Modern Fizik 5

Moleküller ve Katılar

Moleküler Bağlar

Kararlı bir molekülün toplam enerjisi ayrık haldeki atomların toplam enerjisinden daha küçüktür.Çok büyük uzaklıklarda etki olan kuvvetler çekici, küçük uzaklıklarda yükler arasında olduğu gibi itici kuvvetler baskın olmaya başlar.

İtici

çekici

r çekirdekler arası uzaklıkA ve B çekici ve itici kuvvetlerle ilgili sabitler,n ve m sabitler

İyonik Bağ;• Bir atom diğer bir atoma bir veya daha fazla dış elektronunu vererek

birleştiğinde kurulan bağa iyonik bağ denir. Zıt yüklü iyonlar arasındaki çekici Coulomb etkileşmesinden dolayı meydana gelir.

• Örnek NaCl,

• Sodyum atomundan Na+ iyonu oluşturmak için gerekli olan enerji 5,1 eV dur.

• Cl- iyonu Cl atomundan daha kararlıdır.

• Bir atomun, bir elektron aldığında saldığı enerji elektron ilgisi olarak adlandırılır. Klor için elektron ilgisi 3,6 eV dur.

• 5,1eV-3,6eV=1,5 eV enerji verilmelidir.

Na+ ve Cl- iyonları için çekirdekler arası uzaklığa göre toplam enerji NaClmolekülünü, yüksüz Na ve Cl atomlarına ayırmak için gerekli enerji 4,2eV dur.

Kovalent Bağ• Bir molekülü oluşturmak üzere bir atom

veya her iki atomun elektronlarının ortaklaşa kullanılması olarak düşünülebilir. H2, F2, CO gibi pekçok iki atomlu molekül kovalent bağ yapar.

• H2O, CO2 ve CH4 gibi daha karmaşık yapılarda kovalent bağ yapar.

Van der Waals Bağlanma

İki molekül belirli bir uzaklıkta birbirini zayıf elektrostatik kuvvet ile çekerler bunlara van der waals kuvvetleri denir.

Üç tür van der waals kuvveti vardır.1- dipol dipol kuvveti; sürekli elektrik dipole sahip iki molekül arasındaki etkileşmedir. Örneğin H2O gibi kutuplu molekül diğer molekülleri çeker.2- dipol- indüklenmiş dipol kuvvetidir. Sürekli dipol momente sahip kutuplu molekül, kutuplu olmayan molekülde bir dipol moment indükler.3. Dispersiyon kuvvetidir, iki tane kutuplu olmayan molekül arasında meydana gelen dağınım kuvveti çekici bir kuvvettir. Kutuplu olmayan moleküllerin dipolmomentleri ortalaması sıfır olmasına rağmen, yük dalgalanmaları nedeniyle karelerinin ortalamaları sıfırdan farklıdır. Bu şekilde etkileşmeye meğilimli olurlar.

Hidrojen Bağı

• H atomunun bir e olması nedeniyle, başka bir atomla kovalent bağ yapması beklenir.

• İki ametal atomu bir araya geldiklerinde bağ elektronları eşit şekilde paylaşılmaz. Elektronegatiflik değeri daha büyük olan atom bağ elektronlarını kendine doğru daha fazla çeker.

• Bu çekimin sonucunda kendisi kısmi negatif yüklü hale gelirken diğer atom kısmi pozitif yüklü olur. İyonik bağda olduğu gibi elektron tam olarak bir atomdan diğer atoma geçmez.

• Hidrojen atomu, elektronları kuvvetli çeken N, O ve F atomları ile bağ oluşturduğunda, elektronunu büyük ölçüde yitirir ve kısmi pozitif yük kazanır. Bu yük nedeniyle hidrojen, komşu moleküllerin eksi ucuyla moleküller arası bir bağ oluşturur. Bu bağa hidrojen bağı denir.

• Su molekülünde bağlar kovalent ,

• Fakat buzdaki su molekülleri arasında Hidrojen bağları zayıf olduğundan 0oC de erir. H bağı 0,1 eV civarında bağlanma enerjisine sahiptir.

• Hidrojen bağı zayıf olmasına rağmen çok büyük biyolojik moleküllerin ve polimerlerin bağlanmasının temelini oluşturur.

• Çift helis şeklinde bir yapıya sahip DNA molekülü, iki atom arasında protonun paylaşımı ile kurulan hidrojen bağı helis kıvrımlar arasında zincir oluşturur.

Moleküllerin Enerji Spektrumları

• Gaz fazında bir molekülü ele alalım. Bu molekülün enerjisi,

• 1- Elektronik enerji; Molekülün elektronları ve çekirdeği arasındaki etkileşimler

• 2-Ötelenme Enerjisi;Molekülün kütle merkezinin uzayda hareket etmesinden iç yapı ile ilgili değildir. ( Moleküler Spektroskopide önemsizdir)

• 3- Dönme Enerjisi; Molekülün kütle merkezi etrafında dönmesi

• 4- Titreşim Enerjisi; Molekülü meydana getiren atomların titreşimi

• E= Eel+ Eöte+ Edön+ Etit

Moleküllerin Dönme Hareketi;

• İki atomlu molekül (2 atomlu olsun) x ekseni doğrultusunda uzanmış ise sadece 2 serbestlik derecesine sahiptir. Bunlar y ve z eksenleri etrafındaki dönmelere karşılık gelir.

• w açısal frekansı, I eylemsizlik momenti ve

Kinetik Enerjisi; 𝐸𝑑ö𝑛 =1

2𝐼 𝑤2

İki atomlu molekülün, I eylemsizlik momenti

I=𝑚1𝑚2

𝑚1+𝑚2𝑟2 = 𝜇𝑟2 𝝁, molekülün indirgenmiş kütlesi

• Molekülün açısal frekansının bü yüklüğü Iw, klasik olarak her değeri alabilirken Kuantum mekaniksel olarak

• 𝐼𝑤 = 𝐽(𝐽 + 1)ℏ (J=0, 1,2,. . . ) değerini alabilir.

• J ; Dönme kuantum sayısı

• 𝐸𝑑ö𝑛 =1

2𝐼 𝑤2=

1

2𝐼(𝐼𝑤)2 =

𝐽(𝐽+1)ℏ2

2𝐼

• 𝐸𝑑ö𝑛 =ℏ2

2𝐼𝐽(𝐽 + 1)

Molekülün dönme enerjisinin kesikli ve molekülün eylemsizlik momentine bağlı olduğu görülür.

• 𝐸𝑑ö𝑛 =ℏ2

2𝐼J(J+1) J=0,1,2,….

• Moleküllerin çoğunda dönme enj sevyeleri geçişler mikrodalga frekans aralığında (f=1011 Hz)

• İzinli geçişler ∆𝐽 = ±1 seçim kuralına uyar

J=0 J=1J=1 J=2J=2 J=3J=3 J=4

→

→

→

→

Dönme Geçiş

Ardaşık dönmele seviyelerinde enerji farkı

CO molekülünün Birkaç Dönme Geçişi

Örnek: CO molekülünün J=0 dan J=1e dönme geçişi 1,15x1011 Hz frekansında olur. Bu bilgiyi molekülün eylemsizlik momentini hesaplamakta kullanınız.

• J=0 dan J=1 enerji foton enj eşittir.

=hf

b) Molekülün bağ uzunluğunu hesaplayınız.

=6,857(1,66x10-27 kg/u=1,44x10-26 kg

m1=12u ve m2=16u

Moleküllerin Titreşim Hareketi

• Esnek yapıya sahip bir molekülün atomlarını birbirine etkin yaylarla bağlı düşünülebilir.

• Titreşim hareketi ve buna bağlı gelen titreşim enerjisi, molekülü belli frekanslı elektromanyetik dalgalara maruz kalırsa değişebilir.

• Şekildeki yayın sabiti k dır.

• Potansiyel enerjinin değişimi

• Klasik mekaniğe göre titreşim frekansı; f=1

2𝜋=

𝑘

𝜇

Kuantum mekaniksel çözümü ;

𝐸𝑡𝑖𝑡 = 𝑣 +1

2ℎ𝑓 𝑣 =0,1,2,… 𝑣 titreşim kuantum sayısı

𝑣=0 için en düşük düzey, sıfır nokta enerjisi (molekül uyarılmamış olsada sıfır nokta enerjisi her zaman vardır.

𝐸𝑡𝑖𝑡 = 𝑣 + 1/2ℎ

2𝜋

𝑘

𝜇𝑣 =0,1,2,…

İzinli geçişler seçim kuralı ∆𝑣 = ±1

Ardaşık İki titreşim seviyesi arasındaki enerji farkı

İki Atomlu molekülün izinli titreşim enerjileri f, titreşim frekansı,Şayet molekül armonik salınıcı gibi davranırsa bitişik titreşim seviyeleri arasındaki farka eşit olur.

Örnek; CO molekülünde v=0 dan v=1 geçişine sebeb olan fotonun frekansı 6,42x1013 Hz dir. A) bu molekülün kuvvet sabitini hesaplayınız. b) v=0 titreşim durumunda bu molekülün titreşiminin maksimum genliği nedir?

𝜇 𝑑𝑖ğ𝑒𝑟 𝑠𝑜𝑟𝑢𝑑𝑎 ℎ𝑒𝑠𝑎𝑝𝑙𝑎𝑛𝑑𝚤.

b) Molekülde depolanan maksimum potansiyel enerji E=1/2kA2 (A genlik)

Moleküler Spektrum

• Genel olarak moleküller hem döner hemdetitreşirler.

• E= 𝑣 +1

2ℎ𝑓 +

ℎ2

2𝐼𝐽(𝐽 + 1)

• Birbirini izleyen dönme seviyeleri arasındaki enerji aralığının, ardaşık titreşim seviyeleri arasındaki enerji aralığından çok daha küçüktür.

• Molekül bir kırmızı ötesi fotonu yuttuğunda v bir birim artarken, Jbirbirim artar veya azalır. Moleküler soğurma spektrumu iki çizgi gurubunu içerir.

Komşu çizgilerin frekansları birbirinden ℏ

2𝜋𝐼temel birimi ile ayrılır.

• HCl molekülünün soğurma spektrumunda her çizgi bir dubleteyarılır.

• Bu yarılma iki klor izotopu bulunduğu için yarılma gerçekleşmiştir.

• Her izotop farklı kütlelere ve dolayısıyla farklı eylemsizlik momentli (I) değerine sahiptir.

HCl molekülünün soğurma spektrumu

• CO2 moleküllerinin soğurması çizgileri spektrumun kızılötesi (infrared) bölgesindedir.

• Güneşten gelen görünür ışık atmosfer CO2 soğurmaz. Yeryüzüne çarpar ve onu ısıtır. Yer infrared radyasyon yayınlar. CO2 bunları soğurur atmosfer dışına çıkmasını engeller.

• Bu sera etkisine sebep olur.

Katılarda Bağlanma

• Bir Kristal katı, periyodik yapıyı kuran ve düzgün sıralar halinde yerleşmiş çok büyük sayıda atom içerir.

• NaCl kristalindeki iyonlar, iyonik olarak bağlı iken, Elmas yapıdaki karbon atomları kovalent bağlar kurarlar.

İyonik Katılar

Baskın etkileşim Coulomb etkileşimidir.

Her Cl – iyonu en yakın altı Na+ iyonuna, her Na+ iyonu da en yakın altı Cl- iyonuna sahiptir.

a Madelung sabiti

Madelung sabitinin değeri, etkileşmenin şiddetine ve kristal yapıya bağlıdır.

Toplam potansiyel enerji, iyonlar arası uzaklığa bağlı görünümü.

• Potansiyel enerji r=ro denge uzaklığında Uo en küçük değerini alır.

𝑈𝑜 = −𝛼𝑘𝑒𝑒2

𝑟𝑜1 −

1

𝑚(iyonik bağ enerjisi)

Katıyı pozitif ve negatif iyonlar topluluğuna ayırmak için gerekli enerjiNaCl iyon çifti başına değeri yaklaşık -7,84 eV

İyonik kristaller aşağıdaki genel özelliklere sahiptir

• Göreceli olarak kararlı ve sert kristaller oluştururlar.

• Mevcut serbest elektronların olmaması nedeniyle zayıf elektriksel iletkendirler.

• Yüksek buharlaşma sıcaklıklarına sahiptirler.

• Görülür ışınıma karşı geçirgendirler. Fakat infrared bölgesinde kuvvetli soğurucudurlar.

• Su gibi kutuplu sıvılarda genellikle tamamen çözünürler. Kutuplu çözücü molekülleri yüklü iyonlar üzerine çekici elektrik kuvveti uygular, iyonik bağları kırar ve katı çözünür.

Kovalent Katılar

• Katı karbon elmas biçiminde iken atomları kovalentbağlı bir kristaldir. Z=6 2p2 elektron düzenine sahip, dört elektron eksikliği vardır.

• İki karbon atomu birbirini kuvvetle çeker 7,37 eV dur.

• Elmas yapı

• Kovalent katılar, bağlanma enerjilerin büyüklüğü kovalent katıların sertliğinin nedenidir. Elmas oldukça serttir ve aşırı derecedeyüksekerime noktasına sahiptir. Elektriksel Yalıtkanlığı yüksektir.

Metalik Katılar

• Metaldeki değerlik elektronları, metalin her yerinde hareket edecek şekilde serbesttirler. Metal yapıya, pozitif iyonların örgüsü ile çevrilen hemen hemen serbest elektron denizi olarak bakılabilir.

• Metallerdeki bağlanmanın mekanizması, pozitif iyonlarla elektron arasındaki çekici kuvvet ile sağlanır.

• Metaller 1-3 eV aralığında gağ enerjilere sahiptir. İyonik ve kovalentkatıların bağlanma enerjisinden daha düşüktür.

• Işık, metaldekiserbest elektronlarla kuvvetli etkileşirler. Bu nedenle görünür ışık metalde absorblanır ve tekrar yayınlanır.

• Meydana gelen katı çözelti veya alaşımlar, yüksek dayanıklılık, düşük yoğunluk, elektriksel ve ısısal iletkenlik ve paslanmaya dayanıklılık gibi oldukça kullanışlıyapısal özelliklere sahip olmaları sağlanabilir. Bu özellikler genellikle kontrol edilebilir ve çoğu durumda da önceden bilinebilir.

Katıların Band Teorisi

• İki sodyum atomu her biri 3s elektronuna sahiptir ve Enerjileri bilinmektedir. Birbirlerine yaklaştırıldıklarında dış orbitalleriüst üste gelmeye başlar ve iki ayrı durum olarak yarılma gözlenir.

• Çok sayıda atom bir araya getirilse benzer olay oluşur. Altı atom bir araya getirildiğinde çok yakın altı atomun seviyeleri şekildeki gibi yarılır.

• Çok sayıda atoma genişletilirse enerji seviyeleri sürekli bandı olarak kabul edilen çok sayıda seviye oldukça yakın olur.

• Genel olarak kristalik katı, farklı atomik enerji seviyelerinden ileri gelen çok sayıda izinli enerji bandlarına sahiptir.

• Elektronların, izinli bandlar arasında yasak enerji bandları denilen enerji aralıkları meydana gelir.

Serbest Elektron Modeli

• Bu modelde, dış kabuk elektronlarının serbestçe metalde hareket ettikleri, fakat metal yüzeyinin oluşturduğu oyuk içinde ( tuzaklandıkları) tutuldukları düşünülür.

• Metal içindeki elektronların dağılımları için kuantum istatistiği kullanılmalıdır. Her bir durumun yanlızca bir elektron tarafından doldurulma doldurulma zorunluluğu vardır. Her durum kuantum sayıları ile belirlenir.

• Katı içindeki bir elektronun belirli bir E enerjili durumda bulunma olasılığı;

Fermi –Dirac dağılım fonksiyonu f(E) nin enerjiye göre değişimi T=0 K ve T> 0

Burada EF , Fermi Enerjisi, f(E) ye Fermi Dirac dağılım fonksiyonu

• Bir parçacığın hareketi L uzunluklu tek boyutlu kutuya sınırlanmış ise izinli durumlar

• Bu izinli durumların dalga fonksiyonu x=0 ve x=L de 𝜓 = 0 sınır şartını sağlayan;

• 𝜓=Asin(𝑛𝜋𝑥

𝐿) ile verilen duran dalga

• Şimdi bir elektronun Kenar uzunluğu L hacmi L3 ve duvarları metal metal düzlemlerini temsil eden üç boyutlu kutuda hareketi düşünelim.

• 𝜓(x,y,z)=0 ( sınırlarda)

• Enerjisi;

• (nx, ny, nz kuantum sayıları)

• Her bir seviye üç kuantum sayısının bir takımı ve spin kuantum sayısı ms tarafından tanımlanır.

• Kuantum sayıları sürekli değişkenler gibi işleme konulursa, enerjileri E ile E+d𝐸 aralığında olan birim hacim başına izinli durumların sayısı;

• g(E) fonksiyonuna durumların yoğunluk fonksiyonu denir.

• Termal dengedeki E ve E+dE aralığında enerjiye sahip bir metalin birim hacim başına elektronların sayısı N(E)dE= f(E) g(E) dE çarpımına eşittir.

• ne birim hacim başına elektronların toplam sayısı ise;

• Bu eşitlik ile fermi enerjisi hesaplanabilir.

• T=0 da, Fermi dağılım fonksiyonu, E< 𝐸𝐹 için f(E) =1 ve E> 𝐸𝐹 için f(E) =0 dır. Bu nedenle;

• T=0 K için çözülürse;

• Buna göre elektron konsantrasyonu arttıkça EF de artmaktadır.

• Fermi hızı;

•1

2𝑚𝑒𝑣𝐹

2 ≡ 𝐸𝐹

• Fermi sıcaklığı;

• 𝑘𝐵𝑇𝐹 ≡ 𝐸𝐹

• Metaldeki bir iletim elektronunun 0 K deki ortalama enerjisi

• 𝐸𝑜𝑟𝑡 =3

5𝐸𝐹

Örnek: Her altın atomu, metale bir serbest elektronla katkıda bulunur. A) Fermi enerjisini b) Fermi hızını c) Fermi sıcaklığını bulunuz.

• Altının serbest elektron yoğunluğu 5,90x1028 m3 (tablo)

b)

Fermi hızı;1

2𝑚𝑒𝑣𝐹

2 ≡ 𝐸𝐹

𝑣𝐹 =2𝐸𝐹𝑚𝑒

1/2

=2𝑥5,85𝑥10−19𝐽

9,11𝑥10−31𝑘𝑔

1/2

=1.39x106𝑚/𝑠

c) Fermi sıcaklığı;𝑘𝐵𝑇𝐹 ≡ 𝐸𝐹

𝑇𝐹 =𝑇𝐹

𝑘𝐵=

8,85𝑥10−19𝐽

1.38𝑥10−23𝐽/𝐾= 6,41𝑥104𝐾 = 64 000 K

a)

Metal, Yalıtkan ve Yarıiletkenlerde Elektriksel İletim

• İyi iletkenler yüksek taşıyıcı yoğunluğa sahiptir.

• Yalıtkanlarda yük taşıyıcı yoğunluğu hemen hemen sıfırdır.

• Yarı iletkenler ise yük taşıyıcı yoğunlukları iletkenler ile yalıtkanlar arasındadır.

Metaller• Elektriği iyi iletirler.

• Elektrik alan uygulandığında, enerjileri artar ve kinetik enerjileri artar.

• T=0 da EF enerji seviyesinin altı dolu, üst sevyeler ise boştur. Sıcaklık arttırıldığında ısıl uyarmalar ile EFüstüne geçiş olur.

• Metale elektrik alan uygulandığında EF enerjisi civarındaki elektronlar, yakın boş enerji düzeylerine geçiş için çok az enerji alma gereği duyarlar.

Yüksek derecede elektron hareketliliğine sahip metaller mükemmel elektriksel iletkendirler.

Yalıtkanlar

• Dolu olan en dış bandla boş bandlar arasındaki aralığı «maddenin enerji aralığı, Eg» olarak

• Yalıtkanlarda enerji aralığı 10 eVmertebesindedir. (Oda sıcaklığında kT değeri 0,025 eV)

• Çok az sayıda elektron iletim bandı sevyesinegeçebilir ve iletkenliğe çok az katkı verebilir. Bu da yüksek öz direnç oluşumunu sağlar.

Yarıiletkenler

• Yalıtkanların band yapısına sahiptir. Eneriaralığı 1 eV mertebesindedir.

Katkılı yarıiletken yapılar