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CHAPITRE I : MODÈLE DE MARKOWITZ
M. BENALI1
Mimoun BENALI
Courriel : [email protected]
Université Sidi Mohammed Ben AbdellahEcole Nationale de Commerce et de Gestion
– Fès –
Modèle de Markowitz2
M. BENALI
Modèle de Markowitz
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Le modèle développé par Markowitz en 1952 et 1959 repose surl’idée que les agents économiques sont rationnels et ont de l’aversionpour le risque. Markowitz fait l’hypothèse de la diversification etque l’agent économique essaye d’obtenir un rendement max pour unrisque donné.
Le modèle fait la double hypothèse que :
• les marchés d'actifs financiers sont efficients. C'est l'hypothèsed'efficience du marché selon laquelle les prix et rendements des actifssont censés refléter, de façon objective, toutes les informationsdisponibles concernant ces actifs.
• les investisseurs sont averses au risque (comme montré par DanielBernoulli) : ils ne seront prêts à prendre plus de risques qu'en échanged'un rendement plus élevé. À l'inverse, un investisseur qui souhaiteaméliorer la rentabilité de son portefeuille doit accepter de prendreplus de risques. L'équilibre risque/rendement jugé optimal dépend de latolérance au risque de chaque investisseur.
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1. L’analyse du couple Rendement/Risque
On suppose généralement que la préférence de l'investisseurpour un couple risque / rendement donné peut être décrite parune fonction d'utilité quadratique.
De plus, les évolutions du marché sont supposées suivre unedistribution symétrique de Pareto.
Par conséquent, seuls le rendement attendu (l'espérance de gain)et la volatilité (l'écart type) sont les paramètres examinés parl'investisseur.
Selon le modèle :
• le rendement d'un portefeuille est une combinaison linéaire de celui desactifs qui le composent, pondérés par leur poids dans le portefeuille. ;
• la volatilité du portefeuille est une fonction de la corrélation entre lesactifs qui le composent. Cette fonction n'est pas linéaire.
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Le rendement d’un titre ou d’un portefeuille est donné par la
formule suivante :
où représente le gain en capital sur la période et D le
revenu de la période (pour l’action c’est les dividendes).
Markowitz suppose que les rendements des actifs financiers
sont aléatoires dont les valeurs sont distribuées selon la loi
normale :
Espérance
mathématiqueÉcart-type = volatilité
Mesure la rentabilité espérée Mesure le risque
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Rendement attendu ou espéré (ou espérance des
rendements) :
Pour évaluer la rentabilité future d’un investissement, il faut
prévoir les rentabilités possibles et leur affecter des
probabilités.
Le rendement attendu correspond à la moyenne des valeurs
possibles, c’est-à-dire la somme de leurs valeurs pondérées
par leur probabilité d’occurrence.
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Exemple 1 : Calcul du rendement attendu
Les rendements possibles des titres A et B sont :
Événements Croissance Stabilité Récession
Rendements
possibles de A 60 % 15 % - 15 %
Rendements
possibles de B 20 % 10 % - 8 %
Probabilités
d’occurrence 0,5 0,3 0,2
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L’opérateur d’espérance est linéaire, il vérifie la propriété suivante :
Avec les proportions de la richesse de l’investisseur placées dans lestitres i = 1, ………, N.
En prenant les mêmes données de l’exemple 1, calculez le rendementattendu du portefeuille sachant que l’investisseur place sa richesse de lamanière suivante : 60 % investie dans l’action et le reste dans B.
L’espérance des rendements d’un portefeuille de
titres est égale à la somme pondérée des
espérances des titres qui le composent.
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La volatilité et l’écart-type
La volatilité est par définition une mesure des amplitudes desvariations du cours d’un actif financier.
La volatilité d’un titre dépond de l’amplitude des résultatspossibles et des probabilités que les valeurs extrêmes seproduisent. La volatilité d’une action est d’autant plus grandequ’il y a une grande étendue des rentabilités possibles, et queles rentabilités extrêmes ont une forte probabilitéd’occurrence.
Ainsi, plus la volatilité d’un actif est élevée et plusl’investissement dans cet actif sera considéré comme risquéet par conséquent plus l’espérance de gain (ou risque deperte) sera important.
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A l’inverse, un actif sans risque ou très peu risqué (par exemple
les Bons du Trésor) aura une volatilité très faible car son
remboursement est quasiment certain.
En finance, la volatilité est mesurée le plus souvent par l’écart-
type.
Mathématiquement, l’écart type se traduit par la formule
suivante :
Avec
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Couramment utilisée pour désigner les oscillations à court
terme d’un actif financier, la notion de volatilité concerne tous
les horizons (court, moyen et long terme) et ne se soucis pas du
sens du mouvement (seule l‘amplitude des mouvements est pris
en compte).
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Alors que cette notion tient aujourd’hui une placeprimordiale dans l’étude des marchés, elle est égalementénormément utilisée pour diversifier les portefeuilles,gérer le risque, calculer les prix des options ou encoredes warrants.
Les périodes de forte volatilité se traduisent souvent pardes cours relativement bas ce qui permet auxinvestisseurs d’anticiper une rentabilité plus élevée.
En reprenant les données de l’exemple 1, montrez quelleest l’action la plus risquée ?
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Variance
La variance mesure le degré de dispersion de lavariable aléatoire. Elle se définie comme la somme descarrées des écarts à la moyenne.
pour calculer , il faut pondérer le carré desrentabilités pour la probabilité qui leur est associé :
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Covariance et corrélation
Si la variance permet d’étudier les variations d’une
variable par rapport à elle-même, la covariance
entre deux variables indique si elles ont tendances
à évoluer dans le même sens ou non.
Elle peut être vue comme le produit des valeurs de
deux variables moins le produit des deux moyennes.
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Mathématiquement, la formule de la covariance est lasuivante :
On en déduit que plus la covariance est faible et plus lesséries sont indépendantes et inversement plus elle estélevée et plus les séries sont liées. Une covariance nullecorrespondant à deux variables totalement indépendantes.
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La covariance est souvent exprimée en termes decorrélation des rendements entre deux actifs :
Le coefficient de corrélation prend des valeurscomprises entre -1 et 1.
Plus le coefficient est proche des extrémités et plusles variables sont corrélées, c'est à diredépendantes linéairement l'une par rapport àl'autre (voir graphique ci-après).
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Un corrélation égale à +1 (respectivement -1) implique qu'il existeune relation linéaire positive (respectivement négative) entre lesvariables comme le montre le schéma ci dessous. Ceci se traduit parl'existence de 2 réels a et b tels que
Si on dit que les deux variables sont dé-corrélées. C'est à dire qu'iln'existe pas de relation linéaire entre elles (mais il peut très bien enexister une non linéaire).
En revanche on ne doit pas confondre dé-corrélées avecindépendantes. En effet, deux variables indépendantes sontobligatoirement dé-corrélées, mais deux variables dé-corrélées nesont pas forcément indépendantes. Il se peut qu'il existe une relationnon linéaire entre les deux variables.
Plus on se rapproche de (respectivement ) et plus lesvariables sont corrélées (respectivement anti-corrélées c'est à direcorrélées négativement).
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Cas particuliers
Pour un portefeuille composé de deux actifs :
Espérance :
Variance :
Lorsque le portefeuille est composé de trois actifs, la variancedevient :
Comme on le voit, plus le nombre n d'actifs grandit, plus la puissancede calcul nécessaire est importante : le nombre de termes decovariance est égal à n * (n-1) / 2. Pour cette raison, on utilisegénéralement des logiciels spécialisés. On peut néanmoinsdévelopper un modèle en utilisant des matrices ou dans une feuillede calcul d'un tableur.
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Cas général
La variance d’un portefeuille constitué de N actifs
est donnée par la formule suivante :
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La variance d’un portefeuille constitué de N actifs
est la somme des covariances de tous les actifs qui
le compose, pondérées par la proportion de chacun
d’entre eux dans le portefeuille.
Afin de pouvoir appliquer cette formule on doit
avant tout calculer la matrice de variance-
covariance du portefeuille que l’on détient.
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Avec les mêmes notations que pour la formule
précédente on obtient la matrice suivante :
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La réduction du risque par la diversification
Un investisseur peut réduire le risque de sonportefeuille simplement en détenant des actifs quine soient pas ou peu positivement corrélés, donc endiversifiant ses placements. Cela permet d'obtenirla même espérance de rendement en diminuant lavolatilité du portefeuille.
Au demeurant, le risque de portefeuille décroitquand le nombre de titres augmente, il tendasymptotiquement vers la covariance moyenne.
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Ecart-type
Risque total
Risque diversifiable
Risque systématique
Nb de titres
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Quelque soit le nombre de titres en portefeuille, ilexiste un niveau de risque, déterminé par lacovariance entre les titres, au dessous duquel il n’estpas possible de descendre.
Il convient d’établir une distinction entre :
o Le risque total d’un titre mesuré par l’écart-type;
o Le risque systématique (ou risque de marché) nepouvant être éliminé par la diversification;
o Le risque spécifique, risque éliminable par ladiversification.
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Risque de marché (non diversifiable)
Le risque de marché est le risque de perte qui peut résulter desfluctuations des prix des instruments financiers qui composent unportefeuille.
Le risque peut porter sur le cours des actions, les taux d'intérêts, lestaux de change, les cours de matières premières, etc.
Par extension, c'est le risque des activités économiques directementou indirectement liées à un tel marché (par exemple un exportateurest soumis aux taux de change, un constructeur automobile au prixde l'acier...).
Il est dû à l'évolution de l'ensemble de l'économie, de la fiscalité, destaux d'intérêt, de l'inflation, et aussi du sentiment des investisseursvis-à-vis des évolutions futures...
Il affecte plus ou moins tous les titres financiers.
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Dans la théorie moderne de portefeuille, ce risque
est généralement mesuré par la volatilité du
marché, une donnée statistique, laquelle ne peut
toutefois totalement traduire toutes les incertitudes
propres aux marchés et encore moins à l'économie
en général.
Pour un actif donné (titre...), il est appelé aussi
risque systématique, en tant que risque corrélé à la
volatilité de l'ensemble du marché.
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Risque spécifique (diversifiable)
Le risque spécifique, appelé également risqueintrinsèque ou risque idiosyncrasique, estindépendant des phénomènes qui affectentl'ensemble des titres.
Il résulte uniquement d'éléments particuliers quiaffectent tel ou tel titre : c'est la mauvaise gestionde l'entreprise, l'incendie qui détruit son usine oul'invention technologique qui rend obsolète saprincipale gamme de produits ...
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La frontière d’efficience et choix entre plusieurs actifsrisqués
En définissant les titres par leur rendement et leur niveau derisque, et en illustrant ce rapport sur un graphique, on peutdéterminer une frontière efficiente sur laquelle se situent lesportefeuilles composés de titres individuels offrant lemeilleur rendement pour un certain niveau de risque.
Chaque couple possible d'actifs peut être représenté dansun graphique risque/rendement. Pour chaque rendement, ilexiste un portefeuille qui minimise le risque. À l'inverse, pourchaque niveau de risque, on peut trouver un portefeuillemaximisant le rendement attendu.
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Seuls les portefeuilles situés sur la ligne (voir graph)devraient logiquement intéresser les investisseurs rationnels.L’ensemble de ces portefeuilles constitue ce qu’on appelle lafrontière efficiente ou frontière de Markowitz.
La région au-dessus de la frontière ne peut être atteinte endétenant seulement des actifs risqués. Un tel portefeuille estimpossible à construire.
Les points sous la frontière sont dits sous-optimaux, etn'intéresseront pas un investisseur rationnel.
Parmi tous les portefeuilles figurant sur la frontièreefficiente, l’investisseur choisira celui qui lui convient le mieuxen fonction de son appétence pour le risque.
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La frontière d’efficience et l’actif sans risque
L'actif sans risque correspond aux emprunts étatiques
supposés sans risque, qui payent donc le taux minimal.
C'est un actif qui, par définition, a une variance égale
à 0 et son rendement n'est pas corrélé aux autres
actifs.
Ainsi, les différentes combinaisons de l'actif sans risque
avec un autre actif donneront une différence de
rendement linéaire selon le risque choisi.
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L’introduction de l’actif sans risque
Tobin (1958) est le premier à avoir introduit un actif sansrisque dans la gestion du portefeuille. L’actif sans risqueoffre un rendement certain (taux de l’argent sans risque : ).
Le portefeuille a pour caractéristiques :
Espérance :
Soit encore :
L'espérance de rentabilité de ce portefeuille est doncconstituée du taux de rendement de l'actif sans risqueaugmenté d'une prime de risque, égale au différentiel derentabilité entre l’actif risqué et l’actif sans risque, multipliéepar la part de l’actif risqué dans le portefeuille.
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Ecart-type :
Le risque du portefeuille provient uniquement de
l’actif risqué puisque par définition, la variance de
l’actif sans risque est nulle et même sa covariance
avec tout autre actif est nulle.
Si l’investisseur veut augmenter son espérance de
rentabilité, il augmentera . Mais le risque du
portefeuille s’élèvera corrélativement.
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En combinant les relations précédentes, on obtient :
Il existe donc une relation linéaire entre la
rentabilité espérée et le risque pour un portefeuille
comprenant un actif sans risque.
Il suffit en conséquence de placer des liquidités
pour diminuer le risque d’un portefeuille et d’en
emprunter pour l’accroître.
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Rentabilité espérée
emprunt
.
prêt
0 Ecart-type
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L’achat d’actif sans risque correspond à un prêt
(points compris et ) et à un placement dans
l’actif risqué.
La vente à découvert d’actif sans risque correspond
à un emprunt pour placer la totalité de la richesse
et du montant de l’emprunt en actif risqué (au-delà
de ).
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Si l’actif risqué est un portefeuille de titres, les
agents économiques vont choisir un point optimal sur
la droite en combinant le portefeuille et l’actif sans
risque. Ils détiennent donc tous le même portefeuille
de titres risqués.
Ce résultat fondamental de la gestion du
portefeuille est appelé le théorème de séparation
des fonds, mis en évidence par James Tobin (prix
Nobel d’économie en 1981).
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Tobin énonce son "Théorème de séparation", en montrantque les décisions résultent d'un arbitrage entre la prise derisque et le taux de rendement anticipé.
Quelque soit le niveau du risque encouru par l'agent, letaux de rendement le plus élevé est obtenu en combinantun portefeuille avec un emprunt ou un prêt.
L'agent choisit donc, dans un premier temps, le "meilleurportefeuille" d'actions ordinaires, puis il le complète parun emprunt correspondant au risque qu'il peut supporter.
Le principe consiste à placer son argent dans deux actifs,un portefeuille risqué et un prêt ou un emprunt.
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Ce théorème s’applique lorsque tous les investisseurs
sont présumés :
utiliser un critère de moyenne-variance dans leur sélection
de portefeuille (ou si les rendements des actifs sont
supposés normaux) ;
avoir un horizon d’investissement identique, en général une
année ;
mettre en œuvre des stratégies statiques de portefeuille
sans possibilité de révision d’aucune sorte (ou buy and hold);
avoir des anticipations homogènes (mêmes estimations quant
aux espérances, variances et corrélations des rendements).
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Dans le cas où un actif sans risque est disponible cette séparation endeux fonds peut se déduire de la forme de la frontière d’efficience,unique pour tous les investisseurs.
Cette frontière efficiente joint les points représentatifs de l’actif sansrisque et du portefeuille tangent (voir graph ci-après).
Tous les investisseurs qui suivent le critère moyenne-variance choisirontdes combinaisons de l’actif sans risque et du portefeuille tangent quisera le seul portefeuille risqué détenu à l’optimum.
La combinaison optimale actif sans risque-actif risqué dépendévidemment des caractéristiques des investisseurs, en particulier de leuraversion au risque.
Dans le cas où un actif sans risque n’est pas disponible la séparation endeux fonds prévaut aussi : deux portefeuilles efficients quelconquesengendrent tous les portefeuilles efficients (théorème de Black).
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L’optimisation d’un portefeuille s’analyse comme un
processus en deux étapes :
l’optimisation du portefeuille de titres risqués, qui
conduit à la même structure de portefeuille pour tous
les agents,
la combinaison optimale entre le portefeuille d’actifs
risqués et l’actif sans risque qui, elle, est propre à
chaque agent.
L’introduction de l’actif sans risque améliore la relation
rendement-risque pour tous les investisseurs.
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Frontière d’efficience avec actif sans risque
On peut représenter l'introduction de l'actif sans risque dans leportefeuille par une demi-droite tangente à l'hyperbole forméepar la frontière efficiente.
Tous les investisseurs n'ont pas la même aversion au risque, certainschoisiront de limiter leur risque en combinant par exemple unepart d'actifs risqués complétée par l'actif sans risque.
Pour déterminer ces types de portefeuilles "hybrides", on trace lacourbe passant par l'actif sans risque et tangente à la frontièreefficiente. Ce dernier point de contact constitue le portefeuille dumarché.
Les combinaisons de portefeuille sur le segment entre l'actif sansrisque et le portefeuille du marché, dominent tous les autresportefeuilles.
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L'extrémité gauche de la demi-droite représente unportefeuille composé uniquement d'actif sans risque.
Plus on remonte, plus la proportion en actif sans risquedans le portefeuille diminue et celle en actifs risquésoptimum augmente.
Au niveau du point de tangence, le portefeuille optimal estcomposé à 100% d'actifs risqués, et au delà, l'actif sansrisque est cette fois emprunté et le portefeuille possèdedonc un effet de levier.
Ainsi, l'investisseur devra choisir un portefeuille sur cettedroite de tendance selon le risque choisi : moins risqué eny intégrant de l'actif sans risque, ou plus risqué avec uneffet de levier.
