Dinâmica das EstruturasVibrações Forçadas

Resposta não amortecida a um carregamento harmônico:

( ) ( ) ( ) tptx ktx ctx m 0 ωsin=++ &&&

( ) ( ) tptx ktx m 0 ωsin=+&&

1) Solução homogênea: vibração livre não-amortecida

2) Solução particular: resposta harmônica e em fase com o carregamento

( ) tCtxp ωsin=

( ) t Bt Atxh ωω sincos +=

Vibrações ForçadasResposta não amortecida a um carregamento harmônico

Solução particular: resposta harmônica e em fase com o carregamento:

( ) tCtxp ωsin= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−= 2

0

11

kpC

β

Deflexão estática

Fator de amplificação“Magnification Factor – MF”(estruturas não-amortecidas)

ωωβ ≡

Vibrações ForçadasResposta não amortecida a um carregamento harmônico

( ) ( ) ( ) ( )t t 1

1kptxtxtx 2

0ph ωβω

βsinsin −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=+=

máx

ωωκπ−

≡2t

Batimento:

Solução geral para :( ) ( ) 00x0x == &

Vibrações ForçadasResposta não amortecida a um carregamento harmônico

Início “suave” do movimento...

ωωβ ≡

Batimento:

ω

ω

seg192t ≅−

≡ωωπ

Vibrações ForçadasResposta amortecida a um carregamento harmônico

Solução homogênea: vibração livre amortecida

( ) ( ) t h e t Bt Atx ωξωω −+= sincos

Vibrações ForçadasResposta amortecida a um carregamento harmônico

Solução particular: resposta harmônica defasada do carregamento:

( ) ( )θω −= tDkptx 0

p sin ( ) ( ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−=

222 21

1 Dξββ

Fator de amplificação dinâmica“Dynamic Magnification Factor – D”

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−= 21

2βξβθ arctan

Vibrações ForçadasResposta amortecida a um carregamento harmônico

resposta forçada

Vibração livre amortecida

Regime permanenteTransiente

defasagem

força

Vibrações ForçadasForma exponencial complexa da resposta permanente:

( ) ( )[ ]θω

ρ

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= tiD

kptx 0

p exp43421

força elástica

força de inércia

força de amortecimento

deslocamento

θ

D1ξβ2

21 β−

Vibrações ForçadasResposta amortecida a um carregamento harmônico

( ) ( ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−=

222 21

1 Dξββ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−= 21

2βξβθ arctan

( ) ( )θω −= tDkptx 0

p sin

ωωβ ≡

ωωβ ≡

θ

D1ξβ2

21 β−

Isolamento de vibraçõesConforto humano;Proteção de estruturas;Proteção de equipamentos sensíveis;

( ) ( )θω −= tDkptx 0

p sinResposta no regime permanente:

Força elástica: Dp0 ( )θω −tsin

Força de amortecimento: ( ) ( ) =⋅= txctfD & Dp2 0 ⋅⋅⋅ βξ ( )θω −tcos

( ) ( ) =⋅= txktfs

Força total: ( ) ( )tftf 2D

2sDs +=+= fff

rrr

( )20

21

1Dpfξβ+

=⇒ max

Estrutura 1 GL( )2

0

21Dp

fTR ξβ+=≡ maxTransmissibilidade:

1º caso: excitação sobre base rígida

Isolamento de vibrações

1º caso: excitação sobre base rígida

( )20

21Dp

fTR ξβ+=≡ maxTransmissibilidade:

TR

2mk2

2ωβ ≤⇒>⇒Isolamento: (molas macias)

β

( )1

1TR2 −

≅β

amortecimento pequeno:

TR1IE −=

Isolamento de vibrações

2º caso: excitação pela base

Estrutura 1 GL

( )221Dbase desloc amplitude

máximo total deslocTR ξβ+=≡

Isolamento de vibrações

Transmissibilidade × β

Isolamento de vibraçõesSuportes isoladores