Modulo de RRM 2016

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George Polya

1887 - 1985

Departamento de Estudios

Generales e Idiomas

Módulo de Razonamiento yRepresentación Matemática

G. MATEMATICAS2016

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MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016

Departamento de Estudios Generales e Idiomas

3 RAZÓN Y PROPORCIÓN .................................................................................................................................. 57

3.1. MAGNITUD ........................................................................................................................................... 57

3.2. RAZÓN .................................................................................................................................................. 57

3.3. PROPORCIÓN ........................................................................................................................................ 58

3.4. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES ................................................................................ 59

3.5. Aplicaciones de la proporcionalidad directa ................................ .................................... ...................... 60 3.5.1. REGLA DE TRES SIMPLE Y DIRECTA.................................................................................................... 60 3.5.2. PORCENTAJE..................................................................................................................................... 61

3.6. Magnitudes inversamente proporcionales .................................. .................................... ...................... 64

3.7. APLICACIONES DE LA PROPORCIONALIDAD INVERSA. ........................................................................... 65 3.7.1. Regla de tres simple inversa ............................................................................................................. 65 3.7.2. Regla de tres compuesta .................................................................................................................. 66

4 INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO .................................................................................................................... 71

4.1. OBJETIVOS: ........................................................................................................................................... 71

4.2. COMPETENCIAS: ................................................................................................................................... 71

4.3. DESARROLLO TEMÁTICO: ...................................................................................................................... 71

4.4. INTERÉS SIMPLE .................................................................................................................................... 71

4.5. FORMULA PARA CALCULAR EL INTERÉS SIMPLE .................................................................................... 73

4.6. CALCULO DEL CAPITAL, TIEMPO O RATA ............................................................................................... 75

4.7. INTERES COMPUESTO ........................................................................................................................... 76

4.8. ACTIVIDADES......................................................................................................................................... 77

4.9. BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................................... 78

5 CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA ........................................................................................................... 79

5.1. OBJETIVOS ............................................................................................................................................ 79

5.2. COMPETENCIAS .................................................................................................................................... 79

5.3. SISTEMAS DE MEDIDAS ......................................................................................................................... 79 5.3.1. CONCEPTOS BÁSICOS ....................................................................................................................... 79

5.4. SISTEMAS DE UNIDADES ....................................................................................................................... 80

5.5. EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL ............................................................................................................ 80

5.6. UNIDADES DE LONGITUD ...................................................................................................................... 81

5.7. UNIDADES DE LONGITUD DEL SISTEMA INGLES ................................. .................................... ................ 83

5.8. PERÍMETRO DE FIGURAS ....................................................................................................................... 83

5.9. PERÍMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA .................................... ..................................... ............................ 85

5.10. UNIDADES DE SUPERFICIE Y ÁREA ......................................................................................................... 87

5.11. UNIDADES AGRARIAS ............................................................................................................................ 88

5.12. AREA DE FIGURAS ................................................................................................................................. 89

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5.12.1. ÁREA DE UN TRIANGULO ............................................................................................................. 89 5.12.2. ÁREA DE UN CUADRADO .................................. .................................... ..................................... ... 89 5.12.3. ÁREA DE UN RECTÁNGULO .......................................................................................................... 89 5.12.4. ÁREA DEL ROMBO........................................................................................................................ 89 5.12.5. ÁREA DEL TRAPECIO..................................................................................................................... 90

5.12.6. ÁREA DEL PARALELOGRAMO. ...................................................................................................... 90 5.12.7. ÁREA DEL CÍRCULO. ..................................................................................................................... 90 5.12.8. ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR ............................................................................................... 91

5.13. UNIDADES DE VOLUMEN. ..................................................................................................................... 94

5.14. VOLUMEN DE CUERPOS ........................................................................................................................ 95

5.14.1. VOLUMEN DEL CUBO........................................................................................................................ 95

5.14.2. VOLUMEN DE UN ORTOEDRO........................................................................................................... 95

5.14.3. VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE........................................................................................................... 95

5.14.4. VOLUMEN DE UN CILINDRO ............................................................................................................. 96

5.14.5. VOLUMEN DE UN CONO ................................................................................................................... 97 5.14.6. VOLUMEN DE UNA ESFERA ................................... .................................... ..................................... ... 97

6 FUNCIONES .................................................................................................................................................. 110

6.1. Objetivos............................................................................................................................................. 110

6.2. Competencias ..................................................................................................................................... 110

6.3. BASE CONCEPTUAL ............................................................................................................................. 110 6.3.1. INTRODUCCIÓN. ............................................................................................................................. 110 6.3.2. Pareja Ordenada............................................................................................................................. 111 6.3.3. Intervalos ....................................................................................................................................... 111 6.3.4. Función .......................................................................................................................................... 112

6.3.4. Representación de una Función...................................................................................................... 113 6.3.5. CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES ................................................................................................ 116 6.3.6. ESTUDIO DEL DOMINIO DE ALGUNAS FUNCIONES REALES ................................... .......................... 117 6.3.7. Función Creciente, Decreciente y Constante................................................................................... 122

6.4. ESTUDIO DE ALGUNAS FUNCIONES PARTICULARES .......................................................... ................... 124 6.4.1. FUNCIÓN LINEAL ............................................................................................................................ 124 6.4.2. FUNCIÓN CUADRÁTICA ................................... .................................... ..................................... ....... 127

6.5. PROBLEMAS ........................................................................................................................................ 133

6.6. WEBGRAFÍA ........................................................................................................................................ 138

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JUSTIFICACIÓN

La enseñanza y el aprendizaje con base en el desarrollo de competencias en el sistemaeducativo colombiano, están propuestos, por el MEN, desde la educación básica hasta lasuperior1. En este nivel educativo, las competencias, llamadas genéricas, son la continuaciónde las competencias básicas desarrolladas en los niveles precedentes, tratadas a niveles deprofundidad y extensión cercanos a la formación del pensamiento científico, constituyéndoseen la base del dialogo e intercambio de saberes de los profesionales de los distintos países,en el marco de los desafíos planteados por la actual sociedad de la información y elconocimiento. En este sentido, la Universidad del Magdalena, ha decidido adelantar lareforma educativa necesaria para ponerse a tono con las circunstancias, en el marco de losfines, principios y valores contenidos en el PEI, Misión y Visión institucionales, para lo cual

se apresta a la revisión y redefinición del currículo y microcurrículos, centradoshistóricamente en el aprendizaje de contenidos, por el desarrollo de competencias quehabiliten a los egresados para asumir el reto de contribuir al desarrollo humano, social,político , económico de la región y del país, además de competir y desempeñarseeficientemente en cualquier circunstancia y espacio. Esta reforma curricular conlleva a unatransformación del modelo pedagógico, de la estrategia metodológica y, de manera muyespecial, de la concepción y criterios y estrategias de evaluación.

Las competencias genéricas, por definición, son comunes a todas las profesiones, son elsustrato de conocimientos, capacidades, habilidades y destrezas existentes en todos los

profesionales, por tal razón son transversales a todas las áreas y planes de estudios. Sinembargo, las desarrolladas a partir de las matemáticas, por su función transformadora delpensamiento y de su capacidad de representar y comunicar conceptos y estructurasconceptuales complejas necesarias para su desarrollo mismo y el aprendizaje de otras áreasdel conocimiento, son de ineludible presencia en la fase de formación general de todas lasprofesiones.

En el caso de las competencias matemáticas, se encuentra que la totalidad de los programasacadémicos tienen, con diferentes niveles de profundidad, cursos de matemáticas específicasfuncionales a cada programa y a otras áreas afines para cuya aprehensión y desarrollo se

requiere solvencia en el manejo de las competencias matemáticas genéricas.

Las competencias básicas matemáticas que se espera se encuentren desarrolladas, en su máselevado nivel al ingreso de nuestros jóvenes a la educación superior, son:

1 Tomado de Documento 3, Estándares recompetencias básicas MEN

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La comunicación y Representación.Razonamiento y Argumentación.Solución de problemas y Modelación.

Sin embargo, sabemos de la debilidad de los procesos educativos de los niveles precedentesreflejados en los deficientes resultados en las pruebas ICFES, en la dificultad de aprobaciónde los exámenes de admisión de las universidades oficiales y en el bajo desempeño en loscursos de matemática y lógica matemática de los estudiantes de primer semestre en el nivelsuperior. Para el caso particular de la Universidad, se encuentra, según datos recientes queel 53% y 57% respectivamente reprueban matemática y lógica-matemática respectivamenteen primer semestre, además es ya tradicional la dificultad que presenta la mayoría de losestudiantes en el aprendizaje de las matemáticas de su plan de estudios.

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Departamento de Estudios Generales e IdiomasRESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 7 de 138

1

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

1.1.

MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE GEORGE POLYA

OBJETIVOS

Identificar los pasos del modelo de Polya utilizado para resolver un problema.Describir las estrategias para resolver problemasAplicar el modelo de Polya a la resolución de problemas.

COMPETENCIAS

Capacidad para formular, plantear, transformar y resolver problemas matemáticos. Desarrollo y profundización del pensamiento lógico matemático. Identificación de regularidades, modelos y estructuras matemáticas en procesos y

situaciones problémicas. Capacidad comunicativa en lenguaje matemático. Habilidad de conversión de un objeto matemático a los diferentes lenguajes,

registros y representaciones matemáticas, cuando sea posible.

1.2.

DESARROLLO TEMÁTICO:

GEORGE POLYA: ESTRATEGIAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

George Polya nació en Hungría en 1887. Obtuvo su doctorado en la Universidad de Budapesty en su disertación para obtener el grado abordó temas de probabilidad. Fue maestro en elInstituto Tecnológico Federal en Zúrich, Suiza. En 1940 llegó a la Universidad de Brown en

EE.UU. y pasó a la Universidad de Stanford en 1942. En sus estudios, estuvo interesado en elproceso del descubrimiento, o cómo es que se derivan los resultados matemáticos. Advirtióque para entender una teoría, se debe conocer cómo fue descubierta. Por ello, su enseñanzaenfatizaba en el proceso de descubrimiento aún más que simplemente desarrollar ejerciciosapropiados. Para involucrar a sus estudiantes en la solución de problemas, generalizó sumétodo en los siguientes cuatro pasos:

1. Entender el problema.2. Configurar un plan3. Ejecutar el plan4. Mirar hacia atrás

Las aportaciones de Polya incluyen más de 250 documentos matemáticos y tres libros quepromueven un acercamiento al conocimiento y desarrollo de estrategias en la solución deproblemas. Su famoso libro Cómo Plantear y Resolver Problemas que se ha traducido a 15idiomas, introduce su método de cuatro pasos junto con la heurística y estrategias específicasútiles en la solución de problemas. Otros trabajos importantes de Polya son Descubrimiento

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Matemático, Volúmenes I y II, y Matemáticas y Razonamiento Plausible, Volúmenes I y II.Polya, que murió en 1985 a la edad de 97 años, enriqueció a las matemáticas con unimportante legado en la enseñanza de estrategias para resolver problemas. El Método deCuatro Pasos de Polya.

Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por ello nos pareceimportante señalar alguna distinción entre "ejercicio" y "problema". Para resolver unejercicio, uno aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta. Para resolver unproblema, uno hace una pausa, reflexiona y hasta puede ser que ejecute pasos originales queno había ensayado antes para dar la respuesta. Esta característica de dar una especie de pasocreativo en la solución, no importa que tan pequeño sea, es lo que distingue un problema deun ejercicio.

Sin embargo, es prudente aclarar que esta distinción no es absoluta; depende en gran medidadel estadio mental de la persona que se enfrenta a ofrecer una solución: Para un niño

pequeño puede ser un problema encontrar cuánto es 3 +2 o bien, para niños de los primerosgrados de primaria responder a la pregunta ¿Cómo repartes 96 lápices entre 16 niños demodo que a cada uno le toque la misma cantidad? le plantea un problema, mientras que a unode nosotros esta pregunta sólo sugiere un ejercicio rutinario: "dividir ".

Hacer ejercicios es muy valioso en el aprendizaje de las matemáticas: Nos ayuda a aprenderconceptos, propiedades y procedimientos -entre otras cosas-, los cuales podremos aplicarcuando nos enfrentemos a la tarea de resolver problemas. Como apuntamos anteriormente,la más grande contribución de Polya en la enseñanza de las matemáticas es su Método deCuatro Pasos para resolver problemas. A continuación presentamos un breve resumen decada uno de ellos y sugerimos la lectura del libro "Cómo Plantear y Resolver Problemas" de

este autor (Editorial Trillas).

Paso 1: Entender el Problema. ¿Entiendes todo lo que dice? ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras? ¿Distingues cuáles son los datos? ¿Sabes a qué quieres llegar? ¿Hay suficiente información? ¿Hay información extraña? ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?

Paso 2: Configurar un Plan.¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un artificioingenioso que conduce a un final).

1. Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura).2. Usar una variable.3. Buscar un Patrón

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4. Hacer una lista.5. Resolver un problema similar más simple.6. Hacer una figura.7. Hacer un diagrama

8. Usar razonamiento directo.9. Usar razonamiento indirecto.10. Usar las propiedades de los Números.11. Resolver un problema equivalente.12. Trabajar hacia atrás.13. Usar casos14. Resolver una ecuación15. Buscar una fórmula.16. Usar un modelo.17. Usar análisis dimensional.18. Identificar sub-metas.

19. Usar coordenadas.20. Usar simetría.21. Usar coordenadas

Paso 3: Ejecutar el Plan. Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el

problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso. Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita

una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que "se te prendael foco" cuando menos lo esperes!).

No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una

nueva estrategia conducen al éxito.

Paso 4: Mirar hacia atrás. ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema? ¿Adviertes una solución más sencilla? ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?

Comúnmente los problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o en forma escrita.Así, para resolver un problema, uno traslada las palabras a una forma equivalente delproblema en la que usa símbolos matemáticos, resuelve esta forma equivalente y luegointerpreta la respuesta. Este proceso lo podemos representar como sigue, algunassugerencias hechas por quienes tienen éxito en resolver problemas.Además del Método de Cuatro Pasos de Polya nos parece oportuno presentar en esteapartado una lista de sugerencias hechas por estudiantes exitosos en la solución deproblemas:

1. Acepta el reto de resolver el problema.

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2. Reescribe el problema en tus propias palabras.

3. Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar...

4. Habla contigo mismo. Hazte cuantas preguntas creas necesarias.

5. Si es apropiado, trata el problema con números simples.

6. Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes frustrado, no dudesen tomarte un descanso -el subconsciente se hará cargo-. Después inténtalo de nuevo.

7. Analiza el problema desde varios ángulos.

8. Revisa tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar

9. Muchos problemas se pueden de resolver de distintas formas: solo se necesita encontraruna para tener éxito.

10. No tenga miedo de hacer cambios en las estrategias.

11. La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Trabaje con montones de ellos,su confianza crecerá.

12. Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y asegurarte de querealmente entendiste el problema.

Este proceso de revisión es a veces necesario hacerlo dos o tres veces ya que lacomprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de solución.

13. Siempre, siempre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fue el paso claveen tu solución.

14. Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo puedasentenderla si la lees 10 a años después.

15. Ayudar a que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran ayudapara uno mismo: No les des soluciones; en su lugar provéelos con sugerencias

significativas.16. ¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa.

1.3.

USO DE ALGUNAS ESTRATEGIAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Existen varias estrategias para resolver problemas. Cada vez que te enfrentes a uno de ellos,debes preguntarte: “¿hay otra manera de hacerlo?” Si tu respuesta es afirmativa, procede enla forma que has pensado; comprobarás que muchas veces utilizamos una combinación dedos o más estrategias para resolver un problema. A continuación describiremos algunasestrategias para resolver problemas y enunciaremos algunos ejemplos para su análisis:

ENSAYO Y ERROR

Esta estrategia te ayuda cuando no conoces otra. En esencia, consiste en realizar variosintentos para llegar a la solución.

Consiste en realizar los siguientes pasos:

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1. Elegir un valor (resultado, operación o propiedad) posible.2. Llevar a cabo con éste valor las condiciones indicadas por el problema.3. Probar si hemos alcanzado el objetivo buscado.

Ejemplo 1: Calcula un número que al elevarlo al cuadrado y sumarle el número buscado, nosdé 132.Solución:1. Comprender el problema:Interpretación: Se va hallar un número que al elevarlo al cuadrado y sumarle el mismonúmero nos dé como resultado 132.Datos conocidos:

Resultado de la suma: 132 Planteamiento de la suma

Datos desconocidos: Cantidad a hallar bajo unas condiciones

2. Desarrollar un plan:Estrategia: Ensayo y error Descripción: Se elige un valor entre 10 y 20, luego se pone a prueba las condiciones delproblema, hasta encontrar el número que las cumpla; puesto que 132 es mayor que elcuadrado de 10.

3. Ejecutar el plan:102 + 10 = 100 + 10 =110112 + 11 = 121 + 11 = 132

Respuesta: el número que cumple las condiciones es 11.

4. Comprobación: Verificando los cálculos con una calculadora se puede demostrar que ese es el númeropedido.

Esta estrategia puede ser puesta en práctica de formas diferentes, estas son:

1. Ensayo y error fortuito: realizado sin pautas o al azar.2. Ensayo y error sistemático: los valores no se eligen al azar, sino de manera ordenada, de

forma que eliminemos las posibles repeticiones de ensayo agotando las soluciones hasta

encontrar lo que buscamos.3. Ensayo y error dirigido: en él contrastamos cada respuesta para ver si estamos más cerca

o más lejos del objetivo buscado.

Ejemplo 2:Escribe símbolos de suma y resta entre números compuestos de los dígitos: 3 5 9 1 0 5 3

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De modo que obtengas 257 como resultado. Los dígitos no se pueden repetir y se tienen quepresentar en el mismo orden que aparecen.Solución:

1. Comprender el problema:

Interpretación: Se establece que los números son compuestos solo hay que usar los símbolosde suma y resta, utilizar los dígitos una vez y seguir el orden en que aparecen. 3, 5, 9, 1, 0, 5 y3. Además, el resultado tiene que ser 257.Datos conocidos:

Solo se pueden hacer operaciones de suma y resta Dígitos dados en el siguiente orden: 3 5 9 1 0 5 3 Resultado de la operación: 257 Los dígitos no se pueden repetir

Datos desconocidos:

Las combinaciones de las operaciones en un orden específico que cumpla con elresultado dado.

2. Desarrollar un Plan

Estrategia: Ensayo y errorDescripción: El plan que conviene utilizar es tantear colocando los símbolos de suma y restaen posiciones diferentes. Como el resultado tiene tres dígitos, 257, cabe suponer que al menosuna cifra tiene tres dígitos y está entre 100 y 300.

3. Llevar a cabo el Plan

A partir de 359 se pueden agrupar los números en esta forma:359 + 10 – 53 = 316; entonces, esta combinación no funciona.

Luego, se intenta con 105, ya que 910 está muy lejos, y resulta;35 + 9 + 105 – 3 = 146; este ejercicio tampoco da 257.

Por último, se prueba una combinación con 359 y 105:359 – 105 + 3 = 257; ¡es el arreglo correcto!

Respuesta: 359 – 105 + 3 = 2574. Comprobar:Obviamente se puede ver que las condiciones del problema se cumplen.

Ejemplo 3: Judith y Teodoro fueron de visita a la granja de su abuelo. Durante su estancia vieron un corral con cerdos y gallinas. Teodoro dijo haber contado 18 animales en total.Judith afirma haber contado un total de 50 patas ¿Cuántos cerdos había? (sin utilizarecuaciones).

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Solución:

Ensayo y error fortuito: Damos valores al azar.

Cerdos Gallinas Patas14 4 6412 6 6010 8Etc.

De forma sistemática: Se van dando valores de forma sistemática 1,2, 3, etc.

Cerdos Gallinas Patas1 17 382 16 403 15

Etc.

De forma dirigida:Cerdos Gallinas Patas10 8 56 (nos hemos pasado) sobran

cerdos9 9 54 “ “ “ “ 8 10 52 “ “ “ “ 7 11 50 es la solución

1.4.

DESCUBRIR UN PATRÓN:

Te ayuda a describir algo que ocurre en repetidas ocasiones. Un patrón en un problema sepuede presentar como un comportamiento en el cual una misma cantidad se sume, reste,multiplique o divide. En otras ocasiones el patrón no tiene que ver con números, sino configuras geométricas, letras o comportamientos.

Ejemplo:Para cada uno de los patrones siguientes, determina los dos términos que siguen:a.

1, 3, 5, 7, … b. 1, -2, 3, -

4, …

c.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … d.

3, 12, 48, 192, … e.

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Solución:a. 9 y 11. Cada número es impar positivo.b. 5 y -6. El valor absoluto de cada número es uno más que el anterior. Los números sonalternos en signos.

c. 21 y 34. A partir del tercer número cada uno es la suma de los dos anteriores. (Nota: estepatrón se conoce como la sucesión de Fibonacci)e.

Resolvamos el inciso d utilizando los pasos de Polya:

1. Comprender el problema:Interpretación: dada la serie 3, 12, 48, 192, … determinar los dos números siguientes.

Datos conocidos: 3, 12, 48, 192, …

Datos desconocidos: los números que ocupan el quinto y sexto puesto de la serie dada.

2. Desarrollar un plan:Estrategia: descubrir un patrónDescripción: se observa en la serie dada que cada número es el producto de 4 por el númeroanterior.

3. Ejecutar el plan:1er puesto: 32° puesto: 4(3)= 123er puesto: 4(12)=48

4to puesto: 4(48)=1925to puesto: 4(192)=7686to puesto: 4(768)= 3072.

Respuesta: 768 y 3072 son los números pedidos.

4. Comprobar:Trabajando hacia atrás dividiendo el último número entre cuatro nos da el anterior y asísucesivamente.

1.5.

DE ATRÁS HACIA ADELANTE

Esta estrategia también se conoce como comenzar por el final. Es útil cuando tienes quecomenzar por la conclusión del problema y trabajar hacia delante.Ejemplo:El manatí que cuidaban en la Parguera, atrajo a muchas personas. El primer día acudieron averlo 80 espectadores menos que el segundo. El segundo día fueron 250 personas menos que

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el tercero. En éste acudieron 50 personas más que el cuarto. Al cuarto día fueron 500personas. ¿Cuántos espectadores vieron el manatí el primer día?

Solución:

1. Comprender el ProblemaInterpretación: Se desea determinar el número de personas que fueron a ver el manatí elprimer día. Se sabe que ese día fueron 80 espectadores menos que el segundo, cuando fueron250 menos que el tercero. Durante éste acudieron 50 personas más que el cuarto día, en elque se presentaron 500 personas.Datos conocidos:

Cantidad de espectadores el cuarto día: 500 personasDatos desconocidos:

Cantidad de personas que vieron el manatí el primer día

2. Desarrollar un Plan

Estrategia: De atrás hacia adelante.Descripción: Como se conoce la cantidad que fue el cuarto día, se calcula cuantos fueron eltercero, el segundo y por último el primer día haciendo las operaciones respectivas.

3. Llevar a cabo el PlanSi se sabe que el cuarto día fueron 500 personas y el tercero 50 más, cabe concluir que esedía hubo 550 asistentes. Con este dato y el hecho de que el segundo día fueron 250 personasmenos que el tercero, se obtiene que la asistencia del segundo día fue de 300 personas. Paradeterminar la cantidad que acudió el primer día, solo queda restar 80 a la cantidad delsegundo día, esto da 220 personas.Respuesta: el primer día acudieron 220 personas.

4. Comprobar:Este procedimiento también se pudo organizar haciendo uso de la estrategia elaboración deuna tabla:

DIA ASISTENCIACUARTO 500TERCERO 500 + 50 = 550SEGUNDO 550 – 250= 300PRIMERO 300 – 80 = 220

1.6.

ELABORACIÓN DE UNA LISTA O TABLA

Con esta estrategia puedes llevar la cuenta de los números, datos y combinaciones denúmeros en forma organizada. Una tabla es un arreglo rectangular de la información,acomodada en filas y columnas.

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Ejemplo:Los estudiantes de una clase de Botánica llevaron 300 hojas para estudiar sus característicasy propiedades curativas. La clase analizó 10 hojas el primer día, el segundo estudió 15, eltercero 20 hojas y así sucesivamente. ¿Alrededor de cuántos días tardarán en estudiar todas

las hojas?Solución:

1. Comprender el problema:Interpretación: En este caso se dice que la clase estudió 10 hojas el primer día, 15 el segundo,20 el tercero y así sucesivamente. Además, la cantidad total de hojas que tienen que estudiares 300. Se desea saber cuántos días más o menos tardarán en estudiar todas las hojas.Datos conocidos:

Total de hojas: 300 Cantidad de hojas analizadas el primer día: 10 Cantidad de hojas analizadas el segundo día: 15

Cantidad de hojas analizadas el tercer día: 20Datos desconocidos:

Total de días para estudiar todas las hojas

2. Desarrollar un Plan:Estrategia: hacer una tablaDescripción: Se observa que la cantidad de hojas por estudiar aumenta cinco cada día. Estodefine un patrón. Una vez descubierto, se pueden organizar los datos en una tabla con trescolumnas. La primera se refiere al día que estudiaron las hojas, la segunda a la cantidad dehojas que analizaron ese día y la tercera representa la cantidad de hojas acumuladas. De estamanera se continúa el patrón hasta llegar a la solución.

3. Llevar a cabo el Plan:En este paso se prepara la tabla mencionada:

DIAHOJAS

ESTUDIADASTOTAL DE HOJAS

ESTUDIADAS1 10 102 15 253 20 454 25 705 30 1006 35 1357 40 1758 45 2209 50 27010 30 300

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Respuesta: se necesitan 10 días para estudiar todas las hojas.

4. Comprobar:Revisa si la respuesta tiene sentido. Observa que el patrón continúa hasta el noveno día y

cambia en el décimo porque solo quedan 30 hojas por estudiar.En conclusión, el grupo demorará aproximadamente unos diez días en estudiar las 300 hojas.

1.7.

GRÁFICOS

En tu bolsillo tienes 5 monedas de diferentes denominaciones: 50, 100, 200, 500 y 1000pesos. ¿Cuántas cantidades distintas puedes formar?

1. Comprender el problema:Interpretación: Se tienen 5 monedas de diferentes valores en el bolsillo con las cuales sepueden formar diferentes cantidades.

Datos conocidos: Cantidad de monedas y su denominación: Cinco monedas de 50, 100, 200, 500 y 1000

pesosDatos desconocidos:

Cantidad que se pueden formar con las cinco monedas. Cantidad de números diferentes que se pueden formar

2. Desarrollar un plan: Estrategia: GráficosDescripción: Se hará una representación gráfica que muestre las combinaciones entre lascinco monedas, diferenciando las que no se tiene con las que se tiene con un menos, luego

sumaremos cada combinación posible para determinar las cantidades.

3. Ejecutar el plan

Respuesta: 32 números diferentes

4. Comprobación: Siguiendo cada rama, podemos sumar los valores de las monedas dando como resultado lascantidades que se podrían formar en el bolsillo, al final se cuentan dando como resultado 32cantidades diferentes que se pueden formar.

1.8. APLICACIÓN DE FÓRMULAS

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Cuando se conoce la relación entre dos o más cantidades, ésta se puede representar medianteuna expresión matemática conocida como una fórmula. En estos casos, las cantidades serepresentan con símbolos mejor conocidos en matemáticas como variables y su relación, con

una igualdad.

Ejemplo:

Jaime, Gissella, Silvia y Carlos desean cancelar su matrícula de ingreso a la Universidad delMagdalena. Averiguan que la liquidación para alumnos nuevos en sus respectivos programaspuede realizarse a través de la fórmula emitida por el acuerdo superior No. 017 en la cual sereglamenta que el valor de los derechos de matrícula puede calcularse así:

Además deben tener en cuenta el factor del programa, el factor estrato socio-económico y elfactor del colegio de procedencia, los cuales pueden determinarse a través de los valoresde las tablas:

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FACTOR DEL PROGRAGAMA ACADÉMICO

FACTOR ESTRATO SOCIO-ECONÓMICO

FACTOR COLEGIO DE PROCEDENCIA

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Donde:

Jaime y Silvia pertenecen a los programas de Ciencias Empresariales (Contaduría) eIngeniería (Ambiental) y provienen de Colegios privados y pertenecen a los estratos 4 y 5respectivamente, mientras que Carlos y Gisella de los programas de Ciencias de la educación(Licenciatura en Educación básica con énfasis en informática) y Ciencias básicas (biología)de estrato 2 y 3 respectivamente y de colegios públicos.

La pensión de Jaime en el grado 10 fue de $180.000 y en grado 11 de $ 225.000. Para Silvia,el valor de la pensión en grado 10 era de $200.000 y en grado 11 de $ 280.000. Determinacuánto dinero debe cancelar cada estudiante una vez liquidada su matrícula.

Solución:1. Comprender el problema:Interpretación: El problema nos habla de cuatro estudiantes: Jaime, Gissella, Silvia y Carlosque van a ingresar a la Universidad del Magdalena y desean saber cuál es el costo de lamatrícula, para su cálculo existe el acuerdo superior No. 017 en la cual se reglamenta el cobrode éstos derechos mediante una fórmula y unas tablas en el que se deben tener en cuenta elfactor del programa, el factor estrato socio-económico y el factor del colegio de procedencia,además de los valor de la pensión de los últimos dos grados.Datos conocidos:

Estudiante Jaime: programa admitido: Contaduría, proviene de colegio privado,estrato 4, pensión en el grado 10 fue de $180.000 y en grado 11 de $ 225.000.

Estudiante Silvia: programa admitido: Ingeniería ambiental, proviene de colegioprivado, estrato 5, pensión en grado 10 era de $200.000 y en grado 11 de $ 280.000.

Estudiante Carlos: programa admitido: Licenciatura en educación, proviene de colegiopúblico, estrato 2.

Estudiante Gisella: programa admitido: Biología, proviene de colegio público, estrato3.

Valor del salario mínimo legal mensual vigente a la fecha.

Datos desconocidos: El valor que cada estudiante debe cancelar una vez liquidada su matrícula.

2. Desarrollar un plan:Estrategia: Usar razonamiento directo y buscar una fórmula.Descripción: La fórmula que debe utilizarse será:

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Además se tendrán en cuenta los valores correspondientes a cada factor anotados en lastablas.

3. Ejecutar el plan:Para calcular el valor de la matrícula de Jaime se procede así:Valor matrícula = (1,3370,150000,229007633) 589.500 Valor matrícula = (1,716007633) 589.500 = 1.011.586,5

Para calcular el Factor del colegio de procedencia = [.. ..] ÷ 3.0

Factor del colegio de procedencia

= (0,3053435110,381679389) ÷ 3 , 0 = ,, =0,229007633 Para determinar el costo de la matrícula de Gisella se procederá así:

Valor matrícula = (1,3370,150000,060) 589.500 Valor matrícula = (1,547) 589.500 = 911.956,5

Respuesta: el valor de la matrícula de Jaime es de $ 1.011.586,5 y el de Gisella es $911.956,5

Nota: Así mismo puedes determinar el valor de la matrícula que debe cancelar Silvia yCarlos.

4. Comprobar: Se comprueba utilizando la calculadora para determinar el valor de la matrícula.

1.9. ANALOGÍA O SEMEJANZA

Consiste en la búsqueda de semejanzas (parecidos, relaciones, similitudes) en el “archivo” dela experiencia, con casos, problemas, juegos etc. que ya se hayan resuelto.A veces, ante la situación que nos ocupa, nos podemos preguntar: ¿A qué nos recuerda? ¿Es

como aquella otra?

Es muy bueno, a fin de encontrar un buen asidero que nos proporcione confianza, buscarsituaciones semejantes a la propuesta. Al hacerlo, probablemente, surgirán procedimientosde ataque de dichas situaciones semejantes, que nos proporcionarán estrategias válidas parala que nos ocupa.

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Esta búsqueda será más fácil cuanta más experiencia tengamos en la resolución deproblemas.

Esta estrategia suele ir asociada a la particularización y la generalización.

1 Ejemplo: Calcular el área lateral del tronco de cono que aparece en la figura 1.1.1 1.1.2 Solución:1. Comprender el problema.Interpretación: Se pide hallar el área lateral del tronco de cono de la figura adjuntaDatos conocidos: radio de la base mayor R y el de la base menor r, y altura H.Datos desconocidos: Área lateral

2. Desarrollar un plan:

Estrategias: razonamiento directo- uso de analogías o semejanzas.Descripción: La figura seccionada verticalmente se parece a un trapecio (estamos utilizandola analogía); luego el área del trapecio es igual a:

alturabasemenor Basemayor

A

]2

[

h= lado generatriz del tronco de cono:h H R r

2 2( )

Luego: Area R r

H R r

2 2

2

2 2

¿Será cierto?

4. Comprobar:Reemplace y calcule una de las dimensiones dadas, es decir trabajar hacia atrás.

1.10.

SIMPLIFICAR, PARTICULARIZAR

Consiste en pasar de la consideración de un conjunto de objetos dado a considerar unconjunto más pequeño (o incluso un solo objeto) contenido en el conjunto dado.Particularizar significa simplificar el problema haciéndolo más concreto y específico, hastaque sea posible hacer algún progreso.A veces te encuentras con un problema que resulta difícil por su tamaño, por tener

demasiados elementos que lo hacen enrevesado y oscuro. En este caso se puede empezarconstruyendo un problema semejante más sencillo, tratar de resolverlo y luego proceder acomplicarlo hasta llegar al propuesto inicialmente.

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Es una de las mejores estrategias para los principiantes, pues sirve para adquirir confianza y,en otros casos, proporciona ayuda en los atascos y bloqueos y nos permite entrar en materiamanipulando los datos.

Se utiliza en la técnica de demostración lógica denominada “contraejemplo”: basta encontraruna sola excepción para refutar de forma irrevocable lo que pretende ser una regla o unaafirmación de carácter general.La particularización puede hacerse al azar para entender el significado del problema o deforma sistemática para preparar el terreno hacia la generalización.

Acude a ésta estrategia cuando no poseas ninguna idea que te haga prosperar, ya que enmúltiples ocasiones te permitirá lograr un avance.

Puede ir relacionada con otras estrategias como: la generalización, la modificación delproblema, la experimentación.

Ejemplo16 jugadores de tenis participan en un sorteo para emparejarse entre sí en la primera ronda.¿De cuántas maneras se pueden hacer los emparejamientos?

Solución:1. Comprender el problema:Interpretación: Hay 16 jugadores de tenis participando en un torneo, los cuales necesitanemparejarse entre sí en la primera ronda. Hallar el número de emparejamientos posibles.Datos conocidos: número de jugadores: 16Datos desconocidos: número de emparejamientos posibles

2. Desarrollar un plan:Estrategia: simplificarDescripción: Como el número de jugadores es elevado, comenzamos primero con dosjugadores; en el cual claramente hay una sola forma. Si el número de jugadores es 3, tenemos3 emparejamientos y así sucesivamente hasta encontrar el número posible deemparejamientos sin pasar los 16.

3. Ejecutar el plan:Anteriormente se mencionó que pasaba si habían dos y tres jugadores, ahora probemos si losjugadores son 4, tenemos los siguientes 6 grupos: (1,2); (1,3); (1,4); (2,3); (2,4) y (3,4). Si los

jugadores son 6, aparecen 15 grupos (compruébalo)

Respuesta: Con 6 jugadores, aparecen 15 grupos.

4. Comprobar:

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Otra forma de resolver el problema es visualizar las diversas situaciones en diagramas y sacarconclusiones

1 2 1 2 3 4

1 NO SÍ 1 NO SÍ SÍ SÍ2 NO NO 2 NO NO SÍ SÍ

3 NO NO NO SÍ

4 NO NO NO NO

2 jugadores; un emparejamiento 4 jugadores; 6 emparejamientos

1.11. ORGANIZACIÓN, CODIFICACIÓN

La organización, en general, consiste en adoptar un enfoque sistemático del problema. Sueleser de gran ayuda enfocar el problema en términos de tres componentes fundamentales:antecedentes (origen y datos), el objetivo y las operaciones que pueden realizarse en elámbito del problema.

Las técnicas asociadas a la organización pasan por realizar: símbolos apropiados, croquis,gráficos, figuras, diagramas y esquemas. Estos símbolos o dibujos no se reservan al usoexclusivo de la geometría; pueden ayudar en todo tipo de problemas, ya que las figurastrazadas sobre el papel son fáciles de hacer, de conocer y de recordar.

Las figuras que te formes del problema deben incorporarse de forma sencilla a los datos

relevantes y de esta manera, suprimir los hechos que pueden conducir a confusión. De éstaforma pueden quedar resaltadas visualmente las relaciones entre los aspectos másimportantes del problema, y de ahí muy a menudo se desprenden luces que clarificansustancialmente la situación.

Una buena organización suele ir asociada con la elección de una notación o código queorganice la búsqueda de posibles caminos hacia la solución.

Las diferentes notaciones y códigos nos conducen a utilizar un determinado lenguaje. Loslenguajes que resultan útiles en la resolución de problemas son: el lenguaje de la Lógica el delas Matemáticas (geométrico, algebraico, analítico, probabilístico etc.), el analógico (modelos,

manipulaciones etc.) y el imaginativoo pictórico (figuras, esquemas, diagramas etc.). Unabuena organización es un buen punto de arranque y a veces allí se encuentra la clave deléxito.

Ejemplo:Hay varias formas de sumar 10, mediante números impares y con cuatro sumandos; tenemos:

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10 =1+1+1+7; 10 = 1+1+3+5; 10 = 1+3+3+3;, tenemos tres formas (los cambios de orden en los números no cuentan como nuevassoluciones). Para obtener 20 con 8 sumandos impares ¿Cuántas formas hay?

Desde luego hay que organizarse un poco y ser sistemático:20= 1+1+1+1+1+1+1+13; 20=1+1+1+1+1+1+7+7; 20 = 1+1+1+1+1+1+3+11;, así llegamos hasta 11 combinaciones posibles ¿Te atreves?

1.12.

CODIFICACIÓN:

Ejemplo Se tiene 3 cajas iguales y 5 guantes de la mano izquierda, todos ellos iguales ¿De cuántasmaneras se pueden distribuir en las tres cajas?

Solución:

1. Comprender el problema:Interpretación: Se quiere saber de cuantas maneras se puede distribuir en tres cajas iguales5 guantes de la mano izquierda.Datos conocidos:

Número de cajas: 3 Número de guantes:5

Datos desconocidos: Número de posibilidades de distribuir en las tres cajas los 5 guantes

2. Desarrollar un plan:Estrategia: Codificación

Descripción: Después de jugar un poco con el problema se puede llegar a definir un códigoque nos organice la búsqueda. Representaremos por A los guantes y las cajas por B luegoempezaremos a hacer las diferentes combinaciones.

3. Ejecutar el plan:La secuencia BAA BA BAA nos indica que en la 1ª caja hay dos guantes, en la 2ª un guante yen la 3ª dos guantes. Quizás este código nos resulte más fácil de manejar y así resolver elproblema.Respuesta: hay 9 formas

4. Comprobar:Usa la estrategia gráfica y verifica la respuesta.

1.13.

RESOLVER UNA ECUACIÓN:

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Frecuentemente cuando se aplica la estrategia de usar una variable en la resolución deproblemas, tal representación conlleva a una ecuación que puede ser de tipo lineal ocuadrática.

Veamos el siguiente ejemplo:

José es propietario de una finca en la cual cría conejos y gallinas. Para establecer el númerode animales que posee, manda a uno de sus empleados a realizar el conteo de estos. Alregresar el empleado dice a José: “Contando todas las cabezas de los animales usted tiene60; pero si cuenta las patas el resultado es de 188”. ¿Cuántos Conejos y cuántas gallinas tieneJosé en su finca?

Solución:1. Comprender el problema:Interpretación: José es propietario de unos conejos y de unas gallinas, al mandar a un

empleado a contar la cantidad de Conejos y gallinas éste le responde: “Contando todas lascabezas de los animales usted tiene 60; pero si cuenta las patas el resultado es de 188”.¿Cuántos Conejos y cuántas gallinas tiene José en su finca?Datos conocidos:

Número de cabezas: 60 Número de patas: 188

Datos desconocidos: Número de conejos y gallinas

2. Desarrollar un plan.Estrategia: resolver una ecuación

Descripción: Se aplicará la estrategia de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales condos incógnitas, para ello debe asignarse variables así:Sea =

= 3. Ejecutar el plan:Se deben plantear dos ecuaciones teniendo en cuenta los datos conocidos así:

{ = 6 0 (1) ( )4 2 = 1 8 8 (2)( )

La solución del sistema se realiza aplicando el método de reducción:

{ = 6 0 . (2) 4 2 = 180 . ( 1) Luego: 22= 120 4 2 = 188

____________________2 = 68

Por lo tanto = = 34 . Sustituyendo: = 3 4 en (1) se tiene:

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3 4 = 6 0 . Entonces: = 6 0 3 4 = 2 6 . Respuesta: hay 34 conejos y 26 gallinas.

4. Comprobación:

Se realiza reemplazando los valores obtenidos en la ecuación (1) y (2): = 6 034 + 26 = 60

1.14.

USAR LAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS U OPERACIONES

MATEMÁTICAS

Entender la naturaleza intrínseca de los números a menudo es útil en la solución deproblemas. Para resolver problemas donde intervienen cálculos numéricos u operacionesmatemáticas, es importante establecer las relaciones que existen entre los datossuministrados.

Ejemplo:Cristina desea remodelar la sala de su casa que tiene 7, 8 m de largo por 3 m de ancho, conbaldosas cuadradas lo más grande posibles. ¿Cuánto debe medir el lado de cada baldosa si alcolocarlas se desea que no se rompa ninguna?

Solución:1. Comprender el problema:Interpretación: La sala de Cristina va a ser remodelada, tiene dimensiones de 7, 8 m de largopor 3 m de ancho, con baldosas cuadradas lo más grande posibles. ¿Cuál debe ser la longituddel lado de cada baldosas para que al colocarlas no se rompa.

Datos conocidos: El largo de la sala 7, 8 m y el ancho de 3 m.

Dato desconocido: Longitud del lado de la baldosa cuadrada

2. Desarrollar un plan:Estrategia: uso de las propiedades de los números.Descripción: Para efectuar los cálculos, se expresará el largo y el ancho en centímetros, esdecir, 7, 8 m = 780 cm y 3 m = 300 cm. Para determinar la medida del lado de la baldosa detal manera que al colocarlas no se rompa ninguna, se requiere establecer un número exactode veces en 780 cm y 300 cm, por lo tanto se debe buscar números que dividan exactamentea la vez ambos números, es decir, divisores comunes. Como la baldosas debe ser lo másgrande posible, se debe elegir el mayor de los divisores comunes que corresponde al máximocomún divisor de 780 y 300.

3. Ejecutar el plan:En consecuencia:

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780 300 2390 150 2 Respuesta: el lado de la baldosa debe medir 60 cm195 75 3

65 25 513 5

4. Comprobar:Si divide cada dimensión, largo y ancho, por el número hallado dará un valor exacto lo cualindica que ninguna baldosa se romperá al ser instalada.

1.15. EJERCICIOS PROPUESTOS

Resuelve cada uno de los ejercicios utilizando el mayor número de estrategias para la

solución de problemas

1. Cuatro patinadores participan en un torneo, razón por la cual compiten en una pistacircular recorriéndola totalmente en 8, 10, 12 y 15 segundos, respectivamente. Si partenjuntos, ¿en cuántos minutos se encontrarán en la partida?

2. Un ratoncito sale de su hueco hacia el hueco de su ratoncita dando saltos de 11cm.Luegoregresa dando saltos de 7cm; pero habiendo recorrido en total 1,23m.se detiene a

descansar ¿Cuánto le falta aún por recorrer?

3. Álvaro, Juan, Daniela y Laura son estudiantes antiguos de la universidad del Magdalena.Al inicial semestre desean liquidar su matrícula para el año 2013, sabiendo que éstapuede realizarse con base en el acuerdo superior 024 del 23 de junio del 2009, el cualestablece que el valor de la matrícula se determina mediante la fórmula:

PROGRAMA ACADÉMICO

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FACTOR ESTRATO SOCIO-ECONÓMICO

El Colegio de procedencia se estimará de la siguiente manera:

NÚMEROS DE CRÉDITOS ACADÉMICOS

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Si se sabe que: Álvaro pertenece al programa de medicina, procede de colegio privado y lapensión de escolaridad en el grado 10 era de $300.000 y en el grado 11 de $ 350.000 y deestrato 5. Daniela pertenece al programa de derecho, de colegio privado y la pensión en elgrado 10 era de $225.000 y en grado 11 de $240.000 y de estrato 4. Mientras que Juan yLaura provienen de colegios oficiales de estratos 2 y 3 respectivamente y de los programasde Ingeniería Civil y Antropología ¿Cuánto dinero debe cancelar cada estudiante al inicio del

semestre?

Selecciona un estudiante del programa de Ingeniería Ambiental, Negocios Internacionales yEconomía y realiza la respectiva liquidación teniendo en cuenta:a. El acuerdo 024b. El acuerdo 017Para ello considera que:a. Pertenece al estrato 3b. Proviene de institución educativa de carácter oficial (No privado)

Establece semejanzas y diferencias entre ambas liquidaciones. ¿Dónde la liquidación es

mayor? ¿Dónde es menor? ¿Por qué? Realiza tu propia liquidación con el acuerdo 017.

4. Andrea desea azar en una parrilla tres arepas. En la parrilla caben dos arepas a la vez,pero solo se puede azar por un lado. Se tarda 30 segundos en asar una cara de una arepa,5 segundos en colocar una arepa, o en sacarla y tres segundos en darle la vuelta. ¿Cuál esel mínimo de tiempo que se necesita para asar las tres arepas por ambas caras?

5. En las inmediaciones de la isla de Salamanca hubo un derrame de aceite de palma. Talhecho ha ocasionado la muerte de muchas especies que allí habitan. Se cree que sederramaron parte de los 1, 5 millones de galones de aceite. Los 1, 5 millones de galonesde aceite caben en 125 carro tanques. ¿Cuál es la cantidad de aceite contenida en cada

carro tanques?

6. Camilo tiene una caja de chocolates y desea compartirla con sus mejores amigos. ACristina regala la mitad de sus chocolates más uno, a José la mitad de los chocolates quele quedaron más uno y a Carlos la mitad de los que le quedaban más uno. Si a Camilo aúnle queda un chocolate, ¿cuántos chocolates tenía la caja al inicio?

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7. Muchos ceros. ¿En cuántos ceros termina el número100! =100x99x98x....x4x3x2x1?Nota: Como el resultado de 100! , es un número muy grande, intenta primero resolver elproblema análogo para 10!= 10x9x8x7x6x5x4x3x2x1

8. Lucía viajó 125 millas en dos días. El segundo día viajó 23 millas más que el primero.¿Cuántas millas viajó cada día?

9. Sumar quince: Nueve fichas numeradas del 1 al 9, se ponen sobre la mesa. Juegan dosjugadores. Cada uno coge una ficha por turno. Gana el primero que sume 15. Intentaelaborar dos estrategias que puedan conducir a la victoria: una para usarla si eres tú elprimero en comenzar y otra si te toca en segundo lugar.

10. Discos: Se tienen dos discos circulares. En la cara superior de cada uno de ellos hay escritoun número. En la otra cara tiene escrito otro número. Si lanzamos los dos discos al aire y

sumamos los dos números, podemos obtener estos resultados: 11, 12, 16y 17. Investiga qué números están escritos en la cara oculta de cada disco.Prueba ahora con estos tres discos sabiendo que los resultados que seobtienen son :15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23.

¿Y si los resultados obtenidos fuesen 12, 13, 15, 16, 17, 18, 20,21, qué números estaríanescritos en la cara oculta de cada disco?

11. Un cajero contó 248 billetes. Solo tiene billetes de $20.000 y $ 5.000 y en total hay $ 2

215 000. ¿Cuántos billetes de $20.000 y de $ 5.000 hay?

12. Canelo es un asno glotón. Su dueño lo ha atado con una cuerda de 15 m de largo en elcentro de un prado de forma cuadrada de 30 m de lado. Calcula la superficie de la partedel prado en la que no puede comer Canelo porque se lo impide la cuerda.

13. Luís pesa menos que Antonio, pero más que Pablo. Pablo pesa menos que Luís, pero másque Esteban. ¿Quién pesa más y quién le sigue en este orden?

14. Llegan 9 personas a un baile y cada una le da un apretón de manos a la otra. ¿Cuántos

apretones de manos se dan en total?

15. La edad de un padre y la de su hijo suman 47 años. Si dentro de 14 años el padre tendráel duplo de la edad del hijo, ¿cuál es la edad del padre?

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16. Julia tiene un carro pequeño que le rinde 30 kilómetros por galón en el pueblo, y 36kilómetros por galón en el expreso. El tanque de su carro tiene capacidad de 15 galones,la gasolina regular cuesta a $ 0.28 el litro y la premiun a $ 0.32 el litro. ¿Cuánto le costarállenar el tanque de su auto con gasolina regular? (ayuda: 1 galón es aproximadamente

equivalente a 1 galón = 3,7854118 litros).

17. La señora Martínez desea sembrar amapolas en el patio de su casa de modo que formenuna verja recta. La distancia que desea cubrir mide 30 pies. El jardinero le indica que estasflores deben sembrarse a 2 pies de distancia entre ellas. ¿cuántas debe comprar paracubrir la verja de extremo a extremo si desea sembrar la primera amapola en uno de losextremos?

18. En el salón de historia están estudiando las banderas de los países de las Américas. Cadadía estudian algunas y aprovechan para estudiar la topografía del país. El quinto díaestudiaron 2 países más que el cuarto día. El cuarto día estudiaron tres países menos que

el tercer día. El tercer día estudiaron la misma cantidad de países que estudiaron elsegundo día. El segundo día estudiaron cuatro países. El primer día estudiaron un paísmenos que en segundo día. ¿Cuántos países estudiaron en total?

19. En un edificio de 4 pisos vive la familia Sánchez, Arteaga, Martínez y Castro. La familiaSánchez vive entre las familias Arteaga y Castro. La familia Sánchez vive dos pisos másarriba que la familia Martínez. Las familias viven en pisos diferentes. ¿En qué piso vivela familia Martínez?

20. Guillermo va al casino semanalmente. La primera semana triplicó su dinero, pero luegoperdió $ 12.000. A la semana siguiente llevó el dinero que le sobraba, lo duplicó, pero

después perdió $ 40.000. Habiendo guardado el dinero que le quedó, la semana siguientelo intentó una vez más y cuadruplicó su dinero, con tanta suerte que no perdió nada ypudo regresar a casa con el total, que ascendía a $ 224.000. ¿Con cuánto dinero comenzóen la primera semana?

21. El sueldo anual de Miguel ha aumentado la misma cantidad en los últimos años. Susueldo era de $18 000 anuales el primer año de trabajo. Si el séptimo año ganaba$24000. ¿Cuántos años lleva en el trabajo si ahora gana $30 000 anuales?

22. Las agendas para el próximo año escolar están en oferta. Los precios son independientesdel color, pero dependen del tamaño. Si compras entre una o tres agendas del tamaño

regular, cuestan $47 cada una. Si compras entre 4 y 24 de las mismas, cuestan $39.75 cadauna. La agenda de bolsillo tiene los siguientes precios, entre una y tres cuestan $16.95,entre 4 y 24 cuestan $13.50. Para el día del ejecutivo, el presidente de JOTA MATEMATdecide comprar estas agendas para sus empleados. Si compra diez agendas de bolsillocolor marrón y dos agendas negras de tamaño regular. ¿cuánto se ahorró?

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1.16. BIBLIOGRAFIA

CAMPISTROUS, L., RIZO, C. “Aprende a resolver problemas aritméticos” (1996)Editorial Pueblo y Educación.

RODRIGUEZ, J., CARABALLO, A., CRUZ, T., HERNANDEZ, O. “RazonamientoMatemático, Fundamentos y Aplicaciones”. (1997). International Thomson Editores. SANTOS TRIGO, L. “La Resolución de Problemas Matemáticos Fundamentos

Cognitivos”. (2007). Editorial Trillas.1.17.

WEBGRAFÍA:

http://www2.minedu.gob.pe/digesutp/formacioninicial/wp-descargas/educacionprimaria/didactica_mat/04_resolucion_de_problemas.pdf

http://www.educarchile.cl/Portal.herramientas/nuestros_sitios/7mm/sitio/respuesta3.htm http://www.planetamatematico.com/index.php?option=com_content&task=view&id=52&Itemid=7

4&limit=1&limitstart=3

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Departamento de Estudios Generales e IdiomasCONJUNTO Y NÚMEROS REALES Página 34 de 138

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CONJUNTO Y NÚMEROS REALES

2.1. OBJETIVOS:

Comprender claramente el concepto y las formas de representación de conjunto,

desarrollar ejercicios y problemas utilizando las operaciones y cardinalidad. Desarrollar habilidades en el cálculo y aplicación de las operaciones y propiedades en

los números Reales. Utilizar el modelo de Polya en la solución de situaciones problemas que requieren de

la aplicación de las propiedades de las operaciones en los diferentes conjuntosnuméricos.

2.2. COMPETENCIAS:

Capacidad para formular, plantear, transformar y resolver problemas matemáticos. Capacidad comunicativa en lenguaje matemático. Capacidad para movilizar los conceptos básicos matemáticos: aritméticos,geométricos, métrico, variacional, de análisis matemático, estadístico y financiero en

diferentes situaciones y problemas de tipo matemático. Capacidad para representar objetos matemáticos en diferentes registros o sistemas

de notación para crear, expresar y representar ideas matemáticas.

2.3.

DESARROLLO TEMÁTICO.

2.3.1. ¿QUÉ ES UN CONJUNTO?

Al querer agrupar diferentes objetos como: personas, animales, autos, mesas, casas, ideas,creencias, lenguajes, letras, números, etc. Debemos tener presente una o varias

características en común, al hacer la selección o al agrupar cualquier tipo de objeto por algúntipo de característica estamos formando un conjunto.

Veamos un ejemplo de agrupar de como agrupar elementos:

En conclusión podemos decir que un conjunto es: una agrupación de elementos con una omás características en común.

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Intuitivamente, un conjunto es una colección o clase de objetos bien definidos, dotados deuna propiedad que permita decidir (sin ninguna ambigüedad posible), si un objetocualquiera forma parte o no de la colección.

Consideremos, por ejemplo, los siguientes conjuntos:1.- Las vocales: a, e, i, o, u.2.- Los números enteros pares positivos: 2, 4, 6, ....3.- Los siete enanitos de Blanca nieves.4.- Los equipos chilenos de fútbol profesional participantes en el actual campeonato

nacional.5.- Las señoritas de nuestro curso de Matemáticas.

Los objetos que forman un conjunto se llaman elementos del conjunto, y la relación entre unelemento y un conjunto es la de pertenencia.Se escribe x ∈ A y se lee “(el objeto) x pertenece a (el conjunto) A” Habitualmente los conjuntos se designan por una letra mayúscula y los elementos delconjunto por una letra minúscula y entre paréntesis de llave.

2.3.2.

CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS

EXTENSIÓN cuando se describen exhaustivamente (es decir, nombrando a todos y cada unode sus elementos, que, en tal caso, se escribirían entre llaves)Ejemplo: A= {Pedro, Juan, Luis, Manuel}

B= {a, e, i, o, u}C= {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}

COMPRENSIÓN: Cuando se indican las características de los elementos del conjunto o funciónproposicional p(x) que satisfagan todos los elementos x del conjunto definido y sólo ellos,dentro de un universo contextual ó relativo U”. Ejemplo: B = {números pares}

C = {números enteros positivos menores de 10}D = {x/x, son las vocales} E = {y/y, son los días de la semana}

CONJUNTO VACÍO: Es aquel conjunto que no tiene ningún elemento. Se representa por elsímbolo ∅ o { }Ejemplos: el conjunto B = {números impares entre 5 y 7} es un conjunto vacío ya

que no existen ningún numero entre 5 y 7.

SUBCONJUNTO: Se dice que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, o bien que Aestá incluido en B si y sólo si cada elemento que pertenece a A pertenece también a B.A está incluido en B y se anota A B.Expresado de otra forma: A B = {x / x A x B}

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Ejemplo: si A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} entonces A B.Si A no es subconjunto de B se escribe A B.

CONJUNTO UNIVERSAL: Es aquel conjunto del que son subconjunto toda una familia de

conjuntos. Se denota con la letra U Ejemplos: Sean los conjuntos A = {tigres} B = {anfibios} C = {aves} D = {peces}Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D y es conjunto de todos los animales U = {animales} por lo tanto este sería el conjunto universal.

CONJUNTOS DISJUNTOS: Son aquellos conjuntos que no tienen ningún elemento en común.Por ejemplo: E = {1, 3, 5} y G = {2, 4, 6} son conjuntos disjuntos.

2.3.3.

DIAGRAMAS DE VENN EULER

Es la forma sencilla e instructiva para poder representar los conjuntos y las relaciones que seproducen entre ellos. En ellos se representan habitualmente los conjuntos por un área plana,

por lo general delimitada por un círculo.

A= { a, b, c, d, e} B = {b, c, d} B A

2.3.4. OPERACIONES CON CONJUNTOS

UNIÓN: La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecena A o a B o a ambos., y se representa por A ∪ B

∪ B = x / x ∈ A ∨ x ∈ B} Ejemplo: Sean los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6}, entonces la unión entre A y B

∪ B

= {1, 2, 3, 4, 5, 6} y su se representa gráficamente por el diagrama de Venn

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INTERSECCIÓN: La intersección de dos conjuntos A y B (A B) es el conjunto de todos loselementos comunes a A y a B al mismo tiempo.

∩ B = x: x ∈ A ∧ x ∈ B} Ejemplo: Si tomamos los mismos conjuntos

A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6}, entonces la Intersección de A y B es A B = {3, 4} y serepresenta gráficamente mediante el diagrama de Venn

DIFERENCIA: La diferencia entre los conjuntos A y B (A – B) o (A \ B) es el conjunto de todoslos elementos que pertenecen a A pero no pertenecen a B

A B = A \ B = x / x ∈ A ∧ x B}Ejemplo: Utilizando los conjuntos A = { 1, 2, 3, 4 } y B = {3, 4, 5, 6} entonces la diferenciade A y B es A - B = { 1, 2 } y se representa gráficamente mediante el diagrama de Venn

COMPLEMENTO: El complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos queno pertenecen a A, pero sí pertenecen al Universo. En otras palabras es la diferencia entre elconjunto Universo y el conjunto A.Se representa por ’ = c y es igual a U – A.Representado en un diagrama de Venn, setiene:

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DIFERENCIA SIMÉTRICA:

Es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B pero no a ambos.A B = ( A B ) ∪ ( B A ) = ( A ∪ B ) ( A ∩ B)

REPRESENTACIÓN DE ALGUNAS OPERACIONES: (Escriba la operación)

2.3.5.

NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO

Si A es un conjunto, se denota con n(A) el número de elementos de A.Sea V = {x/x es vocal} ; n(V) = 5.Sea P = {x/x es # primo par} ; n(P) = 1.Sea N = {x/x es divisor de 5} ; n(N) = 2.

Entonces podemos analizar dos casos:

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A) Si se dan conjuntos A y B disjuntos, es decir, A B = , entonces el número de elementosen la unión de A y B es igual a la suma del número de elementos de A y el número de elementosde B.Luego: Si A B = entonces n(A U B) = n(A) + n(B).

Ejemplo:

Sea A = {a, b, c, d} y B = {m, n, o, p, q} entonces:n(A) = 4 ; n(B) = 5 ; A B = A U B = {a, b, c, d, m, n, o, p, q}n(A U B) = n(A) + n(B) = 4 +5 = 9.

B) Si se dan dos conjuntos A y B tales que A B , es decir, no son disjuntos. Se puedeobtener el número de elementos de A U B de la siguiente forma:

n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A B) (*)Ejemplo.

Sean A = {x/ -3 < x < 4, x Z} y B = {x/ 2 x 6, x Z}

Entonces: n(A) = 6 ; n(B) = 5 y A B = {2, 3}n(A B) = 2 A U B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}; n(A U B) = 9.

Aplicando (*) tenemos: como B A n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A B)

Si A B = entonces n(A B) = 0, puede entonces generalizarse:n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A B)

Nota: Es posible derivar fórmulas para el número de elementos de un conjunto formado porla unión de más de dos conjuntos.Para tres conjuntos:n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(AC) – n(BC) + n(ABC)2.3.6.

EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Ejemplo 1: Un alumno de la facultad, efectúa una encuesta sobre un grupo de 100 estudiantes,acerca de los hábitos de estudio en la Biblioteca de Ingeniería y aporta los siguientes datos:

Estudian trigonometría: 40 Estudian álgebra: 55 Estudian geometría: 55 Estudian trigonometría y álgebra: 15

Estudian trigonometría y geometría: 20 Estudian álgebra y geometría: 30 Estudian las tres materias: 10 No van a la biblioteca: 5

¿Puede asegurarse que la encuesta realizada es correcta?

Desarrollo:

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Primer paso. Comprender el problema. El problema trata de una situación en la cual nosdan los resultados de una encuesta sobre los hábitos de estudio de 100 estudiantes, en unabiblioteca.Debemos averiguar si la encuesta realizada es correcta. Es decir si existe coherencia en los

resultados.Paso2. Configurar un plan. Resolveremos el problema por medio de dos estrategias pararesolver el problema: Elaborar una gráfica y emplear una fórmula.

Observación: Para desarrollar esta clase de ejercicios se recomienda:A) “Dibujar” el diagrama de Venn y ubicar los datos dados. B) Se debe iniciar por aquel que puede señalarse con certeza.C) Una vez que el diagrama se completa, se puede leer el número de estudiantes que estudiacualquier combinación de materias.

Paso3. Desarrollar el plan Elaboramos la gráfica del problema:

Comenzamos por el final:

No van a la biblioteca 5 y estudian las tresmaterias 10:

Estudian Algebra y Geometría 30, pero como yahay 10 en la zona de intersección de algebra ygeometría, entonces colocamos 20

Estudian trigonometría y Geometría 20, perocomo ya hay 10 en esa zona de intersección,entonces colocamos 10

15 estudian trigonometría y Algebra. Pero como

ya hay 10 en esa zona, solo colocamos 5

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55 estudian Geometría, pero como en eseconjunto ya hay 40, colocamos solo 15

Hacemos lo mismo hasta completar 55 deAlgebra y 40 de geometría

Observamos que hay 95 estudiantes que asisten a la biblioteca a estudiar alguna asignatura

y 5 estudiantes que no asisten a biblioteca. Por lo tanto la encuesta está bien realizada.

Analíticamente: empleamos la fórmula:n(T U A U G) = n(T) + n(A) + n(G) – n(TA) – n(TG) – n(GA) + n(TAG)n(T U A U G) = 40 + 55 + 55 - 15 - 20 - 30 + 10 = 9595 Estudiantes que asisten a la biblioteca.100 – 95 = 5 Estudiantes que no asisten a la biblioteca.Por lo tanto la encuesta está bien realizada.

2.4. CONJUNTOS NUMÉRICOS

2.4.1.

NÚMEROS REALES

El conjunto de los números reales R es el conjunto que obtenemos entre la unión de losconjuntos Racionales Q e Irracionales I. Como ya es de tu conocimiento, en los númerosracionales Q están ya incluidos los naturales N y los enteros Z, entonces basta decir que:

R = Q U IEn la siguiente figura puedes observar gráficamente este hecho:

R =

Q

Z

NI+

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Las siguientes ilustraciones nos muestran algunos aspectos de estos conjuntos numéricosque conforman a los reales:

Cada punto de la recta representa un número racional o un número irracional; los númerosreales pueden ser positivos o negativos, además, no tienen ni un primer ni un últimoelemento.Algunas características de los números reales son:

El conjunto de los números naturales: N N = 1, 2, 3, 4, …, 10, 11, 12, …} El conjunto de los números enteros: Z Z = …, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …} El conjunto de los números racionales:Q

Q = { a/b : a, b Z}Propiedad: todo número racional esentero, decimal exacto o decimalperiódico (puro o mixto)Importante: debes recordar de cursos

anteriores cómo se expresa un decimal

− = 2 = 1,625 ( decimal exacto)−

− = 1,555… = 1,58333 …

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exacto, periódico puro periódico mixto

en forma de fracción.Por ejemplo:

1,65= − =

Representación gráfica defraccionarios

El conjunto de los números irracionalesI: está formado por todos aquellosnúmeros reales que no son racionales.Tienen infinitas cifras decimales pero noforman período.

1,2345678910111213141516171819202122… √ 2 = 1,4142136… pi = 3,14155927…

Ejemplo1. Un byte consta de 8 bits y representa un carácter (letra o dígito). Si 210 bytes son

un kilobyte (1kB), 210 kilobytes son un Megabyte (1MB), ¿Cuántos caracteres puedealmacenarse en una memoria de 500 MB?Solución.

1. Comprender el problema. El problema nos informa que 1 byte representa a uncaracter además que 1KB equivale a 210 B y que 1MB corresponde a 210 kB. Ademásnos pide hallar cuántos caracteres se pueden almacenar en una memoria de 500 MB.

2. Configurar un plan. Utilizaremos la estrategia de Razonamiento directo para resolverel problema.

3. Ejecutar el plan.

Como 1 kB equivale a 210 B y 1MB equivale a 210 kB, entonces tenemos que 1MB es210 veces 210 Bytes, es decir:

1MB = 210x210 Bytes = 220 Bytes = 1.048.576 BytesPor lo tanto 500 MB equivalen aproximadamente a:

500 MB = 500x(1.048.576 Bytes) = 524.288.000 BytesAhora como cada byte representa a un carácter, en la memoria de 500 MB cabenaproximadamente524.288.000 caracteres. /R

Ejemplo2 ¿Qué volumen ocupa el átomo de oxígeno, si se considera como una esfera,teniendo en cuenta que su radio es aproximadamente 6 x 10 -6 mm.?

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Solución.

Primer paso. Entender el problema. Tenemos la siguiente información:

El radio del átomo de Oxígeno: 6·10-6

mm

Segundo paso. Configurar un plan. Utilizaremos la estrategia de Emplear una fórmula pararesolver el problema. La fórmula que utilizaremos es la del volumen de una esfera, la cuales:

= . V: volumen de la esfera: r: radio de la esferaTercer paso. Ejecutar el plan. Remplazamos los valores en la fórmula respectiva:

V = 4/3. (3,14)(6 x 10-6 mm)3

= 904,78·10-18 mm = 9,0478·10-16 mmRespuesta: el volumen del átomo de oxígeno es de 9,0478·10-16 mm

2.4.2.

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES.

Nota: Se pide al estudiante que repase las operaciones y propiedades con números enteros,racionales, e Irracionales. Así como los conceptos y aplicación de Mínimo Común Múltiplo,Máximo Común divisor y Notación científica.

Operaciones con fracciones. Si

son números racionales entonces:

Suma de Fracciones con el mismo denominador =

+

Sustracción de Fracciones con el mismo denominador = Suma de Fracciones de diferentes denominadores

=

. . .

Sustracción de Fracciones de diferentes denominadores

=

. . .

Multiplicación de Fracciones ×

=

. .

División de Fracciones ÷

=

×

=

. .

Potenciación de Fracciones

=

Si dividimos un objeto o unidad en varias partes iguales, a cada una de ellas, o a un grupo deesas partes, se las denomina fracción. Las fracciones están formadas por dos números: elnumerador y el denomi

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