Modulo 14 de_a_y_t

163Álgebra y trigonometría

6Funciones

exponencial y

logarítmica

Capítulo 6

Módulo 14

La función exponencial

Módulo 15

La función logarítmica

Módulo 16

Ecuaciones exponenciales

y logarítmicas

Ejercicios

Capítulo 6, módulos 14 al 16Presentación

Casi todas las funciones definidas hasta ahora han sido funciones algebraicas, es

decir, funciones definidas mediante operaciones algebraicas básicas sobre varia-

bles y constantes. En este capítulo se estudiarán dos nuevos tipos de funciones,

que son la exponencial y la logarítmica.

El crecimiento de ciertas especies, en biología, se puede modelar mediante funcio-

nes exponenciales. Estas funciones también se usan para describir interés com-

puesto, en economía, y fenómenos de desintegración radiactiva en física y química.

La frase «crecimiento exponencial» describe una serie de fenómenos que tienen

que ver con el uso de la energía, la población, la explotación del subsuelo y otros

temas.

Paralela a la función exponencial, se estudiará la inversa de esta función, que no es

mas que la función logarítmica. En particular, se va a definir en qué consiste el

logaritmo de un número y se demostrarán las principales propiedades de los

logaritmos.

El crecimiento de muchas especies es exponencial.

Contenido breve

164


Introducción

En este módulo se definirá una función de la forma ty Ca con C > 0 y a > 1, que

se llama función exponencial creciente. Más adelante se definirá una función similar

con 0 < a < 1, que se utilizará para modelar problemas de desintegración radiactiva

y declinación exponencial.

Objetivos

1. Definir en qué consiste el crecimiento exponencial.

2. Definir la función exponencial.

3. Conocer diversas aplicaciones en las que interviene la función exponencial.

Preguntas básicas

1. ¿Qué es crecimiento exponencial y decrecimiento exponencial?

2. ¿En qué consiste la declinación exponencial?

3. ¿En qué consiste el tiempo de vida media?

Contenido

14.1 Crecimiento exponencial. La función exponencial

14.1.1 Consideraciones preliminares

14.1.2 La función exponencial

14.1.3 Declinación exponencial

Vea el módulo 14 delprograma de televisión

Álgebra y trigonometría

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http://docencia.udea.edu.co/cen/AlgebraTrigonometria/

14La función exponencial

Augustin Louis Cauchy (1789-1857)

Agustin Louis Cauchy fue pionero en el análisis y la teoríade permutación de grupos. También investigó laconvergencia y la divergencia de las series infinitas,ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad yfísica matemática.

Cauchy trabajó como un ingeniero militar y en 1810 llegóa Cherbourg a colaborar junto a Napoleón en la invasión aInglaterra. En 1813 retornó a París y luego fue persuadidopor Laplace y Lagrange para convertirse en un devoto delas matemáticas.

Augustin Louis Cauchy ocupó diversos puestos en la Facultadde Ciencias de París, el Colegio de Francia y la EscuelaPolitécnica. En 1814 publicó la memoria de la integraldefinida que llegó a ser la base de la teoría de las funcionescomplejas. Gracias a Cauchy, el análisis infinitesimaladquirió bases sólidas.

Numerosos términos matemáticos llevan su nombre: elteorema integral de Cauchy, la teoría de las funcionescomplejas, las ecuaciones de Cauchy-Riemann y lassecuencias de Cauchy.

166

Capítulo 6: Funciones exponencial y logarítmica

14.1 Crecimiento exponencial. La función exponencial

14.1.1 Consideraciones preliminares

Muchos organismos simples se reproducen por división celular. Se puede pensar

en una célula que cada día se replica, tal que al día siguiente hay dos células y así

sucesivamente. Si se supone que inicialmente, en el día cero, hay 50 células y se

hace una tabla que tenga en cuenta las condiciones anotadas anteriormente, se

tendrá (tabla 14.1):

Tabla 14.1. Crecimiento exponencial de una población bacteriana

Si se denota por ! "f t el número de células que existen en el día t, la tabla parece

sugerir una expresión general para ! " ,f t teniendo en cuenta que:

0

1

2

3

4

5

6

50 50 2

100 50 2

200 50 2

400 50 2

800 50 2

1600 50 2

3200 50 2

#

#

#

#

#

#

#

O sea que, utilizando razonamientos intuitivos, se tiene una expresión para el creci-

miento poblacional de estas células que viene dada por ! " ! "50 · 2tf t , donde t

es una variable que se mide en días.

La fórmula ! " ! "50 2tf t # no es más que un modelo de crecimiento poblacional,

que aporta una buena aproximación al crecimiento de organismos simples siempre y

cuando la población inicial no sea muy grande. Hay que hacer notar, además, que el

crecimiento poblacional es un proceso continuo y que por tanto no ocurre a inter-

valos unitarios de tiempos precisos, es decir, no es un proceso discreto. Este tipo de

crecimiento, ejemplificado anteriormente, se llama crecimiento exponencial.

Existen muchos casos de crecimiento exponencial, como por ejemplo la ganancia de

dinero por interés compuesto. Supóngase que se depositan $100.000 en una corpo-

ración de ahorro y vivienda al 6% de interés compuesto cada año. Lo que ocurre en

los primeros años con el dinero ahorrado se escribe en la tabla 14.2.

2 3 4 5 6

200 400 800 1.600 3.200

t

f(t)

0

50

1

100


Módulo 14: La función exponencial

Escuche Historia de Cauchy ensu multimedia de Álgebra y

trigonometría

Después de un año el banco añade intereses de 0.06 100.000 $6.000# a los

$100.000 iniciales, dando un total de $106.000. Se observa que

! "106.000 100.000 1.06 . #

Durante el segundo año, los $106.000 ganan el 6% de interés y al final del año se

tendrá:

! " ! " ! "! " ! "! "2

106.000 0.06 106.000 106.000 1.06

100.000 1.06 1.06

100.000 1.06

112.360.

$

Continuando de esta manera, el capital, que se denotará por ( )C t , crecerá a

! " ! "3100.000 1.06# al final del tercer año. Por tanto, una expresión para el valor

capital depositado, después de t años, viene dada por ! " ! "100.000 1.06t

C t # .

Funciones como las descritas en los dos ejemplos anteriores se llaman funciones

exponenciales y se definen a continuación.

14.1.2 La función exponencial

Una función exponencial es una expresión de la forma siguiente:

! " ,tf t b 0,b % b & 1.

Donde b es una constante denominada base y el exponente t es una variable. El

dominio de la función es el conjunto de los números reales. El rango de la función

es el conjunto de los números reales positivos.

La gráfica de la función exponencial, en el caso de b > 1, es la que se muestra en la

figura 14.1. Como puede observarse, la función es creciente y por tanto es una

función 1 a 1. A medida que el valor de la variable independiente se hace más

negativa, el valor de la función se acerca a cero, tomando valores positivos, pero

nunca llega a ser cero. Se dice entonces que la recta y = 0 es una asíntota horizontal

de la función.

Tabla 14.2. Crecimiento exponencial. Interés compuesto.

t

Capital

0

100.000 106.000 112.360 119.101.60 126.247.70

1 2 3 4

168


Figura 14.1. La función exponencial f(t) = bt, b > 1

Figura 14.2. La función exponencial f(t) = bt, 0 < b < 1

t

y

1

t

y

1

Escuche Modelos de crecimientoen su multimedia de Àlgebra y

trigonometría

Consideraciones similares se pueden hacer cuando se hace un análisis de la gráfica

de la función ! " tf t b cuando 0 < b < 1. La gráfica de la función, en el caso de que

0 < b <1, es la siguiente (figura 14.2):

De las gráficas anteriores se puede notar que la función exponencial, o bien es

creciente, o bien es decreciente. Por consiguiente, esta función es 1 a 1 y tiene

sentido definir su función inversa; ésta se definirá en la siguiente sección.

Ejemplo 1

Grafique ! " 2tf t para 3 3.t' ( (

Solución

Si se hace una tabla con algunos valores de t en ese intervalo, se tendrá (tabla 14.3):


Módulo 14: La función exponencialTabla 14.3. Valores de t y f(t)

Figura 14.3.

Por tanto, su gráfica es (figura 14.3):

Con frecuencia se utiliza, como base de la función exponencial, el número irracional

e y se define la función ! " .tf t e En cursos de cálculo, en particular cuando se

estudie el concepto de límite, se mostrará que e está dado por la expresión 1

1

n

n

) *$+ ,- .

cuando n se hace arbitrariamente grande.

14.1.3 Declinación exponencial

En el mundo real ocurren fenómenos de decrecimiento exponencial, que pueden ser

modelados mediante la función ! " ,tf t cb con c > 0 y 0 < b < 1. Por ejemplo,

algunos elementos radiactivos, como el uranio, se desintegran siguiendo el modelo

exponencial citado anteriormente.

En esta sección es importante el concepto de vida media, que se define como el

tiempo requerido para que la mitad de una sustancia radiactiva presente en un

tiempo inicial se desintegre. Esta importante propiedad se utiliza para calcular la

edad de objetos antiguos como fósiles, utilizando el hecho de que el carbono 12

presente en los seres vivos se renueva constantemente y la relación entre el carbo-

no y su isótopo, el carbono 14, permanece constante. Después de la muerte, este

isótopo deja de renovarse; se sabe que la vida media del carbono 14 es de 5.730

años. Así, si un fósil posee sólo la mitad del carbono 14 presente en los seres vivos,

quiere decir que ese fósil tiene una antigüedad aproximada de 5.730 años.

1

x

y

1 2 3

2

1'2'3'

1

2

t

f(t)

3

8

21

42

0

1

3 2 1

1

8

1

4

1

2

170

Capítulo 6: Funciones exponencial y logarítmicaEjemplo 2

Si una cantidad P de dinero se invierte a 6% de interés compuesto anual, y si se

supone que no se realiza ningún retiro, ¿en cuánto tiempo se duplicará el capital?

Solución

Al final del primer año el capital acumulado será:

! "0.06

1 0.06 .

C P P

P

$

$

Al final del segundo año el capital será:

! " ! "! " ! "

! "2

1 0.06 0.06 1 0.06

1 0.06 1 0.06

1 0.06 .

C P P

P

P

$ $ $

$ $

$

Siguiendo con el análisis anterior, al cabo de n años el capital será ! "1.06 .n

C P

Para encontrar el tiempo en que se duplica el dinero, se reemplaza C en la ecuación

! "1.06n

C P por 2P y se resuelve para n.

! "

! "

2 1.06 ,

2 1.06 .

n

n

P P

Usando una calculadora científica se obtiene que 12n / años.

Ejemplo 3

Si la cantidad P del ejemplo anterior se invierte al 6% de interés compuesto anual

liquidado cada cuatrimestre, y si se supone que no se realiza ningún retiro, ¿en

cuánto tiempo se duplicará el capital?

Solución

En este caso, 6% de interés anual equivale al 2% cada cuatrimestre. Para encontrar

el número de cuatrimestres necesarios para que se duplique el dinero, se reemplaza

C en la ecuación ! "1.02n

C P por 2P y se resuelve para n.



! "

! "

2 1.02 ,

2 1.02 .

n

n

P P

Usando una calculadora científica se obtiene que 35.n / Por tanto, 35 cuatrimestres

equivalen a 11 años y 8 meses.

Se concluye, entonces, que es más rentable colocar dinero a interés compuesto

pagadero en intervalos de tiempo pequeños.

Ejemplo 4

Se invierte una suma de 1.000 dólares a una tasa de interés del 12% anual. Determine

los montos de la cuenta después de 3 años si el interés se calcula anualmente,

semestralmente, trimestralmente, mensualmente y diariamente.

Solución

Como se ha deducido en los ejemplos anteriores, el capital C resultante después de

n periodos compuestos viene dado por la fórmula:

1 ,

n tr

c pn

) * $+ ,- .

donde

c = monto después de t años.

p = capital inicial.

r = tasa de interés anual.

n = veces que se calcula el interés al año.

t = número de años.

En nuestro caso se tiene que:

P = $1.000, r = 0, 12 y t = 3

Periodos de composición n Monto después de 3 años

2 30.12

1.000 1 1.418.522

#) *$ + ,

- .

1 30.12

1.000 1 1.404.931

#) *$ + ,

- .Anual

Semestral

Trimestral

Mensual

Diario 365

12

4

2

1

4 30.12

1.000 1 1.425.764

#) *$ + ,

- .12 3

0.121.000 1 1.430.77

12

#) *$ + ,

- .365 3

0.121.000 1 1.433.24

365

#) *$ + ,

- .

172


A partir del anterior ejemplo, se observa que el interés pagado aumenta conforme se

incrementa el número n de periodos compuestos. Veamos qué ocurre si n se

incrementa de manera indefinida.

Si hacemos ,n

mr

entonces

11 1 1 .

r tn r t

nt mrr r

c p p t pn n m

0 1 0 1) * ) * ) *2 3 $ $ $2 3+ , + , + ,2 3- . - . - .2 34 54 5

En un primer curso de cálculo se estudia que cuando m aumenta, la cantidad

11

m

m

) *$+ ,- .

tiende al número e. Por tanto el monto tiende a c = per t .

Esta expresión da el monto cuando el interès se compone «a cada instante».

Ejemplo 5

Determine el monto después de 3 años si se invierten 1.000 dólares a una tasa de

interés de 12% anual, continuamemnte compuesta.

Solución

En este caso, p = $1.000, r = 0,12 y t = 3.

Por tanto:

C = 1.000 e0.12 x 3 = 1.000 e0.36

= 1.433.33.

Ejemplo 6

Una población que experimenta un crecimiento exponencial aumenta de acuerdo

con la fórmula.

m(t) = m0er t,

donde

m(t ) = población al tiempo t.

m0

= tamaño inicial de la población.

r = tasa de crecimiento relativo.

t = tiempo.

Si en 1995 la población de la Tierra era de 5.700 millones de personas, calcule la

población en el año 2035 utilizando una tasa relativa de crecimiento:

a. 2% anual.

b. 1.6% anual.



Solución

a. De acuerdo con la fórmula de crecimiento exponencial de la población, se

tiene que m (t)= 5.7 e 0.02 t, donde m (t) se mide en miles de millones y t se mide

en años a partir de 1995.

m(t) = 5.7 e0.2 x 40 / 12.7.

Por tanto la población estimada será de aproximadamente 12.700 millones

de personas.

b. Para este caso, m(t) = 5.7 e 0,016 t.

m(t)

!

10.8.

Por tanto la población estimada será de 10.800 millones de personas.

El ejemplo anterior muestra que una pequeña modificación en la tasa relativa de

crecimiento puede, con el transcurso del tiempo, provocar una gran diferencia en el

tamaño de la población.

Ejemplo 7

Una cierta raza de conejos fue introducida en una pequeña isla hace 8 años y se

estima que la población actual es de 4.100 conejos con una tasa de crecimiento del

55% anual.

a. ¿Cuál fue el tamaño inicial de la población de conejos?

b. Estime la población dentro de 12 años a partir de ahora.

Solución

a. La fórmula de crecimiento exponencial viene dada por

m(t) = m0e 0,55t

y se sabe que cuando t = 8, m(8) = 4.100.

Por tanto, 4.100 = m0 e 0,55 x 8.

m0 = 0,55 8

4.100,

e # m0

50./

En consecuencia, se estima que se introdujeron 50 conejos a la isla.

!

174

Capítulo 6: Funciones exponencial y logarítmicab. Como m

0 = 50, la fórmula para el crecimiento de la población viene dada por

n(t) = e0.55t.

Dentro de 12 años, t = 20 y m(20) = 50 e0.55 x 20 / 2.993.707.

Por tanto se estima que la población de conejos en la isla dentro de 12 años

será de aproximadamente tres millones.

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