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MODELOS MATEMÁTICOS DE
SISTEMAS FÍSICOS
Leyes básicas de los sistemas eléctricos
1. Ley de corrientes de Kirchoff: En todo circuito sin importar su configuración, la suma de corrientes en cada uno de los
nodos es igual a cero. 0I . De otra manera: La suma algebraica de las corrientes fluyendo o saliendo de una unión en un circuito con dispositivos eléctricos es cero.
2. Ley de voltajes de Kirchoff: En todo lazo cerrado de cualquier circuito la suma de tensiones es igual a cero.
0V . De otra manera: La suma algebraica de caídas o elevaciones de tensión alrededor de cualquier malla en un circuito eléctrico es cero.
Modelos matemáticos de sistemas mecánicos traslacionales
Los sistemas traslacionales son aquellos en los cuales el movimiento se produce a lo largo de una línea recta, los elementos traslacionales activos son la fuerza y la velocidad, y los elementos pasivos son la masa, la elasticidad y el amortiguamiento. Masa: Una fuerza aplicada a la masa ocasiona una aceleración en la misma dirección en que es aplicada la fuerza. Se encuentra que experimentalmente la aceleración es directamente proporcional a la fuerza aplicada. Def.: La masa m de un cuerpo se define como el factor de proporcionalidad entre la fuerza aplicada y la aceleración que ella produce.
2da ley de Newton: maF ó )()(
2
2
txdt
dmtf
La aceleración se mide en la dirección de la fuerza, la masa permanece constante y es fijo el sistema de coordenadas en el cual se realizan las mediciones de desplazamiento, velocidad y aceleración.
“La masa almacena energía cinética.”
Resorte lineal
En un resorte se cumple la ley de Hooke, que establece lo siguiente: La elongación o compresión neta es directamente proporcional a la fuerza externa aplicada.
)()( tkxtf )()()( 12 txtxktf
Los términos )(1 tx y )(2 tx son los desplazamientos de los
dos extremos del resorte en sus posiciones iniciales, k es la constante de proporcionalidad del resorte.
Una curva típica de un resorte se muestra en la siguiente figura:
El factor k es llamado rigidez del resorte y el reciproco de k se le llama complianza.
Un resorte cuya k es una constante se le llama resorte de Hooke. El resorte almacena energía potencial.
)(1
)()( 12 tfdt
d
ktVtV
Elemento de fricción lineal
El amortiguador en su forma mas simple. Un amortiguador consiste de un recipiente lleno con un líquido viscoso que contiene un pistón el cual comprime al fluido, si dicho fluido se
comprime por el movimiento del pistón este escapa rodeando al pistón a través de pequeños orificios taladrados en el pistón.0 Conforme el pistón se mueve le proporciona energía cinética al fluido, y esta energía se convierte en calor, por lo tanto, se disipa perdiéndose. La fuerza requerida para mover el pistón esta dada por la siguiente formula:
)()( txdt
dBtf
)()()( 12 tx
dt
dtx
dt
dBtf
)()()( 12 tVtVBtf
)(1
)()( 12 tfB
tVtV
La constante B se llama coeficiente de fricción viscosa o coeficiente del amortiguador.
Modelos matemáticos de sistemas mecánicos rotacionales
Estos son sistemas mecánicos en los cuales el movimiento se produce alrededor de un punto fijo. Los elementos activos son el Par y la Velocidad angular y los dispositivos pasivos que conforman a los sistemas rotacionales son la rigidez del resorte torsional, el momento de inercia y la fricción de los amortiguadores rotatorios.
El movimiento de inercia
La relación entre el movimiento de inercia y el par aplicado esta dado por la siguiente formula:
)()(2
2
tdt
djtT
en donde )(tT es el par aplicado y j es el momento de inercia
respecto a un eje fijo, )(t es el desplazamiento angular, la ecuación resultante se basa en la 2da ley de Newton.
Resorte torsional
Si ambos extremos del resorte están libres para moverse y
sus desplazamientos respectivos son )(1 t y )(2 t entonces para pequeños cambios de desplazamiento la relación
matemática entre el par aplicado y las variaciones del desplazamiento son:
)()()( 21 ttktT
en donde k es la rigidez del resorte. Prácticamente un resorte torsional se representa por una flecha o un eje que no este perfectamente rígido.
dtttktT )()()( 21
)(1
)()( 21 tTdt
d
ktt
El amortiguador rotacional
Las fuerzas fricciónales en sistemas rotatorios se ocasionan por la fricción entre flechas rotatorias y las chumaceras que las soportan. Usualmente las chumaceras se lubrican con algún fluido viscoso ocasionando que se pierda en ellos energía en forma de calor. El par necesario para girar la flecha contra la oposición del fluido viscoso se encuentra con la siguiente ecuación:
)()()( 21 t
dt
dt
dt
dBtT
en donde )(1 t y )(2 t son los desplazamientos angulares de la flecha y del cilindro respectivamente de acuerdo con el plano de referencia. A la constante B se le llama coeficiente friccional.
)()()( 21 ttBtT )(
1)()( 21 tT
Btt
Leyes básicas de los sistemas rotacionales
Las ecuaciones dinámicas de los sistemas rotacionales mecánicos se encuentran con la aplicación de la 2da ley de Newton y con el principio de D’Alembert y son:
n
ii tTt
dt
dj
12
2
)()(
0)()(2
2
1
tdt
djtT
n
ii
Modelos matemáticos de sistemas neumáticos
La resistencia neumática
El caudal masa que circula a través de una tubería con una
pérdida de carga p y el régimen laminar se escribe según la formula de Poisseville.
128
4DpQm
Qm Diferencia de presión.
en donde la resistencia neumática )( NR viene definida por p , la caída de presión por unidad de longitud dividida entre el caudal masa.
4
128
DQm
pRN
Ohmios neumáticos.
Viscosidad dinámica en New/m2. Densidad en Kg/m3.D Diámetro interior del tubo en mts. Longitud del tubo en mts.
Capacidad neumática
La capacidad neumática representa la posibilidad de acumular una cantidad de aire m bajo una diferencia de
presiones p . Sin variaciones de volumen, el caudal masa que entra en el tanque compresor es:
mdt
dQm
v
m
dt
dvQm
Densidad.m Masa.v Volumen.
en donde el volumen del tanque se supone constante. La densidad del aire mantiene, de acuerdo con la ley general de los gases perfectos la siguiente relación:
Pa
tPo
)(
)(tPdt
d
Pa
vQm o
P Presión.Pa Presión atmosférica.
1o Presión del aire.
Pa
vC o
N
Capacidad neumática, dada en cm2.
)(tPdt
dCQm N
Para volumen fijo.
Capacidad neumática con variaciones de volumen (sistema de fuelle y resorte)
El volumen del depósito ahora no es una constante por lo cual la formula del caudal masa es la siguiente:
lKpA S vKpA S 2
SK
Apv
2
dt
dp
K
A
dt
dv
S
2
sustituyendo:
)()(2
tPdt
d
K
AtP
dt
d
Pa
vQm
S
o
)(2
tPdt
d
K
A
PavQm
S
o
S
oD K
A
PavC
2
DC Capacidad neumática dinámica.
)(tPdt
dCQm D
Modelos matemáticos de sistemas hidráulicos
Los sistemas hidráulicos están constituidos por recipientes llenos de líquidos que interconectados a tuberías, válvulas, tanques y a otros elementos. Este tipo de sistemas se analiza empleando las bases fundamentales de la mecánica de fluidos. Al nivel de líquidos
en los recipientes le llamaremos altura )(h que se medirá en unidades de longitud.
La resistencia fluírica
Al tenerse una tubería o ducto sometida a presiones
diferentes en sus extremos se establece un flujo o gasto Q que esta en función de dichas presiones. Si la relación entre
flujo y resistencia a las presiones es lineal se cumple el siguiente modelo matemático:
Rf
PPQ 21
donde Rf es la resistencia fluírica de la restricción en el ducto. Visto de esta manera, la altura de un fluido da lugar a una diferencia de presiones que hace salir un caudal de fluido del recipiente, a dicho efecto se le opone la resistencia hidráulica propia de las tuberías u otros elementos con restricciones tales como válvulas manuales o automáticas. Para un tanque que se encuentra bajo la acción de su altura la resistencia hidráulica se define como: La variación de de altura en función de las relaciones de caudal.
21
21
hhRH
HR
ththQQ
)()( 2121
Q Caudal fluídico en (m3/seg.).)(th Altura en metros.HR Resistencia hidráulica en (seg./m2).
La capacitancia fluírica
Otro efecto en sistemas hidráulicos es el que se presenta en un tanque en cuyo fondo la presión aumenta al crecer el volumen de agua almacenado en el. El almacenamiento del líquido en un depósito es similar a la carga existente entre las placas de un condensador, puesto que la capacidad eléctrica se define como la variación de carga por unidad de tensión se puede definir a la capacitancia
hidráulica HC como la variación de volumen por unidad de carga.
Ah
hA
h
VCH
en unidades de área (m2).
Esta ecuación muestra que la capacitancia hidráulica es igual al área de la sección recta del depósito medida en el plano de la superficie del líquido. Su modelo matemático se expresa como sigue:
)(21 thdt
dCQQ H
Modelos matemáticos de sistemas térmicos
En los sistemas térmicos dos de las variables que se pueden considerar son: la temperatura y el flujo de calor. Por ello solamente se toman en cuenta dos tipos de elementos, resistencias y capacitancias térmicas.
Resistencia térmica
La ecuación para el flujo de calor a través de una resistencia térmica cuyos extremos se mantienen a diferente temperatura esta dada por:
21
1TT
RQ
T
y es la realización del flujo de calor a través de un cuerpo que tiene un calor especifico bajo.
Capacitancia térmica
Si los cuerpos son capaces de almacenar calor dando lugar a un aumento de temperatura en el cuerpo, entonces, la ley de conjunto que se relaciona con este fenómeno es:
Tdt
dMcQ p
T
dt
dCQ T
pc Es el calor específico del cuerpo. Tp CMc
Es la capacitancia térmica.T Es la temperatura absoluta.
