modelo estocastico

7/25/2019 modelo estocastico

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Modelos Estocasticos

Javiera Alejandra Silva Arroyo

18 de marzo de 2016

Clase 1

Universidad Andres Bello

Facultad de Ingenierıa Universidad Andres Bello 18 de marzo de 2016 1 / 36

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Presentacion PersonalProfesora: Javiera Alejandra Silva Arroyo


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Ingeniera Civil Industrial (UTFSM)


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Ingeniera Civil Industrial (UTFSM)Magister en Ciencias de la Ingenierıa Industrial (UTFSM)


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Ingeniera Civil Industrial (UTFSM)Magister en Ciencias de la Ingenierıa Industrial (UTFSM) Mencion en Finanzas cuantitativas


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Doctorando en Phd. en Economıa (Universidad de Chile)


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Doctorando en Phd. en Economıa (Universidad de Chile)Profesora Departamento de Industrias UTFSM


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Doctorando en Phd. en Economıa (Universidad de Chile)Profesora Departamento de Industrias UTFSM Ingenierıa Economica


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Evaluacion de Proyectos Generales


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Evaluacion de Proyectos GeneralesSGLMS


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Comunicacion: http://www.unabvirtual.cl/


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Correo de contacto: [email protected]

Celular:


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Celular: NO


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Doctorando en Phd. en Economıa (Universidad de Chile)Profesora Departamento de Industrias UTFSM Ingenierıa Economica Evaluacion de Proyectos Generales

SGLMS



Celular: NO (...y no quieren saber que pasara si llegan a llamar...)


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Presentacion de la Asignatura

1. Identificacion de la asignatura

Curso : Modelos EstocasticosCodigo : ICI2212Tipo : Teorico-PracticoPrerrequisito : Investigacion de Operaciones [IND-2209]


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1. Identificacion de la asignatura

Curso : Modelos EstocasticosCodigo : ICI2212Tipo : Teorico-PracticoPrerrequisito : Investigacion de Operaciones [IND-2209]

2. Descripcion de la asignatura

Analizar los sistemas de gestion y operacion que presenten componentes proba-bilısticas o aleatorias, ası como con presencia de elementos de incertidumbre y uti-

lizando metodologıas de modelacion para la resolucion de problemas en ambientescomplejos.


P i´ d l A i

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3. Aprendizajes Esperados

Al finalizar la asignatura, el estudiante desarrollara aprendizajes que le permitiran:


P i´ d l A i

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1 Comprender de manera general y especıfica sistemas de gestion y operacion

que presenten componentes probabilısticas o aleatorias, ası como con presenciade elementos de incertidumbre.


P t i´ d l A i t

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2 Comprender y modelar sistemas en los cuales sus componentes interactuan atraves del tiempo de acuerdo a comportamientos aleatorios.


P t i´ d l A i t

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2 Comprender y modelar sistemas en los cuales sus componentes interactuan atraves del tiempo de acuerdo a comportamientos aleatorios.

3 Modelar y resolver problemas reales de operacion y gestion de sistemas que

presentan componentes probabilısticos o aleatorios.


Co te idos de la Asig at a I

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Contenidos de la Asignatura I

Unidad 1: Introduccion a los Procesos EstocasticosDefinicion de incertidumbre

Ejemplos de sistemas con incertidumbre

Definicion y caracterısticas basicas de Procesos Estocasticos

Enfoques de modelacion (modelos analıticos y simulacion)

Unidad 2: Repaso Probabilidad y Estadısticas

Funciones de distribucion de probabilidades

Esperanza, varianza y momentos

Probabilidades y Esperanza condicionales


Contenidos de la Asignatura II

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Contenidos de la Asignatura II

Unidad 3: Proceso de PoissonDefinicion y propiedades del proceso

Ejemplos de proceso de Poisson

Distribucion de probabilidades del proceso

Distribucion de los tiempos entre eventos

Distribucion condicional de los tiempos entre llegadas.

Descomposicion del proceso de Poisson y proceso de Poisson compuesto.

Unidad 4: Proceso de RenovacionDefinicion, distribucion de probabilidades del proceso

Polıticas de mantencion y reemplazo

Comportamiento del proceso en el largo plazo


Contenidos de la Asignatura III

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Contenidos de la Asignatura III

Unidad 5: Cadenas de Markov en Tiempo Discreto

Definicion, propiedades, probabilidades de transicion,

Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov

Distribucion de probabilidades

Clasificacion de estados, analisis del estado transiente

Analisis en el largo plazo, distribucion lımite

Unidad 6: Cadenas de Markov en Tiempo Continuo

Definicion y propiedades

Tiempos de permanencia y probabilidades de transicion

Ecuaciones de Chapman- Kolmogorov

Analisis en el largo plazo, ecuaciones de equilibrio

Procesos de nacimiento y muerte.


Contenidos de la Asignatura IV

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Contenidos de la Asignatura IV

Unidad 7: Sistemas de Espera

Introduccion a los problemas de sistemas de espera.Indicadores de Performance de un sistema

Sistemas M/M/1

Formula de Little.

Otros Sistemas: M/M/1/K, M/M/C. M/G/1.

Sistemas con servicio dependiente del estado, llegadas en lotes.

Redes de Sistemas de Espera

Unidad 8: Inventario ProbabilısticoModelo probabilizado.

Modelo probabilıstico periodico


Condiciones de Aprobacion

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Dos certamenes

Actividades complementarias (controles, tareas, trabajos grupales)

Ponderacion del curso

NF = 0, 30 ∗ S 1 + 0, 30 ∗ S 2 + 0, 4 ∗ AC


Evaluaciones

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Evaluaciones

*Sujeto a leves modificaciones.

Mes Dıa Unidad Actividad Tareas

Marzo 18 1 Clase

Marzo 25 - Semana Santa

Abril 1 2 Clase

Abril 8 3 Clase Control 1

Abril 15 4 Clase Control 2Abril 22 - Solemne 1Abril 29 5 Clase

Mayo 6 6 Clase Control 3

Mayo 13 7 Clase

Mayo 20 7, 8 Clase Control 4

Mayo 27 - Solemne 2Junio 3 - Examen


Evaluaciones

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Evaluaciones

*El alumno debe rendir examen en los siguientes casos:


Evaluaciones

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Evaluaciones


No asiste a rendir alguna de las solemnes. La nota obtenida en el examenreemplaza a la de dicha solemne.


Evaluaciones

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Evaluaciones



Su NF es inferior a 4.5. En este caso su nota del curso NC se calcula de lasiguiente forma:


Evaluaciones

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Su NF es inferior a 4.5. En este caso su nota del curso NC se calcula de lasiguiente forma:

NC = 0.7NF + 0.3E


Introduccion

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La variabilidad esta presente en el universo y se expresa en leyes de probabilidadpara representar experimentos aleatorios.


Introduccion

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Existen procesos cuyas dinamicas permiten abstracciones de transiciones prob-abilısticas entre estados con propiedades modelables.


Introduccion

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El curso de modelos estocasticos abarca este tipo de fenomenos, sobre loscuales es necesario tomar decisiones a pesar de la incertidumbre.


Introduccion

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El curso de modelos estocasticos abarca este tipo de fenomenos, sobre loscuales es necesario tomar decisiones a pesar de la incertidumbre.

Este curso integra pensamiento sistemico y tecnicas estadısticas, con tecnicasde modelado fundamentadas en estructuras matematicas de cierta complejidadque deben ser entendidas analıtica e intuitivamente para saber diferenciar la

pertinencia de aplicacion.


Incertidumbre

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En ingenierıa, especıficamente, en los problemas de toma de decisiones, con fre-

cuencia surge la necesidad de tomar decisiones basadas en fenomenos que tienenincertidumbre asociada a ellos.


Incertidumbre

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Definicion: Incertidumbre


Incertidumbre

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Definicion: IncertidumbreIntervencion del azar en el resultado de diversos eventos naturales o creados por elhombre.


Incertidumbre

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Definicion: IncertidumbreIntervencion del azar en el resultado de diversos eventos naturales o creados por elhombre.

Se define como deficiencia o falta de informacion relevante en desarrollo deun evento.


Incertidumbre

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Definicion: IncertidumbreIntervencion del azar en el resultado de diversos eventos naturales o creados por el

hombre.

Se define como deficiencia o falta de informacion relevante en desarrollo deun evento.

En lugar de manejar esta variabilidad como cualitativa, puede incorporarse a unmodelo matematico y manejarse en forma cuantitativa.


Incertidumbre

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En el ambito de la ingenierıa civil Industrial, los problemas de diseno y de toma dedecisiones bajo incertidumbre se relacionan con:


Incertidumbre

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Precios del mercado bursatil


Incertidumbre

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Procesos de Manufactura


Incertidumbre

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Gestion de Sistema de Servicios


Incertidumbre

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Gestion de Marketing


Incertidumbre

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Proceso de Gestion de Inventarios


Incertidumbre

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Proceso de Gestion de Inventarios

Distribucion de Productos


Incertidumbre

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Ejemplos de Sistemas con Incertidumbre


Incertidumbre

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Sistemas de Inventarios


Incertidumbre

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Sistemas de Servicios (Teorıa de Colas)


Incertidumbre

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Sistemas de Transporte


Incertidumbre

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Sistemas de Transporte

Sistemas Productivos


Incertidumbre

S

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Ejemplos de Sistemas con IncertidumbreSistemas de Inventarios


Incertidumbre

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Ejemplos de Sistemas con IncertidumbreSistemas de Servicios (Teorıa de Colas)


Incertidumbre


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Ejemplos de Sistemas con IncertidumbreSistemas de Transporte


Incertidumbre

Ej l d Si I id b

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Ejemplos de Sistemas con IncertidumbreSistemas Productivos: tiempos de detenciones atribuibles a fallas de equipos


Procesos Estocasticos

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“Estocastico” (del griego stokhastes, que significa ”adivino”). Se liga al azar.



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Para reducir la incertidumbre asociada a ciertos fenomenos se ajustan modelosestocasticos que traten de explicar su evolucion y predigan su comportamiento.Dicho comportamiento se desarrolla en el tiempo y se rige por las leyes de las

probabilidades.



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Para reducir la incertidumbre asociada a ciertos fenomenos se ajustan modelosestocasticos que traten de explicar su evolucion y predigan su comportamiento.Dicho comportamiento se desarrolla en el tiempo y se rige por las leyes de las

probabilidades.

“Proceso en el que, en cada instante, existe una probabilidad de ocurrencia decada uno de los estados en los que se puede encontrar el sistema; esta probabilidaddepende, en general, de cuales hayan sido los estados efectivamente alcanzados eninstantes anteriores.”



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DefinicionUn proceso estocastico es un modelo probabilıstico que permite representar sis-temas que evolucionan de forma aleatoria en el tiempo. En estos sistemas se ocupa

un estado en cada instante de tiempo, de forma que un proceso estocastico esta for-mado por un conjunto de variables aleatorias que representan el estado del sistemaen cada instante.



Definicion

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Una familia de variables aleatorias x(t) donde t es el parametro perteneciente a unconjunto indexado T es llamado un proceso estocastico (o proceso aleatorio), y sedenota por:

{x (t ), t ∈ T }



Definicion

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{x (t ), t ∈ T }

La variable observada puede ser



Definicion

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{x (t ), t ∈ T }


Economica



Definicion

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Una familia de variables aleatorias x(t) donde t es el parametro perteneciente a unconjunto indexado T es llamado un proceso estocastico (o proceso aleatorio), y se

denota por:

{x (t ), t ∈ T }


Economica Demanda de un producto



Definicion

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denota por:

{x (t ), t ∈ T }


Economica Demanda de un producto Existencias en un determinado almacen



Definicion

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denota por:

{x (t ), t ∈ T }


Economica Demanda de un producto Existencias en un determinado almacen I.P.C.



Definicion

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denota por:

{x (t ), t ∈ T }



Fısica



Definicion

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denota por:

{x (t ), t ∈ T }



Fısica Temperatura de un proceso



Definicion

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denota por:

{x (t ), t ∈ T }



Fısica Temperatura de un proceso Velocidad del viento en una central eolica



Definicion

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denota por:

{x (t ), t ∈ T }



Fısica Temperatura de un proceso Velocidad del viento en una central eolica Concentracion en la Atmosfera de un contaminante



Definicion

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denota por:

{x (t ), t ∈ T }




Social



Definicion

( )

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denota por:

{x (t ), t ∈ T }




Social Numero de nacimientos



Definicion

U f ili d i bl l i ( ) d d l ´ i

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denota por:

{x (t ), t ∈ T }




Social Numero de nacimientos Votos de un determinado partido



Definicion

U f ili d i bl l i ( ) d d l ´ i

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denota por:

{x (t ), t ∈ T }




Social Numero de nacimientos Votos de un determinado partido



Clasificacion de Procesos Estocasticos

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Los procesos estocasticos se clasifican de acuerdo al tipo de espacio de estados yal tipo de parametro.




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Los procesos estocasticos se clasifican de acuerdo al tipo de espacio de estados yal tipo de parametro.




S C

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Si el espacio de estados es discreto, el proceso recibe el nombre de Cadena. En elotro caso, si el espacio de estados es continuo, se conoce como Proceso.




Si l i d d di l ib l b d C d E l

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Si el espacio de estados es discreto, el proceso recibe el nombre de Cadena. En elotro caso, si el espacio de estados es continuo, se conoce como Proceso.




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De acuerdo a la clasificacion de los procesos estocasticos:




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De acuerdo a la clasificacion de los procesos estocasticos:

Estado Discreto Estado Continuo

Tiempo Discreto Unidades producidas mensual-

mente de un producto.

Toneladas de produccion diaria

de un producto.

Tiempo Continuo Unidades producidas hasta el

instante t

Velocidad de un vehıculo en el

instante t



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Ejemplos de Procesos EstocasticosNiveles de Demanda semanales de un producto.



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Niveles de Inventario mensuales de un producto.



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Cantidad de detenciones por Fallas de un equipo a lo largo de un periodo.



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El tamano de una cola en una estacion cliente/servidor.



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El tamano de una cola en una estacion cliente/servidor.

Para los ejemplos anteriores: ¿Tipo de espacio y tipo de estado?



Cualquier realizacion de X n es llamada una trayectoria muestral.

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En cada instante de tiempo tenemos una variable con un comportamientoaleatorio.




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Una secuencia de realizaciones de dichas variables en un conjunto de instantesdefinira una trayectoria.




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Una secuencia de realizaciones de dichas variables en un conjunto de instantesdefinira una trayectoria.



En cada instante t, tendremos una media y una varianza.

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, y

Existe una distribucion de probabilidades en cada instante del tiempo.

Facultad de Ingenier´ıa Universidad Andr

´es Bello 18 de marzo de 2016 28 / 36



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y

Existe una distribucion de probabilidades en cada instante del tiempo.¿Como cambia la distribucion de probabilidades en el tiempo?

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y

Existe una distribucion de probabilidades en cada instante del tiempo.¿Como cambia la distribucion de probabilidades en el tiempo?

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Esta distribucion puede converger a una distribucion “estacionaria” (que nocambiara mas)

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)




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Estaremos en un “estado de regimen”




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Estado de regimen

Estaremos en estado de regimen para el instante t ∗, si ∀ t 1, t 2 ≥ t ∗, lasdistribuciones en t 1 y t 2 son identica.




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Estado de regimen

Estaremos en estado de regimen para el instante t ∗, si ∀ t 1, t 2 ≥ t ∗, lasdistribuciones en t 1 y t 2 son identica.


Enfoques de Modelacion

¿Que es resolver un proceso estocastico?

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Resolver un proceso es conocer su comportamiento en el tiempo y espacio.

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Para resolver los procesos estocasticos es necesario poder predecir la evolucionde la variable aleatoria a partir de los datos de entrada y del modelo del sistema.




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¿Que es eso e u p oceso estocast co



Dada la naturaleza de los procesos estocasticos, sus modelos son de ordendescriptivo con estructura computacional en el caso de la simulacion, o confunciones matematicas como en Teorıa de Colas y Cadenas de Markov.




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¿Q p



Dada la naturaleza de los procesos estocasticos, sus modelos son de ordendescriptivo con estructura computacional en el caso de la simulacion, o confunciones matematicas como en Teorıa de Colas y Cadenas de Markov.

En este punto, a medida que la complejidad del sistema aumenta, es la simu-lacion la que permite describir y analizar mejor el sistema.



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Formas de estudiar un sistema:

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Existen dos metodos para abordar:

Enfoque analıtico




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Existen dos metodos para abordar:

Enfoque analıticoTecnicas de simulacion



Enfoque analıtico

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Busqueda y solucion de sistemas de ecuaciones matematicas que caracterizano representan el comportamiento del sistema (variables de estado).



Enfoque analıtico

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Puede llegar a presentar una complejidad excesivamente alta como para serresuelto de manera exacta.



Enfoque analıtico

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Facilidad para analisis de sensibilidad respecto a parametros y alternativas deoperacion (evaluacion de indicadores y derivadas para diferentes parametros deinput o diseno).



Enfoque analıtico

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En investigacion el fuerte esta en la busqueda de modelos analıticos.



Enfoque analıtico

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En investigacion el fuerte esta en la busqueda de modelos analıticos.

Computacionalmente mas economicos.



Tecnicas de simulacion

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Reconstruccion computacional del sistema de operacion.Modelo de laboratorio (analogıa de modelos a escala).

Cada ejecucion del programa es una realizacion.

Se debe ejecutar cientos de veces para obtener distribuciones e indicadores

representativos.En el programa se debe realizar cambios para reflejar diferentes estrategias ocambios de escenarios/parametros.

Son mas utilizados en la practica.

Otorgan flexibilidad (facil de adaptar).


Enfoques de ModelacionComparacion de Enfoques

Dimension Analıtico Simulacion

Complejidad Trata de incluir sola- Puede ser muy complejo

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p jmente los aspectos mas

importantes

y p j

y detallado

Flexibilidad Mas facil de cambiar

pero pequenos cambios

pueden tener grandesconsecuencias

Otorga mayor flexibil-

idad; facilidad en la

adaptacion.

Datos Menos necesidad Mas necesidad

Transparencia Claro para analistas,puede ser opaco para

menos entrenados

Caja Negra


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