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Instituto Universitario Politécnico“Santiago Mariño”Extensión Maturín
Esc. Ing. Electrónica y Eléctrica
Modelos matemáticos. Diagramas de bloques
Maturín, mayo de 2011
Facilitadora: Ing. Mariángela Pollonais
Aplicaciones transformada de Laplace
Las ecuaciones de la malla, de acuerdo a la ley de voltajes de Kirchhoff
Circuito RLC serie
Aplicaciones Transformada de LaplaceObteniendo la Transformada de Laplace, con
condiciones iniciales igual a cero se obtiene :
Aplicaciones Transformada de LaplaceHaciendo el cociente de la señal de
salida con respecto a la entradase tiene:
Con esta relación, se puede obtener la respuesta a diferentes señales de entrada típicas y saber el comportamiento del sistema.
Aplicaciones Transformada de LaplaceSistema Masa Resorte
Utilizando las leyes de Newton, se obtiene:
donde m es la masa, b es el coeficiente de fricción viscosa, k es la constante del resorte, y(t) es el desplazamiento y r(t) es la fuerza aplicada.
m
b
k
y(t)
r(t)
)()(2
2
trtkydtdyb
dt
ydm
Aplicaciones Transformada de LaplaceSu transformada de Laplace es:
)()()0()()0()0()( '2 sRsKYyssYbysysYsM
KbsMssRsY
2
1)()(
0)0(,0)0(' yy
)()()()(2 sRsKYsbsYsYMs
considerando:
Función de TransferenciaLa función de transferencia de un sistema se define como la transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo condiciones iniciales cero.
)(
)(trtc
ciatransferendeFunciónLL
entradatr
salidatc
)(
)(
ceroinicialesscondicionecon
Función de TransferenciaObservacionesEs una descripción entrada salida del
comportamiento del sistema.
Depende de las características del sistema y no de la magnitud y tipo de entrada.
No proporciona información acerca de la estructura interna del sistema.
Función de TransferenciaPara el sistema:
donde y(t)=entrada y u(t)= salida n≥mAplicando Transformada de Laplace en ambos
miembros queda:
ubububyayayaya mm
nn
nn 01
)(01
)1(1
)( ''
01)1(
1)(
01)(
)()(
)(
asasasa
bsbsbsG
sU
sYn
nn
n
mm
Función de Transferencia
A la potencia más alta del denominador de G(s) (ecuación característica) se le denomina orden del sistema.
A las raíces de la ecuación característica se les denominan polos del sistema, mientras que a las raíces del numerador se le llaman ceros del sistema.
Diagrama de polos y ceros
El diagrama de polos y ceros de la Función de Transferencia de un sistema es una gráfica en el plano complejo s donde los ceros se destacan con un símbolo ‘o’ y los polos con un símbolo ‘x’ .
POLOS: p es un polo de un sistema si G(p)
CEROS: c es un cero de un sistema si G(c) 0
“
Diagrama de polos y ceros
43p ,43p ,2p ,3p
naser sistema del polos los
c ,5c
naser sistema del ceros los
)43)(43)(2)(3(
))(5()(
)256)(2)(3(
))(5()(
ciaTransferen den oFunci lapor explica se
reposo,en teinicialmen aest que sistema,Un
4321
21
2
jj
j
jsjsss
jsssH
ssss
jsssH
Diagrama de polos y cerosRepresentación en el plano complejo
Re(s) =
j Imag(s) =j
1
4
-4
-2-3-5
Modelo Matemático
En líneas generales, por modelo de un proceso se entiende una representación de los aspectos esenciales del mismo. Los modelos han probado su utilidad en diferentes aspectos del diseño, operación y desarrollo de procesos.
Modelo MatemáticoRepresentan el proceso en términos
matemáticos (símbolos), en cuanto a sus propiedades, características, y relaciones internas y externas. Son extensivamente usados en una gran cantidad de campos.
• Ventajas de los modelos matemáticos: •Lenguaje preciso, sin ambiguedades.• Facilidad de manipulación analítica e
implementacióncomputacional
Diagramas de Bloque• Los diagramas de bloques de un sistema son
bloques operacionales y unidireccionales que representan la función de transferencia de las variables de interés.
• Ventajas:• Representan en forma más gráfica el flujo de
señales de un sistema.• Con los bloques es posible evaluar la
contribución de cada componente al desempeño total del sistema.
• No incluye información de la construcción física del sistema (Laplace).
Diagramas de Bloque• Elementos de un diagrama de bloques
Función de transferencia
)(sG
Variablede entrada
Variablede salida
Diagramas de Bloque Bloque:
Representa la operación matemática que sufre la señal de entrada para producir la señal de salida. Las funciones de transferencia se introducen en los bloques. A los bloques también se les llama ganancia.
Flecha: Representa una y solo una variable. La
punta de la flecha indica la dirección del flujo de señales.
Diagramas de BloqueForma general
G(s)
P(s)
R(s) E(s)
H(s)
C(s)
+ B(s)
Bifurcación.Bifurcación.
SumadorSumador
Diagramas de Bloque
R(s) Entrada de referencia: Es la señal de entrada al sistema de control.
C(s) Salida del sistema: Es la cantidad física que debe mantenerse en un valor predeterminado.
P(s) Perturbaciones: Son señales que afectan la salida del sistema.
Diagramas de Bloque
E(s) Señal activa de error: Esta señal es la diferencia entre la señal de entrada de referencia y la salida del sistema, actúa sobre el bloque de control para mantener la salida de un valor deseado.
B(s) Señal de retroalimentación: Es la señal de salida despues que pasa por el elemento H(s).
Diagramas de Bloque
Sumadores: Representan operaciones de adición o sustracción de las señales que intervienen. También se les llama comparadores. (La adición o sustracción depende del signo con que las señales entran)
Diagramas de Bloque
Bifurcación: Un punto de toma es aquel a partir del cual la señal de un bloque va de modo concurrente a otros bloques o puntos de suma.
Diagramas de Bloque
Diagrama de bloquesEl diagrama de bloques se obtiene a partir de las
ecuaciones dinámicas que describen el comportamiento de cada componente a las que previamente se las aplica la Transformada de Laplace, conectando finalmente los componentes del diagrama de bloques completo.
A partir del diagrama de bloques de un sistema se pueden realizar modificaciones con objeto de simplificar o reducir el diagrama original, hasta quedar un solo bloque equivalente.
Reducción del diagrama de bloques original por aplicación de las reglas del algebra de bloques.
Funciones de transferenciaDe trayectoria directa.De lazo abierto.De lazo Cerrado.
Diagramas de bloques
Función de transferencia trayectoria directa
)()(
)(sG
sE
sC
G(s)E(s)
H(s)
C(s)R(s)
B(s)
Diagramas de bloques
Función de transferencia de lazo abierto
)(*)()(
)(sHsG
sE
sB
G(s)E(s)
H(s)+ B(s)
C(s)R(s)
Diagramas de bloques
Función de transferencia de lazo cerrado
)(*)(1
)(
)(
)(
sHsG
sG
sR
sC
G(s)R(s) C(s)
H(s)-
+
Diagramas de bloques
Álgebra de bloques
Representa las equivalencia que existen entre un conjunto de elementos de un diagrama de bloques agrupados en una forma específica.
Bloques en serieÁlgebra de bloques
Álgebra de BloquesBloques en paralelo
G1(s)
G2(s)
R(s) C(s)
Adelantar punto de bifurcación
)(
)(
1
2
sG
sG
Álgebra de Bloques
Atrasar un punto de bifurcación
G1(s)X2(s)
X1(s)
)(2 sG
Álgebra de bloques
Adelantar un punto de suma
G1(s)
X2(s)X1(s)
)(
)(
1
2
sG
sG
Álgebra de bloques
Atrasar un punto de suma
G1(s)X2(s)X1(s)
)(2 sG
Álgebra de bloques
Propiedad asociativa de la suma
X4X1
X2 X3
X4X1
X2
X3
-
-
-
Álgebra de bloques
-
+
+
Retroalimentación
G(s)
H(s)
C(s)+_
R(s)
Álgebra de bloques
R(s) C(s))()(1
)(
sHsG
sG
Tablas…
Álgebra de bloques
Continuación…
Álgebra de bloques
Simplificación de Diagramas de Bloques
Se basa en el uso del “álgebra de bloques“ para agrupar y sustituir partes de un diagrama inicial por equivalentes reducidos. Realizando esto en forma sucesiva, se logra llevar el problema inicial a un sólo resultado o bloque, el cual representará la función de transferencia entre las señales involucradas.
Ejemplos
C(s)5 10
H
R(S)
C(S)5 10
H
R(S)
1/10
1/5
++
_
_
_
_
Simplificación de Diagramas de Bloques
Continuación…
C(S)5 10
H
R(S)
1/10
1/5
C(S)50R(S)
H/5 1/10
_
_
_
+
+
Simplificación de Diagramas de Bloques
Continuación…
C(S)50R(S)
(10H+5)/50
R(s) C(s))()(1
)(
sHsG
sG
_
+
Simplificación de Diagramas de Bloques
Ejemplo
R(s)
Ha
GcGbGa
Hb
C(s)
R(s)
Ha
GcGbGa
Hb
C(s)+
+
_
_
_
_
+
+
1/Ga
1/Gc
Simplificación de Diagramas de Bloques
Continuación..
R(s)
Ha
GcGbGa
Hb
C(s)+
_
_
+
1/Ga
1/Gc
R(s) GaGbGc C(s)+
_
(Ha/Ga)+(Hb/Gc)
Simplificación de Diagramas de Bloques
