Módulo de orientación adelantado · Un hombre entra en un bar y le pide al barman un vaso de agua. El barman se ... dimensiones si el perímetro mide 30 ... ¿Y otro de 9,5 km?

Plan de contingencia Prof. Florencia Bracco 3er año A, B y C- 2017-

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Módulo de orientación adelantado

Piensa y resuelve los siguientes enigmas….

1) EL HOMBRE EN EL ASCENSOR. Un hombre vive en un edificio en el décimo piso (10). Todos los días toma el ascensor hasta la planta baja para ir a su trabajo. Cuando vuelve, sin embargo, toma el ascensor hasta el séptimo piso y hace el resto del recorrido hasta el piso en el que vive (el décimo) por las escaleras. Si bien el hombre detesta caminar, ¿por qué lo hace?

2) EL HOMBRE EN EL BAR. Un hombre entra en un bar y le pide al barman un vaso de agua. El barman se arrodilla buscando algo, saca un arma y le apunta al hombre que le acaba de hablar. El hombre dice "gracias" y se va.

3) EL HOMBRE QUE SE "AUTO ESTRANGULÓ”. En el medio de un establo completamente vacío, apareció un hombre ahorcado. La cuerda alrededor de su cuello estaba atada a un andamio del techo. Era una cuerda de tres metros. Sus pies quedaron a un metro de altura del piso. La pared más cercana estaba a siete metros del muerto. Si escalar las paredes o treparse al techo es imposible, ¿cómo hizo?

4) HOMBRE EN UN CAMPO ABIERTO CON UN PAQUETE SIN ABRIR. En un campo se encuentra un señor tendido, sin vida. A su lado hay un paquete sin abrir. No hay ninguna otra criatura viva en el campo. ¿Cómo murió?

5) EL BRAZO QUE LLEGÓ POR CORREO. Un hombre recibió un paquete por correo. Lo abrió cuidadosamente y encontró el brazo de un hombre adentro. Lo examinó, lo envolvió nuevamente y lo mandó a otro hombre. Este segundo hombre examinó el paquete que contenía el brazo muy cuidadosamente también, y luego, lo llevó hasta un bosque en donde lo enterró. ¿Por qué hicieron esto?

6) DOS AMIGOS ENTRAN A COMER EN UN RESTAURANTE. Los dos lograron sobrevivir al naufragio de un pequeño barco en donde viajaban ambos y el hijo de uno de ellos. Pasaron más de un mes juntos, en una isla desierta hasta que fueron rescatados. Los dos ordenan el mismo plato del menú que se les ofrece. Una vez que el mozo les trae la comida, comienzan a comer. Uno de ellos, sin embargo, ni bien prueba el primer bocado sale del restaurante y se pega un tiro. ¿Por qué?

7) PROBLEMA DE LOS TRES INTERRUPTORES

Entre todos los problemas que requieren pensamiento lateral, éste es el que más me

gusta.

Quiero aclarar que no tiene "trampas", no tiene "gato encerrado". Es un problema que,

con los datos que se brindan, uno debería estar en condiciones de resolverlo. Aquí va.

Se tiene una habitación vacía con excepción de una bombita de luz colgada desde el

techo. El interruptor que activa la luz se encuentra en la parte exterior de la habitación.


2

Es más: no sólo hay un interruptor, sino que hay tres iguales, indistinguibles. Se sabe

que sólo una de las "llaves" activa la luz (y que la luz funciona, naturalmente).

El problema consiste en lo siguiente: la puerta de la habitación está cerrada. Uno tiene el

tiempo que quiera para "jugar" con los interruptores. Puede hacer cualquier

combinación que quiera con ellos, pero puede entrar en la habitación sólo una vez. En el

momento de salir, uno debe estar en condiciones de poder decir: "ésta es la llave que

activa la luz". Los tres interruptores son iguales y están los tres en la misma posición: la

de apagado.

Para aclarar aún más: mientras la puerta está cerrada y uno está afuera, puede

entretenerse con los interruptores tanto como quiera. Pero habrá un momento en que

decidirá entrar en la habitación. No hay problemas. Uno lo hace. Pero cuando sale, tiene

que poder contestar la pregunta de cuál de los tres interruptores es el que activa la

lamparita.

Una vez más: el problema no tiene trampas. No es que se vea por debajo de la puerta, ni

que haya una ventana que da al exterior y que le permita a uno ver qué es lo que pasa

adentro, nada de eso. El problema se puede resolver sin golpes bajos.

Ahora les toca a ustedes.

8) 128 PARTICIPANTES EN UN TORNEO DE TENIS

En un torneo de tenis se inscriben 128 participantes. Como es bien sabido, se juega por simple eliminación. Es decir: el jugador que pierde un partido queda eliminado. La pregunta es: ¿cuántos partidos se jugaron en total hasta definir el campeón? 9) PROBLEMA DE LAS TRES PERSONAS QUE ENTRAN EN UN BAR Y TIENEN QUE PAGAR CON 30 PESOS UNA CUENTA DE 25

Tres personas entran en un bar. Los tres hacen su pedido y se disponen a comer. En el momento de pagar, el mozo trae la cuenta que suma exactamente 25 pesos. Los tres amigos decidan compartir lo consumido y dividir el total. Para ello, cada uno mete la mano en su bolsillo y saca un billete de 10 pesos. Uno de ellos, junta el dinero y le entrega al mozo los 30 pesos. El mozo vuelve al rato con el vuelto: cinco billetes de un peso. Deciden dejarle al mozo dos pesos de propina y se reparten los tres pesos restantes: uno para cada uno. La pregunta es: si cada uno de ellos pagó 9 pesos (el billete de 10 que había puesto menos el peso de vuelto que se llevó cuando volvió el mozo), como son tres, a 9 pesos cada uno, pagaron 27 pesos. Si a ello le sumamos los dos pesos de propina que se llevó el mozo, los 27 más los dos pesos, suman ¡29 pesos! ¿Dónde está el peso que falta?


3

ECUACIONES 10) Resolver las siguientes ecuaciones

a) 14213 xx e) xx 5,02,112,03

b)

5

1

3

121

3

1xx

f)

3

1

5

1

2

13,0 xx

c) x

x

5

11

2

1

g) 3

1

4

3

3

13

xx

d) 10

32

2

1

5

3

xxx

h) xx

6

1

2

3

3

12,05

11) Resolver más ecuaciones:

a) 5

3

1

2

1 xx

e) 3

6

5

2

1

3

1 xx

b) 1

6

52

4

3 xx

f) 3

5

2

46

2

xxx

c) 3

2

9

2

12

7

4

3

186

5 xx

xx

g) 2

3

10

31

5

42

8

3 xxx

d) 4

3

2

53

3

35

6

38

8

54

xxxx

h)

1 2 30

2 3 4

x x x

e) xxxxxx 11411132

f) 21132112212

xxxxxxxx

g) 0

4

3

8

1 2 xx

h) x

x

x

x

x

1

441

1

32

i) 1

1

3

1

2

x

x

x

x

j)

xx

x

3

1

3

1

1

k) 7

47

5

21

7

x

x

l) 5

3

1

xx

m) x

x 4

3

84


4

n) 3

2

62

xx

ñ)

22 25

4

5

23 xxx

11) Problemas de ecuaciones de primer grado a) Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo? b) Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número? c) La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm? d) En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 96 personas? e) Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. Reponemos 38 l y el bidón ha quedado lleno hasta sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón. f) Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay? g) Luís hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 20 l de gasolina. El trayecto lo hizo en dos etapas: en la primera, consumió 2/3 de la gasolina que tenía el depósito y en la segunda etapa, la mitad de la gasolina que le queda. Se pide: 1.Litros de gasolina que tenía en el depósito. 2. Litros consumidos en cada etapa. h) En una librería, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un cómic con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librería tenía 12 €. ¿Cuánto dinero tenía Ana? i) La dos cifras de un número son consecutivas. La mayor es la de las decenas y la menor la de las unidades. El número es igual a seis veces la suma de las cifras. ¿Cuál es el número? j) Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan excede en 15 años a la edad de éste. Hace cuatro años la edad de la padre era doble de la edad del hijo. Hallar las edades de ambos. k) Trabajando juntos, dos obreros tardan en hacer un trabajo 14 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en hacerlo por separado si uno es el doble de rápido que el otro? l)Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° más que C y que A mide 40° más que B. FUNCIONES Problema inicial propuesto El objetivo es poder resolver la situación con las herramientas que tienes (o apelar a tu creatividad) para luego compartir con el resto de tus compañeros tus métodos.


5

El costo de transporte de un taxi está compuesto por un valor inicial al abordarlo (bajada de bandera) de $ 3,5 más $ 1,70 por cada kilómetro recorrido. a) ¿Cuánto costará un viaje de 4 km? b) ¿Y otro de 9,5 km? c) ¿Es esta relación una función? ¿Por qué? d) ¿Cómo se representa? Repaso teórico • Una relación entre dos variables es función si a cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente. • El dominio de una función f es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente x. Se lo denomina Domf. • La imagen de una función f es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente y. Se lo denomina Im f. 1) En una escuela hay un reloj muy antiguo del cual están todos pendientes porque inicia el comienzo y el fin de cada recreo. El portero le da cuerda y lo pone en hora todas las mañanas a las 8 en punto pero siempre adelanta. El grafico muestra cuántos minutos adelanta el reloj a lo largo de cada día.


6

2) La tabla siguiente muestra la temperatura del café cuando se esta enfriando

Tiempo (min) 0 5 10 15 20 25 30

Temperatura (ºC) 90 79 70 62 55 49 44

Representar estos valores en un gráfico cartesiano FUNCIONES LINEALES 1) Dadas las siguientes fórmulas, analizar si corresponden o no a funciones lineales 1.1) y = -x + 3 1.2) y = 3x – 1 1.3) y = -3x

1.4) xy

3

1

1.5) y + 3x = 1 1.6) x = -5 1.7) y = 3 1.8) 0

3

22 yx

En caso afirmativo:

a) Determinar la pendiente y ordenada al origen b) Graficar sin utilizar tabla de valores c) Determinar el dominio y la imagen de cada una de ellas d) Decidir si el punto ( -1 ; 3 ) pertenece a alguna de ellas

2) Observar los siguientes gráficos 1.1) 1.2)

Determinar en cada uno de ellos a) la pendiente y la ordenada al origen b) la fórmula de la función lineal correspondiente c) la raíz gráficamente y analíticamente d) los conjuntos de positividad y negatividad e) los intervalos de crecimiento y decrecimiento f) el ángulo de inclinación

3) Escribir las ecuaciones de las siguientes rectas:


7

a) b)

d) c)

4) Una represa, cuya capacidad es de 1150 millones de litros, pierde desde el primer día 12 millones de litros diarios.

a) Escribir la fórmula de la función que describe la cantidad de agua que permanece en la represa cada día

b) ¿En cuánto tiempo se vacía la represa? c) ¿En que momento tendrá 70 millones de litros?

5) Determinar la ecuación de la recta que:

a) Tiene pendiente 4/5 y ordenada al origen 3 b) Pasa por el origen de coordenadas y tiene pendiente –4 c) Tiene coeficiente angular 2 y pasa por el punto ( 0 ; -1 )

d) Satisface f ( 0 ) = 1,5 y tiene pendiente 2 e) Satisface f ( -2 ) = -4 y f ( 3 ) = -4 f) Tiene pendiente 0 y pasa por el punto ( 6 ; 1 ) g) Pasa por los puntos ( -3 ; 1 ) y (-3 ; -2 ) h) Pasa por los puntos ( 0 ; -2 ) y ( 2 ; 0 )

i) Satisface f ( 0 ) = 3 ; C- = ( - ; -4 ) y C+ = ( -4 ; )

6) Graficar en un mismo sistema de coordenadas:


8

a) 2

3)( xf

2)( xf

b) 2

13)( xxf

13)( xxf

c) 1

5

2)( xxf

3

2

5)( xxf

d) 2

3

1)( xxf

43)( xxf 6.1) Indicar en cada uno de los incisos cómo son las rectas 6.2) En cada una de las rectas de b) y d) encontrar las raíces, los conjuntos de positividad, negatividad, intervalos de crecimiento y decrecimiento 7) Determinar analíticamente la ecuación de las rectas que cumplen las condiciones y expresarlas en forma explicita:

a) Pasa por el punto ( -2 ; 3 ) y tiene pendiente ¼ b) Es paralela a la anterior y pasa por el origen de coordenadas c) Es paralela a 2 y + 5 x – 6 = 0 y pasa por el punto ( 4 ; 8 )

d) Es perpendicular a 2

3

1 xy

y pasa por el punto ( -2 ; -10 ) e) Pasa por los puntos ( 3 ; -3 ) y ( -9 ; 1 ) f) Pasa por los puntos ( 3/2 ; 1 ) y ( 3 ; -1/2 ) g) Pasa por los puntos ( 3 ; 0 ) y ( 0 ; -4 ) h) Pasa por los puntos ( -1/3 ; 0 ) y ( 0 ; 2/3 )

8) Se sabe que la demanda de entradas para un espectáculo A, cuando la función es gratis es de 60 entradas, y cuando el precio es de $ 1,80 no se vende ninguna. ¿Cuál es la ecuación de la demanda en función del precio si tiene un comportamiento lineal? 9) Verificar que los puntos a ( 0 ; 5 ) ; b ( 4 ; 2 ) ; c ( -2 ; -6 ) y d ( -6 ; -3 ) son vértices de un paralelogramo abcd 10) Los puntos a ( 1 ; 1 ) ; b ( -1 ; 3 ) y a ( 2 ; 6 ) son tres vértices del rectángulo abcd ¿Cuáles son las coordenadas del cuarto vértice? 11) a) Encontrar el valor de k de manera que el punto ( -3 ; k ) pertenezca a la recta de pendiente –1 y que pasa por el punto ( 2 ; 1 ) b) Encontrar el valor de k de manera que el punto ( 5 ; k ) pertenezca a la recta que pasa por los puntos ( 2 ; 3 ) y ( -3 ; 5 ) 12) Dada la ecuación de la recta x +3 y –15 = 0

a) encontrar las intersecciones con los ejes coordenados y representarla gráficamente

b) Calcular el área del triángulo formado por la recta y los ejes coordenados


9

13) Dadas las fórmulas de las siguientes funciones lineales, determinar en cada caso la pendiente y la ordenada al origen. Determinar cuales son crecientes y cuales decrecientes: a) y = -5 x + 8 b) y = 9 x – 8 c) 3 x – 2 y + 5 = 3 d) 5 x + 9 y = 12 e) 2 y – 3 = x f) x = ½ y + 9 14) Graficar las siguientes funciones lineales, indicando ordenada al origen y pendiente:

a) 3)( xxf b) 13)( xxf c) xxf

3

1)(

d) 13 xy e) 3y f) 02

3

2 xy

15) Dadas las rectas:

1 yx 042 yx 1

33

xy

Hallar de cada una pendiente y ordenada al origen

¿A qué rectas pertenecen los puntos 0,3 ;

2

1,

2

1

; 0,2 ; 1,1 ? 15) Observar los siguientes gráficos 4.1) 4.2)

Determinar en cada uno de ellos

g) la pendiente y la ordenada al origen h) la fórmula de la función lineal correspondiente i) la raíz gráficamente y analíticamente

16) Encontrar la fórmula de una función lineal sabiendo que:

a) Tiene pendiente –3 y raíz 4


10

b) Tiene pendiente –2 y ordenada al origen 7 c) Tiene ordenada al origen 4 y raíz –3

d) Pasa por los puntos (-1;2) y 5;

21

e) Tiene pendiente 9 y pasa por (-2;5) f) Tiene ordenada al origen –8 y pasa por el (1;4)

g) Pasa por (1;-5) y (-3;8) h) Pasa por (-8;3) y (9;-1)

17) Graficar en un mismo sistema de coordenadas:

a) 2

3)( xf

2)( xf

b) 2

13)( xxf

13)( xxf

c) 1

5

2)( xxf

3

2

5)( xxf

d) 2

3

1)( xxf

43)( xxf 6.1) Indicar en cada uno de los incisos cómo son las rectas

18) Encontrar una recta paralela a la que representa la función 53)( xxf y que pase por (-1;8)

19) La ecuación de la recta A, es xy 34

2

1

, hallar: a) Hallar pendiente, ordenada al origen y raíz b) ¿Crece o decrece? c) una recta B, paralela a A que pase por (-1,-2) d) una recta C, perpendicular a B y que tenga la misma ordenada al

origen que A e) Graficar A, B y C

20) Determinar analíticamente la ecuación de las rectas que cumplen las condiciones y expresarlas en forma explicita:

i) Pasa por el punto ( -2 ; 3 ) y tiene pendiente ¼ j) Es paralela a la anterior y pasa por el origen de coordenadas k) Es paralela a 2 y + 5 x – 6 = 0 y pasa por el punto ( 4 ; 8 )

l) Es perpendicular a 2

3

1 xy

y pasa por el punto ( -2 ; -10 ) m) Pasa por los puntos ( 3 ; -3 ) y ( -9 ; 1 ) n) Pasa por los puntos ( 3/2 ; 1 ) y ( 3 ; -1/2 ) o) Pasa por los puntos ( 3 ; 0 ) y ( 0 ; -4 ) p) Pasa por los puntos ( -1/3 ; 0 ) y ( 0 ; 2/3 )


11

21) Encontrar una recta perpendicular a la que corresponde 85)( xxf y que pase por (1;-3) 22) Dadas las siguientes funciones indicar cuales son paralelas, cuáles corresponden a rectas perpendiculares y cuáles a rectas que no son ni paralelas ni perpendiculares:

a) 123 xy b) 124 yx c) 148 yx

d) 2

1

2

1 xy

e) 223 yx f) xy 214 g) 12 xy h) yx 21

23) Hallar la ecuación de la recta que incluye a la hipotenusa del triángulo rectángulo abc, siendo a=(3,4), b=(0,1) y c=(3,1) 24) Determinar si los siguientes puntos están alineados a) (1;5), (-1;-9), (2;16) b) (1;17), (-1;1), (2;25)

NUMEROS REALES

1) Completar el cuadro escribiendo cada número en la columna que corresponda de acuerdo con

su expresión decimal:

8 7 13 7 7, ; ; ; ; ; 85 9 99 10 15

2) Completar la siguiente tabla:

Expresiones Decimales finitas

Expresiones Periódicas puras

Expresiones Periódicas mixtas

Expresiones Decimales infinitas no

periódicas

Fracción irreducible

Fracción decimal

Expresión decimal

Clasificaciones decimales Infinitas no periódicas

0,4

finita

1

9

2

100


12

3) Resolver en forma fraccionaria y expresar el resultado como fracción irreducible:

2

3

1

3

1 1a) 1 0,5

2 8

1 7 3b) . 1 0,06

3 8 2

2 01 1 1c ) 2 : 2

4 3 9

12

1 03

2d ) 0,3 0,1 . 0,7 0,2

3

3 1e) 0,1 .7 1

4 8

4) Resolver los siguientes problemas:

a) Lucas tiene las siguientes notas en matemática 8,50; 4,50 y 6. Si se aprueba con 7, ¿le da el

promedio para aprobar el trimestre?¿Por qué?

b) Lucas tiene que rendir una prueba escrita más. ¿Cuál es la nota más baja que puede

sacarse para aprobar el trimestre?

5) Completar la tabla:

Expresión Fraccionaria

Expresión decimal

Aproximación Por truncamiento a los centésimos

Aproximación Por redondeo a los

centésimos

1

16

1

6

7

12

2

7

Atención !!!! Para resolver las operaciones combinadas hay que

expresar todos los números en forma decimal o

fraccionaria y luego resolver: 1º potencias y raíces;

2º multiplicaciones y divisiones;

3º sumas y restas.

Atención !!!! Expresiones decimales finitas:

tienen un número finito de cifras

decimales. Ej: 7,89

Expresiones periódicas puras: tienen infinitas cifras decimales

periódicas.Ej.: 2,3434…= 2,34

Expresiones periódicas mixtas: tiene una parte decimal no periódica

seguida de otra periódica. Ej.:

1,2333…=1,23

Expresiones decimales infinitas no periódicas: tienen infinitas cifras

decimales no periódicas. Ej.:

2,123456789101112131415…


13

Números reales Números irracionales

6) Indicar si las siguientes afirmaciones son V o F:

7) Completar con o :

8) Completar con el signo “<” o “>” según corresponda:

9) Indicar el signo y el valor absoluto de:

a) -15……………………………………………………

b) 2 ……………………………………………………

3

0,2 7

9

5

-8

a) -4 m -13 f) -3 m 5

b) -6 3 g) 11 17

c) -6 15 h) -1 3

d) -5 8 i) 0 7

e) 15 0 j) -4 -8

Atención !!!!

Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que

necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números

enteros, positivos y negativos; todos los fracciones; y todos los números irracionales -- aquellos cuyos

desarrollos en decimales nunca se repiten. Ejemplos de números irracionales son

√ 2 = 1.4142135623730951 . . . π = 3.141592653589793 . . . e = 2.718281828459045 . . .

Es muy útil representar a los números reales como puntos en la recta real, como mostrado aquí.

Observe que los números más mayores aparecen a la derecha: Si a < b entonces el punto corresponde a b estrá

a la derecha del punto que corresponde a a.

Atención !!!!


14

c) -38………...............................................

d) 38……………...........................................

e) 1

2

…………………………………………………

10) Responder:

a) n es un número positivo, de valor absoluto 5. ¿Qué valor tiene n?

b) n es un número negativo, de valor absoluto 5. ¿Qué valor tiene n?

c) n es un número entero, de valor absoluto 5. ¿Qué valores puede tener n?

11) En la recta, responder:

a) ¿Cuál es la distancia entre -7 y 0?

b) ¿Cuál es la distancia entre 4 y -1?

c) ¿Cuál es la distancia entre -5 y -9?

12) Marcar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

a) El cero es mayor que cualquier número negativo…………

b) Si dos números tienen igual módulo, son iguales………….

c) |+8|= |-8| |-20| = 20 -5 < 5 ……………

d) Comparando dos números negativos, es mayor el que está a mayor distancia del cero

…………..

e) Dos números son iguales si tienen igual módulo e igual signo……………

f) El opuesto de un número negativo es positivo …………….

g) Entre dos números positivos es mayor el de mayor valor absoluto ………

h) Entre dos números negativos es menor el de mayor módulo …………..

13) Completar con >.< o =:

a) |-3 |+ |-7|………….|-9-2|

b) -2.(-5.4+|-7|)………..-25

c) 28.(-7)+ |-2+2|……..18(-2-4)- |-3|

14) Escribir en forma de intervalo y representar los números que cumplen las condiciones

dadas en cada caso:

a) Menores o iguales que 3.

b) Comprendidos entre –1 y 0, incluyendo el 0, pero no el –1.

c) Mayores que 2, pero menores que 3.

d) Mayores que 5.

15) Escribir en forma de intervalo y representar en cada caso:

a) x / 6 x 3 b) x / 4 x 4

c ) x / x 3 d ) x / 0 x 5

e) x / x 2 f ) x / 10 x


15

16) Escribir en forma de intervalo y representar los números que cumplen las condiciones

indicadas en cada caso:

a)0 x 1 b)x 3

c )x 0 d ) 5 x 5

e)x 5 f )1 x 3

17) Escribir en forma de desigualdad y representar los siguientes intervalos:

a) 1;2,5 b) 2;3

c ) 7;0 d ) 3;

e) 2; f ) 5;2

18) Agrupar los números que representen el mismo número racional:

5,2 ; 2

5

; -3 , 9,2

; 4

12

; 6

15

; 4

10

; 0,4 : 5

2

; 93,0

19) Indicar cuáles de estos números son: a) naturales ( N) b) enteros (Z) c) racionales (Q)

0,5 ; -1 ; 5

3

; 2 , 7

3

; 4

3

; 4

8

; 10

10

; 2,1 ; 3,2 ; 32,1

20) Ordenar en forma creciente y representar en la recta numérica:

10

3

; 5

7

; 10

9

; 5

1

; 5

3

; 5

6

21) Resolver las siguientes operaciones en forma fraccionaria:

a) )8,0(3,0 d) 7,05,1

b)

2

34,1

e) 1,16,0

c) )2(:08,0 f) )2,1(5,0

22) Resolver las siguientes operaciones en forma de fracción:

a) )3.(24,0 e) )2,0.(44,1

b) 5,032,1 f) )5(:25,0

c) 78,14,2 g) 02,0:064,0

d) )2,0.(5,42 h) 6:)4,0.(3,0 23) Separar en términos y calcular:

a)

5

13

2

32,0

4

3

d)

5,45,0

2

111

5

8


16

b)

2

32,1

3

10

5

1

e) 3,11:

5

41520,0

c) 3,0

4

1325,0:

8

7

f) 21,03,02,2

10

3

3

21

24) Calcular las siguientes potencias y raíces

a)

2

3

2

b)

2

3

2

c)

3

3

2

d)

1

2

5

e) 43,0

f) 3004,0 g) 0064,0

h) 3 000125,0

i) 4 0016,0

25) Resolver las siguientes potencias y raíces:

a)

2

7,02

1

e)

2

20

15,0.3,1

b) 4,0

f)

3

3

5001,0

9

3

c)

22

1563,0

g)

4

2

1:

3

2

6

5

d)

3

16

51

5

3

h) 3

3,0:8,03,1

26) Resolver las siguientes operaciones combinadas:

a)

2

3

4

31.3,04:64,0

d)

8,013,012

1 2

2

b)

3

2

18

7

10

1:02,0

2

13

e)

6,0)2(:4

11

2

1

6

53

3

c)

25

36:1

4

9

3

244,1.2 2

f)

25

161318,040,2

46

1 1

27) Resolver las siguientes ecuaciones

a) 14213 xx e) xx 5,02,112,03

b)

5

1

3

121

3

1xx

f)

3

1

5

1

2

13,0 xx

c) x

x

5

11

2

1

g) 3

1

4

3

3

13

xx

d) 10

32

2

1

5

3

xxx

h) xx

6

1

2

3

3

12,05


17

28) Resolver más ecuaciones:

a) 5

3

1

2

1 xx

e) 3

6

5

2

1

3

1 xx

b) 1

6

52

4

3 xx

f) 3

5

2

46

2

xxx

c) 3

2

9

2

12

7

4

3

186

5 xx

xx

g) 2

3

10

31

5

42

8

3 xxx

d) 4

3

2

53

3

35

6

38

8

54

xxxx

h)

1 2 30

2 3 4

x x x

29) Plantear y resolver: a) Los dos quintos de los ahorros de Laura son $53,40. ¿Cuánto dinero tiene ahorrado? b) Gonzalo vive en Buenos Aires y decide visitar a su hermano que vive en la provincia de Santa Cruz. El primer día recorre 2/7 del camino y el segundo día 2/5 de lo que le falta. Si le quedan aún 900 km por recorrer, ¿cuántos km tiene el camino? c) Ya completé los 2/5 de un álbum. Para llenar un cuarto de lo que me falta necesito 36 figuritas. ¿Cuántas figuritas en total tiene el álbum? d) Pagamos $38 por un libro, un cuaderno y una birome. El precio del cuaderno es un quinto del precio del libro. La birome cuesta un tercio de lo que cuesta el cuaderno ¿Cuánto cuesta el libro? e) Del total de alumnos de una escuela de Mendoza, la mitad nació en esa provincia, un tercio en otra provincia argentina y los restantes nacieron en otros países. Si son 83 los alumnos extranjeros de la escuela, ¿cuántos de los alumnos de la escuela nacieron en Mendoza? f) María gastó en el supermercado las tres cuartas partes del dinero que llevaba. Después fue a la zapatería y quiso comprar tres pares de zapatillas a $9,90 cada una, pero le faltaban $6,50. ¿Cuánto dinero tenía al entrar al supermercado?

g) En una terminal de ómnibus suben los 5

3

del pasaje de un micro, en la

primera parada 3

1

del resto y en la última parada el micro se completa. Si la capacidad del micro es de 45 pasajeros, ¿cuántas personas subieron en cada lugar?


18

h) Un ciclista recorre un trayecto en 3 etapas: en la 1º, la tercera parte del total; en la 2º, la cuarta parte y en la 3º, 60km.¿Cuál es la longitud del trayecto?

i) En la rifa que se hizo en una escuela, 5

1

de los números fueron comprados por los alumnos y los 200 restantes por los familiares. ¿Cuántos compraron los alumnos? j) Una señora gastó $30 en una farmacia y luego la mitad de lo que le quedaba. Si todavía le quedan $85, ¿cuánto dinero tenía antes de entrar en la farmacia? 30) Resolver las siguientes operaciones aplicando notación científica:

a) 0003,010000052000 c)

6000

0005,012000

b) 005,0000008,04200 d)

000009,0

00004,000018,0

31) De los siguientes cálculos hay solo uno bien realizado. Indicar cuál es el correcto y corregir los otros tres:

a) 2510025100 c) 63.123.12

b) 226 6

d)

4.94.9

32) Expresar el radicando como producto, para extraer todos los factores posibles de las raíces:

a) 75 c) 3 40

b) 200 d) 5 96

33)Transformar las raíces necesarias y efectuar las siguientes operaciones:

a) 22 c) 12580205 e) 125

1

5

49

b) 182 d) 288981506 34) Aplicar propiedades y completar la respuesta en cada inciso:

a) Si xx 153 77 …….

b) Si xx x x 271111 …….

35) Resolver los siguientes cálculos:

a) 535

2

15

d) 846 69273


19

b) 722002 e) 8

13

2

12

c)

333 5240353

1

f)

6

8

125

3

2

18

5

36) Resolver y cuando sea posible simplificar:

a) 84.25 f) 63 2.4

b) 98200:1832 g)

33

10

1:

2

1

c) 3 60.40 h)

2312

3

d) 87.87 i) 52:8045

e) 10.12:10.12 33


20

37) Para cada una de las siguientes expresiones, obtener una equivalente con denominador racional:

a) 52

23

d) 25

25

b) 4 5

4

e) 212

32

c) 32

32

f) 22

22

38) Expresar las siguientes potencias en forma de raíz y calcular:

a) 4

3

81 b) 2

1

25,0 c) 31

32a d) 3

1

64

39) Escribir las siguientes raíces en forma de potencia:

a) 7 5 b)

5 4a c) t xa 4

d) 3 2

4x

40) Transformar los radicales en potencias, resolver y expresar el resultado con radicales:

a) 3 5.5 c) 105 62:63

b) 43 12.12 d)

6 423.2.18

41) Completar para que cada expresión sea una igualdad:

a) ........553 c)

5

5 5

............

............

2

2

a

b) .....4 33 ........... aa d)

nn

y

x

.............

.............2

42) Determinar el valor de x, sin utilizar aproximaciones, y expresar la respuesta sin radicales en el denominador:

a) axa .5 3

d) xx 1032222

b) 04.24 xx e) 5

2

15

2

5

x

c) 273

313

4

x

43) Si 18x ; 2y , ¿cuál de las siguientes operaciones da como resultado un número irracional?

a) yx. b) y

x

c) x

y

d) xy

e) 22 xy


21

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1) Resuelve las siguientes sumas y restas:

a)

b) bbabba 3,56,04,175,4

c) 222 223

1

10

12

5

3mmnmnmmnm

d) 64

1

5

1

5

2

5

3

8

331

5

2 322322 yxyyxyxyyx

e)

f)

g)

2) Aplica la propiedad distributiva para resolver los siguientes productos:

a)

b)

c)

d)

e)

3) Divide las siguientes expresiones. Simplifica de ser posible:

a)

b)

c)

d)

4) Indica V o F. Corrige el resultado si es incorrecto.


22

a) f)

b) g)

c) h)

d) i)

e) j)

Recuerda los tres productos especiales..........

factor común

cuadrado del binomio

diferencia de cuadrados

Factor común:

6) Extrae factor común de las siguientes expresiones algebraicas, de ser posible:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Cuadrado del binomio: //

7) Desarrolla los siguientes binomios:

a) d)

b) e)


23

c)

f)

8) Expresa los siguientes trinomios como potencia:

a)

b)

c)

d)

e)

Diferencia de cuadrados:

9) Desarrolla los siguientes productos:

a)

b)

c)

d)

e)

10) Escribe como productos las siguientes diferencias:

a)

b)

c)

d)

e)

11) Resuelve los siguientes cálculos combinados aplicando productos especiales:


24

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

12) Para cada uno de los siguientes términos algebraicos, determinar su signo, coeficiente numérico, factor literal y grado:

Ejercicio Signo C. numérico F. literal Grado

– 5,9a2b3c menos 5,9 a2b3c 2+3+1=6

54

3

3kh

abc

4

2xy

– 8a4c2d3

13) Determinar el grado y clasifica según el número de términos, las siguientes expresiones algebraicas:

Expresión algebraica Grado de la expresión Número de términos

2x – 5y3 1; 3 = 3 2: binomio

4

32 yx

a – b + c – 2d

m2 + mn + n2

x + y2 + z3 – xy2z3

14) Calcular el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes, considerando:

Expresión algebraica

Reemplazar :a = 2; b =5; c=–3; d=–1; f = 0

Resultado

dbca 325 2


25

4 ab – 3 bc – 15d

fa36

53322 dcba

)(2)(3 dcba

253

abc

2)( cb

15) Reducir términos semejantes:

a) 8x – 6x + 3x – 5x + 4 – x =

b) bbabba 3,56,04,175,4 =

c) 222 22

3

1

10

12

5

3mmnmnmmnm

d) 6

4

1

5

1

5

2

5

3

8

331

5

2 322322 yxyyxyxyyx

16) Traducir a lenguaje algebraico: a) El triple de un número. b) La mitad del resultado de sumarles al triple de un número 4 unidades. c) La diferencia de los cuadrados de dos números de dos números consecutivos. d) Cinco veces el resultado de restarle al doble de un número 5 unidades 17) Expresar algebraicamente el área y el perímetro de un cuadrado de lado 18) Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones para los valores que se indican: a) 2x +1 para x =0 b) x2 + y2 para x =1 , y =3 c) (1-2x)(1+ 2x) para x = 2

d) 3

zyx

para x =3, y =2, z =4 19) Calcular el grado de los siguientes polinomios: a) –2x2y3 d) . x2+ y2+ 2xy

b) .

242

4

3zyx

e. 7x5-3x2-6x4+2+x c) (x +5)2-(x-3)2


26

Identidades notables.

Cuadrado de una suma

Cuadrado de una diferencia

Diferencia de cuadrados 20) Desarrollar las siguientes expresiones: a) (x +2)2 f) (x -1)2 b) (2x +3)2 g) (x +2)(x –2) c) (2x –1)(2x +1) h) (3x – y)2 d) (2x –3y)(2x +3y) = 4x2 –9y2 i) (x -1)3 e) (x +5)2-(x-3)2


27

21) Factorizar las siguientes expresiones algebraicas: a) 3x4 -2x2 f) x2 –1

b) x2 +6x +9 g) x2 + 4 +4x c) 4x2-y2 h) 9 –6x +x2 d) 2x –4x2y i) x2 +x y +x z +y z e) a x –ay –b x +by 22) Multiplica la siguiente expresión por 12 y simplifica el resultado:

23) Multiplica por 20 y simplifica el resultado: 24) Dividir los siguientes polinomios: a) 15 a3b2c : 6 a2c b) 5 x3y2z4 : 3 x2z2 Valoración de expresiones algebraicas: Valorar una expresión algebraica significa asignar un valor numérico a cada variable de los términos y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final. Ejemplo: Valorar la expresión: 5x2y – 8xy2 – 9y3, considerando x = 2; y = –1

322322 19128125985 yxyyx

= )1(9128)1(45

= 2791620 Ejercicio: 3) Calcular el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes, considerando:

Expresión algebraica

Reemplazar :a = 2; b =5; c=–3; d=–1; f = 0

Resultado

dbca 325 2

4 ab – 3 bc – 15d

fa36

Es el valor

numérico


28

53322 dcba

)(2)(3 dcba

253

abc

2)( cb

Términos semejantes: Se denominan términos semejantes de una expresión algebraica todos aquellos términos que tienen igual factor literal. Ejemplos: En la expresión 5 a2b + 3abx + 6 a2b3 – 7 a2b , 5 a2b es semejante con – 7 a2b

En la expresión x2y3 – 8xy2 + 5

2

x2y3 , x2y3 es semejante con 5

2

x2y3 Reducir términos semejantes consiste en sumar los coeficientes numéricos, conservando el factor literal que les es común. Ejemplos: 1) –3 a2b + 2ab + 6 a2b – 7 ab = 3 a2b – 5 ab

2) 23323223

3

1

3

2

2

1

4

3yxyxyxyx

3223

6

1

12

13yxyx

12

13

12

49

3

1

4

3

6

1

6

43

3

2

2

1

Ejercicio: 4) Reducir términos semejantes:

e) 8x – 6x + 3x – 5x + 4 – x =

f) bbabba 3,56,04,175,4 =

g) 222 22

3

1

10

12

5

3mmnmnmmnm

h) 6

4

1

5

1

5

2

5

3

8

331

5

2 322322 yxyyxyxyyx


29

Uso de paréntesis:

En álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Para eliminar paréntesis debes fijarte en el signo que tengan: Si es positivo , se elimina manteniendo todos los signos que están

dentro de él. Si es negativo, se elimina cambiando todos los signos que están dentro

de él. Ejemplos:

1) 312 xaaxa 2) 3x – (6x + 1) + (x –3 )

222312 xaxaaxa

3x – 6x – 1 + x – 3 = –2x – 4 Observación: Si en una expresión algebraica existen paréntesis dentro de otros, se

empiezan a eliminar desde el más interior. Ejemplo:

2222 237 nmnmnmnm

2222 237 nmnmnmnm =

2222 237 nmnmnmnm

222222 342237 nmnmnmnmnmnm

Ejercicios: ( desarrolla en tu cuaderno)

1) yxyxyxyxyx 21532354

2) yxyxzzyx

Multiplicación en álgebra Para multiplicar expresiones algebraicas , debes observar los siguientes pasos: 1º Multiplicar los signos (ley de los signos para la multiplicación ) 2º Multiplicar los coeficientes numéricos. 3º Multiplicar las letras (multiplicación de potencias de igual base ).


30

Estos pasos son válidos para todos los casos de multiplicación en álgebra;

esto es, monomios por monomios, monomios por polinomios y polinomios por polinomios.

Ejemplos:

monomios por monomios monomios por polinomios polinomios por polinomios

( -4a5b4)•( 12ab2)= –48 a6b6

7 a4b • ( 2 a3 – a b + 5 b3 )= 14 a7b – 7 a5b2 + 35 a4b4

baba 7332 6a2–14ab –9ab +21b2 = 6a2 –23ab +21b2

( 6 m5n-3p-4) • ( 5 mn-1p2)= 30 m6n–4p–2

( a x + b y – c z ) • (- x y )= – ax2y – bxy2 + cxyz

aaa mmm 5132

2

5

4

5

5

2

3743

2

1 aa mm

422 2 xxx x3+2x2 +4x–2x2 –4x –8= x3 –8

4534

2

1

3

2

4

3baabba

2382 2322 mmnmnm !

ACTIVIDADES: 1) Traducir a lenguaje algebraico: a) El triple de un número. b) La mitad del resultado de sumarles al triple de un número 4 unidades. c) La diferencia de los cuadrados de dos números de dos números consecutivos. d) Cinco veces el resultado de restarle al doble de un número 5 unidades 2) Expresar algebraicamente el área y el perímetro de un cuadrado de lado 3) Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones para los valores que se indican: a) 2x +1 para x =0 b) x2 + y2 para x =1 , y =3 c) (1-2x)(1+ 2x) para x = 2

d) 3

zyx

para x =3, y =2, z =4 4) Calcular el grado de los siguientes polinomios: a) –2x2y3 d) . x2+ y2+ 2xy

b) .

242

4

3zyx

e. 7x5-3x2-6x4+2+x c) (x +5)2-(x-3)2

Identidades notables.

Cuadrado de una suma


31

Cuadrado de una diferencia

Diferencia de cuadrados 5) Desarrollar las siguientes expresiones: a) (x +2)2 f) (x -1)2 b) (2x +3)2 g) (x +2)(x –2) c) (2x –1)(2x +1) h) (3x – y)2 d) (2x –3y)(2x +3y) = 4x2 –9y2 i) (x -1)3 e) (x +5)2-(x-3)2 6) Factorizar las siguientes expresiones algebraicas: a) 3x4 -2x2 f) x2 –1

b) x2 +6x +9 g) x2 + 4 +4x c) 4x2-y2 h) 9 –6x +x2 d) 2x –4x2y i) x2 +x y +x z +y z e) a x –ay –b x +by 7) Efectuar las operaciones indicadas y simplifica la expresión resultante.

a) 3(x3 –5x +7) –(2x3 +6x2 +11x+4) f) b) 2x(4x2 –6x +2) +3 (5x2 –3x-4)- 14 x2 g) (3x3 –x + 5) (2x3 +1) c) (x3y3 + 2) (x3y3 - 2) h) (7x3 –5x+3) (2x2 +x-1)

d)

4

2

37

3

326

xx

i)

e) 8) Multiplica la siguiente expresión por 12 y simplifica el resultado:

9) Multiplica por 20 y simplifica el resultado: 10) Dividir los siguientes polinomios: a) 15 a3b2c : 6 a2c d) (2x3 +6x2 +11x+4):(x +1) b) 5 x3y2z4 : 3 x2z2 e) (3x4 +6x2 +11x+4) : (x-2) c) (x3 + 1) : (x +1) f) (–x4 +2x3 +5x -3):(x+3) 11) Calcular el resto de la división (x3 –x2 -16x -3): (x -3) sin efectuarla 12) Calcular el valor de k para que la división de P(x) entre Q(x) dé exacta: a) P(x) = x3 -x2 +k.x -4 Q(x) = (x-2) b) P(x) = x4 -2x3 +3x2 –k x -5 Q(x) = (x +1)


32

13) Calcular el valor de k, para que el resto de la división del polinomio x4 –k x3 +3x2 – x +4 entre el binomio x +2 nos dé 15. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON 2 INCÓGNITAS 1) Indicar verdadero o falso, justificando:

a) x=2; y=3, es solución del sistema:

1

5

yx

yx

b) x=2; y=3, es solución del sistema:

3

5

xy

xy

2) Determinar analíticamente si x=10; y=-2 es solución del sistema:

136

2

yx

y

3) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas y representarlos gráficamente:

a)

92

13

xy

xy

b)

633

2

xy

xy

c)

3312

3

12

yx

yx

4) Resolver analíticamente los siguientes sistemas de ecuaciones y clasificarlos:

a)

2

)2(3

1

yx

yx

b)

22)1(2

0

yx

yx

c)

5

2)(2)1(3

xy

yxyx

5) Plantear y resolver analíticamente los siguientes sistemas de ecuaciones

a. Si el promedio de dos números es 55 y uno de ellos es el cuádruplo del otro, ¿cuánto vale el número menor?

b. 8). Hallen dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el

segundo por 4, la suma sea 22; mientras que si se multiplican el primero por 2 y el segundo por 5, la suma sea 258.

c. 9) Calculen el valor de dos números sabiendo que suman 51 y que si al

primero lo dividen por 7 y al segundo por 4, obtienen dos cocientes cuya diferencia es 1.


33

d. 10) Calculen dos números que sumen 80 y cuya diferencia sea el triple del menor.

e. 11) Mi tío tenía 27 años cuando nació mi primo preferido, y dentro de 12

años le doblará la edad. ¿Cuántos años tienen?

f. 12) Hace 5 años, la edad del mayor de mis primos era el triple de la de mi hermana, y dentro de 5 años sólo será el doble. ¿Cuáles son las edades de mi primo y de mi hermana?

g. 13) Danilo tiene 1 año más que tres veces la edad de su sobrina Camila.

Dentro de 3 años, él tendrá 2 años más que 2 veces la edad de Camila. ¿Cuántos años tiene Danilo?

h. 14) En una bolsa hay 16 monedas con un valor total de $ 2,20. Las

monedas son de 5 y 25 centavos. ¿Cuántas monedas de cada valor hay?

i. 15) Tengo 14 billetes. Unos son de $ 5 y otros de $ 2. ¿Puedo tener en total $ 40?

j. 16) Un comerciante compró 18 cuadernos de papel reciclado. Algunos de

ellos costaron $ 5 cada uno, y los otros, $ 7. Pagó $ 106 por todo. ¿Cuántos cuadernos de $ 5 compró?

k. 17) Con $ 1 000 que le dio el director de la escuela, el encargado de la

sala de computación compró 9 accesorios entre escáners e impresoras, gastando un total de $ 960. Si el escáner cuesta $ 115 y las impresoras $ 90, ¿cuántos accesorios de cada tipo compró?

l. 18). Para el día del estreno de una película infantil en un gran cine se

vendieron 295 entradas y se recaudaron $ 1 447,5. Si los adultos pagaban $ 6 y los niños el 25% menos, ¿cuál es el número de adultos y de niños que acudieron?

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