Módulo

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Fatiga

Fractura por fatiga por flexión rotatoria iniciada en un chavetero Eje de acero de diámetro 100 mm que falló luego de un largo período de servicio. Las fallas por fatiga iniciaron en ambas esquinas del chavetero siguiendo el canto vivo de la ranura circunferencial. La propagación de la fisura muestra que la misma fue lenta al principio pero se incrementó progresivamente en tanto el área efectiva transversal decrece.

Falla por fatiga de un cigüeñal Este cigüeñal falló en flexión pura. El fabricante querrá ser capaz de predecir con cierta precisión la confiabilidad de estos cigüeñales luego de un año de servicio a un esfuerzo de 20 ksi.

Introducción

Hasta la segunda mitad del siglo XIX, los problemas de ingeniería que involucraban esfuerzos y resistencia se manejaban casi completamente sobre la base de consideraciones estáticas.

Habían relativamente pocas fuentes de cargas dinámicas severas puesto que la maquinaria existente usualmente involucraba bajas velocidades y cargas.

Con el desarrollo de las máquinas de vapor, se volvieron comunes mayores cargas dinámicas y comenzaron a aparecer fallas que no podían ser explicadas.

Imaginemos la situación, por ejemplo en que un ingeniero de diseño de las primeras locomotoras a vapor, el cual ha aprendido que un eje falla después de algunos cientos de miles de Km en servicio.

Dicho eje fue diseñado sobre la base de criterios aceptados de resistencia, se comportó perfectamente bien por un período de tiempo y, repentinamente se rompió en dos partes mientras era sometido solamente a cargas normales (comunes).

Lo que es más, el eje estaba hecho de una aleación de hierro de razonable ductilidad, mientras que la fractura parecía ser del tipo frágil. Cuando se unían, las dos partes rotas parecían unirse como un eje sin distorsión y, para mayor confusión aún, cada parte rota era tan dúctil como podía serlo un eje nuevo!!!!

Timoshenko sugiere que el término fatiga pudo haber sido introducido por Poncelet en 1839, dicho término parecía apropiado para la época porque las fallas de este tipo ocurrían solamente luego de diferentes períodos de servicio. Los especialistas modernos sugieren que el término fractura progresiva hubiera sido más apropiado.

En 1849 comenzó una real preocupación acerca de las fallas por fatiga - La British Institution of Mechanical Engineers se reúne para considerar el problema de roturas repentinas en ejes de ferrocarril luego de períodos relativamente cortos de servicio. En el mismo año Hodgkinson también fue comisionado para estudiar la interrogante acerca del uso de hierro forjado y hierro fundido en el ferrocarril.

En 1852 el gobierno francés forma una comisión para estudiar el problema y determinar cuando deberían ser retirados del servicio los ejes de forma de prevenir las fallas.

• Entre 1852 y 1869, A. Wöhler (jefe de ingenieros de ferrocarriles) en Alemania; construye la primer máquina para ensayos de cargas repetidas. El descubrió que:

(1) Es mas importante el número de ciclos de esfuerzo que el tiempo de ensayo transcurrido.

(2) Los materiales ferrosos pueden soportar un número infinito de ciclos de esfuerzo siempre que los mismos se encuentren por debajo de ciertos valores límite.

• W.J.M.Rankine (Ingeniero de ferrocarriles) – Características distintivas de las fracturas por fatiga notando especialmente las partes que contienen ángulos con filo.

• Los primeros estudios fueron realizados para:

2. Acumular una suficiente cantidad de datos de ensayos con el propósito de determinar empíricamente las propiedades a la fatiga de varios materiales y la forma en que dichas propiedades son influenciadas por las variables pertinentes.

1. Determinar los mecanismos básicos de fatiga y para contribuir a entender la forma en la cual las numerosas variables (propiedades estáticas del material, acabado superficial, estructura metalográfica, tipo de carga, naturaleza de la fluctuación de la carga, tamaño, forma, esfuerzos superficiales residuales, medio ambiente, temperatura, etc.) afectan a la parte en cuestión.

Descripción general de la fractura por fatiga

Cuando uno dobla repetidas veces un clip para papel no se produce aparente daño la primera o segunda vez, pero luego de repetir la fluencia la ductilidad del material finaliza y ocurre la fractura. Esto muestra un caso extremo de falla por fatiga de “bajos ciclos”. Más precisamente, puede ser llamada falla de fatiga por fluencia pues ocurren ambos; fluencia y fractura por fatiga.

Las fracturas por fatiga típicas no involucran deformaciones plásticas macroscópicas y ellas ocurren solo luego de varios miles o quizás algunos millones de ciclos de esfuerzo. En por lo menos un nivel sub-microscópico, sin embargo, si ocurre fractura por fatiga; deberá tener lugar deformación plástica (o deslizamiento). Cuando ello ocurre con cada inversión de la carga, pueden pasar una de dos cosas:

1. Si el deslizamiento es leve y el material tiene suficiente endurecimiento por deformación los puntos de deformación plástica local pueden volverse lo suficientemente reforzados de forma de detener el deslizamiento antes de que inicie la fisura.

2. Las regiones localizadas sujetas a deslizamientos cíclicos usualmente desarrollan fisuras sub-microscópicas. Dicho crecimiento y desarrollo forma una o más fisuras las cuales se propagan hasta que la sección se reduzca lo suficiente de manera de que la fractura completa ocurra con la aplicación final de la carga

• Las fracturas por fatiga se originan indefectiblemente en puntos localizados de particular vulnerabilidad. Estos puntos usualmente se localizan en concentradores geométricos de esfuerzos, tales como agujeros, filetes, chaveteros, filetes de rosca, etc.

• Lo que es más, las fallas se originan usualmente en granos que tienen una orientación desfavorable respecto al campo de esfuerzos existente, vale decir, con referencia a granos en los cuales el plano y dirección de deslizamiento natural coincide aproximadamente con el máximo esfuerzo cortante alternativo aplicado.

Falla por fatiga originada en el filete de un cigüeñal de avión [SAE 4340 - 320-Bhn].

Vista amplificada de la región de la muesca

• La parte de la superficie de la fractura representa la relativamente lenta propagación de la fisura y es conocida como la zona de fatiga y es usualmente “suave” o “aterciopelada” en apariencia a causa de la presión repetida de las superficies de fisuras adyacentes. El área que representa la falla final es usualmente llamada la zona instantánea (zona de fractura rápida).

Superficies típicas de fractura para ensayos de especímenes de laboratorio sometidos a un rango de diferentes condiciones de carga

Nucleación de fisuras

La formación inicial o nucleación de fisuras de fatiga están estrechamente relacionadas con el fenómeno de deslizamiento debido a esfuerzos cortantes estáticos.

A esfuerzos por debajo del punto nominal de la fluencia, dicha acción de deslizamiento está localizada en pequeñas zonas de altas concentraciones de esfuerzo.

El endurecimiento por trabajado y/o el endurecimiento por precipitación pueden reforzar dichas zonas puntualmente.

Deslizamiento y loop stress-strain

El desarollo de microfisuras iniciales se ilustra en la figura.Dicha muestra de aluminio fue sometida a 1:000.000 de ciclos de carga a un nivel para el cual se espera que cause falla a

los 2 x 1000000 ciclos.

La orientación de las fisuras iniciales de fatiga correlacionan bien con las direcciones de los planos de cortante máximo

• Experimentalmente se muestra que : 1. El factor de concentración efectivo de esfuerzos puede no ser tan

grande como el factor teórico. 2. Los materiales de grano fino son mas susceptibles al debilitamiento

por fatiga por muescas que los de grano grueso.

• Una implicancia de los conceptos anteriores es que un material perfectamente frágil (sin la capacidad de deslizamientos a niveles microscópicos) no debería fallar por fatiga

• Los materiales ferrosos con límites diferentes de resistencia tienen curvas esfuerzo-deformación las cuales son lineales por debajo de un límite elástico bien definido, lo cual sugiere que tienen lugar pequeños deslizamientos a esfuerzos por debajodel límite elástico macroscópico.

Propagación de fisuras

La propagación de una fisura por fatiga es un fenómeno diferente que el de la nucleación de la misma. Por un lado, la microfisura creciente sireve efectivamente como un elevador de esfuerzos. También, el material adyacente a la fisura experimentará deslizamientos cíclicos los cuales pueden reducir la ductilidad pero incrementan su resistencia ante futuros deslizamientos.

La dirección de una fisura por fatiga cambia y se vuelve aproximadamente normal a la dirección del esfuerzo tensil alternante existente

Las observaciones realizadas relativas a las direcciones de origen y propagación de fisuras son particularmente apropiadas para cargas alternativas de tracción (10.5a), donde el esfuerzo nominal máximo de tracción es el doble del de corte.

Para el caso de compresión alternativa (10.5b) no hay presentes esfuerzos de tensión disponibles en algún plano para abrir la fisura por lo que la única posibilidad es que se propague a lo largo de planos de deslizamiento sujetos a esfuerzos cercanos a los máximos alternativos de corte. Sobre esta base es evidente que la propagación de fisuras bajo cargas alternativas compresivas serán mucho más lentas que en tracción.

Las fisuras iniciadas por torsión alternante (10.5c) tienen esfuerzos nominales disponibles para propagación a lo largo de planos de máxima tensión o cortante.

La Fig 10.5d muestra esfuerzos combinados de tracción y torsión. El esfuerzo máximo de tracción vale nmax (n varía entre 1 y 2 dependiendo de las cargas)

Ensayos de flexión rotatoria con especímenes standard

A pesar de que la descripción del mecanismo de falla por fatiga ofrece hipótesis para explicar y correlacionar muchos hechos observados, no permite predecir características cuantitativas de fatiga del material sin la realización de ensayos reales de fatiga.

Wöhler fue el primer investigador en obtener razonable control sobre las variables que afectan el mecanismo de falla por fatiga (tamaño, forma, acabado superficial, métodos de fabricación, temperatura, etc)y realizar los estudios de fatiga de manera sistemática.

Las máquinas de ensayo por fatiga pueden aplicar cargas de flexión, torsión o axiales y estas pueden ser, completamente reversibles, o completamente reversibles superpuestas con cargas estáticas. La mayor cantidad de datos de fatiga son obtenidos de máquinas de ensayo de viags rotantes.

Es la más utilizada para determinar las propiedades básicas de fatiga. El motor M está acoplado en forma flexible al especimen de ensayo S, el cual se encuentra sometido a la carga sobre la viga.

Todos los rodamientos son autoalineantes de forma de asegurar que solo sean aplicadas cargas radiales.

El contador de revoluciones R registra el número de ciclos.

El contactor eléctrico C para el motor cuando el especimen rompe. La velocidad del motor usualmente es de 1750rpm, pero los ensayos muestran que los resultados no se ven afectados significativamente por variaciones entre 200 y 10000rpm.

El espesor del especimen es de 0,3in de diámetro y el radio de acordamiento es muy grande (9 – 7/8”) de forma de que no haya concentrador de tensiones. La superficie se encuentra “pulida a espejo” y se supone se encuentra libre de tensiones residuales.

Como el especimen rota, las fibras de arriba están siempre sometidas a compresión y las de abajo a tracción de la misma magnitud. De aquí que cada punto sobre la superficie experimenta un ciclo de esfuerzo completamente reversible con cada rotación

Máquina de ensayos de R.R.Moore

Una serie de ensayos realizados con varios pesos y utilizando especimenes de laboratorio confeccionados cuidadosamente de forma de que sean lo mas “idénticos” posible dan los resultados que se grafican en las denominadas curvas S-N , las cuales son curvas graficadas en coordenadas del tipo semilog o log-log. Observar que la intensidad del esfuerzo reversible que causa la falla luego de un número dado de ciclos es llamada resistencia a la fatiga correspondiente al número de ciclos de carga. Numerosos ensayos han establecido que los materiales ferrosos tienen un límite de fatiga (endurance limit) definido como el más alto nivel de esfuerzo alternante que puede ser soportado indefinidamente sin falla. El símbolo usual para el límite de fatiga es Sn (ver siguiente figura), donde la comilla indica el caso especial del ensayo estándar de Moore. La coordenadas log-log son particularmente convenientes para graficar las curvas S–N para materiales ferrosos para mostrar la parte recta que se puede ver en la fig. La Fig. c muestra el quiebre de las curvas S–N para materiales que tienen un límite a la fatiga definido. Este quiebre normalmente ocurre entre los 106 y 107 ciclos.

Datos representativos para un acero de 120 Bhn

CURVA S-N GENERALIZADA PARA ACEROS FORJADOS Posteriormente a los primeros ensayos de fatiga de Wöhler, muchos intentos se han realizado para correlacionar datos de fatiga con las propiedades estáticas del material. Las ventajas de encontrar una buena correlación son obvias; pues los ensayos de fatiga son muchísimo mas costosos y llevan mucho mas tiempo que los ensayos estáticos y los ensayos de dureza son mas deseables incluso cuando se realiza sobre partes reales (rara vez es destructivo). La resistencia a la fatiga de barras de acero está relacionada con su resistencia a la tracción y ésta con la dureza. El porqué la resistencia a la fatiga deba ser relacionada con la resistencia última en vez de la resistencia a la fluencia no está del todo clara. La siguiente fig. muestra la curva S-N para probetas de acero forjado standard en las cuales todos los datos han sido normalizados mediante la representación de esfuerzo como fracción de la resistencia última. Los datos reflejan resultados de aceros de hasta 200ksi de resistencia última a tracción.

•El ratio de fatiga (o endurance ratio S’n/Su) para aceros con Su por encima de 160ksi varía considerablemente. Tomando como base la curva anterior podemos graficar la curva S-N generalizada para cualquier acero forjado y puede ser aproximada conociendo solamente su resistencia última. Su 500 BHN S’n 0,5Su 250BHN •Dos limitaciones importantes a la curva generalizada deben ser enfatizadas: Esta curva es solo una estimación. Dicha curva S-N aplica solo al caso particular de probetas pulidas de 0,3in de diámetro, libre de muescas y sometida a flexión rotatoria.

Predicción de vida a la fatiga con cargas variables aleatorias

Para un gran porcentaje de partes mecánicas y estructurales sometidas a esfuerzos que varían aleatoriamente en cuanto a la intensidad de los ciclos de esfuerzo (por ej. Suspensión de automóviles y partes aeronáuticas), la predicción de vida a la fatiga es bastante complicada. Palmgren (1924) y Miner (1945) propusieron un procedimiento usualmente llamado regla lineal de daño acumulativo:

Donde n1, n2 ,……., nk representan el número de ciclos a niveles específicos de sobreesfuerzo, y N1, N2 ,……., Nk representan la vida (en ciclos) para dichos niveles de sobreesfuerzo tomados de la curva S-N apropiada.

Ejemplo: predicción de la vida a la fatiga, esfuerzos reversibles

CURVA S-N GENERALIZADA PARA MATERIALES FERROSOS FUNDIDOS La figura anterior puede ser utilizada para estimar las características a la fatiga de acero fundido e hierro fundido bajando el endurance ratio de 0.5 a 0.4. Dicho valor está del lado conservador de la banda de dispersión para los ensayos estándar. Sumado a que el endurance ratio de 0,5 mostrado antes está del lado conservador en el acero forjado. Hay evidencia de que el quiebre de la curva S-N para el hierro fundido puede aparecer a un número mayor de ciclos que en el acero. Grant reporta algunas fallas luego de mas de 107 ciclos y recomienda extender los ensayos a 20 millones de ciclos.

Límite de fatiga vs. dureza para 4 aceros aleados.

Aleaciones de aluminio El aluminio y la mayoría de aleaciones ymetales no ferrosos requieren un largo período de ensayos para establecer el límite de fatiga o parece que no presentan dicho límite. Para determinar las curvas S-N para dichos metales, los ensayos son comunmente llevados a 5 x 108 ciclos.

S-N bands for representative aluminum alloys, excluding wrought alloys with Su < 38 ksi.

General range of S-N curves for magnesium alloys.

Aleaciones de magnesio

Efectos del tipo de carga, tamaño del especimen y acabado superficial

Hasta ahora se han predecido las curvas standard S-N para varios

materiales, las mismas estaban definidas solo para el caso particular de flexión rotatoria completamente reversible y aplicada sobre probetas de 0.3in de diámetro libres de muescas y pulidas a espejo. Ahora trataremos de modificar dichas curvas para poder tener en cuenta el tipo de carga (flexión, axial o torsión), el tamaño y el acabado superficial del especímen.

4 importantes restricciones siguen presentes: 1)No hay puntos con concentrador de tensiones 2)Carga completamente reversible 3)La carga es simple, i.e, sólo flexión, sólo axial o solo torsión y 4)El material es homogéneo (no endurecido ni carburizado por ej) y libre de esfuerzos residuales.

Representation of maximum bending stress at low fatigue life (1000 cycles). (Note: Calculated maximum stress is used in S-N plots.)

Generalized S-N curves for polished 0.3=in. diameter steel specimens (based on calculated elastic stresses ignoring possible yielding).

Se muestra la forma en que coinciden la teoría de la energía de distorsión con el límite de resistencia a la fatiga de los materiales dúctiles sometidos a todas las combinaciones de carga biaxial inversa.

1.Materiales dúctiles: Energía de distorsión

2.Materiales frágiles: teoría de Mohr

Carga bi-axial inversa

Efecto del esfuerzo medio en la resistencia a la fatiga

Las partes de máquinas y estructuras rara vez se encuentran sometidas a esfuerzos completamente inversos; más bien, encuentran casi siempre un esfuerzo fluctuante, el cual es una combinación de un esfuerzo estático más el esfuerzo completamente inverso. Un esfuerzo fluctuante por lo común se caracteriza por sus componentes media y alterna. Sin embargo, se usan también los términos esfuerzo máximo y esfuerzo mínimo.

•Obsérvese que si se conocen dos de ellas, las otras pueden calcularse fácilmente. En este curso usaremos principalmente las componentes de esfuerzo medio y alterno. La misma información puede obtenerse en forma gráfica combinando cualquier par de las componentes del esfuerzo mostradas en la figura anterior.

•Si existe el esfuerzo estático a la tensión, se reduce la amplitud de los esfuerzos alternos que pueden sobreponerse.

Reducción en el límite de fatiga a causa del acabado superficial para partes de acero

Stress gradients versus diameter for bending and torsion.

Resumen

Vigas de sección no circular

•La fluctuación (a) es un esfuerzo, completamente alterno que corresponde al límite de resistencia a la fatiga, el esfuerzo medio es cero y el esfuerzo alterno Sn, La fluctuación (b) implica un esfuerzo medio a la tensión. Con objeto de tener una vida a la fatiga igual (en este caso, “infinita”), el esfuerzo alterno debe ser menor que Sn.

Various fluctuating uniaxial stresses, all of which correspond to equal fatigue life.

Al pasar de (b) a (c), (d), (e) y (f) el esfuerzo medio se incrementa en forma continua; por lo tanto el esfuerzo alterno debe disminuir en forma correspondiente. Obsérvese que en cada caso se indica que la fluctuación de esfuerzos comienza en cero, y que los esfuerzos son valores calculados de P/A. Hay fluencia microscópica aun en (a). Al alcanzar (d), comienza la fluencia macroscópica, aunque las fluctuaciones de carga (e) y (f) dan vida ‘infinita’’, la parte cede en la primera aplicación de carga.

La siguiente fig. es una representación gráfica conveniente de las diversas combinaciones de esfuerzos medio y alterno en relación a los criterios tanto por fluencia como por diversas vidas a la fatiga. Con frecuencia se llama diagrama de vida a la fatiga constante debido a que tiene líneas que corresponden a una vida constante de 1000000 ciclos (o “infinita”), ida constante a 100000 ciclos y así sucesivamente.

Para comenzar la elaboración de este diagrama, se localiza primero la información que ya se conoce. El eje horizontal (a=0) corresponde a la carga estática. La fluencia y las resistencias últimas son los puntos A y B. Para los materiales dúctiles, la resistencia a la fluencia por compresión es - Sy, y esto se indica con el punto A’. Si el esfuerzo medio es cero y el esfuerzo alterno es igual a Sy (A’’) el esfuerzo fluctúa entre +Sy y -Sy. Todos los puntos a lo largo de A’A’’ corresponden a las fluctuaciones que tienen un máximo a la tensión de Sy.; todos los puntos en A’A’’ corresponden a la compresión máxima igual a — Sy. Todas las combinaciones de m y a que ocasionan fluencia están contenidas dentro del triángulo AA’ A’’. Todas las curvas S-N consideradas en este capítulo corresponden a m =0. Por lo tanto, pueden leerse en esas curvas los valores de puntos como C, D, E y F para cualquier vida a la fatiga. Al unir estos puntos con B se obtienen las líneas estimadas de vida cte. Este procedimiento para obtener líneas de vida constante se debe a Goodman, por lo que las líneas se conocen como líneas de Goodman.

Diagrama de vida constante a la fatiga. Materiales dúctiles. Cargas de flexión: Elaborar el diagrama como se muestra, tomando los puntos C, D y los siguientes de la curva S-N para la flexión inversa. Cargas axiales: Elaborar el diagrama como se muestra; tómense puntos C y los sucesivos de la curva S-N para cargas axiales inversas Cargas torsionales: Omitir la mitad izquierda del diagrama (cualquier esfuerzo torsional se considera positivo); tomar los puntos C y los siguientes de la curva S-N para torsión inversa; úsense Sys y Sus, en lugar de Sy y Su. (Para aceros, Sus~0.8Su y Sys~0.58Sy)

Cargas biaxiales generales: Dibujar el diagrama como si fuera para las cargas de flexión y utilizarlo con esfuerzos equivalentes de carga.

223 aaea

2

2

22m

mmem

1. El esfuerzo alterno equivalente de flexión se calcula mediante la teoría de la energía de distorsión haciéndolo equivalente a la combinación de los esfuerzos alternos existentes:

2. El esfuerzo medio de flexión equivalente se toma como el máximo esfuerzo principal que resulta al sobreponer todos los esfuerzos estáticos (medios) existentes (utilizar el círculo de Mohr)

Fatigue-strength diagram for alloy steel, Su = 125 to 180 ksi, axial loading. Average of test data for polished specimens of AISI 4340 steel (also applicable to other alloy steels, such as AISI 2330,

4130, 8630). (Courtesy Grumman Aerospace Corporation.)

Fatigue strength diagram for 2024-T3, 2024-T4, and 2014-T6 aluminum alloys axial loading. Average of test data for polished specimens (unclad) from rolled and drawn sheet and bar. Static properties for 2024: Su = 72 ksi, Sy = 52 ksi; for 2014, Su = 72 ksi. Sy = 63 ksi. (Courtesy Grumman Aerospace Corporation.)

Fatigue stress diagram for 7075-T6 aluminum alloy, axial loading. Average of test data for polished specimens (unclad) from rolled and drawn sheet and bar. Static properties: Su = 82 ksi, Sy = 75 ksi. (Courtesy Grummon Aerospace Corporation.)

Axial loading of precision steel part.

Estimate S-N and σm and σa curves for steel, Su = 150 ksi, axial loading, commercially polished surfaces.

Reversed-load fatigue tests, notched versus unnotched specimens.

Obs: se puede multiplicar q x CS para obtener resultado más preciso aún (Juvinall)

Cargas biaxiales generales con concentración de esfuerzos

22 )(3)( aftbafbaafaea kkk

2

2

22m

mmem

1. El esfuerzo alterno equivalente de flexión se calcula mediante la teoría de la energía de distorsión afectando cada esfuerzo por los concentradores a la fatiga que corresponda en cada caso:

2. El esfuerzo medio de flexión equivalente no se ve afectado por considerarse carga del tipo «estático»

Curvas de sensibilidad a la entalla Notas: (1) r es el radio en el punto donde la potencial grieta de fisura se origina. (2) Para r > 0.16 in. extrapolar o usar q 1.

Estimation of fatigue life for repeated application of stresses shown in Figure 4.43; with steel, Su = 450 MPa, Sy = 300 MPa. (Continued on next slide.)

Eje sometido a torsión alternante y media.

Fatigue stress diagram for Sample Problem

Ejemplo – disco. (Continúa en la siguiente transparencia)

Figura (cont.)

Fatigue life prediction, randomly varying stresses (Sample Problem 8.6.) (Continued on next slide.)

Figure 8.30b (cont.)

Stress and strength gradients, surface-strengthened notched part subjected to

axial load.

Crack size versus number of cycles for Δσ constant.

Figure 8.33 (p. 330)

Three stages of crack growth on dc/dn (log) versus Δk (log) for Δσ constant.

3 interpretaciones del Factor de Seguridad que involucran esfuerzos medios y alternos.

Factor de seguridad para fatiga

1. Si los esfuerzos alternantes y medios se incrementan el mismo porcentaje durante la sobrecarga, el punto P será el de sobrecarga de diseño, y el factor de seguridad estará dado por FS = OP/ON = OE/OD = OB/OA 2. Si solamente se incrementa la componente alternante del esfuerzo durante la sobrecarga, el punto Q será el de sobrecarga de diseño y el factor de seguridad estará dado por FS = OF/OD 3. Si solamente se incrementa la componente media del esfuerzo durante la sobrecarga, el punto R será el de sobrecarga de diseño y el factor de seguridad estará dado por FS = OC/OA

Figure P8.27 (p. 341)

Figure P8.28 (p. 341)

Figure P8.30 (p. 342)

Figure P8.40 (p. 344)

Figure P8.41 (p. 344)