛 é

a amplitude sucessiva escolhida.

O fator de amortecimento (𝜉), ou razão de amortecimento, calculado a partir do Decremento

Logarítmico é dado pela Eq. (4.4). Como este fator é a razão entre o coeficiente de

amortecimento (c1) e o amortecimento crítico do sistema (ccr) – calculado pelo produto do

dobro da massa pela frequência natural não amortecida – então o coeficiente de

amortecimento (c1) desejado é calculado como mostra a Eq. (4.5), já que a massa equivalente

M é conhecida e a frequência natural amortecida (𝜔𝑑) é obtida pelo inverso do período

natural.

De acordo com Rao (2008), a massa equivalente de uma viga em balanço (Figura 4.16) que

suporta uma massa em sua extremidade é dada por:

𝑚1 = 𝑚 + 0,23 𝑚𝑣 (4.2)

Figura 4.16: Massa equivalente de uma viga em balanço. Adaptado de Rao (2008).

Adotando esse conceito no sistema analisado neste trabalho, a massa equivalente M está

relacionada com a massa da base superior (𝑚𝑏𝑠), a massa de cada escala (𝑚𝑒𝑠𝑐), do

acelerômetro (𝑚𝑎𝑐𝑒𝑙.) e do cabo do acelerômetro (𝑚𝑐𝑎𝑏), assim:

𝑚1 = 𝑚𝑏𝑠 + 𝑚𝑎𝑐𝑒𝑙. + 0,23(2 𝑚𝑒𝑠𝑐 + 𝑚𝑐𝑎𝑏) (4.3)

80

𝜉 = √𝛼2

4𝜋2𝑛𝑜2+𝛼2 (4.4)

𝑐1 = 2𝜉𝑚1𝜔𝑛 = 2𝜉𝑚1

𝜔𝑑

√1 − 𝜉2 (4.5)

A Rigidez (k1) do sistema é obtida pelo produto da sua massa pelo quadrado da frequência

natural não amortecida (ωn), Eq. (4.6).

𝑘1 = 𝑚1𝜔𝑛2 (4.6)

Utilizando as equações mostradas acima, os parâmetros da bancada experimental foram

obtidos com a base superior localizada em algumas posições na escala graduada, mostrados

na Tabela 4.2. Os valores das posições estão relacionados com a posição na escala graduada

(em centímetros). Para conferir se os valores de rigidez e amortecimento encontrados,

dispostos na Tabela 4.2, estão corretos, a equação de movimento da estrutura de 1 GDL

(mostrada no Capítulo 3) com os valores de rigidez e amortecimento acima foi integrada no

MATLAB®

. O resultado da posição em relação ao tempo (teórico) para a posição 28

(indicação de 28 centímetros na escala) é mostrado na Figura 4.17 em comparação com a

posição obtida experimentalmente. Comparando os resultados mostrados nesta figura, o

modelo 1 GDL com os parâmetros obtidos descreve corretamente o comportamento do

sistema.

81

Figura 4.17: Sinal teórico x experimental, posição 28.

Tabela 4.2: Parâmetros da bancada em relação à posição da base superior

Posição 𝜶 𝝃 𝒄𝟏 (Ns/m) 𝒌𝟏 (N/m) ωn (Hz)

23 0,3598 0,0029 0,0469 525,6 10,23

24 0,3969 0,0032 0,0489 470,2 9,75

25 0,3906 0,0031 0,040 410,8 9,1

26 0,3163 0,0025 0,0351 380,7 8,70

27 0,3599 0,0029 0,0377 339,7 8,22

28 0,3607 0,0029 0,0361 311,1 7,86

82

4.4. Determinação dos parâmetros de contato

Os parâmetros de rigidez e amortecimento internos são calculados de acordo com as equações

mostradas no Capítulo 2. Então, os seguintes dados são necessários:

Raio dos corpos em contato (Ri);

Módulo de Elasticidade (E) e coeficiente de Poison (ν) dos materiais dos corpos;

Coeficiente de restituição (e);

Velocidade de impacto (�̇�(−));

O Módulo de Elasticidade pode ser determinado por um ensaio de deflexão no elemento numa

condição de engaste em uma das suas extremidades, ou seja, como uma viga em balanço, a

partir da aplicação de uma carga conhecida em um ponto e medindo-se o deslocamento da

extremidade livre. Entretanto, a norma ASTM E1876-09 estabelece que é possível estimar

esta propriedade mecânica a partir de um Teste de Impacto no elemento, que deverá estar bi

apoiado em posições estabelecidas, para determinar suas frequências naturais. O Módulo de

Elasticidade é encontrado a partir da primeira frequência natural do elemento que deve ser

aplicada à Eq.(4.7).

Para a realização deste procedimento é necessário apoiar a viga sobre dois suportes rígidos,

utilizar um acelerômetro para medir a resposta, ligado a um analisador de vibrações, e um

martelo de impacto. A Figura 4.18 mostra, esquematicamente, a montagem necessária ao

teste.

Figura 4.18: Bancada típica para o teste. Fonte: ASTM E1876-09.

83

O elemento é uma viga se seção retangular com dimensões 480 x 37 x 9,55 mm (Lb x b x tb),

com massa de 450 g, utilizada como material para fabricar as barreiras da bancada

experimental. De acordo com a norma, os suportes devem ser posicionados em 0,224 Lb a

partir das extremidades. Após o teste, o valor da frequência de ressonância (ff) encontrado

deverá ser substituído na Equação (4.7). Como, neste caso, a razão L / tb > 20, o valor do

Fator de correção (T1) é dado pela Equação (4.8).

𝐸 = 0,9465 (𝑚𝑏𝑓𝑓

2

𝑏) (

𝐿𝑏3

𝑡𝑏3 ) 𝑇1 (4.7)

𝑇1 = 1 + 6,585 (𝑡𝑏

𝐿𝑏)

2

(4.8)

Onde:

E = Módulo de Elasticidade, Pa;

mb = Massa da viga, g;

b = largura da viga, mm;

Lb= Comprimento da viga, mm;

tb= Espessura da viga, mm;

ff = frequência de ressonância da viga (flexão), Hz;

T1 = Fator de correção para o modo fundamental de flexão;

O aparato de teste (Figura 4.19) foi montado para encontrar o valor do Módulo de

Elasticidade da viga de alumínio, de acordo com as especificações da norma, conforme

descrito acima.

Após o impacto, o analisador de vibrações registrou a resposta temporal com a frequência

natural de aproximadamente 211 Hz, o que, de acordo com a Equação (4.7), representa um

Módulo de Elasticidade de 65,24 GPa. Esse valor encontrado está próximo do valor de

84

70 GPa, fornecido pela tabela de propriedades mecânicas do Alumínio em Shigley et

al., (2005).

Figura 4.19: Montagem para determinação do Módulo de Elasticidade.

Figura 4.20: Espectro da resposta devido ao impacto.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-5

0

5

Sinal temporal

Tempo (s)

y(t

)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 50010

-6

10-4

10-2

100

Espectro do sinal

85

Para comprovar o valor do Módulo de Elasticidade encontrado a partir da norma

ASTM E1876-09, um Teste de Impacto foi realizado na viga (livre-livre) para determinar sua

primeira frequência natural. Em seguida foi criado um modelo no software Ansys©

utilizando

as dimensões da viga, sua massa específica (calculada a partir da massa e do volume) e o

Módulo de Elasticidade.

A simulação no Ansys®

retornou um valor de 213,89 Hz para a frequência natural (primeiro

modo de flexão), demostrando que o valor do Módulo de Elasticidade do Alumínio utilizado,

encontrado pela Norma ASTM E1876-09, está correto. Sendo assim, esse valor será utilizado

para calcular o parâmetro de rigidez do contato.

O Módulo de Elasticidade do aço, material das esferas, não foi determinado

experimentalmente devido às dificuldades para ensaiar esferas e à ausência de uma viga, por

exemplo, de composição idêntica à da esfera. Sendo assim, o valor escolhido foi de 205 GPa,

de acordo com Shigley et al. (2005). Coeficientes de Poison de 0,3 foram adotados tanto para

o alumínio quanto para o aço.

Figura 4.21: Primeiro modo de flexão da viga.

86

O coeficiente de restituição é um parâmetro difícil de obter. Primeiro porque na bancada

experimental não é possível monitorar a velocidade da esfera com a instrumentação utilizada.

Segundo o coeficiente de restituição varia de acordo com a velocidade de impacto e com o

diâmetro da esfera, conforme mostrado no Capítulo 2. Li et al (2009) encontraram um

coeficiente de restituição entre uma esfera de aço e uma superfície de alumínio de 0,46,

caracterizando uma alta dissipação de energia durante o contato. Foi realizado um teste

simples no laboratório para determinar, aproximadamente, o coeficiente de restituição entre as

esferas e a superfície de alumínio utilizada na bancada experimental, com base na energia

potencial. As esferas foram soltas de uma altura de 100 mm sobre uma superfície de alumínio

com espessura de 9,52 mm (mesma espessura das barreiras utilizadas na bancada

experimental) e, após o impacto, a altura máxima atingida foi medida com o auxilio de uma

escala graduada. A razão entre a altura máxima atingida após o impacto e a altura inicial

(100 mm) consiste no coeficiente de restituição desejado. Para a esfera menor (6,35 mm de

diâmetro) o coeficiente de restituição foi de 0,35 e para a maior (9,52 mm), 0,23.

A velocidade de impacto é dada pela velocidade relativa entre a estrutura e a esfera. O

deslocamento da estrutura é uma senoide perfeita conhecida, medida pelo sensor a laser, de

forma que sua velocidade pode ser aproximada multiplicando a amplitude de deslocamento

pela frequência de excitação (em rad/s), defasando esse sinal em π/2 radianos. Já a velocidade

da esfera durante o movimento, não é possível de ser medida com a instrumentação utilizada

na bancada experimental. Como existe essa limitação, a velocidade de impacto adotada para

realizar as simulações foi a velocidade da estrutura no instante do impacto.

4.5. Equipamentos utilizados

Os equipamentos utilizados na etapa experimental deste trabalho estão listados na Tabela 4.3.

87

Tabela 4.3: Lista de equipamentos utilizados.

EQUIPAMENTO MODELO FABRICANTE SENSIBILIDADE

Acelerômetro uniaxial Type 4508 Bruel & Kjӕr®

10,07 mV/ms-1

Acelerômetro de impacto 224 C Endevco®

2,97 pC/g

Amplificador de potência Type 2712 Bruel & Kjӕr®

-

Analisador de vibrações SD 380 Scientific Atlanta®

-

Condicionador de sinais Nexus Bruel & Kjӕr®

-

Gerador de função TR 0467 EMG®

Laser YP06MGVL80 Wenglor®

0,5 mm/V

Martelo de impacto - - -

Placa de aquisição NI USB 6521 National Instruments®

-

Sensor de proximidade IWA NT25 Dornier®

0,35 mm/V

Shaker eletromagnético Type 4808 Bruel & Kjӕr®

-

4.6. Descrição dos ensaios experimentais

Os ensaios experimentais com vibração forçada foram realizados com excitação harmônica,

via movimento de base, utilizando o shaker eletromagnético como fonte excitadora, em

frequências de 7,0; 7,5; 8,0; 8,5; 8,9; 9; 9,1; 9,2; 9,5; 10,0 e 10,5 Hz, escolhidas a partir da

frequência natural da bancada experimental (9,1 Hz). Nos testes com esfera, cinco folgas

diferentes foram analisadas (2, 4, 6, 8 e 10 mm) para toda a faixa de frequência descrita.

A folga é dada pela diferença entre a distância das paredes da estrutura e o diâmetro da esfera.

Aumentando o diâmetro da esfera, a distância entre as paredes precisa ser aumentada para

manter a folga constante. A Tabela 4.4 mostra quais são as distâncias entre as barreiras

definidas para os ensaios experimentais.

O movimento da base é realizado mediante a um sinal senoidal obtido pelo Gerador de

Função e amplificado, alimentando o shaker. O controle de frequência é realizado pelo

Gerador de Função e a amplitude da tensão do sinal é controlada tanto pelo Gerador quanto

pelo amplificador, de forma digital e analógica, respectivamente. A forma analógica de

controlar o ganho no amplificador traz uma grande desvantagem à realização dos ensaios.

88

Como as amplitudes na base precisam ser baixas, devido à flexibilidade da estrutura, não

houve êxito na tentativa de empregar o mesmo deslocamento de base em todos os testes. Por

isso, optou-se em realizar os ensaios com amplitude de tensão e ganho fixos, o que promove

um deslocamento de base variável em função da frequência de excitação, e analisar os

resultados em função da Transmissibilidade de Deslocamento e não da amplitude da

estrutura. Dessa forma, o problema da variação da amplitude de base é eliminado.

Os resultados experimentais e as simulações são mostrados no Capítulo 5, plotando a

Transmissibilidade de Deslocamento em função da frequência de excitação da base, para os

casos sem esfera e com esfera (variando a folga).

Tabela 4.4: Distâncias utilizadas entre as barreiras.

Folga (mm) Diâmetro da esfera (mm) Distância entre as barreiras (mm)

2 6,35

9,525

8,35

11,53

4 6,35

9,525

10,35

11,53

6 6,35

9,525

12,35

15,53

8 6,35

9,525

14,35

17,53

10 6,35

9,525

16,35

19,53

89

5. Resultados

Neste capítulo são apresentados os resultados experimentais obtidos nos ensaios na bancada

experimental, em comparação com os resultados obtidos pela simulação numérica, a partir das

equações de movimento desenvolvidas.

5.1. Simulações iniciais

Inicialmente algumas simulações foram realizadas para avaliar o comportamento do

absorvedor por efeito de impacto utilizando as equações diferenciais com modelo de contato

linear, utilizando parâmetros internos de rigidez e amortecimento arbitrários. O objetivo desta

simulação consiste, apenas, em analisar a resposta, de uma forma mais rápida, e verificar se os

comportamentos descritos na literatura são contemplados pelo modelo. O modelo linear foi

utilizado devido ao menor custo computacional para integrar essas equações do que se for

utilizado o modelo de contato não linear. Entretanto, as simulações oficiais para serem

comparadas com os resultados obtidos experimentalmente utilizam o modelo de contato não

linear, baseado na Teoria de contato de Hertz.

É importante salientar que os valores numéricos mostrados nos eixos x e y dos gráficos com

os resultados destas simulações iniciais são fictícios, pois os parâmetros necessários para

integrar as equações de movimento e obter estes resultados foram escolhidos arbitrariamente.

A primeira simulação foi realizada comparando a resposta de deslocamento de uma massa

submetida a uma mesma força harmônica F (na ressonância) sem e com impacto, Figura 5.1,

mostrando que o impacto incorporado à massa principal, a partir de uma massa secundária,

que se move livremente chocando-se contra a massa principal, diminui a amplitude de

vibração da massa principal. Eliminado a força excitadora F e aplicando uma condição inicial

de deslocamento à massa principal, o sistema responde como ilustrado na Figura 5.2.

Analisando a Figura 5.1 e a Figura 5.2 é possível notar que a frequência natural diminui

quando há o impacto, pois foi incorporada uma massa ao sistema, de forma que quanto maior

a massa, menor será a frequência natural.

90

Figura 5.1: : Amplitude de vibração forçada sem e com impacto.

Figura 5.2: Resposta livre sem e com impacto.

Conforme definido no Capítulo 2 a razão de massa (µ) consiste na razão entre a massa

secundária e a massa principal e é um dos principais parâmetros que influenciam na eficiência

dos absorvedores por efeito de impacto. A literatura retrata que quanto maior a razão de

massa menor será a amplitude de vibração da massa principal, ou seja, mais eficiente é o

91

absorvedor. Entretanto, existe uma faixa de frequência na qual se deve operar, pois como a

massa adicionada diminui a frequência natural do sistema, em algumas frequências abaixo da

frequência natural, as amplitudes podem aumentar com o impacto. A Figura 5.3 mostra uma

simulação da amplitude de vibração em função da frequência de excitação para uma

determinada folga e razão de massa. Analisando essa figura têm-se duas conclusões

importantes:

Se o sistema vibrar livremente, o impacto diminui a frequência natural do sistema e

também sua amplitude de vibração. A Figura 5.2 ilustra bem esse fato;

Se o sistema estiver vibrando a partir de uma força harmônica, a presença do impacto

pode aumentar a amplitude de vibração, que, se ocorrer, será sempre abaixo da

frequência natural original do sistema. Acima da frequência natural o impacto atuará

favoravelmente ao amortecimento.

Figura 5.3: Influência da adição da massa na resposta em frequência.

Considerando uma excitação forçada ligeiramente maior do que a frequência natural, a

influência da razão de massa na resposta do sistema pode ser vista na Figura 5.4, onde duas

razões de massa foram analisadas, µ = 0,0815 e µ = 0,2444, para um sistema em vibração

forçada com todos os parâmetros mantidos constantes, variando apenas a massa de impacto. O

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

10

20

30

40

50

60

70

80

Frequência (Hz)

Am

plit

ude R

MS

Com impacto

Sem impacto

92

resultado da simulação evidencia que o fenômeno bastante conhecido de que o aumento da

razão de massa diminui a amplitude de vibração.

Figura 5.4: Amplitude da massa principal com µ=0,0815 (a) e µ= 0,2444 (b).

Além da massa secundária (ou massa da partícula) outro parâmetro importante descrito pela

literatura, mencionado no Capítulo 2, é a folga por onde a massa (ou partícula) se movimenta

livremente, chocando-se contra a massa principal. A folga é considerada como a diferença

entre a distância das paredes da massa principal (onde ocorrem os choques) e a dimensão da

partícula, ou seja, se a distância entre as paredes for l e a partícula for uma esfera de diâmetro

d, a folga Δ vale: ∆= 𝑙 − 𝑑. A Figura 5.5 mostra o resultado da simulação do sistema

submetido à força harmônica utilizando diversos valores de folgas, onde os demais

parâmetros foram mantidos constantes. O resultado encontrado está de acordo com os

resultados mostrados na revisão da literatura, existindo um determinado valor de folga que

proporciona maior eficiência ao absorvedor, porém este valor depende de outros fatores como

a amplitude da força, por exemplo. Portanto, os valores de folga e amplitude na simulação não

devem ser tomados como referência, e sim o comportamento da curva apresentada.

Um parâmetro que não foi reportado na revisão bibliográfica mas foi analisado

numericamente pela simulação é o amortecimento externo do sistema, com objetivo de avaliar

93

a dissipação de energia pelo impacto em sistemas com baixos e altos amortecimentos. A

Figura 5.6 traz a variação da amplitude de deslocamento de um sistema em ressonância em

função do amortecimento externo, onde é mostrado que este absorvedor dissipa energia em

toda a faixa de amortecimento analisada, contudo quanto menos amortecida for a estrutura,

maior será a dissipação de energia.

Duncan et al. (2005) encontraram resultados semelhantes àqueles ilustrados na Figura 5.6.

Segundo esses autores, o grau de amortecimento do sistema aumenta com a razão de massa,

com o coeficiente de restituição e diminui com o amortecimento estrutural. A variação do

amortecimento incorporado ao sistema em função do amortecimento estrutural é mostrada na

Figura 5.7. A maior redução da amplitude entre os sistemas com e sem impacto, ou seja, o

maior grau de amortecimento da amplitude de vibração, é obtido com baixos valores de

coeficientes de amortecimento externo.

Figura 5.5: Variação da amplitude da resposta pela folga.

40 50 60 70 80 90 100 110 12016

18

20

22

24

26

28

30

32

34

Folga interna (mm)

Am

plit

ude D

eslo

cam

ento

(R

MS

)

Com impacto

94

Figura 5.6: Variação da amplitude da resposta em função do amortecimento externo.

Figura 5.7: Variação do amortecimento em função do amortecimento estrutural. Adaptado de

Duncan et al. (2005).

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.21

2

3

4

5

6

7

8

Amortecimento externo (Ns/m)

Deslo

cam

ento

RM

S

Com impacto

Sem impacto

95

5.2. Simulação da vibração livre sem impacto

No Capítulo 4 foi descrito o procedimento para a determinação dos parâmetros físicos da

bancada experimental, utilizando a técnica do Decremento Logarítmico. Na Figura 5.8 tem-se

a resposta livre da estrutura, sem impacto, submetida a um deslocamento inicial, utilizada

para determinar esses parâmetros.

Para verificar os valores de rigidez e amortecimento encontrados, foi feita uma simulação no

MATLAB®

integrando a equação de movimento da estrutura (1 GDL), sem impacto, a partir

da mesma condição inicial de deslocamento imposta à estrutura durante o teste experimental.

Figura 5.8: Resposta livre da estrutura (experimental).

A resposta livre da estrutura foi simulada com a base superior posicionada na posição 25 da

escala graduada. Nessa posição, de acordo com os resultados mostrados no Capítulo 4 (Tabela

4.2), a rigidez e o amortecimento equivalentes da estrutura valem 410,8 N/m e 0,040 Ns/m,

respectivamente. A Figura 5.9 mostra que a simulação de um sistema de 1 GDL submetido à

vibração livre, utilizando os parâmetros físicos e a condição inicial de deslocamento

encontrados experimentalmente, reproduz o comportamento real da estrutura.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1

2

Sinal temporal

Tempo (s)

y(t

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10010

-10

10-5

100

Espectro do sinal

Frequência (Hz)

|Y(f

)|

96

Figura 5.9: Comparação da resposta livre - Experimental x Teórico.

5.3. Cálculo dos Parâmetros internos de contato

O parâmetro interno de rigidez é calculado utilizando os raios dos corpos envolvidos no

contato e as características dos materiais desses corpos, como Módulo de Elasticidade e

coeficiente de Poison, cuja equação é reproduzida na Eq (5.1). Nessa equação, os termos com

índice “1” estão relacionados com a esfera de aço e os com índice “2”, à barreira de alumínio.

𝑘 =4

3𝜋 (1 − 𝜗1

2

𝜋𝐸1+

1 − 𝜗22

𝜋𝐸2)

(𝑅1)1/2 (5.1)

Substituindo os valores relacionados às barreiras e às esferas na Eq.(5.1) tem-se:

k = 4,0895 x 109, para a esfera menor;

k = 5,033 x 109, para a esfera maior;

O fator de amortecimento por histerese c (amortecimento interno), mostrado na revisão da

literatura, responsável pela dissipação de energia durante o contato entre corpos, depende

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tempo (s)

Deslo

cam

ento

(m

m)

Teórico

Experimental

97

tanto do coeficiente de restituição (e) quanto da velocidade relativa de impacto (�̇�(−)).

Diversos autores propuseram modelos diferentes para a obtenção desse parâmetro, mas o

modelo adotado nas simulações é o de Flores et al. (2011), mostrado na Tabela 2.1 e

reproduzido na Eq.(5.2) a seguir,

𝑐 =8(1 − 𝑒)

5𝑒

𝑘

�̇�(−) (5.2)

A variação do amortecimento interno em função da velocidade relativa e do coeficiente de

restituição é mostrada na Figura 5.10, considerando que o coeficiente de restituição é

constante na faixa de velocidade analisada. Com base nessa hipótese, os maiores valores do

amortecimento interno c são obtidos em baixas velocidades de impacto e baixos coeficientes

de restituição.

Figura 5.10: Variação do amortecimento interno em função do velocidade relativa e do

coeficiente de restituição.

Considerando que o coeficiente de restituição seja constante para todas as condições de teste,

o amortecimento fica dependente somente da velocidade de impacto. As curvas que ilustram o

98

comportamento do amortecimento interno em função da velocidade de impacto para o

coeficiente de restituição de 0,35 e 0,23 são mostradas na Figura 5.11 e na Figura 5.12,

respectivamente.

Figura 5.11: Variação do amortecimento interno para e = 0,35 (esfera menor).

Figura 5.12: Variação do amortecimento interno para e = 0,23 (esfera maior).

99

5.3.1. Amortecimentos relacionados com as esferas

Uma vez que o valor da velocidade da esfera não pode ser obtido com a instrumentação

utilizada, ele será estimado a partir da resposta real da estrutura, para que o amortecimento

interno possa ser calculado e, assim, simular as condições impostas à estrutura

numericamente.

Dois casos foram analisados: vibração livre e vibração forçada. Com a estrutura vibrando

livremente, a partir de um deslocamento inicial aplicado, o valor do amortecimento interno foi

estimado considerando a velocidade de impacto igual à velocidade da estrutura no instante em

que ocorreu o primeiro impacto esfera-estrutura. Em vibração forçada, como as frequências

próximas à ressonância são as de maior interesse, por se tratar desse fenômeno, a velocidade

da esfera é estimada utilizando a resposta nessa frequência, para todas as folgas, e

consideradas constantes em toda a faixa de frequência analisada. Logo, são necessários os

gráficos com a aceleração e a velocidade da estrutura, pois no sinal de aceleração é possível

ver o instante em que ocorreu o impacto e encontrar a velocidade da estrutura nesse instante,

conforme ilustrado nas Figuras 5.13 a 5.17.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-20

-10

0

10

20

Acele

ração (

m/s

²)

Tempo (s)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-400

-200

0

200

400V

elo

cid

ade (

mm

/s)

100



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-20

-10

0

10

20

Acele

ração (

m/s

²)

Tempo (s)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-200

-100

0

100

200

Velo

cid

ade (

mm

/s)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-40

-20

0

20

40

Acele

ração (

m/s

²)

Tempo (s)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-400

-200

0

200

400

Velo

cid

ade (

mm

/s)

101



As figuras acima mostram a velocidade e a aceleração da estrutura para a esfera menor,

entretanto, o procedimento utilizado para calcular o amortecimento interno para a esfera

maior foi o mesmo. Dessa forma, os gráficos de aceleração e velocidade da estrutura serão

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-40

-20

0

20

40

Acele

ração (

m/s

²)

Tempo (s)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-400

-200

0

200

400

Velo

cid

ade (

mm

/s)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-40

-20

0

20

40

Acele

ração (

m/s

²)

Tempo (s)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-400

-200

0

200

400

Velo

cid

ade (

mm

/s)

102

omitidos. As velocidades estimadas para cada folga utilizada estão dispostas na Tabela 5.1 e

na Tabela 5.2.

Tabela 5.1: Velocidades de impacto estimadas (esfera menor).

Folga (mm) Velocidade (mm/s) Amortecimento interno

calculado (Ns/m2,5

)

2 12 1,017 x 1012

4 62 1,96 x 1011

6 140 8,72 x 1010

8 175 6,97 x 1010

10 190 6,42 x 1010

Tabela 5.2: Velocidades de impacto estimadas (esfera maior).

Folga (mm) Velocidade (mm/s) Amortecimento interno

calculado (Ns/m2,5

)

2 52 5,16 x 1011

4 68 3,94 x 1011

6 87 3,08 x 1011

8 184 1,45 x 1011

10 150 1,78 x 1011

5.4. Simulação da vibração livre

A simulação numérica da vibração livre foi realizada aplicando ao modelo matemático a

mesma condição inicial de deslocamento aplicado à estrutura real. Conforme mostrado na

Figura 5.9, a resposta do modelo sem impacto coincide com a resposta real do sistema.

103

Utilizando o modelo matemático proposto, aplicando uma condição inicial de deslocamento

idêntica à da aplicada à estrutura real, tem-se a resposta temporal teórica da estrutura.

O deslocamento inicial da estrutura foi aplicado à base superior, deslocando-a até um limite

de sete milímetros. Contudo, para evitar qualquer divergência em relação à precisão do

deslocamento, a porcentagem da razão da amplitude em cada instante de tempo (A) pela

amplitude inicial (A0) foi analisada, utilizando as folgas de 7, 9, 11, 13 e 15 mm. Um

procedimento similar foi utilizado por Yasuda & Toyoda (1978), denominando-o de

“inclinação de amortecimento” (damping inclination, χ), dado pela razão da diferença de

duas amplitudes consecutivas pelo intervalo de tempo entre as amplitudes.

Figura 5.18: Representação da inclinação de amortecimento. Adaptado de Yasuda & Toyoda

(1978)

Em todos os ensaios com vibração livre realizados, a esfera foi posicionada inicialmente em

contato com a barreira, diferentemente da maioria dos casos analisados, em que a esfera é

posicionada no centro da trajetória. A Figura 5.19 mostra a resposta livre real da estrutura

para cada valor de folga utilizada. É possível notar que existe um ponto em que a inclinação

das curvas muda consideravelmente, que é o instante de tempo em que o impacto deixa de

existir, onde a estrutura passa a ser amortecida somente pelo amortecimento externo

(característico do próprio sistema). Dessa forma, uma estimativa do número de impactos pode

ser estabelecida. Por exemplo, considerando a resposta experimental da estrutura mostrada na

Figura 5.19 para as folgas de 15, 13, 11, 9 e 7 mm é possível observar que o instante de tempo

104

em que a inclinação dessas respostas muda é de, aproximadamente, 3,0, 3,4, 4,0, 4,7 e 6,5 s,

respectivamente. Comparando as folgas de 15 e 11 mm, por exemplo, houve um segundo a

mais de impactos quando a folga de 11 mm foi utilizada. Então, para os casos analisados,

estes instantes de tempo representam o tempo em que os impactos da esfera na estrutura

ocorrem devido ao movimento harmônico do sistema, de forma que quanto maior esse tempo

(ou menor a folga) maior o número impactos, já que a frequência de vibração é constante.

A folga interna é um dos parâmetros principais para a eficiência do absorvedor por impacto.

Como pode ser visto pelos resultados experimentais, a folga está relacionada com a taxa de

decaimento da amplitude da estrutura. Folgas maiores apresentaram taxas mais altas enquanto

que as menores folgas apresentaram taxas menores, apesar da ocorrência de maior número de

impactos, mostrando que o número de impactos não é o fator principal de dissipação de

energia. Cheng & Xu (2006) reportaram que a redução da vibração não depende do número

de impactos, mas, primeiramente, da colisão entre os corpos quando se movem um contra o

outro. A condição ideal para que o impacto seja mais eficaz na dissipação de energia é aquela

em que no instante de contato, a massa de impacto e a estrutura tenham velocidades em

sentidos opostos. Em folgas muito pequenas, parte dos impactos ocorre quando as velocidades

estão no mesmo sentido, diminuindo a eficiência.

A Figura 5.20 mostra o resultado da simulação numérica para os casos analisados.

Comparando com a Figura 5.19 é possível notar que o modelo descreve qualitativamente os

resultados obtidos pelos ensaios experimentais. Mesmo considerando que o parâmetro de

amortecimento interno se mantenha constante em todos os impactos, o que não é verdade,

pois a velocidade de impacto muda a cada impacto, o modelo matemático proporcionou uma

boa aproximação com os resultados reais. Isso talvez possa ser melhorado incorporando um

valor de amortecimento adequado para cada impacto, desde que as velocidades de impacto

possam ser estimadas e cada novo amortecimento seja incorporado à integração das equações

de movimento, o que causará um tempo maior para a realização das integrações.

105

Figura 5.19: Resposta livre experimental.

Figura 5.20: Resposta livre teórica.

0 1 2 3 4 5 6 7 80

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

tempo (s)

A/A

0 x

100%

Sem impacto

Folga = 7

Folga = 9

Folga = 11

Folga = 13

Folga = 15

0 1 2 3 4 5 6 7 80

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

tempo (s)

A/A

0 x

100%

Sem impacto

Folga = 15

Folga = 13

Folga = 11

Folga = 9

Folga = 7

106

5.5. Simulação da vibração forçada

Du & Wang (2010) analisaram as respostas teórica e experimental de deslocamento de uma

viga sem o absorvedor e com dois diferentes tipos de absorvedores, denominados SMID

(single mass impact dampers) e FPID (fine particle impact dampers). O contato, nesse caso,

foi modelado diretamente pela velocidade relativa, proposto por Du & Wang (2009). A Figura

5.21 mostra o deslocamento máximo teórico (simulado) e experimental da viga submetida à

vibração forçada. Conforme esperado, ao adicionar a massa de impacto a frequência natural

do sistema diminui e o amortecimento do sistema aumenta.

Utilizando as equações de movimento com movimento harmônico de base mostradas no

Capítulo 3, a simulação numérica da vibração forçada do sistema proposto foi realizada

utilizando a resposta real do deslocamento da base, obtida por ensaios experimentais. Logo, a

simulação busca reproduzir o comportamento do sistema a partir de suas condições reais,

como: parâmetros físicos, folga, deslocamento da base e massa de impacto. Após os ensaios

experimentais serem realizados, foram feitas as simulações para o sistema sem impacto e, em

seguida, com impacto, variando a folga interna.

Figura 5.21: Comparação dos resultados teóricos e experimentais obtidos por Du & Wang

(2010).

107

A Figura 5.22 mostra a resposta temporal experimental da base e da estrutura para uma

frequência de 8,0 Hz, cujo valor da amplitude da base foi utilizado para prescrever o

deslocamento na simulação e para calcular a Transmissibilidade de Deslocamento. Essa figura

exemplifica o critério utilizado para extrair o deslocamento da base necessário para a

simulação, sendo aplicado para todos os casos na faixa de frequência analisada.

A Figura 5.23 traz a comparação da Transmissibilidade de Deslocamento dos ensaios

experimentais sem impacto e da simulação numérica a partir da equação de movimento sem

impacto. Esse gráfico mostra que o modelo matemático descreveu corretamente o

comportamento real da estrutura e deve ser tomado com uma referência para a comparação os

com gráficos seguintes, que mostram o comportamento da estrutura na presença do impacto.

Figura 5.22: Sinal temporal da base e da estrutura (8,0 Hz).

108

Figura 5.23: Transmissibilidade de deslocamento (sem impacto).

5.5.1. Simulação com a esfera menor

Os gráficos mostrados da Figura 5.24 até a Figura 5.28 ilustram o comportamento real da

estrutura em comparação com o comportamento teórico, obtido pela integração das equações

de movimento utilizando os parâmetros de contato calculados, para as folgas de 2 a 10 mm,

usando a esfera menor. Analisando, primeiramente, somente as curvas experimentais, nota-se

em todos os casos uma diminuição da amplitude do sistema na frequência de ressonância do

sistema sem impacto (9,1 Hz). Entretanto, nas frequências próximas à 9,1 Hz o efeito foi o

contrário, conforme mostrado na Figura 5.29. Esse fato foi previsto pelas simulações iniciais

mostradas no início deste capítulo (Figura 5.3). A massa da esfera, no caso, aumenta a massa

do sistema, fazendo com que haja uma diminuição da frequência natural do sistema.

Comparando os resultados teóricos e experimentais é possível notar que o modelo descreve

qualitativamente o comportamento real do sistema. Como existe a dificuldade de estimar a

velocidade real de impacto e os atritos de rolamento/deslizamento da esfera e de contato

esfera-parede foram desprezados, a precisão do cálculo dos parâmetros de contato é

comprometida, influenciando na resposta final do modelo matemático. Nos valores de

frequência próximos aos limites analisados, os impactos não existem ou existem em

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

7 7,5 8 8,5 8,9 9 9,1 9,2 9,5 10 10,5

Tran

smis

sib

ilid

ade

Des

loca

men

to

Frequência (Hz)

Experimental

Teórico

109

quantidades desprezíveis, fazendo o sistema ser amortecido somente pelo amortecimento

externo (estrutural).

Figura 5.24: Transmissibilidade de Deslocamento (Com impacto - Folga 2, esfera menor).


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

7 7,5 8 8,5 8,9 9 9,1 9,2 9,5 10 10,5

Tran

smis

sib

ilid

ade

Des

loca

men

to

Frequência (Hz)

Experimental

Teórico

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

7 7,5 8 8,5 8,9 9 9,1 9,2 9,5 10 10,5

Tran

smis

sib

ilid

ade

Des

loca

men

to

Frequência (Hz)

Experimental

Teórico

110



0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

7 7,5 8 8,5 8,9 9 9,1 9,2 9,5 10 10,5

Tran

smis

sib

ilid

ade

Des

loca

men

to

Frequência (Hz)

Experimental

Teórico

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

7 7,5 8 8,5 8,9 9 9,1 9,2 9,5 10 10,5

Tran

smis

sib

ilid

ade

Des

loca

men

to

Frequência (Hz)

Experimental

Teórico

111


A Figura 5.29 e a Figura 5.30 mostram os resultados experimentais e teóricos,

respectivamente, mostrados nas figuras anteriores sobrepostos para comparar a influência da

folga na resposta final. O resultado real mostra que utilizando a folga de 10 mm o absorvedor

foi mais eficiente. A Figura 5.30 mostra que o comportamento teórico em função das folgas se

aproximou do comportamento real do sistema. Comparando essas figuras é possível verificar

que o comportamento qualitativo do modelo matemático em relação ao comportamento real

da estrutura é obtido.

Analisando as respostas experimentais e teóricas (Figura 5.29 e Figura 5.30, respectivamente),

na presença dos impactos maiores amplitudes de vibração foram obtidas em relação à

vibração do sistema sem impacto, em frequências abaixo da frequência natural do sistema.

Popplewell et al. (1983) reportaram que o dispositivo submetido a vibração forçada em

frequências de excitação iguais ou acima frequência natural da estrutura produz

“amortecimento positivo”, enquanto que em frequências mais baixas do que a frequência

natural produz “amortecimento negativo”, ou seja, a estrutura vibra mais do que sem o

amortecedor de impacto.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

7 7,5 8 8,5 8,9 9 9,1 9,2 9,5 10 10,5

Tran

smis

sib

ilid

ade

Des

loca

men

to

Frequência (Hz)

Experimental

Teórico

112

Figura 5.29: Transmissibilidade de Deslocamento – Experimental (esfera menor).

Figura 5.30: Transmissibilidade de Deslocamento – teórica (esfera menor)

5.5.2. Simulação com a esfera maior

Os gráficos mostrados das Figura 5.31 a Figura 5.35 ilustram o comportamento real da

estrutura em comparação com o comportamento teórico, obtido pela integração das equações

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

7 7,5 8 8,5 8,9 9 9,1 9,2 9,5 10 10,5

Tran

smis

sib

ilid

ade

Frequência (Hz)

Sem impacto

Folga 2

Folga 4

Folga 6

Folga 8

Folga 10

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

7 7,5 8 8,5 8,9 9 9,1 9,2 9,5 10 10,5

Tran

smis

sib

ilid

ade

Des

loca

men

to

Frequência (Hz)

Sem impacto

Folga 2

Folga 4

Folga 6

Folga 8

Folga 10

113

de movimento utilizando os parâmetros de contato calculados, para as folgas de 2 a 10 mm,

usando a esfera maior.

As simulações com a esfera maior seguiu os mesmos procedimentos adotados para a esfera

menor. Feitas as estimativas do coeficiente de restituição e velocidade de impacto, as

equações de movimento foram integradas para obter a resposta de deslocamento temporal da

estrutura e a Transmissibilidade de Deslocamento.

A massa da esfera maior é mais do que o triplo da massa da esfera menor, sendo responsável

por diminuir a frequência natural do sistema para 9,0 Hz, aproximadamente, logo a resposta

em frequência do sistema com impacto é deslocada para a esquerda em relação ao sistema

sem impacto.

Assim como foi mostrado nas simulações do item anterior, o modelo matemático descreveu

qualitativamente o comportamento real da estrutura. Em baixas e altas frequências do

intervalo utilizado, o impacto não se fez presente devido às baixas amplitudes de vibração da

estrutura. Nos casos em que os impactos ocorreram, diferenças em relação à resposta teórica e

experimental puderam ser observadas, influenciadas pelas divergências entre os valores reais

e os estimados de coeficiente de restituição e velocidade de impacto. As maiores diferenças

entre as respostas teóricas e experimentais ocorreram na ressonância. Além das limitações

consideradas para a obtenção de parâmetros reais e da não modelagem do atrito, outro fator

que pode influenciar o resultado nessa frequência, principalmente, é o comportamento dos

elementos de mola (escalas graduadas) em altas amplitudes, que podem experimentar um

comportamento não-linear. Dessa forma, variações na rigidez equivalente do sistema podem

ocorrer, modificando a dinâmica da estrutura. O modelo matemático considera um

comportamento linear da mola externa, com valor fixo de rigidez. Uma observação

importante que pode reforçar essa hipótese é que nas simulações das duas esferas utilizadas,

as maiores diferenças entre as respostas teóricas e experimentais ocorreram nas menores

folgas (2 e 4 mm), justamente as que apresentam maiores amplitudes de vibração.

114

Figura 5.31: Transmissibilidade de Deslocamento (Com impacto - Folga 2, esfera maior).


0

20

40

60

80

100

120

140

7 7,5 8 8,5 8,9 9 9,1 9,2 9,5 10 10,5

Tran

smis

sib

ilid

ade

Des

loca

men

to

Frequência (Hz)

Experimental

Teórico

0

20

40

60

80

100

120

140

7 7,5 8 8,5 8,9 9 9,1 9,2 9,5 10 10,5

Tran

smis

sib

ilid

ade

Des

loca

men

to

Frequência (Hz)

Experimental

Teórico

115



0

20

40

60

80

100

120

140

7 7,5 8 8,5 8,9 9 9,1 9,2 9,5 10 10,5

Tran

smis

sib

ilid

ade

Des

loca

men

to

Frequência (Hz)

Experimental

Teórico

0

20

40

60

80

100

120

140

7 7,5 8 8,5 8,9 9 9,1 9,2 9,5 10 10,5

Tran

smis

sib

ilid

ade

Des

loca

men

to

Frequência (Hz)

Experimental

Teórico

116


Assim como mostrado na Figura 5.30, a Figura 5.36 mostra que o aumento da vibração em

frequências abaixo da frequência natural do sistema sem impacto é ainda mais evidente. Em

contrapartida, as simulações numéricas e os resultados experimentais retornaram menores

amplitudes de vibração quando a esfera maior foi utilizada como massa de impacto, fato que

está em concordância com a abordagem teórica e com trabalhos científicos já citados neste

texto.

Figura 5.36: Transmissibilidade de Deslocamento - experimental (esfera maior).

0

20

40

60

80

100

120

140

7 7,5 8 8,5 8,9 9 9,1 9,2 9,5 10 10,5

Tran

smis

sib

ilid

ade

Des

loca

men

to

Frequência (Hz)

Experimental

Teórico

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

7 7,5 8 8,5 8,9 9 9,1 9,2 9,5 10 10,5

Tran

smis

sib

ilid

ade

Des

loca

men

to

Frequência (Hz)

Sem impacto

Folga 2

Folga 4

Folga 6

Folga 8

Folga 10

117

Figura 5.37: Transmissibilidade de Deslocamento - teórica (esfera maior).

O efeito observado de aumento da vibração em frequências abaixo da frequência natural do

sistema será analisado no item a seguir.

5.6. Influência da massa de impacto na resposta em frequência

Sabe-se que a adição de massa a um sistema promove uma redução na sua frequência natural,

influenciando na resposta em frequência deste sistema. A explicação para o aumento da

amplitude de vibração em frequências menores que a frequência natural do sistema, como

visto na Figura 5.30 e Figura 5.36, se baseia no acréscimo de uma massa que não pertencia ao

sistema inicialmente, caracterizando um novo sistema (com uma nova frequência natural). A

Figura 5.38 mostra a simulação da resposta em frequência do sistema sob uma determinada

excitação forçada, sem impacto, para dois diferentes valores de massa, 0,1255 e 0,1290 kg.

Como não existe fonte de dissipação “extra” de energia, o sistema é amortecido somente pelo

seu amortecimento característico.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

7 7,5 8 8,5 8,9 9 9,1 9,2 9,5 10 10,5

Tran

smis

sib

ilid

ade

Des

loca

men

to

Frequência (Hz)

Sem impacto

Folga 2

Folga 4

Folga 6

Folga 8

Folga 10

118

Figura 5.38: Resposta em frequência sem impacto.

Inserindo uma massa de impacto de 0,035 kg no sistema de massa 0,1255 kg, a massa total do

sistema permanece com os mesmos 0,1290 kg do sistema simulado e mostrado na Figura

5.38, porém, agora, a massa de impacto se movimenta livremente entre uma determinada

folga. Simulando as mesmas condições de força do caso anterior, é possível notar que a

resposta em frequência diminui em relação ao sistema sem impacto com uma redução da

amplitude de vibração, conforme mostrado na Figura 5.39. Deve-se observar que as curvas

“m=0,1290” e “com impacto” na Figura 5.39 tem a mesma frequência natural de 9,0 Hz,

porém a diferença em amplitude entre essas curvas é o resultado da dissipação de energia do

sistema por intermédio do impacto. Esse resultado mostra o quão importante é o impacto para

a redução da amplitude de vibração do sistema, pois baixos valores de amplitude foram

obtidos assemelhando-se a um sistema com amortecimento característico maior do que

realmente é.

A adição da massa de impacto promove o inevitável deslocamento da resposta em frequência

do sistema, proporcionando o aumento da amplitude de vibração abaixo da frequência natural

do sistema com impacto em relação ao sistema original sem impacto. Dessa forma, a massa

7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Frequência (Hz)

Am

plit

ude (

mm

)

Sem impacto m=0,1255


119

de impacto deve ser cuidadosamente escolhida para garantir o desempenho do absorvedor e

evitar amplitudes de vibração indesejáveis abaixo da frequência natural.

Figura 5.39: Resposta em frequência com impacto.

A variação da folga interna e do parâmetro de amortecimento interno (relativo ao contato

entre os corpos) não modifica a frequência natural do sistema, logo a variação desses

parâmetros implicará na variação da amplitude de vibração. Variando, então, o parâmetro de

amortecimento interno do modelo matemático na simulação com impacto, tem-se a resposta

do sistema em função do amortecimento interno para uma folga constante, mostrada na Figura

5.40. Observando essa figura é possível notar que altos valores de amortecimento interno

implicam em altas amplitudes de vibração. Considerando que a variação do amortecimento

interno está relacionada ao coeficiente de restituição, como mostrado anteriormente na Figura

5.10, tem-se que baixos coeficientes de restituição implicam em altos valores de

amortecimento interno e, consequentemente, altas amplitudes de vibração. Logo, para a

mesma velocidade relativa de impacto, um sistema terá menor amplitude de vibração para um

contato com alto coeficiente de restituição, assim como reportado no Capítulo 2 pelo trabalho

de Popplewell & Liao (1991), Bapat & Sankar (1985) e Duncan et al. (2005).

7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Frequência (Hz)

Am

plit

ude (

mm

)

Com impacto



120

Figura 5.40: Variação da resposta em frequência em função do amortecimento interno.

7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Frequência (Hz)

Am

plit

ude (

mm

)

c=1x1010

c=5x1010

c=1x1011

c=5x1011

Sem impacto

121

6. Conclusões

Neste trabalho foi proposto um absorvedor de vibrações por efeito de impacto utilizando uma

modelagem de contato não linear. Um sistema de dois graus de liberdade composto por uma

massa principal e uma massa secundária (massa de impacto) foi idealizado e suas equações de

movimento foram desenvolvidas. Uma bancada experimental foi projetada para obter as

respostas reais do sistema e, assim, compará-las com as respostas teóricas, obtidas pelo

modelo matemático.

O impacto incorpora amortecimento ao sistema pelo principio da conservação da quantidade

de movimento. Os ensaios realizados analisando a folga e a razão de massa do sistema

apresentaram resultados coerentes com o que é descrito pela literatura. A resposta livre

experimental proporcionou uma análise entre a folga utilizada e a quantidade de impactos em

relação ao tempo, mostrando que o número de impactos não é o principal fator que favorece a

dissipação de energia do sistema, fato também reportado por autores na área. A razão de

massa e a folga interna são dois dos principais fatores que influenciam na eficiência do

absorvedor, devendo ser otimizados em função das condições de vibração da estrutura

(amplitude e frequência) para garantir os melhores resultados na dissipação de energia do

sistema.

O modelo matemático utilizado descreveu qualitativamente o comportamento real da bancada

experimental submetida à vibração livre e ao movimento harmônico de base. Diferenças nos

valores de máximos de amplitude foram obtidas, comparando as curvas teóricas e

experimentais, principalmente na ressonância, uma vez que o modelo proposto não contempla

os atritos de contato e de deslizamento/rolamento da esfera na estrutura e outras possíveis não

linearidades envolvidas. Além disso, com a instrumentação disponível utilizada, não foi

possível obter a velocidade real de impacto da esfera na estrutura e o coeficiente de restituição

real, o que influencia diretamente no cálculo do parâmetro de amortecimento interno do

contato e, consequentemente, na resposta teórica fornecida pelo modelo matemático.

O modelo de contato não linear empregado na formulação matemática deste trabalho se

mostrou uma boa ferramenta para a modelagem matemática, porém ainda é necessário

aperfeiçoá-lo, incorporando atritos e velocidades de impacto e coeficiente de restituição mais

122

precisos, para concluir se o modelo é capaz de descrever quantitativamente as respostas reais

de um sistema.

Como sugestão para trabalhos futuros, destaca-se: estudo mais aprofundado dos parâmetros

de impacto para alimentar o modelo matemático, estudo do efeito com múltiplas esferas e

aplicação deste mecanismo em sistemas mecânicos reais com múltiplos graus de liberdade.

123

Referências

ARYAEI, A., HASHEMNIA, K. & JAFARPUR, K. Experimental and numerical study of

ball size on restitution coefficient in low velocity impacts. International Journal of Impact

Engineering, v. 37, p. 1037-1044, 2010.

BAPAT, C. N. & SANKAR, S. Single unit impact damper in free and forced vibration.

Journal of Sound and Vibration, v. 99, n.1, p. 85 - 94, 1985.

BEER, F. P. & JOHNSTON JR., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros v.2: Dinâmica

5ª Ed.. São Paulo: McGraw-Hill, 1991.

BIJU, C. & SHUNMUGAM, M. S. Investigation into effect of particle impact damping (PID)

on surface topography in boring operation. The International Journal of Advanced

Manufacturing Technology, v. 75, p. 1219–1231, 2014..

CHENG, C. C. & WANG, J. Free vibration analysis of a resilient impact damper..

International Journal of Mechanical Sciences, v.45, p. 589–604, 2003.

DUNCAN, M. R., WASSGREN, C. R. & KROUSGRILL, . C. The damping performance of

a single particle impact damper. Journal of Sound and Vibratio, v.286, p. 123–144, 2005.

FLORES, P. Compliant contact force approach for forward dynamic modeling and analysis of

biomechanical systems. Procedia IUTAM 2 , p. 58-67, 2011.

FLORES, P., MACHADO, M., SILVA, M. T. & MARTINS, J. M. On the continuous contact

force models for soft materials in multibody dynamics. Multibody System Dynamics, v.25,

n. 3, p. 357-375, 2011.

FRIEND, R. D. & KINRA, V. Particle Impact Damping. Journal of Sound and Vibration,

v.233, n. 1, p. 93-118, 2000.

GHARIB, M. & GHANI, S. Free vibration analysis of linear particle chain impact damper.

Journal of Sound and Vibration, v. 332, p. 6254–6264, 2013.

HIBBELER, R. C. Dinâmica: Mecânica para Engenharia. São Paulo: Prentice Hall, 2005.

HIBBELER, R. C. Engineering Mechanics Dynamics 12ª Ed.. Upper Saddle River, New

Jersey: Pearson Prentice Hall, 2010.

124

HUNTER, S. C. Energy Absorbed by Elastic Waves During Impact. Journal of the

Mechanics and Physics of Solids, v. 5, n. 3, p. 162-171, 1957.

HUNT, . K. H. & CROSSLEY, F. R. E. Coefficient of Restitution Interpreted as Damping in

Vibroimpact. ASME Journal of Applied Mechanics, v. 42, n. 2, p. 440-445, 1975.

HUTCHINGS, I. M. Energy absorbed by elastic waves during plastic impact. Journal of

Physics D: Applied Physics,v. 12, n. 11, p. 1819-1824, 1979.

JOHNSON, K. L. Contact Mechanics. Cambridge: Cambridge University Press, 1985..

LANKARANI, H. M. & NIKRAVESH, P. E. A Contact Force Model With Hysteresis

Damping for Impact Analysis of Multibody Systems. Journal of Mechanical Design, v. 112,

n. 3, p. 369-376, 1990.

LI, K. & DARBY, A. An experimental investigation into use of a buffered impact damper.

Journal of Sound and Vibration, v.291, n. 3-5, p. 844–860, 2006.

LI, K. & DARBY, A. Modelling a buffered impact damper system using a spring–damper

model of impact.. Structural Control and Health Monitoring, v.16, n.3, p. 287-302, 2009.

LI, L. Y., WU, C. Y. & THORNTON, C. A. A theoretical model for the contact of

elastoplastic bodies. Journal of Mechanical Engineering Science, v. 16, n. 4, p. 421-431,

2001.

LIN, Y., HAFTKA, R., QUEIPO, N. V. & FREGLY, B. J. Surrogate articular contact models

for computationally efficient multibody dynamic simulations. Medical Engineering &

Physics, v. 32, n. 6, p. 584-594, 2010.

MARHADI, K. S. & KINRA, V. K. Particle impact damping: effect of mass ratio, material,

and shape. Journal of Sound and Vibration, v. 283, n. 1–2, p. 433-448, 2005

MASRI, S. F. General Motion of Impact Dampers. The Journal of the Acoustical Society of

America, v. 47, p. 229-237, 1969.

NAGURKA, M. & HUANG, S. A Mass-Spring-Damper Model of a Bouncing Ball.

American Control Conference, v. 1, p. 499-504, 2004.

125

NORTON, R. L. Projeto de Máquinas. Porto Alegre: Bookman, 2013.

O'SULLIVAN, C. Particulate Discrete Element Modelling. New York,: Spon Press, 2011.

PFEIFFER, F. & GLOCKER, C. Multibody dynamics with unilateral contacts. NewYork:

JohnWiley & Sons, 1996.

POPOV, V. L. Contact Mechanics and Friction. Springer Science & Business Media, 2010.

POPPLEWELL, N. & LIAO, M. A simple design procedure for optimum impact dampers.

Journal of Sound and Vibration, v. 146, n. 3, p. 519 - 526, 1991.

RAO, S. S. Vibrações Mecânicas. São Paulo: Parson Prentice Hall, 2008.

SEIFRIED, R., SCHIEHLEN , W. & EBERHARD, P. The Role of the Coefficient of

Restitution on impact problems in multi-body dynamics. Proceedings of Institution of

Mechanical Engineers, Part K:Journal of Multi-body Dynamics, v. 224, n. 3, p. 279-306,

2010.

SHIGLEY, J. E., MISCHKE, C. R. & BUDYNAS, R. G. Projeto de Engenharia Mecânica

7ª Ed. Porto Alegre: Bookman, 2005.

STRONGE, W. J. Impact Mechanics. Cambridge: Cambridge University Press, 2000.

SUYAMA, D. I. & DINIZ, A. E., 2014. Uma contribuição ao estudo do torneamento interno

em aços endurecidos. Tese (Doutorado em Engenharia Mecânica) - Faculdade de

Engenharia Mecânica, Universidade Estadual de Campinas, Campinas,, p. 136 p..

TASORA, A., ANITESCU, M., NEGRINI, S. & NEGRUT, D. A Compliant Visco-Plastic

Particle Contact Model Based on Differential Variational Inequalities. International Journal

of Non-Linear Mechanics, v. 53, p. 2-12, 2013.

TIMOSHENKO , S. & GOODIER, J. N. Theory of Elasticity. s.l.:McGraw- Hill Book

Company, 1951.

WONG, C. X., DANIEL, M. C. & RONGONG, J. A. Energy dissipation prediction of particle

dampers.. Journal of Sound and Vibration, v.319, n. 1-2, p. 91–118, 2008.

126

WU, C. Y., LI, L. Y. & THORNTON, C. Energy dissipation during normal impact of elastic

and elastic–plastic spheres. International Journal of Impact Engineering, v. 32, n. 1-4,

p.593-604, 2005.

YASUDA, K. & TOYODA, M. The damping effect of an impact damper. Bulletin of the

JSME, v. 21, n. 153., p. 424-431, 1978.

Documents

Modelagem e Análise Dinâmica de um Absorvedor de Vibrações ...repositorio.unicamp.br/bitstream/REPOSIP/...M.pdf · Faculdade de Engenharia Mecânica MARCOS VIEIRA DE ALBUQUERQUE