INSTITUCION EDUCATIVA

NACIONAL AGUSTIN CODAZZI

MÓDULO DE GEOMETRÍA

GRADO NOVENO

2

TABLA DE CONTENIDO

pág.

UNIDAD 1

1. 2.

CONCEPTO DE RAZÓN Y PROPORCIÓN SEGMENTOS PROPORCIONALES

4 5

UNIDAD 2

1. 2. 3.

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS POLÍGONOS Y TRIÁNGULOS SEMEJANTES, CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS TEOREMA DE THALES, DE LA BISECTRIZ Y DE PITÁGORAS

6 6 7

UNIDAD 3

1. 2. 3.

DEDUCCIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO GRÁFICAS DE LAS RELACIONES SENO Y COSENO DEFINICIÓN DE CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA

10 11 13

UNIDAD 4

1. 2. 3.

ÁREAS DE REGIONES POLIGONALES Y ÁREAS SOMBREADAS ÁREAS Y VOLUMEN DE CUERPOS SÓLIDOS CÁLCULO DE VOLÚMENES DE CUERPOS SÓLIDOS

15 17 20

21 23

EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS BIBLIOGRAFÍA

3

UNIDAD 1

1. CONCEPTO DE RAZÓN Y PROPORCIÓN

La razón como concepto geométrico viene definido así: razón

de dos números es el cociente Indicado del primero entre el

segundo.

es importante el orden en que se dicen o escriben los términos.

se indica en forma de fracción.

los dos números se llaman términos de la razón.

el primer término se llama antecedente y el segundo término

consecuente.

¿Cuándo son dos razones iguales? Dos razones son iguales cuando el producto de medios es igual al producto de extremos.

Ejemplo

18:6 representa la razón de 18 entre 6, que es igual a 3 (18 tiene tres

veces 6). Su razón geométrica es 3, su antecedente 18, y su

consecuente 6.

La proporción es la igualdad de dos razones. Una proporción tiene

por tanto cuatro términos ordenados:

los cuatro números se llaman términos de la proporción

el primero y el último se llama extremos y el segundo y el

tercero se llaman medios.

Propiedades de las proporciones. 1 En cualquier proporción el producto de los medios Es igual al

producto de los extremos.

2. si el producto de dos números es igual al producto de otros dos,

cualquier par puede ocupar los medios de una proporción y el otro

par ocupará los extremos

3. Una proporción puede convertirse en una proporción equivalente

si se invierten el numerador y el denominador de cada una de las

fracciones.

4. Una proporción puede convertirse en una proporción equivalente

si se intercambian los medios o se intercambian los extremos.

5. Una proporción puede convertirse en una proporción equivalente si

en cada fracción al

numerador se le suma el denominador de la fracción

6. Una proporción puede convertirse en una proporción equivalente si

en cada fracción al numerador se le resta el denominador de la

fracción

7. Si tres términos de una proporción son iguales a tres términos de otra

proporción el cuarto término de la primera es igual al cuarto término de

la segunda

8. En una serie de razones (fracciones) iguales, si se suman

respectivamente los numeradores y denominadores de dos o más de estas

razones, la nueva razón obtenida es igual a cualquiera de las razones

inicialmente iguales

Ejemplo: la razón de 12 a 3, expresada como 12/3 o como 4, indica que

12 contiene a 3 cuatro veces. La razón de 8 a 2 es también 4, y por tanto,

según la definición de proporción, los cuatro números 12, 3 y 8, 2 están en

proporción. Esta proporción se expresa como 12:3::8:2, que se lee “12 es a

3 como 8 es a 2”.

EJERCICIOS…..

Supongamos que 420 galones de agua fluyen por una tubería

en 15 minutos. Exprese la razón de galones a minutos en los

términos más simples.

Encuentre los extremos y los medios en la siguiente

proporción:

Determine si el par de razones forman una proporción:

Resuelva la proporción:

Juan recorre 120 millas con 3 galones de gasolina. ¿Cuántos

galones necesitará Juan para recorrer 720 millas?

Una propiedad cuyo valor es de $48,000 paga $800 de impuesto.

¿Cuánto paga de impuesto otra propiedad cuyo valor es de

$120,000?

4

2. SEGMENTOS PROPORCIONALESLES

Un segmento es la porción de una recta limitada por dos puntos diferentes de la misma.

PROPORCIONALIDAD. Uno de los teoremas más importantes del trazado geométrico es el llamado Teorema de teorema Thales, que dice

lo siguiente: “Cuando dos rectas secantes son cortadas por una serie de rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son

proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra recta”

Vamos a verlo con un dibujo:

Las rectas secantes son r y s, que se cortan en P. Otras dos rectas t y u, que son

paralelas, cortan a r y s en los puntos A, A’ y B, B’ respectivamente. Thales nos

dice entonces que se cumple esta ley de proporcionalidad:

5

UNIDAD 2

1. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o

más triángulos presentan

ángulos y lados de igual medida

o congruentes.

Condiciones congruencia

de

y la congruencia de todos los ángulos de uno con todos los ángulos

correspondientes del otro.

Criterios de congruencia de triángulos

Dos triángulos son congruentes cuando sus tres lados y ángulos

también lo son. Sin embargo, puede demostrarse la congruencia de

dos triángulos si se sabe que algunas de sus partes correspondientes

son homólogas.

Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que

sean congruentes se denominan criterios de congruencia, los cuales

son:

Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son

respectivamente congruentes con los del otro, entonces los

triángulos son congruentes.

Criterio LAL: Si los lados que forman un ángulo, y éste, son

congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de

otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son

respectivamente congruentes con los mismos de otro triángulo,

entonces los triángulos son congruentes.

Para que se dé la congruencia de dos o más

triángulos, se requiere que sus lados respectivos sean congruentes,

es decir que tengan la misma medida. Esta condición implica que los ángulos respectivos también tienen la misma

medida o son congruentes.

Las figuras congruentes son aquellas que tienen la misma forma y

el mismo tamaño. Las partes coincidentes de las figuras

congruentes se llaman homólogas o correspondientes.

Para corroborar que dos triángulos son congruentes se debe asegurar

la congruencia de todos los lados de uno con todos los lados

correspondientes del otro

2. POLÍGONOS Y TRIÁNGULOS SEMEJANTES, CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Se dice que un polígono es semejante a otro, cuando los ángulos el primero son respectivamente iguales a los ángulos del segundo y cuando los lados

del primero son proporcionales a sus homólogos del segundo.

Dos triángulos son semejantes si:

- - -

Tienen dos ángulos iguales (A-A). Tienen los lados proporcionales (L-L-L). tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual (L-A-L).

EJERCICIOS…………..

1. Los lados de un triángulo miden 24 m., 18m. y 36 m., respectivamente. Si los lados de otro triángulo miden 12m., 16 m. y 24 m.,

respectivamente. Determina si son o no semejantes, justificando tu respuesta. 2. Si los triángulos ABC y A’B’C’ tienen iguales los ángulos marcados del mismo modo, establece la proporcionalidad de sus lados.

6

3. Los lados de un triángulo miden 36 m., 42 m. y 54 m., respectivamente. Si en un triángulo semejante a éste, el lado homólogo del primero mide 24 m., hallar los otros dos lados de este triángulo. 4. La razón de semejanza del triángulo ABC con el triángulo A’B’C’ es 3:4. Si los lados del primero son 18, 21 y 30, determina los lados del segundo.

3. TEOREMA DE THALES, DE LA BISECTRIZ Y DE PITÁGORAS

Teoremas de proporcionalidad de segmentos (Teorema de Thales)

Si tenemos dos rectas r y s de un plano, y en una de ellas r , tomamos dos segmentos cualesquiera AB ,BC , al trazar por los extremos de estos

segmentos rectas paralelas entre sí , que corten a la segunda recta s , determinarán en esta otros dos segmentos , proporcionales a los primeros, o

sea que se verifica: Si dos rectas un plano son cortadas por varias paralelas , los segmentos determinados en una de ellas son proporcionales a sus homólogos de la otra , es decir , la razón entre un segmento y su homólogo es constante

Teorema de la bisectriz. El teorema de la bisectriz del ángulo interno de un triángulo es un teorema de la geometría elemental la cual es una

consecuencia o corolario del Teorema de Tales. O lo que es equivalente: Dado el triángulo ABC, sea AD la bisectriz del ángulo interno A, ntonces

se cumple la proporción:

En este diagrama, siendo A el ángulo bisecado, BA:AC = BD:DC

7

Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. A

2 = b

2 + c

2

n todo triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los

otros dos lados menos el duplo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

En todo triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados más el

duplo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Para calcular un cateto en un triángulo rectángulo se sigue la siguiente fórmula b2+ c

2 = a

2

EJERCICIOS……….

Calcula la longitud de A’B’ en la figura adjunta

Calcula AB en la figura adjunta

Un árbol proyecta una sombra de 6 m y, a la misma hora y en el mismo sitio, un palo de 1,5 m

proyecta una sombra de 2 m. Calcula la altura del árbol.

Calcula la hipotenusa en el triángulo de la figura

8

Calcula el cateto de C en el triángulo de la figura

Calcula la hipotenusa en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6,6 cm y 8,8 cm

Calcula la longitud de un cateto en un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 20 m, y el otro cateto 16 m

9

UNIDAD 3

1. DEDUCCIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Llamamos razones trigonométricas a las distintas razones existentes entre los lados de un triángulo rectángulo. Se define: Seno de un ángulo como la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Coseno de un ángulo como la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa. Tangente de un ángulo como la razón entre el cateto opuesto y el contiguo. Cosecante de un ángulo como la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto, de ahí se deduce que la consecante es 1 entre el seno Secante de un ángulo como la razón entre la hipotenusa y el cateto contiguo, es 1 entre el coseno. Cotangente de un ángulo es la razón entre el cateto contiguo y el cateto opuesto, es 1 entre la tangente.

De las definiciones anteriores se deduce que:

EJERCICIOS…………

Dado el anterior triángulo rectángulo, se sabe que los catetos miden: a=5 b=8 Calcula la tangente del ángulo A

Se sabe que los catetos miden: a=7 b=8 Calcula la secante del ángulo A

Se sabe que los catetos miden: a=3 b=4 Calcula el seno del ángulo A

Se sabe que los catetos miden: a=3 b=8 Calcula la cosecante del ángulo A

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2. GRÁFICAS DE LAS RELACIONES SENO Y COSENO

Seno de un ángulo

El punto P, en la figura, se desplaza sobre la circunferencia centrada en el origen y cuyo radio vale 1. Al ángulo de giro lo llamamos A la ordenada del punto P la llamaremos seno de y se representa por: sen

Actividad

Completa la siguiente tabla ayudándote de la calculadora:

0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 225º 270º 315º 360º ángulo seno

La función seno

Actividad Representa la función senα. En el eje de abcisas sitúa los valores del ángulo en grados, en intervalos de 30º desde 0º hasta 360º.

La gráfica que has representado debe de ser semejante a la que tienes a continuación. Ahora en el eje de abcisas aparece la medida

del ángulo en radianes.

Es la gráfica de una función continua y definida en R

Los valores del seno se repiten cada 2π radianes (cada 360º). Este

valor se llama periodo de la función

Esta gráfica se llama sinusoide.

11

Coseno de un ángulo

Ahora en la siguiente figura observaremos la abcisa del punto P. La llamaremos coseno del ángulo

y se representa por: cos .

Actividad

Completa la siguiente tabla ayudándote de la calculadora:

ángulo coseno

0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 225º 270º 315º 360º

La función coseno

Actividad Ahora representa la función cos en el eje de abscisas sitúa los valores del ángulo en grados, en, intervalos de 30º desde 0 hasta 360º.

La gráfica que has representado debe de ser semejante a la que tienes a continuación. Ahora en el eje de abscisas está la medida del ángulo en

radianes.

También su domino es todo el conjunto R y se trata de una función continua.

Los valores del coseno también se repiten cada 2π radianes (cada 360º).

Esta gráfica se llama cosinusoide..

12

3. DEFINICIÓN DE CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA

En realidad la definición de circunferencia es "el conjunto de todos los puntos de un plano que están a una distancia fija de un centro".

Radio y diámetro El radio es la distancia del centro al borde. El diámetro empieza en un punto de la circunferencia, pasa por el centro y termina en el otro lado. Así que el diámetro es el doble del radio: Diámetro = 2 × Radio

Longitud de la circunferencia La circunferencia es la distancia alrededor del borde del círculo. Mide exactamente Pi (el símbolo es π) por el diámetro, o sea: Circunferencia = π × Diámetro Y estas fórmulas también: Circunferencia = 2 × π × Radio Circunferencia/Diámetro = π

Área del círculo El área del círculo es π por el cuadrado del radio, se escribe así: A=π×r

2 O, en términos del diámetro: A = (π/4) × D

2 Es fácil acordarse si piensas en el área del cuadrado en el que cabe el círculo.

13

Nombres Los círculos son objetos conocidos desde hace miles de años así que hay muchos nombres especiales. Nadie quiere decir "la línea que empieza en un punto de la circunferencia, pasa por el centro y termina en el otro lado" cuando

vale con decir "diámetro". Aquí tienes los nombres especiales más comunes:

Líneas Una línea que va de un punto de la circunferencia a otro se llama cuerda. Si la línea que pasa por el centro se llama diámetro. Si una línea "sólo toca" la circunferencia al pasar se llama tangente. Y una parte de una circunferencia se llama arco.

Trozos Hay dos tipos importantes de "trozos" de un círculo Un trozo "de pizza" se llama sector. Y un trozo marcado por una cuerda se llama segmento.

Sectores comunes El cuadrante y el semicírculo son dos tipos especiales de sectores: Un cuarto de círculo se llama cuadrante.

Medio círculo se llama semicírculo.

14

UNIDAD 4

1. ÁREAS DE REGIONES POLIGONALES Y ÁREAS SOMBREADAS

Consideramos primero el área de un polígono regular de n lados.

Teorema 24.2.1. El área de un polígono regular de n lados es el semiperímetro por la apotema.

Demostración: Sabemos que todo polígono regular de n lados se puede descomponer en n triángulos isósceles congruentes y de vértices

en el centro O. El área del polígono regular será la suma de las áreas de los triángulos isósceles.

El área del triángulo isósceles y el área del polígono es:

Área( polígono ) n( AOB ) n AB.OH 2 n ℓ n an /2

n .ℓ n.an 2

pero n .ℓ n es el perímetro (2 p ) del polígono. Por tanto :

Área polígono 2 p.an p.an 2

Teorema 24.2.2. El área de un círculo de radio r es el producto del número irracional π y el cuadrado del radio. Un círculo no puede

descomponerse en triángulos isósceles congruentes como lo hicimos con los polígonos regulares, pero puede dividirse en sectores

circulares congruentes suficientemente pequeños y considerados aproximadamente iguales a triángulos isósceles. Para lograr lo anterior

basta dividir la circunferencia en un número muy grande de arcos congruentes y trazar los segmentos radiales por sus puntos de

división.

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Si trazamos dos diámetros perpendiculares, la circunferencia queda dividida en cuatro arcos congruentes y el círculo en cuatro sectores circulares

congruentes de ángulo central 90° Si a continuación trazamos la s bisectrices. de estos ángulos rectos, obtenemos en la circunferencia ocho arcos

congruentes y en el círculo ocho sectores circulares congruentes de ángulo central 45° si continuamos en forma similar, obtenemos la

circunferencia; dividida en 16, 32, 64, 128, 256,.... arcos congruentes y el círculo en el mismo número de sectores circulares congruentes.

Si imaginamos la circunferencia dividida en un número par muy grande de arcos congruentes y al

círculo como la unión de igual número de sectores circulares congruentes, y disponemos estos sectores

como lo muestra la siguiente figura, obtendríamos una figura muy similar a un paralelogramo, de altura

igual al radio y de base igual a la longitud de la semicircunferencia.

Teorema 24.2.3. El área de un sector circular es el semiproducto de su radio y la longitud de su arco. Recordemos que un sector circular es la

región del círculo limitada por un ángulo central.

Consideremos el círculo dividido en 360 sectores circulares congruentes de ángulo central 1º. Entonces el área que corresponde a cada uno de

estos sectores es:

0

16

El área del sector circular puede expresarse como:

RESUELVA

1. Halle la base de un paralelogramo si el área es 48 cm2 , la base x + 3 y la altura x + 1.

2. En un paralelogramo halle la base si la base es a la altura como 5 es a 2, y el área del paralelogramo es 90 cm . 3. En un rombo encuentre: a) Una diagonal si la otra mide 14 cm y el área 42 cm

2

b) El lado, si el área es 54 m2 y las diagonales son entre sí como 4 : 3.

c) El lado, si el área es 100 m2 y una diagonal es el doble de la otra.

d) El lado, si el área es 24 m2 y una diagonal mide 8 m.

e) El lado, si el área es 6 m2 y una diagonal es cuatro veces la otra.

2. ÁREAS Y VOLUMEN DE CUERPOS SÓLIDOS

Las unidades de volumen son estandarizaciones que permiten dimensionar el número que indica el volumen. Como unidad base, se considera a un

cubo cuya arista mide un centímetro o un metro, un kilómetro, etc. Por definición su volumen tendrá el valor 1, acompañado de la unidad de su

arista elevada a tres. Por ejemplo, en la figura siguiente, el volumen del cubo mide un centímetro cúbico y se abrevia por 1 cm3 .

Volumen del cubo unidad = 1 cm3

17

En la siguiente tabla se muestra las unidades de medida de volumen más utilizadas:

Arista del cubo unidad

1 Milímetro

1 Centímetro

1 Decímetro

1 Metro

1 Decámetro

1 Hectómetro

1 Kilómetro

Unidad de volumen asociada

Milímetro cúbico

Centímetro cúbico

Decímetro cúbico

Metro cúbico

Decámetro cúbico

Hectómetro cúbico

Kilómetro cúbico

Abreviatura

mm

cm

3

3

dm

m3

3

Dm

Hm

Km

3

3

3

Si la unidad de volumen del cubo unidad es el centímetro cúbico,

entonces todos los volúmenes obtenidos a partir de él estarán en

centímetros cúbicos. Se sigue la misma analogía si el cubo unidad

tiene otra unidad de volumen.

Medición del volumen de algunos cuerpos simples con dos caras paralelas

Volumen de un cubo. Un cubo es cuerpo formados por seis caras

cuadradas y en cada vértice convergen 3 aristas mutuamente

perpendiculares.

El volumen de un cubo es igual al valor de su arista elevada a tres,

como muestra la siguiente figura: Si la arista del cubo adjunto mide 3

cm entonces su volumen se obtiene elevando a tres su arista:

Vcubo=(3cm)3 = 3

3 cm

3 = 27cm

3

El volumen a · a · a = a3 de un cubo se puede también definir como

el producto del área de la cara basal a · a por la altura a, es decir:

V = a · a · a= (a · a ) · a = a3

El hectómetro cúbico (Hm3 ), es una medida de volumen, con la que se

nombra, la capacidad de los embalses o de una tubería o de un trasvase de

agua.

Sería el volumen que ocupa un cubo de 100 m de lado.

1 Hm = 1.000.000 m3 = 10

6 m

3 . 3

Por lo tanto, si la arista de un cubo mide a, entonces su volumen se

calcula a través de la fórmula:

Litro. El litro es una unidad de capacidad, normalmente utilizada para

medir líquidos o sólidos granulares, y que corresponde al volumen que

ocupa1 Kg de agua a 4 °C y a 1 atm de presión.

18

Se abrevia con la letra l o con la letra L, para evitar problemas en la

tipografía, cuando la l puede confundirse con el número 1.

Equivale a la capacidad de un contenedor de un decímetro cúbico o a

una milésima de metro cúbico.

1 l = 1 dm3 = 0.001 m

3 = 10

-3 m

3

1 l = 1000 ml = 100 cl = 10 dl = 1 l = 1 dm3 = 0.001 m3

103 ml = 102 cl = 10

1 dl = 1 l = 1 dm

3 = 10

-3m

3

Muchas veces cuando preparamos un jugo volcamos el líquido en una

jarra o una botella. Cuando hacemos una torta volcamos el azúcar o la

harina en un recipiente. Se necesitan tantos gramos para llenar una jarra

o tantos gramos para llenar una cacerola. Por tanto hay una relación

entre las medidas de volumen, capacidad y peso.

Al igual que la masa, el volumen puede medirse en muchas unidades:

pintas, galones, arrobas, etc. Pero las medidas más usadas son el litro (l)

y la unidad del S.I. el metro cúbico (m3 ), que equivale a 1.000 litros

o, lo que es lo mismo, un litro es igual que un decímetro cúbico (dm3) o

sea que es la cantidad de agua que cabe en un cubo que tiene 1 dm de

arista. Las equivalencias entre los múltiplos y submúltiplos más

habituales del metro cúbico y el litro aparecen en la siguiente tabla:

Además de masa, los cuerpos tienen una extensión en el espacio,

ocupan un volumen. El volumen de un cuerpo representa la cantidad de

espacio que ocupa su materia y que no puede ser ocupado por otro

cuerpo.

Nombre Abreviatura Equivalencia en m3 Equivalencia en l

3

Hectómetro cúbico Hm

metro cúbico

Hectolitro

decímetro cúbico

m

hl

dm

3

10.000 m

1m 3

3 10.000.000 l

1.000 l

0'1 m

3

3 100 l

3 0'001 m

3

1l

3 centímetro cúbico c.c. o cm

decilitro

centilitro

mililitro

dl

cl

ml

0'000001 m

0'0001 m 3

0'001 l

0'1 l

0'00001 m 3 0'01 l

3 0'000001 m 0'001 l

Si observas un recibo del agua podrás ver que el agua que gastas no aparece en litros sino en metros cúbicos

Para medir el volumen de un líquido se emplean distintos recipientes graduados. Pero la relación entre las medidas de peso y volumen no es

constante. ¿Por qué? Porque solo un litro de agua destilada pesa 1kg.. Así por ejemplo 1 dm3 hierro pesa7,8 kg y un dm

3 de aceite pesa 0,92 kg.

.Entonces ¿cómo hacemos para averiguar la relación de volumen y peso de cualquier sustancia que no sea agua destilada?. Par eso necesitamos

conocer su peso específico que es la relación entre el peso y el volumen de cualquier parte de esa sustancia.

19

El volumen de un sólido no es tan fácil de medir. Si se trata de un sólido regular, como un cubo o una esfera, su volumen puede calcularse a

partir de sus medidas, ancho, alto y profundidad, con ayuda de las matemáticas. Si se trata de un cuerpo irregular la medición se hace de

forma indirecta: si llenamos un recipiente con un líquido, al introducir en él el sólido cuyo volumen deseamos conocer, el líquido se

desbordará del recipiente en tanta cantidad como volumen tenga el sólido introducido. Midiendo luego el volumen del líquido derramado

estamos midiendo el del sólido que sumergimos en él. Este método fue descubierto por Arquímedes un sabio griego del, siglo III antes de

Cristo.

3. CÁLCULO DE VOLÚMENES DE CUERPOS SÓLIDOS

El volumen nos indica la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo. Para medir el volumen de cuerpos regulares utilizamos las siguientes

ecuaciones matemáticas:

Ejercicios de áreas y volúmenes

1. Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y 2500 mm de alto. 2. Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se pinta la piscina a razón de 18.000 pesos el metro cuadrado. a. Cuánto costará pintarla. b. Cuántos litros de agua serán necesarios para llenarla.

3. En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo,

6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿Cuántas cajas podremos almacenar? 4. Determina el área total de un tetraedro, un octaedro y un icosaedro de 5 cm de arista. 5. Calcula la altura de un prisma que tiene como área de la base 12 dm

2 y 48 l de capacidad.

6. Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura. 7. Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la altura mide 125.66 cm. Calcular: a) El área total. b) El volumen 8. En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de hielo de 4 cm de arista. ¿A qué altura llegará el agua cuando se derritan? 9. La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica, de radio 50 m. Si restaurarla tiene un coste de 300 €, el m

2 , ¿A cuánto ascenderá

el presupuesto de la restauración?

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EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS

ROMPECABEZAS

EL TANGRAM El tangram es un rompecabezas de origen chino. Consta de un cuadrado

dividido en siete partes que forman siete figuras geométricas. Estas figuras

son: un cuadrado pequeño, dos triángulos pequeños, uno mediano, dos

grandes y un paralelogramo. Dentro de sus variaciones se encuentran los

cuadrados, que se dividen en diferentes figuras geométricas, la mayoría de ellas simétricas o regulares (Figuras 1 y 2).

LOS POLIOMINÓS

Los poliominós son polígonos construidos a partir de un conjunto

de cuadrados del mismo tamaño. Éstos se encuentran conectados

entre sí por uno de sus lados (lado adyacente), de tal forma que no

queden espacios huecos en el interior del polígono resultante.

De acuerdo con el número de cuadrados que se emplee podemos

hablar de dominós (2 cuadrados), triminós (3 cuadrados), tetrominós

(4 cuadrados), pentominós (5 cuadrados), etc.

Para que dos poliominós formados con la misma no puede ser

obtenido por reflexiones o rotaciones del otro (Figura 3).

Sin embargo, existen variaciones en las que se consideran diferentes

los poliominós obtenidos por reflexión, por rotación o por las dos

transformaciones (Figura 4).

Estos rompecabezas son especialmente interesantes porque sus piezas

forman un cuadrado y con ellas se puede armar una amplia gama de

figuras y formas sin superponerlas. Como vemos, la cantidad de poliominós que se puede formar con

cierto número de cuadrados aumenta cuando se emplea mayor número

de ellos.

21

22

BIBLIOGRAFÍA

http://html.rincondelvago.com/transformaciones-geometricas.html

http://aulafacil.com/matematicas-basicas/geometria/curso/Lecc-14.htm

http://www.escueladigital.com.uy/geometria/4_figplanas.htm

http://www.geoka.net/triangulos/angulos_triangulos.html

http://argentina.aula365.com/EditorContenidos/Infografias/Contenido/infoPoligonos.swf

http://rpdp.net/mathdictionary/spanish/vmd/full/c/congruentpolygons.htm

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http://es.wikipedia.org/wiki/Quinto_postulado_de_Euclides

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http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/alperez/teoria/cap_01a-conceptos_geometricos/06a-solido-poliedro.htm

http://www.iesaguilarycano.com/dpto/fyq/mat/volumen.htm

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