UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAU CENTRO DE TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECNICACURSO: ENGENHARIA MECNICADISCIPLINA: PROBABILIDADE E ESTATSTICAPROFESSOR : ELIZABETE CARDOSO MACHADO

MODELOS CONTNUOS E DISCRETOS

ANA LVIA FORMIGA LEITE

TERESINA-PIJUNHO DE 2015

MODELOS DISCRETOS E CONTNUOSUm modelo de probabilidade descreve matematicamente um fenmeno aleatrio da seguinte maneira: primeiramente, identifica os valores da varivel aleatria e, depois, associa a cada um deles o valor da respectiva probabilidade. Os modelos discretos possuem a soma das probabilidades associadas a cada valor da varivel aleatria igual a 1. J os modelos contnuos possuem a rea total compreendida entre o grfico da funo densidade e o eixo x equivalente a 1. A seguir, sero expostos os principais tipos de cada modelo.1.0 Modelos Discretos1.1 Distribuio binomialPara explicar o modelo binomial uma introduo de uma sequncia de ensaios de Bernoulli necessria. Tal sequncia definida por meio das seguintes condies:Em cada ensaio considera-se somente a ocorrncia ou no-ocorrncia de um certo evento que ser denominado sucesso (S) e cuja no-ocorrncia ser denominada falha (F). Os ensaios so independentes. A probabilidade de sucesso(p) a mesma para cada ensaio. A probabilidade de falha ser denotada por 1-p. Para um experimento que consiste na realizao deensaios independentes de Bernoulli, o espao amostral pode ser considerado como o conjunto em que cada posio h um sucesso (S) ou uma falha (F). A probabilidade de um ponto amostral com sucessos nosprimeiros ensaios e falhas nosensaios seguintes Note que esta a probabilidade de qualquer ponto comsucessos efalhas. O nmero de pontos do espao amostral que satisfaz essa condio igual ao nmero de maneiras de escolherensaios para a ocorrncia de sucesso dentre o total deensaios, pois nosrestantes devero ocorrer falhas. Este nmero igual ao nmero de combinaes deelementos tomadosa, ou seja,

Ou seja, para:

Definio 1.1:Sejao nmero de sucessos obtidos na realizao deensaios de Bernoulli independentes. tem distribuio binomial com parmetrose, em que a probabilidade de sucesso em cada ensaio, se sua funo de probabilidade for dada por

1.2 Distribuio de PoissonQuando o nmero de ensaios grande () e pequeno (), no clculo da funo binomial, h dificuldades, pois, paramuito grande epequeno, fica relativamente difcil calcularmos a probabilidade desucessos a partir do modelo binomial, isto , utilizando a funo de probabilidade

Que igual a:

Definio 1.2:Uma varivel aleatria discretasegue a distribuio de Poisson com parmetro,, se sua funo de probabilidade for dada por

Utilizamos a notaoou. O parmetroindica a taxa de ocorrncia por unidade medida.

1.3 Distribuio geomtricaUma sequncia ilimitada de ensaios de Bernoulli, com probabilidade de sucesso p em cada ensaio. Sendo sucesso por e falha por. O Ensaio realizado at que se obtenha sucesso.Um elemento tpico desse espao amostral uma sequncia deem que nosprimeiros ensaios temose na-sima temos S.A distribuio geomtrica apresenta duas parametrizaes importantes, que tm interpretaes distintas. Uma das parametrizaes da funo geomtrica conta o nmero de falhas at que ocorra o primeiro sucesso. Nessa parametrizao podemos incluir o zero como sendo um possvel resultado, pois podemos ter sucesso j no primeiro ensaio de Bernoulli.A segunda parametrizao da geomtrica conta o nmero de ensaios de bernoulli necessrio para se obter um sucesso. Assim nessa parametrizao no possvel se ter o zero, portanto nessa parametrizao da geomtrica o domnio ser os nmeros naturais sem o zero.Definio 1.3:Sejaa varivel aleatria que fornece o nmero de falhas at o primeiro sucesso. A variveltem distribuio Geomtrica com parmetro,, se sua funo de probabilidade dada por

O eventoocorre se, e somente se, ocorrem somente falhas nosprimeiros ensaios e sucesso no-simo ensaio.A distribuio geomtrica tem uma propriedade que serve para caracteriz-la no conjunto das distribuies discretas:

Propriedade 1:Se varivel aleatria discreta com distribuio geomtrica, ento, para todo:

Este resultado reflete a falta de memria ou de desgaste da distribuio geomtrica.Propriedade 2:Sejamostre que seento h(k)=pDe fato,

H(k) muito usado em anlise de sobrevivncia e representa a funo risco.

1.4 Distribuio hipergeomtricaConsiderando uma populao comobjetos nos quaisso classificados como do tipoeso classificados como do tipo. Por exemplo, em um lote de() peas, existem() peas defeituosas e() peas conformes. Tomando uma amostra ao acaso, sem reposio e no ordenada deobjetos. Sejaa varivel aleatria que conta o nmero de objetos classificados como do tipona amostra. Ento a distribuio de probabilidade de dada por:

sendointeiro e.Definio 1.4:Diremos que uma varivel aleatriatem distribuio hipergeomtrica de parmetros,ese sua funo de probabilidade for dada da maneira acima.

1.5 Distribuio multinomialUm experimento dividido emensaios independentes, no qual cada ensaio resulta em um nmero finitode valores possveis com probabilidades(de modo queparae).Tomando a varivel aleatriaque representa o nmero de vezes que o ndicefoi observado nosensaios, o vetorsegue uma distribuio multinomial com parmetroseonde.Com isso, sua distribuio de probabilidade dada por

Definio 1.5:Diremos que um vetor aleatriosegue uma distribuio multinomial com parmetrosese sua funo de probabilidade for dada por

1.6 Binomial NegativoSejauma varivel aleatria que conta o nmero de tentativas necessrias para se obtersucessos, emensaios de Bernoulli com probabilidadeem cada ensaio. Nesse caso, ltimo ensaio ser o-simo sucesso. Essa varivel conhecida como binomial negativa. A binomial negativa a soma devariveis geomtricas com parmetros iguais a. Assim, tem-se que a probabilidade de realizarmosensaios dada por

Definio 1.6:Sejauma varivel aleatria que fornece o nmero de ensaios at o-simo sucesso. Assimtem uma distribuio binomial negativa com parmetro, se sua funo de probabilidade dada por:

2.0 Modelos Contnuos2.1 Distribuio uniformeA distribuio uniforme a mais simples distribuio contnua e uma das mais importantes e utilizadas dentro da teoria de probabilidade. A distribuio uniforme tem uma importante caracterstica: a probabilidade de acontecer um fenmeno de mesmo comprimento a mesma.Definio 2.1:Uma varivel aleatriatem distribuio Uniforme no intervalose sua funo densidade de probabilidade for dada por:

2.2 Distribuio Normal A distribuio normal ou distribuio gaussiana a mais importante distribuio contnua. Sua importncia se deve a vrios fatores, entre eles oteorema centraldo limite, o qual um resultado fundamental em aplicaes prticas e tericas, pois ele garante que mesmo que os dados no sejam distribudos segundo uma normal a mdia dos dados converge para uma distribuio normal conforme o nmero de dados aumenta. Alm disso, diversos estudos prticos tem como resultado uma distribuio normal. Como exemplo a altura de uma determinada populao em geral segue uma distribuio normal.Entre outras caractersticas fsicas e sociais tem um comportamento gaussiano, ou seja, segue uma distribuio normal.Definio 2.2:Uma varivel aleatria contnuatem distribuio normal se sua funo densidade de probabilidade for dada por:

A variao natural de muitos processos industriais realmente aleatria. Embora as distribuies de muitos processos possam assumir uma variedade de formas, muitas variveis observadas possuem uma distribuio de frequncias que , aproximadamente, uma distribuio de probabilidade normal.2.3 Distribuiao qui-quadradoA distribuio qui-quadrada pode ser interpretada de duas formas, como um caso particular dadistribuio Gama, que ser analisada mais adiante, ou como sendo a soma de normais padronizadas ao quadrado. Tomeento

Definio 2.3:Uma varivel aleatria contnuatem distribuio qui-quadrado comgraus de liberdade se sua funo densidade for dada por:

sendo. Denotamos.

2.4 Distribuio T de StudentA distribuio t de Student uma das distribuies mais utilizadas na estatstica, com aplicaes que vo desde a modelagem estatstica at testes de hipteses.Definio 2.4:Uma varivel aleatria contnuatem distribuiode Student comgraus de liberdade se sua funo densidade de probabilidade dada por

Propriedades da distribuio t de Student:A funo densidade da distribuio t de Student tem a mesma forma em sino da distribuio normal, mas reflete a maior variabilidade (com curvas mais largas) esperada em amostras pequenas. Quanto maior o grau de liberdade, mais a distribuio t de Student se aproxima da distribuio normal.

2.5 Distribuio de t de Student no centralA distribuiono central generaliza a distribuiode Student em probabilidade. Assim como a distribuiocentral, a distribuiono central inicialmente utilizada em inferncia estatstica, especialmente em anlise do poder.Definio 2.5:Sejame, com Z e U independentes. Ento

tem distribuiono central com parmetro de no centralidade.2.6 Distribuio de f de SnedecorA distribuio F de Snedecor tambm conhecida como distribuio de Fisher frequentemente utilizada na inferncia estatstica para anlise da varincia.Definio 2.6:Uma varivel aleatria contnuatem distribuiode Snedecor comgraus de liberdade no numerador egraus de liberdade no denominador se sua funo densidade de probabilidade definida por

2.7 Distribuio F no centralEm probabilidade e estatstica, a distribuiono central uma distribuio de probabilidade contnua que uma generalizao da distribuiocomum. Ela descreve a distribuio do quociente, onde o numeradortem uma distribuio qui-quadrado no central comgraus de liberdade e o denominadortem distribuio qui-quadrado comgraus de liberdade. Alm disso,eso independentes.Definio 2.7:See, e ainda,eso independentes, ento:

com(parmetro de no centralidade). Neste caso, dizemos quetem uma distribuiono central. 2.8 Distribuio de CauchyA distribuio de Cauchy pode ser considerada uma distribuio patolgica, pois ela no apresenta mdia e varincia. Entretanto a distribuio de Cauchy tem sua importncia em diversas reas do conhecimento cientfico como na fsica. Essa distribuio soluo de uma equao diferencial que descreve um determinado tipo de oscilador. Em matemtica, uma das solues para a equao de Laplace. Definio 2.8:Uma varivel aleatria contnuatem distribuio de Cauchy com parmetrosese sua funo densidade de probabilidades e sua funo de distribuio forem definidas, respectivamente, por

ondeeso parmetros de locao e de escala, respectivamente.2.9 Distribuio GamaA distribuio gama uma das mais gerais distribuies. A exponencial, a qui-quadrado e outras so casos particulares dela. Essa distribuio tem como suas principais aplicaes a anlise de tempo de vida de produtos.Definio 2.9:Uma varivel aleatriatem distribuio Gama com parmetros(tambm denominado parmetro de forma) e(parmetro de taxa), denotando-se, se sua funo densidade dada por

2.10 Distribuio betaA distribuio Beta usada para modelar a proporo, ou objetos que pertencem ao intervalo, pois essa distribuio est definida neste intervalo.Devido a grande versatilidade de uma varivel aleatriacom distribuio beta para modelar funes densidade de probabilidade no intervaloe pela possibilidade de generalizar essa versatilidade para qualquer varivel aleatriarestrita a um intervalo finito, bastando para isso utilizar a relao, o modelo beta tem inmeras aplicaes para representar quantidades fsicas cujos valores estejam restritos a um intervalo identificvel.Definio 2.10:A distribuio Beta uma distribuio de probabilidade contnua, com dois parmetrosecuja funo de densidade para valores

No modelo, os parmetrosedefinem a forma da distribuio. Se, a distribuio simtrica, se, a assimetria negativa e, no caso de, sua assimetria positiva.

2.11 Distribuio exponencialEssa distribuio se caracteriza por ter uma funo de taxa de falha constante. A distribuio exponencial a nica com esta propriedade. Ela considerada uma das mais simples em termos matemticos. Esta distribuio tem sido usada extensivamente como um modelo para o tempo de vida de certos produtos e materiais. Ela descreve adequadamente o tempo de vida de leos isolantes e dieltricos, entre outros.Definio 2.11:A varivel aleatriatem distribuio exponencial com parmetro,, se tiver funo densidade de probabilidade dada por:

em que o parmetro de taxa da distribuio e deve satisfazer. Neste caso, o tempo mdio de vida e um tempo de falha.O parmetro deve ter a mesma unidade do tempo da falha. Isto , se medido em horas,tambm ser medido em horas.A funo de distribuio acumulada dada por

2.12 Distribuio WeinbullA distribuio Weibull foi proposta em estudos relacionados ao tempo de falha devido a fadiga de metais. frequentemente utilizada para descrever o tempo de vida de produtos industriais. A sua popularidade em aplicaes prticas deve-se ao fato dela apresentar uma grande variedade de formas, todas com uma propriedade bsica: a sua funo de taxa de falha montona, ou seja, crescente ou decrescente ou constante. Ela descreve adequadamente a vida de mananciais, componentes eletrnicos, cermicas, capacitores e dieltricos.Definio 2.12:Uma varivel aleatriatem distribuio Weibull se tiver funo densidade de probabilidade dada por:

Sua funo de distribuio acumulada dada por