Modi lineari - Roma Tre University · 2001. 9. 30. · 29/09/2001 G.U - FdA-Universita’ degli Studi “Roma Tre” Trasformate e sistemi lineari Trasformata di Laplace Funzione

29/09/2001 G.U -FdA-Universita’ degli Studi “Roma Tre”

Trasformate e sistemi Trasformate e sistemi Trasformate e sistemi Trasformate e sistemi

linearilinearilinearilineari

Trasformata di LaplaceFunzione di Trasferimento

ModiRisposta Impulsiva

Calcolo dell’uscita noto l’ingresso

(vedi Marro par. 2.1 a 2.3,2.5, C 2.2, C 2.3)(vedi Vitelli-Petternella par. II.1 a II.4 , III.1 a III.3)

29/09/2001 G.U -FdA- 2Università degli Studi “Roma Tre”

Serie di FourierSerie di FourierSerie di FourierSerie di Fourier

ρ

Ak

Bk

ϕF k ej( )Ω = ρ ϕ

f t F t KT

f t A A kT

t B kT

tk kR

( ) ( ) ,

( ) cos sin

= ±

= + +LNM

OQP=

∞∑

periodica T :periodo

0

122 2π π

• =

• =

• =

−

−

−

z

z

z

AT

f t dt valore medio

AT

f t kT

t dt

BT

f t kT

t dt

T

T

kT

T

kT

T

0

2

2

2

2

2

2

21

2 2

2 2

( )

( )cos ;

( )sin

/

/

/

/

/

/

π

π f t F k e

F kT

f t e dtT

kjk t

jk t

T

T

( ) ( )

( ) ( )/

/

=

=

L

N

MMMMM

O

Q

PPPPP=

−∞

∞

−

−

∑

z

Ω Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

2

1

2

2

2

π π

utilizzando i numeri complessi


Serie Serie Serie Serie TrasformataTrasformataTrasformataTrasformata

La serie è per segnali periodici, un segnale qualsiasi può essere visto comeperiodico con periodo infinito.

T=1 T=3Ω=2π Ω=2π/3

kΩ kΩ

|F| |F|

F kT

f t e dt

f t F k eT

jk t

T

T

kjk t

( ) ( )

( ) ( )

/

/Ω

Ω Ω

Ω

Ω

Ω

=

=

L

N

MMMMM

O

Q

PPPPP=

−

−

−∞

∞

z

∑

1

2

22

2

π

π

T k→∞ → → → z∑, , ,Ω Ω0 ω

F f t e dt

F t F e d

j t

j t

( ) ( )

( ) ( )

ω

ω ω

ω

ω

=

=

−

−∞

∞

∞

∞

z

z

Condizione: f(t) sommabile

f t dt( )−∞

∞

z < ∞


Trasformata diTrasformata diTrasformata diTrasformata di LaplaceLaplaceLaplaceLaplace

Corrispondenzabiunivoca

Sì ?? No

Sicchè proprio i casi più interessanti creano problemi

F f t e dt

F t F e d

j t

j t

( ) ( )

( ) ( )

ω

ω ω

ω

ω

=

=

−

−∞

∞

∞

∞

z

z solo se f t dt( )−∞

∞

z < ∞


Trasformata di Trasformata di Trasformata di Trasformata di LaplaceLaplaceLaplaceLaplace

“TRUCCO” Invece di trasformare f(t), trasformiamo:

Trasformatadi LAPLACE

F(t)e t−σ

δ −1( )t

σmin: ascissa di convergenza

δ σ−

−1( ) ( )t f t e t

F s f t e dtst( ) ( )= −∞

z0

Pongo s j

F j f t e e dtt j t

= +

+ = ⋅− −∞

zσ ω

σ ω σ ω( ) ( )0


Trasformata di Fourier inTrasformata di Fourier inTrasformata di Fourier inTrasformata di Fourier in MapleMapleMapleMaple

t 43210-1

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

( )sin 10 t e( )-2 t ( )Heaviside t

> readlib(fourier):> sin(10*t)*exp(-2*t)*Heaviside(t);

> plot(sin(10*t)*exp(-2*t)*Heaviside(t),t=-1..4, color= 'red');:= F - +1

2I

+ −2 I w 10 I12

I+ +2 I w 10 I

> plot(abs(F), w=-40..40,color= 'red');

> F:= fourier(sin(10*t)*exp(-2*t)*Heaviside(t),t,w);

w 40200-20-40

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

Modulo


Trasformata diTrasformata diTrasformata diTrasformata di LaplaceLaplaceLaplaceLaplace inininin MapleMapleMapleMaple

> F:= laplace(exp(-2*t)*sin(10*t),t,s); 10 1+ +s 2 4 s 104

> F1:= subs(s=sigma+I*omega,F); := F1 10 1+( )+ +σ I ω 2 2 100

> plot3d( abs(F1), sigma=-5..0,omega=-30..30, view=0..1.25);

> Poli:= solve(denom(F)=0); := Poli , - +2 10 I - −2 10 I

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

omega

3020100-10-20-30

sigma

0-1

-2-3

-4-5

La sezione su questo piano è la risposta

armonica (confronta con Fourier)

Effetto dei poli dellaF(s). Il modulo vaall’infinito

Grafico del Modulo

(fase non riportata)


Metodi di calcolo basati sulla Trasformata di Metodi di calcolo basati sulla Trasformata di Metodi di calcolo basati sulla Trasformata di Metodi di calcolo basati sulla Trasformata di LaplaceLaplaceLaplaceLaplace

Si possono operare delle trasformazioni su segnali nel dominio del tempo (o dello spazio) in modo da:

Formalmente la Trasformata di Laplace F(s) di una funzione f(t) è l’integrale:

• mettere in evidenza le caratteristiche periodiche o pseudoperiodiche del segnale (dominio della frequenza);

• facilitare alcune operazioni matematiche, quali l’integrazione o la derivazione, rendendole puramente algebriche.

f s L f t e f t dtst( ) [ ( )] ( )= = −∞

z0

con s j f t t= + = <σ ω ( ( ) , )0 0

* hp tecniche: f(t) sommabile

ascissa di convergenzaβ =

.S0

β

∃ zs è0 : determinato e finito

0( ) : Re[ ] Re[ ]F s s s s⇒ ∃ ∀ = ≥


Una Trasformata FondamentaleUna Trasformata FondamentaleUna Trasformata FondamentaleUna Trasformata Fondamentale

1p>0p=0

p<0p può essere anche complesso

f t e tt

pt( ) = >

≤RST

00 0

L es p

p t[ ] =−1

F s e e dtp s

es p

se s pp t s t p s t( ) Re[ ] Re[ ]( )= =−

=−

>−∞

− ∞z0

01 1

utile per trasformaresin(t) e cos(t)

L es j

j tΩΩ

=−1

δ − =>≤

RST11 00 0

( )ttt

L LK K t Ks

= =−δ 1( ) Gradino, step, f. di Heaviside: δ −1 ( )t


Proprietà notevoliProprietà notevoliProprietà notevoliProprietà notevoli

TRASLAZIONE

LINEARITA’ L[c1 f1(t)+c2 f2(t)]=c1F1(s)+c2F2(s)

ESPONENZIALE

ESPONENZIALE • FUNZIONE del TEMPO

L e e e dts a

at s t a t= =−

−∞

z 1

0

L e f t e f t dt F s aat s a t( ) ( ) ( )( )= = −− −∞

z0

SINUSOIDE L t L e ej s

j t j tsin Ω Ω

Ω

Ω Ω= −LNM

OQP=

+

−

2 2 2

L t a f t a e F sasδ −−− − =1( ) ( ) ( ) a

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

exp(-at)sin(o m ega*t)



TEOREMA del VALORE FINALE

TEOREMA del VALORE INIZIALE

lim ( ) lim ( )

lim ( ) lim ( )t s

t s

f t sF s

f t sF s→∞ →

→ →∞

=

=+

0

0

“0” è sempre da leggere “0-”

0

22

20

33

3

per (0 ) 0

L ( ) integrando per parti ( ) (0)

L ( ) ( ) (0 )

L ( ) ( )

s t

tf

d dff t e dt sF s fdt dt

d dff t s F s sfdt dt

d f t s F sdt

−

∞−

−

=− =

= = = −

= − −

=

∫

DERIVAZIONE

(se parte tutto da 0)

INTEGRAZIONE0

1L ( ) ( )t

f t d F ss

τ

= ∫



CONVOLUZIONE NEL TEMPO

utilissima per il calcolo della risposta al forzamento(eq. differenziale non omogenea)

Esistono tabelle di trasformate e di ANTITRASFORMATE :^)

CONIUGATO

F(s*)=F*(s) s*=“coniugato” di s

L 0

( )

L[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) !

. . ( )

t

a t

f t g t d F s G s un prodotto

e g e uτ

τ τ

τ−

− → ⋅

≡

∫

1 1 1 1 121

2 1 10 0s s s

Ls

t t d d tt t

= × LNMOQP = − = =−

− −z zδ δ τ τ τ( ) ( )Esempio:


Esempio elementareEsempio elementareEsempio elementareEsempio elementare

Carrellino con attrito viscoso e forza applicataM

fe

x

f Dxa =

M=1D=1

Coefficientedi

attrito

ingresso: f t F sse e= → =−δ 11( ) ( )

equazioni:

v(0)=0

t

s

L

( )eMv f t Dv= −

0

1 1lim 11s

ss s→

=+

[ ]( ) (0) ( )( )[ ] ( ) ( )

e

e

M sV s v DV sF ssM D V s F s

− = −+ =

1 1 1( ) ( )1eV s F s

Ms D s s= ⋅ = ⋅

+ +


… Esempio elementare… Esempio elementare… Esempio elementare… Esempio elementare

La trasformata dellasomma è uguale alla somma delle trasformate

L-1 ts

V s Bs

As

As A Bss s s s

( )( )

=+

+ = + ++

= −+1 1

1 11

v t Ls s

Ls

Ls

t e t( ) ( )= −+

LNM

OQP =LNMOQP + −

+LNMOQP = −− − −

−−1 1 1

11 1

11 1

1δ

δ-1-e-t

δ-1(t)

e-t

1

Abbiamo risolto l’eq. differenzialetramite un eq. algebrica


Inversione delle Inversione delle Inversione delle Inversione delle L-trasformatetrasformatetrasformatetrasformate

Partiamo da un rapporto di polinomi, in quanto consideriamo sistemi a costanti concentrate (in genere ), m ≤ n per la causalità

Espansione in frazioni parziali:

= ansn+an-1sn-1+......+a0=an(s-pn)...(s-p1)

pi : poli della trasformata ≡ zeri del denominatore

a sii

∑

1

( ) : Residui( ) ( )

nn i

in i

b RN s RD s a s p

= +−∑

R s p N sD s

se p p

in praticaN p

a p p p p p pp p

is p

i i jpoli semplici

i

n i n i i ii i

i= − ≠

− − −−

→lim ( ) ( )

( )

( )( )....( )....( )

( )

1

F s N sD s

b sa s

ii

ii( ) ( )

( )= = ∑

∑


Poli Reali MultipliPoli Reali MultipliPoli Reali MultipliPoli Reali MultipliSe il k-mo polo compare r volte, lo sviluppo prende questa forma:

(1) (2) ( )

2

( )( )

( )

....( ) ( )

con

1 ( )lim ( )( )! ( )k

rk k k

rk k k

r jj r

k kr js p

R R Rs p s p s p

d N sR s pr j ds D s

−

−→

+ + +− − −

= − −

Esistono anche poli complessi multipli, con analogo comportamento

L Rs p

R t eh

h

h

h h pt−

−

−

LNM

OQP=

−1

1

1

( ) ( ) ( )

( ) ( )! t e ppt⋅ <con 0

12( )s p−


Esempi poli reali multipliEsempi poli reali multipliEsempi poli reali multipliEsempi poli reali multipli

Esempio tipico r = 2

R dds

s p ND

R s p NDk

s pk k

s pk

k k

( ) ( )lim ( ) lim ( )1 2 2 2= −LNMOQP = −LNM

OQP→ →

L t ts s

ss

δ − − = − = −1 2 21 1 1 1( )a f

R dds

s

R ss

s

( )

( )

;1

02

0

1 1

1 1

= − =

= − = −=

=

a fa f

Una trasformata con 2 poli nell’origine

Calcolando i residui,si ritrovano i coeff. corretti


Parametri dei poli reali sempliciParametri dei poli reali sempliciParametri dei poli reali sempliciParametri dei poli reali semplici

Conviene definire dei parametri pratici per caratterizzare gli andamenti

Poli reali Y s b ss pt

ii

( ) =− ( )∑a f ........

τ

R

y t

y Rp

pt( ) =

=

Re

( )0

: ampiezza del modoR1 Costante di tempop

τ = −

Se il modo è convergente [ p < 0 ] si può considerare estinto per t > 3τ

yy( )( )30

5%τ =


Parametri dei poli complessi coniugatiParametri dei poli complessi coniugatiParametri dei poli complessi coniugatiParametri dei poli complessi coniugati

Antitrasformata

Terminologia

ωn=pulsazione naturale, ζ :coefficiente di smorzamento

Y sb s

s a s ati

i( )

.......=

+ + ( )∑

21 0d i

R Re R Re p jj j= = = +−ϕ ϕ σ ω, * ;( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 cosj t j t j t j tj j t ty t R e e R e e R e e e R e tσ ω σ ω ω ϕ ω ϕϕ ϕ σ σ ω ϕ+ − + − +− = + = + = +

( )2 2 2 2 2( )( *) 2 2 n ns p s p s s s sσ ω σ ζω ω− − = − + + = + +

p n n n1 22 2 2

, = − ± −ζω ζ ω ω

* *Radici , ; Residui ,p j p R Rσ ω= +

1 i poli sono reali0 diverge

ζζ≥<

2π/ω

Re tσ

σ

Re

Im

ψ

ωn

ωcosζ ψ=


Andamenti vs. posizione dei PoliAndamenti vs. posizione dei PoliAndamenti vs. posizione dei PoliAndamenti vs. posizione dei PoliUna W(s) razionale* si fattorizza in termini del tipo:

e solo Combinazioni Lineari di essi compaiono nelle evoluzioni libere dello stato e delle uscite. La convergenza a 0 dipende da p ed h

Attenzione: esistonoW(s) non razionali !

*R

s pnel tempo Rt e

hh

h pt

( ):

( )!−⋅

−

−1

1

t t t

t

=convergenti non convergenti

R

I

eRe[pt] tt

t2/2t

t

h=1

h=2

h=3

I

R


Andamenti elementariAndamenti elementariAndamenti elementariAndamenti elementari

con G(s) razionale, è somma di

Esponenziali

Sinusoidi smorzate

Polinomi(t)

Polinomi x esponenziali

Raramente impulsi 1

L G s L N sD s

− −= LNMOQP

1 1( ) ( )( )

eat 1s a−

sin( )pte tω ϕ+ 12s as b+ +

2 3

1 1 1, , , ...s s s

t eat 12( )s a−

δ ( )t

2

1, , , ...2tt

1. Il loro numero è pari al grado del denominatore(le sinusoidi contano per 2)

2. La posizione dei poli sul piano s, determina gli andamenti

3. La convergenzaa 0 dipende da Re[pi]

(per t ≥ 0)

quindi:

Eq. diff. ordinaria, lineare, stazionaria, ordine=n : LPPC

+ + + = + +.... ( ) ..... ( )1 0 0

11 2 ( 1) 1 ( )

0

( )L ( ) (0) (0) .... (0) ( ) (0)

−− − − − −

=

= − − − − = −

∑

( 1) ( 1)1 0 0( ) ..... ( ) ( ) ( ) ( ) ..... ( ) ( )

− −+ + + + = + + +

risolvendo per Y(s)

Il denominatore compare in tutti gli addendi. E’ il polinomio caratteristico (dell’eq. omogenea)

a s a s ann + + +..... 1 0

( )....

....( )

( )

.....

( )

.....

( ) ( )= + +

+− +

− −0

0

1

0

1

0

condizioni iniziali


Applicazione alleApplicazione alleApplicazione alleApplicazione alle eqeqeqeq.... diffdiffdiffdiff. Ingresso Uscita. Ingresso Uscita. Ingresso Uscita. Ingresso Uscita

• I termini A e C sono nulli se u(t) ≡ 0 B rappresenta l’evoluzione libera del sistema

• Den(C) = Den(B) Se l’evoluzione libera (B) converge, converge anche C.

AB C

• In particolare, C è nullo se u(t)=0 per t≤0

( ) ( )i

yi ui i i

i i i

CIb s CIY s U sa s a s a s

= − +

∑∑ ∑ ∑

Funzione di Trasferimentodel sistema descrittodall’equazione diff.

G sb sa sii

ii( ) = →∑

∑

• Den(A) contiene i poli di B + quelli della trasformata dell’ingresso.

I modi presenti nell’uscita sono quelli propri del sistema + quelli dell’ingresso

Se i modi del Sistema convergono a zero nel lungo periodo rimangono solo quelli dell’ingresso:

IL SISTEMA E’ STABILE

Primo criterio intuitivo di stabilita:“è stabile se basta azzerare l’ingresso per riportare il sistema a riposo” !


Decomposizione della RispostaDecomposizione della RispostaDecomposizione della RispostaDecomposizione della Risposta

( ) ( )i

yi ui i i

i i i

CIb s CIY s U sa s a s a s

= − +

∑∑ ∑ ∑

Libera: ( ) ( ) 0 ( ) y ui i

i i

CI CIU t U s Y sa s a s

= ≡ ⇒ = − +

∑ ∑

Forzata:

=0 se u(t)=0 t<0

0 ( ) ( )i

yi uy i i i

i i i

CIb s CICI Y s U sa s a s a s

≡ ⇒ = − +

∑∑ ∑ ∑

SSE il sistema e’ stabile :transitorio: prima dell’estinzione dei

modi naturali del sistemaForzata

permanente : dopo rimane solo la parte con i poli dell’ingresso

R

S

|||

T

|||

errore!


Risposta di una coppia Risposta di una coppia Risposta di una coppia Risposta di una coppia Cplx ConjCplx ConjCplx ConjCplx Conj

Time (sec)

Am

plitu

de

0 5 10 150

0.2

1

1.8Step Response ωωωω = 10.1

0.30.50.71.0

Risposta al gradino: gradino (permanente)oscillazione (transitorio)

Al diminuire di ζζζζ, aumenta il comportamento oscillatorio

Per ζζζζ = 0 si ha una sinusoide intorno a 1 (i poli sono a Re[ ]=0, sistema non asintoticamente stabile).


Modi propri del sistemaModi propri del sistemaModi propri del sistemaModi propri del sistema

L’antitrasformata di: è composta da (è combinazione lineare di...):

• Esponenziali

• Polinomi del tempo:

• Polinomi(t) per esponenziali:

• Eventualmente Impulsi nell’origine (al limite della causalità):

e e ta t a t, sin ( )ω ϕ+2 3

0 ( cost), , , .....2 3!t tt t=

teat

δ 0 ( )t

Sono i MODI NATURALI del Sistema. Il loro numero è pari all’ordine dell’eq. differenziale ( le sinusoidi contano per 2)

Le caratteristiche del sistema si riflettono sulla posizione dei polisul piano s (Re[s], Im[s]).

La convergenza dipende dalla loro parte reale (deve essere Re[pi]<0)

Stabilità asintotica di un Sistema LPPC <==> Re[pi]<0

G sb sa sii

ii( ) = ∑

∑


Caratteristiche della Caratteristiche della Caratteristiche della Caratteristiche della FunzFunzFunzFunz. di Trasferimento. di Trasferimento. di Trasferimento. di Trasferimento

Un Σ è descritto (quasi*) completamente dalla sua funzione di trasferimento

* salvo cancellazioni

L’analisi della G(s) ci permette di determinare facilmente:

1. Stabilità asintotica:

2. Velocità di convergenza: maggiore se minore

3. Comportamento oscillatorio: complessi

4. Valore per dell’uscita (regime):

p pi j= *

t → ∞

G S b s ba s am

m

nna f = + +

+ +

0

0

R pe i < 0

R pe i

( ) ( )

( ) ( ) ( )0

1

lim

1spesso

ss G s U s

u t t U ss

δ

→

−

⋅ ⋅

= ⇒ =


Precisazioni per Precisazioni per Precisazioni per Precisazioni per Re[s]=0

Stabilità asintotica se R pe i < 0

p e

p t e

it

p t

it

p t

i

i

< ⇒ →

< ⇒ →→∞

→∞

0 0

0 0

polo semplice

polo ad es. doppio comunque

lim

lim

Cosa succede se ? Dalle espressioni precedenti,

Se semplice, l’evoluzione libera contiene una costante (stabile non asintoticamente)

Se multiplo, contiene una rampa, una parabola, ecc. (instabile)

Per poli immaginari puri, si hanno sinusoidi (se poli semplici) o divergenti polinomialmente (se poli multipli)

R pe i = 0


Cos’èCos’èCos’èCos’è l’antitrasformatal’antitrasformatal’antitrasformatal’antitrasformata di G(s) ?di G(s) ?di G(s) ?di G(s) ?

C.I.=0

Y(s)=G(s) ·1

y(t)=g(t) Risposta Impulsiva

Assumiamo U(s)=1 u(t)=δ(t) impulso

Y s G s U s( ) ( ) ( )= ⋅

area unitaria

δ 0 1( )t dt =−∞

∞

zMa anche (con la convoluzione) :

0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t ty t u g t d t g t d g tτ τ τ δ τ τ= − = − =∫ ∫

Inoltre se: gradino

Risposta Indiciale

u t t( ) ( )= −δ 1 U ss

( ) = 1

Y s G ss

( ) ( )= y t g d g tt( ) ( ) ( )= = −z τ τ 10(integrale di quella impulsiva)


Esempio inEsempio inEsempio inEsempio in MapleMapleMapleMaple

eq. diff. LPPC modello di un Σ:

FdT:

soluz. dell’omogenea:

L-1[F(s)]:Risposta impulsiva =una particolare soluz. dell’omogenea

t>6

Risp. Transitoria Permanente

y(t)=L-1[F(s)/s],

Σstep y(t)

ingresso:

equazioni:

M

fe

x

f Dxa =

M=1D=1

nullo per t<0 CIu= 0, CIy = 1

Ma v(0)=0.5

A B

= → =−δ 11

( ) ( )

[ ]( )

( ) (0) ( ) ( )

= −− = −

1 (0) 1 1 0.5( ) ( )

1 1

= ⋅ + = ⋅ +

+ + + +

A: risposta forzata, ingresso+sistema

B: risposta libera, solo sistema

Polo di G(s): -1Polo della risp. libera: -1Poli di V(s): -1, 0

v

A

B

v(0)

Se u(t) torna a zero, il sistema torna a riposo Stabilità Asintotica Re[pi]<0

Dopo 5 secondi, la forza torna a 0

Possiamo studiare la risposta all’ingresso:

oppure considerare l’evoluzione libera da t=5

Si ottiene comunque:

δ δ− −− −1 1 5( ) ( )

E’ sulla seconda (*) che si definiscono le specifichedi progetto nel dominio del tempo

w(t): risposta impulsiva

w-1(t): risposta al gradino(risp.indiciale) (*)

w-2(t): risposta alla rampa

y=1

y=t/2

1( )δ−

( )δ

2 ( )δ−

1. La risposta impulsiva è di scarso interesse pratico (gli impulsi non esistono fisicamente), ma è importante, perché consente di vedere tutti e soli i modi del sistema

2. Le risposte canoniche (utili) si ricavano integrando quella impulsiva

si utilizza L

integrali

sin( ) cos( ) sin( ) cos( )

( ) ( )

ω ω ω ωω

ω ωω

σ ωσ

σ ω

σ σt t e t e t

s

s

s s

s

s

t t− −

+ + + ++

+ +2 2 2 2 2 2 2 2

e f t F st− = +σ σ( ) ( )

Altri ingressi molto utili sono:

sin( ) cos( ),ω ω ω ω ωt e t = ÷1 2

F s s s sk( ) / / /1 1 1 12

f t t t t t t t (k-1)!kk-1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) /δ δ δ δ0 1 2− − −= =

Trasformata degli ingressi canonici:

f1(t)

t

f2(t)

t

f1(t’-τ)

t’

f2(t)

τ

Rappresentazione grafica:

Il valore di g(t) in t’dipende dal passato

( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⊗ = −1 2 1 20

τ τ τ

L di funzione ritardata

( ) ( ) ( )

( ) ( )

= − =

= − =

∞∞ −

−∞∞

1 200

2 100

τ τ τ

τ τ τ

= ⋅ =

= ⋅

∞ − −∞

20 1 1 20

1 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

τ τ τ ττ τ

( ) ( ) ( )= ⋅1 2

Dim:

( ) cos ( : ( ) ( ))= = > = −1 0 1δ

[ ] [ ]1

1( ) ( ) ( )

τ δ−= ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( )τ τ τ− = ⋅0Dim:

( ) ( ); ( ) ( )= = τ τ

01

( ) ( ) ( ) τ τ = − 00

( ) ( ) ( )= − 0

1 0

( ) ( )( )= −

Dim:

( ) ( ) ( )= − 0

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Modi lineari - Roma Tre University · 2001. 9. 30. · 29/09/2001 G.U - FdA-Universita’ degli Studi “Roma Tre” Trasformate e sistemi lineari Trasformata di Laplace Funzione