Modelagem matemática e computacional de neurônios

Modelagem computacional multiescalasNeurônio: a unidade básica

Modelagem multiescala de dendritosModelagem do axônio

Conclusões

Modelagem matemática e computacional deneurônios

Alexandre Madureirawww.lncc.br/∼alm

Laboratório Nacional de Computação Científica – LNCCPetrópolis - RJ

Jornada em Neuropsiquiatria Computacional — LNCC02 e 03 de fevereiro de 2012

Alexandre Madureira Modelagem matemática e computacional de neurônios



Conclusões

Colaboradores

Honório Fernando

Daniele Madureira

Pedro Pinheiro

Frédéric Valentin




Conclusões

Conteúdo

1 Modelagem computacional multiescalas

2 Neurônio: a unidade básica

3 Modelagem multiescala de dendritos

4 Modelagem do axônio

5 Conclusões




Conclusões

O cérebro humano, complexidade e múltiplas escalasObjetivos e ideias principais

Conteúdo

1 Modelagem computacional multiescalasO cérebro humano, complexidade e múltiplas escalasObjetivos e ideias principais




5 Conclusões




Conclusões


O cérebro humano

Homer Simpson

Neurociência Matemática:busca compreender osistema nervoso viamodelagem matemática

área multidisciplinar




Conclusões


Complexidade

Cérebro Masculino

Processamento Cerebral:

sistema complexo: “unidadessimples” (neurônios?) agindoem conjunto

multiescala: eventos namicroescala (no espaço/tempo)com efeitos na macroescala

só importa o efeito global,macroscópico




Conclusões


Exemplo de multiescala: leitura

Descrição da Leitura

microescala: lemos letrasformando palavras, formandofrases, etc.

só o que importa é o efeito“macroscópico”, i.e., amensagem

memória fazendo “upscaling”

Caso de alexia: The mind’seye (O. Sacks, 2010)




Conclusões


Outro exemplo de multiescala: Doença de Huntington

George Huntington

Doença neurodegenerativa

sintomas: declínio de coordenaçãomuscular, comportamental, cognitivo, etc

causa: disfunção genética

tratamento: minimizar sintomasDesafio: conexão entre as escalas

microescala: causamezoescala: efeitos nos neurôniosmacroescala: comportamento




Conclusões


Escalas em Neurociência

Nível Escala física (metros)

Dinâmica Molecular 10−10

Canais e sinapses 10−7

Neurônios 10−4

Redes de neurônios 10−3

Sistemas cerebrais 10−1

Cérebro e comportamento 1

Baseado em De Schutter, 2000




Conclusões


Modelagem Multiescala

Limitação

Mesmo que se conheça todos os detalhes de um problemamultiescala, sua solução tem custo computacional inviável.

Filosofia

Incorporar informações da microescala sem acoplar todos osdetalhes.




Conclusões


Modelagens computacionais

clássica refinada: acoplamento de muitas informações,custo computacional alto, aproximação boa

clássica grosseira: acoplamento de poucas informações,custo computacional baixo, aproximação ruim

multiescala: muitas informações em paralelo, custocomputacional baixo, aproximação boa




Conclusões


Dados oscilatórios

Considere:

−ddx

(

a(x/ǫ)dudx

(x))

= 1 em (0, 1), u(0) = u(1) = 0,

Gráficos de a(·/ǫ) e uǫ, com (ǫ = 1/16):

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.2 0.4 0.6 0.8 1




Conclusões


Dados oscilatórios

Solução numérica usando “pouca informação”:

solucao exatasolucao por elementos finitos

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.2 0.4 0.6 0.8 1




Conclusões


Algumas Lições

Problemas multiescalas são de difícil resolução. Amodelagem multiescala busca aproximar ocomportamento “macroscópico” da solução a custosrazoáveis.

Não se pode usar uma aproximação numérica qualquer.Métodos tradicionais com malhas grosseiras nãofuncionam.




Conclusões

O que éModelos

Conteúdo


2 Neurônio: a unidade básicaO que éModelos



5 Conclusões




Conclusões

O que éModelos

Um neurônio matemático

Não parece complicado:




Conclusões

O que éModelos

Neurônios “de verdade”




Conclusões

O que éModelos

Neurônios digitalizado:

Modelagem Matemática:

domínio dado por uma árvore

em cada galho: sistema nãolinear de equações acopladas

problema multiescalas:modelagem “fina” de redes deneurônios




Conclusões

O que éModelos

Como os neurônios funcionam

Portões iônicos:

permitem passagem de íonspela membrana

abertos ou fechadosdependendo da voltagem

Sinal neuronal:

informação via “disparos”elétricos

gradiente de concentraçãoiônica gera diferença depotencial elétrico (Voltagem)




Conclusões

O que éModelos

Dinâmica do disparo

Na+ channels

open

Na+ channels

close

K+ channels

open

Refractory periodEK

ENa

Vrest

V

time

Disparo:

comportamento não-linear controlando aberturas efechamentos de canais




Conclusões

O que éModelos

Lula e seu axônio gigante




Conclusões

O que éModelos

Modelo de Hodgkin Huxley

cM∂V∂t

= ǫ∂2V∂x2 − gK n4(V − EK )− gNam3h(V − ENa)− gL(V − EL)

dndt

= αn(V )(1 − n)− βn(V )n

dmdt

= αm(V )(1 − n)− βm(V )m

dhdt

= αh(V )(1 − n)− βh(V )h

Determinados experimentalmente:

αn(V ) = 0.001(V + 55)/{1 − exp[−(V + 55)/10]},

βn(V ) = 0.125 exp[−(V + 65)/80], . . .

Constantes: ǫ, cM , gK , EK , gNa, ENa, gL, ELAlexandre Madureira Modelagem matemática e computacional de neurônios



Conclusões

O que éModelos

Um modelo mais simples: Fitzhugh-Nagumo

dvdt

= V −V 3

3− w + I

dwdt

= ǫ(V + 0.7 − 0.8w) Espaço de fase:

bidimensional: espaço de fasemais fácil de analisar

teoria matemática mais robusta

análise qualitativa de sistemasdinâmicos: estabilidades,bifurcações

concentra grande parte daneurociência matemática




Conclusões

O quê. Como.PassadoPresente/futuro

Conteúdo



3 Modelagem multiescala de dendritosO quê. Como.PassadoPresente/futuro


5 Conclusões




Conclusões


Aspectos de nosso trabalho

resolver problemas de interesse neurocientífico queincorporem efeitos espaciais

uso de métodos numéricos sofisticados

diálogo com a comunidade de neurociência




Conclusões


Problema multiescala: dendritos com sinapses

http://www.bristol.ac.uk/anatomy/research/staff/hanley.htmlAlexandre Madureira Modelagem matemática e computacional de neurônios



Conclusões


Por que este problema é interessante?

Problemas numéricos: métodos tradicionais não sãorobustos

Custo computacional: considere uma árvore dendriticacom enorme número de detalhes fisiológicos

Formulação e análise de métodos inovadores emdomínios “estranhos”

Método multiescalas: busca soluções “locais” (emparalelo) antes de resolver o problema completo




Conclusões


MultinívelAlexandre Madureira Modelagem matemática e computacional de neurônios



Conclusões


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

60

70

x

Pot

enci

al d

a M

embr

ana

(mV

)

Figure: Exact, MsFEM, classical FEM solutions for ǫ = 2.5 × 10−5




Conclusões


Comentários:

Métodos clássicos fornecem resultado errado

Método multiescalas é nodalmente exato

Necessários muitos pontos para se obter soluçõesrazoáveis com método clássico




Conclusões


Exemplo com grande quantidade de sinapses

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

0

1

2

3

4

5

6

7

x

Mem

bran

e P

oten

tial(m

V)




Conclusões


Exemplo estacionário: domínio em Y

0 0.5 1−20

0

20

40

60

80

x

Mem

bran

e P

oten

tial (

mV

)

Main Cable

0 0.5 1−20

0

20

40

60

80

x

Mem

bran

e P

oten

tial (

mV

)

First Branch

0 0.5 1−20

0

20

40

60

80

x

Mem

bran

e P

oten

tial (

mV

)Second Branch




Conclusões


Exemplo transiente

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

60

70t =10

x

Mem

bran

e P

oten

tial (

mV

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

60

70t =40

x

Mem

bran

e P

oten

tial (

mV

)




Conclusões


Exemplo transiente: custo computacional

10−1

100

101

102

10−1

100

101

102

Error in the maximum norm

Com

putin

g tim

e (s

)




Conclusões


Curando oscilações

−2

0

2

4

6

8

10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

u h

x

MsFEM e = 10−4 t = 1000*10−6

−2

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

u h

x

STPGEM e = 10−4 t = 1000*10−6




Conclusões


Para onde vamos:

incorporar a ação de neurotransmissores

incorporar a ação das espinhas dendríticas

geometria dendrítica

acoplamento de neurônios

Computação de alto desempenho (GPUs)




Conclusões

Desejo reprimido?

Conteúdo




4 Modelagem do axônioDesejo reprimido?

5 Conclusões




Conclusões

Desejo reprimido?

Desejos e realidade:

Desejos:

modelar transmissão de voltagem via axônio mielinizado

acoplamento “ephaptic” em axônio mielinizado

modelo considerando parâmetros fisiológicos

simulação de desordens fisiológicas

acoplamento com glia?

Realidade (literatura neurocomputacional):

modelagem da mielina não detalhada

acoplamento “ephaptic” em axônio não mielinizado (OK) emielinizados (para situações especiais)




Conclusões

Conteúdo





5 Conclusões




Conclusões

Conclusões Finais

Desafio: múltiplas escalas temporais e espaciais

Futuro: incluir aspectos da fisiologia e simular redes deneurônios

Avanços devido a melhores computadores e melhormodelagem matemática

Métodos tradicionais não são suficientes. Técnicasnuméricas modernas acopladas com boa matemática, ecom conhecimentos multidisciplinares, são necessárias




Conclusões

Conclusões Finais








Conclusões

Conclusões Finais








Conclusões

Conclusões Finais






Obrigado!


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Modelagem matemática e computacional de neurônios