Módulo I - Trigonometría

Lic. Mat. Jorge Guillermo Díaz Albújar

ÁNGULOS Y SISTEMAS DE MEDICIÓN

La trigonometría en sus inicios se utilizó para resolver problemas de astronomía y navegación, por eso se le llamó la ciencia de la medida indirecta. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO. Es una figura generada por la rotación de un rayo alrededor de su origen. Según la rotación del rayo el sentido de un ángulo puede ser: • Antihorario: ángulo positivo. • Horario: ángulo negativo.

Sentido de “α ” POSITIVO Sentido de “ β ” NEGATIVO

ÁNGULOS COTERMINALES. Dos o más ángulos son coterminales si tienen el mismo lado inicial y el mismo lado terminal. Su diferencia es un número entero de vueltas.

(360º ), k kβ α− = ∈Z

α

TEMA 01 ÁNGULOS TRIGONOMÉTRICOS

β

α

β

La medición de ángulos en áreas como la cartografía o la navegación se hace en grados sexagesimales, pero en análisis científicos como los movimientos ondulatorios de los cuerpos, se utiliza el sistema radial para medir ángulos. El SISTEMA RADIAL O CIRCULAR tiene como unidad de medida el radián (rad), definido como la medida del ángulo que subtiende un arco de igual longitud que el radio de la circunferencia. Al dividir la longitud de cualquier circunferencia (L) por la longitud de su diámetro (D) se obtiene el número irracional π , expresando esta relación en función del radio se tiene:

2L LD r

π = =

De resultas que el ángulo de una vuelta (una circunferencia) mide 2π radianes. Por tanto el sistema radial divide el ángulo de una vuelta en 2 x 3,1416 = 6,2832 partes aproximadamente, cada una de ellas llamada radián. Pero ¿Cuánto mide un radián? Antes de responder a esta pregunta, se analizará el caso general. Sean S y R las medidas del mismo ángulo en grados sexagesimales y radianes, respectivamente, estableciendo una proporción con respecto al ángulo de una vuelta:

360 2S R

π=

A partir de ello se obtienen los algoritmos de conversión:

De radianes a grados sexagesimales 180RSπ

=

De grados sexagesimales a radianes 180

SR π=

Como caso práctico se hallará la medida de un radián: 180(1)1 rad 57,3ºπ

= ≈

LONGITUD DE ARCO: Es la medida en unidades de longitud, del arco correspondiente a un ángulo central medido en radianes. Esto permite establecer la siguiente regla de tres simple

1 rad rrad Lθ

→→

Despejando L rθ= ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR: Estableciendo la proporcionalidad en una regla de tres simple. Si para un ángulo de 2π radianes corresponde el área de un círculo, entonces para un ángulo de θ radianes corresponde un área A .

22

rad rrad Aπ πθ

→→

Luego 2

2rA θ

=

EJERCICIOS RESUELTOS

1 Si 125ºα = , ¿cuáles son los ángulos coterminales con α que cumplen: ser el menor positivo y el mayor negativo? Solución: El menor ángulo positivo coterminal con α será: 125º+360º=485º, y el mayor ángulo negativo coterminal con α será: 125º - 360º= -235º

2 Convertir 108º a radianes.

Solución: Usando equivalencias o factores de conversión

π rad 3π108º = rad180º 5

3 Convertir 25

radπ a grados sexagesimales

Solución: Usando equivalencias o factores de conversión

2π 180ºrad = 72º5π rad

4 Convertir 11º15’ a radianes.

Solución: Primero se convierten los 15’ a grados usando la equivalencia

1º 115' 15' 0, 25º º60 ' 4

= = =

Luego:

1 45ºπ rad π11º15' = 11º + º = = rad4 4 180º 16

5 Un arco mide 2,25 m y pertenece a un círculo de radio 1,8 m. Calcula el ángulo

central en radianes. Solución: Puesto que L Rθ= , se tiene reemplazando 2,25 (1,8)θ= , de donde:

2,25 5 1,251,8 4

θ = = = rad.

6 Hallar el área de un sector circular sabiendo que el radio mide 10 m y el

ángulo central es de 72º

Solución: Convirtiendo el ángulo a radianes 72º 272º180º 5

π π= = rad

La fórmula para el área del sector circular es

22

2 105 20

2 2rS

πθ π= = = m2.

7 La figura muestra dos semicircunferencias de diámetros AM y NB, así como

dos arcos MN y AB de centro común O y ángulo central θ = 60º. Calcular el perímetro y el área de la región sombreada.

Solución: Convirtiendo el ángulo a radianes 60º60º180º 3

radπ π= =

El perímetro de la figura es AM MN NB AB

L L L L L= + + +

Los arcos AM y NB juntos forman una circunferencia de diámetro 6 cm (r =3). Así:

cm2 (3) 6

AM NBL L L π π= + = =

(6) 2 y (12) 4

3 3MN ABL Lπ ππ π= = = = . Luego el perímetro es

6 2 4 12L π π π π= + + = El área está formada por dos semicírculos más el área del trapecio circular AMNB, el cual a su vez es la diferencia del sector circular mayor menos el menor.

Así

22

212 6

3 3(3) 9 18 272 2

A

π π

π π π π= + − = + =

8. Una camioneta está viajando a una velocidad de 65 mph. Sus llantas tienen un diámetro externo de 30,56 pulgadas. Encuentra el ángulo que gira una llanta en 10 segundos.

Solución: Al aparecer la noción del tiempo se trata de velocidades, la velocidad lineal es la distancia recorrida por unidad de tiempo, similarmente la

velocidad angular es el ángulo girado por unidad de tiempo (tθω = ). En el

problema, puesto que se sabe que L Rθ= , dividiendo por el tiempo

Efectuando las conversiones necesarias: 1 milla = 5280 pies 1 pie = 12 pulgadas

mi mi 1h 1min 5280pies pies65 =65 . . . 95,333h h 60min 60seg 1mi seg

≈

mi65 (15,28 pulg)h

L Rt t t

θ θ= ↔ =

1 pie15,28 pulg=15,28 pulg 1,27 pie12 pulg

≈

Luego reemplazando en la ecuación y despejando pies95,333 (1,27 pie)=(1,27pie)seg t

θ ω=

se obtiene la velocidad angular 95,333 75,07ω= =1,27seg seg

, entonces, para 10 seg,

75,07(10) 751tθ ω θ= ↔ = ≈ , es el ángulo en radianes pedido.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1 Completar la tabla que expresa en cada fila la medida de un mismo ángulo en

los sistemas sexagesimal y radial

2 Expresar en radianes cada uno de los ángulos siguientes:

a) 135º, b) 25º30’, c) 42º24’35’’

3 Expresar en grados, minutos y segundos cada uno de los ángulos siguientes: a) 3π / 5 rad, b) 5π / 9 rad, c) 2 / 5 rad, d) 4 / 3 rad

4 Las medidas en radianes de los ángulos de un cuadrilátero están en progresión geométrica. Si el menor de los ángulos mide 8/27 de la medida del mayor, halla la medida de los cuatro ángulos en grados sexagesimales y en radianes.

5 Determina en cada caso, el valor de θ en radianes.

a) b)

S R 36º 1º 270º π / 5 1 2π / 5 2π / 3 27’ 81’’ 72º54’

S R 15º 30º 45º 75º 120º 12π / 5 3π / 8 12π / 5 32π / 9 135º

3

10rad

π

114º θ

θ

θ

θ θ

θ

c)

6 Encuentra un ángulo positivo y uno negativo que sean coterminales con 23π .

7 Encuentra la longitud de un arco de una circunferencia de radio 5 cm asociada

con un ángulo de π /3 radianes.

8 Los radios de las ruedas de una bicicleta son de 40 cm y 1 m respectivamente. Calcular el número de vueltas que da la rueda mayor cuando la menor barre un ángulo de 1840π radianes.

9 Se tiene un sector circular de radio “r” y ángulo central 36º. ¿Cuánto hay que

aumentar al ángulo central de dicho sector para que su área no varíe, si su radio disminuye en un cuarto del anterior?

10 Una rueda gira a razón de 48 rpm (revoluciones por minuto o rev / min).

Expresar esta velocidad angular en a) rev / seg. b) rad /min, c) rad / seg.

11 Un ángulo central determina un arco de 6 cm en una circunferencia de 30 cm de radio. Expresar el ángulo central en radianes y en grados sexagesimales.

12 Una vía férrea ha de describir un arco de circunferencia. ¿Qué radio hay que

utilizar si la vía tiene que cambiar su dirección en 25º en un recorrido de 120 m?

13 La distancia entre dos ciudades situadas en un mismo meridiano es de 270 km.

Encontrar su diferencia de latitud.

14 Dada la circunferencia de 24 pulgadas de radio, encontrar la longitud del arco subtendido por un ángulo central de a) 2/3 rad, b) 3π / 5 rad , c) 75º, d) 130º.

15 Una circunferencia tiene un radio de 30 pulgadas. ¿Cuántos radianes mide un

ángulo central subtendido por un arco de a) 30 pul, b) 20 pul, c) 50 pul?

16 Encontrar el radio de una circunferencia tal que un arco de 15 cm de longitud subtiende un ángulo central de a) 1 rad, b) 2/3 rad, c) 3 rad, d) 20º, e) 50º.

17 El extremo de un péndulo de 40 cm de longitud describe un arco de 5 cm.

¿Cuál es el ángulo de oscilación del péndulo?

θ

4

9radπ

1l

2l

18 Un tramo de una vía férrea curvilínea está formado por dos arcos sucesivos. El primer arco corresponde a un ángulo central de 20º con un radio de 2500 pies, y el segundo corresponde a un ángulo central de 25º con un radio de 3000 pies. Encontrar la longitud total de los dos arcos.

19 Un tramo de carretera está formada por tres arcos de circunferencia, el primero

tiene un radio de 18 km y un ángulo central de 40º, el segundo tiene un radio

de 36 km y un ángulo central de 5 π

18 rad y el tercero tiene un radio de 21 km y

un ángulo central de 45º. Halla la longitud total del tramo de carretera.

20 La llanta de un vehículo tiene un diámetro externo de 24,877 pulgadas. Encuentra el ángulo en radianes que la llanta habrá girado cuando ha recorrido una milla.

Los valores de las razones trigonométricas (Rt) para un ángulo agudo se pueden interpretar como cocientes de las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, por tanto ellas sólo dependen de la medida del ángulo y no de las longitudes de los lados del triángulo, ya que los cocientes son iguales por proporcionalidad. En la figura se muestra un triángulo rectángulo recto en C, en el que se indican las longitudes de los lados del triángulo con las letras a, b y c. Luego, para el ángulo A se definen las siguientes razones trigonométricas: B C A Razón trigonométrica Definición Seno

Sen A =cateto opuesto a=

hipotenusa c

Coseno Cos A =

cateto adyacente b=hipotenusa c

Tangente Tan A =

cateto opuesto a=cateto adyacente b

Cotangente Cot A =

cateto adyacente b=cateto opuesto a

Secante Sec A =

hipotenusa c=cateto adyacente b

cosecante Csc A =

hipotenusa c=cateto opuesto a

Existe una relación entre las razones seno y cosecante, coseno y secante, y tangente y cotangente, estas parejas son RAZONES RECÍPROCAS, de donde:

TEMA 02 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

a c

b

sen .csc 1cos .sec 1tan .cot 1

A AA AA A

===

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS. En el triángulo rectángulo mostrado arriba, los ángulos A y B son complementarios. Se observa que algunas razones trigonométricas relativas al ángulo B coinciden con algunas relativas a su ángulo complementario A, a las que se llamarán co-razones trigonométricas (co-Rt). Por ejemplo

bsenB= =cosAc

La misma observación es aplicable a las parejas tangente-cotangente y secante-cosecante. La Rt de un ángulo es igual a la correspondiente co-Rt de su complemento.

15º cos 75ºcsc10º sec80º

tan cot6 3

sen

π π

==

=

ÁNGULO DE ELEVACIÓN. Es el ángulo agudo formado por la línea horizontal (LH) y la línea visual (LV) que sale del ojo del observador cuando el objeto está por encima de él. ÁNGULO DE DEPRESIÓN. Es el ángulo agudo formado por la línea horizontal (LH) y la línea visual (LV) cuando el objeto observado está debajo de él.


1) Si α es un ángulo agudo y senα = 0,6 , calcula las demás razones trigonométricas de dicho ángulo.

Solución: En vista de que 30,65

= por proporcionalidad se tiene siguiente

triángulo rectángulo

De donde las demás razones trigonométricas serán:

3k 5k

4k

4 3 4 5 5cos , tan , cot , sec , csc5 4 3 4 3

α α α α α= = = = =

2) En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se sabe que tan A=2. Calcula las

demás razones trigonométricas del ángulo A. Solución: Del siguiente triángulo rectángulo

Se obtienen las demás razones trigonométricas:

5 2 5 1 5cosA = , senA = , cotA = , secA = 5, cscA =5 5 2 2

3) Si se cumple que 2cos(7 3)sec(25 9) 1 0x x+ − − = , hallar x Solución: De la condición 2cos(7 3)sec(25 9) 1x x+ − = Puesto que son razones recíprocas se tiene

2

2

7 3 25 97 25 12 0(7 4)( 3) 0

4 37

x xx xx x

x x

+ = −

− + =− − =

= ∨ =

4) Si tan(2 15) tan 51º 1x + = , hallar el valor de x.

Solución: De la condición

tan(2 15) tan 51º 1

1tan(2 15) cot 51tan 51

x

x

+ =

+ = =

Por ser co-razones se tiene

90 51 2 152 24

12

xx

x

− = +==

1k 5 k

2k

A

C B

5) Sabiendo que

(2 )csc70º 1

tan( ) cot 40ºsen x y

x y− =

+ = calcular x e y

Solución: La primera es una relación entre razones recíprocas y la segunda entre razones complementarias, lo que conduce al sistema

2 70

50x y

x y− =+ =

Resolviendo por eliminación 3 120 40x x= ↔ = , de donde 10y =

6) Determina las 3 razones trigonométricas directas (sen, cos, tan) y sus inversas del ángulo B de un triángulo ABC, recto en C, sabiendo que a=3b

Solución: Con respecto al ángulo B, por convención se tiene

cateto opuesto

a cateto adyacentec hipotenusa

b , luego

1tanB=3

ba= , de donde

2 2 2 2c= 3 1 10a b+ = + =

Las razones directas son: 1 3 1, cosB= , tanB=

310 10senB =

Y sus inversas (recíprocas) son: 10 cotB=3, secB= , cscB= 103

7) Simplifica la siguiente expresión cos 20º cot 31º

tan 45º 70º tan 59ºC

sen=

Solución:

cos 20º cot 31º 70º tan 59º 1tan 45º 70º tan 59º (1) 70º tan 59º

senCsen sen

= = =

8) Se corta un árbol a 3 m del piso y al caer, la parte superior de este árbol forma

con la superficie del piso un ángulo α . Si cosα = 0,4; calcular la altura del árbol.

Solución: De los datos, puesto que 0,4 = 2/5 se forma el triángulo rectángulo

3 5k

2k

Por el teorema de Pitágoras: ( )22 2 213 2 (5 )7

k k k+ = ⇒ =

Luego, 5 215

7k = , por tanto la altura del árbol es

21 5 213 57

k ++ = m

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Sabiendo que 3

3senx = , calcula sec x

2) Encontrar los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos agudos

del triángulo rectángulo ABC, dados a=2, c=2 5

3) Si cot( 10) tan( 40)x x+ = + , halla un valor de x.

4) Completa la siguiente tabla: (Se sugiere construir triángulos notables)

30º 60º 45º 37º 53º sen 1/2 cos 1/2 tan cot sec 5/4 csc 5/4

*Los ángulos de 37º y 53º no son notables, pero los valores de sus razones trigonométricas son muy aproximados a los obtenidos a partir de un triángulo rectángulo de lados 3k, 4k y 5k

5) Determina el valor de cada expresión

a) 30º tan 45ºsen +

b) 60º tan 30º

45ºsen

sen−

c) 2 60º 1

tan 45º tan 60ºsen +

−

d) 2 2cos 30º.sec 45º1 53ºsen−

e) csc 45º (tan 60º 1)

cot 30º 1+

−

6) Dado un triángulo rectángulo ABC, recto en B, halla en cada caso las razones que faltan si:

a) 4senA=

13

b) tanC=1

c) 17cscA=15

d) 3senA=

2

7) Determina el valor de θ en cada caso:

a) csc(3 20º ).cos(95º 2 ) 1θ θ− − =

b) cos 2senθ θ=

c) 1( 10º )

csc(2 36º )sen θ

θ− =

−

8) Sabiendo que sen x=m, halla tan x

9) Si A es agudo y sen A=2x/3, determínense los valores de las otras funciones.

10) Si A es un ángulo agudo:

a) ¿Por qué sen A<1? b) ¿Cuándo sen A= cos A? c) ¿Por qué sen A< csc A? d) ¿Por qué sen A < tan A? e) ¿Cuándo sen A < cos A? f) ¿Cuándo tan A > 1?

11) De la figura, calcular K Tan Tanα β= +

12) Del gráfico calcular K SecA TanA= −

A

B

α

β 4 5

C

D

5

4

1x − 5 1x +

5x

A

13) Calcular x e y si:

(2 3 ) (5 6) 1

27Tan x y Cot x yx y

+ + − =+ =

14) En un triángulo rectángulo, el perímetro es igual a 90 cm y el coseno de uno de

sus ángulos agudos es 12/13. Hallar la longitud de la hipotenusa. 15) Pepe se encuentra al frente de un poste y observa su parte más alta con un

ángulo de elevación de 37º, se aproxima 5 m y vuelve a observar la parte alta pero ahora con un ángulo de elevación de 45º. ¿A qué distancia del poste estaba la primera vez?

16) Un fotógrafo aéreo que trabaja para una compañía de bienes raíces ha

determinado a partir de la experiencia que la mejor foto a un caserío es tomada a una altura de aproximadamente 475 pies y una distancia de 850 pies del conjunto habitacional. ¿Cuál es el ángulo de depresión desde el aeroplano a las casas?

17) En un triángulo ABC, recto en B, AB=3 y BC= 1-tan A. Calcular tan A.

18) Una torre está situada en un terreno llano directamente al norte del punto A y al

oeste de un punto B. La distancia entre los puntos A y B es de c metros. Si los ángulos de elevación del extremo superior de la torre medidos desde A y B, son α y β respectivamente, encontrar la altura h de la torre.

19) En la figura se muestra un cubo de 2m de arista donde M es el punto medio de

la arista AB. Calcular el valor de 3

2

costan 1

senE θ θθ

=+

20) Cuál es mayor y por qué:

a) ¿sen 55º o cos 55º? b) ¿sen 40º o cos 40º? c) ¿tan 15º o cot 15º? d) ¿ sec55º o csc 55º ?

E

H G

F

C

B A

D

M

θ

Las funciones trigonométricas básicas son el seno y el coseno. El resto de las funciones trigonométricas se obtiene a partir de ellas. Comenzamos con una definición informal.

Si para l1 elegimos siempre la mitad positiva del eje horizontal, un ángulo dirigido vendrá descrito mediante la segunda semirrecta. Puesto que cada semirrecta corta al círculo unidad exactamente una vez, un ángulo dirigido queda descrito, aún más sencillamente, mediante un punto sobre el círculo unidad, es decir un punto ( ),x y tal que 2 2 1x y+ = .

Entonces el seno del ángulo se define como la ordenada y del punto que lo representa y el coseno como la abcisa x, según se representa en la figura siguiente:

TEMA 03 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Sin embargo queremos definir el seno y el coseno de cualquier número real x . El procedimiento usual es asociar un ángulo a cada número. Esta asociación se lleva a cabo del modo siguiente: dado un número real cualquiera x, elíjase un punto P sobre el círculo unidad tal que x sea la longitud del arco de círculo que empieza en (1,0) y que se dirige hacia P en sentido contrario al de las agujas de un reloj.

El ángulo así construido determinado por P se denomina ángulo de x radianes. Al ser 2π la longitud total del círculo, el ángulo de x radianes y el ángulo de 2 xπ + radianes son idénticos.

Se puede definir ahora el seno de x como el seno del ángulo de x radianes.

Esta definición se extiende primero al intervalo [ )- ;0π de la forma siguiente:

(- ) - (- )Cosx Cos x Senx Sen x= =

Por último, la definición de las funciones seno y coseno se extiende a toda la recta real de forma periódica. Las figuras siguientes muestran esta extensión.

Las funciones seno y coseno son funciones acotadas puesto que verifican las siguientes igualdades:

-1 cos 1, -1 1 x senx x≤ ≤ ≤ ≤ ∀ ∈

El resto de las funciones trigonométricas se definen como sigue:

cos 1 1tan , cot , sec , coscos cossenx xx ag x ecx

x senx x senx= = = =

En Resumen:

Función Seno

Análisis del Grafico

a) Es creciente en los intervalos

2,0 π

y

ππ 2,

23

.

Es decreciente en el intervalo

23,

2ππ

. b) Dominio: {R}

Recorrido: { }11/ ≤≤−ℜ∈ yy c) Intersección con el eje X en el origen, en π y en 2π .

Intersección con el eje Y en el origen.

d) Amplitud: 1. e) Periodo: π2 . f) Fase: 0.

Función Coseno


a) Es creciente en el intervalo. [ ]ππ 2,

Es decreciente en el intervalo. [ ]π,0 b) Dominio: {R}.

Recorrido: { }11/ ≤≤−ℜ∈ yy .

c) Intersección con el eje X en el punto 2π

y en el punto 23π

Intersección con en el eje Y en el punto ( )1,0

d) Amplitud: 1.

e) Período: π2 .

f) Fase: 2π

Función Tangente

Análisis del Grafico a) Es creciente en todos los intervalos.

b) Dominio:

≤ℜ∈

ℜ∈

≤ℜ∈ πππππ 2

23/

23

2/

20/ xxxxxx ≺∪≺≺∪≺

. Recorrido: {R}.

c) Intersección con el eje X en el origen, en π y en π2 . Intersección con el eje Y en el origen. d) Amplitud: No se ve una amplitud clara. e) Período: π f) Fase: Indefinido.

Función Secante



2,0 π

y

ππ ,

2 .

Es decreciente en los intervalos

23, ππ

y

ππ 2,

23

.

b) Dominio:

≤ℜ∈

ℜ∈

≤ℜ∈ πππππ 2

23/

23

2/

20/ xxxxxx ≺∪≺≺∪≺

.

Recorrido: { }11/ ≥≥−ℜ∈ xy . c) Intersección con el eje X, no hay.

Intersección con el eje Y en el punto ( )1,0 d) Amplitud: (No tiene una amplitud definida). e) Periodo: π .

f) Fase: 2π

.

Función Cosecante



ππ ,

2 y

23, ππ

.

Es decreciente en los intervalos

2,0 π

y

ππ 2,

23

.

b) Dominio: { } { }πππ 2/0/ ≺≺∪≺≺ xxxx ℜ∈ℜ∈ .

c) Recorrido: { }11/ ≥≥−ℜ∈ xy . No hay intersección, ni en los ejes ni en el origen. d) Amplitud: No esta definida en el gráfico. e) Periodo: π . f) Fase: No esta definida en el gráfico

Función Cotangente


a) Es decreciente en todos los intervalos.

b) Dominio: { } { }πππ 2/0/ ≺≺∪≺≺ xxxx ℜ∈ℜ∈ . Recorrido: {R}.

c) Intersección con el eje X en el origen, en 2π

y en 32π

Eje Y, no hay intersección. d) Amplitud: (No tiene una amplitud definida). e) Período: π . f) Fase: No esta definida.

EJERCICIOS RESUELTOS 1. ¿Cuál es el valor máximo y cuál el mínimo de las variaciones del seno y coseno?

Solución: es 1 y -1 respectivamente.

2. ¿Cómo explica que tan 90º no existe?

Solución: / cossi 90º 90º 90º / cos90º 1 / 0

tgx senx xxtg sen

==

= =

lo cuál se considera infinito. 3. En el cuarto cuadrante, indique las funciones trigonométricas crecientes y

decrecientes.

Solución: En el cuarto cuadrante, son: Crecientes : Seno, Coseno y Tangente; y son Decrecientes: Cotangente, Secante y Cosecante.

4. La ecuación trigonométrica ( )1y Sen x= + , está graficada en:

-21p/11 -14p/11 -7p/11 7p/11

-6-4-2

2468

101214

x

y

-21p/11 -14p/11 -7p/11 7p/11

-6-4-2

2468

101214

x

y

-21p/11 -14p/11 -7p/11 7p/11

-6-4-2

2468

101214

x

y

-6-4-2

2468

101214

x

y

a) b)

c) d)

Solución: Recordamos la función ( )Sen x :

f(x)=sin(x)

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-5

5

x

y

Recordamos además que su extensión(léase rango), es de -1 a 1, lo que indica que la extensión de la función ( )1y Sen x= + es de 0 a 2, es decir: -1 11 (-1) 1 1 10 1 2

senxsenx

senx

≤ ≤+ ≤ + ≤ +≤ + ≤

De esto observamos que la gráfica debe desplazarse exactamente una unidad en el eje y hacia arriba, lo que nos indica que la gráfica es la correspondiente a “b)”.

5. Hallar el área de la región sombreada

a) 3 216

π b) 23π c) 2

3π d) 33

5π e) 3 3

5π

Solución:

; cos ; 2

4

2- 4 2: : 2

senx x

x

π

π

ππ

=

=

⋅

como, necesitamos conocer en que ángulo menor que

reconocemos que esto es verdadero en ; Así que :

El área de la región sombreada es es decir 3 2 16

π

6. Calcular el periodo de la función:

5)8

2(6)( 2 ++=πxsenxf

a) 4π

b) 2π

c) π d) π2 e) π4

Solución:

Para calcular el periodo (T) aplicamos la siguiente propiedad: Si:

( ) ( )( )

( )

:

( )

: 2

T= :

: , , y

nf x a b FT Kx

T FT xT n

KT FT x

nK

a b K

θ

θ

= + +

= ↔

↔

parSe cumple

impar

Siendo números reales

Aplicamos en 2( ) 6 (2 ) 58

f x sen x π= + +

( )( ) 2

2 2 4 2T Sen x

T Tπ π= = → =

⋅


1. Calcular el periodo de la función

2cos3)( xxsenxf +=

a) 3π b) π /3 c) 6π d) 2π e) 4π

2. Calcular el periodo de la función. xf(x) = sen3x + cos2

a) 3π b) π /3 c) 6π d) 2π e) 4π

3. Siendo “Df” y “Rf” dominio y rango de una función “f”. Indicar verdadero (V) o falso (F) en:

I. ( )2xf x sen=

( ) ( ) [ ]; -1;1f fDom R y Ran∈ ∈

II. 7cos( ) 3xf x =

( ) ( ) [ ]; -7;7f fDom R y Ran∈ ∈

III. ( ) 2cos 4f x x= +

( )( )

Dom f

Ran f

( ) ( ) [ ]; 4;5Dom f R y Ran f∈ ∈

a) VFV b) VFF c) FFF d) VVV e) FFV 4. Determinar el rango de la función

( ) tan cotf x x x= +

a) [ ]2;2− b) 2;2− c) { }02;2 −−

d) +∞−∞− ,22, ∪ e) [ ∞+−∞− ,22, ∪

5. De la siguiente función

( ) ( )1 5 2f x sen x= +

“A” es la amplitud y “T” el periodo, simplificar la expresión:

A TA Tππ++

a) 1 b) 2 c) 3/2 d) ½ e) ¼

6. Hallar el dominio de la función.

( ) cos -1f x x=

a) x n nπ= ↔ ∈Ζ b) 2n x n nπ π≤ ≤ ↔ ∈Ζ c) 2n x n n Zπ π< < ↔ ∈ d) 2x n n Zπ= ↔ ∈ e) (2 1)x n n Zπ= + ↔ ∈

7. Determinar el rango de la función:

2( ) cos - 6cos 2f x x x= +

a) [ ]1;1− b) [ ]6;4− c) [ ]9;3− d) [ ]9;6− e) [ ]6;3−

8. Determinar el rango de la función:

2( ) 1 f x Senx Sen x= + +

a)

3;43

b) [ ]3;1 c) [ ]3;1− d) 3;1 e) [ ]3;0

9. Si “Ran(f)” es el rango de la función: ( ) 2 3 -1f x sen x= y “Ran(g)” es el rango de

la función: ( ) 3cos4 -1g x x= Indicar: ( ) ( )Ran f Ran g∩ a) [ ]1;3− b) [ ]2;4− c) [ ]1;3− d) [ 3;1− e) ][ 2;1− 10. Indicar el rango de la función:

3 3( ) sec - ; ;4 2 2

xf x xπ ππ

= ∈

a) 1; 2− b) [ 2;1 c) ]2;1 d) 1;2 −− e) 2;1

11. Indicar el rango de la función:

( ) 3- 2cos(4 )4

f x x π= +

a) +∞∞− ; b) ]1;−∞− c) ] [ ∞+∞− ;51; ∪

d) ] [ ∞+−∞− ;11; ∪ e) ] [ ∞+−∞− ;15; ∪

ÁNGULO EN POSICION NORMAL Un ángulo está en posición normal si su vértice coincide con el origen de coordenadas y su lado inicial con el semieje positivo de las abscisas.

ÁNGULO CUADRANTAL, es aquel que está en posición normal y cuyo lado final coincide con uno de los semiejes coordenados. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Sean α un ángulo en posición normal, P(x; y) un punto diferente de (0; 0) en el lado

terminal y la distancia 2 2r x y= + de P al origen, llamada radio vector de P. Las razones trigonométricas del ángulo α no cuadrantal en función de la abscisa, la ordenada y el radio vector son

ordenada ysenα= =radiovector r

abscisa xcosα= =

radiovector r

ordenadatanα= =abscisa

yx

TEMA 04 REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE

θ

abscisacotα= =ordenada

xy

radiovectorsecα= =

abscisarx

radiovectorcscα= =ordenada

ry

De acuerdo con esto se deducen los signos de las razones trigonométricas según el cuadrante al que pertenezcan

I II III IV sen + + - - cos + - - + tan + - + - Cot + - + - Sec + - - + csc + + - -

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA, es aquella cuyo radio es 1 y cuyo centro coincide con el origen de coordenadas Puesto que las razones trigonométricas no dependen de la longitud de los lados, y sólo dependen del ángulo, las razones trigonométricas en la circunferencia unitaria o trigonométrica tienen esta sencilla representación para un ángulo en posición normal no cuadrantal.

ysen =1

yα = cosα=1x x=

tanα= yx

cotα= xy

1cscα=y

LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS: Son segmentos de recta trazados en una circunferencia trigonométrica, los cuales nos representan las razones trigonométricas.

La línea seno es el segmento perpendicular trazado desde el extremo del arco hasta el eje X. Trazando la línea seno para diferentes ángulos, podemos observar las variaciones del seno en cada cuadrante. La línea coseno es el segmento perpendicular trazado desde el extremo del arco hasta el eje Y. Trazando la línea coseno para diferentes ángulos, podemos observar las variaciones del coseno en cada cuadrante. REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE, se llama así al proceso mediante el cual se expresa una razón trigonométrica de un ángulo cualquiera en términos de otra razón equivalente de un ángulo agudo. ÁNGULOS DE REFERENCIA de una rotación es el ángulo agudo que forma su lado terminal con el eje x .

I cuadrante

α θ=

y

θ α

0 x

180ºα θ= −

II cuadrante

y θ

0 x

α

y

0 x

III cuadrante

180ºα θ= −

θ

α

θ

α

IV cuadrante

360ºα θ= −

Ejemplo: Determina el ángulo de referencia para los siguientes ángulos a) 120º, solución 180º-120º = 60º b) 230º, solución 230º-180º = 50º c) 305º, solución 360º-305º = 55º RAZONES TRIGONOMÉTRICAS USANDO ÁNGULOS DE REFERENCIA

a) Menores que una vuelta. La siguiente tabla muestra dos formas equivalentes de representar un ángulo θ dependiendo del cuadrante donde se encuentre su lado terminal. En la primera forma, se utiliza un ángulo de referencia α , y en la segunda, un ánguloβ formado por el lado terminal con el eje Y

Ángulo a reducir Primera forma Segunda forma

IIθ ∈ 180ºθ α

θ π α= −= −

90º

2

θ βπθ β

= +

= +

IIIθ ∈

180ºθ αθ π α= += +

270º32

θ βπθ β

= −

= −

IVθ ∈

360º2

θ αθ π α= −= −

270º32

θ βπθ β

= +

= +

De acuerdo con la primera forma, la denominación de la función reducida no varía. El signo en la fórmula de reducción depende del signo de la función reducida en el cuadrante dado

180ºFT FT( )

360ºα α

± = ±

De acuerdo con la segunda forma, la denominación de la función reducida cambia por la co-función. El signo en la fórmula de reducción depende del signo de la función reducida en el cuadrante dado

90ºFT Co-FT( )

270ºβ β

± = ±

b) Mayores que una vuelta, se utiliza el método del residuo para reducirlo al

caso anterior (a), Si 360º , k kθ α= + ∈Z

( )FT FT( )β α= c) Negativos, se cumple que

( )cos( ) costan( ) tancot( ) cotsec( ) seccsc( ) csc

sen senθ θθ θθ θθ θθ θθ θ

− = −− =− = −− = −− =− = −


1) Si el punto P(-3; 4) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal.

Calcular las 6 razones trigonométricas de dicho ángulo.

Solución: El radio vector será: 2 2 2 2( 3) 4 5r x y= + = − + =

Luego:

4 -3 4; cos ; tan ;5 5 -3-3 5 5 cot ; sec ; csc4 -3 4

y x ysenr r xx r ry x y

θ θ θ

θ θ θ

= = = = = =

= = = = = =

2) Si 4-24cot ; 7

Qθ θ= ∈ , calcular el valor de 25 - 24 tanM senθ θ=

Solución: El radio vector será 2 224 7 25r = + = y debido a que el ángulo se encuentra en el cuarto cuadrante 0; 0x y> <

Por tanto -725

senθ = y -7tan24

θ = , de donde 7 725( ) 24( ) 0

25 24M − −

= − =

3) Calcular a) cos150º, b) sen 315º, c) cot 43π

, d) sec 11

6π

Solución:

a) 3cos150º cos(180º 30º ) cos(30º )

2−

= − = − =

El signo de cos150º es negativo puesto que este ángulo termina en el segundo cuadrante donde la función coseno es negativa

b) 2315º (360º 45º ) (45º )

2sen sen sen −

= − = − = El signo de 315ºsen es

negativo puesto que este ángulo termina en el cuarto cuadrante donde la función seno es negativa.

c) 4 3cot cot cot3 3 3 3π π ππ = + = =

El signo de Cot 43π

es positivo puesto que este ángulo termina en el

tercer cuadrante donde la función cotangente es positiva.

d) 11 2 3sec sec 2 - sec

6 6 6 3π π ππ = = =

El signo de Sec 11

6π

es positivo puesto que este ángulo termina en el

cuarto cuadrante donde la función secante es positiva.

4) Calcular: a) cos150º , b) 315ºsen , c) 4cot3π , d) 11sec

6π

Solución:

a) ( ) ( ) - 3cos150º cos 90º 60º - 60º2

sen= + = =

El coseno cambia a su co-función seno y el signo es negativo puesto que este ángulo termina en el segundo cuadrante donde la función coseno es negativa

b) ( ) ( ) - 2315º 270º 45º -cos 45º2

sen sen= + = =

El seno cambia a su co-función coseno y el signo es negativo puesto que este ángulo termina en el cuarto cuadrante donde la función seno es negativa.

c) 4 3 3cot cot - tan3 2 6 6 3π π π π

= = =

La cotangente cambia a su co-función tangente y el signo es positivo puesto que este ángulo termina en el tercer cuadrante donde la función cotangente es positiva.

d) 11 3 2 3sec sec csc6 2 3 3 3π π π π

= + = =

La secante cambia a su co-función cosecante y el signo es positivo puesto que este ángulo termina en el cuarto cuadrante donde la función secante es positiva.

5) Calcular a) cos(-150º), b) sen (-210º), c) tan(-315), d) csc(43π−

)

Solución:

a) Cos(-150º) = cos(150º) = cos (180º-30º) = -cos (30º) = 3

2−

b) Sen (-210º) = -sen (210º) = -sen (180º+30º) = -(-sen30º) = 12

c) Tan (-315º) = -tan (315º) = -tan (360º-45º) = -(-tan 45º) = 1

d) Csc (43π

− ) = - Csc (43π

) = -csc (32 6π π− ) = - (-sec

6π

) = sec 6π

=

2 33

6) Calcular el valor de tan 770ºcot1120º

P =

Solución: Según el algoritmo de la división: 770 360(2) 501120 360(3) 40

= += +

Luego: tan 770º tan 50º 1cot1120º cot 40º

P = = =

7) De la figura mostrada, hallar 13 sen cosP α β=

Solución: Por simetría con respecto al origen de coordenadas, un punto B en

el ladofinal del ánguloβ tendría coordenadas (-2;-3).

El radio vector sería r=OA=OB= 2 22 3 13+ =

3sen 13

α = ; 2cos

13β −= ; de donde

( ) 3 213 cos 13 613 13

P senα β −= = = −

8) Los asientos de una rueda de la fortuna están a 35 pies del centro de la rueda.

Al subir a la rueda, una persona se encuentra a 5 pies sobre el suelo. Después de haber girado un ángulo de 765º ¿A qué distancia del piso se encuentra dicha persona? Solución: Si la rueda de la fortuna estuviera en un plano, ubicamos su centro en el origen de coordenadas e identificamos el asiento más bajo con un punto en el semieje positivo de las abscisas, después de haber girado 765º, lo que equivale a 2 vueltas y 45º, el cual es un ángulo notable; usando este último ángulo, el asiento se habrá desplazado según la figura

Y la distancia con respecto al piso de la persona es

35 40 2 355 352 2

− + − =

pies


1) Determina el seno, el coseno y la tangente de un ángulo en posición normal cuyo lado terminal pasa por el punto (-7; 24)

2) Halla la tangente de un ángulo en posición normal que pertenece al tercer

cuadrante, sabiendo que el seno del ángulo es -3/5.

3) En cada caso, halla las razones trigonométricas del ángulo φ si su lado terminal pasa por el punto P

a) P=(-1; 4), b) (3 2;2)P = , c) ( 2;3)P = , d) P=(3, 5), e) 2 2( ; )

2 2P =

f) ( 3; 1)P = − , g) P=(-6; 8), h) (4; 7), i) P=(-12; 5)

4) Sea B un ángulo en posición normal, en cada caso, halla las otras cinco razones trigonométricas de B

a) Tan B = -3/4, B IIC∈ b) Sen B = 2/3, B IC∈ c) Cos B = -1/2, B IIIC∈ d) Csc B = -3, B IVC∈

5) En cada uno de los siguientes ejercicios halla las razones trigonométricas de A, a partir de los datos dados.

a) Cos A = -2/3, A IIC∈ b) Tan A =5/12, A IIIC∈ c) Sec A= -7/2, tan A es positiva d) Cos A =2/5, cot A es negativa

6) Halla las razones trigonométricas de los siguientes ángulos:

a) 240º, b) -210º, c) 150º, d) 480º, e) 300º, f) 165º

7) En cada caso halla las razones trigonométricas de γ

8) Sea α un ángulo en la circunferencia trigonométrica. Analiza si senα y cosα

crecen o decrecen cuando el lado terminal de α gira de: a) 0º a 90º b) 90º a 180º c) 180º a 270º d) 270º a 360º e) 360º a 450º f) 630º a 720º

c)

0

b)

γ x

y

2.5y x=

a) x y=

γ x 0

y

γ x 0

y 3y x=

d)

γ x

y

x y= −

9) Ubica cada ángulo cuadrantal en una circunferencia trigonométrica, define en el lado terminal las coordenadas del punto P y completa la tabla hallando las razones trigonométricas correspondientes.

ÁNGULO CUADRANTAL

PUNTO DEL LADO TERMINAL

sen

cos

tan

cot

sec

csc

0º (1; 0) 90º (0; 1) π

270º 2π

52π

72π

10) Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones:

a) 5cos90º 3 90º 5cos 0º 6cos360ºsen− − −

b) Para x π= , 2 2

2 2

(2 ) 2 cos(2 )3 cos (2 ) cos

sen x sen x senx xsen x x senx x

π ππ

+ − − −− + +

11) Si tanθ < 0 y secθ =4, hallar A=16senθ cosθ

12) Evaluar ( ) cos( ) tan( )sen k k kπ π π+ + , siendo k un número entero no negativo.

13) Sabiendo que 1cos ; 270º < Q < 360º4

Q = . Calcular sec csc

1 cotQ Q

Q−

−

14) Determinar los cuadrantes donde es negativa la expresión: 1

cotsenx

x−

15) Calcular el valor de:

a) 210º tan135º csc300º

sec 225º cot150º cos330ºsen

b) 180º 2cos180º 3 270º 4cos 270º 5sec180º 6csc 270ºsen sen+ + + − −

c) tan 315º sec120º

270º cos 240ºsen−−

16) Calcular cos (1140º) y tan (2385º)

17) Si α y β son ángulos agudos, simplifica la siguiente expresión:

(270º ) tan(180º ) cot(450º ) ( 90º )

cot( 270º )cos(540º ) cos(180º ) tan(360º )sen senE α β α β

β α β α− − − −

= +− + + +

18) Si 0<x<2π

, simplifica las siguientes expresiones:

a) ( ) cos( )

2tan( )

sen x xG

x

ππ

π

− + −=

+

b) ( ) cos( ) tan( )2

3 32 tan(2 )sec( ) cot2 2

sen x x xHx x x

π π ππ ππ

+ − − += −

− − −

19) Si tan 2α = , calcula el valor de ( ) cot(270º )sec(180º )

cos(360º ) tan( 270º )csc( 180º )senR α α α

α α α− + +

=− − −

20) La tapa de la válvula de una rueda de bicicleta está a 12,5 pulgadas del centro

de la rueda. Inicialmente ésta se encuentra junto a un rayo paralelo al piso, después de girar 390º, ¿A qué distancia por encima de la tierra está la tapa de la válvula? asumiendo que el radio exterior de la rueda es de 13,375 pulgadas.

Una identidad trigonométrica es una igualdad donde intervienen razones trigonométricas que se verifican para cada valor admisible de la variable. Las identidades trigonométricas fundamentales se clasifican en pitagóricas, recíprocas y por cociente como se muestra a continuación.

IDENTIDADES

PITAGÓRICAS

2 2sen cos 1α α+ = 2 21 tan secα α+ = 2 21 cot cscα α+ =

RECÍPROCAS

1cot

tanα

α=

1sec

cosα

α=

1csc

senα

α=

POR COCIENTE

senαtanα=cosα

cosαcotα=senα

EJERCICIOS RESUELTOS 1) Halla E= cos90º.sec90º Solución: No existe el valor de la expresión porque sec90º no está definida.

Por lo tanto no es posible aplicar la identidad recíproca. 2) Determina el valor de 2 2 2tan cos 2E senθ θ θ= − +

Solución: Aplicando una identidad por cociente 2

2 2cos 2cossenE senθ θ θ

θ = − +

Simplificando 2 2- 2 2E sen senθ θ= + = 3) Determina el valor de 2 2 2 24 +4cos +csc cotE sen θ θ θ − θ= Solución: Factorizando: 2 2 2 24( +cos +csc cotE sen θ θ) θ − θ=

TEMA 05 Identidades Trigonométricas

Aplicando identidades pitagóricas 2 24(1)+(1+cot cotE θ) − θ= Simplificando Ε = 5 4) Verifica que 2 2 2 2csc cot cossen b b b b− + = −

Solución: En el primer miembro, se aplica una identidad pitagórica 2 2 2(1 cot ) cotsen b b b− + + 2 21 cossen b b− = −

5) Simplifica 2

2

2 31 cossen x senx

x senx+ −

− −

Solución: El numerador se factoriza con aspa simple y en el denominador se usa una identidad pitagórica. Siguiendo una factorización en el denominador y una simplificación de la expresión para finalmente usar una identidad recíproca.

2

2 2

2 3 (2 3)( 1) 2 3 32 2 3csc1 cossen x senx senx senx senx x

x senx sen x senx senx senx+ − + − +

= = = + = +− − −

6) Si 2 2 216cos 3 7, halla tanx sen x x+ =

Solución: A partir del dato y usando una identidad pitagórica 2 2 2 216cos 3 7(1) 7( cos )x sen x sen x x+ = = +

Distribuyendo y transponiendo: 2 2 2 216cos 7cos 7 3sx x sen x en x− = −

2 2 2 99cos 4 tan4

x sen x x= ↔ =

7) Determina una relación entre a y b si cossen bθ θ+ = y 2cossen aθ θ =

Solución: Elevando la primera ecuación al cuadrado: 2 2( cossen bθ + θ) = 2 2 22 cos cossen sen bθ θ θ θ =+ + Reemplazando la segunda ecuación y por identidad pitagórica

2 2 2 2 2 22 cos 1 2sen a b a bθ θ =+ + ↔ + = 8) Halla A y B en (2csc 1)(csc cot )(sec 1) sec tanx x x x A x B x+ + − = +

Solución: Trabajando con el primer miembro, expresado en senos y cosenos

2

2

2 1 cos 1 2 1 cos 1 cos (2 )(1 cos )1 1cos cos cos

x senx x x senx xsenx senx senx x senx senx x sen x x

+ + − + − + + − = =

2

2

(2 )( ) 2 2 2sec tancos cos cos cos

senx sen x senx senx x xsen x x x x x+ +

= = + = +

Finalmente por comparación A=2 y B=1


1) Analiza qué sucede con la igualdad csc 1, si =180º y si =90ºsenθ θ θ θ= 2) Expresa sólo en función de tanθ

a) 2sec tanθ θ+

b) 2

2 coscscsen

θθθ

+

c) 2 2cos

cossen

senθ θθ θ

+

d) 2(1 csc )cossenθθ

θ+

e) 2 2sec ccsθ θ+

f) 1cot

cotθ

θ+

g) cos

cossenθ θ

θ+

h) 2

2

cos 1cos

θθ+

3) Expresa cada una de las demás razones trigonométricas del ángulo θ en

términos de senθ 4) Aplicar identidades y hallar el valor numérico de:

a) 2 2 2 2tan 300º sec 300º csc 10º cot 10º− + −

b) cot csc tan 97 9 7 9

senπ π π π −

c) 2 2sec 20º tan 20º sec10º sen80º− +

d) Sen 40º sec50º + 8

e) Cot 15º cot75º - 3

5) Si cos 1,2senx x+ = ; halla sen cosx x

6) Si 1sen cos3

x x = ; hallar 4(sen cos )x x+

7) Si sin cosx x a+ = , hallar:

a) 2 2sen cosx x+ b) sen cosx x c) 3 3sen cosx x+ d) 2(sen cos )x x− e) 4 4sen cosx x+ f) 4(sen cos )x x+

8) Demuestra la siguiente identidad: 2

2( cos ) 1 2 tancot cossenx x x

x senx x+ −

=−

9) Demuestra la siguiente identidad: 2 2 2 2tan sen tan senx x x x− =

10) Demostrar las identidades auxiliares

a) 2 2 2 2sec csc sec cscx x x x+ = b) 4 4 2 2cos 1 2 cossen x x sen x x+ = − c) 6 6 2 2cos 1 3 cossen x x sen x x+ = −

11) Suma y simplifica cos tan

1x x

senx+

+

12) Simplifica:

a) 2sec cosx x sen x−

b) 1 1

cot 1 tan 1x x+

+ +

c) 2

sensec 1

xx −

d) 2 2 2csc csc cotx y y− +

e) 1 1 seccot1 cos 1 csc

senx xxx x

+ + + +

f) 2 2

2 cos cos1 cos

senx x xsenx sen x x

−− + −

g) 23sec 4 tan 3

3sec tan 4secx x

x x x+ −

+

h) tan sec 1 sectan sec 1

x x xx x+ −

−− +

13) Simplifica cot( )csc( )

xx

−−

14) Determina A y B para que la igualdad sea una identidad.

a) 2

2

(sec tan ) 1 csc(sec tan ) 1 csc

x x A xx x A x− − −

=+ − +

b) (1 2cos tan )(2 sec cot )sec tan (tan 1)x x x x x A x B x+ − = + +

15) Si 2cos 1

cosx qx+

= , halla el valor de 3 3cos secA x x= +

16) Halla una relación entre a y b si cos y tan

cossenx x a x b

x+

= =

17) Identifica A y B para que la siguiente igualdad sea una identidad

22

2

1 cot cscsec

x A x Bx

+= −

18) Halla el valor de A, B y C para que la siguiente ecuación sea una identidad

2 2 2 2 2 24 3cos 5sec 7 tan tansen x x x x Asen x B x C+ + + = + +

19) Si tan cot 6 y sec cscx x x x m+ = + = , halla un valor de m. 20) Calcula sec x , sabiendo que 3 4cos 5senx x+ =

ÁNGULOS COMPUESTOS Y TRANSFORMACIONES SUMA A PRODUCTO Y VICEVERSA

IDENTIDADES DE SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS.

( ) cos cos( ) cos cos

cos( ) cos coscos( ) cos cos

tan tantan( )1 tan tantan tantan( )

1 tan tan

sen x y senx y xsenysen x y senx y xseny

x y x y senxsenyx y x y senxseny

x yx yx y

x yx yx y

+ = +− = −+ = −− = +

++ =

−−

− =+

IDENTIDADES DEL ÁNGULO DOBLE

2 2

2

(2 ) 2 coscos(2 ) cos

2 tantan(2 )1 tan

sen x senx xx x sen x

xxx

=

= −

=−

IDENTIDADES DEL ÁNGULO MITAD

1 cos( )2 2

1 coscos( )2 2

1 costan( )2 1 cos

x xsen

x x

x xx

−= ±

+= ±

−= ±

+

TRANSFORMACIONES DE PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA

Para ello tendremos presente las siguientes identidades:

I. ( ) ( )2SenASenB Cos A B Cos A B= − − +

II. ( ) ( )2SenACosB Sen A B Sen A B= + + −

III. ( ) ( )2CosACosB Cos A B Cos A B= + + −

IV. ( ) ( )2CosASenB Sen A B Sen A B= + + −

TRANSFORMACIONES DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO

I. 2 ( ) ( )2 2

A B A BSenA SenB Sen Cos+ −+ =

II. 2 ( ) ( )2 2

A B A BSenA SenB Cos Sen− +− =

III. 2 ( ) ( )2 2

A B A BCosA CosB Cos Cos+ −+ =

IV. 2 ( ) ( )2 2

A B A BCosA CosB Sen Sen+ −− = −

DE DIFERENCIA DE CUADRADOS A PRODUCTO

I. 2 2( ) ( ) ( ) ( )Sen x Sen y Sen x y Sen x y− = + −

II. 2 2( ) ( ) ( ) ( )Cos x Sen y Cos x y Cos x y− = + −

OTRAS IDENTIDADES TRANSFORMATIVAS

( )( ) ( )( ) ( )

Sen x yTan x Tan ySen x Cos y

++ =

( )( ) ( )( ) ( )

Sen x yTan x Tan ySen x Cos y

−− =

( )( ) ( )( ) ( )

Sen x yCot x Cot ySen x Sen y

++ =

( )( ) ( )( ) ( )

Sen y xCot x Cot ySen x Sen y

−− =

si: 180ºA B C+ + = , entonces:

( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( )2 2 2A B CSen A Sen B Sen C Cos Cos Cos+ + =

( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) 12 2 2A B CCos A Cos B Cos C Sen Sen Sen+ + = +

(2 ) (2 ) (2 ) 4 ( ) ( ) ( )Sen A Sen B Sen C Sen A Sen B Sen C+ + =

(2 ) (2 ) (2 ) 4 ( ) ( ) ( ) 1Cos A Cos B Cos C Cos A Cos B Cos C+ + = − −


1. Simplificar la expression ( ) ( )

cos( ) cos( )sen x y sen x yE

x y x y+ − −

=+ − −

Solución: Usando las identidades

cos cos ( cos cos ) 2cos cotcos cos (cos cos ) 2senx y xseny senx y xseny xsenyE x

x y senxseny x y senxseny senxseny+ − −

= = = −− − + −

2. Simplifica la siguiente expression 2 tan(2 ) 4cot(4 )E x x= + Solución: Tratando al ángulo cuádruple como doble del original

2

2

2 tan 2 1 tan (2 )tan(4 ) cot(4 )1 tan (2 ) 2 tan 2

x xx xx x

−= ⇒ =

−

Después de reemplazar en la expresión se tiene:

2 2

2

2 tan(2 ) 4cot(4 )4(1 tan (2 )) 2(1 tan (2 ))2 tan 2 2 tan 2

2 tan 2 tan 22 2 2(1 tan )2 tan 2 2 tan 2

tan 2 tan 2 2 tan1 tan cot tan

tan

E x xx xE x x

x xxE x x

x x x

E x x xx

= +

− −= + = +

−= + − = =

= − = −

3. Calcular el valor de cos 22º 30’

Solución: Puesto que 45º22º 30 '2

=

45ºcos 22º 30 ' cos2

=

, puesto que este ángulo pertenece al IC

El resultado del coseno del ángulo mitad se toma con signo positivo, ya que el coseno es positivo ahí.

45º 1 cos 45ºcos2 2

21 2 2 2 22cos 22º 30 '2 4 2

+ = +

+ + += = =

4. Sabiendo que 1213

senx = , calcular: 2sen x y cos 2x

Solución: A partir del dato para el seno del ángulo, se deduce que los lados del triángulo son proporcionales a 12, 13 y 5, de donde

5cos13

x =

12 5 1202 2 cos 2. .13 13 169

sen x senx x= = =

Para hallar cos 2x se puede usar la identidad 2 2cos 2 cosx x sen x= − puesto que tenemos ambos datos, pero también podemos hacerlo usando sólo el dato inicial apenas modificando la identidad para expresarla en términos de seno. Así:

2 2 2 2 2cos 2 cos 1 1 2x x sen x sen x sen x sen x= − = − − = − 2

2 12 288 119cos 2 1 2 1 2 113 169 169

x sen x − = − = − = − =

5 Factorizar: sen 35º + sen 25º

a) sen 5º b) cos 15º c) cos 5º d) sen 18º e) tg 5º Solución. Empleando la fórmula

35º 25º 35º -25º35º 25º 2 cos

2 2sen sen sen + + =

2 30º cos5º

1 2 cos5º cos5º2

sen simplificando=

= ⋅ =

6. Reducir a producto sen 75º + sen 25º

a) 2 sen 50º cos 15º b) 2 cos 15º sen 75º c) 3 sen 25º cos 35º d) 2 sen50º cos 25º e) 2 cos 15º sen 75º

Solución. 75º 25º 75º -25º75º 25º 2 cos2 2

75º 25º 2 50º cos 25º

sen sen sen

sen sen sen

+ + =

+ =

7. Simplificar:

3 -

cos - cos3sen senE θ θ

θ θ=

a) 2tgθ b) 2ctg θ c) tgθ d) ctgθ e) 1

(2 ) - (2 - )cos(2 - ) - cos(2 )

2cos2 . 2 2 .cos2

2 2

sen senE

sensen sen

senCot

θ θ θ θθ θ θ θθ θθ θθθθ

+=+

=

=

=

Solución.

8. Sabiendo que cos 70º K= ¿ A que es igual:

( ) ( )2 225º - 5ºE Sen Sen= ?

a) 2K

b) K c) 2K d) 4K e) 5K

2 2 2 2

2 2 2 2

25º - 5º 2 2 25º -2 5º2 2(1- cos 25º ) - 2(1- cos 5º ) 2 - 2cos 25º -(2 - 2cos 5º )2 2 - (cos2(25º ) 1) - (2 - (cos2(5º ) 1))2 1- cos50º -(1- cos10º )

10º 50º 10º -502 cos10º -cos50º -22

E sen sen E sen senEEE

E sen sen

= → == == + + == =

+= =

Solución.

º2

-2 30º (- 20º ) 2 30º. 20º1 2 20º 2 20º2

: cos70º

2 20º 2 cos70º 22

sen sen sen sen

sen E sen

Dato KKE sen E E K E

=

= = =

= → =

=

= → = → = → =

9. Simplificar:

( 3 ) (3 ) . ( )2 2

Sen x y Sen x y Sec x ySen x Sen y+ + +

++

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Solución:

3 3 3 - (3 )2 cos( 3 ) (3 ) 2 2. ( ) sec( )2 2 2 - 22 2 2 cos2 2

2 2( )cos( - ) 2 ( )cos( )cos( - )sec( ) sec( )2 ( )cos( - ) ( )cos( - )

2cos(

x y x y x y x ysenSen x y Sen x y Sec x y x yx y x ySen x Sen y sen

sen x y x y sen x y x y x yx y x ysen x y x y sen x y x y

x

+ + + + ++ + + + = + =++

+ + += + = + =+ +

= + )sec( ) 2y x y+ =

10. Calcular:

( ) ( )( 38º 68º ) 8ºSen Cos Sec+

a) 1 b) 2 c) 12

d) 14

e) 12

−

Solución: Llamando “E” a la expresión: ( ) ( )( 38º 68º ) 8ºSen Cos Sec+

( 38º 68º ) 8º ( 38º 22º ) 8º ( (30º 8º ) (30º -8º )) 8º 2 30º 8º

E Sen Cos SecE Sen Sen SecE Sen Sen SecE Sen Cos Sec

= += += + +=

Tenemos :

8º1 2.2

1

E

E

=

=

11. Calcular:

( ) ( ) ( )81º 9º - 48º 12ºSen Sen Sen Sen

a) 0 b) 12

c) 1 d) -1 e) 12

−

Solución:

" " la expresión :81º 9º - 48º 12º

2 2 81º 9º -2 48º 12º2 72º - 90º -( 36º - 60º )

5 1 5 1 12 04 4 2

5 1 5 1 22 4

2 0 0

EE Sen Sen Sen Sen

E Sen Sen Sen SenE Cos Cos Cos Cos

E

E

EE

===

− += − − +

− − − +=

==

Sea


1. Demuestra la siguiente identidad (2 ) 2 cossen x senx x=

2. Demuestra la siguiente identidad 1 cos

2 2x xsen − = ±

3. Reducir ( ) tan

cos cossen x yE y

x y+

= −

4. Calcula sen15º y tan105º. Sugerencia: expresar 15º=45º-30º y 105º=60º+45º

5. Reducir (tan80º tan10º )cot 70ºM = −

6. Simplificar 2

2

1 tan 31 tan 3

xMx

+=

−

7. Si tan 35º = 0,7; halla cos 70º.

Sugerencia: usar la identidad 2

2 tantan 21 tan

xxx

=−

, a partir de ahí construir un

triángulo rectángulo que relacione las razones trigonométricas del ángulo 2x y

deducir que 2

2

1 tancos 21 tan

xxx

−=

+.

8. Simplificar: 1 cos xE

senx−

=

Sugerencia: Expresar numerador y denominador en términos del ángulo mitad.

9. Determina el valor de senx y tan x , si 12cot 25

x = , tal que 2x IC∈

10. Reducir 2 .cos

(1 cos 2 )(1 cos )sen x xK

x x=

+ −

11 Reducir:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 4 - 15 13 19 9V Sen x Sen x Sen x Sen x Sen x Sen x= ⋅ ⋅ + ⋅

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

12 Hallar ( )cos 2x si:

( ) ( - )Cos x Cos x mα α+ = y 12

mSenα +=

a) m b) 2m c) 3m d) 4m e) 5m

13 Reducir:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )4 2 - 79 - 6 4

Cos Cos Cos CosM

Sen Cos Sen Cosα α α αα α α α

⋅ ⋅=

⋅ ⋅

a) tanα b) α3tan c) α5tan d) αcot e) α5cot

14 Calcular:

40º 25º70º

Sen SenSen

−

a) 2 b) 22

c) 23

d) 25

e) 27

15 Simplificar:

( ) ( ) ( )( )

5 3 32

Cos x Cos x Sen x SenxCos x

⋅ − ⋅

a) ( )cos 2x b) ( )cos 4x c) ( )cos 8x d) ( )cos 6x e) ( )cos 10x

16 Factorizar

( - ) ( - )E Sen Senα β γ α= +

a) ( ) ( ) ( )2 2 2

Sen Sen Senα γ α β β γ− − − b) 2 ( ) ( ) ( )2 2 2

Sen Sen Senα γ α β β γ− − −

c) 3 ( ) ( ) ( )2 2 2

Sen Sen Senα γ α β β γ− − − d) 4 ( ) ( ) ( )2 2 2


e) 5 ( ) ( ) ( )2 2 2


17 Transformar a producto: ( )senx seny senz sen x y z+ + − + + a) 4cos( ) cos( ) cos( )x y y z x z+ ⋅ + ⋅ + b) 4 ( ) ( ) ( )sen x y sen y z sen x z+ ⋅ + ⋅ +

c) 4cos cos cos2 2 2

x y y z x z

+ + +⋅ ⋅

d) 42 2 2

x y y z x zsen sen sen

+ + +⋅ ⋅

e) ( ) 24 cos cos2 2

y z xsen x y

− −− ⋅ ⋅

18 Sabiendo que:

5tan tan 5 2 62 2θ θ⋅ = −

Hallar el valor de : ( )sec sec 3θ θ+ a) 6 b) 16 c) 2 3 d) 2 6 e) 4 3 19 Del gráfico mostrado, hallar: tan 2cos 4 tan3θ θ θ− + Sabiendo que: AB DC= a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 0 20 Factorizar ( ) ( ) ( )2 sec 2 3E tg tg tgα α α α⋅= + + a) 2 3tg α b) 3tg α c) 2tg α d) 2 2tg α e) tgα 21 Hallar el valor de:

2θ θ

2 2cos25º cos35º 35º 25º

cos50º cos40º cos50º cos40ºsen senF

− −= +− −

a) ½ b) 2 c) 1/3 d) 1 e) 3 22 Calcular : º6cos24 ⋅sen

5 1 2+a) 5 1

2−b) 5 1

4+c) 5 1

4−d) 5 1

8+e)

23 Calcular.

( )5º 5º -8 20º4

Tan Cot Cos+ ⋅

a) 3 b) 2 c) 2 d)-2 e) 1 24 Si se cumple la igualdad:

5 316 20sen sen senk ksenθ θ θ θ− = − Indicar el valor de : 2k − a) 1 b) 2 c) 3 d)3 e) 2 2 25 Calcular:

5 5 53 57 7 7

sen sen senπ π π+ −

a) 116

b) 116−

c) 7 716

d) 7 716

− e) 716

26 De las condiciones: 4 2Cos Sen aθ θ = ; Sen Cos bθ θ = Halle ( )6sen θ en términos de “ a ” y “ b ” a) a b− b) 2 2a b− c) a b+ d) 0 e) 2 2a b+

La función f(x)=sen x, definida en el intervalo cerrado [-p /2,p /2], es continua, estrictamente creciente y transforma dicho intervalo en el [-1, 1]. A su función inversa la denotaremos por

( ) ( )1f x arcSen x− =

estará definida de [-1, 1] siendo también continua y estrictamente creciente.

Es inmediato comprobar que arc sen (- x)=- arc sen x para todo x en [-1, 1].

La función f(x)=cos x, definida en el intervalo cerrado [0, p ], es continua, estrictamente decreciente y transforma dicho intervalo en el [-1, 1]. Su función inversa la denotaremos por ( ) ( )1f x arcCos x− =

estará definida de [-1, 1] siendo también continua y estrictamente decreciente.

TEMA 06 Funciones trigonométricas Inversas

PROBLEMAS RESUELTOS

1 Indique la relación incorrecta.

a) Rango (Arc )xsen

−=

2;

2ππ

b) Rango (Arc )xsen [ ]2

;0 ππ −=

c) Rango (Arc )xcot π;0=

d) Rango (Arc )xcsc { }; 02 2π π

= − −

e) Todas son correctas

Solución: la relación incorrecta es la d)

Porque: ( )( ) { }- ; - 02 2

Rango arcCsc x π π

∈

2 Reducir:

( ) ( )2 2arctan 1 arctan 1Sec a Sec b− + −

a) a b+ b) a b− c) 2a b+ −

d) 2ab − e) 2a b+ +

Solución:

Llamamos “ E ” a la expresión:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

Reducimos:

2 21 1

1 1 1 1

2 1 1

2 1 1 2 1 1

E Sec ArcTan a Sec ArcTan b

E Tan ArcTan a Tan ArcTan b

E Tan ArcTan a Tan ArcTan b

E a b E a b

E a b

= − + −

= + − + + −

= + − + −

= + − + − → = + − + −

= +

3 Si:

( ) ( )

( ) ( )6

ArcCos

ArcSen a ArcSen b

a ArcCos b

π+ =

+Hallar :

a) 23π

b) 3π

c) 56π

d) 76π

e) 34π

Solución:

Llamamos “θ ” a la expresión que nos piden:

( ) ( )

( ) ( )6

ArcCos a ArcCos b

ArcSen a ArcSen b

θπ= +

= +

Sumamos

( ) ( )( ) ( ) ( )( )6

ArcSen a ArcCos a ArcSen b ArcCos bπθ + = + + +

Aplicando las propiedades respectivas, obtenemos:

5 6 2 2 6 6π π π π πθ θ π θ+ = + → + = → =

4 Calcular:

( )( )( )( )

2

2

12

13

Csc ArcSen

Sec ArcCos

a) 32

b) 0,666 c) 2,25 d) 0,44 e) 1

Solución:


( )( )( )( )( )( )( )( )

( )( )

2

2

22

2 2

12

13

12 42 0, 44

9313

Csc ArcSenE

Sec ArcCos

Csc ArcSenE E E

Sec ArcCos

=

= → = → = =

5 Indicar cuántas relaciones son falsas:

I. 1 18 8 2

ArcSen ArcCos π+ =

II. ( ) ( )2 22

ArcSec ArcCsc π− + − =

III. ( ) ( )3 32

ArcTan ArcCot π− + − =

IV. ( )ArcCos x ArcCosx− = −

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Todas son verdaderas

6 ¿A qué es igual?

( )( )sec ArcTan b

a) 1b − b) 2b c) 2b− d) 21 b− e) 2b

Solución:


( )( )( )

E Sec ArcTan b E Sec

ArcTan b

θ

θ

= → =

=Es decir :

( ) ( )2

1

ArcTan b Tan b

E Sec E b

θ θ

θ

= → =

= → = +

Pero :

Nos piden :

7 Dada la ecuación

( ) ( ) ( )1 tan 1 2ArcTan x Arc x ArcTan+ − − =

Indicar la suma de sus soluciones.

a) -2 b) -1 c) 0 d) 2 e) 1

Solución:

b 21 b+

1

A

C B

θ

De:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) 22 2

1 11 tan 1 2 2

1 1 1

2 22 2 1 1 1

x xArcTan x Arc x ArcTan ArcTan ArcTan

x x

ArcTan ArcTan x x xx x

+ − −+ − − = → = + + ⋅ −

= → = → = → = = −

o

Luego, la suma de soluciones será: 1 + (-1) = 0

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Indicar verdadero (V) o falso (F)

I. ( )( ) ( )100º 100ºArcSen Sen Sen=

II. ( )2 2Sen ArcSen =

III. ( ) ( )2 2ArcSen x ArcSen x=

a) VVV b) FVF c) FFF d) FFV e) VVF

2. Calcular:

2 1 15 7

Tan ArcTan ArcTan

+

a) 36289

b) 196289

c) 63298

d) 169298

e) 1

5 Calcular:

( )( )7 55cos 6 524 13

ArcTan Cot Arcsen Sec ArcSec +

a) 36,2 b)36,9 c)39,6 d)37,2 e) 35,2

6 Hallar “ x ”

( )576

Arcsenx ArcCos xπ= +

a) 22

b) 12

c) 23

d) 4

26 − e)

426 +

7 Hallar “θ ” para que la siguiente ecuación no tenga raíces.

( )( ) ( )( )3 3 3Arcsen x ArcCos x θ π+ = ⋅

a) 1<θ b) 2<θ c) 1>θ d) 321

<θ e) 0<θ

8 Resolver

2

2

1 1sec1 1 2

x xArc ArcCscx x

π − + + = + −

a) 21

b) -1 c)1 d)0 e)31

5. Calcular:

( ) ( )2 23 5Sec ArcTan Csc ArcCot+

a) 34 b) 36 c) 28 d) 8 e) 24

6. Indicar verdadero(V) o Falso(F)

I. 1 83 3

ArcSen ArcCos=

II. 2 33 2

ArcCos ArcSec=

III. ( ) 233

ArcTan π− =

a) VVV b) FFF c) VVF d) VFF e) FFV

7. Hallar “ x ”

83

ArcCos ArcSenx=

a) 6π

b) 8

9 c)

12

d) 13

e)12π

8. Hallar el valor o valores que verifican:

( ) ( ) 32

Cos ArcSenx Sen ArcCosx+ =

a) 5 7 o

4 4 b)

74

c) 7 7 o -

4 4 d)

74

− e)5 5 o -

4 4

9. Hallar “ x ”

( ) ( )21 2 0Tan ArcSen x Sen ArcTan− − =

a) 5

3x = ± b) x∼ ∃ c)

3x π= ± d) 1x = e)

3365

x =

10. Hallar “ x ”

32 25

ArcCot ArcCos ArcCscx + =

a) 0 b) 45

c) 2425

d) 725

e)2524

11. Calcular:

( ) ( ) ( )1 2 3 6ArcCos Cos ArcCos Cos ArcCos Cos+ +

a) 2 1π + b) 2 1π − c) 13 d) 6 e) 2π

12. Calcular:

74 39

ArcCot Sen π −

a) 518π

b) 29π

c) 49π

d) 39π

e) 6π

13. ¿A que es igual?

( ) ( )1 15 523 525 12

ArcSen ArcTan

ArcCos ArcTan

− −

+

a) 0 b) 1 c) 2 d) 12

e) 32

14. Calcular:

1 724

Tan Sen−

−

a) 7 b) 3 7− c) 7

2 d)

2 73

− e)

74

−

15. Simplificar:

1 1 13 5 7

ArcTan ArcTan ArcTan− +

a) 111

ArcTan b) 2

11ArcTan c)

311

ArcTan d) 5

11ArcTan e)

711

ArcTan

16. Sabiendo que: 0 a b< ≤

Simplificar:

1 3 1 32 4 2 4

a aTan ArcCos Tan ArcCosb b

π π ⋅ + − ⋅ −

a) 2ab

b) 2ba

− c) 2ab

− d) 2ba

e) ab

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Módulo I - Trigonometría