Modelovanje LVN sistema - vremenski domen

Poglavlje 1

Modelovanje LVN sistema uvremenskom domenu

U ovom poglavlju opisani su sljedeci modeli kontinualnih LVN sistema:

linearna diferencijalna (LD) jednacina sa konstantnim koeficijentima

dijagram blokova kao graficki model

model u prostoru stanja

model pomocu operatora prenosne funkcije H(p)

Izvedene su standardne forme modela sistema sa jednim ulazom i jednim izlazomi opisana je veza izmedju pojedinih modela.

1.1 Diferencijalna jednacina kao model LVNsistema

U modelima elemenata elektricnih kola sa jednim pristupom, pored ulaznih sig-nala x(t) i izlaznih signala y(t) koriste se i izvodi d/dt i integrali

t d pojedinih

signala. Opcenito, vecinu realnih sistema moguce je opisati pomocu diferencijalnejednacine, koja sadrzi izvode ulaznih x(t) i izlaznih y(t) signala. Kod vremenskikontinualnih sistema, kao sto su elektricna kola sa koncentrisanim parametrima,u diferencijalnoj jednacini se pojavljuju izvodi po nezavisnoj varijabli vremenu t(di/dti), odnosno model sistema je predstavljen obicnom diferencijalnom jednaci-nom. Diferencijalna jednacina je linearna ukoliko se sastoji od linearnih kombi-nacija pojedinih izvoda. Ako su multiplikacioni faktori izvoda nezavisni od vre-mena t tada model LVN sistema ima formu diferencijalne jednacine sa konstantnim

1

2 POGLAVLJE 1. MODELOVANJE LVN SISTEMAUVREMENSKOMDOMENU

koeficijentima. Opsti oblik LD jednacine za sistem sa jednim ulazom i jednim izla-zom opisan je relacijom:

ndny

dtn+ n1

dn1ydtn1

+ + 0y = m dmx

dtm+ m1

dm1xdtm1

+ + 0x (1.1)

ili skraceno:ni=0

idiy

dti=

mj=0

jdjx

dtj

gdje su x = x(t) ulazni, a y = y(t) izlazni signal.Najveci izvod izlaznog signala, odnosno indeks n sa nenultnim koeficijentom

n, odredjuje red diferencijalne jednacine i ujedno red sistema. Red sistema jevazna osobina sistema. Najveci izvod ulaznog signala x(t) je takodje vazna osobinasistema, premda nema poseban naziv. Za n>0 izlaz y(t) je implicitno odredjenjednacinom 9.1. Zbog toga iz modela diferencijalne jednacine nije jednostavnointerpretirati prenosnu karakteristiku sistema y=S{x}.

Matematicki model u obliku diferencijalne jednacine izvodi se iz algebarskihjednacina, koje opisuju interakciju izmedju signala, i diferencijalnih jednacina, kojeopisuju fizicke procese u komponentama sistema. Kod LVN sistema sve kompo-nente moraju biti LVN, a signali se moraju kombinovati tako da se ne narusavalinearnost sistema (dozvoljene operacije nad signalima u linearnim sistemima suopisane u poglavlju 2.3 u knjizi 1). U procesu formiranja matematickog modelau obliku diferencijalne jednacine, odredjuju se vrijednosti koecijenata u jednacini9.1. U ovom poglavlju predpostavlja se da je jednacina 9.1 definisana i anal-iza modela sistema se provodi bez razmatranja karakteristika elemenata sistema inacina njihovog povezivanja. Dakle, analiza modela sistema je fokusirana na anal-izu interakcije izmedju ulaznog x(t) i izlaznog y(t) signala. Na slici 9.1 prikazanje model LVN sistema ntog reda, pomocu modela LD jednacine

Slika 1.1: Model LD jednacina za LVN sistem

Radi pojednostavljenja analize, bez da se izgubi na validnosti opste teorije,moguce je usvojiti m=n, kao i da je barem jedan od koeficijenata j nenultakonstanta. Za definisani ulaz x(t) postoji nrazlicitih linearno nezavisnih rjesenja

x(t) y(t)j

jm

jji

in

ii dt

xddtyd

===

00

1.1. DIFERENCIJALNA JEDNACINA KAO MODEL LVN SISTEMA 3

y(t) jednacine 9.1. Da bi se odredilo jednoznacno rjesenje y(t) potrebno je defi-nisati n dodatnih ogranicenja za varijablu y(t). U prakticnim analizama najcescese susrece zahtjev da se odredi odziv y(t) za t 0, pri cemu vrijednosti ulaza x(t)nisu poznate za t 0. Ovaj slucaj se naziva problem sa poznatim pocetnim vri-jednostima kada se ogranicenja za varijablu y(t) definisu pomocu pocetnih vrijed-nosti varijabli y(0), y(0), y(0), . . . , yn1(0). Tada se odgovarajuca LD jednacina9.1 naziva diferencijalna jednacina sa poznatim pocetnim uslovima. Prema tome,LD jednacina sa poznatim pocetnim uslovima jednoznacno definise odziv LVNkontinualnog sistema, opisujuci za t > 0 vezu izmedju ulaznog x(t) i izlaznog y(t)signala sistema .

Dokazimo da model opisan LD jednacinom 9.1. predstavlja LVN sistem zakoji vrijede osobine linearnosti i vremenske invarijantnosti. Pri tome zanemarimouticaj pocetnih uslova odnosno usvojimo da su pocetne vrijednosti jednake 0.

Osobina linearnosti se moze dokazati uvodjenjem u jednacinu 9.1 smjena:

x(t) = ax1(t) + bx2(t)y(t) = ay1(t) + by2(t)

pri cemu je:

y1(t) = S{x1(t)}y2(t) = S{x2(t)}

Posto je operator d/dt linearan operator jednostavno se dokazuje:

y(t) = ay1(t) + by2(t) = aS{x1(t)}+ bS{x2(t)} = S{ax1(t)}+ S{bx2(t)} == S{ax1(t) + bx2(t)} = S{x(t)}

Osobina vremenske invarijantnosti izrazena relacijom S{x(t )} = y(t )jednostavno se dokazuje za sistem opisan jednacinom 9.1 substitucijom neza-visne varijable t sa novom varijablom t = t . Iz jednacine 9.1 slijedi da jeS{x(t )} = y(t ), odnosno signali y(t) i y(t) imaju isti oblik, pri cemu jesignal y(t) pomjeren u odnosu na signal y(t) za vremenski interval t = .

Dakle, svaki fizicki sistem koji se moze modelovati u vremenskom domenupomocu linearne diferencijalne jednacine sa konstantnim koeficijentima, pripadaklasi LVN sistema. Model sistema pomocu diferencijalne jednacine predstavljatipican model teorije sistema, posto predstavlja proces transformacije ulaznog sig-nala x(t) u izlazni signal y(t), bez modelovanja detalja o interakciji signala unutarsistema.

1.1.1 Osobine LD jednacine sa konstantnim koeficijentima

Teorija linearnih diferencijalnih jednacina detaljno je obradjena u kursu matem-atike. U ovom poglavlju opisuju se osobine LD jednacina, koje su vazne za njihovokoristenje kao modela LVN sistema.

4 POGLAVLJE 1 MODELOVANJE LVN SISTEMAUVREMENSKOMDOMENU

U matematici se koristi opsti oblik LD jednacine:

ni=0

idiy

dti= b(t) (1.2)

Za poznati oblik ulaznog signala x(t) oblik jednacine 1.2 direktno se izvodi izjednacine 1.1. Radi jednostavnijeg pisanja umjesto simbola izvoda y(i) = diy/dti

koristi se oparatorski oblik oznacavanja izvoda piy. Operator p definisan je relacijom:

p =d

dt(1.3)

Operator p pripada klasi linearnih operatora, i ima sljedece osobine:

p(af) = apf - homogenost diferenciranja p(f1 + f2) = pf1 + pf2 - aditivnost diferenciranja (pm + pn)f = pmf + pnf - osobina komutacije zbira [pk + (pm + pn)]f = [(pk + pm) + pn]f - osobina asocijacije zbira (pmpn)f = (pnpm)f = pn+mf - osobina komutacije proizvoda pk(pmpn)f = (pkpm)pnf - osobina asocijacije proizvoda pk(pm + pn)f = (pk+m + pk + n)f - osobina distribucije

Takodje vrijedi p0f = f , odnosno p0 = 1.

Jednacina 1.2 napisana u operatorskom obliku ima izgled:

ni=0

ipiy(t) = A(p)y(t) = b(t) (1.4)

Polinom:

A(p) = npn + n1pn1 + + 0 =ni=0

ipi

naziva se operatorski polinom. Posto je operator p linearan vrijedi:

A(p)[ay(t)] = aA(p)y(t)A(p)[y1(t) + y2(t)] = A(p)y1(t) +A(p)y2(t)

Prema tome LD jednacina ima osobine linearnosti (homogenosti i aditivnosti).

Diferencijalna jednacina koja se dobija iz jednacine 1.4 za b(t) = 0, naziva sehomogena diferencijalna jednacina i ima oblik:

A(p)y(t) = 0 (1.5)


Rjesenje homogene diferencijalne jednacine yh(t), za koje je lijeva strana jednacine1.5 jednaka nuli za svako t naziva se homogeno rjesenje. Prema tome vrijedi:

A(p)yh(t) = 0 (1.6)

Funkcija yp(t) koja kada se uvrsti u lijevu stranu jednacine 1.4 transformiselijevu stranu u funkciju b(t) naziva se partikularno rjesenje. Dakle vrijedi:

A(p)yp(t) = b(t) (1.7)

Na osnovu uvedenih pojmova (homogeno i partikularno rjesenje) i opisane oso-bine linearnosti izvode se sljedece vazne osobine LD jednacina:

ako su yh1(t) i yh2(t) homogena rjesenja jednacine 1.5, a a1 i a2 konstantne,tada vrijedi:

A(p)[a1yh1 + a2yh2] = a1A(p)yh1 + a2A(p)yh2 = 0

Ako su yh(t) homogeno, a yp(t) partikularno rjesenje LD jednacine 1.4,tada y(t)=yh(t)+yp(t) predstavlja rjesenje nehomogene LD jednacine 1.4,odnosno vrijedi:

A(p)[yh + yp] = A(p)yh +A(p)yp = 0 + b(t) = b(t)

Ako su yp1(t) i yp2(t) partikularna rjesenja jednacine 1.4 tada vrijedi:

A(p)[yp1 yp2] = A(p)yp1 A(p)yp2 = b(t) b(t) = 0

odakle slijedi:yp1(t) yp2(t) = yh(t)

Ako funkciju b(t) mozemo napisati kao linearnu kombinaciju funkcija b1(t) ib2(t), odnosno ako vrijedi:

b(t) = a1b1(t) + a2b2(t)

i ako je:

A(p)yp1(t) = b1(t)A(p)yp1(t) = b2(t)

tada je funkcija a1yp1(t)+a2yp2(t) partikularno rjesenje jednacine 1.5, postovrijedi:

A(p)[a1yp1(t)+a2yp2(t)] = a1A(p)yp1(t)+a2A(p)yp2(t) = a1b1(t)+a2b2(t) = b(t)

6POGLAVLJE 1. MODELOVANJE LVN SISTEMAUVREMENSKOMDOMENU

Opcenito, jednacina 1.4 ima beskonacno mnogo rjesenja. Da bi se odredilo je-dinstveno rjesenje potrebno je definisati dodatna ogranicenja. Ukoliko za izabranitrenutak vremena t0 (obicno t0 = 0) definisemo skup realnih brojeva a0, a1, .., an1tada postoji jedinstveno rjesenje y(t) jednacine 1.4, koje zadovoljava ogranicenja:

y(t0) = a0py(t0) = a1

= pn1y(t0) = an1 (1.8)

Kaze se da rjesenje y(t) zadovoljava pocetne uslove za t = t0, koji su definisanikonstantama ai, (i = 0, 1, 2, . . . , n1). Prema tome, za jednacinu reda n potrebnoje definisati n pocetnih uslova.

Posto je za homogenu LD jednacinu moguce odrediti n linearno nezavisnihhomogenih rjesenja yhi(t) tada za izabrano partikularno rjesenje yp(t) rjesenjey(t) jednacine 1.4 ima oblik:

y(t) = c1yh1 + c2yh2 + + cnyhn + yppri cemu y(t) mora da zadovoljava pocetne uslove 1.8.

1.1.2 Rjesenja homogene diferencijalne jednacine

Za homogenu diferencijalnu jednacinu:

A(p)yh(t) = 0

za yh(t) = est vrijedi:A(p)est = A(s)est = 0 (1.9)

Jednacina 1.9 je zadovoljena za:

A(s) = 0 (1.10)

Jednacina 1.10 se naziva karakteristicna jednacina, a njena rjesenja karakteristicnikorijeni. Zavisno od prirode karakteristicnih korijena, homogeno rjesenje yh(t)dobijamo prema sljedecoj proceduri:

Ako su karakteristicni korijeni s1, s2, . . . , sn razliciti tada homogeno rjesenjeima oblik:

yh(t) = c1es1t + c2es2t + + cnesntKoeficijenti ci se odredjuju iz pocetnih uslova.

Ako karakteristicna jednacina ima m razlicitih korijena s1, s2, . . . , sm za(m < n) i ako su visestrukosti ovih korijena k1, k2, . . . , km, tako da vrijedi:

k1 + k2 + + km = n


homogeno rjesenje ima oblik:

yh(t) = p1(t)es1t + p2(t)es2t + + pm(t)esmt

gdje su pi(t), (i = 1, 2, . . . ,m) polinomi varijable t stepena k11, k21, . . . ,km1 respektivno. Odgovarajuci koeficijenti polinoma pi(t) odredjuju se izpocetnih uslova.

Ako su korijeni karakteristicne jednacine par konjugovano-kompleksnih bro-jeva:

s1 = 1 + j1s2 = 1 j1

tada je pogodnije umjesto kompleksnog oblika homogenih rjesenja:

es1t = e(1+j1)t = e1tej1t

es2t = e(1j1)t = e1tej1t

koristiti trigonometrijski oblik homogenih rjesenja:

e1t cos1t i e1t sin1t

1.1.3 Partikularna rjesenja diferencijalne jednacine

Partikularno rjesenje yp(t) LD jednacine:

A(p)y(t) = b(t)

ima oblik koji zavisi od oblika funkcije b(t). Za uobicajene oblike funkcije b(t)partikularno rjesenje odredjujemo prema sljedecoj proceduri:

Za b(t) = et odnosno za jednacinu:

A(p)y(t) = et (1.11)

moguca su dva slucaja:

1. Ako nije karakteristicni korijen, odnosno za A() 6= 0 partikularnorjesenje ima oblik:

yp(t) =1

A()et

sto se jednostavno dokazuje uvrstavanjem yp(t) u jednacinu 1.11:

A(p)[1

A()et] =

1A()

A(p)et =A()A()

et = et


2. Ako je karakteristicni korijen visestrukosti k, odnosno ako jeA() = 0,partikularno rjesenje ima oblik:

yp(t) = p(t)et

gdje je p(t) odgovarajuci polinom od t reda k. Koeficijenti polinomap(t) odredjuju se substitucijom yp(t) u jednacinu 1.11, izjednacavanjemodgovarajucih clanova sa lijeve i desne strane jednacine.

Za b(t)=B cos(t+ ) odnosno za jednacinu:

A(p)y(t) = B cos(t+ ) (1.12)

partikularno rjesenje odredjujemo prema sljedecoj proceduri:

1. Ako j nije karakteristicni korijen, odnosno zaA(j) 6= 0, kada mozemopisati:

A(j) = |A(j)|ej

partikularno rjesenje ima oblik:

yp(t) =B

|A(j)| cos(t+ ) = c1 cost+ c2 sint

2. Ako je j karakteristicni korijen visestrukosti k, odnosno ako jeA(j)=0partikularno rjesenje ima oblik:

yp(t) = p1(t) cost+ p2(t) sint

gdje su p1(t) i p2(t) odgovarajuci polinom od t reda k. Koeficijenti poli-noma p1(t) i p2(t) odredjuju se substitucijom yp(t) u jednacinu 1.12, iz-jednacavanjem odgovarajucih clanova sa lijeve i desne strane jednacine.

Ukoliko u jednacini:A(p)y(t) = f(t) (1.13)

funkcija f(t) predstavlja polinom od p(t) reda k i ukoliko vrijedi:

1. A(0) 6= 0 partikularno rjesenje ima oblik:

yp(t) = p(t)

gdje polinom p(t) ima red k.

2. A(0) = 0, odnosno ako je s = 0, karakteristicni korijen visestrukosti m,partikularno rjesenje ima oblik:

yp(t) = tmp(t)

1.2. DIJAGRAM BLOKOVA KAO MODEL LVN SISTEMA 9

1.2 Dijagram blokova kao model LVN sistema

Dijagram blokova kao model LVN sistema daje vise informacija o strukturi sis-tema, jer pored vanjskih signala (ulaznog x(t) i izlaznog y(t)) prikazuje interakcijuizmedju tvz. unutrasnjih signala. Unutrasnji signali, koji se oznacavaju sa z(t)opisuju procese unutar i izmedju komponenti sistema. Kod elektricnih kola, kodkojih je poznata struktura, unutrasnje varijable se obicno definisu tako da pred-stavljaju unutrasnja energetska stanja, odnosno da jednoznacno odredjuju energijekoje su akumulirane u dinamickim elementima. Detaljna analiza modelovanja irjesavanja odziva RLC elektricnih kola u vremenskom domenu obradjena je upoglavljima 10-12.

Radi pojednostavljenja izvodjenja modela dijagrama blokova, bez da se izgubina validnosti opste teorije, moze se usvojiti m=n u jednacini 1.1, kao i pret-postavka da je barem jedan od koeficijenata j 6= 0.

Ukoliko je model sistema definisan diferencijalnom jednacinom oblika 1.1 mogu-ce je izabrati vise skupova unutrasnjih varijabli zi(t) (i = 1, 2, . . .). To znaci dapostoji vise oblika dijagrama blokova, kojima se moze modelovati sistem opisan LDjednacinom. U ovom poglavlju opisane su neke standardne strukture dijagramablokova, koje su pogodne za analizu karakteristika sistema.

1.2.1 Direktna forma I

Direktna forma I dijagrama blokova se izvodi integrirajuci jednacinu 1.1 nputa.Uvodjenjem konstantni:

ai = nibj = nj

i oznacavajuci operatorom(i)

da je integral t, iputa uradjen, odnosno da

vrijedi: (i)

ydt = t

[ i

[ 2

y(1)d1] ]di

integraljenjem jednacinu 1.1 nputa dobijamo:ni=0

ai

(i)

ydt =nj=0

bj

(j)

xdt (1.14)

Izdvajanjem signala odziva y(t) =(0)

y(t)dt i preuredjivanjem gornjeg izraza do-bija se sljedeca relacija:

y =1a0

nj=0

bj

(j)

xdtni=0

ai

(i)

ydt

(1.15)Na osnovu jednacine 1.15 jednostavno se formira dijagram blokova u direktnojformi I, koji je prikazan na slici 1.2.

10POGLAVLJE 1 . MODELOVANJE LVN SISTEMAUVREMENSKOMDOMENU

Slika 1.2: Model dijagram blokova LVN sistema - direktna forma I

Dijagram blokova predstavlja model LVN sistema u kome je prenosna karak-teristika y(t)=S{x(t)} eksplicitno definisana. Operacije nad jednim signalomprikazane su u pravougaonim blokovima. U kruznim blokovima se prikazuju ope-racije sumiranja dva i vise signala. Strelice na dijagramu oznacavaju pravacprenosa signala izmedju elemenata (procesa) unutar sistema. Kao sto je vecnaznaceno mnozenje signala sa konstantom i integralenje signala ne mijenjajukarakteristike LVN sistema. U direktnoj formi I koecifijenti diferencijalne jednacine1.1 i i i (odnosno izvedeni koeficijenti ai i bj) pojavljuju se u blok dijagramukao multiplikatori signala.

Uocimo da se u dijagramu blokova koristi operator integralenja, a u diferencijal-noj jednacini operator diferenciranja. Premda su ovi modeli LVN sistema identicni,koristenje modela sa operatorom integralenja ima prednost ukoliko se zeli reali-zovati fizicki sistem, koji ima karaketristiku definisanu modelom. Naime, modeldijagrama blokova je robustniji za realizaciju fizickih sistema, posto operacija inte-gralenja prigusuje nepozeljni uticaj brzo-promjenljivih komponenti signala, koje suposljedica pojave vanjskih smetnji (suma).

U elektricnim kolima unutrasnje varijable stanja su naponi na kondenzatorimavc(t), kao izlaz iz funkcije integralenja:

vC(t) =1C

t

iC()d =1C

0

iC()d +1C

t0

iC()d

= vC(0) +1C

t0

iC()d

i struje zavojnica iL(t), kao izlazi iz integratora:

iL(t) =1L

t

vL()d =1L

0

vL()d +1L

t0

vL()d

b0

b1

b2

bN-1

bN

1/a0

-a1

-a2

-aN-1

-an

x(t) y(t)


= iL(0) +1L

t0

vL()d

Uocimo da operator integralenja sadrzi informaciju o pocetnim vrijednostima unu-trasnjih varijabli zi(t).

1.2.2 Direktna forma II

Nedostatak forme I je potreba za koristenjem 2n integratora pri modelovanju.Struktura dijagrama blokova, koja se izvodi iz forme I, a koja koristi nintegratora,naziva se direktna forma II. Pri izvodjenju ove forme koriste se osobine LVN sis-tema opisane u sekciji 2.3. U dijagramu blokova na slici 1.2 moguce je zamjenitiredosljed operacija nad signalom x(t), zamjenom kaskadnih blokova u formi I, ada se pri tome ne promjeni funkcija sistema S{x}=y. Na slici 1.3 prikazana jeovako transformisana struktura direktne forme I.

Slika 1.3: Transformacija strukture direktne forme I

Posto su ulazi u integratore u obje kaskade identicni za < t, onda su injihovi izlazi identicni. Znaci da svi integratori rade u paraleli, tako da je moguceobjediniti odgovarajuce integratore. Na taj nacin formira se struktura direktneforme II, koja sadrzi nintegratora. Struktura direktne forme II prikazana je naslici 1.4.

Kao i kod forme I i kod forme II multiplikatori su jednaki odgovarajucim koe-ficijentima diferencijalne jednacine.

Dokazimo da forma II odgovara diferencijalnoj jednacini 1.1. Uvedimo novevarijable zi, (= 1, 2, . . . , n), koje predstavljaju izlaze iz integratora. Varijable zi(t)predstavljaju unutrasnje stanje sistema i zato se nazivaju unutrasnje varijable.Vanjske i unutrasnje varijable su povezane procesima u sistemu, odnosno opcenitovrijedi S{x, z} = y. Varijabla z0(t) je uvedena radi jednostavnijeg dokazivanja

y(t)

-a2

x(t) 1/a0

-a1

-aN-1

-an

b0

b1

b2

bN-1

bN


Slika 1.4: Model dijagram blokova LVN sistema - direktna forma II

ekvivalencije forme II i diferencijalne jednacine stanja, premda ne predstavlja unu-trasnju varijablu stanja.

Sa dijagrama blokova prikazanog na slici 1.4 slijedi:

x =ni=0

aizi

y =ni=0

bizi

pri cemu je:

z0 =1a0

[x

ni=1

aizi

]Varijable stanja zi su jednake itom integralu varijable z0, odnosno vrijedi:

zi =(i)

{z0}

Uvrstavajuci izraze za x(t) i y(t) u jednacinu 1.1 dobijamo:

ni=0

ai

(i)

ydt =ni=0

ai

(i)

nj=0

bjzjdt

=ni=0

nj=0

aibj

(i)

zjdt

odnosno:ni=0

ai

(i)

ydt =ni=0

nj=0

aibj

(i+j)

z0dt

1/a0

a1

a2

aN

b0

b1

b2

bN

x(t) + z0 +++ +

__

_

y(t)


Zamjenom operacija sumiranja i integriranja i uvazavajuci:(i+j)

z0dt =(j)

zidt

slijedi:

ni=0

ai

(i)

ydt =ni=0

nj=0

aibj

(j)

zidt =nj=0

bj

(j)

[ni=0

aizi

]dt

Posljednja suma u prethodnom izrazu predstavlja signal x(t), cime smo dokazalida je relacija 1.1 zadovoljena, odnosno da su modeli dijagram blokova forma IIi odgovarajuca diferencijalna jednacina identicni. Blok dijagrami koji sadrze nintegratora, odnosno n unutrasnjih varijabli zi, (i = 1, 2, . . . , n), imaju kanonskuformu.

1.2.3 Direktna forma III

Direktna forma III se izvodi uvodjenjem novih unutrasnjih varijabli zi, (i = 1, 2, . . . , n),prema sljedecem postupku:

preuredjenje diferencijalne jednacine uvodjenje novih unutrasnjih varijabli integracija po unutrasnjim varijablama

U nastavku je opisani ovaj postupak definisanja novih unutrasnjih varijabli zi.Prebacivanjem svih izvoda u jednacini 1.1 na lijevu stranu, uvedimo novu var-

ijablu pzn:

pzn =ni=1

ipiy

nj=1

jpjx = 0x 0y

Integralenjem gornje jednacina slijedi:

zn =n1i=0

i+1piy

n1j=0

j+1pjx

Ovaj postupak se ponavlja, tako da se sukcesivno definisu unutrasnje varijablezni, (i = 1, 2, . . . , n 1). Posljednji nti korak opisanog procesa koristi se zadefinisanje varijable z1 integralenjem jednacine:

pz1 = npy npx = z2 + n1x n1y

odakle, nakon integralenja, slijedi:

z1 = ny nx


Uvodjenjem novih koeficijenata ai = ni i bj = nj , opisani proces transforma-cije diferencijalne jednacine ntog reda u sistem n diferencijalnih jednacina prvogreda, izrazen je sljedecim relacijama:

y =1a0[z1 + b0x]

pz1 = z2 + b1x a1ypz2 = z3 + b2x a2y

pzn1 = zn + bn1x an1ypzn = bnx any

Odgovarajuci blok dijagram u obliku direktne forme III prikazan je na slici 1.5.

Slika 1.5: Model dijagram blokova LVN sistema - direktna forma III

Dijagram blokova u direktnoj formi III moze se graficki konstruisati iz direktneforme II tako da se:

Zamijene signali x(t) i y(t) Promijeni smjer strelica na dijagramu formi II Zamijene pozicije operatora sumiranja i cvorova grananja signala

1.3 Model LVN sistema u prostoru stanja

U blok dijagramima u poglavlju 1.2 unutrasnje varijable zi, kao izlazi iz integratora,opisuju unutrasnje procese ili stanje sistemu. Opcenito, varijable stanja zi nemoraju imati fizicko znacenje, odnosno ne moraju biti stvarni fizicki signali.

b0 1/a0

b1 a1

b2 a2

bN aN

x(t) y(t)z1

1z&

z2

2z&

zN

Nz&

1.3. MODEL LVN SISTEMA U PROSTORU STANJA 15

Stanje sistema je vazan koncept u teoriji sistema. U energetskim sistemima, kaosto su elektricna kola, stanje sistema definise unutrasnje energetsko stanje, odnosnoraspodjelu energije (elektromagnetskog polja) unutar i izmedju komponenti kola.Za razliku od modela diferencijalne jednacine, forma dijagrama blokova omogucavada se uvodjenjem unutrasnjih varijabli stanja zi, graficki prikazu procesi unutar sis-tema, a time i karakteristike sistema. Vektor varijabli stanja z = [z1, z2, . . . , zn]T ,definise polozaj stanja sistema u n-dimenzionom prostoru stanja, gdje su varijablestanja prostorne koordinate. Da bi vektor stanja z jednoznacno odredjivao stanjesistema za interval t0. Vrijednosti varijable z(t0) nazivaju se pocetne vrijednosti. Pocetnevrijednosti odrazavaju uticaj promjene stanja sistema za t < t0 na vrijednost vek-tora z(t), odnosno one jednoznacno opisuju uticaj istorije sistema. Jasno je daovu osobinu imaju izlazi iz integratora kontinualnih varijabli. U modelima elek-tricnih kola integratori predstavljaju dinamicke elemente, koji imaju sposobnostakumuliranja energiju. Zato se kao varijable stanja elektricnih kola najcesce birajustruje (ili fluksevi) zavojnica i naponi (ili naelektrisanja) kondenzatora. U ovomslucaju varijable stanja imaju fizicko znacenje.

Model LVN sistema u prostoru stanja predstavlja standardizovanu formu mo-dela sistema, zasnovanu na konceptu prostora stanja. Iz procesa izvodjenja di-rektne forme III modela dijagrama blokova jasno je da matematicki opis sistemau prostoru stanja predstavlja sistem obicnih diferencijalnih jednacina prvog reda.Za svaku od nvarijabli stanja zi pise se jedna diferencijalna jednacina. Odzivsistema je predstavljen kombinacijom varijabli stanja i ulaznog signala. Matricnaforma jednacina u prostoru stanja, za sistem sa jednim ulazom i jednim izlazom,ima oblik:

pz = Az+Bxy = Cz+Dx (1.16)

gdje je z = [z1, z2, . . . , zn]T vektor kolona varijabli stanja. Za sistem sa jednimulazom i jednim izlazom, kao sto su sistemi obradjeni u poglavlju 1.2, matricekonstantnih koeficijenata u jednacina stanja 1.16 su:

A - kvadratna matrica dimenzija [n n], koja se naziva matrica sistema ikoja opisuje uticaj vektora stanja z na promjenu stanja pz

B - vektor kolona dimenzija [n 1], koji opisuje uticaj pobude x na vektorstanja z

C - vektor red dimenzija [1n], koji opisuje uticaj vektora stanja z na odzivsistema y

D -konstanta koja opisuje direktni uticaj pobude x na odziv y


Jednacina stanja za dijagram blokova u formi II, koji je prikazan na slici 1.3, izvodise opisujuci procese u integratorima:

pzi = zi1, za i = 1, 2, . . . , n

Tada je matricni oblik jednacine stanja:pz1pz2pz3pz4pz5

=a1a0 a2a0 . . .

an1a0

ana01 0 . . . 0 00 1 . . . 0 0...

.... . .

......

0 0 . . . 1 0

z1z2z3...z4

+1a0

10...00

xPregledom dijagrama blokova sa slike 1.3 izlazna jednacina se moze direktno

napisati i ima oblik:

y =[b1 b0a0 a1 bn b0a0 an

] z1 zn

+ b0a0x

Konacno, posto dijagram blokova u formi II sematski predstavlja diferencijalnujednacinu ntog reda, moguce je koeficijente matrica A,B,C i D izraziti direktnopreko koeficijenata u diferencijalnoj jednacini. Uvazavajuci zamjene koeficijenataai = ni i bi = ni, koje su uvedene prilikom izvodjenja forme II, reorganizujuciredosljed varijabli stanja uvodjenjem novih varijabli:

wi = zni+1

dobija se specijalni oblik jednacina u prostoru stanja:

pw = Aw +Bxy = Cw +Dx

gdje su:

A =

0 1 . . . 0 0...

.... . .

......

0 0 . . . 1 00 0 . . . 0 1

a0an a1an . . . an2an

an1an

B =1an

0...01

C =

[b0 bnan a0 bn1 bnan an1

]D =

bnan

(1.17)

1.3. MODEL LVN SISTEMA U PROSTORU STANJA 17

Dakle, vrijednosti elemenata matrica A,B,C i D u izrazima 1.17 mogu sedirektno izracunati iz koeficijenata odgovarajuce diferencijalne jednacine. Oblikmatrice sistema A za direktnu formu II, izrazen relacijom 1.17, predstavlja speci-jalni oblik i naziva se Frobenius-ova matrica.

1.3.1 Ekvivalentni modeli u prostoru stanja

Jednacine 1.17 opisuju jednu od mogucih struktura blok dijagrama, direktnu formuII. Drugi oblici struktura, koje opisuju proces transformacije ulaza x u izlaz y,izvode se izborom drugih vektora stanja z. Proces transformacije vektora stanjaz u novi vektor stanja z, opisuju se pomocu kvadratne matrice transformacije T,dimenzija [n n], relacijom:

z = Tz (1.18)

Matrica T mora biti nesingularna matrica, tako da postoji njena inverzija T1.Jednacine stanja, izrazene preko novih varijabli z, tada imaju oblik:

pz = Az+ Bxy = Cz+ Dx (1.19)

gdje su:

A = T1ATB = T1BC = CTD = D

Iz linearne algebre je poznato da mnozenje vektora sa konstantnom nesingu-larnom matricom T, dimenzija [n n], predstavlja linearnu operaciju. Prematome, jednacine stanja opisane relacijama 1.19 ekvivalentne su sa polaznom dife-rencijalnom jednacinom. Znaci da je nizom transformacija vektora stanja mogucedefinisati proizvoljan broj oblika jednacina stanja, kao modela LVN sistema u pros-toru stanja. Linearne transformacije vektora stanja cesto se koriste u analizamasistema i projektovanju sistema upravljanja.

1.3.2 Modeli paralelnih struktura u prostoru stanja

Neki modeli u prostoru stanja imaju specijalne osobine koje se koriste u analiziLVN sistema. Od posebnog interesa je model koji se dobija koristenjem matricetransformacije T, koja predstavlja modalnu matricu matrice A. Za ovaj slucajtransformisana matrica A = T1AT ima formu dijagonalne matrice. Odgo-varajuca struktura dijagrama blokova, koja je za sistem sa jednim ulazom i jednimizlazom prikazana na slici 1.6 ima paralelnu formu i predstavlja vaznu strukturu uanalizi LVN sistema. U sistemu predstavljenom na slici 1.6 nema direktnog uticajapobude x na odziv y, odnosno D = 0, i sve svojstvene vrijednosti i matrice A surealne i razlicite.


Slika 1.6: Paralelna struktura dijagrama blokova

Za sistem, ciji je dijagram prikazan na slici 1.6, matrica A je dijagonalnamatrica sa realnim vrijednostima i, (i = 1, 2, . . . , n) na dijagonali. Sa dija-grama blokova se vidi da jedino varijabla stanja zi utice na promjenu stanja pzipreko povratne sprege sa konstantom i. Detaljnija analiza strukture LVN sis-tema sa vise ulaza i vise izlaza i sistema sa visestrukim realnim i/ili kompleksno-konjugovanim svojstvenim vrijednostima obradjuje se u kursevima na visim godi-nama studija.

1.4 Model LVN sisteme pomocu operatora prenosnefunkcije H(p)

U poglavlju 1.2 uveden je pojam operatora p i definisane su njegove osobine. U ovojsekciji opisan je postupak izvodjenja operatora prenosne funkcije H(p), koji pred-stavlja alternativnu formu predstavljanja LVN sistema sa modelom LD jednacine.Koncept operatora prenosne funkcije prikazan je na slici 1.7.

Za LVN sistem opisan diferencijalnom jednacinom:

ni=0

idiy

dti=

mj=0

jdjx

dtj(1.20)

operator prenosne funkcije H(p) jednostavno izvodimo zamjenom operatora d/dtoperatorom p u jednacini 1.1:

ni=0

ipiy =

mj=0

jpjx

1b

1

N

Nb

1z& 1z

Nz& Nz

1c

Nc

(t) y(t)

1.4. MODEL LVN SISTEME POMOCU OPERATORA PRENOSNE FUNKCIJEH(P )19

Slika 1.7: Model LVN sistema pomocu operatora prenosne funkcije H(p)

Ukoliko uvedemo nove oznake ai = i i bj = j relaciju mozemo pisati u obliku:

A(p)y(t) = B(p)x(t)

gdje su:

A(p) =ni=0

aipi

B(p) =mj=0

bjpj

polinomi operatora p. Tada se operator prenosne funkcije H(p) definise relacijom:

H(p) =y

x=

B(p)A(p)

=bmp

m + + b1p+ b0anpn + + a1p+ a0 (1.21)

Operator H(p) odredjuje operacije koje treba izvrsiti nad ulaznim x(t) i izlaznimy(t) signalima, sto se simbolicki oznacava izrazom:

H(p) x(t) = y(t) (1.22)

Osnovna primjena koncepta operatora H(p) je u procesu jednostavnijeg odredji-vanja koeficijenata LD jednacine za LVN sistem, cija su struktura i karakteristikeelemenata poznati. Tipican primjer ovakve primjene operatora H(p) predstavljajaizvodjenje LD jednacine za elektricna kola.

Diferencijalne jednacine, koje opisuju karakteristike dinamickih elemenata kola,napisane pomocu operatora p, imaju oblik:

za kondenzator: i = Cdv/dt = Cpv, uz v(0) = v0 za zavojnicu: v = Ldi/dt = Lpi, uz i(0) = i0

H(p)x(t) y(t)


Primjetimo da diferencijalna jednacina napisana pomocu operatora p ne daje in-formaciju o pocetnim vrijednostima varijabli stanja v0 i i0. Kada su karakter-istike definisane pomocu integrala

t f()d , tada umjesto operatora integrala

mozemo koristiti operator 1/p, koji se definise kao inverzan operator sa operatoromp prema relacijama:

1p(pf) = p

(1pf

)= f

odakle slijedi:1pf =

t

f()d

uz pretpostavku da je f(t) = 0 za t < 0, operator 1/p definisemo relacijom:

1pf =

t0

f()d (1.23)

Operator 1/p ima iste osobine kao i operator p. Primjetimo da ovako definisanoperator 1/p takodje ne sadrzi informacije o pocetnim vrijednostima funkcije f0.Pomocu operatora 1/p mozemo napisati jednacine stanja dinamickih elemenatakola, za nulte pocetne vrijednosti varijabli stanja, relacijama:

v = 1C t0i()d = i/Cp, uz v(0) = 0 - za kondenzator

i = 1L t0v()d = v/Lp, uz i(0) = 0 - za zavojnicu.

1.4.1 Generalizovana impedansa Z(p)

Koncept generalizovane impedanse Z(p) operatora p definisacemo na primjeruelektricnih kola, za slucaj nultih pocetnih stanja dinamickih elemenata. Na slici1.8 prikazani su modeli elemenata kola, opisani pomocu integro-diferencijalnihjednacina, pomocu operatora p i 1/p kao i u formi dijagrama blokova.

Generalizovana impedansa Z(p) operatora p za elemente prikazane na slici 1.8ima oblik:

ZR(p) = R - za otpornik ZC(p) = 1/Cp - za kondenzator ZL(p) = Lp - za zavojnicu [Z(p)] = [L] p - za spregnute zavojnice

U opstem slucaju generalizovana impedansa Z(p) definise jednacinu stanja:

v(t) = Z(p)i(t) (1.24)

Inverzna vrijednost generalizovane impedanse se naziva generalizovana admitansai za elemente kola ima vrijednost:

1.4. MODEL LVN SISTEME POMOCU OPERATORA PRENOSNE FUNKCIJEH(P )21

Slika 1.8: Modeli elemenata kola: integro-diferencijalne jednacine, operatorskimodeli Z(p) i Y (p) i dijagrami blokova

YR(p) = 1/R - za otpornik YC(p) = Cp - za kondenzator YL(p) = 1/Lp - za zavojnicu [Y(p)] = [L]1 /p - za spregnute zavojnice

Opcenito vrijedi Y (p) = Z(p)1 odnosno:

i(t) = Y (p)v(t) (1.25)

Zbog osobine linearnosti operatora p za genaralizovane imitanse (impedansa iadmitansa) vrijedi relacije koje opisuju njihove veze:

Ze(p) = Z1(p) + Z2(p) za rednu vezu impedansi Z1(p) i Z2(p) Ye(p) = Y1(p) + Y2(p) za paralelnu vezu impedansi Z1(p) i Z2(p)

Prema tome, metode rjesavanja kola, koje su izvedene u poglavlju 7. u prvoj knjizi,vrijede i za kolo u kome su elementi kola modelovani pomocu generalizovanihimitansi. Koncept generalizovane impedanse se koristi da bi se na jednostavannacin definisala diferencijalna jednacina stanja kola za t > 0, koristeci zakone imetode rjesavanja kola koji se primjenjuju na kola sa generalizovanim imitansama.Primjena ovog koncepta pri rjesavanju kola detaljnije je obradjena u poglavlju 4.

1.4.2 Operator prenosne funkcije H(p)

Generalizovana impedansa predstavlja specijalni slucaj operatora prenosne fun-kcije H(p). Zavisno od karaktera ulaznog signala x(t) i izlaznog signala y(t) fun-kcija H(p) ima sljedece znacenje:

+

_

)(tvc

dtdvCi cc = cpc vCi =

=t

cc diCv )(1 c

pc iCv 1=

pC1c i cv

)(tic

dtdiLv LL = LPL iLv =

=Tz

LL dvLi )(1 L

PL vLi 1=

pL1

Lv Li

+

_

)(tiL

)(tvL


Ako je izlazni signal y(t) poprecna varijabla, a ulazni signal x(t) poduznavarijabla sistema, tada H(p) ima karakter generalizovane impedanse Z(p)

Ako je izlazni signal poduzna varijabla, a ulazni signal poprecna varijablasistema, tada H(p) ima karakter generalizovane admitanse Y (p)

Ako su ulazni i izlazni signali odgovarajuca poprecna i poduzna varijablajednog pristupa tada se H(p) naziva sopstvena ili ulazna imitansa pristupa.

Ako ulazni i izlazni signali imaju razlicite karaktere, odnosno ako je jedansignal poduzna a drugi poprecna varijabla i ako pripadaju razlicitim pris-tupima tada se H(p) naziva prenosna imitansa.

Ako su oba signala istog karaktera i pripadaju razlicitim pristupima tadase H(p) naziva prenosna funkcija. Za elektricna kola mogu se definisatiprenosne funkcije za struje i napona.

1.5 Karakteristike modela LVN sistema

U prethodnim poglavljima definisani su razliciti modeli LVN sistema u vremen-skom domenu: diferencijalna jednacina, dijagram blokova, model u prostoru stanja,i operator prenosne funkcije, koji su prikazani na slici 1.9. U ovom poglavlju sis-tematizovane su karakteristike pojedinih modela i opisane su veze izmedju njih.

Slika 1.9: Modeli LVN u vremenskom domenu

Osnovni model fizickog sistema predstavlja sematski prikaz strukture sistema.Karakteristican primjer osnovnog modela je elektricno kolo. Iz osnovnog mo-dela moze se direktno izvesti model diferencijalne jednacine i model u prostorustanja. Postupak direktnog definisanja ovih modela za elektricna kola opisan je upoglavljima 2-5. Model dijagrama blokova se obicno ne izvodi direktno.

diferencijalna jednaina

direktna forma I

dijagram blokova

kanonske forme

direktna forma II

direktna forma III

paralelna forma

ema kola

model u prostoru

stanja

dijagonalna matrica A

Frobeniusova matrica AT

Frobeniusova matrica A

1.5. KARAKTERISTIKE MODELA LVN SISTEMA 23

Model LD jednacine samo opisuje prenosnu karakteristiku izmedju ulaznogx(t) i izlaznog y(t) signala. Model ne daje informacije o karakteru procesa unutarsistema. Iz modela LD jednacine mogu se izvesti graficki modeli dijagrama blokova.Za klase dijagrama za koje se koeficijenti u blokovima mogu direktno izracunatiiz koeficijenata LD jednacine kazemo da imaju direktnu formu. Forme dijagramakoje za modelovanje LVN sistema ntog reda koriste n integratora nazivaju sekanonske forme. Za razliku od modela LD jednacine, model dijagrama blokovasadrzi informacije o procesima unutar sistema, koji se modeluju pomocu untrasnjihvarijabli z(t). Izbor unutrasnjih varijabli je proizvoljan.

Model u prostoru stanja je direktno povezan sa kanonskim formama dijagramablokova. Ovi modeli sadrze minimalan broj varijabli stanja. Za takve modeleje moguce direktno odrediti elemente matrice sistema A iz koeficijenata u di-jagramima blokova. Za modele koji odgovaraju direktnim formama dijagramnablokova moguce je elemente matrice A definisati iz koeficijenata LD jednacine.Za odgovarajuce modele u prostoru stanja, koji su korespodentni sa direktnomformom I i II, matrica A se naziva Forbeniusova matrica, odnosno transponovanaForbeniusova matrica. Ove matrice sadrze koeficijente iz LD jednacine u ntomredu i ntoj koloni, a svi ostali koeficijenti su jednaki 1 ili 0. Posebno vaznu formupredstavlja model u prostoru stanja za koji je matrica A dijagonalna matrica. Zaovaj model odgovarajuci dijagram blokova ima paralelnu strukturu. Prednost pa-ralelne strukture je u jasnoci predstavljanja veza izmedju signala sistema: ulaznogx(t), unutrasnjih z(t) i izlaznog y(t). Za svaki model u prostoru stanja, kod kogaje matrica A nesingularna, nedijagonalna matrica koja ima razlicite i realne svoj-stvene vrijednosti, moguce je definisati model sa dijagonalnom matricom sistemaA, primjenom linearne transformacije. Pri tome je matrica transformacije T jed-naka modalnoj matrici matrice A.

Documents

Modelovanje LVN sistema - vremenski domen