Upload
arnis-siti-cahaya-surga
View
363
Download
9
Embed Size (px)
Citation preview
2 Dwina K
Teorema Phytagoras (1)
Contoh 1
Tentukan panjang EF
b = hipotesa
Contoh 2
2 pesawat terbang tinggal landas dalam waktubersamaan. Pesawat pertama terbang menuju utara(North)dengan kecepatan rata-rata 300 km/jam dan pesawat kedua terbang menuju barat (West)dengan kecepatan rata-rata 220 km/jam. Tentukan jarak yang ditempuh pesawat setelah 4 jam?
Penyelesaian
Teorema Phytagoras :
Penyelesaian
Setelah 4 jam pesawat terbang pertama telah menempuh = 4 x 300 =1200 km dan pesawat terang kedua menempuh = 4x220=880 km/jamJarak ditempuh setelah 4 jam =BC seperti pada gambar berikut
3 Dwina K
Teorema Phytagoras (2)
Teorema Phytagoras :
Jarak setelah 4 jam: 1488 km
Latihan
1. Diketahui segitiga ABC, B merupakan segitiga siku-siku, AB = 6.92 cm dan BC = 8,78 cm. Hitung panjang hipotesa
2. Diketahui segitiga CDE,D=90°,CD=14.83 mm CE = 28,31 mm. Hitung panjang DE
3. Dua kapal berangkat dari dermaga dalam waktu bersamaan. Kapal pertama menuju barat (West) dengan kecepatan 18,4 km/jam dan kapal kedua menuju selatan(South) dengan kecepatan 27,6 km/jam.
Hitung seberapa jauh jarak yang ditempuh oleh kedua kapal tersebut setelah 4 jam
4 Dwina K
Rumus Dasar Trigonometri (1)
x : samping
y :
depan
r :
miri
ng
ry
miringdepan sin
rx
miringsamping cos
yr
sin1
csc
xr
cos1
sec
xy
sampingdepan
cossin
tan
yx
sincos
tan1
cot
Contoh 1
Hitung sin D, cos D dan tan F
Penyelesaian
Menurut Teorema Phytagoras :
5 Dwina K
Rumus Dasar Trigonometri (2)
Contoh 2
Jika . Tentukan nilai sin X dan tan X
Penyelesaian
Gambar samping menunjukkan∆ siku-siku XYZ
Karena maka XY= 9 units
dan XZ = 41 units
Menurut Teorema Phytagoras :
Sehingga didapat
Latihan
1. Skets segitiga XYZ sedemikian sehingga Y = 90°, XY= 9 cm dan YZ = 40 cm. Tentukan nilai sin Z, cos Z, tan X dan cos X
2. Segitiga ABC pada gambar berikut Tentukan nilai sin A, cos A, tan A, sin B,
cos B dan tan B
3. Jika cos A = (15/17) maka sin A dan tan A dalam bentuk pecahan
4. Dari pada gambar segitiga siku-siku berikut,tentukan
(a) sin (b) cos (c) tan (d) cos
6 Dwina K
Penyelesaian dengan Segitiga siku-siku (1)
Penyelesaian dengan segitiga siku-siku artinya menentukan sisi dan sudut yang tidak diketahui dari suatu segitiga siku-siku
Metode yang digunakan adalah : Teorema Phitagoras Rumus Dasar Trigonometri
Contoh 1Skets segitiga ABCsedemikian sehinggaB = 90°, AB= 5 cm dan BC = 12 cm. Tentukan panjang AC dan hitung Sin A, cos C, tan A
Penyelesaian
Berdasarkan Teorema Phytagoras :
Berdasarkan rumus dasar trigonometri
Contoh 2
Pada segitiga PQR Disamping.Tentukan panjang PQ dan PR
7 Dwina K
Penyelesaian dengan Segitiga siku-siku (2)
Penyelesaian
,sehingga
,maka
Periksa dengan menggunakan Teorema Phytagoras didapat :
Latihan
1. Tentukan nilai yang tidak diketahui pada gambar berikut
2. Tentukan nilai x pada gambar berikut
8 Dwina K
Sudut Elevasi (1)
Pada gambar diatas, Jika BC = dasar horisontal, AB = tiang bendera vertikal maka sudut elevasi pada ujung atas tiang bendera A dari titik C adalah sudut imajiner yang merupakan garis lurus AC dengan elevasi dari horisontal CB, sebut sudut Contoh 1
Pylon electricity terletak horisontal di tanah. Dititik 80 m dari dasar pylon, sudut elevasidari ujung atas pylon adalah 23°. Hitung tinggi pylon ke jarak terdekat dalam satuan meterPenyelesaian
Pada gambar disamping menunjukkan phylon AB dan sudut elevasi A dari C adalah 23°
Sehingga panjang phylon AB adalah
9 Dwina K
Sudut Elevasi (2)
Latihan
1. Jika sudut elevasi dari ujung atas dengan tinggi vertikal aerial 30 m adalah 32°
Berapa jaraknya dari aerial
2. Tiang tower dipasang vertikal di dasar tanah. Di titik 105 m dari kaki tower membentuk sudut elevasi sebesar 19°.
Tentukan tinggi dari tower.
Contoh 2
Peneliti mengukur sudut elevasi dari ujung atas gedung segi empat sebesar 19°. Dia bergerak 120 m terdekat dari gedung dan mendapatkansudut elevasi sebesar 47°. Tentukan tinggi gedung
Penyelesaian
Gedung adalah PQ dan sudut elevasi terlihat pada gambar
Segitiga PQS, tan 19° = h = tan 19°(x+120)= 0,343(x=120) ……. (1)∆PQR, tan 47°= (h/x) sehingga h = tan
47° (x) atau h = 1,0724x ……………… (2)
Pers. (1) dan (2) : 0,3443 (x+120)= 1,0724x 0,3443x + 0,3443(120)= 1,0724x 0,3443(120)= (1,0724 - 0,3443)x 41,316 = 0,7281x x = 56,74 m
10 Dwina K
Sudut Depressi (1)
Pada gambar diatas, Jika PQ = vertikal cliff, R = kapal di laut maka sudut dsepressi pada kapal dari titik P adalah sudut imajiner yang merupakan garis lurus PR dengan didepress dari horisontal ke kapal CB, sebut sudut Catatan :
PRQ merupakan sebagai sudut alternatif antara garis paralel
Contoh
Sudut depressi kapal dilihat pada partkular instant dari 75 m ujung atas vertikal cliff adalah 30°. a) Tentukan jarak kapal dari dasar cliff di
instantb) Kapal berlayar dari cliff dengan
kecepatan konstan dan 1 menit kemudian sudut depressi
dari ujung atas menjadi 20°. Tentukan kecepatan kapal dalam km/jamPenyelesaian
Pada gambar diatas menunjukkan AB adalah cliff dan posisi awal di C dan posisi akhir di titik D. Karena sudut depressi awal adalah 30° maka ACB = 30°(sudut alternatif anatara garis paralel)
11 Dwina K
Sudut Depressi (2)
karena
b) Kapal berlayar sejauh 76,1 m dalam 1 menit atau 60 detik, sehingga kecepatan kapal
∆ ABD,
Sehingga
a) Jadi posisi awal kapal dari dasar cliff adalah 129,9 m
Km/jam
Km/jam Km/jam
Latihan
1. Dari ujung atas vertikal cliff mempunyai tinggi 90 m dengan sudut depressi kapal 19° 50’ Tentukan jarak kapal dari cliff
2. Dari ujung atas vertikal cliff yang mempunyai tinggi 80 m, terbang 2 buoys ke arah barat cliff adalah 23° dan 15° Berapa jauh buoys mendarat
12 Dwina K
Rumus Sinus (1)
C
c
B
b
A
a
sinsinsin
Pada segitiga XYZ, X = 51°, Y = 67°, dan YZ = 15,2 cm. Tentukan panjang sisi segitigalainnya
Contoh 1 (1 sisi dan 2 sudut diketahui)
Penyelesaian
Segitiga XYZ dapat dilihat pada gambar berikut, Karena jumlah sudut segitiga 180° maka z= 180° - 51° - 67°= 62°
Menurut rumus sinus didapat
Gunakan
Sehingga didapat
Gunakan
Sehingga didapat
62sin67sin15 sin
2,15 zy
67sin15 sin
2,15 y
XZcmy
00,18
15 sin
67 sin 2,15
62sin15 sin
2,15 Z
XYcmz
27,17
15 sin
62 sin 2,15
13 Dwina K
Rumus Sinus (2)
mma
a
20,175178
949sin 31,22'5178sin
31,22
'949sin
Contoh 2 (2 sisi dan 1 sudut diketahui)
Pada segitiga ABC, B = 78°51’, AC= 22,31 mm, dan AB = 17,92 mm. Tentukan panjang sisi segitigalainnya
PenyelesaianMenurut rumus sinus didapat
Sehingga didapat
Jadi
Menurut rumus sinus didapat
Jadi dan BC = 17,20 mm
Latihan1. Tentukan panjang sisi segitiga PQR lainnya, jika
diketahui Q = 36°, QR= 36,5 mm, dan PR= 26,6 mm.
2. Tentukan panjang sisi segitiga ABC lainnya, jika
diketahui A = 29°, B = 68°, b= 27 mm
3. Tentukan panjang sisi segitiga ABC lainnya,
jika diketahui B = 71°26’, C = 56°31’, b= 8,60 cm
Csin
92,17
' 1578 sin
31,22
' 0527881,0sin
7881,022,31
' 5187sin 92,17 sin
1
C
C
'949'052'5178180 A
'052 ,'949 CA
14 Dwina K
Rumus Cosinus (1)
a2 = b2+ c2 – 2bc cos A atau
b2 = a2+ c2 – 2ac cos B
c2 = a2+ b2 – 2ab cos Catau
Contoh 1 (2 sisi dan 1 sudut diketahui)
Pada segitiga DEF, E = 64°, DE = 25.0,dan EF = 35 cm. Tentukan panjang sisi segitigalainnya
Penyelesaian
Menurut rumus cosinus e2= d2 + f2 – 2df cos E
= (35.0)2 + (25.0)2 - (2(35.0)(25.0) cos 64°) = 1225 + 625-76.1 =1083 e =√1083 = 32.91 cm
F =136°56’ tidak dapat karena 136°56’+ 64° lebih Besar dari 180°. Jadi hanya F = 43°4’Jadi 180° - 64°- 43°4’ = 72°56’
Menurut rumus sinus
Contoh 2 (3 sisi diketahui)
Pada segitiga ABC, sisi a = 9,0 cm,b = 7,5 cm dan c = 6,5 cm. Tentukan ketiga sudut segitiga ABC
Penyelesaian
'443
6828,0sin
6828,032,91
9,6674sin 5,02 sin
sin
0,25
64 sin
91,32
1
F
F
F
15 Dwina K
Rumus Cosinus (2)
Menurut rumus cosinus : a2= b2 + c2 – 2 bc cos A
Jadi 2 bc cos A = b2 + c2 - a2
bc
acbA
2cos
222
1795,0)5,6)(5,7(2
0.95,65,7 222
A = cos -1 0,1795 = 79,66°
Menurut rumus sinus
Latihan1. Tentukan panjang y pada gambar berikut
2. Tentukan panjang segitiga XYZ dengan menggunakan rumus cosinus dan rumus sinus
a) x = 10,0 cm, y = 8,0 cm, z = 7,0 cm b) x = 21 mm, y = 34 mm, z = 42 mm
8198,09,0
9,667sin 5,7 sin
sin
5,7
9,667 sin
0,9
B
B
28,45 06,5566,79180C
06,55 8198,0sinB 1
16 Dwina K
Aplikasi Rumus Sinus & Cosinus (1)
1. Terlihat pada gambar berikut 2 tegangan phasor. Jika V1 = 40 volt dan V2 = 100 volt maka tentukan nilai resultan(misal panjang OA) dan sudut resultan dibentuk dengan V1
Sudut OBA = 180° - 45° = 135°Gunakan rumus cosinus : OA2= V1
2 + V22 – 2V1V2 cos OBA
= 402 + 1002 – {2(40) (100) cos 135°} = 1600 + 10000 – (-5657°) = 17257Resultan OA = √17257 = 131,4 volt
Penyelesaian
Gunakan rumus sinus
AOB = sin-1 0,5381 = 32°33’
5381,0131,4
135sin 100sin
sin
100
135 sin
4,131
AOB
AOB
Jadi resultan tegangan adalah 131,4 volt di 32°33’ ke V1
17 Dwina K
Aplikasi Rumus Sinus & Cosinus (2)
Penyelesaian
Gunakan rumus sinus
3464,010,0
120sin (4,0)
PR
120sin Q sin
sin201 sin
P
R
R
PQPR
16'20 0,3464 sin R -1
'4439'1620120180 P
Jadi sudut inklinasi jib terhadap vertikal
7,38 120sin
'4439sin 10,0Q
'4439sin201 sin
0,10
R
QR
Gunakan rumus sinus
Jadi panjang QR = 7,38 m
2. Terlihat pada gambar berikut, PR menyatakan inclined jib crane dan panjang 10,0 m. Panjang PQ 4.0 m. Tentukan inklinasi jib terhadap vertikal dan panjang QR
18 Dwina K
Aplikasi Rumus Sinus & Cosinus (3)
2. PQ dan QR adalah phasor yang menyatakan arus alternating dalam rangkaian 2 cabang.
Phasor PQ = 20,0 A arah horisontal. Phasor QR (pertemuan di akhir PQ ke segitiga PQR) adalah 14,0 A dan membentuk sudut 35° terhadap horisontal. Tentukan phasor resultan PR dan sudut yang dibentuk terhadap phasor PQ
Latihan
1. Terlihat pada gambar berikut. Jika panjang tie rod PR = 8,0 dan panjang PQ = 4,5 m
Tentukan (a) Panjang jib RQ (b) Sudut antara jib dan tie rod
19 Dwina K
Luas Segitiga (1)
28,45 06,5566,79180C
06,55 8198,0sinB 1
2
c ba s dimana c)-(s b)-(s a)-(s [s
atauA sin 2
1atau Bsin
2
1atau Csin
2
1
atau segitiga x tinggialas x 2
1
iii
bcababii
i
Contoh 1
Didapat XZ = 18,0 cm dan XY = 17,27 cm
Penyelesaian
Dari contoh 1 rumus sinus, X = 51°, Y = 67°, dan YZ = 15,2 cm. Tentukan panjang sisi segitigalainnya dan luas segitiga
Luas segitiga XYZ :
2 8,12062 sin )0,18)(2,15(2
1 sin Z
2
1cmxy
atau
2 8,12067 sin )27,17)(2,15(2
1 Ysin
2
1cmxz
Pada segitiga ABC, sisi a = 9,0 cm,b = 7,5 cm dan c = 6,5 cm. Tentukan ketiga sudut segitiga ABC dan Luas segitga tersebut
Contoh 2
Penyelesaian
A = cos -1 0,1795 = 79,66°Didapat
20 Dwina K
Luas Segitiga (2)
cm
cm
csbsass
5,112
5,65,70,9
2
cba s
dimana
98,23)0,5)(0,4)(5,2(5,11[
6,5)]-7,5)(11,5-9,0)(11,5-[11,5(11,5
))()(([
2
Luas segitiga ABC : Latihan
Gunakan rumus sinus dan rumus cosinus untuk menentukan sudut lainnya dari segitiga PQR dan tentukan luas segitiga PQR
a) q = 12 cm, r = 16 cm, P = 54°b) q = 3,25 m, r = 4,42 m, p = 105°