Modele zmienności aktywów

Model multiplikatywny

Parametry siatki dwumianowej

Model multiplikatywny zmienności aktywów

Rekurencyjny model multiplikatywny: S(0)=S0, S(k+1) = S(k) u(k), k=1,2,…

Cena aktywa w chwili k dana jest więc wzorem(1) S(k) = u(k-1)u(k-2)…u(0)S(0).Po zlogarytmowaniu obu stron

(2)

1

0

1

0

1

0

)()0(ln)(ln

)()0(ln)(ln)0(ln)(ln

k

i

k

i

k

i

iwSkS

iwSiuSkS

Model multiplikatywny

Jeśli wszystkie zmienne w(i) mają tę samą wartość oczekiwaną μ i wariancję σ2 oraz są wzajemnie niezależne, to korzystając z własności wartości oczekiwanej i wariancji możemy zapisać:(3) E [ln S(k)] = lnS(0) +μk,(4) var [lnS(k)] = k σ2.

Łatwo zauważyć, że zarówno wartość oczekiwana logarytmu ceny jak i wariancja tej zmiennej rosną proporcjonalne do k.

Model multiplikatywny Stopy zwrotu Równość (3) można zapisać w postaci

E [ln S(k)] – E[lnS(0)] = μk E[ln (S(k)/S(0))] = μk , lub też(5) E [S(k)/S(0)] =eμk gdyż dla funkcji ciągłej f i zmiennej losowej X ; E[f(X)]=f(E(X))μ można interpretować jako oczekiwaną stopę zwrotu w

pojedynczym etapie przy kapitalizacji ciągłejZ definicji μ =E[ln (S(n+1)/S(n))] , n=1,…,k S(n+1)/S(n) = [S(n+1)-S(n)]/S(n)+1 ln [S(n+1)/S(n)] = ln {[S(n+1)-S(n)]/S(n)+1} ==(w przybliżeniu)= [S(n+1)-S(n)]/S(n) = r – stopa zwrotu w jednym

etapie przy kapitalizacji okresowej; korzystamy z rozwinięcia

),()1ln(

)()1ln( 2

2

xdlaxx

xRxx x

Model multiplikatywny Stopy zwrotu

E {ln[S(n+1)/S(n)]} = E[w(n)] = μ μ - oczekiwana stopa zwrotu w jednym etapieZ definicji modeluE{ln (S(k)/S(0))} = E[w(0)+…+w(k-1)]; w(i)=lnu(i)Lewa strona oznacza oczekiwaną całkowitą (po k

etapach) stopę zwrotu, przy założeniu kapitalizacji ciągłej.

Model multiplikatywny

Bezpośrednio ee związku

Otrzymujemy logarytm z ilorazu

(6)

Jeżeli w(i) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych i parametrach μ, σ2 , to zmienna losowa ln[S(k)/S(0)] ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej (kμ) oraz wariancji kσ2 (Wniosek 3, par. 37, S Zubrzycki „Wykł. rach. p-stwa..”)

1

0

1

0

)()0(ln)(ln)0(ln)(lnk

i

k

i

iwSiuSkS

1

0

1

0)0()( )()(lnln

k

i

k

iS

kS iwiu

Rozkład logarytmiczno – normalny

Niech Y oznacza zmienną losową o rozkładzie normalnym N(μ,σ) . Niech X = eY (Y = lnX)

DEF. Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X nazywamy rozkładem logarytmiczno – normalnym i oznaczamy Λ(μ,σ)

(X jest funkcją wykładniczą zmiennej losowej o rozkładzie normalnym)

FX – dystrybuanta zmiennej X

YzmiennejtadystrybuanFgdzie

xFxYP

xXPxXPxF

xniech

Y

Y

X

)(ln}ln{

}ln{ln}{)(

0

Rozkład logarytmiczno – normalny

Zatem

Oznaczmy przez (x) gęstość rozkładu zmiennej X

(7)

0)(ln

00)(

ogólnie

0)(ln)(

xxF

xxF

xdlaxFxF

YX

YX

2

2

2

ln121

1

exp

)ln punkciew),(.rozkldensity(

')(ln)(')(

xx

x

xYX

xN

xFxFx

Rozkład logarytmiczno – normalny

Niech Y oznacza zmienną losową o rozkładzie normalnym N(μ,σ) . Niech X = eY

Wtedy

(8) Mk = exp (μk + 0,5 σ2 k2)

Mk – k-ty moment rozkładu logarytmiczno-normalnego

a stąd EX = exp (μ+ 0,5 σ2)(9) War X =E(X2)-(E(X))2 =exp (2μ+ 2σ2) - exp (2μ+ σ2)= = exp (2μ+ 2σ2) [ exp ( σ2) –1]

Model multiplikatywny, dwumianowy

Zakładamy, że w każdym okresie cena akcji może spaść lub wzrosnąć, zawsze w tej samej proporcji, czyli

(10)

przy czym pierwsza z tych wartości jest przyjmowana z prawdopodobieństwem p

a druga z (1-p)

10,

1,)(

dgdzied

ugdzieuku

Drzewo cen w modelu multiplikatywnym, dwumianowym - Siatka dwumianowa cen (4 etapy, S – cena początkowa)

Ceny końcowe w modelu multiplikatywnym dwumianowym, n-etapowym

Ze wzoru S(n) = u(n-1)u(n-2)…u(0)S(0) wynika, że

możliwe ceny końcowe muszą mieć postać

S(0) ukdn-k, gdzie k = 0,1,…,n.

Na drzewie cenowym istnieje różnych dróg

prowadzących do węzła identyfikowanego z ceną

S(0)ukdn-k , gdyż każda droga jest jednoznacznie

scharakteryzowana przez n-wyrazowy ciąg (u,u,d,u,

…,d,u), zawierający k liter u oraz (n-k) liter d.

k

n

Ceny końcowe w modelu multiplikatywnym dwumianowym, n-etapowym

Prawdopodobieństwo każdej takiej drogi – jako koniunkcji zdarzeń niezależnych - wynosi

pk (1-p)n-k

Zatem prawdopodobieństwo ceny końcowej Sukdn-k wynosi

knk pp

k

n

)1(

Przykład Model dwumianowy. Cena końcowa akcji po 304 etapach

100,00 zł CENA POCZĄTKOWA

P Q R S T

nr wiersza P$7*G$5^R13*G$6^S13

ROZKŁAD.DWUM(R13;304;G$8;FAŁSZ)

p-stwocena koncowa akcji (po 304 etapach)

liczba wzrostów

liczba spadków

składniki wartości oczekiwanej ceny

14 3,61393E-68 383 156 579 951 951,00 304 0 0,00 zł 15 7,32424E-66 313 491 747 233 415,00 303 1 0,00 zł 16 7,39748E-64 256 493 247 736 430,00 302 2 0,00 zł 17 4,96453E-62 209 858 111 784 352,00 301 3 0,00 zł 18 2,49054E-60 171 702 091 459 924,00 300 4 0,00 zł 19 9,96216E-59 140 483 529 376 302,00 299 5 0,00 zł 20 3,30965E-57 114 941 069 489 701,00 298 6 0,00 zł 21 9,3931E-56 94 042 693 218 846,60 297 7 0,00 zł 22 2,32479E-54 76 944 021 724 510,90 296 8 0,00 zł 23 5,09732E-53 62 954 199 592 781,60 295 9 0,00 zł

TEORETYCZNY ROZKŁAD CENY AKCJI

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

0,045

0,05

0

50 00

0

100 0

00

150 0

00

200 0

00

250 0

00

300 0

00

350 0

00

400 0

00

450 0

00

500 0

00 P

RA

WD

OP

OD

OB

IEŃ

ST

WO

TEORETYCZNY ROZKŁAD CENY AKCJI

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

0,045

0,05

0 0 1 10

100

1 000

10 000

100 00

0

1 000 000

PR

AW

DO

PO

DO

BIE

ŃS

TW

O

00,0050,01

0,0150,02

0,0250,03

0,0350,04

0,0450,05

00,0050,01

0,0150,02

0,0250,03

0,0350,04

0,0450,05

Parametry siatki dwumianowej Sformułowanie problemu

Dana jest roczna oczekiwana stopa zwrotu z akcji uwzględniająca kapitalizację ciągłą :

E[ln(ST /S0)] = - gdzie ST oznacza cenę akcji po roku

oraz wariancja logarytmu ze zmiennej (ST /S0) War [ln(ST /S0)] = 2

Ile powinny wynosić przy tych danych parametry siatki zmienności, czyli wielkości u,p, w jednym etapie, jeżeli w ciągu roku wystąpi n etapów oraz u =1/d ?

Parametry siatki dwumianowej

Zakładamy, że zmienne losowe

k=1,2,…,n są niezależne, wzrost następuje z prawdopodobieństwem p.

Zmienne losowe

k=1,2,…,n są także niezależne, co wynika bezpośrednio z definicji niezależności zmiennych losowych

10,

1,)(

dgdzied

ugdzieuku

10,ln

1,ln)(ln

dgdzied

ugdzieuku

Parametry siatki dwumianowej Ogólne równania modelu:

)(ln

ln...lnln/ln()(

)/ln()ln(ln

)lnln...lnlnln(ln

]ln...ln[ln)(

)(lnln...lnln)(

)(lnlnln)(

1

11

2

0

1

11

2

0

1

11

2

0

1

2

20

00

11201

1

00

i

i

n

n

n

n

n

n

SS

SS

SS

SS

n

nn

nn

SS

SS

SS

SS

SS

SS

n

kn

Wargdzie

nWarSSWard

nSSESSE

SSSSSSE

Ec

uEEEEb

kuSSa

Parametry siatki dwumianowej Si oznacza cenę akcji po i-tym etapie

2

22

2

22

22

222222

222

ln)1()(ln)(ln)(

ln)1()ln)(ln1(

]lnln2lnln)[1(

ln)1(ln2))1(1)(1(ln)1(ln

ln)1(ln2ln)1(ln)1(lnln

ln)1(ln)1(lnln)(ln

ln)1(ln)(ln)(

1

0

1

0

1

0

1

d

uppWarWarf

d

uppdupp

dudupp

dpupppdppu

dpupdpuppdpu

dpuppdpuWar

dpupEe

i

i

SS

SS

SS

SS

Parametry siatki dwumianowej

Ze związku ( c ) wynika, że po n etapach w omawianym modelu E(ln(Sn/S0))=n , co jest równoważne równościom E(Sn /S0)=en, E(Sn)= S0 en

Jeżeli dodatkowo założymy, że S1=1, to otrzymujemy

E(lnSn)=n, E(Sn)=en Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia U,D, t

(11)

nn

ii

tgdzietpU

UppUDppUiuE

dpupiuESSE

1

1

,)12(

)1()1())((ln

ln)1(ln))((ln]/[ln

Parametry siatki dwumianowej

Wariancja. Z niezależności zmiennych ln(u(k)), wynika, że

222

0

2

01

1

00

ln)1(/ln

ln)1(/ln

))((ln/ln

d

uppgdzienSSWar

d

uppnSSnWar

kuWarSSWar

n

n

kn

Parametry siatki dwumianowej

Pp

222

1

2

22

2

220

2

)2)(1(

,lnln,

))(1(

)ln)(ln1(ln)1(

/ln

tUpp

zatemDUwiecduwtedyuterazniech

DUpp

duppd

upp

nSSWar

n

d

n

tpU

z

)12(

)11(

Parametry siatki dwumianowej

1

1

2

1

2

1

22

1

2

1

2

lnln

)2)(1(

)12(

)2)(1(

)12(

2

2

22

2222

222

22

22

22

t

tt

t

U

tp

ttdttu

ttU

stronamidodaniupo

tUpp

tpU

tUpp

tpU

01

)(01

,2

1

2

1

,2

1

2

1

12

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

1

1

2

1

2

1

2!2

2!1

1

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

bliskichxdlaxax

x

xRxxax

x

Taylorawzoruzegdyżtp

czylit

t

t

t

t

p

a

tt

tt

tp

ed

eu

tttd

ttttu

t

t

2

1

2

1

ln

ln

22

222

Parametry siatki dwumianowej Ostatecznie otrzymujemy następujące parametry siatki

dwumianowej

= E[ln(ST/S0)], ST – cena po roku 2 - roczna wariancja zmiennej ln(ST/S0) t – czas trwania jednego etapu (ułamek roku)

tp

ed

eut

t

2

1

2

1

Interpretacja parametrów , 2

= E[ln(ST/S0)],

= ln(E[(ST/S0)])

E[(ST/S0)])=e

E(ST) = S0 e , gdyż S0 jest stałą

Parametr jest więc roczną oczekiwaną stopą zwrotu, zakładając kapitalizację ciągłą, tzw. logarytmiczną stopę zwrotu

Jeżeli S0 = 1,

to = E[ln(ST)]. Stąd E(ST) = e

War [ln(ST /S0)] =War [ln(ST)] = 2

2 – jest wtedy wariancją z logarytmu ceny po roku, czyli miarą zmienności rocznej ceny akcji

Literatura

Teoria inwestycji finansowych – D. Luenberger Instrumenty pochodne – sympozjum

matematyki finansowej. Kraków UJ 1997 Kontrakty terminowe i opcje. Wprowadzenie

J. Hull Warszawa 1997 Inwestycje K. Jajuga, T. Jajuga PWN 2008 Rynkowe instrumenty finansowe

A. Sopoćko PWN 2005