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Inferencia estadística
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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS
JEAMMY JULIETH SIERRA HERNÁNDEZ
(Director Nacional de Curso)
100403 – INFERENCIA ESTADÍSTICA
Vol. 1
IBAGUÉ
FEBRERO 2013
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERIA
CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100403 –INFERENCIA ESTADISTICA
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COMITE DIRECTIVO
Jaime Alberto Leal Afanador
Rector
Constanza Abadía García
Vicerrectora Académica y de Investigación
Gloria Herrera
Vicerrector de Medios y mediaciones Pedagógicos
Maribel Córdoba Guerrero
Secretaria General
Inferencia Estadística
Tercera Versión
Actualización por Jeammy Julieth Sierra Hernández
Autores Primera Edición: Jorge Rondon Danis Brito Copyright
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
ISBN
2012
Unidad de Ciencias Básicas UNAD
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CAMPOS DE
FORMACIÓN
Básica CRÉDITOS: 2 TRABAJO INDEPENDIENTE: 72
Horas TIPO DE CURSO Teórico CÓDIGO:100403 ACOMPAÑAMIENTO TUTORIAL: 24
Horas
OBJETIVO GENERAL:
Que el estudiante comprenda, aplique y desarrolle la teoría y las técnicas de la
inferencia estadística en diversos campos de su saber formativo, y que dicha
aplicación se convierta en una herramienta de uso matemático para la toma de
decisiones sobre hipótesis cuantitativas de datos, basado en la información
extraída de una muestra.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Que el estudiante identifique las técnicas y procedimientos que se
deben emplear para que las muestras sean representativas de la población
que se pretende estudiar, de forma que los errores en la determinación de
los parámetros de la población objeto de estudio sean mínimos.
Que el estudiante comprenda el comportamiento de una población a
partir del análisis metódico de una muestra aleatoria de la misma, y que
entienda que la inferencia inductiva de los parámetros estadísticos que
estime sobre dicha muestra, conlleva un error, el cual es posible de ser
cuantificado.
Conocer los criterios técnicos que hay que tener en cuenta antes
de seleccionar un tamaño de muestra.
Identificar el tipo de muestreo de acuerdo a los objetivos del estudio.
Diferenciar y analizar las ventajas y desventajas de la estimación
por intervalos de confianza y las pruebas de hipótesis.
Determinar la prueba o técnica apropiada a aplicar en las diferentes
pruebas de hipótesis paramétricas y No paramétricas.
COMPETENCIA GENERAL DE APRENDIZAJE:
Identificar un procedimiento adecuado para seleccionar de una población una
parte de ella, con el fin de obtener resultados confiables y poder generalizar los
resultados obtenidos a toda la población.
Determinar los estadísticos necesarios para el análisis y solución de situaciones
que implican conjuntos de datos de su disciplina de formación, por medio del
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conocimiento de la teoría elemental del muestreo y de las distribuciones
muestrales.
Plantear y desarrollar el proceso de la inferencia estadística para resolver
problemas concretos de investigación en el ámbito de otras disciplinas.
Aplicar apropiadamente los resultados teóricos y metodológicos de la inferencia
estadística de estimación y prueba de hipótesis en el marco de la modelación.
Habilidad para planear una investigación, diseño de instrumentos, definición de
variables, recolección de la información, resumen y presentación de los datos.
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UNIDADES DIDÁCTICAS
INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................................... 6
UNIDAD UNO: ........................................................................................................................................ 7
MUESTREO, DISTRIBUCIÓN MUESTRAL E INTERVALOS DE CONFIANZA ............................................. 7
CAPITULO UNO: PRINCIPIOS DE MUESTREO .................................................................................... 8
Lección No 1: Conceptos Básicos ................................................................................................ 10
Lección No 2: Tipos de muestreo y selección de muestra ......................................................... 15
Lección No 3: Tipos de Selección de Muestras .......................................................................... 30
Lección No 4: Métodos de Inferencias, Paramétrico y No Paramétrico.................................... 31
Lección No 5: Estimadores y propiedades de los estimadores .................................................. 34
..................................................................................................................................................... 36
CAPITULO DOS: DISTRIBUCIONES MUESTRALES ............................................................................ 37
Lección No 6: Distribuciones Muestrales ................................................................................... 38
Lección No 7: Distribución Muestral de la Media y de la Proporción ....................................... 40
Lección No 8: Distribución Muestral de la proporción .............................................................. 58
Lección No 9: Distribución Muestral de Diferencias de Medias y de la Proporciones .............. 63
Lección No 10: Tamaño de la muestra para estimar la media, la proporción y el total de la
Población ..................................................................................................................................... 67
CAPITULO TRES: INTERVALOS DE CONFIANZA ............................................................................... 74
Lección No 11: Nociones Fundamentales. ................................................................................. 75
Lección 12. Intervalos de confianza para medias y diferencias de medias con muestras
pequeñas 30n ....................................................................................................................... 80
Lección 13. Intervalos de confianza para la media y diferencias de medias muestras grandes
30n ...................................................................................................................................... 101
Lección 14. Intervalos de confianza para la proporción y diferencias de proporciones (siempre
son muestras grandes) 30n ................................................................................................ 105
Lección 15. Intervalos de confianza para la varianza poblacional. .......................................... 107
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INTRODUCCIÓN
El presente modulo está dirigido a estudiantes de programas de pregrado que
oferta la UNAD, bajo la modalidad de educación superior a distancia.
El material está estructurado en dos unidades que son las temáticas macro del
curso académico.
El contenido de cada una de las partes fue seleccionado, teniendo en cuenta los
saberes mínimos que se esperaría debe alcanzar un estudiante de la
Universidad Nacional Abierta y a Distancia en el campo de la Inferencia
estadística.
La propuesta permite que los estudiantes reconozcan los conocimientos
mínimos del curso en mención, que le permita resolver situaciones propias del
mismo y además, abordar posteriores temáticas que requieran de éstos
conocimientos.
Para el mejor aprovechamiento de este material, se recomienda que el estudiante
posea como conocimientos previos: de estadística descriptiva y de la teoría de
probabilidad.
El modulo se caracteriza porque en cada lección se presentan ejemplos
modelos del tema en estudio, al final de cada capítulo se exponen ejercicios con
respuesta, que permite a los estudiantes contextualizarse en diversas áreas del
conocimiento, con el fin de fortalecer las temáticas propias del curso.
Al final de cada unidad se presenta una Autoevaluación de un nivel medio-alto, las
cuales permiten verificar los alcances de los estudiantes en las temáticas
analizadas y detectar las debilidades y así centrarse en éstas, con el fin de
alcanzar las metas propuestas.
Finalmente, el Material pretende servir como guía de aprendizaje autónomo, se
recomienda apoyar este proceso por medio de lecturas especializadas, ayudas
audiovisuales, visitas a sitios Web y prácticas de laboratorio; entre otros, así
lograr una efectiva comprensión, y aplicación de las temáticas estudiadas.
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UNIDAD UNO:
MUESTREO, DISTRIBUCIÓN MUESTRAL E INTERVALOS DE CONFIANZA
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CAPITULO UNO: PRINCIPIOS DE MUESTREO
Introducción
En los estudios de investigación lo primero que se define es el fenómeno a
analizar, luego la población objeto de estudio, la cual puede ser finita cuando
se conocen todos los elementos, o infinita cuando no se conocen todos
los elementos de la misma. Desde estos puntos de vista analizar la población
no es práctico, por tiempo y costos, lo que induce a seleccionar una
muestra, cuya importancia radica en el proceso de consecución de
datos que proporcionan la información suficiente y necesaria a cerca de
la población, además que con la muestra se están utilizando menos recursos,
debido a que sólo una parte de la población se encuentra bajo observación,
lo que resulta significativamente beneficioso sobre todo cuando se trata
de poblaciones grandes y dispersa.
Otro aspecto que justifica la decisión de tomar una muestra es en casos donde
se debe destruir los elementos de ésta, por ejemplo cuando se desea
identificar el grado de vacío de un producto enlatado, la resistencia de un
material y otros.
En las encuestas de opinión sobre la preferencia de un producto se nota más
claramente la utilidad de una muestra en contraste con la población,
para conocer las preferencias de los consumidores y poder acomodar
rápidamente el sistema de producción a dichos cambios.
En desarrollo del presente modulo, se utiliza la coma para indicar la parte decimal
de un número.
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Objetivo general
Que los estudiantes identifiquen los principios sobre población y
muestra, métodos de muestreo, distribución de muestreo para medias,
el teorema central del límite, aplicados al cálculo de tamaños de muestras
pertinentes.
Objetivos específicos
Comprender los conceptos de población y muestra.
Identificar los diferentes diseños de muestreo y su utilidad en
diferentes campos del saber.
Conceptuar una distribución muestra y calcular las estimaciones
requeridas, la varianza y el error de estimación para los mismos.
Conocer y comprender los elementos del teorema central de
límite y su utilidad.
Determinar un tamaño de muestra representativo tanto para medias
como para proporciones.
Realizar aplicaciones en Excel y SPSS.
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Lección No 1: Conceptos Básicos
Dentro de la inferencia estadística, el proceso de muestreo permite que a
partir de los resultados obtenidos al analizar una muestra, se pueda obtener
conclusiones en cuanto a una o varias de las características o parámetros de una
población. Esta área de la Estadística, ayuda a determinar la confiabilidad de la
inferencia de que los fenómenos observados en la muestra ocurrirán también
en la población de donde se selecciona la muestra. Es decir, sirve para
estimar la eficacia del razonamiento inductivo con el cual se infiere que lo
observado en una parte ser equivalente a lo observado en la población.
Las técnicas de muestreo son importantes en la medida que se utilice en
forma adecuada para la situación que se requiera. De las técnicas más
conocidas y utilizadas se tienen el Muestro Aleatorio Simple (M.A.S), Muestreo
Aleatorio Estratificado (M.A.E), Muestro Sistemático (M.S) y Muestreo por
Conglomerados (M.C). Se tratará de analizar estas técnicas, especialmente el
M.A.S y M.A.E.
El Éxito en el desarrollo del curso en mención está en los buenos
conocimientos previos en Estadística Descriptiva, Probabilidad y, algebra,
Trigonometría y Geometría analítica. Lo anterior debido a que se debe predecir
resultados o tomar decisiones que tienen un grado de incertidumbre o un
grado de error que se debe definir de antemano.
1.1. Población Y Muestra
Existe una serie de términos estadísticos básicos, que son muy utilizados y se
requiere sean comprendidos para avanzar en otros temas o unidades, en
esta sección se tratarán los conceptos de población y muestra.
Población ó Universo: Se considera a todo aquello sobre el que se
desea hacer un estudio estadístico. Según el número de unidades,
elementos o casos que la constituyen, la población puede ser finita o infinita.
Población Finita: Es aquella conformada por un determinado o limitado número
de elementos.
Población Infinita: Es aquella conformada por un determinado o limitado
número de elementos.
Cuando el número de unidades que integra una población es muy grande, se
puede considerar a ésta como una población infinita. El investigador define la
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población objeto de estudio en términos de espacio y tiempo, ya que de esta
manera los resultados serán sobre la población definida en el espacio
demarcado y en el tiempo definido.
Ejemplo
Estudiantes del Programa de Ingeniería de Sistemas
Estudiantes del programa de Ingeniería de sistemas de la UNAD
Estudiantes del programa de Ingeniería de sistemas en la UNAD de los
años
2.010, 2.011 y 2.012
Muestra: Se considera una muestra al subconjunto representativo de la
población, que ha sido seleccionada de manera técnica mediante un
procedimiento denominado diseño de muestreo, para garantizar que dicha
muestra es representativa de la población, es decir, que las unidades
seleccionadas en la muestra mediante un proceso aleatorio, hayan tenido
igual probabilidad de haber sido seleccionadas para el análisis.
Figura 1. Población y muestra
Muestra representativa: Subconjunto de sujetos que pertenecen a una
población determinada. Debería tener las mismas características generales que
la población. En caso contrario, tenemos una muestra sesgada. (M. J. Navas,
2001, p. 19). Ir al referente. Los dos principios que determinan la
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representatividad de una muestra son, la forma de selección, que debe ser
aleatoria y el otro corresponde al tamaño de la muestra.
Parámetros: Según Moore, D. (2000) es un número que describe alguna
característica de la población. En la práctica estadística el valor del parámetro no
es conocido ya que en muchos casos no podemos examinar toda la población.
Pudiendo ser por ejemplo el porcentaje de personas con VIH en Colombia, aquí
el parámetro es la “Proporción” de personas en la población (Colombia) que
tienen dicho virus.
Es conveniente el uso de un símbolo general para designar el parámetro de
interés, entonces éste será:
Entre los parámetros más importantes tenemos:
= Tamaño total de la población
= Promedio Poblacional
= Varianza Poblacional = Desviación estándar Poblacional
= Total Poblacional
=Proporción poblacional
Estadístico: Es un número que se puede calcular a partir de los datos de la
muestra. Moore, D. (pág. 270). Entonces un estadístico mide características,
pero en una parte de la población, es decir, en una muestra; por ejemplo el
porcentaje de personas en Bogotá con VIH; aquí se evidencia que la muestra es
la capital en donde se está analizando una característica, lo que permite sacar
conclusiones de todo el país, por lo cual se dice que la inferencia suministra
conclusiones de la población sirviéndose de los resultados encontrados en las
muestras.
El objetivo fundamental del muestreo es Estimar los parámetros de la
población a partir de algunos elementos cuyas mediciones son los Estadísticos
Los estadísticos más utilizados por su importancia son:
n =Tamaño de la muestra
=Promedio de muestra
S2 =Varianza Muestra
S =Desviación estándar Muestra
=Total Estimado
p =Proporción Muestra
Cuando los dos nuevos términos de arriba son usados, por ejemplo, el proceso
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de estimación en inferencia estadística puede ser descrito como el proceso de
estimar un parámetro a partir del estadístico correspondiente, tal como usar una
media muestra (un estadístico) para estimar la media de la población (un
parámetro).
Error de muestreo (error muestral): En estadística se sabe que existen
diferencias entre lo que se obtuvo en el estudio y lo que se esperaba. En el
proceso de estimación es poco probable que la media Muestra sea idéntica a la
media poblacional, igual para la varianza y la desviación estándar. El error de
muestreo es la diferencia entre el estadístico y el parámetro, es decir diferencia
entre lo encontrado en la muestra con lo esperado en la población.
| | es el Parámetro y es el estadístico.
Recuerde que | | es el símbolo de valor absoluto
A medida que el tamaño de la muestra aumenta el error de muestreo disminuye,
es decir, son inversamente proporcionales.
Error tolerable: Se considera el error tolerable al error máximo que se
está dispuesto a aceptar y aún considerar que el muestreo ha alcanzado
su objetivo. En todo estudio estadístico siempre se considera un error tolerable,
partiendo del principio que a menor error tolerable, mayor será el tamaño de
la muestra. Si es el parámetro y es el estadístico, el error tolerable está
determinado por B, donde:
| |
Error estándar: La desviación estándar de una distribución, en el
muestreo de un estadístico, es frecuentemente llamada el error estándar del
estadístico. Por ejemplo, la desviación estándar de las Medias de todas las
muestras posibles del mismo tamaño, extraídas de una población, es llamada el
error estándar de la media. De la misma manera, la desviación estándar de las
proporciones de todas las muestras posibles del mismo tamaño, extraídas de una
población, es llamada el error estándar de la proporción. La diferencia entre los
términos desviación estándar y error de estándar es que la primera se refiere
a los valores originales, mientras que la segunda está relacionada con valores
calculados.
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1.2. Razones para seleccionar una muestra
Entre los motivos que inducen a tomar una muestra aleatoria están:
Naturaleza Destructiva: Existen casos donde se requiere destruir los
elementos de la muestra para medir la característica, como es el caso de
medir la resistencia de un material, el vacío de un producto enlatado, otros. No
es lógico pensar en destruir todos los elementos de la población, de allí que se
tome una muestra.
Imposibilidad Física de Medir Todos los Elementos de la Población:
Se sabe que existen poblaciones muy grandes, consideradas infinitas y es
casi imposible conocer todos los elementos de la misma.
Costos: Estudiar todos los elementos de la población es muy costoso, tanto en
tiempo como en dinero, por lo que es más rentable hacer un estudio Muestra.
Confiabilidad del Estudio Muestra: Esta demostrado con soporte matemático
que una muestra representativa arroja resultados que permiten inferir sobre la
población con una confiabilidad muy alta.
Unidad de observación: Son los elementos que se miden; es decir, sobre los
que se toman los datos de las variables a medir. En el caso de los hogares, la
unidad de observación serán las personas y en el caso de las llantas del
automóvil, cada una serán las unidades de observación.
Marco de muestreo: Se considera el referente para identificar las unidades de
observación, éste NO incluye todos los elementos de la población. Ejemplos de
marcos de muestreo tenemos el directorio telefónico de una ciudad, como
potenciales votantes, el registro de ventas de los últimos 5 años en
una compañía comercializadora y muchos otros.
1.3. Etapas en la Selección de La Muestra
En todo estudio de muestreo se debe definir las etapas que permiten su
desarrollo.
a) Definición de objeto de Estudio: Comprende la identificación del problema y
el establecimiento de las metas que busca el estudio.
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b) Marco de Muestreo: Establecimiento de una metodología para identificar los
elementos que estarán en el muestreo, sus características y el modelo que
los identifica.
c) Identificación de Variables: Es pertinente identificar las variables de
estudio, para así definir la forma de medición que se haría.
d) Tamaño de la Muestra: Por medio del modelo de muestreo pertinente
seleccionar la muestra representativa, sobre la que se realizarán las
mediciones.
e) Unidad de Muestreo: Se debe extraer las unidades de muestreo según el
modelo definido que determinan las n unidades maestrales de la población N.
f) Trabajo de Campo: Son todas las acciones necesarias para obtener la
información, definiendo los costos, desplazamientos, herramientas física y
logísticas para su realización.
g) Análisis de Información: La información obtenida, requiere de un proceso
estadístico, el cual puede ser descriptivo o inferencia, para el curso que
nos ocupa se deben hacer los dos.
h) Resultados: Con el proceso desarrollado sobre los datos obtenidos, se
procede a la emisión de los resultados y la confrontación con las metas
propuestas para verificar el grado de eficiencia del trabajo realizado. Es
pertinente saber presentar los resultados, ya que un buen trabajo que no se
presente de la mejor manera, quedaría oscuro en su información.
Lección No 2: Tipos de muestreo y selección de muestra
Tipos de Muestreo
Con los conceptos previos que se han analizado, ahora corresponde
estudiar las clases de muestreo. Los dos grandes grupos están enmarcados en
las siguientes clases:
Muestreo probabilístico
Muestreo No probabilístico
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2.1. Muestreo No Probabilístico
Son aquellos muestreos donde los elementos de la muestra se toman al azar,
siendo imposible determinar el grado de representatividad de la muestra. Para
el caso de una población homogénea, la representatividad de tal muestra puede
considerarse satisfactoria.
Por otra parte, en problemas comerciales diarios y en la toma de decisiones
que a falta de tiempo no permiten disecar métodos de muestreo probabilístico
hay que recurrir a este tipo de muestreo, donde el investigador conoce la
población.
Dentro del muestreo no probabilístico se conoce varios
tipos:
Muestreo por conveniencia.
Muestreo por juicio
Muestreo Causa / Efecto
Muestreo por Cuotas
Muestreo de Poblaciones Móviles
2.1.1. Muestreo por conveniencia
La muestra se determina por conveniencia, incorporando elementos en la muestral
sin probabilidades especificadas o conocida de selección. Por ejemplo un
profesor que se encuentra investigando una causa universitaria, puede usar
alumnos voluntarios para formar la muestra, tan solo porque dispone fácilmente
de ellos y participan como elementos a un costo pequeño o nulo. Tiene la
ventaja de ser de fácil selección y recolección de sus datos. Tiene la
desventaja de no poderse evaluar en su bondad de la muestra en
función de la representatividad de la población, motivo por el cual se hace
imposible inferir a cerca de la población correspondiente.
2.1.2. Muestreo por juicio
En este método la persona por experiencia y capacidad selecciona a los
individuos u otros elementos de la población, que supone son los más
representativos de esa población. Por ejemplo un reportero puede
muestrear uno o dos senadores, por considerar que ellos reflejan la opinión
general de todos.
2.1.3. Muestreo causa / efecto
Se realiza cuando no hay una población definida y se requiere tomar
elementos para el estudio en cuestión, caso por el cual se toman los elementos
disponibles.
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2.1.4. Muestreo por cuotas
Cuando es necesario obtener una cantidad dada de elementos que constituyen
una muestra proporcional a la población, se toman elementos hasta cubrir
dicha cuota. El caso de tomar una cantidad de carros en una esquina para
hacer un estudio sobre accidentalidad en dicho sitio.
2.1.5. Muestreo de poblaciones móviles
Método propio de poblaciones móviles como en estudios de migración
ocurridos en un sitio determinado. El caso típico es con animales que migran,
donde se hace captura-marca- recaptura.
2.2. Muestreo Probabilístico
El muestreo aleatorio o muestreo probabilístico, es aquel en que cada uno de
los elementos de la población objeto de estudio, tienen una probabilidad
matemática conocida, y frecuentemente igual, para ser elegido en la muestra.
Muestra probabilística
Una muestra se considera probabilística si cumple con las siguientes
condiciones:
a) Se pueda definir un conjunto de muestras M1, M2, M3... Mi posibles
derivados del proceso de selección propuesta. Así se puede identificar
que unidades de muestreo pertenecen a la muestra M1, M2, M3... Mi
b) A cada muestra posible le debe corresponder una probabilidad de
selección conocida P(S).
c) El proceso de selección garantiza que todos los elementos de la población
tienen una probabilidad P(yi)>0 de ser elegido en alguna muestra.
d) La selección es un proceso aleatorio que garantiza que cada
muestra S tenga una probabilidad P(S) de ser elegida. Muestreo aleatorio
simple
Dentro del muestreo probabilístico o aleatorio existen cuatro métodos:
1. Muestreo aleatorio simple
2. Muestreo estratificado
3. Muestreo sistemático
4. Muestreo por conglomerados
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2.2.1. Muestreo Aleatorio Simple
El M A S es la forma m á s sencilla de muestreo probabilístico y es la base de
técnicas más complejas. La muestra se puede tomar de una población finita
o infinita, la cantidad de muestras posibles depende del tipo de diseño y la
forma de tomar las muestras. Este tipo de muestreo se utilize cuando se
considera que la población es más o menos homogénea. Como ya sabemos el
muestreo puede ser con y sin reemplazamiento.
El marco de muestreo corresponde a la lista codificada de todas las observaciones
que hacen parte de la población. La muestra se elige de tal manera que cada
observación tiene la misma probabilidad de ser elegida, la elección de una
observación NO tiene influencia sobre la elección de otra. Es de aclarar que en el
M.A.S la unidad de muestreo es igual a la unidad de observación.
Este tipo de muestreo requiere la construcción de un marco de
muestreo, consistente en el listado completo de las unidades de la
población.
Técnicas para Seleccionar la Muestra
a) Tabla de números aleatorios
(Ver tabla siguiente). Se enumeran las unidades que conforman la población
objetivo de estudio, partiendo desde 01 hasta 99, desde 001 hasta 999, y así
sucesivamente, dependiendo del tamaño poblacional. Luego se define el
tamaño de la nuestra y como los elementos de la población están
listados y codificados, entonces se establece un punto de partida:
Columna x Fila y, se van leyendo ya sea horizontal o verticalmente los
números de la tabla hasta completar el tamaño de la muestra.
Ejemplo
Suponga que tenemos N=30 facturas de servicios públicos (unidades en la
población), saque una muestra aleatoria simple de tamaño n=5.
Paso 1: Asigne etiquetas: Dé a cada unidad en la población un número, etiqueta o
identificación. Todas las etiquetas deben tener el mismo número de dígitos. Como
tenemos 30 unidades y el número 30 tiene dos dígitos, todas las unidades tienen
que tener dos dígitos.
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Tabla 1.
Facturas de servicios públicos
Paso 2: Use la tabla: Empezando en un lugar escogido al azar lea grupos de
dígitos (dependiendo del número de dígitos en las etiquetas) de izquierda a
derecha, continuando con la línea siguiente cuando se acabe la línea que está
leyendo. Si el grupo de dígitos corresponde a una de las etiquetas, ese número
identifica a una de las unidades que será seleccionada. Si el grupo de dígitos no
corresponde a una de las etiquetas o si ya fue seleccionado, se salta al grupo
siguiente.
Por ejemplo suponga que el lugar de partida escogido al azar fue la fila 05,
columna 1 (la columna 1 es la 12345) y la lectura sera vertical (aunque puede ser
horizontal):
Se toman dos digitos porque la muestra es 30 (que tiene dos digitos)
33850 Este número no se escoge porque está por encima de 30
97340
Este número no se escoge porque solo se escogen numerous entre
01 y 30. Se sigue buscando y se llega hasta un número menor o
igual a 30
Este número si se escoge porque es menor a 30.
14756
Se continúa y si con la primera columna no se han encontrado los 5 números para
la muestra se pasa a la siguiente.
Cabe notar que el número 23913 de la tabla se salta ya que se repite el 23 que se
encontró en 23236
La muestra está conformada por las observaciones que se ubican en la posición:
14, 23, 09, 11 y 06
Recibo No. Valor $ Recibo No. Valor $ Recibo No. Valor $
01 $ 45.661 11 $ 37.798 21 $ 44.901 02 $ 43.629 12 $ 33.672 22 $ 40.155 03 $ 41.502 13 $ 39.607 23 $ 48.082 04 $ 45.069 14 $ 34.904 24 $ 32.825 05 $ 45.813 15 $ 36.701 25 $ 45.915 06 $ 49.687 16 $ 34.001 26 $ 30.382 07 $ 45.960 17 $ 36.302 27 $ 41.835 08 $ 35.001 18 $ 48.728 28 $ 47.227 09 $ 49.553 19 $ 48.706 29 $ 48.485 10 $ 46.976 20 $ 34.881 30 $ 45.159
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Tabla 2.
Números aleatorios
Columna
00000 00001 11111 11112 22222 22223 33333 33334
Renglón 12345 67890 12345 67890 12345 67890 12345 67890
01 49280 88924 35779 00283 81163 07275 89863 02348
02 61870 41657 07468 08612 98083 97349 20775 45091
03 43898 65923 25078 86129 78496 97653 91550 08078
04 62993 93912 30454 84598 56095 20664 12872 64647
05 33850 58555 51438 85507 71865 79488 76783 31708
06 97340 03364 88472 04334 63919 36394 11095 92470
07 70543 29776 10087 10072 55980 64688 68239 20461
08 89382 93809 00796 95945 34101 81277 66090 88872
09 37818 72142 67140 50785 22380 16703 53362 44940
10 60430 22834 14130 96593 23298 56203 92671 15925
11 82975 66158 84731 19436 55790 69229 28661 1367512
39087 71938 40355 54324 08401 26299 49420 59208
13 55700 24586 93247 32596 11865 63397 44251 43189
14 14756 23997 78643 75912 83832 32768 18928 57070
15 32166 53251 70654 92827 63491 04233 33825 69662
16 23236 73751 31888 81718 06546 83246 47651 04877
17 45794 26926 15130 82455 78305 55058 52551 47182
18 09893 20505 14225 68514 46427 56788 96297 78822
19 54382 74598 91499 14523 68479 27686 46162 83554
20 94750 89923 37089 20048 80336 94598 26940 36858
21 70297 34135 53140 33340 42050 82341 44104 82949
22 85157 47954 32979 26575 57600 40881 12250 73742
23 11100 02340 12860 74697 96644 89439 28707 25815
24 36871 50775 30592 57143 17381 68856 25853 35041
25 23913 48357 63308 16090 51690 54607 72407 55538
26 79348 36085 27973 65157 07456 22255 25626 57054
27 92074 54641 53673 54421 18130 60103 69593 49464
28 06873 21440 75593 41373 49502 17972 82578 16364
29 12478 37622 99659 31065 83613 69889 58869 29571
30 57175 55564 65411 42547 70457 03426 72937 83792
31 91616 11075 80103 07831 59309 13276 26710 73000
32 78025 73539 14621 39044 47450 03197 12787 47709
33 27587 67228 80145 10175 12822 86687 65530 49325
34 16690 20427 04251 64477 73709 73945 92396 68263
35 70183 58065 65489 31833 82093 16747 10386 59293
36 90730 35385 15679 99742 50866 78028 75573 67257
37 10934 93242 13431 24590 02770 48582 00906 58595
38 82462 30166 79613 47416 13389 80268 05085 96666
39 27463 10433 07606 16285 93699 60912 94532 95632
40 02979 52997 09079 92709 90110 47506 53693 49892
41 46888 69929 75233 52507 32097 37594 10067 67327
42 53638 83161 08289 12639 08141 12640 28437 09268
43 82433 61427 17239 89160 19666 08814 37841 12847
44 35766 31672 50082 22795 66948 65581 84393 15890
45 10853 42581 08792 13257 61973 24450 52351 16602
46 20341 27398 72906 63955 17276 10646 74692 48438
47 54458 90542 77563 51839 52901 53355 83281 19177
48 26337 66530 16687 35179 46560 00123 44546 79896
49 34314 23729 85264 05575 96855 23820 11091 79821
50 28603 10708 68933 34189 92166 15181 66628 58599
Fuente:Web
Paso 3: Indicar según las posiciones que arroja la tabla de números aleatorios
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cuales elementos se escogerán para la muestra
Tabla 3:
Selección muestra de 5 recibos ejemplo 1
Este método de selección permite que todos los elementos que constituyen la
población tengan la misma posibilidad de ser incluidos en la muestra. Los
elementos se escogen en forma individual y aleatoriamente de la totalidad de
la población. Esta selección puede ser sin reemplazamiento, similar a la que
se realiza en la extracción aleatoria de números en el juego denominado baloto.
Cada elemento que constituye la muestra se selecciona una sola vez,
denominándose extracciones sin reposición.
En otras ocasiones, cada elemento puede ser elegido más s de una vez en
la misma muestra, como por ejemplo, cuando se selecciona aleatoriamente el
número ganador de una lotería, que puede ocurrir ser el mismo número; en
estos casos se dice que las extracciones son realizadas con reposición.
b) Programa de Computador: Utilizando el programa Excel que es el más
común se puede desarrollar números aleatorios de la siguiente manera:
Si la población es de N = 1.000 observaciones y se desea una muestra de 20,
entonces: Sobre una celda se escribe =ALEATORIO ()*N y se da clic, el
sistema genera el primer número aleatorio, se despliega en la parte inferior
derecha de la celda del número hasta el tamaño de la muestra definida.
Sintaxis para obtener números aleatorios de una población de 1000
observaciones
Figura 2. Sintaxis número aleatorio en Excel
No. Recibo Valor $ No. Recibo Valor $ No. Recibo Valor $
01 $ 45.661 11 $ 37.798 21 $ 44.901
02 $ 43.629 12 $ 33.672 22 $ 40.155
03 $ 41.502 13 $ 39.607 23 $ 48.082
04 $ 45.069 14 $ 34.904 24 $ 32.825
05 $ 45.813 15 $ 36.701 25 $ 45.915
06 $ 49.687 16 $ 34.001 26 $ 30.382
07 $ 45.960 17 $ 36.302 27 $ 41.835
08 $ 35.001 18 $ 48.728 28 $ 47.227
09 $ 49.553 19 $ 48.706 29 $ 48.485
10 $ 46.976 20 $ 34.881 30 $ 45.159
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Al dar clic se genera el primer número aleatorio y desplegando se obtiene los
que se desea.
De esta manera se obtiene los números aleatorios que se requieren
para tomar la muestra aleatoria de la población objeto de estudio. Si se
vuelve a hacer el proceso, se obtendrán nuevos números y cada que se realice
un nuevo proceso, se generarán diferentes números; esto por lo de Aleatorio.
VIDEOS
c) Método de Fan Muller:
Para seleccionar una muestra aleatoria simple mediante este método hay que
seguir los siguientes pasos:
1. Para cada elemento de la población se genera un número aleatorio entre 0
y 1. Ese número aleatorio se llamará r.
2. Se hace un recorrido secuencial de la población y se incluye a la muestra
el número aleatorio r si cumple:
Comprobando que no estuviera anteriormente introducida, en el caso de
que esté repetida se pasa a la siguiente unidad. Si se introduce la unidad
se vuelve a empezar en el paso 1.
3. El algoritmo termina cuando
d) Coordinado Negativo: El proceso general es de la siguiente manera:
1. Se adiciona una variable aleatoria U con distribución uniforme U (0, 1)
2. Se ordena el marco muestral según la distribución U.
3. La muestra se forma de los n primeros elementos del marco ordenado
Selección de
muestras a través
de M.A.S
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2.2.2. Muestreo Aleatorio Estratificado
En el diseño de muestreo probabilístico, es pertinente identificar la población
objeto de estudio, ya que no siempre la variable de análisis es más o menos
homogénea. Si se desea analizar la variable peso; por lo general los hombres
pesan más s que las mujeres, en estratos altos se paga más arriendo que
en estratos bajos. En estos y otros muchos casos el M. A. S. no es adecuado.
En casos donde la población es muy heterogénea respecto a la variable
de estudio el muestreo estratificado es mejor que el muestreo aleatorio simple.
La palabra estratificar hace referencia a formar Capias.
DEFINICIÓN: Una muestra aleatoria estratificada se obtiene mediante la
separación de los elementos de la población en subgrupos llamados ESTRATOS,
los cuales son disyuntos.
Obtenidos los estratos, en cada uno se obtiene la muestra por M.A.S para el
estudio de la variable de interés.
Como los elementos de los estratos son disyuntos, entonces cada
unidad de muestreo pertenece solo a un estrato. Las muestras
seleccionadas en los estratos deben ser independientes; es decir, la elegida
en un estrato no debe afectar la elección de otra muestra en otro estrato.
La esencia de la estratificación es que ésta saca provecho de la
homogeneidad conocida de las sus poblaciones, de tal forma sólo se requieran
muestras relativamente pequeñas para estimar las características de cada
sub-población, estas estimaciones individuales pueden entonces ser
fácilmente combinadas para producir una estimación de toda la
población; además, la economía en el tamaño de la muestra, un
valioso sub-producto del esquema del muestreo estratificado es que las
estimaciones obtenidas para diferentes partes de la población se
pueden usar posteriormente para hacer comparaciones.
Para una descripción general del muestreo aleatorio estratificado y los
métodos de inferencia asociados con este procedimiento, suponemos
que la población está dividida en h subpoblaciones o estratos de tamaños
conocidos N1, N2,..Nh tal que las unidades en cada estrato sean
homogéneas respecto a la característica en cuestión.
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Figura 3. Población divida en estratos
Ejemplo
Población de tutores del CEAD Ibagué - UNAD (ver figura 3). El tamaño de la
población 18 tutores (N= 18), la cual está dividida en 3 escuelas o subgrupos
(H=3). Cada escuela es un estrato, y se tiene que son diferentes los perfiles de los
tutores de una escuela a otra pero al interior de cada una son similares sus
profesiones, esto significa que los subgrupos son heterogéneos entre sí, pero
homogéneos dentro de cada uno.
VENTAJAS DEL MUESTREO ESTRATIFICADO
1. Evitar la obtención de muestras erróneas, tal es el caso de
escoger elementos que podrían sesgar el muestreo, por consiguiente
se puede perder representatividad de la población.
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2. Obtener información precisa de ciertos subgrupos para hacer
comparaciones
3. Producir un límite de error de estimación (B) más pequeño, comparado con
el obtenido en el M.A.S. para un mismo tamaño de muestra.
4. Los costos por observación en las encuestas son más reducidos ya
que se evitan desplazamientos extremos.
5. Las estimaciones se obtienen por subgrupos así los estratos se hacen
identificables.
Notación: Partiendo de la población o universo U cuyo tamaño es N,
ésta se divide en NL estratos.
Figura 4. Tamaño de estratos
N = N1 + N2 +…+NL (Tamaño poblacional)
= Tamaño del estrato i.
= Valor de la observación j en el Estrato i.
= Media poblacional en el estrato i.
= Varianza poblacional en el estrato i.
= Total poblacional en el estrato i.
Proporcion poblacional en el estrato i
La media poblacional del estrato, la varianza poblacional del estrato, el
total poblacional del estrato y el total poblacional, se obtiene de la siguiente
manera:
En cada estrato se obtiene una muestra aleatoria por M.A.S. Si tenemos el
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estrato l, se puede hacer el siguiente análisis.
Tamaño de la muestra en el estrato i
Promedio de la muestra del estrato i
Varianza muestral del estrato i
Proporción estimada del estrato i
∑
Donde son los elementos j del estrato i
Tamaño de la submuestras en los estratos
(
) Ecuación No.1
Dónde:
N = Tamaño de la población
N = Tamaño de la muestra
Ni= Tamaño del estrato i
ni= Tamaño de muestra en el estrato i
N= N1+N2+N3+..+Nh
n = n1 + n2+…+ ni
Ejemplo
La sección operativa de una empresa de confecciones cuenta con 100
empleados, la cual está dividida en operarios de maquina plana, dibujantes y
cortadores, de los que hay 40, 35 y 25 operarios respectivamente; se quiere hacer
un estudio estadístico y se toma una muestra de 20 empleados. ¿Cuántos
operarios de cada línea deben escogerse si la selección se hace a través de un
muestreo estratificado?
N= 100
n = 20
N1= 40
N2= 35
N3= 25
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(
)
(
)
(
)
La muestra de 20 empleados debe estar compuesta por 8 de máquina plana,
7 dibujantes y 5 cortadores.
2.2.3. Muestreo Sistemático
Es utilizado por algunos contadores para revisar sumas, cuentas, inventarios,
etc., por ser un método directo y económico. Consiste en seleccionar uno a
uno, los elementos de la muestra en un orden determinado, dando un inicio
aleatorio. Es decir, la muestra queda ordenada.
La fracción de muestreo se establece por medio de la siguiente relación:
Dónde:
f = Fracción de muestreo
N= Población
n = Tamaño de la muestra
Ejemplo
De una población de 1.000 observaciones, se desea tomar una muestra de 10,
cuáles serían las observaciones que harían parte de la muestra sistemática.
La fracción de muestreo es:
f = Fracción de muestreo
N= Población
n = Tamaño de la muestra
Como la fracción de muestreo dio 100, el primer elemento se selecciona
aleatoriamente en el intervalo cero a cien, por ejemplo seleccionando el
número 25, el segundo elemento que se selecciona es 125 (25+100), luego el
225 (125+100) y así sucesivamente, hasta completar la muestra de diez.
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Puede ver un ejemplo de muestreo sistemático en:
https://sites.google.com/site/unadjeammysh/recursos-de-apoyo
Figura 5. Recursos de apoyo
Un problema específico del muestreo sistemático es la existencia de cualquier
factor periódico o cíclico en la lista de la población que pudiera conducir a
un error sistemático en los resultados muestrales.
Ejemplo
Si en un hospital hay un universo de quince mil cien historias clínicas
que están numeradas interrumpidamente y se desea tener una muestra
equivalente al 10%, o sea, mil quinientas diez historias, ello significa que ha
de tomarse una de cada 10, ya que (15100 /1510 = 10). La primera historia
puede seleccionarse del primer grupo de 10. Si la primera historia
seleccionada es la número 8 en la población, teniendo en cuenta que el
ocho es un número cualquiera tomado aleatoriamente; la segunda será la 18=
(8+10) la tercera será la 28 = (18 + 10), la cuarta será la 38 = (28 + 10), y así
sucesivamente.
La estimación y tamaño de muestra tiene un análisis similar al muestreo
aleatorio simple M.A.S.
2.2.4. Muestreo Conglomerados
Este es un método de muestreo aleatorio en el que los elementos de la
población se dividen en forma natural en subgrupos, de tal forma que dentro de
ellos sean lo más heterogéneo posible y entre ellos sean homogéneos, caso
contrario al muestreo estratificado.
Este tipo de muestreo se usa en particular cuando no se dispone de una
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lista detallada y enumerada de cada una de las unidades que conforman el
universo y resulta muy complejo elaborarla. Se le denomina así debido a
que en la selección de la muestra en lugar de escogerse cada unidad se
procede a tomar los subgrupos o conjuntos de unidades, a los que se llama
"conglomerados". Aunque quizá por ello se tienda a creer que es lo
mismo que el estratificado, ambos se diferencian en que en los
conglomerados los subconjuntos se dan en la vida real o ya están
agrupados de esa manera; por ejemplo: Escuelas, tipos de Industrias,
bloques de casas y otros. En el estratificado el investigador decide las
agrupaciones que utilizar según la posible variabilidad de los fenómenos a
estudiar; otra diferencia es que en este el investigador conoce la distribución
de la variable, todo lo contrario que en el muestreo por conglomerado.
El proceso se indica definiendo los conglomerados, después se seleccionan los
subconjuntos a estudiar (o sea, que se realiza un muestreo de
conglomerados); de estos seleccionados se procede a hacer el listado de las
unidades que componen cada conglomerado, continuando posteriormente con la
selección de las unidades que integrarán la muestra, siguiendo algunos de los
métodos aleatorios indicados.
Si se desea hacer un estudio en las escuelas de educación primaria sobre un
determinado fenómeno, inicialmente se seleccionan las escuelas que se
estudiarán, de esas escuelas seleccionadas se determinan los grados o clases
que deben incluir y posteriormente se escogen los alumnos, que serán las
unidades de observación, utilizando uno de los métodos aleatorios. Se estima
que las inferencias que se hacen en una muestra conglomerada no son tan
confiables como las que se obtienen de un estudio hecho por muestreo aleatorio.
Ejemplo
Si un analista de la Secretaría de Salud necesita hacer un estudio de los
servicios médico-asistenciales que reciben los trabajadores del área
metropolitana, sería difícil obtener una lista de todos los trabajadores de la
población objetivo. Sin embargo podría obtenerse una lista de las empresas y
fábricas del área. Con esta lista, el analista puede tomar una muestra aleatoria
de las empresas o fábricas, que representan conglomerados de
trabajadores, y obtener la información de los servicios médicos que se les
están prestando.
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Lección No 3: Tipos de Selección de Muestras
En el diseño Muestra hacemos referencia a la probabilidad de selección, la
cual consiste en definir el valor de probabilidad de que una muestra dada
sea seleccionada. En teoría de probabilidad existen dos tipos de selección:
3.1. Selección con Reemplazamiento:
Consiste en que los elementos seleccionados una vez medidos vuelven a la
muestra, lo que hace que el espacio Muestra permanezca constante. Por lo
anterior la ocurrencia de un evento no afecta la ocurrencia de otro, por lo que
los eventos se consideran independientes.
Ejemplo
Si en una bolsa se tiene 4 bolas blancas y 5 bolas negras. ¿ Cuál será
la probabilidad que al seleccionar dos bolas, estas sean blancas?
La probabilidad de que la primera sea negra es: ( )
La probabilidad de que la segunda sea negra es: ( )
3.2. Selección sin Reemplazamiento:
Los elementos elegidos una vez la medición, estos NO vuelven a la
muestra, lo que hace que el espacio muestral cambie a medida que se van
tomado elementos de la muestra.
Ejemplo
Si en una bolsa se tiene 4 bolas blancas y 5 bolas negras. ¿Cuál será la
probabilidad que al seleccionar dos bolas estas sean blancas, la selección es
sin reemplazamiento?
La probabilidad de que la primera sea negra es: 4/9
La probabilidad de que la segunda sea negra es: 3/8
Recordemos que una vez elegida la primera, ésta no vuelve a la muestra.
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Ejemplo
Suponga que tenemos N = 4 unidades 1, 2, 3 y 5 en una población
hipotética y desea seleccionar muestras con reemplazamiento y sin
reemplazamiento de tamaño n=2
Para los propósitos de esta selección, los valores podrían ser el número de
las personas que viven en cada una de cuatro unidades habitacionales que
constituyen una población. Se realizará una comparación entre el muestreo
aleatorio con y sin reemplazamiento para una muestra de tamaño n=2.
Primero se listan todas las posibles muestras no ordenadas de tamaño n= 2.
Para recordar:
Tabla 4:
Técnicas de conteo
Muestreo Con Orden Sin Orden
Con Repetición Regla del exponente (o permutaciones con repetición)
Nn
Multiplicación de opciones: n1 x n2 x n3….
Combinaciones
( ) ( )
( )
Sin Repetición
Permutaciones (de n elementos tomados todos a la vez)
N! = NPn Permutaciones (de N elementos tomados
de r en r. con )
( )
Combinaciones (de N elementos tomados de r en r. con )
( )
Lección No 4: Métodos de Inferencias, Paramétrico y No
Paramétrico
4. Métodos De Inferencia
Los procedimientos de inferencia permiten establecer conclusiones acerca de
una población, a partir de las propiedades estudiadas en una muestra de ella.
Además, como dichas conclusiones dependen de sucesos aleatorios, se les
asociará un nivel de confianza o de verosimilitud.
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Gráfico No.1 Métodos de inferencia
4.1. Métodos Paramétricos
Resuelve objetivos relacionados con parámetros de una población, tales como
media, varianza, proporción etc. Estos modelos se apoyan en el conocimiento
de la distribución de probabilidad asociada a dicha población aunque se
desconozca algún parámetro de dicho modelo. Por ejemplo podemos suponer
que el número de clientes atendidos por hora en una entidad bancaria sigue un
modelo de Poisson pero de parámetro µ desconocido.
Para resolver un problema de inferencia paramétrico se utilizan dos tipos de
procedimientos:
4.1.1. Estimación: Puntual cuando obtenemos valores aproximados del
parámetro desconocido y una medida de error asociado; por Intervalos
cuando obtenemos un rango de valores, que contiene el verdadero valor
del parámetro con una probabilidad o confiabilidad prefijada.
4.1.2. Test de Hipótesis: Cuando aceptamos o rechazamos una hipótesis
relacionada con uno o varios parámetros de una población desconocidos,
con un cierto nivel de error prefijado.
4.2. Métodos no paramétrico
Los métodos no paramétricos se refieren a menudo como distribución
libremente métodos pues no confían encendido asunciones que los datos están
dibujados del dado distribución de la probabilidad. Resuelven situaciones
relacionadas con el tipo de distribución de probabilidad asociada a la población
de estudio u otros objetivos no relacionados directamente con parámetros.
Lo deseable en estos casos será buscar la inferencia en contrastes que sean
válidos bajo un amplio rango de distribuciones de la población. Tales contrastes
Métodos de Inferencia
Parámetrico
Estimación Pruebas de Hipótesis
No Parámetrico
Pruebas No Parámetricas
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se denominan no paramétricos.
El término no paramétrico no se significa implicar que tales modelos carecen
totalmente parámetros, sino que el número y la naturaleza de los parámetros son
flexibles y no fijados por adelantado.
Ventajas y Desventajas
Las pruebas no paramétricas no necesitan suposiciones respecto a la
composición de los datos poblacionales. Las pruebas no paramétricas son de
uso común:
1. Cuando no se cumplen las suposiciones requeridas por otras
técnicas usadas, por lo general llamadas pruebas paramétricas.
2. Cuando es necesario usar un tamaño de muestra pequeño y no es
posible verificar que se cumplan ciertas suposiciones clave.
3. Cuando se necesita convertir datos cualitativos a información útil para
la toma de decisiones.
Existen muchos casos en los que se recogen datos medidos en una escala
nominal u ordinal. Muchas aplicaciones de negocios involucran opiniones o
sentimientos y esos datos se usan de manera cualitativa.
Ventajas
Las pruebas no paramétricas tienen varias ventajas sobre las pruebas
paramétricas:
1. Por lo general, son fáciles de usar y entender.
2. Eliminan la necesidad de suposiciones restrictivas de las pruebas
paramétricas.
3. Se pueden usar con muestras pequeñas.
4. Se pueden usar con datos cualitativos.
Desventajas
También las pruebas no paramétricas tienen desventajas:
1. A veces, ignoran, desperdician o pierden información.
2. No son tan eficientes como las paramétricas.
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Lección No 5: Estimadores y propiedades de los estimadores
5. Estimador
En estadística, un estimador es un estadístico (esto es, una función de la
muestra) usado para estimar un parámetro desconocido de la población. Por
ejemplo, si se desea conocer el precio medio de un artículo (el parámetro
desconocido) se recogerán observaciones del precio de dicho artículo en
diversos establecimientos (la muestra) y la media aritmética de las
observaciones puede utilizarse como estimador del precio medio.
Para cada parámetro pueden existir varios estimadores diferentes. En general,
escogeremos el estimador que posea mejores propiedades que los restantes,
como insesgadez, eficiencia, convergencia y robustez (consistencia).
5.1. Propiedades de un estimador
El concepto de estimación de parámetros mediante la especificación de las
propiedades que deben cumplir los estimadores y el desarrollo de técnicas
apropiadas para implementar el proceso de estimación. Se utilizar· el punto
de vista práctico de la teoría del muestreo, que considera un parámetro como
una cantidad fija pero desconocida.
Para evaluar la calidad de un estadígrafo como un estimador este debe
cumplir las siguientes propiedades:
5.1.1. Insesgado
Un estimador insesgado es aquel cuya media o valor esperado de la distribución
de las de las estimaciones es igual al parámetro estimado. En otras palabras,
cuando el promedio de un estimador muestral es igual al parámetro poblacional
que se desea estimar.
5.1.2. Eficiencia:
La eficiencia se refiere al tamaño del error estándar del estadígrafo de la
muestra. Si se comparan dos estadígrafos de una muestra del mismo tamaño y
se desea decidir cuál de los dos es el estimador más eficiente, se escogerá
el estadígrafo que tenga el menor error estándar o desviación de la
distribución muestra. Supóngase que se escoge una muestra de un tamaño
dado y se decide cuando usar la media muestra o la mediana muestra para
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estimar la media de la población. Si se calcula el error estándar de la media
muestra y se encuentra que es igual a 2.15 y luego se calcula el error
estándar de la mediana muestra y se encuentra que es de 2.6, se podrá
decir que la media muestra es un estimador más eficiente de la media de la
población porque su error estándar es menor o con menos variación, tendrá
una mayor oportunidad de producir un estimador más cercano al parámetro de
la población bajo estudio.
5.1.3. Consistencia:
Un estadígrafo es un estimador consistente de un parámetro de la población
si en la medida en que el tamaño de la muestra aumenta se está seguro de
que el valor del estadígrafo se acerca al valor del parámetro de la población.
Cuando un estimador es consistente, se vuelve más confiable tomando
muestras grandes. De esta manera, cuando usted se preocupa por
aumentar el tamaño de la muestra para obtener más información acerca de
un parámetro de la población, debe primero encontrar si su estadígrafo es
un estimador consistente, si no es así, usted desperdiciará dinero y tiempo
al tomar muestras grandes.
5.1.4. Suficiencia:
Estadísticos que, de alguna manera, resumen toda la información de una muestra
relacionada con un parámetro objetivo, se dice que tienen la propiedad de
suficiencia, es decir, utilizan toda la información relevante contenida en una
muestra.
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Ejercicios propuestos
En cierta cadena de centros comerciales trabajan 150 personas en el
departamento de personal, 450 en el departamento de ventas, 200 en el de
contabilidad y 100 en el de servicios al cliente. Con el objeto de realizar una
encuesta laboral, se quiere seleccionar una muestra de 180 trabajadores. Qué
número de trabajadores tendríamos que seleccionar en cada departamento
atendiendo a un criterio de proporcionalidad
R/ta: 30, 90, 40, 20
Suponga que se quiere estimar el número de días-hombre perdidos debido
a accidentes de trabajo en un mes particular. Además se sabe que la mayor
parte de dichos accidentes se presentan en los niveles operativo, técnico y
administrativo. ¿Cuál de los siguientes diseños de muestreo es el más
aconsejable?:
R/ta: Estratificado, identificando como estrato los niveles de trabajo
Supongamos que en la ciudad “T” hay 200 barrios. Si elegimos al azar dos
de estos barrios, de manera que la muestra esté compuesta por todos
los individuos de esos dos barrios. Se trata de de:
R/ta: Por conglomerados
Se ha proyectado realizar una encuesta sobre el consumo de leche en
las familias. El número de familias de la población es 6000 y el tamaño de
la muestra 840, con la siguiente clasificación de profesión u oficio:
Profesionales: 100 Comerciantes: 200
Operarios: 2000 Agricultores: 600
Servicios Generales:
1900 Empleados: 1200
Cuántas familias de agricultores deben estar representadas en la muestra.
R/ta: 84
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CAPITULO DOS: DISTRIBUCIONES MUESTRALES
Introducción
Como se ha señalado anteriormente, el propósito del muestreo es averiguar las
características de la población en estudio. Se recuerda de nuevo que para
poder dar conclusiones de los parámetros se usan los estadísticos que son
mediciones obtenidas en la muestra, mientras que los parámetros son
características medibles propias de la población.
El escoger una muestra, es un proceso que inevitablemente puede arrojar
diferentes subconjuntos de la población, por ejemplo de la población de tutores,
se puede escoger como muestra los tutores de la ECBTI o escoger los de
ECEDU. El valor del estadístico es aleatorio porque depende de los elementos
elegidos en la muestra seleccionada- también aleatoria- de tamaño “n” y, por lo
tanto, el estadístico tiene una distribución de probabilidad la cual es llamada la
Distribución Muestral del estadístico.
Objetivo general
Que los estudiantes lleguen a formar, no sólo, una muestra si no un conjunto de
posibles muestras de una población, con las unidades de observación y sean
capaces de reconocer la distribución de ese conjunto de muestras.
Objetivos específicos
Comprender la importancia del teorema del límite central.
Establecer las diferencias entre un parámetro y un estadístico
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Lección No 6: Distribuciones Muestrales
En estadística, la distribución muestral es lo que resulta de considerar todas las
muestras posibles que pueden ser tomadas de una población. Su estudio permite
calcular la probabilidad que se tiene, dada una sola muestra, de acercarse al
parámetro de la población. Mediante la distribución muestral se puede estimar el
error para un tamaño de muestra dado.
Como bien lo afirma Ximenez, C. (S, F.) “La estadística inferencial trata sobre las
inferencias con respecto a las poblaciones (sus parámetros µ y σ2) a partir de la
información contenida en las muestras (los estadísticos y S2).
Para poder llevar a cabo esas inferencias es necesario conocer la relación que se
establece entre estadísticos y parámetros. El concepto que permite poner en
relación ambas cosas es “la distribución muestral de un estadístico”.
Figura 6. Distribución de un estadístico
Algunos estadísticos pueden ser: La media, la proporción y la desviación.
Recuerde que todos son cálculos en las muestras.
A cada una de las muestras se les calcula el respectivo estadístico, es decir, se
tendrá tantos estadísticos como muestras se haya obtenido. Por ejemplo, si el
estadístico que se está estimando es la media, y si se obtuvo 8 muestras,
entonces, serán 8 medias muestrales las que tendrá.
Con todos los resultados del estadístico en todas las muestras, se forma la
distribución muestral del estadístico.
Distribución Muestral: Es la distribución de Probabilidad de un estadístico
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6. Diferentes distribuciones muestrales
Ya que a nivel muestral se pueden calcular diferentes estadísticos, como la
media, desviación y la proporción entre otros, se pueden encontrar sus
respectivas distribuciones muestrales, entre estas:
Distribución muestral de la medias
Distribución muestral de las proporciones
Distribución muestral de la diferencias de medias
Distribución muestral de la diferencias de proporciones
Nota: El muestreo se puede hacer sin o con reemplazamiento.
Ejemplo
En la figura a continuación se tiene que la variable X, es el número de párrafos
digitado por minuto, X: 1, 2, 3, 4.
Figura 7. Distribución de la población
Poblacionalmente se tiene:
Parámetros
E(X)= 2.5
Var (X)= 1.1180
E(x) es el valor esperado de la variable o promedio, y V(x) es la varianza.
( ) ∑
( ) ∑( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Se sugiere al lector comprobar los cálculos para la varianza con el comando
VAR.P en Excel.
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Ejemplo
Si se quiere escoger una muestra de tamaño 3, es decir compuesta por 3
personas y si además las muestras se toman con reposición es decir se puede
volver a incluir el individuo. La distribución muestral será:
Gráfico No.2. Histograma de medias muestrales
El 1,00 que se observa corresponde a la media de la muestra conformada por las
observaciones 1, 1, 1; es decir se tomo una muestra de tres personas pero al ser
con reposición, el primer elemento que se obtuvo fue 1, éste se devuelve la
población y tiene de nuevo la posibilidad de ser escogido, que es lo que vuelve a
suceder, del mismo modo en la tercera extracción. El valor 1,33 es la media de
una muestra que puede ser por ejemplo las observaciones 1, 1, 2. El total de
muestras es 24 conformadas por 3 personas, ya que se aplica el principio de las
permutaciones.
Lección No 7: Distribución Muestral de la Media y de la
Proporción
Los estadísticos obtenidos en una muestra son variables aleatorias, por lo cual
deben tener una distribución de probabilidad, así que la media muestral tiene una
distribución.
Supongamos que se tiene una muestra de tamaño “n” observaciones tomada de
una población normal N (µ; σ2) cada observación X1= 1, 2, 3,…, n tendrá la
misma distribución que la población de donde fue tomada la muestra.
0
2
4
6
8
10
12
14
1,00 1,33 1,67 2,00 2,33 2,67 3,00 3,33 3,67 4,00
Distribución de frecuencias de medias muestrales
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7. Principios y conceptos en la medias muestrales
Teorema: (Población infinita)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sea
la media de la muestra aleatoria de tamaño n
proveniente de una población infinita de tamaño N con media µ y varianza σ2.
Entonces:
( )
El valor esperado de la media muestral es la media poblacional
( )
La varianza del estimador es igual a la varianza poblacional dividida por el tamaño
de la muestra.
Teorema: (Población Finita)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sea
la media de la muestra aleatoria de tamaño n
proveniente de una población finita de tamaño N con media µ y varianza σ2.
Entonces:
( )
( )
Comentario:
Se conoce como el factor de corrección para poblaciones finitas. Cuando N es
muy grande comparado con n, la diferencia se hace despreciable lo que origina
que para poblaciones infinitas dicho factor de corrección se hace uno.
7.1. Distribución Muestral de la Media
Las muestras aleatorias obtenidas de una población son, por naturaleza propia,
impredecibles. No se esperaría que dos muestras aleatorias del mismo tamaño y
tomadas de la misma población tenga la misma media muestral o que sean
completamente parecidas; puede esperarse que cualquier estadístico, como la
media muestral, calculado a partir de las medias en una muestra aleatoria, cambie
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su valor de una muestra a otra, por ello, se quiere estudiar la distribución de todos
los valores posibles de un estadístico. Tales distribuciones serán muy importantes en
el estudio de la estadística inferencial, porque las inferencias sobre las poblaciones
se harán usando estadísticas muestrales. Como el análisis de las distribuciones
asociadas con los estadísticos muestrales, podremos juzgar la confiabilidad de un
estadístico muestral como un instrumento para hacer inferencias sobre un parámetro
poblacional desconocido.
Como los valores de un estadístico, tal como x, varían de una muestra aleatoria a
otra, se le puede considerar como una variable aleatoria con su correspondiente
distribución de frecuencias.
La distribución de frecuencia de un estadístico muestral se denomina distribución
muestral. En general, la distribución muestral de un estadístico es la de todos sus
valores posibles calculados a partir de muestras del mismo tamaño.
Figura 8. Distribución muestral de medias
Ejemplo Construcción de la distribución de las medias muestrales.
Un Colegio tiene siete profesores, la retribución por hora cátedra es la que se
muestra a continuación:
Tabla 5:
Tabla No. Salario profesores
Profesor Salario $ 1 2 3 4 5 6 7
7000 7000 8000 8000 7000 8000 9000
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Para determinar la distribución muestral de las medias, se seleccionaron todas
las muestras posibles de tamaño 2, sabiendo que son sin sustitución y que
no interesa el orden de selección en la población. Se calculan las medias de
cada muestra y se calcula la media de las medias muestrales.
Para saber cuántas muestras posibles se pueden tomar, se utiliza la combinatoria,
por los preceptos tomados: Sin repetición y no importa el orden
El valor de 21, es el número de muestras tamaño 2 que se pueden formar de
una población de 7 elementos. A continuación se indican las 21 muestras posibles
y el valor de la media para cada una de las muestras:
7 2 =7!
(7 2)! 2!=
7!
(5)! 2!=
5! × 6 × 7
5! 2!=
42
2!=
42
2= 21
Paso 1: Media de la población
𝜇𝑥 9
Paso 2: Varianza de dicha población.
𝜎𝑥
𝑁 (𝑥𝑖 𝜇) 𝑁
𝑖
𝜎𝑥
( ) (9 ) 9 9
𝜎𝑥
∑ 𝑥𝑖
𝑁 𝜇
La varianza poblacional está dada por:
Entonces:
Otra formulación es:
Recuerde que la desviación es la raiz cuadrada de la varianza, entonces la
desviavión en este caso es 𝜎𝑥 9 9 699
Paso 3: Distribución muestral de las medias
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Tabla 6:
Distribución salarios de profesores. Muestreo sin reemplazamiento y las medias
Muestra Prof. Salario Media Muestra Prof. Salario Media
1 1 y 2 7000-7000 7000 12 3 y 4 8000-8000 8000
2 1 y 3 7000-8000 7500 13 3 y 5 8000-7000 7500
3 1 y 4 7000-8000 7500 14 3 y 6 8000-8000 8000
4 1 y 5 7000-7000 7000 15 3 y 7 8000-9000 8500
5 1 y 6 7000-8000 7500 16 4 y 5 8000-7000 7500
6 1 y 7 7000-9000 8000 17 4 y 6 8000-8000 8000
7 2 y 3 7000-8000 7500 18 4 y 7 8000-9000 8500
8 2 y 4 7000-8000 7500 19 5 y 6 7000-8000 7500
9 2 y 5 7000-7000 7000 20 5 y 7 7000-9000 8000
10 2 y 6 7000-8000 7500 21 6 y 7 8000-9000 8500
11 2 y 7 7000-9000 8000
Suma Total 162.000
En el cuadro siguiente se indica la distribución de probabilidad para el
muestreo de medias, donde la sumatoria de todas las probabilidades es igual
a uno:
Tabla 7:
Distribución de probabilidad
Media muestral Número de medias Probabilidad
7000 3 0,1429
7500 9 0,4285
8000 6 0,2857
8500 3 0,1429
Suma 21 1,000
Gráfico No.3. Histograma de medias muestrales salario de los profesores
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La media poblacional es igual a la media de las medias muestrales
La media de la distribución muestral de medias, se determina sumando las
diferentes medias muestrales y dividiendo la suma entre el número de muestras.
La media de todas las medias muestrales en general se expresa:
Ecuación No.2
Primero se obtiene todas las muestras (todos los subconjuntos) y luego a cada
muestra le calcula la media, finalmente obtendrá, tantas medias como muestras
haya, y con esas medias calcula de nuevo un promedio; es decir, se calcula una
media de medias.
6
Vea el valor obtenido en el paso 1 (Media poblacional) y compárelo con el
resultado anterior ¡Son equivalentes!
Note que: es la media de las medias muestrales y es la media poblacional.
Por tanto para nuestro caso:
Paso 4: Media de la distribución muestral de medias
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Paso 5: Construcción de distribución de errores muestrales
�� 𝜇 𝑒
𝜇𝑒
𝜎𝑒
Error Muestral
Cualquier medida conlleva algún error. Si se usa la media para medir, estimar, la
media poblacional 𝜇, entonces la media muestral, como medida, conlleva algún
error. Por ejemplo, supongamos que se ha obtenido una muestra aleatoria de
tamaño 25 de una población con media 𝜇 ; si la media de la muestra es
�� , entonces a la diferencia observada �� 𝜇 se le denomina
el error muestral. Una media muestral x puede pensarse como la suma de dos
cantidades: la media poblacional 𝜇 y el error muestral; si e denota el error
muestral, entonces:
Ecuación No.3
Al calcular la media y desviación estándar de los errores muestrales “e” (última
columna de la tabla 7) se tiene respectivamente:
Se deja como ejercicio al lector calcular 𝜇𝑒 y 𝜎𝑒
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Tabla 8:
Distribución de errores muestrales. Salario promedio de profesores
Muestra No.
�� Media de la muestra
𝜇�� Media de las medias muestrales Error muestral
e
1 7000 7714,3 -714,3 2 7500 7714,3 -214,3 3 7500 7714,3 -214,3 4 7000 7714,3 -714,3 5 7500 7714,3 -214,3 6 8000 7714,3 285,7 7 7500 7714,3 -214,3 8 7500 7714,3 -214,3 9 7000 7714,3 -714,3
10 7500 7714,3 -214,3 11 8000 7714,3 285,7 12 8000 7714,3 285,7 13 7500 7714,3 -214,3 14 8000 7714,3 285,7 15 8500 7714,3 785,7 16 7500 7714,3 -214,3 17 8000 7714,3 285,7 18 8500 7714,3 785,7 19 7500 7714,3 -214,3 20 8000 7714,3 285,7 21 8500 7714,3 785,7
𝝈𝟐𝒙 : 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 �� 𝒙 𝒊 ∶ 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑖 𝝁𝒙 ∶ 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝒏 ∶ 𝑁 𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
𝜎��
𝜎��
. . .
𝜎�� 9. . 9. .
𝝈𝟐𝒙 ∑(𝒙 𝒊 𝝁𝒙 )
𝟐
𝒏 Y otra forma es: 𝜎��
∑𝑥𝑖
𝑁 𝜇��
Dónde:
𝜎�� . 6 Varianza
𝜎�� Desviación
Paso 6: Desviación estándar de las medias muestrales
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Muestreo con reemplazo
Si de una población se eligen muestras de tamaño n con
reemplazo (o la población es No finita), entonces el error estándar
de la media es igual a la desviación estándar de la distribución de
los errores muestrales.
En general se tiene:
Ecuación No.4
Muestreo sin reemplazo
Cuando las muestras se toman de una población pequeña y sin
reemplazo se puede usar la siguiente fórmula para encontrar :
√
Ecuación No.5
Error estándar del estadístico
La desviación estándar de la distribución muestral de un estadístico se conoce
como error estándar del estadístico. Para el ejercicio anterior el error estándar
de la media denotado por 𝜎��, es 451,75.
Aunque, se puede notar que en este caso la desviación de los errores
muestrales y el error estándar, son iguales.
𝜎𝑒 𝜎��,
𝑁 𝑛
𝑁 : Es llamado factor de corrección para poblaciones finitas, o en donde
se muestrea sin reemplazo.
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49
Más adelante se verá que, estas dos concepciones hacen parte de los principios
del teorema del límite central. Para lo cual se desarrollan dos ejemplos, uno de
muestreo con reemplazamiento y otro sin reemplazamiento.
El siguiente es un diagrama de flujo que le permite identificar en que caso debe
usar o no el factor de corrección.
Gráfico No.4. Diagrama de flujo para error estándar de la media
Teorema central del límite.
En el caso de una población con media y varianza 2 , la distribución muestral
de medias de todas las muestras posibles de tamaño n a partir de la población,
tendrá una distribución aproximadamente normal (siendo la media de la
distribución muestral igual a y la varianza igual a n/2 ) considerando que el
tamaño de la muestra es bastante grande.
El teorema central del límite es uno de los teoremas más importantes dentro de
¿Es la población
infinita?
COMIENZO
¿Se muestrea
con sustitución?
¿Es N≥ 20n?
𝜎�� 𝜎
𝑛√𝑁 𝑛
𝑁
𝜎�� 𝜎
𝑛
si
si
si
No
No
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las ciencias estadísticas, ya que su funcionalidad es muy grande.
Hay que destacar tres aspectos importantes del teorema central de límite.
Primer principio:
Si el tamaño de la muestra n es suficientemente grande, la distribución muestral
de las medias será más o menos normal. Esto se cumple ya sea que la población
esté o no distribuida normalmente. Esto es, el teorema se verifica, ya sea que la
población esté distribuida en forma normal, o bien sea sesgada o uniforme.
Segundo principio:
Como se mostró con anterioridad, la media de la población, , y la media de todas
las medias muestrales posibles, x , son iguales. Si la población es grande y se
selecciona un número grande de muestras de la población, la media de las medias
muestrales se aproximará a la media poblacional.
Tercer principio:
La varianza de la distribución de medias muestrales se determina de n/2 .
No existe acuerdo general sobre lo que constituye un tamaño de muestra
“suficientemente grande”. Algunos estadísticos consideran que es 30; otros
piensan que un número pequeño como 12 es adecuado. El ejemplo sobre los
salarios por hora de todos los profesores del colegio funcionó bastante bien con
una muestra de 2. Sin embargo, a menos que la población sea aproximadamente
normal, los tamaños de muestra así de pequeños, por lo general no dan como
resultado una distribución muestral que se distribuya normalmente. A medida que
el tamaño de la muestra se vuelve cada vez más grande, la distribución de la
media muestral se aproxima más a la distribución normal con forma de campana.
TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE:
Sea X1, X2,…, Xn una variable aleatoria independiente e
idénticamente distribuida de una población infinita con media µ y
varianza σ2. Para σ2< ∞, Entonces: Presenta una
distribución Normal estándar.
O sea:
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Ejemplo: Muestreo sin Reemplazamiento
Suponga que se tiene una población conformada por 5 empleados de una empresa (N = 5), y la variable de interés es el número de años de experiencia
laboral de cada empleado. Los datos de la población son: 5,4,3,2,1iX
35
543211
1
N
i
ixN
Promedio de años de experiencia por empleado.
999.1)35(...)32()31(5
1)(
1 222
1
22
N
i
ixN
Ahora extraemos la raíz cuadrada a la varianza y obtenemos la desviación
estándar. 414.1
Seleccione ahora todas las muestras posibles de tamaño dos, sin
reemplazamiento (poblaciones finitas):
Recordar que cuando el muestreo es sin reemplazamiento y no interesa el orden,
entonces tenemos una combinatoria.
!!
!
xnnN
NC N
N
Reemplazando:
102!3
!345
!2!3
!5
!2!25
!55
2
x
xx
xC
Se tiene 10 muestras posibles de tamaño dos. Las posibles muestras se indican a
continuación:
Tabla 9:
Distribución de las medias muestrales
Muestra Media Muestral X Muestra Media Muestral X 1 - 2 1 – 3 1 – 4 1 – 5 2 – 3
1.5 2.0 2.5 3.0 2.5
2 – 4 2 – 5 3– 4 3– 5 4 - 5
3.0 3.5 3.5 4.0 4.5
Paso 1: Media de la población
Paso 2: Varianza de dicha población.
Paso 3: Distribución muestral de las medias
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310
5.40.45.35.30.35.20.35.20.25.1
X
Con la información anterior se logra demostrar el primer principio del teorema central del límite, que consiste en que el promedio de la población es igual al promedio de la distribución muestral de medias: 3
X
Observe que dicho principio se ha cumplido, en consideración a que el promedio
de años de experiencia para la población es de tres y el promedio de la
distribución muestral de medias es igual también a tres.
Como siempre primero calculamos la varianza y luego la desviación estándar.
7499.0
10
0.35.430.235.1222
2
2
n
XX
X
Ahora extrayendo raíz cuadrado a la varianza, obtenemos la desviación estándar.
8660.07499.0 X
Observemos que la desviación estándar de la población (1.4142) es diferente a la
desviación estándar de la distribución muestral de medias (0.8660), y una forma
de corregir esta diferencia es mediante la siguiente igualdad:
1
N
nN
nX
Ecuación No.6
Dónde:
X Desviación estándar de la distribución muestral de medias.
Desviación estándar de la población.
n Tamaño de la muestra.
N Tamaño de la población.
1
N
nN Factor de corrección para poblaciones finitas.
Paso 4: Media de la distribución muestral de medias
Paso 6: Desviación estándar de las medias muestrales
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Reemplazando los valores correspondientes se tiene:
8660,015
25
2
4142,1
x
El segundo principio del teorema central del límite para poblaciones finitas se
expresa: La desviación estándar de la distribución muestral de medias es igual al
factor de corrección poblacional multiplicada por la relación entre la desviación
estándar poblacional y la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. Dicho principio
queda demostrado con la relación anterior.
Ejemplo: Muestreo con Reemplazamiento
Ahora, cuando el muestreo se realiza para poblaciones finitas, y con reemplazamiento, el
número de muestras posibles está dada por:
nN Para N = Tamaño de la población y n = Tamaño de la muestra
El número de muestras de tamaño dos es: 2552 nN
Tabla 10:
Distribución de las medias muestrales
No. muestra Muestra Media muestral No. muestra Muestra Media muestral
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13
1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 3-1 3-2 3-3
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 2.0 2.5 3.0
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
3-4 3-5 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5
3.5 4.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
325
0.55.40.45.20.25.10.1
X
El primer principio se mantiene, en el sentido, que la media poblacional es igual a
la media de la distribución muestral de medias.
Paso 3: Distribución muestral de las medias
Paso 4: Media de la distribución muestral de medias
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0.1
25
0.30.50.35.435.1312222
2
n
XX
X
Observe que la desviación estándar de la población (1.4142) sigue siendo diferente a la desviación estándar de la distribución muestral de medias (1.0) La forma de corregir esta diferencia para poblaciones no finitas es mediante la siguiente igualdad:
nX
Corrección para poblaciones no finitas
Reemplazando en el caso que nos ocupa: 12
41421356.1x
¿Para qué me sirve conocer la distribución muestral de las medias?
Recordemos que se puede calcular la probabilidad de algún
evento relacionado con la variable aleatoria que se distribuye
normal, mediante la siguiente fórmula:
(lo que se conoce como estandarización)
Para transformar una variable normal general en una normal estándar (este
proceso se llama tipificar) se debe:
X ~ N ( , )
~ N(0,1)
Ejemplo
a) Probabilidad acumulada en el valor 0,67: la respuesta es 0,7486
b) Probabilidad acumulada en el valor 1,35: la respuesta es 0,9115
c) Probabilidad acumulada en el valor 2,19: la respuesta es 0,98574
La décima del valor buscado (por ejemplo en 0.67, es 0.6) le indica el valor a
buscar en la primera columna; luego use la centésima para ubicarse en la primera
fila (por el ejemplo en 0.67, es 7); finalmente la intersección de esas dos hileras es
la probabilidad buscada.
Paso 6: Desviación estándar de las medias muestrales
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Gráfico No 5. Ejemplo de uso de la tabla normal
Veamos ahora, como podemos utilizar la tabla de una distribución normal:
Así mismo, las medias muestrales se distribuyen como una normal, por tanto, se
puede calcular la probabilidad del comportamiento del estadístico, en este caso la
media de la muestral, de la siguiente manera:
Poblaciones infinitas (o no se conoce):
Ecuación No.7
Poblaciones finitas y muestreo con reemplazo:
Ecuación No.8
Ejemplo
Cálculo de Probabilidades. Distribución de medias
Poblaciones infinitas (o no se conoce)
La altura media de los alumnos de un plantel de secundaria es de 1,50 mts. Y su desviación típica es de 0,25 mts. Determinar la probabilidad de que en una muestra de 36 alumnos, la media sea superior a 1,60 mts.
P( X > 1,60) = ?
Se estandariza la variable (aplicar ecuación 7):
40,225,0
60,0
6
25,0
10,0
36
25,0
50,160,1
Z
Clic para ver Video:
Uso de la tabla normal
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Ahora la pregunta queda convertida en: P(Z> 2,40)
O su equivalente: 1- P(Z< 2,40) =?
Si se observa en la tabla de la normal, P(Z< 2,40) = 0,9918,
Entonces
1- P(Z< 2,40) = 1 – 0,9918 = 0,0082 = 0,8%
Entonces al tomar una muestra la probabilidad de que la media muestral de la
estatura sea superior a 1,60 es 0,8%, es decir, menos del 1%.
Ejemplo
Cálculo de Probabilidades. Distribución de medias
Poblaciones finitas y muestreo con reemplazo
Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye
aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación
estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de
16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas.
Se estandariza la media muestral (se aplica la ecuación 7):
6
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57
es equivalente:
Este valor se busca en la tabla de z
La interpretación sería que la probabilidad de que la media de la muestra de 16
focos sea menor a 775 horas es de 0.0062.
7.1.1. Distribución Muestral de Medias: Poblaciones Finitas:
Las poblaciones finitas, tiene la característica de que N es conocido, al hacer la
distribución muestral de las medias y muestreo sin reemplazamiento, se obtiene
una gráfica de la distribución que presenta una forma aproximadamente
acampanada, lo cual se puede observar en la siguiente gráfica.
Figura 9. Distribución Muestral de Medias: Poblaciones Finitas
7.1.2. Distribución Muestral de Medias: Poblaciones No Finitas:
La gráfica de la distribución muestral de medias para poblaciones no finitas y
muestreo con reemplazamiento tiene una distribución normal, tal como se puede
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observar a continuación:
Figura 10. Distribución muestral de medias: Poblaciones No Finitas:
Entonces:
Lección No 8: Distribución Muestral de la proporción
8. Distribución muestral de proporciones
Existen ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media de la
muestra, sino que deseamos investigar la proporción de artículos defectuosos o
la proporción de personas con teléfono, etc en la muestra.
La distribución muestral de proporciones es la adecuada para dar respuesta a
estas situaciones.
Esta distribución se genera de igual manera que la distribución muestral de
medias, a excepción de que se calcula la proporción en la población y no la
media (paso 1) ese cálculo corresponde a P = A /N, en donde “A” es el total de
elementos con la característica en la Población y “N” el tamaño de la población.
Así mismo, al extraer las muestras de la población se calcula el estadístico
proporción (p= a / n en donde “a” es el número de éxitos u observaciones de
interés y “n” el tamaño de la muestra, en lugar de la media de cada muestra que
era lo que se calcula antes. (Curso de Estadística 1. Página web, Instituto
Tecnológico De Chihuahua). Ir a la página.
No importa que distribución tenga la población, pero la distribución muestral de
medias a partir de esa población, tiene una distribución normal
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Ahora bien, se debe tener en cuenta que cuando se hace análisis de una
característica cualitativa o atributo, se emplea la proporción de éxitos y no el
número de éxitos como en la distribución binomial.
Una distribución es una distribución total de éxitos en las muestras, mientras que
una distribución de proporciones es la distribución de un promedio (media) de los
éxitos.
Figura 11. Distribución muestral de proporciones
Imagen extraída de: http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/img/image802.gif
Ejemplo
Construcción de la distribución de las proporciones muestrales.
Suponga que se cuenta con un lote de 12 piezas, el cual tiene 4 artículos
defectuosos. Se van a seleccionar 5 artículos al azar de ese lote sin reemplazo.
Genere la distribución muestral de proporciones para el número de piezas
defectuosas.
Paso 1: Proporción Poblacional
𝑃 𝐴
𝑁 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
Por lo que podemos decir que el 33% de las piezas de este lote están defectuosas.
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Paso 2: Distribución muestral de proporciones
El número posible de muestras de tamaño 5 a extraer de una población de 12
elementos es 12C5=792, las cuales se pueden desglosar de la siguiente
manera:
Tabla 11:
Distribución de proporciones
Artículos Buenos
Artículos Malos Proporción de artículos
defectuoso
Número de maneras en las que se puede obtener la
muestra 1 4 4/5=0.8 8C1*4C4=8
2 3 3/5=0.6 8C2*4C3=112
3 2 2/5=0.4 8C3*4C2=336
4 1 1/5=0.2 8C4*4C1=280
5 0 0/5=0 8C5*4C0=56 Total 792
Gráfico 6. Frecuencias para las proporciones de las muestras
Paso 3: Media de la distribución muestral de proporciones
𝜇𝑝 ( ) ( 6 ) ( 6) ( ) ( 6)
9
𝜇𝑝
𝜇𝑝 𝑃
Para calcular la media de la distribución muestral de proporciones se tendría
que hacer la sumatoria de la frecuencia por el valor de la proporción muestral y
dividirla entre el número total de muestras. Esto es:
Como podemos observar la media de la distribución muestral de proporciones es igual a la Proporción de la población.
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61
Error estándar del estadístico
La desviación estándar de la distribución muestral de un estadístico se conoce
como error estándar del estadístico. Para el ejercicio anterior el error estándar
de la proporción denotado por , es 0,1681
La varianza de la distribución binomial es , por lo que la varianza de la
distribución muestral de proporciones es
.
Ecuación No.9
Si se sustituyen los valores en esta fórmula tenemos que:
√( ⁄ )( ⁄ )
Este valor no coincide con el de 0.1681, ya que nos falta agregar el factor de
corrección para una población finita y un muestreo sin reemplazo:
√
√
Ecuación No.10
Lo que da como resultado: ( ⁄ )( ⁄ )
6
Paso 4: Desviación estándar de la distribución muestral de proporciones
𝜎𝑝 (
)
( 6 )
( )
6 ( )
( )
6
9
𝜎𝑝
𝜎𝑝 6
También se puede calcular la desviación estándar de la distribución muestral de proporciones, directamente con los datos:
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¿Para qué me sirve conocer la distribución muestral de las proporciones?
Recordemos que se puede calcular la probabilidad. La fórmula
que se utilizará para el cálculo de probabilidad en una
distribución muestral de proporciones está basada en la
aproximación de la distribución normal a la binomial. Esta
fórmula nos servirá para calcular la probabilidad del
comportamiento de la proporción en la muestra.
Ecuación No.11
A esta fórmula se le puede agregar el factor de corrección
si se cumple con
las condiciones necesarias.
Ejemplo
Cálculo de Probabilidades. Distribución de proporciones muestrales
Cuarenta y seis por ciento de los sindicatos del país están en contra de comerciar
con la China Continental; ¿Cuál es la probabilidad de que en una encuesta a 100
sindicatos muestre que más del 52% tengan la misma posición?
P = 0,46 p = 0,52 n = 100 P(p>0,52) = ?
21,1
100
2484,0
06,0
100
54,046,0
46,052,0
n
PQ
PpZ
P ( z > 1,21) = 0,1131 P (p > 0,52) = 11,31%
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Lección No 9: Distribución Muestral de Diferencias de Medias y
de la Proporciones
9. Dos poblaciones.
En esta sección es importante destacar que ya no se trabaja con una sola
población sino con dos, de las cuales se extraen muestras respectivamente para
ser analizadas y que permitan inferir y comparar las dos poblaciones.
9.1. Distribución Muestral de Diferencia de Medias
Suponga que se tienen dos poblaciones distintas, la primera con media y
desviación estándar , y la segunda con media y desviación estándar . Más
aún, se elige una muestra aleatoria de tamaño n1 de la primera población y una
muestra independiente aleatoria de tamaño n2 de la segunda población; se calcula
la media muestral para cada muestra y la diferencia entre dichas medias. La
colección de todas esas diferencias se llama distribución muestral de las
diferencias entre medias o la distribución muestral del estadístico
Figura 11. Distribución muestral de diferencia de medias
Imagen tomada de:
http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/img/image811.gif
La distribución es aproximadamente normal para n1 30 y n2 30. Si las
poblaciones son normales, entonces la distribución muestral de medias es normal
sin importar los tamaños de las muestras. En ejercicios anteriores se había
demostrado que Y
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Así que:
Ecuación No.12
√
Ecuación No.13
La fórmula que se utilizará para el cálculo de probabilidad del estadístico de
diferencia de medias es:
( ) ( )
√
Ecuación No.14
Ejemplo
Cálculo de Probabilidades. Distribución de diferencia de medias
muestrales
El rendimiento de los autos de la marca A es de 20 kilómetros por galón de
gasolina (k.p.g), con una desviación estándar de 6 k.p.g. las cifras comparables
para los autos B son de 25 y 5,5 k.p.g. se supone que el rendimiento de cada una
de ambas marcas está normalmente distribuido. ¿cuál es la probabilidad de que
en un concurso, el rendimiento medio para 10 autos de la marca A sea mayor que
el de 9 autos de la marca B?
x = 20 y = 25 x = 6
y = 5,5 1n = 10
2n = 9
P( yx > 0) = ?
90,1
96,6
5
36,36,3
50
9
25,30
10
36
25200
Z
P( yx > 0) = 0,5000 - 0,4713 = 0,0287 = 2,87%
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9.2. Distribución muestral de diferencias de dos proporciones
Muchas aplicaciones involucran poblaciones de datos cualitativos que deben
compararse utilizando proporciones o porcentajes. A continuación se citan algunos
ejemplos:
Educación.- ¿Es mayor la proporción de los estudiantes que aprueban
matemáticas que las de los que aprueban inglés?
Medicina.- ¿Es menor el porcentaje de los usuarios del medicamento A que
presentan una reacción adversa que el de los usuarios del fármaco B que
también presentan una reacción de ese tipo?
Administración.- ¿Hay diferencia entre los porcentajes de hombres y
mujeres en posiciones gerenciales.
Ingeniería.- ¿Existe diferencia entre la proporción de artículos defectuosos
que genera la máquina A a los que genera la máquina B?
Cuando el muestreo procede de dos poblaciones binomiales y se trabaja con dos
proporciones muestrales, la distribución muestral de diferencia de proporciones es
aproximadamente normal para tamaños de muestra grande (n1p1 5, n1q1 5,n2p2
5 y n2q2 5). Entonces p1 y p2 tienen distribuciones muestrales aproximadamente
normales, así que su diferencia p1-p2 también tiene una distribución muestral
aproximadamente normal.
Figura 12. Distribución muestral de diferencia de proporciones
Imagen tomada de:
http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/img/image816.gif
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66
En el caso de dos poblaciones independientes de tamaño 1N y
2N , distribuidas
binomialmente, con parámetros, medias poblacionales 1P y
2P (también se
pueden representar las medias por 1P y
2P ) y desviaciones proporcionales 1P
y 2P , siendo: 111
QPP y 222QPP .
El error estándar de las diferencias entre las dos medias proporcionales estará
dada por:
2
22
1
11
21 n
QP
n
QPPP Cuando son valores poblacionales
Cuando 1n y
2n corresponden a muestras grandes, es decir, ambas superiores a
30:
2
22
1
11
21 n
qp
n
qps PP
La media de las diferencias entre dos medias proporcionales, se simboliza por:
212121PPPPPP
La variante estadística Z, estará dada en la misma forma en que fue presentada para diferencias entre dos medias muéstrales:
2
22
1
11
2121
2
22
1
11
21 21
n
qp
n
qp
PPpp
n
QP
n
QP
ppZ
PP
cuando
1n y 2n > 30
Ejemplo
Cálculo de Probabilidades. Distribución de diferencia de proporciones muestrales
Consideremos dos máquinas que producen un determinado artículo, la primera
produce por término medio un 14% de artículos defectuosos, en tanto que otra,
produce el 20% de artículos defectuosos; si se obtienen muestras de 200
unidades en la primera y 100 unidades en la segunda, ¿Cuál es la probabilidad
que difiera A de B en 8% o más?
P( 08,021 PP ) = ? 1n = 200
2n = 100 1P = 0,14
2P = 0,20
21 PP = 0,14 – 0,20 = -0.06
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21 pp = 8% = 0,08
98,2
047,0
14,0
100
8,02,0
200
86,0014
06,008,0
Z
P( 08,021 PP ) = 0,0014 = 0,14%
Lección No 10: Tamaño de la muestra para estimar la media, la
proporción y el total de la Población
10. Tamaño de muestra
En el apartado anterior se analizó la forma de estimar los parámetros de la
población: P 2 Promedio, Varianza, total y proporción poblacional
respectivamente. Pero siempre que se realiza una investigación se debe definir el
tamaño de la muestra. Tomar observaciones para una muestra cuesta dinero, por
lo cual se debe tomar la muestra adecuada, que de la información necesaria y a
costos razonables. Una muestra mal tomada arroja información inadecuada, lo
que hace perder tiempo y dinero.
10.1. Tamaño de la Muestra para estimar µ:
Determinar el número de observaciones que harán parte de la muestra, para
estimar µ, con un límite de estimación B definido, se obtiene a partir de la
ecuación del error de estimación.
10.1.1. Para poblaciones Finitas y Varianza Poblacional Conocida:
1
2
)2/1(N
nN
nZB
Ecuación No.15
Despejando n, se obtiene:
222
22
)2/1(
)1(
ZBN
NZn
Ecuación No.16
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Ejemplo
Un Banco desea identificar el promedio de cuentas por cobrar, estudios previos
han determinado que la variación de las cuentas está en $1.000. El Banco cuenta
con 1.400 clientes activos. Si el límite de error de estimación es de $50 ¿Cuál
debe ser el tamaño de la muestra a un nivel de significancia del 5%?
Se trata de una población finita. Por teoría la amplitud de variación es 4 veces la
desviación típica: A = 4σ entonces: σ = A/4 = 1.000/4 = 250
Z(1-α/2) = Z0,975 = 1,96
222
22
222
22
)2/1(
)250()96,1()50)(11400(
400.1)250()96,1(
)1(
ZBN
NZn
93,89100.240500.497'3
000.140'336
)250()96,1()50)(11400(
400.1)250()96,1(222
22
n
En las condiciones dadas, la muestra debe ser de n = 90 cuentas.
10.1.2. Para Poblaciones Infinitas y Varianza Poblacional Conocida:
Cuando N es muy grande, se asume una población infinita, en estos casos N –
1 se aproxima a N, entonces N – n ~ N, así se puede obtener el tamaño de una
muestra para poblaciones infinitas.
nZB
2
)2/1(
Ecuación No.17
Entonces:
2
22
)2/1(
B
Zn
Ecuación No.18
Ejemplo
En un estudio sobre el tamaño de las manos para el diseño de guantes, se
estableció que la longitud de estas sigue una distribución normal. Por datos
conocidos se sabe que la desviación típica es de 1,5 cm. ¿Cuál será el tamaño de
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69
la muestra para estimar el promedio de la longitud de los guantes, si se asume un
error de estimación de 0,5 cm. y un nivel de significancia del 5%?
Z(1-α/2)=Z0,975 = 1,96
B = 0,5 y σ = 1,5
Según el problema la población es infinita, entonces:
57,34)5,0(
)5,1()96,1(2
22
2
2
)2/1(
B
Zn
En tamaño requerido para estimar la media de la longitud de los guantes, con un
error de estimación de 0,5 cm. y un nivel de significancia del 5% debe ser de n =
35 observaciones.
10.2. Tamaño de la Muestra para estimar P:
En muchos estudios el Investigador está interesado en estimar la proporción de
población que tienen la característica, como la proporción de dietas preparadas
del total de dietas planeadas, la proporción de aves con un peso definido respecto
al total de aves pesadas, el porcentaje de personas que observan un programa de
televisión respecto al total de la población potencial que puede ver la televisión.
Dichos fenómenos son de tipo binomial.
Se sabe que:
n
i
iyn
p1
1 Para yi = 1.
El número de observaciones necesarias para estimar la proporción poblacional,
con un límite de error de estimación asumido B y un nivel de significancia
definido, está dado a partir de la ecuación del error de estimación.
N
nN
n
qpZB
1
*)2/1(
Ecuación No.19
Despejando n se obtiene:
qpZNB
NBNqpZn
*
*2
)2/1(
2
22
)2/1(
Ecuación No.20
NOTA: Cuando no se conoce o no se puede determinar el valor de p, entonces se
asume como un caso dudoso y en estos casos p = 0,5
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70
Ejemplo
En una ciudad se desea realizar una encuesta para determinar la proporción de
habitantes que están de acuerdo con el consumo de cigarrillo. La ciudad tiene
7.500 habitantes y por estudios previos se ha determinado que de cada 100
habitantes, 15 están de acuerdo. ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra para
estimar la proporción poblacional P; con un límite de error de estimación de 0,05 y
un nivel de significancia del 5%.
Por los datos:
15,0100
15p
Luego 85,015,01 q
Aplicando la ecuación correspondiente:
)85,0)(15,0()96,1()05,0)(500.7(
)05,0)(500.7()500.7)(85,0)(15,0()96,1(
*
*22
22
2
)2/1(
2
22
)2/1(
qpZNB
NBNqpZn
4898,075,18
75,1853,3673
)85,0)(15,0()96,1()05,0)(500.7(
)05,0)(500.7()500.7)(85,0)(15,0()96,1(22
22
n
908,1912398,19
28,3692
4898,075,18
75,1853,3673
n
Por consiguiente se debe tomar una muestra de 192 habitantes para estimar la
proporción poblacional, con un límite de error de 0,05 y un nivel de confianza de
95%.
Ejemplo
En una compañía de 3.500 empleados, se desea saber la proporción de
empleados que están a favor de la organización de un Sindicato. El investigador
tomo una muestra de 400 empleados fruto del cálculo respectivo; además, asume
un nivel del 5%. Por ser una compañía relativamente nueva, NO hay datos al
respecto. ¿De qué valor fue tomado el error de estimación del muestreo?
Inicialmente por no conocer proporciones anteriores, entonces se asume un
fenómeno dudoso, así p = 0,5 luego q = 0,5. Conocemos el tamaño de la
población y de la muestra. Debemos despejar B de la ecuación del tamaño
muestral.
qpZNB
NBNqpZn
*
*2
)2/1(
2
22
)2/1(
Despejando B:
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71
500.3500.3*400
000.4*5,0*5,0*)96,1(500.3*5,0*5,0*)96,1(** 222
)2/1(
2
)2/1(2
NnN
nqpZNqpZB
002132,0500.396'1
24,977.2
500.3500.3*400
000.4*5,0*5,0*)96,1(500.3*5,0*5,0*)96,1( 222
B
04617,0002132,0 B
El error de estimación tomado fue casi de 0,04617, es decir casi 0,05
Ejemplos
1. El mantenimiento de cuentas puede resultar demasiado costoso, si el promedio
de compra por cuenta baja de cierto nivel. El gerente de un gran almacén por
departamentos desea estimar el promedio de lo comprado mensualmente por los
clientes que usan la cuenta de crédito, con un error de $1.500, y una probabilidad
aproximada de 0,95. ¿Cuántas cuentas deberá seleccionar, si sabe que la
desviación estándar es de $30.000, la cual fue obtenida de los balances
mensuales de la cuenta de crédito?
n = 2
22
E
Z =
2
22
500.1
000.302 = 1.600 cuentas se deben seleccionar
2. un auditor desea tener un nivel de confianza del 95%, para que la verdadera
proporción de error no exceda del 2%. Si la población es muy grande, ¿Qué
tamaño tendrá la muestra que va a tomarse, si el auditor estima que la proporción
de error es del 5%?
n = 2
2
E
PQZ =
2
2
02,0
95,005,02 = 475 cuentas
Calculo de n en poblaciones finitas
La fórmula más utilizada para el tamaño óptimo en el muestreo aleatorio simple,
cuando la población es finita, se obtiene:
n =
N
n
n
o
o
1
donde: 2
22
E
Zno
En variables
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72
n =
N
n
n
o
o
1
donde: 2
2
E
PQZno En proporciones
10.3. Tamaño de la Muestra para estimar Г:
El número de observaciones necesarias para estimar Г, el total poblacional, con
un límite de error de estimación asumido B y un nivel de significancia definido,
está dado a partir de la ecuación del error de estimación, partiendo que se conoce
la varianza poblacional.
1
22
)2/1(N
nN
nNZB
Ecuación No.21
Despejando n se obtiene:
222
)2/1(
2
232
)2/1(
)1( NZBN
NZn
Ecuación No.22
Ejemplo
Una compañía que hace estudios a nivel social, desea estimar el total de ingresos
de una población de 3.000 habitantes que tiene ingresos. Por estudios previos se
sabe que la varianza poblacional para los ingresos es de $40.000 ¿Cuántas
personas se deben tomar como muestra, si se asume un límite de error de
estimación de $100.000 y un nivel de confianza del 95%?
Los datos:
N = 3.000
σ2 = 40.000
B = 100.000
Entonces:
222
)2/1(
2
232
)2/1(
)1( NZBN
NZn
Para Z(1-α/2) = Z0,975 = 1,96 Reemplazando en la ecuación:
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73
000.40)000.3()96,1()000.100)(1000.40(
000.40)000.3()96,1(222
32
n
281,71001372976,4
109225,2
10382976,1109999,3
10148928,414
15
1214
15
X
X
XX
Xn
Por consiguiente para estimar el promedio de ingresos de la población objeto de
estudio, con un nivel de confianza del 95% y el error de estimación de $40.000, se
debe tomar una muestra aleatoria de 8 personas.
10.4. Tamaño de muestra para la diferencia de dos medias
Para calcular los tamaños de muestras en estos casos, se presentan dos
situaciones:
Tamaños de muestras iguales
Tamaños de muestras diferentes Para el primer caso no se tiene ningún problema porque al ser n1 sería igual n2
Se calcula una sola muestra de tamaño “n”
(
)
Ecuación No.23
Para el segundo caso se calcula una “n” en función de la otra así.
(
)
Ecuación No.24
10.5. Tamaño de muestra para la diferencia de dos proporciones
En este caso se calculan los tamaños con los mismos criterios anteriores, es decir
para muestras de igual tamaño y tamaños desiguales, así:
Tamaños Iguales:
( )
Ecuación No.25
Tamaños Desiguales:
( )
Ecuación No.26
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74
CAPITULO TRES: INTERVALOS DE CONFIANZA
Introducción
El problema que presenta la estimación puntual de un parámetro reside en que
no garantiza ni mide la precisión de la estimación. Sólo la bondad de ajuste y el
tamaño de la muestra pueden proporcionar una mayor o menor confianza en la
estimación obtenida. Por esta razón es necesario dar, junto a la estimación, una
medida del grado de confianza que se merece, la cual se consigue mediante un
intervalo de confianza que proporcione unos límites dentro de los cuales se
confía esté el valor desconocido del parámetro. Esta confianza de inclusión se
mide mediante un porcentaje.
Con frecuencia se encuentra información como la siguiente:
El peso de un objeto es 104 más o menos 2 gramos.
El diámetro de un tornillo es de 8 más o menos 0.05 milímetros.
El contenido de proteínas de la carne de pollo es de 20.2 más o menos 1%.
En estos casos y otros similares se quiere indicar que la media verdadera se
encuentra en algún lugar entre el intervalo.
Lo anterior indica que existe la probabilidad de error en la medición y además no
se puede estar absolutamente seguro que el verdadero valor se encuentre
dentro del intervalo obtenido. Nótese que si el intervalo se hace más amplio
aumenta la posibilidad que se incluya el verdadero valor de la media.
Objetivo general
Mostrar los diferentes métodos para calcular los intervalos de confianza, a partir
de muestras grandes y pequeñas, para estimar los parámetros poblacionales de
una media y proporción, así como para la diferencia de medias y proporciones.
Objetivos específicos
Calcular el intervalo de confianza para estimar el parámetro poblacional a
partir de muestras pequeñas, para una media y una proporción.
Calcular el intervalo de confianza para estimar el parámetro poblacional a
partir de muestras grandes, para una media y una proporción.
Calcular el intervalo de confianza para la diferencia de dos medias y dos
proporciones.
Exponer el uso de cálculo de intervalos de confianza utilizando paquetes de
Excel y SSPS.
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75
Lección No 11: Nociones Fundamentales.
En estadística muchos problemas exigen construir conjuntos (intervalos) que
contengan el verdadero valor del parámetro en estudio con una probabilidad
dada generalmente alta. Si por ejemplo X representa los grados de grasa de
una margarina se puede estar interesado en encontrar los límites bajos y altos
aceptables para este tipo de producto; pero no se puede asegurar con
probabilidad de uno que el verdadero valor se encuentre entre estos dos límites,
lo máximo que se puede lograr es elegir un número uno menos alfa ( 1 ) que
esté muy próximo a uno (recuerde que alfa es el nivel de significación o error
tipo uno) tal que la probabilidad que el verdadero valor se encuentre entre estos
dos límites inferior y superior sea mayor o igual a uno menos alfa.
En la práctica se elige un alfa fijo generalmente pequeño 0.01 o 0.05. La
probabilidad que la afirmación del intervalo incluya al parámetro sea cierta es
por lo menos (1 ) ; por lo tanto la probabilidad que la afirmación sea falsa es
por lo más un alfa. Un intervalo de confianza dado que incluya o no el verdadero
valor del parámetro, esto nunca se conoce con exactitud al menos que se
conozca el parámetro, pero se sabe que se tendrá éxito en encontrar el valor
verdadero del parámetro dentro de este tipo de intervalos por lo menos en el
(1 ) 100% de las veces.
Los dos tipos de problemas que resuelven las técnicas estadísticas son:
estimación y contraste de hipótesis. En ambos casos se trata de generalizar la
información obtenida en una muestra a una población. Estas técnicas exigen
que la muestra sea aleatoria. En la práctica rara vez se dispone de muestras
aleatorias, por la tanto la situación habitual es la que se esquematiza en la figura
Figura 13. Estimación
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76
Entre la muestra con la que se trabaja y la población de interés, o población
diana, aparece la denominada población de muestreo: población (la mayor parte
de las veces no definida con precisión) de la cual nuestra muestra es una
muestra aleatoria. En consecuencia la generalización está amenazada por dos
posibles tipos de errores: error aleatorio que es el que las técnicas estadísticas
permiten cuantificar y críticamente dependiente del tamaño muestral, pero
también de la variabilidad de la variable a estudiar y el error sistemático que
tiene que ver con la diferencia entre la población de muestreo y la población
diana y que sólo puede ser controlado por el diseño del estudio.
11. Estimación.
El objetivo principal de la estadística inferencial es la estimación, esto es que
mediante el estudio de una muestra de una población se quiere generalizar las
conclusiones al total de la misma. Como vimos en la sección anterior, los
estadísticos varían mucho dentro de sus distribuciones muestrales, y mientras
menor sea el error estándar de un estadístico, más cercanos serán unos de otros
sus valores.
Gráfico No.7 Estimación
La inferencia estadística está casi siempre concentrada en obtener algún tipo de
conclusión acerca de uno o más parámetros (características poblacionales). Para
hacerlo, se requiere que un investigador obtenga datos muestrales de cada una de
las poblaciones en estudio. Entonces, las conclusiones pueden estar basadas en
los valores calculados de varias cantidades muestrales. Por ejemplo,
representamos con (parámetro) el verdadero promedio de resistencia a la
ruptura de conexiones de alambres utilizados para unir obleas de
ESTIMACION
Puntual:
Una estimación puntual es un único valor estadístico y se usa para estimar un parámetro. El estadístico usado se denomina estimador
Por intervalos:
Una estimación por intervalo es un rango, generalmente de ancho finito, que se espera que contenga el parámetro, de la forma (a, b)
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77
semiconductores. Podría tomarse una muestra aleatoria de 10 conexiones para
determinar la resistencia a la ruptura de cada una, y la media muestral de la
resistencia a la ruptura se podía emplear para sacar una conclusión acerca del
valor de . De forma similar, si es la varianza de la distribución de resistencia a
la ruptura, el valor de la varianza muestral s2 se podría utilizar para inferir algo
acerca de .
11.1. Estimación puntual
Cuando se analizan conceptos generales y métodos de inferencia es conveniente
tener un símbolo genérico para el parámetro de interés. Se utilizará la letra
griega para este propósito. El objetivo de la estimación puntual es seleccionar
sólo un número, basados en datos de la muestra, que represente el valor más
razonable de .
Una estimación puntual de un parámetro es un sólo número que se puede
considerar como el valor más razonable de . La estimación puntual se obtiene al
seleccionar una estadística apropiada y calcular su valor a partir de datos de la
muestra dada. La estadística seleccionada se llama estimador puntual de .
El proceso de estimación conlleva a obtener un estimador que tenga ciertas
condiciones deseables para hacer inferencia sobre el modelo de probabilidad que
ha generado los datos. Entre los métodos de estimación de la estadística
paramétrica, se tiene: Momentos, mínimos cuadrados y máxima verosimilitud.
Gráfico No.8 Estimación puntual
ESTIMACIÓN PUNTUAL
Una estimación puntual es un único valor estadístico y se usa para estimar un parámetro. El estadístico usado se denomina estimador
Media poblacional
Proporción Total
poblacional De
proporciones Diferencias de
medias
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78
11.2. Intervalos de confianza
Es un conjunto de valores formado a partir de una muestra de datos, de forma que
exista la posibilidad de que el parámetro poblacional se encuentre en dicho
intervalo, cuyos extremos son aleatorios; con una probabilidad especifica que
efectivamente se encuentre allí el parámetro, llamada nivel de confianza (NC).
La estimación por intervalo se calcula al sumar o restar al estimador puntual una
cantidad llamada margen de error. La fórmula general de una estimación por
intervalo es:
Dependiendo del estadístico a usar el margen de error puede ser:
Tabla 12:
Margen de error
MARGEN DE ERROR
Se conoce la varianza
Poblacional
Estadístico
Si No
Media (
) (
)
Gráfico No.9 Intervalos de confianza
Clic acá para ver Recurso: Mapas conceptuales intervalos de confianza
INTERVALOS DE CONFIANZA
UNA POBLACIÓN
MUESTRAS GRANDES n
>=30
Proporción
Media
MUESTRAS PEQUEÑAS
n<30
Media
DOS POBLACIONES
MUESTRAS GRANDES n>=30
Diferencia de medias
Diferencia de proporciones
MUESTRAS PEQUEÑAS n<30
Diferencia de medias
VARIANZA
𝐸𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ±𝑀𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟
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Tabla 13. Valores de Z y Z más frecuentemente utilizados
Za
Test unilateral Test bilateral
0.200
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.842
1.036
1.282
1.645
1.960
2.326
1.282
1.440
1.645
1.960
2.240
2.576
Potencia
(1-) Zb
0.01
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.99
0.95
0.90
0.85
0.80
0.75
0.70
0.65
0.60
0.55
0.50
2.326
1.645
1.282
1.036
0.842
0.674
0.524
0.385
0.253
0.126
0.000
Nivel de Confianza y significancia.
La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el
intervalo construido se denomina nivel de confianza, y se denota . La
probabilidad de equivocarnos se llama nivel de significancia y se simboliza .
Generalmente se construyen intervalos con confianza 9 (o significancia
. Menos frecuentes son los intervalos con o .
VIDEOS
Intervalo de
confianza para la
media
Intervalo de confianza
para la diferencia de
medias
Intervalo de
confianza para la
proporción
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80
Lección 12. Intervalos de confianza para medias y diferencias de
medias con muestras pequeñas 30n
La inferencia de la distribución muestral de la media en muestras grandes es una
curva normal. Con mucha frecuencia la varianza se desconoce 2σ en los
problemas de la vida real. Cuando se desconoce la varianza el estadígrafo z ya no
puede utilizarse para obtener intervalo de confianza. Parece lógico desarrollar
procedimientos en los cuales se utilice 2S en lugar de 2σ , de esta manera en lugar
del estadígrafo z utilizaremos el para deducir inferencias acerca de la media. Si
la media de la población es μ la distribución muestral de 1-nt es una distribución t,
teniendo en cuenta que las observaciones, x1, x2, x3,… xn son elegidas
aleatoriamente y extraídas de una población normal.
Entonces, queda claro que cuando las muestras son pequeñas la distribución
muestral es la distribución t. Esta se caracteriza porque es más puntual que la
distribución normal, reuniendo mayor proporción de casos en los extremos de la
curva a diferencia de la distribución normal.
La distribución t a medida que el tamaño de la muestra "n" aumenta, tal
distribución t se va pareciendo más a la normal, de tal modo que cuando n > 30
no existen diferencias entre la distribución normal y la distribución t. Entonces,
cuando n < 30 existe una curva diferente para cada valor de "n".
Grados de libertad.
Números de elementos en una muestra que pueden variar después de haber
seleccionado cierto número de ellas. Supóngase que existen dos elementos en
una muestra y se conoce la media. Se tiene libertad para especificar sólo uno de
los dos valores, ya que el otro queda determinado automáticamente; queda claro
que el total de los dos valores es dos veces la media.
Ejemplo
Si la media es de $ 6 pesos es posible elegir sólo un valor. Si se elige $ 4 pesos el
otro valor es $ 8, ya que $ 4 + $ 8 = 12 /2 = $ 6. Así que hay un grado de libertad
en este ejemplo. Se podría haber determinado mediante n - 1 = 2 - 1 = 1 grados
de libertad. Si n=4, entonces hay 3 grados de libertad, lo que se obtiene mediante
n - 1 = 4 – 1 = 3.
1nt
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81
En general, para la distribución t de Student, se puede decir que el número de
grados de libertad es igual al tamaño de la muestra o número de datos menos
uno, es decir: g.l =
12. Pasos para la construcción de un Intervalo de confianza para la media
μ, muestras pequeñas.
1. Determinar el nivel de confianza al que vamos a trabajar.
2. Obtener los grados de libertad g • L = n – 1
3. Calcular el valor t correspondiente al nivel de confianza fijado con
grados de libertad y con ayuda de la tabla del anexo.
4. La tabla se divide en 10 columnas. La primera indica los grados de
libertad, y las siguientes columnas corresponden a los niveles de
significancía que son 0.5, 0.4, 0.2, 0.1, 0.05, 0.025, 0.010, 0.005 y
0.001
5. De esta manera para un valor t correspondiente a un nivel de
significancía del 10% y 18 grados de libertad hay que buscar la
intersección de la columna del 10% y la fila donde aparezca 18 (grados)
g • 1, obteniendo un valor de t = 1.734
6. Calcular el error típico de la media y determinar el error muestral
7. Determinar el intervalo de confianza para la media de la población,
sumando y restando a la media de la muestra ( x ) el error muestral así:
n
StX
Ecuación No.27
1nt
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82
con n – 1 grados de libertad y el valor de t depende del nivel de confianza.
Ejemplo Intervalo de confianza para pequeñas muestras
Una muestra de 10 cajas de atún dio un peso neto medio de 184 gramos y una
desviación estándar de 3.0 gramos. Encontrar los límites de confianza con un 95%
para el verdadero peso promedio de todas las latas de atún.
La siguiente grafica nos ayuda a comprender la presente situación:
Gráfico No.10 Distribución t-student con 9 grados de libertad
En la tabla de la distribución t con 9 grados de libertad y un nivel de significancia
del 5% para dos colas, se registra un valor de 2.262 como valor crítico. (Recuerde
que es a dos colas.
El intervalo de confianza para la media de peso de todas las cajas de atún está
dado por:
± (
) ± 6 (
) ± 6 ( 6 )
Se interpreta que las cajas de atún tienen un promedio de peso entre 181.85 y
186.14 gramos con un nivel de confianza del 95% y expresado matemáticamente
es: ( 6 ) 9
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
Pro
bab
ilid
ad
Valor estadístico t
Distribución T-student con V grados de libertad
/2 0,025 1 0,95/2 0,025
1 0,95
-2,26 +2.26
Grados de Libertad n-1 =
10 - 1= 9
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La tabla t-student que se usa en este módulo es a dos colas, por
tanto deben ubicarse en la columna directamente del nivel de
significancia que se esté aplicando, es decir, si el alfa es de 5% se
ubica en la columna del 0,05 y busca los grados de libertad
correspondiente.
Clic acá para descargar tablas
12.1. Intervalos diferencias de medias, varianzas desconocidas pero
iguales ( = = )
Cuando las varianzas son desconocidas, se debe realizar previamente una prueba
estadística para verificar si éstas son iguales o diferentes. Para realizarlo debemos
hacer uso de la distribución F, bien sea mediante el cálculo de la probabilidad de
que la muestra tomada provenga de dos poblaciones con varianzas iguales, o
mediante el uso de un intervalo de confianza para la relación de dos varianzas,
según se estudiará más adelante.
Gráfico No.11 Intervalos de confianza para diferencia de medias
INTERVALO PARA LA
DIFERENCIA DE MEDIAS
(varianza desconocida )
Verificar si las varianzas son iguales usando la prueba F
F
SI.
Aplicar la fórmula:
𝛼 ⁄
El limite inferior se obtiene restandole a la diferencia de medias muestrales lo que da la fórmula y
el limite superior sumando.
NO.
Usar fórmula de intervalo para la diferencia de medias
pero con varianzas desiguales
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Primera fase: Probar varianzas iguales
Gráfico No.12 Distribución F. Prueba varianzas iguales
Ejemplo Prueba para determinar si las varianzas son iguales.
Para encontrar si un nuevo suero detiene la leucemia, se seleccionan nueve
ratones, todos con una etapa avanzada de la enfermedad. Cinco ratones reciben
el tratamiento y cuatro no. Los tiempos de sobrevivencia en años, a partir del
momento en que comienza el experimento son los siguientes:
Con Tratamiento 2.1 5.3 1.4 4.6 0.9
Sin Tratamiento 1.9 0.5 2.8 3.1
Con un nivel de significancia del 0.05 pruebe que las varianzas son iguales.
Datos:
Con tratamiento Sin tratamiento
6
s= 1.97 s = 1.1672
n = 5 n = 4
Estadístico de prueba: F
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La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor . En este
caso la desviación más grande corresponde a la muestra “con tratamiento”.
Entonces los grados de libertad se calculan restándole 1 al tamaño de la muestra;
ya que con tratamiento se ubica en el numerador, los grados de libertad de dicho
numerador son 4.
GL1= 5-1 = 4 y GL2 = 4-1=3.
Gráfico No.13 Prueba de varianzas iguales. Tratamiento de leucemia
Para hallar un valor crítico en la tabla de la F, se debe tener en cuenta que dichos
valor está calculando el área bajo la curva hacia la derecha del mismo, es decir,
determinan el área por arriba del valor critico.
Si quiere determinar el valor en la tabla F que deja por encima el 2.5% del área,
debe hacer en Excel: =DISTR.F.INV(0,025;4;3)=15,1
Si quiere determinar el valor en la tabla F que deja por encima el 97.5% del área,
debe hacer en Excel: =DISTR.F.INV(0,975;4;3)=0.10
VIDEOS :
Regla de decisión:
Clic para ver video:
Valores críticos en la
tabla F
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Si 0.10 Fc 15.1 no hay evidencia para decir que las varianzas NO son iguales,
Si la Fc < 0.10 ó si Fc > 15.1 las varianzas No son iguales.
Cálculo:
F
9
6
Decisión y Justificación:
Como 2.85 esta entre los dos valores de Ho no se rechaza , y se concluye con
un = 0.05 que existe suficiente evidencia para decir que las varianza de las
poblaciones son iguales.
Si mediante el uso de la distribución F se llega a la conclusión de que las
varianzas son iguales, el procedimiento a seguir para el cálculo del intervalo de
confianza para la diferencia de dos medias será el siguiente:
Pasos después de verificar que las varianzas son iguales:
a) El estadístico usado como estimador puntual de la diferencia de medias µ1 - µ2
será T, que es un estimador suficiente.
b) La variable aleatoria asociada con el estimador será la variable T definida como:
Ecuación No.28
Donde es un estimador combinado de , mejor que
o por separado, y
( ) ( )
Ecuación No.29
Segunda fase: intervalo de confianza
𝑇 𝑋 𝑋
𝜇 𝜇
𝑆𝑝 𝑛
𝑛
≈ 𝑡𝛼 ⁄ 𝑛 𝑛
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c) Para calcular el intervalo de confianza se debe tener en cuenta la siguiente
probabilidad:
[
𝛼
⁄
( )
𝛼
⁄
]
Ecuación No.30
De nuevo, manipulando la expresión anterior en forma similar a los casos se llega
al siguiente teorema que nos define el intervalo de confianza para la diferencia
entre dos medias µ1 - µ2 con varianzas desconocidas y
, pero iguales:
Teorema. Si , , y
son las medias y las varianzas de dos muestras
aleatorias de tamaños n1 y n2, respectivamente, tomadas de dos poblaciones
normales e independientes con varianzas desconocidas pero iguales, entonces un
intervalo de confianza del 100(1- )% para la diferencia entre medias µ1 - µ2 es:
Ecuación No.31
Si el intervalo de confianza que se construye contiene al cero (0) no
existe diferencia significativa entre las medias .
𝑋 𝑋
𝑡𝛼 𝑛 𝑛
⁄ 𝑆𝑝√
𝑛
𝑛
𝜇 𝜇 𝑋 𝑋
𝑡𝛼 𝑛 𝑛
⁄ 𝑆𝑝√
𝑛
𝑛
Construcción de un intervalo de confianza
1. Se usa la ecuación No. 31
2. Calcular 𝑋 𝑋
3. Calcular la t-student con n1+n2-2 grados de libertad
4. Calcular el 𝑆𝑝 es la raíz del valor que se encuentre al reemplazar la ecuación No. 29
5. Calcular
𝑛
𝑛
6. Hallar los limites del intervalo:
(𝑋 𝑋
) 𝑡𝛼 𝑛 𝑛
⁄ 𝑆𝑝√
𝑛
𝑛
El limite inferior se encuentra al realizar la operación:
(𝑋 𝑋
) 𝑡𝛼 𝑛 𝑛
⁄ 𝑆𝑝√
𝑛
𝑛
El limite supeior se encuentra al realizar la operación:
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Recordar:
Con tratamiento Sin tratamiento
6
s= 1.97 s = 1.1672
n = 5 n = 4
𝑆𝑝 6
𝑋 𝑋
𝑡𝛼 𝑛 𝑛
⁄ 𝑆𝑝√
𝑛
𝑛
6 ( 6 )( 6 )
𝑋 𝑋
𝑡𝛼 𝑛 𝑛
⁄ 𝑆𝑝√
𝑛
𝑛
6 ( 6 )( 6 )
2. 𝑋 𝑋
6
3. 𝐺𝐿 entonces buscar en la tabla t-student, el valor para 7 grados de
libertad y 𝛼
T=2,365
4. 𝑆𝑝
(𝑛 )𝑆 (𝑛 )𝑆
𝑛 𝑛
( ) 7 ( ) 67
( ) 7 ( ) 67
7
recuerde que 𝑆 , debe ser siempre la desviación más grande
5.
𝑛
𝑛
0 6
6. El limite inferior se encuentra al realizar la operación:
El limite supeior se encuentra al realizar la operación:
Intervalo: (-1,87; 3,44)
Cómo el intervalo contiene al cero (0) no existen evidencia para decir que hay
diferencias entre las medias.
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Ejemplo Intervalo de confianza para pequeñas muestras
La siguiente tabla presenta los resultados de dos muestras aleatorias para comparar el
contenido de nicotina de dos marcas de cigarrillos.
Marca A Marca B
10 8
3,1 2,7
0,5 0,7
Suponiendo que los conjuntos de datos provienen de muestras tomadas al azar de
poblaciones normales con varianzas desconocidas, construya un intervalo de
confianza del 95% para la diferencia real de nicotina de las dos marcas.
Inicialmente mediante la distribución F debemos verificar si las varianzas son
iguales
( = = )
Buscando en la tabla de la distribución F para 7 grados de libertad en el
numerador y 9 en el denominador, vemos que los dos valores que acotan la zona
de aceptación son 0.207 y 4,197, entonces el F calculado 1,96 cae en la zona de
aceptación . Se concluye que no hay evidencia para rechazar la hipótesis de que
las varianzas sean iguales.
Como las varianzas son iguales, calculamos que está dado por:
El intervalo de confianza del 95% está dado por (t0.025,16 = 2.12):
Primera fase: Probar varianzas iguales
Segunda fase: intervalo de confianza
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( )⏟
⏟
⁄
96⏟
√
⏟
( )⏟
⏟
⁄
96⏟
√
⏟
La diferencia de medias ( ) esta en el intervalo (-0,2 ; 1,0)
Debido a que la diferencia real puede ser nula, ya que el intervalo construido
contiene al cero, no se puede concluir que existe una diferencia en el contenido de
nicotina de las dos marcas de cigarrillos.
Ejercicio propuesto
El gerente de una refinería piensa modificar el proceso para producir gasolina a
partir de petróleo crudo. El gerente hará la modificación sólo si la gasolina
promedio que se obtiene por este nuevo proceso (expresada como un porcentaje
del crudo) aumenta su valor con respecto al proceso en uso. Con base en
experimentos de laboratorio y mediante el empleo de dos muestras aleatorias de
tamaño 12, una para cada proceso, la cantidad de gasolina promedio del proceso
en uso es de 24.6 con una desviación estándar de 2.3, y para el proceso
propuesto fue de 28.2 con una desviación estándar de 2.7. El gerente piensa que
los resultados proporcionados por los dos procesos son variables aleatorias
independientes normalmente distribuidas con varianzas iguales. Con base en esta
evidencia, ¿debe adoptarse el nuevo proceso?
12.2. Intervalos para diferencias de medias y varianzas desconocidas y
desiguales
Si mediante el uso de la distribución F se llega a la conclusión de que las
varianzas son diferentes, el procedimiento a seguir para el cálculo del intervalo de
confianza para la diferencia de dos medias será el siguiente:
a. El estadístico usado como estimador puntual de la diferencia de medias µ1 -
µ2 será , que es un estimador suficiente
b. La variable aleatoria asociada con el estimador será la variable T definida
como:
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Estadístico de prueba para la diferencia de medias con varianzas desiguales
V: grados de libertad Donde V es:
c. El intervalo de confianza está dado por el siguiente teorema, basado en la
distribución t con n grados de libertad.
Teorema. Si
son las medias y las varianzas de dos muestras
aleatorias de tamaños n1 y n2, respectivamente, tomadas de dos poblaciones
normales e independientes con varianzas desconocidas y desiguales, entonces un
intervalo de confianza aproximado del 100( )% para la diferencia entre medias
µ1 - µ2 es:
Ecuación No.32
Ejemplo
Un fabricante de monitores prueba dos diseños de microcircuitos para determinar si
producen un flujo de corriente equivalente. El departamento de ingeniería ha obtenido los
datos siguientes:
Diseño 1 n1 = 16
s12 = 10
Diseño 2 n2 = 10
s22 = 40
𝑇𝑐 𝑥 𝑥 (𝜇 𝜇
)
√𝑆
𝑛 𝑆
𝑛
≈ 𝑡𝑣
𝑣 (𝑆
𝑛 𝑆
𝑛 )
[ (𝑆
𝑛 )
𝑛
]
[ (𝑆
𝑛 )
𝑛
]
𝑿𝟏 𝑿𝟐
𝒕𝜶𝟐⁄ 𝒗 √
𝑺𝟏𝟐
𝒏𝟏 𝑺𝟐𝟐
𝒏𝟐 𝝁𝟏 𝝁𝟐 𝑿𝟏
𝑿𝟐 𝒕𝜶
𝟐 𝒗⁄ √𝑺𝟏𝟐
𝒏𝟏 𝑺𝟐𝟐
𝒏𝟐
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Con = 0.05, se desea determinar si existe alguna diferencia significativa en el flujo
de corriente promedio entre los dos diseños, donde se supone que las dos
poblaciones son normales, pero no es posible suponer que las varianzas
desconocidas sean iguales.Tomado de la web del Instituto Tecnológico de
Chihuaha, México)
Estadístico de prueba:
F
0
0
La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor . En este
caso la desviación más grande corresponde a la muestra “Diseño 2”.
Entonces los grados de libertad GL1= 10-1 = 9 y GL2 = 16-1=15.
Gráfico No.14 Prueba de varianzas iguales. Diseño de microcircuitos
Decisión y Justificación:
Como 4 es mayor que 3.12, esta en la zona de rechazo, se concluye con un = 0.05 no existe suficiente evidencia para decir que las varianza de las poblaciones son iguales, por tanto se suponen varianzas diferentes.
Primera fase: Probar varianzas iguales
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⁄ √
Para poder buscar el valor de t en la tabla, se necesita saber el valor de los grados de libertad:
(
)
[ (
)
]
[ (
)
]
( 6
)
[( 6
)
6 ] [
(
)
]
Este valor se redondea al próximo menor que sería 11. Entonces los grados de libertad son 11.
Ver la tabla t-student en los Contenidos del curso, Anexo: Tablas estadísticas.
Recuerde que si el nivel de significancia es 0,05 debe ubicarse directamente en la columna 0,05 con 11 grados de libertad, ya que siempre un intervalo de confianza supone una distribución a dos colas y el Excel por defecto supone distribución a dos colas con la función =DISTR.T.INV, por tanto, no es necesario dividir el alfa en dos.
En el caso de las pruebas de hipótesis se pueden dar pruebas a una o dos colas, por ello cuando se utilice la tabla t-student del anexo si la prueba tiene un alfa de 0,05 y es a una cola, usted deberá ubicar la columna 0,10 ( es decir multiplica por dos el alfa antes de ver en la tabla).
Estadístico de prueba
Se aplica el estadístico de prueba para la diferencia de medias con varianzas
desiguales:
9 ( )
6
. 9
Y se compara con los valores encontrados en la tabla t-student con 11 grados de
libertad y un = 0.05
Segunda fase: intervalo de confianza
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Gráfico No.15 Intervalos de confianza. Diseño de microcircuitos
Justificación y decisión:
Como 0.1395 esta entre –2.201 y 2.201, no se rechaza la hipótesis de que las
diferencia de medias es cero. Se concluye con un = 0.05, que no existe
diferencia significativa en el flujo de corriente promedio entre los dos diseños.
El intervalo de confianza aplicando la ecuación No.32 es:
( . . ) √
( . . ) √
Al realizar los cálculos se tiene que el intervalo de confianza para la diferencia de
las medias del flujo corrientede los diseños es (-4,43; 5,033) el cual contiene al
número cero, por tanto no hay evidencia de diferencias entre los diseños, es decir
que producen un flujo de corriente equivalente y por tanto es indiferente el diseño
que seleccione el fabricante de monitores para los microcircuitos.
En el ejemplo anterior si en el intervalo no estuviera el cero, por ejemplo un
intervalo (0.12 ; 3) se concluiría que la diferencia entre los amperajes
promedios esta entre 0.12 y 3; además que el diseño 2 produce un flujo
promedio de corriente mayor, por lo cual el fabricante de monitores escogería
dicho diseño.
En el caso de que el intervalo no contenga al cero, se rechaza la
hipótesis de que las medias son iguales, por tanto al ser diferentes se
asume que 𝜇 es mayor que 𝜇
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Ejercicio propuesto
Cierto metal se produce, por lo común, mediante un proceso estándar. Se
desarrolla un nuevo proceso en el que se añade una aleación a la producción del
metal. Los fabricantes se encuentran interesados en estimar la verdadera
diferencia entre las tensiones de ruptura de los metales producidos por los dos
procesos. Para cada metal se seleccionan 12 ejemplares y cada uno de éstos se
somete a una tensión hasta que se rompe. La siguiente tabla muestra las
tensiones de ruptura de los ejemplares, en kilogramos por centímetro cuadrado:
Si se supone que el muestreo se llevó a cabo sobre dos distribuciones normales e
independientes, obtener los intervalos de confianza estimados del 95 y 99% para
la diferencia entre los dos procesos. Interprete los resultados
12.3. Intervalos unilaterales para diferencias de medias y varianzas
desconocidas e iguales
En algunas situaciones prácticas, no es necesario encontrar tanto el limite inferior
como el limite superior para el parámetro de interés, sino solo uno de ellos. Por
esta razón, ahora se contruirán intervalos unilaterales para la diferencia de medias
cuando las varianzas son desconocidas pero iguales.
Ejemplo
Usar los datos del ejemplo del fabricante de monitores que prueba dos diseños de
microcircuitos para determinar si producen un flujo de corriente equivalente, pero en este
caso construir un intervalo unilateral para diferencia de medias con varianzas
desconocidas pero iguales
Población1 Población2
Tamaño de la muestra = 16 10
Cuasi varianza = 10 40
Media muestral = 24,2 23,9
Nivel de confianza = 0,95
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Caso de varianzas poblacionales desconocidas pero iguales
Intervalo bilateral Intervalos unilaterales
to = 2,063898562 to = 1,71088208
Radio del intervalo = 3,835257238 Radio = 3,179261327
Límite infer.= -3,535257238 Cota inferior = -2,879261327
Límite super.= 4,135257238 Cota superior = 3,479261327
El procedimiento en el caso unilateral es idéntico al bilateral, en primer lugar se
prueba si las varianzas son iguales y luego se procede a calcular el intervalo de
confianza; pero en el caso unilateral cuando se calcula el estadístico teórico (ó
tabulado) se debe multiplicar por dos (2) el nivel de confianz alfa (); en excel se
obtiene con la función =DISTR.T.INV(2*(1-);n1+n2-2)
Los valores de la table se obtienen así:
Estadístico tabulado
to =DISTR.T.INV(2*(1-0,95);16+10-2)
Radio
Recordar:
√( )
( )
( ) √
( ) √
( ) ( )
√
Cota inferior y superior
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12.4. Intervalos unilaterales para diferencias de medias y varianzas
desconocidas y desiguales
Ejemplo
Usar los datos del ejemplo del fabricante de monitores que prueba dos diseños de
microcircuitos para determinar si producen un flujo de corriente equivalente, pero en este
caso construir un intervalo unilateral para diferencia de medias con varianzas
desconocidad pero desiguales.
Caso de varianzas poblacionales desconocidas y desiguales
Intervalo bilateral Intervalos unilaterales
Cuasivarianza1/Cuasivarianza2= 0,25
Grados de libertad= 11
to = 2,20098516 to = 1,795884819
Radio del intervalo = 4,733397564 Radio = 3,862196338
Límite infer.= -4,433397564 Cota inferior = -3,562196338
Límite super.= 5,033397564 Cota superior = 4,162196338
Los valores de la table se obtienen así:
Estadístico tabulado
to =DISTR.T.INV(2*(1-0,95);GL)
Radio
( )√
Cota inferior y superior
12.5. Intervalos de confianzas para diferencias entre dos medias con
muestras relacionadas o dependientes.
Cuando se comparan las medias de dos niveles es deseable que las
observaciones dentro de cada nivel sean lo más homogéneas posibles. Si existe
un efecto debido a factores externos éstos pueden neutralizarse mediante la
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aplicación del principio de la aleatoriedad. Esto se logra tomando las
observaciones en pares. Se supone que las condiciones exteriores son las
mismas para cada par, pero pueden variar de un par a otro. Por ejemplo, suponga
que se tiene un grupo de personas que se someten a una dieta para reducción de
peso, y para cada persona se lleva el registro del peso, en kgs, antes de la dieta, y
un tiempo razonable después de haber empezado la dieta. En este caso, el peso
de cada persona después de la dieta no es independiente del peso de la misma
persona antes de la dieta; por lo tanto estas dos variables están correlacionadas, y
si se quiere examinar el efecto de la dieta, se debe llevar el registro del peso para
la misma persona antes y después de la dieta.
Sean (X11, X21), (X12, X22),..., (X1n, X2n) los datos consistentes de n pares;
supondremos que las variables aleatorias X1 y X2 tienen medias µ1 y µ2, y
varianzas y
, respectivamente. Podemos suponer que el conjunto de datos
apareados son observaciones de un conjunto independiente de parejas de
variables aleatorias provenientes de una distribución normal bivariada
(X1 X2) ~ f(X1, X2), y que las diferencias D = X1 - X2 se distribuyen normalmente
con valor esperado ED y varianza .
Sea Dj la diferencia entre las variables aleatorias del j-ésimo par, es decir, Dj =
X1j-X2j. El valor esperado y la varianza de la diferencia entre las variables está
dado por:
Si las variables X1 y X2 se distribuyen normalmente, las diferencias estarán
distribuidas también de manera normal con media y varianza
Para estimar la media y la varianza de la diferencia, se debe tomar una muestra
aleatoria de tamaño n, antes y después, calcular la diferencia, y luego la diferencia
promedio y la varianza muestral de las diferencias, como se ilustra en el siguiente
cuadro.
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99
Dada la muestra aleatoria se calculan los siguientes estadísticos que servirán para
estimar la media y la varianza de la diferencia, y , respectivamente:
Sabemos que la siguiente variable aleatoria sigue una distribución normal
estándar:
Sin embargo, como
, no es conocido, lo podemos estimar mediante la varianza
muestral , en cuyo caso la siguiente variable aleatoria sigue una distribución t
con n-1 grados de libertad.
Usando la distribución t podemos calcular el intervalo de confianza para la media
de observaciones pareadas, el cual está dado por el siguiente teorema.
Teorema. Si y son la media y la desviación estándar muéstrales de la
diferencia de n pares aleatorios de mediciones normalmente distribuidas, entonces
un intervalo de confianza del ( ) para la diferencia de medias
Es:
𝛼 ⁄
𝛼
⁄
Ecuación No.33
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100
Ejemplo Intervalo de confianza diferencia de medias para pequeñas muestras
Se está investigando la utilidad de dos lenguajes de diseño para mejorar las tareas
de programación. Se le ha pedido a 12 programadores expertos, familiarizados
con los dos lenguajes, que codifiquen una función estándar con ambos lenguajes,
y se registra el tiempo requerido, en minutos, para realizar estas dos tareas. Los
datos obtenidos son los siguientes:
Encuentre un intervalo de confianza para la diferencia en los tiempos medios de
codificación. Use un nivel de confianza del 95%. ¿Existe alguna evidencia que
indique una preferencia por alguno de los dos lenguajes?
Tenemos que:
El intervalo de confianza está dado por:
Dado que la diferencia puede ser cero, se concluye que no hay evidencia para
rechazar la hipótesis de que ambos lenguajes requieren el mismo tiempo de
programación, y por lo tanto no hay preferencia por ninguno de los dos lenguajes.
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101
Lección 13. Intervalos de confianza para la media y diferencias de
medias muestras grandes 30n
13. Recordemos que para obtener un intervalo de confianza se procede
como sigue:
1. Se determina el riesgo de error que se quiere asumir al afirmar que el
parámetro (en este caso la media) se encuentra en el interior del
intervalo.
2. El intervalo de confianza se obtiene separando a izquierda y derecha
de la estimación del parámetro (en este caso la media) un múltiplo de
error estándar ( )n
. El múltiplo está determinado por el valor del
estadístico Z asociado al nivel de confianza escogido.
13.1. Para la construcción del intervalo de confianza para la media
poblacional μ, se han fijado los siguientes pasos:
1. Fijar el nivel de confianza α-1
2. Calcular la estandarización z de acuerdo al nivel de confianza
predeterminado a través de la tabla de la distribución normal N (0,1)
3. Calcular la media x y desviación típica S de la muestra.
4. Calcular el error típico de la media (desviación típica de la distribución
muestral)
5. Calcular el error muestral
6. Construir el intervalo de confianza, sumando y restando a la media de la
muestra ( x ) el error muestral.
Ecuación No.34
�� ± 𝑧 (𝜎
𝑛)
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102
Ejemplo
Suponga por ejemplo que Ud. está dispuesto a aceptar un riesgo de error de
05.0 ; entonces 95.01 , se trata de un intervalo de confianza del nivel 0.95.
Dado que esta probabilidad se distribuye simétricamente a los dos lados de la
media, se obtiene 0.475 a cada lado. Ahora bien, recuerde que no buscará en la
tabla el valor de Z asociado a una probabilidad de 0.95, ya que debe agregarle la
cola, que en este caso es la mitad del nivel de significancia alfa (es decir
/2=0,05/2=0,025), entonces lo que buscará es el valor Z asociado a una
probabilidad de 0.975 que es 1.96 (de acuerdo a la tabla de la distribución
normal) a la derecha de la media y de –1.96 a la izquierda, como se puede
apreciar en la siguiente gráfica:
Intervalo de confianza para grandes muestras
Gráfico No.16 Intervalo de confianza para muestras grandes
El intervalo de confianza está dado por la siguiente relación:
nX
nX
96.1;96.1
Expresado en forma generalizada, para poblaciones infinitas o si se muestrea sin
reemplazamiento una población finita, la relación es:
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nX
96.1
Si la población es finita o si se muestrea sin reemplazamiento una población finita,
la relación es la siguiente:
1N
nN
nZX
Ecuación No.35
Recuerde que Z depende del nivel de confianza que se fije y que si la desviación
estándar poblacional es desconocida, se utiliza como estima la desviación
muestral (S).
Podrá darse cuenta las semejanzas con los procedimientos utilizados para las
pruebas de hipótesis, vistas anteriormente para pruebas unilaterales y bilaterales.
Ejemplo
El contenido de proteínas de una muestra de 100 pollos criados en una
determinada granja dio una media de 20.2 gramos con una desviación estándar
de 1.14 gramos. Obtener el intervalo de confianza del 99% para el contenido
medio de proteína de todos los pollos de la granja.
Como el intervalo de confianza se distribuye simétricamente a los dos lados de la
media, en este caso a cada lado le corresponde una probabilidad de 0.495 (0.99/2
= 0.495). El valor de Z asociado a una probabilidad de 0.995 es 2.58.
El intervalo para la media será:
294.02.20100
14.158.22.20
n
SZX
El contenido medio de proteína de toda la población de pollos de la granja está
dentro de un intervalo de 19.91 y 20.49 gramos con un nivel de confianza del 99%,
y se expresa de la siguiente forma:
99.049.2091.19 P
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104
Ejemplo
Se toma una muestra al azar de 40 vasos de kumis de un lote de 500, dieron un
promedio de 76 calorías por cada 100 gramos con una desviación estándar 2.9
calorías. Obtener el intervalo de confianza del 95% para el contenido medio de
calorías para todo el lote.
Nótese que se trata de una población finita y muestreo sin reemplazamiento. El
valor de Z asociado a un nivel de confianza del 95% es 1.96 (0.95/2 = 0.475) de
acuerdo a la tabla de la distribución normal.
El intervalo de confianza en este caso está dado por:
87.076499
40500
40
9.276
1
N
nN
nZX
Por tanto el contenido medio de calorías del lote esta dentro del intervalo de 75.13
y 76.87 calorías con un 95% de nivel de confianza, y expresado matemáticamente
es: 95.087.7613.75 P
13.2. Intervalo de confianza para la diferencia entre dos medias.
El intervalo de confianza para la diferencia de medias de poblaciones infinitas está
dado por:
2
2
2
1
2
121
nnZXX
Ecuación No.36
Se analizó el contenido de vitamina A de una muestra de mantequilla y de una
muestra de margarina enriquecida. En la muestra de mantequilla formada por 40
potes de 100 gramos, el contenido medio de vitamina A fue de 4.86 unidades con
una desviación estándar de 0.06. En la muestra de margarina enriquecida formada
por 50 potes de 100 gramos el contenido medio de vitamina A fue de 5.0 unidades
con una desviación estándar de 0.08 unidades. Encontrar el intervalo de confianza
del 95% para la diferencia de contenido medio de vitamina A para el experimento
en mención.
Generalmente el mayor valor de la media se toma como 1X .
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105
El nivel de confianza del 95% corresponde un Z = 1.96.
Aplicando la fórmula se tiene:
029.014.000009.0000128.096.114.0
40
06.0
50
08.096.186.40.5
22
2
2
2
1
2
121
nn
ZXX
Por lo tanto se puede afirmar con un nivel del 95% que la diferencia de los dos
contenidos de vitamina A de la mantequilla y la margarina enriquecida se
encuentran entre 0.111 y 0.169 unidades.
Lección 14. Intervalos de confianza para la proporción y
diferencias de proporciones (siempre son muestras grandes)
30n
14. Las proporciones.
Siempre que se trabaje con proporciones la muestra debe ser grande.
14.1. Intervalo de confianza para proporciones.
Recuerde las propiedades de la distribución binomial y de las pruebas de hipótesis
vistan anteriormente.
El intervalo de confianza para la proporción de la población infinita y muestreo con
reemplazamiento está dada por:
n
PQZP
Ecuación No.37
En tanto que el intervalo de confianza para la proporción de la población finita y
muestreo con reemplazamiento está dada por:
1
N
nN
n
PQZP
Ecuación No.38
Donde el valor de Z depende del nivel de confianza deseado.
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106
Ejemplo
De un lote de 500 frascos de jugo se extrae una muestra de 50 frascos de los
cuales 43 cumplen con las especificaciones exigidas y 7 fueron rechazados. Hallar
el intervalo de confianza del 95% para la proporción de frascos de jugo aceptados
del lote de estudio.
Para un nivel de confianza de 95% el valor de Z = 1.96 (tabla de distribución
normal)
Aplicando la fórmula se tiene:
09.086.095.0049.096.186.0
499
450
50
)14.0)(86.0(96.186.0
1500
50500
50
50431
5043
96.150
43
1
N
nN
n
PQZP
Con un nivel de confianza del 95% la proporción de frascos aceptados fue de 0.77
y 0.95, es decir el nivel de aceptación está entre 380 y 480 frascos de lujo de un
lote de 500 frascos
14.2. Intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones.
El intervalo de confianza para la diferencia de proporciones de poblaciones
infinitas está dado por:
2
22
1
1121
n
qp
n
qpZPP
Ecuación No.39
En un supermercado se vende queso de dos marcas diferentes. En el mismo
período de tiempo se vende 380 de un total de 500 unidades de la marca A y 333
de un total de 450 unidades de la marca B. Hallar el intervalo de confianza del
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99% para la diferencia entre las proporciones de los quesos A y B que salen al
mercado y se venden.
Aplicando la fórmula de la diferencia de proporciones se tiene:
073.002.0450
)26.0)(74.0(
500
24.0)(76.0(58.274.076.0
450
450
117
450
333
500
500
120
500
380
58.2450
333
500
380
2
22
1
1121
n
qp
n
qpZPP
Por lo cual es de esperar con un nivel de confianza del 99% que la verdadera
diferencia de proporción de venta de los quesos A y B se encuentre entre –0.053 y
0.093. La diferencia de proporción negativa del límite inferior del intervalo indica
que en esta región la diferencia está a favor del queso B cuya proporción de venta
es menor en las muestras estudiadas.
Lección 15. Intervalos de confianza para la varianza poblacional.
Para ver cómo se aplica un intervalo de confianza para la varianza poblacional,
suponga que se está interesado en estimar la varianza poblacional para el
mecanismo de llenado de tal modo que la media de la cantidad de llenado sea de
16 onzas y es crítica la varianza de los llenados. Para el efecto se toma una
muestra de 20 envases llenos y se encuentra que la varianza de las cantidades de
llenado es 0025.02 s Sin embargo, no se puede esperar que esa varianza que
procede de una muestra de 20 envases, proporcione el valor exacto de la varianza
de la población de recipientes llenos con dicho producto. En consecuencia el
interés está es determinar un estimado de intervalo de la varianza poblacional.
Se utiliza el símbolo 2
para representar el valor de la distribución ji cuadrado que
da como resultado un área, o probabilidad, de a la derecha del valor ji
cuadrado establecido. Por ejemplo en la siguiente figura, se observa la distribución
ji cuadrado con 8523,322
025.0 que indica que el 2.5% de los valores de ji
cuadrado está a la derecha de 32,8523, y 90655,82
975.0 que indica que el 97.8%
de los valores de ji cuadrado está a la derecha de 8,90655. Consultan con la tabla
del anexo “G” que hace relación a la tabla de distribución de ji cuadrado, los
resultados son iguales.
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108
En la gráfica se puede observar que 0.95 o el 95% de los valores de la ji cuadrada
están entre 2
975.0 y 2
025.0 . Significa esto que existe una probabilidad del 95% de
obtener un valor de 2 tal que:
2
025.02
22
975.0
1
Sn
Esta ecuación define un estimado de intervalo, porque el 95% de todos los valores
posibles de
2
21
Sn se encuentran en el intervalo de
2
975,0 a 2
025.0 .
Gráfico No.17 Intervalo de confianza. Mecánismo de llenado.
Ahora se requiere llevar a cabo algunas operaciones algebraicas de la ecuación,
para determinar un estimado de intervalo de 2 de la varianza poblacional.
Realizando operaciones del extremo izquierdo de la ecuación se tiene:
2
22
975.0
1
Sn
despejando la varianza se tiene:
2
975.0
22 1
Sn
realizando operaciones semejantes con la desigualdad del extremo derecho de la
ecuación se tiene:
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,0
01 2 4 6 8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
Distribución Chi-Cuadrado. Función de Densidad Probabilidad con 19 grados de libertad
1 0,95
/2 =0,025 /2= 0,025
2(0,975) =8,90 2(0,025) =32,85
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109
2
2
025.0
21
Sn despejando la varianza se tiene:
2
025.0
22 1
Sn
Por último combinando los resultados de las operaciones se llega a:
2
975.0
22
2
025.0
2 11
SnSn
Esta relación representa el estimado del intervalo de confianza para la varianza 2
.
Ejemplo
Regresando al problema para determinar un estimado de intervalo de la varianza
poblacional de las cantidades de llenado, recuerde que la muestra es de 20
envases que presenta una varianza de 0025.02 S . Con un tamaño de muestra
de 20, los grados de libertad son de 19. En la figura presentada anteriormente, se
determina que 90655,82
975.0 y 8523,322
025.0 . Con dichos valores,
reemplazando en la ecuación del intervalo para la varianza poblacional se tiene:
90655,8
0025.0120
8523,32
0025.0120 2
O sea que el intervalo se encuentra dentro de los límites: 0728.00374.0 2 .
Con lo anterior se ha ilustrado el proceso de aplicar la distribución ji cuadrado para
establecer estimados de intervalo de una varianza y de una desviación estándar
de una población. Específicamente observe que como se usó 2
975,0 y 2
025.0 el
estimativo tiene un coeficiente de confianza de 0.95. Cuando la ecuación se
amplía a un caso general de cualquier coeficiente de confianza, el estimativo del
intervalo de confianza es:
2
21
22
2
2
2 11
SnSn
Ecuación No.40
En donde los valores de 2 se basan en una distribución ji cuadrado con (n-1)
grados de libertad, y en donde 1 es el coeficiente de confianza.
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EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1. Una investigación efectuada a 400 familias de clase medias, reveló que un
62% de sus ingresos anuales son utilizados para servicios de salud.
Determinar los límites de confianza del 99%
2. En una muestra de 14 observaciones que tienen una media de 34.86 y una
desviación estándar de 4.23, encuentre los límites que en el 95% de los casos
permiten acertar al afirmar que la media poblacional queda incluida entre ellos.
3. Un laboratorio químico desea estimar la reacción promedio de mercurio
utilizadas en un medicamento. ¿Qué tamaño de muestra se requiere para
garantizar que habrá un riesgo de solo 0.001 de sobrepasar un error de 5mm o
más en la estimación? La desviación estándar de la reacción se estima en
50mm
4. Un sondeo efectuado a 400 familias de clase media reveló un gasto trimestral
promedio de $ 374.000 en productos de salud, con desviación de $80.000.
a) Determine un intervalo de confianza del 95%
b) ¿Cuál es el máximo error, cuando se afirma que dicha media es de $374.000 con
una confianza del 99%?
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REFERENTES
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1.988
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distica/index.html
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS
JEAMMY JULIETH SIERRA HERNÁNDEZ
(Director Nacional de Curso)
100403 – INFERENCIA ESTADÍSTICA
Vol. 2
IBAGUÉ
FEBRERO 2013
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2
COMITE DIRECTIVO
Jaime Alberto Leal Afanador
Rector
Constanza Abadía García
Vicerrectora Académica y de Investigación
Gloria Herrera
Vicerrector de Medios y mediaciones Pedagógicos
Maribel Córdoba Guerrero
Secretaria General
Inferencia Estadística
Tercera Versión
Actualización por Jeammy Julieth Sierra Hernández
Autores Primera Edición: Jorge Rondon Danis Brito
Copyright
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
ISBN
2012
Unidad de Ciencias Básicas UNAD
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CAMPOS DE
FORMACIÓN
Básica CRÉDITOS: 2 TRABAJO INDEPENDIENTE: 72
Horas TIPO DE CURSO Teórico CÓDIGO:100403 ACOMPAÑAMIENTO TUTORIAL: 24
Horas
OBJETIVO GENERAL:
Que el estudiante comprenda, aplique y desarrolle la teoría y las técnicas de la
inferencia estadística en diversos campos de su saber formativo, y que dicha
aplicación se convierta en una herramienta de uso matemático para la toma de
decisiones sobre hipótesis cuantitativas de datos, basado en la información
extraída de una muestra.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Que el estudiante identifique las técnicas y procedimientos que se
deben emplear para que las muestras sean representativas de la población
que se pretende estudiar, de forma que los errores en la determinación de
los parámetros de la población objeto de estudio sean mínimos.
Que el estudiante comprenda el comportamiento de una población a
partir del análisis metódico de una muestra aleatoria de la misma, y que
entienda que la inferencia inductiva de los parámetros estadísticos que
estime sobre dicha muestra, conlleva un error, el cual es posible de ser
cuantificado.
Conocer los criterios técnicos que hay que tener en cuenta antes
de seleccionar un tamaño de muestra.
Identificar el tipo de muestreo de acuerdo a los objetivos del estudio.
Diferenciar y analizar las ventajas y desventajas de la estimación
por intervalos de confianza y las pruebas de hipótesis.
Determinar la prueba o técnica apropiada a aplicar en las diferentes
pruebas de hipótesis paramétricas y No paramétricas.
COMPETENCIA GENERAL DE APRENDIZAJE:
Identificar un procedimiento adecuado para seleccionar de una población una
parte de ella, con el fin de obtener resultados confiables y poder generalizar los
resultados obtenidos a toda la población.
Determinar los estadísticos necesarios para el análisis y solución de situaciones
que implican conjuntos de datos de su disciplina de formación, por medio del
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4
conocimiento de la teoría elemental del muestreo y de las distribuciones
muestrales.
Plantear y desarrollar el proceso de la inferencia estadística para resolver
problemas concretos de investigación en el ámbito de otras disciplinas.
Aplicar apropiadamente los resultados teóricos y metodológicos de la inferencia
estadística de estimación y prueba de hipótesis en el marco de la modelación.
Habilidad para planear una investigación, diseño de instrumentos, definición de
variables, recolección de la información, resumen y presentación de los datos.
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UNIDADES DIDÁCTICAS
UNIDAD DOS: ......................................................................................................................................... 6
PRUEBA DE HIPÓTESIS, ANÁLISIS DE VARIANZAS Y ESTADÍSTICAS NO PARAMÉTRICAS ..................... 6
CAPITULO CUATRO: PRUEBAS DE HIPÓTESIS ................................................................................... 7
Lección 16: Conceptos Básicos ..................................................................................................... 8
Lección 17: Pruebas para la Media y la Diferencia de medias con grandes muestras. ............. 14
Lección 18: Pruebas para la proporción y la Diferencia de proporciones (siempre con grandes
muestras). .................................................................................................................................... 26
Lección 19: Pruebas para la media y la diferencia de medias (muestras pequeñas). ............... 34
Lección 20: Pruebas para la varianza.......................................................................................... 44
CAPITULO CINCO: ANÁLISIS DE VARIANZA .................................................................................... 47
Lección 21: Generalidades .......................................................................................................... 49
Lección 22. Análisis de Varianza de un Factor ............................................................................ 50
Lección 23. Comparación Múltiple de Medias (Pruebas “a Posteriori”) .................................. 60
Lección 24. Análisis de varianza con dos factores (diseño de bloques aleatorizados). ........... 61
Lección 25. Análisis de varianza de dos factores con interacción. (Diseño factorial). ............. 66
CAPITULO SEIS: PRUEBAS NO PARAMETRICAS .............................................................................. 80
Lección 26. Generalidades .......................................................................................................... 82
Lección 27. Prueba de Bondad de Ajuste de Ji-cuadrado ................................................... 83
Lección 28. Prueba de Kolmogorov-Smirnov ............................................................................. 87
Lección 29. Prueba de Wilcoxon ................................................................................................. 88
Lección 30. Prueba de Mann-Whitney para muestras independiente y prueba de Kruskal-
Wallis para comparar k muestras independientes..................................................................... 89
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6
UNIDAD DOS:
PRUEBA DE HIPÓTESIS, ANÁLISIS DE VARIANZAS Y
ESTADÍSTICAS NO PARAMÉTRICAS
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CAPITULO CUATRO: PRUEBAS DE HIPÓTESIS
Introducción
En casos relacionados con situaciones especiales en las cuales se desea
comprobar la efectividad de estándares preestablecidos, la técnica de prueba de
hipótesis resultaba bastante apropiada, por cuanto permite comprobar con
bastante certeza el grado de acierto en la fijación de éstos.
Una hipótesis estadística se define como un supuesto hecho sobre algún
parámetro de la población. Por ejemplo, los siguientes enunciados podrían ser
tomados como hipótesis:
- El ingreso promedio de los trabajadores de la fábrica es de $X.
- El rendimiento promedio de los empleados de dos fábricas es
diferente.
- El promedio de duración de las bombillas es de 1.000 horas.
- El promedio de duración de las llantas es de 100.000 kilómetros.
Ya se ha recabado en muchas ocasiones, que el objetivo es tomar muestras
para extraer alguna conclusión o inferencia sobre la población y que el único
objetivo de examinar muestras, es que las poblaciones suelen ser demasiado
grandes y costosas de estudiar.
Objetivo general.
Contrastar la validez de una hipótesis o conjetura que se haya planteado en relación con una situación determinada de la empresa, analizando errores estadísticos posibles en las pruebas de hipótesis Objetivos específicos.
Examinar que se entiende por hipótesis y qué por prueba de hipótesis.
Describir los pasos que se siguen para demostrar una hipótesis.
Describir los errores estadísticos que se pueden presentar.
Realizar pruebas en relación con una y dos medias poblacionales, con una
y dos colas.
Realizar pruebas con una y dos proporciones poblacionales.
Realizar pruebas de hipótesis para datos que se encuentran en una escala
nominal u ordinal con aplicación de la distribución chi cuadrado.
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Lección 16: Conceptos Básicos
16. DECISIONES ESTADÍSTICAS
En la práctica, con frecuencia se tienen que tomar decisiones acerca de una
población con base en información muestral.
A tales decisiones se les llama decisiones estadísticas. Por ejemplo, tal vez se
tenga que decidir, con base en datos muestrales, si determinado suero es
realmente eficaz en la curación de una enfermedad, si un método educativo es
mejor que otro, o bien si una moneda está alterada o no.
16.1. Hipótesis
Hipótesis estadísticas: Cuando se trata de tomar una decisión es útil hacer
suposiciones o proposiciones (o conjeturas) acerca de la población de que se
trata. Muchos problemas de ingeniería, ciencia, y administración, requieren que se
tome una decisión entre aceptar o rechazar una proposición sobre algún
parámetro. A estas suposiciones, que pueden ser o no ciertas, se les llama
hipótesis estadísticas. Estas hipótesis estadísticas son por lo general afirmaciones
acerca de las distribuciones de probabilidad de las poblaciones.
Este es uno de los aspectos más útiles de la inferencia estadística, puesto que
muchos tipos de problemas de toma de decisiones, pruebas o experimentos en el
mundo de la ingeniería, pueden formularse como problemas de prueba de
hipótesis. Consultado en la Web de ITC (s.f).
Otras definiciones
“Una hipótesis estadística es una afirmación para verificar acerca de las
características de una o más poblaciones”. Alvarado, J. & Obagi, J. (2008)
“Una hipótesis estadística es una aseveración o conjetura acerca de la distribución
de la población, afirmación que generalmente está asociada a un subconjunto del
espacio del parámetro correspondiente al modelo probabilístico que representa
la citada población”. Mayorga, J. (2004, p. 189)
Una hipótesis estadística es un enunciado provisional referente a uno o más parámetros de una población o grupo de poblaciones. En el proceso de estadística inferencial hay dos tipos de hipótesis:
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1. Hipótesis nula, designada mediante Ho y se lee “H subcero”. La letra H
significa hipótesis y el subíndice cero indica “no hay diferencia”. Por lo
general en la hipótesis nula se plantea en términos de “no hay cambio”, “no
hay diferencia”, se plantea con el objetivo de aceptarla o rechazarla.
2. Hipótesis alternativa, describe lo que se considerará si se rechaza la
hipótesis nula. A menudo también se le denomina hipótesis de investigación,
y se designa por H1, que se lee “h subuno”
Otras definiciones
Hipótesis Nula: Es la conjetura inicial, es la suposición que se hace sobre la
base de la experiencia del pasado, el conocimiento a priori y las necesidades
empresariales, es, en un comienzo la respuesta más lógica al problema que
se ha planteado; es el valor que se asumiría como cierto de no poderse hacer
la investigación. La aseveración se enuncia después de la abreviatura y
Mayorga, J. (2004, p. 189).
Hipótesis Alternativa: A toda hipótesis que difiera de la hipótesis dada se le
llama hipótesis alternativa. Por ejemplo, si una hipótesis es p = 0.5, la
hipótesis alternativa puede ser 7 5 . La hipótesis
alternativa a la hipótesis nula se denota H1. Murray, R. ()
16.2. Prueba de hipótesis
Prueba de hipótesis: Según Mayorga, prueba de hipótesis es una de las
acepciones más comunes, al igual que Contraste de hipótesis o Docimacia, para
lo que él prefiere llamar, como justifica en su libro, “juzgamiento de hipótesis”, que
define como, “el proceso que culmina con una decisión de rechazar o de no
rechazar una hipótesis con base en la información de una muestra aleatoria
de una población para la cual se ha asumido un modelo probabilístico
cuya función de densidad es ( )”.
Si se supone que una hipótesis es verdadera, pero se encuentra que los
resultados que se observan en una muestra aleatoria difieren marcadamente de
los resultados esperados de acuerdo con la hipótesis (es decir, esperados con
base sólo en la casualidad, empleando la teoría del muestreo), entonces se dice
que las diferencias observadas son significativas y se estará inclinado a rechazar
la hipótesis (o por lo menos a no aceptarla de acuerdo con la evidencia obtenida).
Murray, R. ()
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Pasos en una prueba de hipótesis
La prueba de hipótesis consiste en aplicar técnicas estadísticas que
permitan aceptar o rechazar una hipótesis. Este procedimiento se conoce como
contraste de hipótesis. Las pruebas de hipótesis utilizan un procedimiento
de cinco pasos, los cuales se mencionan a continuación:
1. Plantear las hipótesis nula y alternativa. Definiendo la lateralidad de la
prueba.
2. Determinar el nivel de significancia. (valores aceptables de error I y II)
3. Estimar el valor estadístico de prueba. (a partir de la muestra)
4. Establecer la regla de decisión. (al comparar el valor crítico o teórico con el
de prueba)
5. Tomar la decisión.
Gráfico 1. Pruebas de Hipótesis
16.3. Tipos de error.
La hipótesis nula y alternativa son entonces aseveraciones sobre la población
que compiten entre sí, en el siguiente sentido: ó la hipótesis nula (Ho) es
verdadera, o lo es la hipótesis alternativa (H1), pero no ambas. En el caso ideal,
el procedimiento de prueba de hipótesis debe conducir a la aceptación de Ho
cuando sea verdadera y al rechazo de H1. Desafortunadamente no siempre es
posible puesto que como las pruebas de hipótesis se basan en la información de
la muestra, se debe considerar la posibilidad de cometer errores. La siguiente
tabla muestra los dos tipos de errores que se pueden cometer:
PRUEBAS DE HIPÓTESIS
Muestras Grandes (Z-normal)
*Meias
*Proporciones
*Diferencia de Medias
*Diferencia de Proporciones
Muestras pequeñas n<30 (T-student)
*Medias
*Diferencia de Medias
Varianza
Una Prueba de hipótesis es el proceso para determinar si las muestras
observadas difieren significativamente de los resultados esperados, ayudando
así a decidir si se acepta o se rechaza la hipótesis.
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Tabla No.1 Tipos de errores
DECISIÓN SOBRE Ho VERDADERA FALSA
Aceptar H0 Correcta 1 Error tipo II
Rechazar H0 Error tipo I Nivel de significancia
Correcta 1 Potencia de la prueba
Cuando se tiene una hipótesis esta puede ser verdadera o falsa y la decisión que
se toma en la prueba es aceptar o rechazar la hipótesis. Si la decisión que se
toma está de acuerdo con la realidad no se cometen errores, en este caso las
dos buenas decisiones son: aceptar la hipótesis nula cuando es cierta o rechazar
la hipótesis nula cuando es falsa.
Pero cuando la decisión no está de acuerdo con la realidad se pueden comete r
dos tipos de errores vistos anteriormente: rechazar la hipótesis nula cuando en
realidad es cierta, llamado error tipo I representado por alfa ( ); aceptar la
hipótesis nula cuando en realidad es falso, llamado error tipo II representado por
beta ( ), llamados también nivel de significancia. El procedimiento utilizado
consiste en limitarlos a un nivel preestablecido pequeño, generalmente 0.01 ó
0.05. Este planteamiento se le denomina la potencia de la prueba y se
representa así:
Probabilidad de cometer el error tipo I
Probabilidad de rechazar Ho cuando es verdadera.
Probabilidad de NO cometer el error tipo I (1 - ) Probabilidad de acertar la Ho cuando es verdadera.
Probabilidad de cometer el error tipo II
Probabilidad de aceptar Ho cuando es falsa. Probabilidad de NO cometer el error tipo II
(1 - ) Probabilidad de rechazar Ho cuando es falsa.
Toda prueba de hipótesis determina una región de rechazo de la hipótesis
llamada región crítica, la cual depende del tipo de hipótesis que se pruebe y se
determina utilizando un nivel de significancia .
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16.4. El Nivel mínimo o de rechazo.
Al establecer una prueba de hipótesis una de las formas de llegar a una
conclusión es a través de la comparación del valor crítico (o teórico) con el de
prueba. Otra forma de poder tomar una decisión es, usar en lugar del valor
crítico, es decir, observar la probabilidad de rechazar Ho cuando es verdadera
(error tipo I), o como afirma Alvarado, J.A y Otros (2008), responder a la pregunta:
¿cuál es el riesgo que debo correr para poder rechazar Ho? Si ese riesgo es
grande, no se puede rechazar Ho; si es pequeño se rechaza Ho.
El p-valor
El mínimo de rechazo recibe también el nombre de “valor p” en el cual Ho sería
rechazado. Si el p-valor es menor que el nivel de significancia, la hipótesis nula se
rechaza. Lo puede encontrar en algunos textos como p-value en inglés. Más
adelante puede verse un ejemplo dónde se utiliza el p-value para rechazar la
hipótesis nula.
16.5. Lateralidad de las pruebas
Dependiendo del planteamiento de la hipótesis alternativa (H1) se distingue dos
tipos de pruebas:
Pruebas bilaterales.
Pruebas unilaterales
Prueba Bilateral: El investigador desea comprobar la hipótesis de un cambio en
el parámetro. El nivel de significancia se divide en dos y existen dos regiones de
rechazo.
En una prueba de hipótesis unilateral derecha, no se puede rechazar la
hipótesis nula Ho, si el estadístico de prueba (o calculado) es menor o igual
que el teórico (tabulado). O lo mismo es, se rechaza la hipótesis nula cuando
el valor calculado es mayor que el tabulado
𝑆𝑖 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑃𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
Una prueba de hipótesis es significativa si el p-value es menor que el nivel de
significación, es decir:
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Prueba Unilateral Derecha: El investigador desea comprobar la hipótesis de un
aumento en el parámetro, en este caso el nivel de significancia se carga todo
hacia el lado derecho, para definir las regiones de aceptación y de rechazo
Prueba Unilateral Izquierda: El investigador desea comprobar la hipótesis de una
disminución en el parámetro, en este caso el nivel de significancia se carga todo
hacia el lado izquierdo, para definir las regiones de aceptación y de rechazo.
Gráfico No. 1. Prueba bilateral (o a dos colas)
Pro
bab
ilid
ad
valor crítico Valor crítico
Región de rechazo
/2
1
Región de rechazo
/2
Región de aceptación
Ho
Verdadera)
𝐻 𝑃𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑥
𝐻 𝑃𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑥
Prueba de hipótesis:
𝐻 𝑃𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 ≤ 𝑥
𝐻 𝑃𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑥
Prueba de hipótesis:
𝐻 𝑃𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 ≥ 𝑥
𝐻 𝑃𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 < 𝑥
Prueba de hipótesis:
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Gráfico No. 2. Prueba unilateral izquierda (inferior)
Gráfico No. 3. Prueba unilateral derecha (superior)
Lección 17: Pruebas para la Media y la Diferencia de medias con
grandes muestras.
17. Prueba para la media y diferencia de medias (Muestras grandes
( ≥ )
En las pruebas para la media de población de muestra grande se distingue dos
situaciones:
Conocida la desviación estándar de la población.
Desconocida la desviación estándar de la población.
17.1. Prueba para la media (conocida la desviación estándar poblacional).
Cuando se tiene la oportunidad de conocer
Pro
ba
bil
ida
d
Valor crítico
1
Región de rechazo Región de aceptación
Ho (Verdadera)
Pro
bab
ilid
ad
1
Valor crítico
Ho (verdadera)
Región de aceptación Región de rechazo
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17.1.1. Prueba bilateral (para la media)
El procedimiento de prueba de hipótesis para pruebas bilaterales a cerca de la
media de una población, cuando se considera el caso de muestra grande ≥ 3
en que el teorema del límite central permite suponer que la media de la
distribución muestral de medias se puede aproximar a una distribución normal de
probabilidad, y la desviación estándar de la población es conocida, sigue la
siguiente forma general:
Muestra grande ( ≥ 3 ) Planteamiento de hipótesis:
01
00
:
:
H
H
Estadístico de prueba para desviación estándar poblacional conocida:
−
√
Ecuación No.1
Regla de rechazo a un nivel de significancia :
220 Z Zsi o -Zz si HRechazar
Ejemplo
La empresa coca cola ha establecido como política general para su producción en
pequeña escala, un promedio ( ) de llenado para sus envases de 200
centímetros cúbicos con una desviación estándar ( ) de 16 centímetros cúbicos.
Dado que recientemente se han contratado y diseñado nuevos métodos de
producción, utilizando un nivel de significancia del 0.01, se desea probar la
hipótesis, que el promedio de llenado sigue siendo de 200 centímetros cúbicos.
Para tal efecto se tomó una muestra de 100 envases llenos, los cuales mostraron
una media de llenado de 203.5 centímetros cúbicos.
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En los intervalos de confianza el alfa siempre se divide en
dos, para distribuirlo en las dos colas, en las pruebas de
hipótesis el alfa sólo se divide, si la prueba es a dos colas
Paso 1: Planteamiento de hipótesis
Planteamiento de la hipótesis nula: la media poblacional es 200
Planteamiento de la hipótesis alternativa: La media poblacional es
diferente a 200. Estas hipótesis se expresan como sigue:
Esta es una prueba de dos colas, debido a que la hipótesis alternativa ( ) es
planteada en palabras de diferencia, es decir, la hipótesis no indica si la media
es mayor o menor que 200.
Paso 2: Nivel de significancia 𝜶
El nivel de significancia es de 0.01 que es el alfa ( ), la probabilidad de
cometer el error de tipo uno, es decir la probabilidad de rechazar la hipótesis
siendo verdadera. Para éste tipo de problema se utiliza la distribución normal
estandarizada en Z.
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
El valor estadístico de prueba para este tipo de problema es utilizando la
distribución normal estandarizada en Z:
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Se concluye que el llenado de los envases cumple con las políticas generales de
la empresa, y la diferencia de promedios se atribuye a variaciones aleatorias.
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
La formulación de la regla de decisión consiste en hallar el valor crítico de Z
con una prueba de dos colas. En la tabla de la normal estándar (descargar
tabla) se identifica el valor de Z correspondiente a una probabilidad igual
1 − 𝛼2 1 − 5 995. El valor más cercano a 0,995 es 0.995059 que
corresponde a un valor de Z igual a 2.58, que es el valor crítico para la prueba
de hipótesis. Dado que es una prueba de dos colas, se tendrán dos valores
críticos, tal como se indica en el siguiente gráfico:
Gráfico No. 4. Prueba bilateral (a dos colas)
La regla de decisión es aceptar la hipótesis nula (Ho), puesto que el valor
estadístico de prueba (2.19) ha caído en la zona de aceptación de dicha
hipótesis
Paso 5: Tomar la Decisión
Prueba de
hipótesis para la
media (Bilateral)
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17.1.2. Prueba unilateral (para la media)
Con anterioridad de dijo que la hipótesis alternativa indica una dirección ya sea
“mayor que” o “menor que”, la prueba es de una cola. El procedimiento para
demostrar la hipótesis es por lo general igual a la prueba de dos colas, excepto
que el valor crítico es diferente. Ahora se modificará la hipótesis alternativa del
problema anterior, sobre el llenado de los envases de una factoría de coca cola,
pues se sospecha que el promedio de llenado está por encima de lo que la
empresa determina (por eso en la hipótesis alterna se plantea una relación mayor
que).
200:
200:
1
0
H
H
Igual al ejemplo anterior.
Igual al ejemplo anterior.
El valor crítico cambia. En la tabla de la distribución normal se identifica el valor
de Z correspondiente a una probabilidad igual 0,99. El valor más cercano a 0,99
corresponde a un valor de Z igual a 2.33, que es el valor crítico para la prueba de
hipótesis. Dado que es una prueba de una cola, se tendrá el valor crítico, tal como
se indica en la siguiente gráfica:
Paso 1: Planteamiento de hipótesis
Paso 2: Nivel de significancia 𝜶
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
Prueba de
hipótesis para la
media (unilateral)
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Gráfico No. 5. Prueba unilateral derecha (superior)
Igual, puesto que el valor estadístico de prueba está ubicado en la zona de
aceptación de la hipótesis nula, es decir, se está diciendo que el promedio de
llenado es de 200, tal como está planteada la hipótesis nula.
17.2. Prueba para la media (desconocida la desviación estándar
poblacional).
En la mayoría de los casos se desconoce la desviación estándar de la población
, la cual debe calcularse en estudios previos o se estima utilizando la desviación
estándar de la muestra (s). En estos casos se utiliza la desviación estándar de la
muestra, quedando la fórmula para el estadístico de prueba así:
−
√
Ecuación No.2
Ejemplo
Una cadena grande de almacenes expide su propia tarjeta de crédito y Ud. desea
saber si los saldos promedios por créditos de los clientes son mayores que 400
unidades monetarias. El nivel de significancia se fija en 0.05. Una revisión
aleatoria de 172 clientes, reveló que el promedio por crédito de los clientes es de
407 unidades monetarias y la desviación estándar de la muestra es de 38
Pro
bab
ilid
ad
200
Escala Z |2.33
Ho (verdadera)
Región de aceptación Región de rechazo
Paso 5: Tomar la Decisión
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unidades monetarias. ¿Concluye UD. que la media poblacional es mayor que 400
unidades monetarias?
400:
400:
1
0
H
H
Dado que la hipótesis alternativa se enuncia “mayor que”, se aplica una cola a la
derecha, y como la muestra es grande (n >= 30), se aplica la distribución normal
estandarizada en Z.
El nivel de significancia se fija en 0.05
42.2
172
38
400407
n
S
XZ
Gráfico No. 6. Prueba unilateral derecha (superior)
El valor crítico es 1.645 y la ubicación del estadístico de prueba se encuentra en la
zona de rechazo de la hipótesis nula, por lo tanto se acepta la hipótesis
alternativa.
Pro
bab
ilid
ad
200
Escala Z |2.42
Ho (verdadera)
Región de aceptación Región de rechazo
|1,645
Unidades monetarias de crédito
1- =0,95 = 0,05
Paso 1: Planteamiento de hipótesis
Paso 2: Nivel de significancia 𝜶
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
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La decisión a tomar por Ud. es que el promedio de los créditos es mayor que 400
unidades monetarias con un grado de confianza del 95%.
17.3. Prueba para la diferencia de medias (desconocida la desviación
estándar poblacional).
En la mayor parte de los casos no se conoce la varianza o desviación estándar
real de ninguna población. En general la única información que es posible obtener
se relaciona con las medias muestrales y , las varianzas muestrales y
y las desviaciones estándar de las muestras y . Si se hacen las suposiciones
que las muestras se obtienen de manera aleatoria e independiente a partir de las
poblaciones respectivas que tiene una distribución normal y que las varianzas
poblacionales son iguales, es decir,
, se puede utilizar una prueba de
distribución normal de varianzas combinadas para determinar si existe una
diferencia significativa entre las dos poblaciones.
Recordemos que para diferencias de medias se utiliza el siguiente estadístico de
prueba:
( ) ( )
√ 12
1 22
2
Ecuación No.3
Ejemplo
Una obra de construcción requiere un gran número de bloques de concreto. Dos
empresas abastecedoras A y B licitan para su adjudicación, y dentro del pliego de
condiciones se estipula que la resistencia mínima es de 1.000 unidades métricas a
la resistencia, y el contrato se adjudicará a la empresa que mayor resistencia
presente su producto.
Se plantea la hipótesis nula (Ho) que no existe diferencia entre las resistencias
medias a la compresión de los bloques de concreto. La hipótesis alternativa se
plantea en términos que hay alguna diferencia significativa entre las dos
resistencias medias a la compresión. Simbólicamente se expresa así:
Paso 5: Tomar la Decisión
Paso 1: Planteamiento de hipótesis
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BA
BA
H
H
:
:
1
0
Dado que la hipótesis alternativa no indica una dirección específica, la prueba es
de dos colas
Se elige un nivel de significancia de 0.01. Esto equivale a cometer un error de tipo
I. Se usará una distribución normal estandarizada en Z, razón por la cual se debe
seleccionar una muestra que al menos contenga como mínimo 30 unidades de
bloque, cada una de las empresas licitantes.
El estadístico de prueba a aplicar está dado por la siguiente fórmula:
−
√ 12
1 22
2
Ecuación No.4
Suponga que Ud. Seleccionó una muestra de cada una de las empresas licitantes
y determinó la resistencia a la compresión, con los siguientes resultados:
Tabla No.2 Resultados de muestra
Licitante A Licitante B
X = 1.070 X = 1.020
n = 81 n = 64
S = 63 S = 57
El valor del estadístico de prueba es:
01.5
98827.9
50
64
57
81
63
020.1070.122
2
2
2
1
2
1
21
n
S
n
S
XXZ
Paso 2: Nivel de significancia 𝜶
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
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Recuérdese que se seleccionó un nivel de significancia del 0.01 y se utilizará una
prueba de dos colas. Los valores críticos y zonas de aceptación para las hipótesis
se presentan en la siguiente figura:
Gráfico No. 7. Prueba bilateral (o a dos colas)
El valor Z calculado queda en el área de rechazo de la hipótesis nula, por lo tanto se
concluye que la media poblacional de la resistencia a la compresión es diferente en las
dos empresas y la diferencia no se debe al azar del muestreo, con un grado de confianza
del 99%.
17.4. Prueba para la diferencia de medias (Muestras independientes
desviación estándar poblacional conocida).
( 1− 2)−( 1− 2)
√ 12
1 22
2
Ecuación No.5
Pro
bab
ilid
ad
valor crítico -2.58| |2.58
Región de rechazo
0.01/2= 0.005
|5.01
Región de rechazo
0.01/2=0.005
Región de aceptación
Resistencia ladrillos
Ho (Verdadera)
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
Paso 5: Tomar la Decisión
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Si − < <
entonces No se rechaza
Recuerde que es el estadístico de prueba (o calculado)
Ejemplo
Un constructor está considerando dos lugares alternativos (dos comunidades)
para construir un centro comercial. Como los ingresos de los hogares de la
comunidad son una consideración importante en ésta selección, desea probar que
el ingreso promedio de la primera comunidad excede al promedio de la segunda
comunidad en cuando menos $1.500 diarios. Con la información de un censo
realizado el año anterior sabe que la desviación estándar del ingreso diario de la
primera comunidad es de $1.800 y la de la segunda es de $2.400
Para una muestra aleatoria de 30 hogares de la primera comunidad, encuentra
que el ingreso diario promedio es de $35.500 y con una muestra de 40 hogares de
la segunda comunidad el ingreso promedio diario es de $34.600. Pruebe la
hipótesis con un nivel de confianza del 95 por ciento.
− ≥ 15
− < 15
Recordemos que el nivel de confianza es 95%
Es decir 1 − 95 eso indica que:
5
El tamaño de las muestras es grande y las varianzas poblacionales son conocidas,
por consiguiente la estadística de trabajo a utilizar la ecuación 5.
Paso 1: Planteamiento de hipótesis
Paso 2: Nivel de significancia 𝜶
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
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Tabla No.3 Resultados de las comunidades
Comunidad 1 Comunidad 2
4
34 6
24
−
√ 12
1 22
2
(35 − 346 ) − 15
√18 2
3 24 2
4
−1 195
Para un nivel de confianza del 95 %, ya que es una prueba de unilateral izquierda, lo que se busca es el valor crítico que deja por encima un 95% de área, por tanto es lógico pensar que el valor será un Z negativo, en la tabla de la distribución normal se tiene un valor de Z de -1,64 (estadístico teórico o tabulado). Como puede observarse en el gráfico No.8, el estadístico de prueba se ubica en la zona de aceptación de la hipótesis nula.
Gráfico No. 8. Prueba unilateral izquierda (cola inferior)
Pro
bab
ilid
ad
= 0.05
Valor crítico -1.64| -1.195|
Región de rechazo Región de aceptación
Ho (Verdadera)
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
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26
Por lo tanto, con una confiabilidad del 95 por ciento, la diferencia entre el ingreso promedio por hogar en las dos comunidades es mayor a $1.500 diarios.
En una prueba de hipótesis la confiabilidad significa la probabilidad
de no rechazar la hipótesis nula que es cierta, porque el nivel de
confianza es la probabilidad que el estadístico de prueba se
encuentre en la zona de aceptación.
Lección 18: Pruebas para la proporción y la Diferencia de
proporciones (siempre con grandes muestras).
18. Prueba de hipótesis para proporciones.
Se entiende por proporción, la porción relativa o porcentaje que expresa la parte
de la población o muestra que tiene un atributo particular de interés como el
resultado comparativo de contar algo, Se cuenta el número de partes defectuosas;
se cuenta el número de votantes por la preferencia de un candidato. Así la prueba
de proporción implica niveles nominales de medida.
18.1. Prueba para una proporción
Para demostrar una proporción muestral se requiere cumplir con ciertos principios
binomiales, tales como:
1. Los datos recolectados son el resultado de un conteo.
2. El resultado de un experimento se clasifica en una de las dos
categorías mutuamente excluyentes: un éxito o un fracaso.
3. La probabilidad de éxito se mantiene constante.
4. Los intentos para realizar cada experimento son independientes.
5. El tamaño de la muestra debe ser tan grande para que se dé la
siguiente condición: (n)(p)>5 y (n)(1-p)>5
Para realizar una prueba de hipótesis a fin de evaluar la magnitud de la diferencia
entre la proporción muestral p y la proporción poblacional (P), se puede usar el
siguiente estadístico de prueba:
Paso 5: Tomar la Decisión
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27
n
PP
PPZ
)1(
Ecuación No.6
Dónde:
P es la proporción muestral.
P es la proporción poblacional.
n es el tamaño de la muestra.
De otra manera, en lugar de examinar la proporción de éxitos en una muestra
como en el caso anterior, es posible estudiar el número de éxitos en una muestra,
para determinar el número de éxitos esperados o hipotéticos en la población, se
utiliza el siguiente estadístico de prueba:
qpn
pnXZ
Ecuación No.7
Dónde:
X es el número de éxitos en la muestra.
P es la proporción hipotética de éxitos.
Ejemplo
Suponga que para que lo elijan a Ud. como alcalde, es necesario que logre al
menos el 80% de los votos del barrio donde vive. Dado su interés decide hacer
una encuesta en el barrio con una muestra de 2.000 personas, para ver la
posibilidad y 1.550 dieron respuesta favorable por sus aspiraciones. Pruebe la
hipótesis de favorabilidad, con un nivel de significancia del 0.05.
Antes de realizar el procedimiento de los cinco pasos, veamos si cumple la
condición de:
(n)(p)>5 (2.000)(0.8)>5 1.600>5 Cierto
(n)(1-p)>5 (2.000)(0.2)>5 400>5 Cierto
La hipótesis nula se plantea diciendo que Ud. sí tiene el 80% de favorabilidad de
voto en su barrio y la hipótesis alternativa en que no alcanza a tener este
Paso 1: Planteamiento de hipótesis
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28
porcentaje de favorabilidad de voto. Simbólicamente se expresa como sigue:
80.0:
80.0:
1
PH
PHo
La distribución de probabilidad a utilizar es la normal estandarizada en Z, con un
nivel de significancia del 5%, con una cola a la izquierda.
n
PP
PPZ
)1(
Dónde:
P es la proporción muestral.
P es la proporción poblacional.
n es el tamaño de la muestra.
Pn
PP
)1( Es el error estándar de la proporción poblacional.
Reemplazando los diferentes valores en la ecuación se tiene:
80.20089443.0
025.0
00008.0
80.0775.0
000.2
)80.01(80.0
80.0000.2
550.1
)1(
n
PP
PPZ
La regla de decisión se toma sobra la base de un valor critico calculado a partir de
la tabla de distribución Z, con un área de 0.4500 (0.5000-0.0500)
Paso 2: Nivel de significancia 𝜶
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
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29
Gráfico No. 9. Prueba unilateral izquierda (cola inferior)
Como el valor Z (-2080) está en la región de rechazo de la hipótesis nula,
entonces se acepta la hipótesis alternativa y se concluye la favorabilidad de voto
es menos al 80%.
Ejemplo
Probar al nivel de significancia del 0.01 la aseveración que el 55% de las familias
que planean adquirir una residencia en Melgar desea su ubicación en un
condominio. Para su estudio Ud. toma una muestra aleatoria de 400 familias que
planean comprar una residencia en Melgar, de las cuales 228 familias desean en
un condominio.
La hipótesis nula se plantea diciendo que el 55% de las familias desean adquirir
residencia en un condominio en Melgar.
55.0:
55.0:
1
PH
PHo
La distribución de probabilidad a utilizar es la normal estandarizada en Z, con un
nivel de significancia del 1%, con dos colas.
Paso 5: Tomar la Decisión
Paso 1: Planteamiento de hipótesis
Paso 2: Nivel de significancia 𝜶
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30
80.00248747.0
02.0
400
)55.01(55.0
55.0400
280
)1(
n
PP
PPZ
La regla de decisión se toma sobre la base del siguiente gráfico:
Gráfico No. 10. Prueba Bilateral (a dos colas)
La hipótesis nula que la proporción verdadera es del 55% no es rechazada a un
nivel de significancia del 1%, concluyendo que el 55% de las familias planean
adquirir residencia vacacional en Melgar lo desean en un condominio.
18.2. Prueba para diferencias entre dos proporciones
Se presenta a continuación un ejemplo donde se emplea la prueba de proporción
para dos poblaciones, utilizando el siguiente estadístico de prueba:
21
2121
)1()1(
)(
n
PP
n
PP
PPPPZ
CCCC
Ecuación No.8
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
Paso 5: Tomar la Decisión
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31
Dónde:
1n Es la cantidad seleccionada en una muestra.
2n Es la cantidad seleccionada en la otra muestra.
21
21
nn
XXPC
Es la media ponderada de las proporciones muestrales.
1X Es la cantidad de éxitos de la primera muestra.
2X Es la cantidad de éxitos de la segunda muestra.
21yPP Proporción de éxitos de la población uno y dos respectivamente.
Ejemplo
Una fábrica de perfumes ha desarrollado un nuevo producto. Varias pruebas de
comparación indican que el perfume tiene un buen potencial en el mercado. Sin
embargo el departamento de mercadotecnia y publicidad quieren planear una
estrategia de manera que el producto llegue e impresione al sector más grande
posible del público comprador. Una de las preguntas es si prefiera el perfume una
proporción mayor de mujeres jóvenes o una proporción mayor de mujeres
maduras. Por tanto, existen dos poblaciones: una que consta de mujeres jóvenes
y otra de damas maduras. Se usó una prueba estándar de aroma. Se
seleccionaron aleatoriamente damas y se les pidió que olieran varios perfumes,
incluyendo el que suelen usar, y por supuesto el nuevo perfume. La persona que
realiza la prueba es la única que conoce el nombre de los perfumes. Cada mujer
selecciona el perfume que le agrada más.
La hipótesis nula se plantea diciendo que no hay diferencia entre la proporción de
mujeres jóvenes y maduras que prefieren el nuevo perfume. La hipótesis
alternativa se plantea que las dos proporciones no son iguales.
211
21
:
:
PPH
PPHo
Se designa P subuno como la proporción de mujeres jóvenes y P subdos como la
proporción de mujeres maduras.
Se decidió un nivel de significancia del 0.05.
Paso 1: Planteamiento de hipótesis
Paso 2: Nivel de significancia 𝜶
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Los planes son tomar una muestra al azar de 100 mujeres jóvenes designada por
n subuno y una muestra de 200 mujeres mayores designada como n subdos. Los
resultados una vez hecha el experimento dio los siguientes resultados: de las 100
mujeres jóvenes 20 eligieron el nuevo perfume, designando este valor como X
subuno; y de las 200 mujeres maduras 100 prefirieron el nuevo perfume,
designando este valor como X subdos.
La proporción ponderada, da como resultado:
40.0300
120
200100
10020
21
21
nn
XXPC
0.506.0
30.0
200
)40.01(40.0
100
)40.01(40.0
200100
10020
)1()1(
21
21
n
PP
n
PP
PPZ
CCCC
Los valores críticos para un nivel de significancia del 5% son –1.96 y +1.96. Igual
que en los otros casos, la siguiente grafica establece la regla de decisión:
Gráfico No. 11. Prueba Bilateral (a dos colas)
El valor de Z calculado de –5.0 se encuentra en el área de rechazo de la hipótesis
nula. Por tanto, la hipótesis que las proporciones son iguales se rechaza a un nivel
del 5% de significancia.
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
Paso 5: Tomar la Decisión
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33
Ejemplo
Dos lotes de frutas conformados cada uno por 250 unidades son tratados y
almacenados en iguales condiciones salvo que el lote No 1 está a temperatura
ligeramente inferior que el lote No 2. Pasado un tiempo se encuentra que el lote
No 1 hay 225 frutas sanas y en el lote No 2 hay 200 sanas. Probar la hipótesis que
la temperatura más baja favorece la conservación de las frutas al nivel de
significación de 0.05.
211
21
:
:
PPH
PPHo
Utilizando la distribución de probabilidad normal con ensayo unilateral a la derecha
con un nivel significativo de 0.05, el valor critico es de 1.645.
13.30319.0
10.0
250
)15.0)(85.0(
250
)15.0)(85.0(
80.090.0
)1()1(
21
21
n
PP
n
PP
PPZ
CCCC
85.0250250
200225
21
21
nn
XXPC
Gráfico No. 12. Prueba unilateral superior (cola derecha)
Paso 1: Planteamiento de hipótesis
Paso 2: Nivel de significancia 𝜶
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
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34
Como 3.12>1.645 se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa.
La temperatura más baja favorece la conservación de las frutas.
Lección 19: Pruebas para la media y la diferencia de medias
(muestras pequeñas).
19. Pruebas de hipótesis para pequeñas muestras.
Ahora veamos el caso en que las muestras son pequeñas, 30n , pero donde la
distribución muestral del estadístico de prueba se puede aproximar a una
distribución t student. Dicha aproximación es posible cuando los valores
subyacentes de la población son casi normalmente distribuidos, y cuando
intervienen poblaciones donde las desviaciones estándar, aunque desconocidas,
se sabe que son iguales. Habiendo estudiado pruebas para muestras grandes con
todo detalle, podemos restringirnos a ejemplos en donde se aplique este tipo de
distribución.
19.1. Prueba para media (pequeña muestra)
Si también es razonable suponer que la población tiene una distribución normal de
probabilidad, con la distribución t se puede hacer inferencia a cerca del valor de la
media de la población.
Ejemplo
Una compañía de seguros revela que en promedio la investigación por demandas
en accidentes y todos los trámites tiene un costo promedio de 60 unidades
monetarias. Este costo se considera exagerado comparado con el de otras
compañías del mismo tipo. A fin de evaluar el costo se seleccionó una muestra
aleatoria de 26 demandas recientes y se realizó el estudio de costos. Se concluyó
que el costo promedio es de 57 unidades monetaria con una desviación estándar
de 10 unidades monetarias. Con un nivel de significancia del 0.01 se puede decir
que ¿el estudio reveló un costo menor al establecido por la empresa?
La hipótesis nula se plantea en el sentido que el costo promedio es de 60
Paso 5: Tomar la Decisión
Paso 1: Planteamiento de hipótesis
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35
unidades monetarias. La hipótesis alternativa que el costo es menor a 60 unidades
monetarias. Esto se expresa en la siguiente forma:
60:
60:
1
0
H
H
La prueba es de una cola a la izquierda, según el planteamiento de la hipótesis
alternativa.
Se usa un nivel de significancia del 0.01 con una distribución “t”, en consideración
a que la muestra en menor a 30, es decir, es una pequeña muestra.
Utilizando los datos de la muestra, se utiliza la siguiente fórmula como estadístico
de prueba:
530.1
26
10
6057
n
S
Xt
Los valores críticos para la distribución “t” se encuentran en la tabla
correspondiente (anexo D), con 25 grados de libertad (26 – 1), prueba de una cola
a un nivel de significancia de 0.01, correspondiendo un valor crítico de 2.485. En el
siguiente figura se indica el presente planteamiento:
Gráfico No. 13. Prueba unilateral superior (cola derecha)
Puesto que –1.53 se encuentra en la región de aceptación de la hipótesis nula a
Paso 2: Nivel de significancia 𝜶
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
Paso 5: Tomar la Decisión
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36
un nivel del 1% de significancia, se concluye que los costos para los tramites de
seguros de accidente no se han disminuido y se mantiene a un nivel promedio de
costo de 60 unidades monetarias.
Ejemplo
Una empresa produce elementos con un promedio de 43 mm de largo. Un ajuste
en las máquinas de producción supone que dicho estándar ha cambiado. Se
quiere probar ésta hipótesis con un nivel de significancia del 0.02.
Para afrontar el problema Ud. selecciona una muestra aleatoria de 12 elementos y
procede a medir su largor con los siguientes resultados:
Tabla No. 4. Selección muestra aleatoria
Elemento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Medida 42 39 42 45 43 40 39 41 40 42 43 42
Plantea sus hipótesis:
43:
43:
1
0
H
H
Como hipótesis nula que no se ha producido un cambio en las dimensiones del
producto. Como hipótesis alternativa que se ha producido un cambio en las
características internas del producto debido a los ajustes en las máquinas.
Se dispone a probar la hipótesis con un nivel de significancia del 0.02, utilizando la
distribución “t” porque es una pequeña muestra, con 11 grados de libertad
aplicando el principio de (n- 1) y cálculo para dos colas puesto que la hipótesis
alternativa está planteada desde el punto de vista de “diferente”.
El estadístico de prueba a utilizar es el siguiente:
Paso 1: Planteamiento de hipótesis
Paso 2: Nivel de significancia 𝜶
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
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37
n
S
Xt
Procede al cálculo de la media y la desviación estándar muestral:
5.4112
498
n
XX
78.1
11
35
1
2
n
XXS
Con la información anterior, aplica la fórmula del estadístico de prueba:
92.2
12
78.1
0.435.41
n
S
Xt
Para aplicar la regla de decisión, muestra en el siguiente gráfico el planteamiento
anterior:
Gráfico No. 14. Prueba Bilateral (a dos colas)
La hipótesis nula que la media poblacional es 43 mm se rechaza a un nivel de
significancia del 0.02 y se acepta la hipótesis alternativa, concluyendo que los
ajustes en las máquinas sí causaron un cambió en la calidad de control en el
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
Paso 5: Tomar la Decisión
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38
largor de los diferentes elementos que se producen.
Anteriormente se analizó ampliamente la prueba de hipótesis para cuando las
muestra son pequeñas, es decir, el tamaño de la muestra es menor a 30. A
continuación se propone un ejercicio de aplicación, para que Ud. los desarrolle
atendiendo las sugerencias dadas.
19.2. Prueba para dos medias muestrales (pequeña muestra)
Una prueba que utiliza la distribución t también puede aplicarse para comparar dos
medias muestrales que tienen las siguientes características:
1. Las poblaciones deben de distribuirse normalmente. 2. Las poblaciones deben de ser independientes. 3. Las varianzas de las poblaciones deben de ser iguales. 4. Las muestras tienen menos de 30 observaciones. 5. Las desviaciones estándar de las poblaciones no se conocen.
Cuando se está frente a estas características, el estadístico de prueba a utilizar es
el siguiente:
2121
2
2
21
2
1
2121
11
2
11
)(
nnnn
nSnS
XXt
Ecuación No.9
Dónde:
21 XyX Las medias de las muestras
21ynn Los tamaños de las muestras
2
2
2
1 ySS Las varianzas de las muestras
G.L. Grados de libertas, igual a = 221 nn
Ejemplo
Se ha propuesto realizar un examen de estadística a dos grupos de estudiantes,
con el propósito de saber si los grupos tienen similares conocimientos sobre
pruebas de hipótesis. Para ello Ud. seleccionó el grupo A compuesto de 5
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39
estudiantes de educación a distancia y el grupo B compuesto por 6 estudiantes de
educación presencial, y los sometió a la prueba, dando como resultado los
siguientes tiempos en minutos:
Tabla No. 5. Prueba para dos grupos
Educación a distancia Educación presencial
2
4
9
3
2
3
7
5
8
4
3
Probar con un nivel de significancia del 0.10 si existe alguna diferencia de
habilidad en los conocimientos de los dos grupos.
Las hipótesis las plantea en los siguientes términos:
211
21
:
:
H
Ho
La hipótesis nula consistente en que los dos grupos no tienen alguna diferencia en
la habilidad de conocimiento, y la hipótesis alternativa en que existe diferencia
entre los grupos sobre la habilidad en la aplicación de los conocimientos.
Prueba la hipótesis con un nivel de significancia del 10%, utilizando la distribución
t student porque las muestras son menores que 30, con 9 grados de libertad (5+6
– 2) y prueba de dos colas porque la hipótesis alternativa está planteada en
función de “diferente”.
Para el cálculo del estadístico de prueba se requiere estimar las medias de los
grupos y sus varianzas, los cuales se presentan en el siguiente cuadro:
Paso 1: Planteamiento de hipótesis
Paso 2: Nivel de significancia 𝜶
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
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40
Tabla No.6. Resultados para los grupos de estudiantes
Grupo estudiantes a distancia Grupo presencial
Media = 4 Media = 5
Varianza = 8.5 Varianza = 4.4
Muestra = 5 Muestra = 6
6620.0
6
1
5
1
265
164.4155.8
54
11
2
11
2121
2
2
21
2
1
21
nnnn
nSnS
XXt
Gráfico No. 15. Prueba Bilateral (a dos colas). Diferencia de dos medias
La decisión es no rechazar la hipótesis nula debido a que el valor del estadístico
de prueba –06620 ha caído en la zona de aceptación de dicha hipótesis,
concluyendo que no existe diferencia en la habilidad de aplicación de
conocimientos entre los estudiantes a distancia y los estudiantes de presencial,
con un nivel de significancia del 10%.
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
Paso 5: Tomar la Decisión
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41
19.3. Prueba de hipótesis para observaciones pareadas o relacionadas
La característica principal para aplicar este tipo de prueba, es que las muestras
sean dependientes y el tamaño de cada muestra sea inferior a 30 elementos
seleccionados.
Ejemplo
Un grupo de alumnos registra un índice de puntuación en estadística, que se
considera muy bajo para aceptarlos al siguiente nivel. Proceden a tomar un curso
de nivelación, obteniendo los siguientes registros antes y después del curso. Con
un nivel de significancia del 0.05 probar si el curso de nivelación mejoró las
condiciones del grupo.
Antes 128 105 119 140 98 123 127 115 122 145
Después 135 110 131 142 105 130 131 110 125 149
En estas condiciones hay un par de índices de eficiencia para cada miembro del
grupo, antes y después del curso,; éste conjunto de pares es lo que se denomina
muestra por pares. La prueba de hipótesis que se realiza para determinar si hay
diferencia entre los índices antes y después del curso de nivelación, es lo que
denomina prueba de diferencia por pares. Obsérvese que las dos muestras, una
antes y una después, dependen entre sí, debido a que los mismos alumnos están
en ambas pruebas, por tanto son dependientes.
La muestra está constituida por la diferencia entre los registros de puntuación
antes y después del programa. Así, la media de las diferencias entre los registros
de rendimiento, se designa mediante d . Se presenta a continuación el
procedimiento de la prueba:
0:
0:
1
d
d
H
Ho
La hipótesis nula plantea que no hay diferencia de eficiencia después del curso. La
hipótesis alternativa plantea que el programa de nivelación mejoró el nivel de los
estudiantes.
Paso 1: Planteamiento de hipótesis
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42
Se usa un nivel de significancia del 5%, la muestra seleccionada es de 10
estudiantes considerada pequeña muestra, la distribución de probabilidad a utilizar
es la “t” student, con n – 1 grados de libertad.
El estadístico de prueba a utilizar es:
n
S
dt
d
Ecuación No.10
Dónde:
d : es la media de la diferencia entre las observaciones por pares.
dS : es la desviación estándar de las diferencias entre las observaciones por
pares.
n: es el número de observaciones por pares.
G.L: son los grados de libertad (n –1)
Para determinar el cálculo del estadístico de prueba se requiere conocer la media
de las diferencias y su desviación estándar, para lo cual procedemos a su cálculo
utilizando el siguiente cuadro:
Tabla No. 7. Calculo estadístico sobre diferencia de medias
Muestra Registro
antes
Registro
después
Diferencia
d
Diferencia al
cuadrado
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
128
105
119
140
98
123
127
115
122
145
135
110
131
142
105
130
131
110
125
149
7
5
12
2
7
7
4
-5
3
4
49
25
144
4
49
49
16
25
9
16
Sumas 46 386
Paso 2: Nivel de significancia 𝜶
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100403 –INFERENCIA ESTADISTICA
43
60.410
46
n
dd
40.4110
10
46386
1
22
2
n
n
dd
Sd
Aplicando la fórmula, se obtiene:
30.3
10
4.4
6.4
n
S
dt
d
El valor crítico de t para esta prueba de una cola a la derecha, es 1.833 que se
obtiene en la tabla de la distribución “t” (anexo D), ubicando en la columna de la
izquierda 9 grados de libertad y recorriendo a la derecha hasta la columna de una
cola con 0.05 nivel de significancia. En la siguiente gráfica se indica lo expuesto:
Gráfico No. 16. Prueba unilateral superior (cola derecha). Prueba de hipótesis por pares
Como el valor t (3.30) está en la región de rechazo de la hipótesis nula, entonces
se acepta la hipótesis alternativa y se concluye que el programa de adiestramiento
para los alumnos fue eficaz para aumenta su eficiencia.
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
Paso 5: Tomar la Decisión
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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100403 –INFERENCIA ESTADISTICA
44
Lección 20: Pruebas para la varianza
20. Pruebas de hipótesis para la varianza
Como su nombre lo indica, consiste en comparar tres o más medias de una
muestra para identificar su homogeneidad o variabilidad. esta técnica estadística,
normalmente es utilizada para analizar resultados en la investigación con diseños
experimentales y cuasi-experimentales; muchas veces necesitamos comparar dos
o más distribuciones que corresponden a variaciones de una misma variable
dependiente, afectada por una o más variables independientes.
Comparación de dos varianzas poblacionales
Su utilidad radica en determinar si una población normal tiene más variación que
otra población que se considera también normal. Como ejemplo se pueden
mencionar, si dos máquinas dedicadas a producir cierto artículo de precisión
pueden ser confiables en el control de calidad, es decir, el producto tiene el mismo
largor, el mismo diámetro y las variaciones presentadas son similares.
Ejemplo
La tasa media de rendimiento de dos tipos de acciones se puede apreciar en el
siguiente cuadro, se desea saber si el rendimiento promedio es diferente a un nivel
de significancia del 0.10.
Tabla No. 8. Tasa de rendimiento de las acciones
Acciones Rendimiento
promedio
Desviación
estándar
Tamaño de la
muestra
Tipo A
Tipo B
56
58
12
5
7
8
2
2
2
11
2
2
2
1
:
:
H
Ho
La variación de los rendimientos promedios de las acciones es igual como la
hipótesis nula. La variación de los rendimientos de las acciones es diferente como
Paso 1: Planteamiento de hipótesis
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45
hipótesis alternativa.
Se selecciona un nivel de significancia de 0.01 utilizando la distribución F.
El valor del estadístico de prueba sigue una distribución F, con la siguiente
relación:
76.55
122
2
2
2
2
1 S
SF
Se acostumbra a colocar el mayor valor en el numerador, de tal forma que la
relación siempre será por lo menos igual a uno.
El valor crítico se obtiene del Anexo F, para lo cual se reproduce una parte de la
tabla. Debido a que utiliza una prueba de dos colas, el nivel de significancia para
cada cola será de:
05.02
10.02
.
Grados de libertad para el numerador: n – 1 = 7-1 = 6
Grados de libertad para el denominador: n – 1 = 8 – 1 = 7
Para encontrar el valor crítico, se incorpora parte de la tabla F:
Tabla No. 9. Grados libertad numerador denominador
GRADOS LIBERTAD NUMERADOR
G.L
Denominador
5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
230
19.3
9.01
6.26
5.05
4.39
3.97
3.69
3.48
3.33
234
19.3
8.94
6.16
4.95
4.28
3.87
3.58
3.37
3.22
2.7
19.4
8.89
6.09
4.88
4.21
3.79
3.50
3.29
3.14
239
19.4
8.85
6.04
4.82
4.15
3.73
3.44
3.23
3.07
Paso 2: Nivel de significancia 𝜶
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
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46
Dado que el valor de la distribución F (5.76) se encuentra a la derecha del valor
crítico (3.87), se acepta la hipótesis alternativa y se concluye que los rendimientos
promedios de las acciones son diferentes.
Ejercicios propuestos
A continuación se proponen dos ejercicios para que los desarrolle aplicando las
sugerencias propuestas:
1. Se lanza una moneda 200 veces y se obtienen 105 caras. Si el nivel de
significancia es de 1% probar la hipótesis que la probabilidad de caras es de ½
contra la hipótesis:
a. Que es mayor de ½. b. Que es menor de ½. c. Que es diferente de ½.
Sugerencia: En este caso utilice las propiedades de la distribución binomial donde:
1002
1200 np 07.72
12
1200 qpn
qpn
pnXZ
2. Un fabricante de un empaque para harinas garantiza que tiene una efectividad
de 95% en la protección contra la humedad durante un período de 6 meses. Se
observó una muestra de 100 paquetes encontrándose resultados positivos en
85 paquetes. Comprobar si la afirmación del fabricante es verdadera con un
nivel de significancia de 0.05.
Sugerencia: Utilizar prueba de una proporción.
3. Un fabricante de pastas alimenticias sostiene que el contenido medio de
proteínas del producto es de 10.7. Un análisis de una muestra de 8 paquetes
dio como resultado un contenido medio de 10% con una desviación de 1. ¿Se
puede aceptar como verdadera la afirmación del fabricante a un nivel de 0.01?
Sugerencia:
Utilizar el siguiente estadístico de prueba:
n
S
Xt
Un ensayo unilateral con cola a la izquierda con un nivel significativo de 0.01 el
valor crítico con 7 grados de libertad es igual a –3.0
Paso 5: Tomar la Decisión
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47
CAPITULO CINCO: ANÁLISIS DE VARIANZA
Introducción.
En esta unidad se prosigue con el análisis de pruebas de hipótesis. Recuerde que
en capítulo anterior se examinó la teoría general de la prueba de hipótesis y se
describió el caso en el que fue seleccionada una muestra grande a partir de la
población. Se empleó la distribución Z como base para determinar si es razonable
concluir que una media calculada a partir de una muestra, proviene de una
población hipotética. Además se probó si dos medias muestrales provienen de
poblaciones iguales. También se efectuaron pruebas de una y dos muestras para
relaciones proporcionales utilizando la distribución normal como entidad
estadística de prueba. Se utilizó la distribución t como entidad estadística de
prueba para muestras pequeñas (con menos de 30 observaciones)
Cuando se desea conocer la homogeneidad que existe entre tres o más medias
muestrales, se procede a determinar la variabilidad entre esas medias, técnica que
se conoce como “análisis de varianza”. Es decir, cuando productos o individuos
son sometidos a tratamientos determinados para ver cómo éstos influyen en
resultados o comportamientos, lo más aconsejable es utilizar la técnica de análisis
de varianza.
El objetivo del análisis de varianza es determinar cuáles son las variables
independientes de importancia en un estudio, y en qué forma interactúan y afectan
la respuesta.
El Análisis de varianza en el presente capitulo se encuentra dividido de la
siguiente forma.
Gráfico No. 17. ANOVA
ANALISIS DE VARANIZA
De un Factor De dos Factores
Con interacción
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48
Objetivo general.
Reconocer la importancia principios en que se basa y campos de aplicación de la
técnica de Análisis de Varianza.
Objetivos específicos.
Comprender la noción general del análisis de varianza.
Realizar una prueba de hipótesis para determinar si dos varianzas
muestrales provienen de poblaciones iguales.
Probar e interpretar hipótesis aplicando el análisis simple de varianza.
Establecer y organizar datos en una tabla de ANOVA de una y de dos
direcciones.
Plantear, probar e interpretar hipótesis de análisis de varianza de dos
factores de diseño de bloque aleatorizado.
Plantear, probar e interpretar hipótesis de análisis de varianza de dos
factores con interacción o diseño de factorial.
Definir los términos tratamientos y bloques.
Dar a conocer el manejo de la herramienta de Análisis de varianza en
Excel.
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49
Lección 21: Generalidades
Como su nombre lo indica, el ANALISIS DE VARIANZA, se utiliza para probar
hipótesis sobre la igualdad de tres o más medias poblacionales. Al comparar las
varianzas muestrales, es posible sacar una conclusión o inferencia sobre los
valores relativos de las medias poblacionales.
21. Comparación de más de dos poblaciones
Del análisis de varianza, podemos decir que esta técnica estadística normalmente
es utilizada para analizar resultados en la investigación con diseños
experimentales y cuasi-experimentales; muchas veces necesitamos comparar dos
o más distribuciones que corresponden a variaciones de una misma variable
dependiente, afectada por una o más variables independientes.
El análisis de varianza estudia la relación entre una variable cualitativa (o variable
independiente) con más de dos categorías y una variable cuantitativa (o variable
dependiente).
Ejemplo
Un agrónomo desea estudiar el rendimiento (en libras) de cuatro variedades
diferentes de calabacitas.
La variable cualitativa es el factor de este experimento, que en este caso es la
variedad de calabacita, los niveles son cada una de las cuatro variedades. Y la
variable cuantitativa es el rendimiento (en libras).
El factor corresponde a la variable cualitativa y los niveles a las
categorías de esa variable
El análisis de varianza tiene como objetivo identificar, si hay evidencia de una
diferencia significativa entre los niveles, basados en las medias muestrales.
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50
21.1. Variabilidad producto de factores controlables e incontrolables
Teóricamente es posible dividir la variabilidad del resultado de un experimento en
dos partes: la originada por factores o tratamientos que influyen directamente en el
resultado del experimento, y la producida por el resto de factores desconocidos o
no controlables, que se conoce con el nombre de error experimental. En el
ejemplo anterior los factores desconocidos pueden ser: la humedad, la
temperatura y plagas entre otros.
21.2. Tipos de modelos
Modelo de efectos fijos: Un modelo de análisis de varianza es de efectos
fijos cuando los resultados obtenidos sólo son válidos para esos determinados
niveles del factor estudiado y lo que ocurra a otros niveles del factor puede ser
diferente.
Modelo de efectos aleatorios: Un modelo de análisis de varianza es de
efectos aleatorios cuando los resultados obtenidos son válidos para cualquier
nivel del factor estudiado.
Modelo replicado: Un modelo es replicado si el experimento se repite varias
veces para cada nivel del factor; en caso contrario se dice que el modelo es
por unidad de casilla.
21.3. Supuestos Del Análisis De Varianza
Para cada población la variable de respuesta está normalmente distribuida.
La varianza de la variable respuesta es la misma para todas las
poblaciones.
Las observaciones deben ser independientes.
Lección 22. Análisis de Varianza de un Factor
El análisis de varianza simple se presenta cuando se tiene un solo factor
estudiado en sus distintos niveles que influyen sobre una variable respuesta que
mide el resultado del experimento, y el resto de los factores conforman el error
experimental influyendo sobre la variable respuesta de manera no controlable. El
factor se presenta con j niveles, y dentro de cada nivel se analiza una serie de
observaciones del experimento en control (unidades experimentales) y su efecto
sobre la variable respuesta, es decir, para cada nivel se repite el experimento
varias veces (replicación).
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51
El análisis de varianza descompone la variabilidad del resultado de un
experimento en componentes independientes (variación total descompuesta en
variaciones particulares).
Ejemplo
Se puede considerar los rendimientos de un mismo cultivo en parcelas diferentes,
que aunque labradas en las mismas condiciones, producen cosechas que son
distintas. La variabilidad de rendimientos es producida por factores o tratamientos
controlables (abono, riego, etc.), donde cada factor o tratamiento puede presentar
diferentes niveles (diferentes cantidades o calidades de abono, distinta intensidad
de riego); también puede ser producida por otros factores o tratamientos no
controlables (humedad relativa, clima, plagas, etc.).
Tabla No. 10. Observaciones por cada nivel
Nivel1 Nivel 2 … Nivel j
X11 X12 X1j X21 X22 X2j
.
.
.
.
.
.
. . .
Xi1
Xi2
Xij
ijX : Observación i-ésima de la variable respuesta relativa al j-ésimo nivel de
factor.
En el ejemplo anterior, ijX es el rendimiento obtenido (variable respuesta) bajo el
nivel j del factor (abono) en la observación i-ésima (Para cada nivel j de factor se
repite el cálculo de rendimiento veces para recoger el efecto del error
experimental).
: Tamaño de la muestra para cada nivel (categorías de la variable cualitativa)
En esta sección se considera el análisis de varianza de un solo factor, en el cual
solo interviene en el experimento un solo tipo de tratamiento. Cuando se desea
contrastar las hipótesis sobre la diferencia global entre tres o más medias de
población, se aplica la distribución de probabilidad F encontrando en cociente de
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dos varianzas calculadas a partir de los datos experimentales. El modelo lineal en
que se basa el método de análisis de varianza de un solo factor es:
ijiiJX
Ecuación No.11
Dónde:
Es la i-ésima observación del j-ésimo nivel experimental.
La media de todas las observaciones de todas las poblaciones j del tratamiento. Es
una constante.
Efecto del tratamiento en la población j. Son variables aleatorias independientes.
Error aleatorio asociado a la i-ésima observación del factor de la población j
El efecto i del tratamiento o factor es la diferencia entre la gran media y la media
J de la población en tratamiento J, esto es:
Ji .
Ecuación No.12
Por consiguiente, si hay J tratamientos en un experimento, la suma de todos los J
efectos de los tratamientos debe ser igual a cero:
0111
JJ
J
J
J
J
J
J
J
i
Ecuación No.13
El último término iK refleja la variabilidad dentro de cada una de las poblaciones
en tratamiento, y su presencia se atribuye al proceso aleatorio, y se interpreta
como lo resultante de la diferencia entre el resultado observado y la media de la
población del tratamiento:
jijiJ X
Ecuación No.14
El valor esperado o la esperanza de ij es igual a cero.
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53
El modelo se basa en las siguientes suposiciones:
Admite que los errores aleatorios ij tienen una distribución normal
para cada población en tratamiento J.
Admite que los errores iJ se distribuyen independientemente tanto
entre poblaciones en tratamiento como dentro de ellas.
Acepta que la varianza 2 del error permanece constante para cada
una de las poblaciones.
Hipótesis del ANOVA de un factor.
El análisis de varianza se usa para probar la igualdad de K medias poblacionales
y la forma general del planteamiento de las hipótesis es:
Dónde: j = Media de la j-ésima población.
La media general de las muestra, está representada por X , y es la suma de todas
las observaciones divida entre la cantidad total de las mismas, expresada de la
siguiente forma:
Media General:
t
K
j
n
i
ij
n
X
X
j
1 1
Ecuación No.15
Dónde: Kt nnnn ...21
Si el tamaño de cada muestra es knnn T , , la ecuación de la media general se
reduce a:
K
X
K
n
X
n
X
X
K
j
j
K
j
n
i
ij
t
K
j
n
i
ij
jj
11 11 1
Ecuación No.16
En otras palabras, cuando los tamaños de muestra son iguales, la media general
muestral es justamente el promedio de las medias de las K muestras.
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54
Si supone que se ha tomado una muestra aleatoria simple de tamaño jn de cada
una de las K poblaciones, se tiene:
ijX es la i-ésima observación del grupo, nivel j.
jn es el número de observaciones del grupo, nivel j.
n es el total del número de observaciones en todos los grupos combinados.
K Es el número total de grupos, niveles del factor de interés.
to. tratamienésimo-j del muestra la de MediaX j
Pasos para la Realizar un análisis de varianza.
1. Establecer la hipótesis nula y alterna.
2. Establecer el nivel de significancia α
3. Realizar el ANOVA
4. Calcular el valor F o el valor crítico correspondiente al nivel de confianza
fijado con los grados de libertad.
5. Hallar el estadístico de prueba
6. Tomar la decisión teniendo en cuenta que:
críticoValor B
A si H Rechaza 0
Gráfico No. 18. Distribución F.
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55
Ejemplo 1
Suponga que una empresa tiene tres dependencias diferentes en donde produce
tubos de iluminación, y desea verificar el control de calidad en cuanto a duración
se refiere de las bombillas, y para ello toma una muestra de 6 unidades de cada
factoría y las somete a desgaste hasta que dejan de iluminar con los siguientes
resultados en horas:
Tabla No. 11. Observaciones por cada nivel
Observación Planta 1 Planta 2 Planta 3 Total
1 2 3 4 5 6
85 75 82 76 71 85
71 75 73 74 69 82
59 64 62 69 75 67
JX 79 74 66 73
2
JS 34 20 32
JS 5.83 4.47 5.66
Jn 6 6 6 18
n
J
iJX!
474 444 396 1314
La media general es igual a:
733
219
18
667479
3
1
J
J
J
n
X
X
Se observa que se obtienen las medias para cada tratamiento (79, 74 y 66) y una
media general (73). Para llevar a cabo la prueba de la igualdad de las medias de
la población, se subdivide la variación total en dos mediciones:
Diferencia entre los grupos.
Diferencia dentro de los grupos.
La varianza de la muestra total se particiona en la varianza dentro de las plantas y
la varianza entre las plantas, tal como se indica en el siguiente gráfico:
Gráfico No. 18. Distribución F.
Variación
Total (VT) =
Variación Dentro
del Grupo (VDG) + Variación Entre
Grupo (VEG)
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56
Variación total (VT)
2
1 1
k
j
n
i
ij XXVT
Ecuación No.17
6
1 22
22222
3
1 94673647359
...73757371...73757385
i
ij
J
XXVT
Variación dentro del grupo (VDG)
k
j
n
i
jij XXVDG1 1
2
Ecuación No.18
3
1
6
122
2222
430....66646659
...74757471...79757985
j I
VDG
Variación entre grupos (VEG)
K
j
jj XXnVEG1
2
Ecuación No.19
3
1
2222
6 516736667374673796J
XXnVEG
Se debe comprobar que la variación total sea igual a la sumatoria de la variación
entre y dentro de los grupos.
Puesto que K es el total de niveles comparados, existen (K-1) grados de libertad
asociados con la suma de cuadrados entre los grupos, niveles o tratamientos.
Como cada uno de los K niveles contribuye con ( 1jn ) grados de libertad, existen
(n–k) grados de libertad asociados con la suma de cuadrados dentro de los
grupos.
Si cada suma de cuadrados se divide entre sus grados de libertad asociados, se
obtienen tras varianzas o términos cuadráticos medios, como se indica en el
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57
siguiente cuadro:
Tabla No. 12. Componentes del análisis de varianza
Variación Suma cuadrados Grados libertad Cuadrado medio Distribución F
Entre tratamiento
K
j
jj XXn1
2
(K-1)
A
K
VET
1
B
A
Dentro o error
k
j
n
i
jij XX1 1
2
(n-K)
B
kn
VDT
Total
2
1 1
k
j
n
i
ij XX
(n-1)
Los resultados para el problema de análisis es el siguiente:
Tabla No. 13. Resultados del análisis de varianza
Variación Suma cuadrados Grados libertad
Cuadrado medio
Distribución F
Entre tratamiento
516 (K-1)= 2 00.258
2
516 99.8
67.28
258
Dentro o error 430 (n-K)=15 67.28
15
430
Total 946 (n-1)=17
En la Tabla de Distribución F se determina el correspondiente valor crítico para el
numerador (k-1= 3-1=2) y el denominador (n-K = 18-3=15), con una probabilidad
de error tipo 1 o un nivel de significancia del 5%, que corresponde a 68.305.0 F ,
significando que si se tuviera que seleccionar un valor al azar de una distribución F
con 2 grados de libertad en el numerador y 15 en el denominador, sólo el 5% de
las veces se obtendría un valor mayor que 3.68. Además la teoría del análisis del
varianza indica que si es cierta la hipótesis nula, la relación entre los cuadrados
medios entre y dentro de los tratamientos sería un valor dentro de esa distribución,
tal que se rechaza si, el valor de dicha relación es mayor que el valor crítico:
El valor de la relación es superior al valor crítico, por tal razón se rechaza la
hipótesis nula consistente en que las medias poblacionales sean iguales.
críticoValor B
A si H Rechaza 0
Para el caso la relación es igual a 8.99 mayor que el valor crítico 3.68, entonces se
tienen pruebas suficientes para rechazar la hipótesis nula consistente en que las
1n
VT
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58
medias de las tres poblaciones son iguales. En otras palabras el análisis de
varianza apoya la conclusión que las medias para la duración de las bombillas es
diferente en las tres plantas.
El gráfico para dicho planteamiento es el siguiente:
Gráfico No. 19. Distribución F.
Ejemplo: Análisis de varianza
Suponga que dispone de un conjunto de árboles clasificados por altura (en
metros) y por especie, según los siguientes datos:
Tabla No. 14. Altura de árboles según especies
Especie Altura Especie Altura Especie Altura
A
B
C
A
B
D
E
D
C
C
8.52
6.45
7.41
7.15
8.73
7.55
6.54
7.74
8.65
8.81
B
A
A
E
B
B
D
C
C
B
8.52
6.43
6.21
7.07
8.83
8.53
7.84
8.59
7.41
8.94
A
E
A
C
A
B
C
D
B
B
8.13
7.17
8.40
8.87
6.12
8.91
8.81
7.40
8.19
8.56
Para ajustar la información a un modelo de análisis de varianza, se considera
como variable respuesta la altura de los árboles en metros, y como único factor la
variable cualitativa especie con cinco niveles (A, B, C, D, E). Dado que se tiene un
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59
modelo de un solo factor, se desea probar si las variadas especies de árboles
tienen igual o diferente promedio de altura con un nivel de significancia del 1%.
Primero se estiman las medias para cada una de las especies y la media total, conforme al siguiente cuadro:
Tabla No. 15. Registro de estadísticos para diferentes especies
Especie A Especie B Especie C Especie D Especie E Total
8.52 7.15 6.43 6.21 8.13 6.12
6.45 8.73 8.52 8.83 8.53 8.94 8.40 8.91 8.19 8.56
7.41 8.65 8.81 8.59 8.87 8.81
7.55 7.74 7.84 7.41 7.40
6.54 7.07 7.17
Sumas 42.56 84.06 51.14 37.94 20.78 236.48
Promedio 7.093 8.406 8.523 7.588 6.926 7.707
Observaciones 6 10 6 5 3 30
Gran media =
882666.730
48.236
30
.......65.841.7...76.845.6...15.752.8
5
1 1
t
j
n
i
ij
n
X
X
j
Variación total (VT) =
0741867.2488.717.788.707.7...88.712.6...88.752.82222
2
1 1
k
j
n
i
ij XX
Variación dentro del grupo (VDG) =
9584533.11
926.617.7....523.841.7...406.845.6...09.752.82222
1 1
2
k
j
n
i
jij XX
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60
Variación entre grupos (VEG) =
1157333.1288.7926.6....88.7406.888.7093.7222
1
2
K
j
jj XXn
Para calcular el estadístico de prueba perteneciente a la distribución F , se resume
en el siguiente cuadro:
Tabla No. 16. Cálculos del cuadro de análisis de varianza
Variación Suma cuadrados Grados libertad Cuadrado medio Distribución F
Entre tratamiento 12.1157333 (K-1)= 4 3.0289 6.332 Dentro o error 11.9584533 (n-K)=25 0.4783
Total 24.0741867 (n-1)=29
En la tabla “F” determina el correspondiente valor crítico para el numerador (k-1=
5-1=4) y el denominador (n-K = 30-5=25), con una probabilidad de error tipo 1 o un
nivel de significancia del 1%, que corresponde a 18.401.0 F . Para el caso la
relación es igual a 6.332 mayor que el valor crítico 4.18, entonces se tienen
pruebas suficientes para rechazar la hipótesis nula consistente en que las medias
de las cinco variedades de árboles son iguales. En otras palabras el análisis de
varianza apoya la conclusión que las medias para la altura de las diferentes
especies de árboles es diferente.
Lección 23. Comparación Múltiple de Medias (Pruebas “a
Posteriori”)
Las pruebas "a posteriori" son un conjunto de pruebas para probar todas las
posibles medias que podría ser diferente al rechazar la hipótesis.
Existen varias, (Duncan, Newman-Keuls, LSD): todas ellas muy parecidas. Usan el
rango (diferencia entre medias) de todos los pares de muestras como estadístico y
dicho rango debe superar un cierto valor llamado mínimo rango significativo para
considerar la diferencia significativa.
La principal diferencia con respecto a la t-student radica en que usan MSE como
estimador de la varianza, es decir un estimador basado en todas las muestras.
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61
Lección 24. Análisis de varianza con dos factores (diseño de
bloques aleatorizados).
Con frecuencia interesa analizar los efectos de dos tipos de factores o
tratamientos. Suponga que un experimento incluye dos tipos de factores: el uno
llamado C (lo que sugiere columna) consistente en K tratamientos diferentes, y el
otro, denominado F (lo que sugiere fila) consistente en J tratamientos diferentes.
Se admite que respecto al j-ésimo tratamiento de F y el K-ésimo tratamiento de C,
existen cuatro componentes así:
ijkjiijKX
Ecuación No.20
Dónde:
−
La varianza total de la muestra se particiona en la varianza entre las filas, varianza
entre columnas, varianzas entre la j x k, y las varianzas del error aleatorio. Para
este modelo, los cálculos del análisis de la varianza para las sumas de los
cuadrados son idénticos a los realizados en el modelo de un solo factor, tan solo
que se calculan variaciones para el factor de fila, de columna y para el error
aleatorio. De manera análoga, los grados de libertad y los cuadrados medios son
los mismos. A continuación se indica el cuadro resumen para el análisis de
varianza de dos factores:
Tabla No. 17. Análisis de varianza para dos factores
Fuente de
variación
Suma de los cuadrados, SC Grados de
Libertad, gl
Media cuadrática,
MC
Relación F
Entre los grupos
o columnas (j)
C
j
j XXrVEC1
2
. 1c
1
c
VECMCA
MCE
MCAF
Entre los bloques
o filas (i)
r
i
i XXcVEF11
2
. 1r
1
r
VEFMCB
MCE
MCBF
Error de
muestreo, E
c
j
r
i
ijij XXXXVE1 1
2
.. 11 cr
11
cr
VEMCE
Total, T
c
j
r
i
ij XXVT1 1
2
1rc
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62
La definición de los términos del cuadro son los siguientes:
nes.observacio de totalNúmeron
grupos. de número Elc
bloques. de número Elr
.gran total al eequivalent
grupos, los todosdey bloques los todosde valoreslos de sumatoria La X
j. grupo del to tratamienel para valoreslos todosde media LaX
i. bloque elen valoreslos todosde media La
ésimo.-i grupo del to tratamienel para ésimo-i bloque delValor
1 1
ij
j
X
X
X
c
j
r
i
i
ij
Para contrastar los efectos de los factores en el modelo, se construye un
estadístico que se compara los cuadrados medios, que bajo la hipótesis nula sigue
una distribución F.
Ejemplo
Suponga que existen cuatro parcelas diferentes las cuales son sometidas
sucesivamente a seis tipos de insumos y se piensa que la producción es afectada
por el tipo de insumo y mantenimiento a que es sometida. Se desea probar los
diferentes tratamientos afectan la producción por parcela, y la producción es la
siguiente:
Tabla No. 19. Rendimientos en kilos por parcela
Tratamiento RENDIMIENTO EL KILOS Parcela 1 Parcela 2 Parcela 3 Parcela 4 Total Medias
A B C D E F
70 77 76 80 84 78
61 75 67 63 66 68
82 88 90 96 92 98
74 76 80 76 84 86
287 316 313 315 326 330
71.75 79.00 78.25 78.75 81.50 82.50
Totales 465 400 546 476 1.887
Medias 77.50 66.67 91.00 79.33 78.625
Los totales por grupo (parcelas) y sus correspondientes promedios, los totales y
los promedios por tratamientos o bloques (insumo y manteniendo), así como la
gran media se indican en el cuadro.
Además de las estadísticas representadas en el cuadro, se tiene:
24rcn 4;c ;6 r
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63
625,7824
887.11 1
rc
X
X
c
j
r
i
ij
Para determinar los resultados del experimento de diseños de bloques
aleatorizados con fines ilustrativos, se hacen los siguientes cálculos:
Variación Total de Cuadrados:
c
j
r
i
ij XXVT1 1
2
63,295.2625,7886...625,7877625,7870222
Variación entre grupos o columnas:
C
j
j XXrVEC1
2
.
Ecuación No.21
46,787.1625,7833.79...625,7867.66625,785.776222
Variación entre bloques o filas:
r
i
i XXcVEF11
2
.
Ecuación No.22
38,238625,785.82...625,7879625,7875.714222VEF
Variación del error de muestreo:
c
j
r
i
ijij XXXXVE1 1
2
..
Ecuación No.23
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64
244.79
78,62582.50-79.33-86
.
.
625,7800.7950.7777
625,7875.715.7770
2
2
2
VE
Los medios o promedios cuadráticos, se calculan así:
82,59514
46,787.1
1
c
VECMCA
676,5616
38.283
1
r
VEFMCB
986,14
15
79.224
1416
79.224
11
cr
VEMCE
Los cálculos anteriores se pueden resumir en el siguiente cuadro:
Tabla No. 20. Resultados del análisis de varianza para dos factores
Fuente Suma de cuadrados
Grados libertad
Cuadrado medio (varianza)
F
Entre grupos 1.787.46
4-1=3
595,820
3
46.787.1
VEC
39,758
986,14
82.595
F
Entre Bloques
283.38
6-1=5
56,676
5
38.283
VEF
3,782
986,14
676,56
F
Error 224.79
(6-1)(4-1)=15
Total 2.295.63 (6)(4)-1=23
14,986
15
79.224
VE
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65
Además de los registros anteriores, en las tablas ANOVA de los diferentes
paquetes de software estadísticos, incluyen el p-valor que consiste en la
probabilidad de obtener un estadístico F igual o mayor a la obtenida dado que la
hipótesis nula sea verdadera, es decir, si el p- valor es menor que el nivel
especificado de significancia , la hipótesis nula es rechazada. Para nuestro caso
se utiliza la información contenida en el cuadro anterior.
Si se desea probar las diferencias entre los rendimientos de las parcelas con un
nivel de significancia del 5%, la regla de decisión consiste en rechazar la hipótesis
nula 4321: oH si el valor F calculado es mayor que 3.29 (Ver tabla F
con 3 grados de libertad en el numerador y 15 grados en el denominador). Para el
caso F = 39,758 es mayor que el valor crítico 3.29, entonces se rechaza la
hipótesis nula y se llega a la conclusión que existe evidencia de una diferencia
entre la producción promedio de las diferentes parcelas, como se puede apreciar
en el siguiente gráfico:
Gráfico No. 20. Región de aceptación de hipótesis
Como una verificación de la efectividad de la utilización de insumos, se puede
probar la diferencia de efectividad de los diferentes insumos aplicados. La regla de
decisión utilizando un nivel de significancia del 5%, sería la de rechazar la
hipótesis nula 654321: oH si el valor F calculado excede a
2.90 (Ver anexo F con 5 grados de libertad en el numerados y 15 grados en el
denominador). Para el caso el valor F = 3,782 es mayor al valor crítico, lo que se
concluye que la utilización de los diferentes insumos, produce diferencia
significativa entre los promedios de producción para las parcelas, y que la
conformación de dichos bloques es ventajosa para reducir el error experimental,
situación que se presenta en el siguiente gráfico:
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66
Gráfico No. 21. Región de aceptación de hipótesis
Lección 25. Análisis de varianza de dos factores con interacción.
(Diseño factorial).
Se ha visto hasta ahora el análisis de varianza de una dirección o el modelo de
diseño completamente aleatorizado, después el modelo de diseño de bloque
aleatorizado, y en la presente sección el análisis de varianza de dos factores con
interacción.
Con el propósito de desarrollar el procedimiento de la prueba F, se define a
continuación los siguientes términos:
'
'
.j.
i..
ij
r.c.nn(con oexperiment del nesobservacio de totalNúmeron
celda. cada para replicas) valores(de Númeron
B.factor del niveles de Númeroc
A.factor del niveles de Númeror
columnas.y hileras las en todas valoreslos todosde Gran totalGT
B.factor del j columna la de valoreslos de SumaX
A.factor del i hilera la de valoreslos de SumaX
B.factor del j nivel dely A factor del i nivel del nesobservacio (las ij celda la de valoreslos de SumaX
B.factor del j nivel delA t factor del i nivel deln observació ésima-k la deValor
ijkX
Con fines ilustrativos se hacen planteamientos tanto conceptuales como de
cálculos para la descomposición de la variación total necesaria para el desarrollo
del procedimiento de la prueba F. Debido a la gran cantidad de cálculos se
recomienda que dicho proceso sea llevado por el paquete de software analizado
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67
más adelante.
Tabla resumen para el análisis de varianzas de dos vías con más de una
observación por célula se resume en el siguiente cuadro:
Tabla No. 21. Resumen de análisis de varianza de dos vías
Fuente de variación
Suma de los cuadrados, SC
Grados de libertad, gl
Media cuadrática, MC
Relación F
Entre grupos de tratamiento A
'
2
1'
2
..
rcn
GT
cn
XVEGA
r
i
i
1r
1
r
VEGAMCA
MCE
MCAF
Entre grupos de tratamiento, B
'
2
1'
2
..
rcn
GT
rn
XVEGB
c
j
j
1c 1
c
BEGBMCB
MCE
MCBF
Interacción entre factores A y B.
'
2
1'
2
..
1'
2
..
1 1'
2
rcn
GT
rn
X
cn
X
n
XVEAB
c
j
j
r
i
ir
i
c
j
ij
11 cr 11
cr
VEABIMCC
MCE
MCIF
Error de muestreo, E 1' nrc
1'
nrc
VEMCE
Total, T
r
i
c
J
n
K
ijkrcn
GTXVT
1 1 1'
2
2
'
1' rcn
Ejemplo
Para ilustrar el modelo factorial de dos factores, suponga que UD como dueño y
propietario de una cadena de supermercados está interesado en saber el efecto
de la colocación de los estantes en la venta de un producto. Para ello estudia 4
posibles lugares distintos donde colocar los estantes: Colocación normal entre el
pasillo(A), colocación ingreso del pasillo (B), colocación a la entrada del pasillo con
impulsadora (C) y colocación normal con propaganda (D). Se toman ventas
aleatorias en las jornadas de la mañana, tarde y noche y los resultados de las
ventas semanales se resumen en la siguiente tabla:
r
i
c
j
n
k
r
i
c
j
ij
ijkn
XXVE
1 01 1 1 1'
2
.2
'
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68
Tabla No. 22. Colocación de productos en un estantes durante jornadas
JORNADA COLOCACIÓN ESTANTE
A B C D Totales Medias Mañana 45
50 56 63
65 71
48 53
451 56,375
Tarde 57 65
69 78
73 80
60 57
539 67,375
Noche 70 78
75 82
82 89
71 75
622 77,750
Totales 365 423 460 364 1.612
Medias 60.83 70.50 76.67 60.67 67,167
Se tiene la siguiente información:
2
4
3
'
n
c
r
622
539
451
..3
..2
..1
X
X
X
364
460
423
365
.4.
.3.
.2.
.1.
X
X
X
X
101
136
119
95
.14
.13
.12
.11
X
X
X
X
117
153
147
122
.24
.23
.22
.21
X
X
X
X
146
171
157
148
.34
.33
.31
.31
X
X
X
X
612.1GT
r
i
c
j
n
k
ijkX1 1
222
1
2 550.11175...5045
'
75,100.110
24
622539451 222
1'
2
..
r
i
i
cn
X
375.109
23
364460423365 2222
1'
2
..
c
j
j
rn
X
292.111
2
146...11995 222
1 1'
2
.
r
i
c
j
ij
n
X
66.272.108243
612.1 2
'
2
rcn
GT
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69
Variación Total de Cuadrados:
34.277.366.272.108550.111
1 1 1'
2
2
'
r
i
c
J
n
K
ijkrcn
GTXVT
Variación entre grupos del tratamiento A:
09.828.166.272.10875.100.110
'
2
1'
2
.. rcn
GT
cn
XVEGA
r
i
i
Variación entre grupos del tratamiento B:
34.102.166.272.108375.109
'
2
1'
2
..
rcn
GT
rn
XVEGB
c
j
j
Variación entre los factores A y B:
88.91108.272.66109.375-110.100.75-111.292
'
2
1'
2
..
1'
2
..
1 1'
2
rcn
GT
rn
X
cn
X
n
XVEAB
c
j
jr
i
ir
i
c
j
ij
Variación del error de muestreo:
258292.111550.111
1 1 1'
2
2
'
r
i
c
J
n
K
ijkrcn
GTXVT
Para el cálculo de las varianzas se utilizan las siguientes relaciones:
045.91413
09.828.1
1
r
VEGAMCA
447.36714
34.102.1
1
c
BEGBMCB
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70
818,14
1413
91.88
11
cr
VEABIMCC
5.21
1243
258
1'
nrc
VEMCE
Los cálculos anteriores se resumen en el siguiente cuadro:
Tabla No. 23. Resumen de análisis de varianza de dos vías
Fuente de variación Suma de los cuadrados, SC
Grados de libertad, gl
Media cuadrática, MC
Relación F
Entre grupos de tratamiento A
1.828.09
213
914.045
42.51
Entre grupos de tratamiento, B
1.102.34
314
367.447
17.09
Interacción entre factores A y B.
88.91
61413
14.818
0.69
Error de muestreo, E 258 121243 21.5
Total, T 3.277.34 231243
Si utiliza un nivel de significancia del 0.05 y se prueba la diferencia entre las
ventas en las diferentes jornadas (mañana, tarde, noche), la regla de decisión es
la rechazar la hipótesis nula ( rH ...: 210 ) si el valor calculado para F
(42.51) es mayor que 3.49 (observar tabla F para 2 grados de libertad en el
numerador y 12 grados de libertad en el denominador); se rechaza la hipótesis
nula y se llega a la conclusión que existe evidencia que entre las diferentes
jornadas las ventas en promedio son diferentes.
Así mismo si utiliza un nivel de significancia de 0.05 para probar si existe alguna
diferencia entre la ubicación de los estantes, la regla de decisión es rechazar la
hipótesis nula ( cH ...: 210 ), si el valor calculado F (17.09) es mayor que
3.49 (observar tabla F para 3 grados de libertad en el numerador y 12 grados de
libertad en el denominador); se rechaza la hipótesis nula y se concluye que existe
una diferencia entre los promedios de ventas para la colocación de los diferentes
estantes en el almacén.
Finalmente se puede probar si existe algún efecto de interacción entre el factor A
(ventas en las diferentes jornadas) y el factor B (colocación de los estantes).
Utilizando un nivel de significancia del 5%, la regla de decisión es rechazar la
hipótesis nula ( jy i todopara ,0ijAB ), si el valor calculado F (0.69) es mayor que
3.0 (observar tabla F para 6 grados de libertad en el numerador y 12 grados de
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71
libertad en el denominador); no se rechaza la hipótesis nula y se concluye que no
existe evidencia de un efecto de interacción entre las jornadas del día y la
colocación de los estantes.
INTERPRETACIÓN DE LOS EFECTOS DE LA INTERACCIÓN
Se ha realizado hasta ahora las pruebas para la significación del factor A, del
factor B y de la interacción, corresponde entender en mejor forma el concepto de
interacción, si se grafica las medias, empleando la siguiente fórmula:
'n
XX
ij
ij
5.502
101
2
136
2
119
5.472
95
.14
.13
.12
.11
X
X
X
X
5.582
117
5.762
153
5.732
147
0.612
122
.24
.23
.22
.21
X
X
X
X
0.732
146
5.852
171
5.782
157
0.742
148
.34
.33
.32
.31
X
X
X
X
Se procede a graficar las ventas semanales promedio de cada jornada y de cada
colocación de la estantería, como se indica a continuación:
Gráfico No. 22. Ventas de producto en tres jornadas
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
Mañana Tarde Noche
Ven
tas
Jornada
Ventas Jornada mañana-tarde-noche
A
B
C
D
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72
Las cuatro líneas representan las colocaciones de las estanterías aparecen
apuntando casi representando en la misma dirección, lo que significa que la
diferencia en las ventas entre las cuatro colocaciones de los estantes es
virtualmente la misma para las ventas de las diferentes jornadas. En otras
palabras, no existe interacción entre los dos factores (jornada y estantería), como
claramente se evidenció en la prueba F vista anteriormente.
¿Cuál es la interpretación si se presenta el efecto de interacción? En tal situación,
algunos niveles del factor A responden mejor con ciertos niveles del factor B; por
ejemplo, suponga que algunas colocaciones en los estantes fueran mejor para las
jornadas. Si este fuera el caso, las líneas de la figura no estarían apuntando en la
misma dirección que las hace casi paralelas y el efecto de interacción sería
estadísticamente significativo, y por consiguiente, las diferencias entre las
diferentes localizaciones de estantes no serían las mismas para las diferentes
jornadas.
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73
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1. Un inspector de un distrito escolar quiere estudiar el ausentismo de los
profesores de diversos grados escolares. Se seleccionaron muestras aleatorias de
profesores en escuelas primarias, secundarias, y preparatorias, y el número de
días de ausencia el año anterior fue como sigue:
Primaria Secundaria Preparatoria 7 13 7 4 14 2 10 9 6 6 8 9 5 7 9 10
Con un nivel de significancia de .025, determine si hay una diferencia en el
ausentismo entre los diversos grados.
2. El propietario de una distribuidora de combustible pretende investigar la
rapidez con la cual le pagan sus facturas en tres áreas suburbanas. Se
seleccionaron muestras de clientes en cada zona y se registró el número de días
entre la entrega y el pago de la factura, con los siguientes resultados:
Área 1 Área 2 Área 3 8 10 32 18 16 8 14 28 16 20 25 27 12 7 17 14 17 20 15 19 16 21 20
Con un nivel de significancia de .025, determine si hay una diferencia en la
rapidez con que pagan las facturas en estas tres áreas.
3. Un agrónomo desea estudiar el rendimiento (en libras) de cuatro variedades
diferentes de calabacitas. Se dividió una parcela en 16 lotes y se asignaron cuatro
lotes al azar a cada variedad. Los resultados del experimento (en libras) fueron
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74
Calabacita redonda
Calabacita común
Calabaza alargada
Calabacita rayada
86 40 30 48 74 48 36 54 88 54 42 42 76 46 34 56
Con un nivel de significancia de .01, determine si hay una diferencia en el
rendimiento de las diferentes variedades de calabacitas.
4. Un distribuidor de automóviles nuevos quiere estudiar la cantidad de dinero
aplicado a la compra de equipo opcional en automóviles de tamaño grande. Se
seleccionó una muestra de 20 compras. Los sujetos se dividieron en las siguientes
clasificaciones por edades: 18-24, 25-29, 30-39, 40-59, 60 y más. La cantidad de
equipo opcional comprado (en miles de pesos) se organizó en grupos de edad
como sigue:
Edad 18-24 25-29 30-39 40-59 60 y más 6.31 7.64 8.37 11.23 6.74 4.27 5.36 9.26 10.64 7.36 5.75 3.85 10.16 8.32 5.12
6.24 6.48 9.00 7.86 7.53
Con un nivel de significancia de .05, determine si hay una diferencia en la
cantidad de dinero aplicado a la compra de equipo opcional en automóviles
nuevos entre los diferentes grupos de edad.
5. Los alumnos de la clase de mercadotecnia calificaron el desempeño del
profesor como excelente, bueno, malo y pésimo. Las calificaciones que dieron los
estudiantes al profesor fueron comparadas con sus calificaciones finales del curso
de mercadotecnia. Lógicamente, se pensaría que en general, los estudiantes que
calificaron al profesor con excelente tendrían una calificación final mucho más alta
que los que lo calificaron como bueno, malo o pésimo. Esto supondría también
que quienes calificaron al docente como pésimo obtendrían las calificaciones mas
bajas. Se seleccionaron muestras de calificaciones finales de los alumnos por
cada tipo de calificación dada al maestro.
Calificaciones finales de la clase de Mercadotecnia Excelente Bueno Malo Pésimo
94 75 70 68 90 68 73 70 85 77 76 72 80 83 78 65 88 80 74
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75
68 65 65
Se pretende determinar si hay una diferencia estadística entre la calificación
promedio obtenida por los estudiantes de acuerdo a la calificación otorgada al
maestro. Utilice un nivel de significancia de .01
6. En un esfuerzo por determinar la más efectiva manera de enseñar
principios de seguridad a un grupo de empleados de una compañía, cuatro
diferentes métodos fueron tratados. Veinte empleados fueron asignados
aleatoriamente a cuatro grupos. El primer grupo recibió instrucción programada en
folletos y trabajaron a lo largo del curso a su propio paso. El segundo grupo
atendió lecturas. El tercer grupo observó presentaciones en televisión, y el cuarto
fue dividido en pequeños grupos de discusión. Al final de las sesiones, una prueba
fue aplicada a los cuatro grupos. Los resultados fueron:
Calificaciones Instrucción programada
Lecturas Televisión Grupos de discussion
6 8 7 8 7 5 9 5 6 8 6 6 5 6 8 6 6 8 5 5
Pruebe en el nivel de significancia de .05 si hay o no diferencia entre las cuatro
medias.
7. Una revista para consumidores está interesada en saber si existe o no
alguna diferencia en la duración promedio de cuatro marcas diferentes de pilas
para radios de transistores. Se probó una muestra aleatoria de cuatro pilas de
cada marca, con los siguientes resultados (en horas):
Marca 1 Marca 2 Marca 3 Marca 4 12 14 21 14 15 17 19 21 18 12 20 25 10 19 23 20
Con un nivel de significancia de .05, pruebe si hay alguna diferencia en la
duración promedio de estas cuatro marcas de pilas para radios de transistores
8. Un psicólogo industrial querría determinar el efecto del consumo de
bebidas alcohólicas sobre la capacidad mecanográfica de un grupo de secretarias.
Se asignaron en forma aleatoria cinco secretarias a cada uno de los tres niveles
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de consumo y a cada una de las tres diferentes bebidas. Se dieron a cada
secretaria las mismas instrucciones para mecanografiar la misma página. Se
registró el número de errores cometido por cada secretaria con los siguientes
resultados
Consumo de alcohol 1 onza 2 onzas 3 onzas
Tequila Brandy Ron Tequila Brandy Ron Tequila Brandy Ron 2 3 4 7 5 9 10 8 12 5 4 4 5 6 4 6 7 5 3 4 4 6 4 8 10 8 12 6 5 4 3 4 2 12 13 11 4 5 4 9 7 11 12 10 12
Con un nivel de significancia de .01, pruebe las siguientes hipótesis:
Es diferente la cantidad de errores dependiendo de la cantidad de bebida.
Es diferente la cantidad de errores dependiendo del tipo de bebida.
Es diferente la cantidad de errores dependiendo de la interacción de las
dos variables.
9. El gerente de menudeo de una cadena de tiendas desea determinar si la
ubicación del producto tiene o no algún efecto sobre la venta de juguetes de
peluche en forma de animales. Se van a considerar tres ubicaciones diferentes en
el pasillo: frente, centro y atrás. Se seleccionó una muestra de 18 tiendas y se hizo
una asignación aleatoria en seis tiendas para cada ubicación en el pasillo. Los
juguetes estaban presentados en cuatro figuras de animales diferentes. Al final de
un periodo de prueba de una semana las ventas de los productos fueron como
sigue:
frente centro Atrás osos perros gatos león osos perros gatos león osos Perros gatos león
86 81 76 71 20 16 19 24 46 51 56 56 72 77 82 87 32 36 32 29 28 24 20 21 54 49 44 39 24 20 23 28 60 65 68 66 40 45 50 55 18 22 18 15 22 18 16 19 50 45 40 35 14 10 13 18 28 33 34 30 62 67 72 77 16 20 16 13 40 36 36 41
Con un nivel de significancia de .01 pruebe las siguientes hipótesis:
Las ventas en las diferentes ubicaciones del pasillo son diferentes
Las ventas de las diferentes figuras de animales son diferentes
Las ventas son diferentes debido a la interacción de las dos variables.
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10. El departamento de nutrición de cierta universidad lleva a cabo un estudio
para determinar si hay diferencia o no en el contenido de ácido ascórbico entre
tres diferentes marcas de concentrado de jugo de naranja. Se hacen cuatro
pruebas de los tres tipos de concentrado de jugo de naranja que fue congelado
durante tres periodos de tiempo diferentes (en días). Los resultados, en
miligramos de ácido ascórbico por litro, son los siguientes:
MARCA TIEMPO ( DÍAS ) 0 3 7
RICA 52.6 54.2 49.4 49.2 42.7 48.8 49.8 46.5 42.8 53.2 40.4 47.6
BUENA 56.0 48.0 48.8 44.0 49.2 44.0 49.6 48.4 44.0 42.4 42.0 43.2
BARATA 52.5 52.0 48.0 47.0 48.5 43.3 51.8 53.6 48.2 49.6 45.2 47.6
Utilice un nivel de significancia de .05 para probar la hipótesis de que:
Los contenidos de ácido ascórbico por marca de jugo son diferentes
Los contenidos de ácido ascórbico por tiempo de congelamiento son
diferentes
Los contenidos de ácido ascórbico son diferentes debido a la interacción de
las dos variables.
11. Se estudia el comportamiento de tres camadas de ratas bajo dos condiciones
ambientales en una prueba de laberinto. Las calificaciones de error para las 48
ratas se registran a continuación:
Camada Ambiente Libre Restringido
Brillante 28 22 25 36 72 25 32 93 12 23 10 86 48 91 31 19
Mezclada 36 33 41 22 60 35 83 99 83 14 76 58 89 126 110 118
Lenta 101 33 122 35 136 38 64 87 94 56 83 23 120 153 128 140
Utilice un nivel de significancia de .05 para probar la hipótesis de que:
Las calificaciones de error para las camadas son diferentes
Las calificaciones de error para los ambientes son diferentes
Las calificaciones de error son diferentes debido a la interacción de las dos
variables
12. Considere la combinación de dos factores en la eliminación de mugre en
cargas estándar de lavandería. El primer factor es la marca del detergente, X, Y o
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Z. El segundo factor es la temperatura del agua, caliente o tibia. El experimento se
replica seis veces. La respuesta es el porcentaje de eliminación de mugre. Los
datos son los siguientes:
Marca Temperatura Caliente Caliente
X 85 88 80 82 83 85 78 75 72 75 75 73
Y 90 78 76 86 88 76 92 92 76 88 76 77
Z 85 60 70 76 74 78 87 88 68 55 57 54
Utilice un nivel de significancia de .05 para probar la hipótesis de que:
Los porcentajes de eliminación de mugre son diferentes dependiendo del
detergente.
Los porcentajes de eliminación de mugre son diferentes dependiendo de la
temperatura.
Los porcentajes de eliminación de mugre son diferentes debido a la
interacción de las dos variables.
13. Los puntajes obtenidos en una prueba de rendimiento motor hecha a dos
grupos de estudiantes que participan en deportes universitarios, el primer grupo
está formado por estudiantes que practicaron deporte en la preparatoria, mientras
que el segundo está formado por estudiantes que no practicaron deporte en la
preparatoria. Los puntajes obtenidos por ambos grupos son los siguientes:
GRUPO 1 GRUPO 2 GIMNASIA FUTBOL GIMNASIA FUTBOL 55 56 59 40 58 86 48 55 63 59 58 70 58 65 54 56 50 52 52 43 51 55 42 32 69 28 77 37 79 45 60 51 45 32
Utilice un nivel de significancia de .01 para probar la hipótesis de que:
El rendimiento motor es diferente dependiendo del grupo
El rendimiento motor es diferente dependiendo del deporte
El rendimiento motor es diferente debido a la interacción de las dos variables.
14. La asociación de egresados de la escuela “Mao Meno”, sospecha que sus
miembros reciben en promedio un sueldo inferior al ingreso de los egresados de la
escuela “Much A. Money”. Para comprobarlo se obtuvieron muestras de
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egresados de ambas escuelas. La información que se obtuvo fue la siguiente: (en
miles de pesos)
MAO MENO MUCH A. MONEY CRIMINOLOGÍA PSICOLOGÍA CRIMINOLOGÍA PSICOLOGÍA
5.0 3.2 5.5 7.5 5.5 3.5 3.5 5.5 4.5 4.5 9.5 4.5 3.5 8.2 3.4 8.5 7.5 6.6 6.8 3.2
Utilice un nivel de significancia de .01 para probar la hipótesis de que:
El ingreso es diferente dependiendo de la escuela
El ingreso es diferente dependiendo de la carrera
El ingreso es diferente debido a la interacción de las dos variables.
15. En una secundaria se formaron al azar dos grupos de estudiantes,
formados por alumnos de todos los grados. En un grupo se utilizó un nuevo
método de enseñanza. En el otro se utilizaron los métodos tradicionales. Las
calificaciones al final del curso fueron las siguientes:
MÉTODO TRADICIONAL MÉTODO NUEVO PRIMERO SEGUNDO TERCERO PRIMERO SEGUNDO TERCERO
8 9 8.5 8 8 7.5 6.5 10 10 7 10 8.5 7 8 9 5 10 7.5 8 7 8.5 8 9 8 6 7.5 8 7 8.5 9 8 8 8 7.5 9 9
Utilice un nivel de significancia de .025 para probar la hipótesis de que:
Las calificaciones son diferentes dependiendo del método
Las calificaciones son diferentes dependiendo del grado
Las calificaciones son diferentes debido a la interacción de las dos variable
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CAPITULO SEIS: PRUEBAS NO PARAMETRICAS
Introducción
Uno de los problemas más difíciles para el principiante y para el investigador
experimentado, es decidir cuál de las pruebas estadísticas es la más adecuada
para analizar un conjunto de datos. La aplicación de la estadística en el análisis de
datos es muy amplia y las áreas en las que se aplica son diversas, desde las
ciencias exactas hasta las ciencias sociales. La selección de la prueba estadística
necesaria para el caso, depende de varios factores, en primer lugar se debe saber
cuál es la escala con la que se están midiendo los datos que se analizarán, pues
no se puede aplicar la misma prueba estadística para el caso en que la variable de
interés sea el peso de un producto que cuando lo es la profesión del usuario de un
producto.
Queremos introducir en este parte la noción de pruebas no paramétricas como
aquellas que no presuponen una distribución de probabilidad para los datos, por
ello se conocen también como de distribución libre. En la mayor parte de ellas los
resultados estadísticos se derivan únicamente a partir de procedimientos de
ordenación y recuento, por lo que su base lógica es de fácil comprensión. Cuando
trabajamos con muestras pequeñas (n < 10) en las que se desconoce si es válido
suponer la normalidad de los datos, conviene utilizar pruebas no paramétricas, al
menos para corroborar los resultados obtenidos a partir de la utilización de la
teoría basada en la normal.
En estas técnicas, solamente se necesitan conocimientos elementales de
matemáticas, pues los métodos son relativamente más sencillos que en las
pruebas paramétricas. En estas pruebas, también se tienen supuestos, pero son
pocos y no tienen que ver con la naturaleza de la distribución de la población, por
lo que a estas técnicas también se les conoce como de libre distribución.
En general el único supuesto que se debe cumplir en la mayoría de las pruebas no
paramétricas para confiar en ellas, es que la muestra haya sido seleccionada en
forma probabilística.
Las pruebas que se mencionarán son las que se podrían necesitar con mayor
frecuencia, se mencionarán sus principales características y aplicaciones.
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Objetivo general.
Contrastar la validez de hipótesis o conjetura sobre la relación entre variables y
sobre las distribuciones de probabilidad teórica que adoptan dichas variables, sin
sujetarse a los condicionamientos de la validez de supuestos paramétricos.
Objetivos específicos.
Examinar que se entiende por hipótesis y por prueba de hipótesis No
paramétricas.
Realizar pruebas No paramétricas para una variable y para datos pareados
Realizar pruebas sobre la bondad de ajustes de variables a distribuciones
de probabilidad teórica de carácter cuantitativas.
Realizar pruebas de hipótesis para datos que se encuentran en una escala
nominal u ordinal con aplicación de la distribución chi- cuadrado.
Realizar pruebas sobre la relación entre dos y más variables poblacionales.
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Lección 26. Generalidades
Las pruebas de hipótesis hacen inferencias respecto a los parámetros de la
población, como la media. Estas pruebas paramétricas utilizan la estadística
paramétrica de muestras que provinieron de la población que se está probando.
Para formular estas pruebas, se hace suposiciones restrictivas sobre las
poblaciones de las que se extraen las muestras. Por ejemplo: se suponía que las
muestras eran grandes o que provenían de poblaciones normalmente distribuidas.
Pero las poblaciones no siempre son normales.
Los estadísticos han desarrollado técnicas útiles que no hacen suposiciones
restrictivas respecto a la forma de las distribuciones de las poblaciones. Éstas se
conocen como pruebas sin distribución, o pruebas no paramétricas. Las hipótesis
de una probabilidad no paramétrica se refieren a algo distinto del valor de un
parámetro de población
Ventajas de los métodos no paramétricos.
1. No requieren que hagamos la suposición de que una población está
distribuida en forma de curva normal u otra forma específica.
2. Generalmente, son más fáciles de efectuar y comprender.
3. Algunas veces, ni siquiera se requiere el ordenamiento o clasificación formal.
Desventajas de los métodos no paramétricos.
1. Ignoran una cierta cantidad de información
2. A menudo, no son tan eficientes como las pruebas paramétricas. Cuando
usamos pruebas no paramétricas, efectuamos un trueque: perdemos
agudeza al estimar intervalos, pero ganamos la habilidad de usar menos
información y calcular más rápidamente.
Pruebas no paramétricas son procedimientos estadísticos que pueden
utilizarse para contrastar hipótesis cuando no son posibles lo supuestos
respecto a los parámetros o a las distribuciones poblacionales.
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Lección 27. Prueba de Bondad de Ajuste de Ji-cuadrado
La pruebas de Bondad de Ajuste ji-cuadrado ( ) tiene como objetivo verificar si
los datos de una muestra se asocian a una distribución teórica, para variables
cuantitativas discretas y continuas.
A continuación se establece la prueba 2χ para bondad de ajuste. Supóngase que
al realizar un experimento aleatorio n veces, se presentan los resultados
con frecuencias observadas y de acuerdo con las leyes
de las probabilidades, se espera que estos resultados se presenten con
frecuencias .
Una medida de las diferencias entre las frecuencias observadas y las esperadas
está dada por el estadístico 2 definido por:
∑( − )
Ecuación No.24
= Frecuencias Observadas
= Frecuencias Esperadas
K= Número de observaciones
Si las frecuencias observadas coinciden o se aproximan mucho a las esperadas,
el valor estadístico tiende a cero. Por el contrario, si las frecuencias
observadas difieren significativamente de las esperadas, el valor del estadístico
será positivo y tan grande cuantos mayores sean las diferencias entre las
frecuencias. Bajo estas condiciones se tiene que la región de rechazo es sólo la
región derecha (cola derecha o unilateral superior), cuando la hipótesis son las
siguientes:
: Los datos provienen de una muestra al azar de una población
distribuida de acuerdo a un modelo teórico.
: Los datos no provienen de una población distribuida de acuerdo al
modelo teórico.
En una prueba de hipótesis usando Ji-cuadrado las frecuencias esperadas se calculan suponiendo que La hipótesis nula es cierta
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El estadístico de prueba se puede expresar, para fines de cálculo, como:
∑( − )
∑
−
Ecuación No.25
Con k – r grados de libertad.
k: es el número de eventos o categorías
r : es el número de restricciones (r ≥ 1 es siempre es una restricción, ya que
∑ ∑
, y cada parámetro que se estima con la información de la
muestra es otra restricción más).
En ocasiones, las frecuencias esperadas dan resultados menores que 1, y los
investigadores frecuentemente hacen notar en la literatura que el estadístico no
se distribuye como si las frecuencias esperadas son pequeñas. Por lo tanto
≥ 1 Si, en la práctica resultaran una o varias < 1 se juntan las categorías.
El estadístico teórico es el valor de la Ji-cuadrado con k-r grados de libertad al
nivel de significancia dado.
Esta prueba de hipótesis utiliza un procedimiento de cinco pasos, los cuales se
presentan a continuación:
Plantear las hipótesis nula y alternativa.
Determinar el nivel de significancia.
Estimar el valor estadístico de prueba.
Establecer la regla de decisión.
Tomar la decisión.
Ejemplo. Distribución de Poisson
El administrador de un hospital ha estado estudiando el número de urgencias que
llega a un hospital por día y sospecha que estas se distribuyen según un modelo
de Poisson. También ha determinado que el número medio de urgencias por día
es de 3.
Para determinar si efectivamente el número de urgencias por día que llegan al
hospital siguen la distribución de Poisson, se tomó una muestra al azar de 90 días
de los archivos del hospital. Los datos se resumen en la siguiente tabla.
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Tabla No. 23. Número de urgencias que llegan por día al hospital.
¿Apoyan estos datos la sospecha del administrador? Use = 0.05.
: Los datos se distribuyen según el modelo de Poisson.
Los datos no están distribuidos según el modelo de Poisson.
= 0.05.
Cálculos con 3 y la tabla de la distribución Poisson, determinamos las
probabilidades de Poisson para x= 0, 1, 2,…., 9; y para ≥ 1 ; restamos de 1 la
suma de las probabilidades anteriores. Para obtener las frecuencias esperadas
multiplicamos las probabilidades por n=90. Véase en la tabla No.24.
Podemos ver que < en las tres últimas categorías, por lo tanto debemos
unirlas quedando 9 categorías, así k=10; r=1 ya que el valor de , fue dado.
El valor calculado de la Ji-cuadrada es:
∑
− 9 93 7563 − 9 3 75
Número de
urgencias
por día
Número de días
0 5
1 14
2 15
3 23
4 16
5 9
6 3
7 3
8 1
9 1
10 o mas 0
90
Paso 1: Plantear la hipótesis
nula y alternativa
Paso 2: Determinar el nivel de significancia.
.
Paso 3: Estimar el estadístico de prueba.
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Tabla No. 24 Frecuencias esperadas.
( )
0 5 0,050 4,481
1 14 0,149 13,443
2 15 0,224 20,164
3 23 0,224 20,164
4 16 0,168 15,123
5 9 0,101 9,074
6 3 0,050 4,537
7 3 0,022 1,944
8 1 0,008 0,729
9 1 0,003 0,243
10 o mas 0 0,001 0,099
90 1,000 90
Valor Critico: El valor de la ji-cuadrada teórica para 8 (k-r=9-1) grados de
grados de libertad, a un nivel de significancia de 0.05 es 15.507
Como el valor del estadístico de prueba no cae en la región de rechazo y es
menor que el estadístico teórico concluimos, por tanto, que el número de
urgencias que llegan por día al hospital sigue una distribución de Poisson con
3
Paso 4: Establecer la Decisión
Paso 5: Toma de la Decisión
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Lección 28. Prueba de Kolmogorov-Smirnov
La única premisa que se necesita es que las mediciones se encuentren al menos
en una escala de intervalo. Se necesita que la medición considerada sea
básicamente continua. Además dicha prueba es aplicable cualquiera sea el
tamaño de la muestra.
La prueba Kolmogorov-Smirnov Compara las funciones de distribución teórica y
empírica (sólo válido para variables continuas).
Características de la prueba
La prueba de K-S de una muestra es una hipótesis de bondad de ajuste. Esto es,
se interesa en el grado de acuerdo entre la distribución de un conjunto de valores
de la muestra y alguna distribución teórica específica. Determina si
razonablemente puede pensarse que las mediciones muéstrales provengan de
una población que tenga esa distribución teórica. En la prueba se compara la
distribución de frecuencia acumulativa de la distribución teórica con la distribución
de frecuencia acumulativa observada. Se determina el punto en el que estas dos
distribuciones muestran la mayor divergencia.
Se trata de un método no paramétrico sencillo para probar si existe una diferencia
significativa entre una distribución de frecuencia observada y otra frecuencia teórica. Es
otra medida de la bondad de ajuste de una distribución de frecuencia teórica.
Se basa en la comparación de distribuciones acumuladas: la distribución acumulada de
los datos observados y la distribución acumulada teórica correspondiente al modelo
elegido.
Hipótesis
Ho: La distribución observada se ajusta a la distribución teórica.
F(x) = Ft(x) para todo x.
H1: La distribución observada no se ajusta a la distribución teórica.
Ft(x): es la función teórica. Esta puede ser por ejemplo la función normal con cierta
media y varianzas conocidas.
Estadístico de prueba
D = máxima
Sn(x): es la función de distribución empírica.
Tiene varias ventajas: es una prueba poderosa y fácil de utilizar, puesto que no
requiere que los datos se agrupen de determinada manera.
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Es particularmente útil para juzgar qué tan cerca está la distribución de
frecuencias observada de la distribución de frecuencias esperada, porque la
distribución de probabilidad Dn depende del tamaño de muestra n, pero es
independiente de la distribución de frecuencia esperada (Dn es una estadística de
distribución libre).
Para calcular la estadística K-S, simplemente se elige Dn (la desviación absoluta
máxima entre las frecuencias observadas y teóricas).
Una prueba K-S siempre debe ser una prueba de un extremo.
Luego se busca el valor crítico en la tabla, para las n observaciones, considerando
el nivel de significancia adoptado.
Si el valor de la tabla es mayor que el valor de Dn, entonces aceptaremos la
hipótesis nula.
SUGERENCIAS:
La prueba de Kolmogorov puede usarse con muestras muy pequeñas, en
donde no se pueden aplicar otras pruebas paramétricas.
Podemos usar la prueba de Kolmogorov para verificar la suposición de
normalidad subyacente en todo análisis de inferencia.
Si bien constituye una prueba de implementación sencilla, tenga en cuenta que
carga con las desventajas de los métodos no paramétricos en general, en el
sentido de producir resultados menos precisos que los procedimientos
convencionales.
Cuando trabaje con muestras pequeñas, recuerde usar la frecuencia cumulada
experimental.
Lección 29. Prueba de Wilcoxon
29.1. Wilcoxon de los rangos con signo
Esta prueba nos permite comparar nuestros datos con una mediana teórica.
Llamemos M0 a la mediana frente a la que vamos a contrastar nuestros datos, y
sea X1, X2 .. Xn los valores observados. Se calcula las diferencias X1-M0, X2-M0,
..., Xn-M0. Si la hipótesis nula fuera cierta estas diferencias se distribuirían de
forma simétrica en torno a cero.
Para efectuar esta prueba se calculan las diferencias en valor absoluto |Xi-M0| y se
ordenan de menor a mayor, asignándoles su rango (número de orden). Si hubiera
dos o más diferencias con igual valor (empates), se les asigna el rango medio (es
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decir que si tenemos un empate en las posiciones 2 y 3 se les asigna el valor 2.5 a
ambas). Ahora calculamos R+ la suma de todos los rangos de las diferencias
positivas, aquellas en las que Xi es mayor que M0 y R- la suma de todos los
rangos correspondientes a las diferencias negativas. Si la hipótesis nula es cierta,
ambos estadísticos deberán ser parecidos, mientras que si nuestros datos tienen a
ser más altos que la mediana M0, se reflejará en un valor mayor de R+, y al
contrario si son más bajos. Se trata de contrastar si la menor de las sumas de
rangos es excesivamente pequeña para ser atribuida al azar, o, lo que es
equivalente, si la mayor de las dos sumas de rangos es excesivamente grande.
29.2. Wilcoxon para contrastar datos pareados
El mismo razonamiento lo podemos aplicar cuando tenemos una muestra de
parejas de valores, por ejemplo antes y después del tratamiento, que podemos
denominar (X1,Y1), (X2,Y2), ... ,(Xn,Yn). De la misma forma, ahora calcularemos
las diferencias X1-Y1, X2-Y2, ... , Xn-Yn y las ordenaremos en valor absoluto,
asignándoles el rango correspondiente. Calculamos R+ la suma de rangos
positivos (cuando Xi es mayor que Yi), y la suma de rangos negativos R-. Ahora la
hipótesis nula es que esas diferencias proceden de una distribución simétrica en
torno a cero y si fuera cierta los valores de R+ y R- serán parecidos.
Lección 30. Prueba de Mann-Whitney para muestras
independiente y prueba de Kruskal-Wallis para comparar k
muestras independientes
30.1. Prueba de Mann-Whitney para muestras independientes
La prueba de Mann-Whitney puede utilizarse para probar la hipótesis nula de que
las medianas de dos poblaciones son iguales. Se supone que las dos poblaciones
tienen la misma forma y dispersión, porque tales diferencias también podrían
conducir al rechazo de la hipótesis nula. Es necesario que los valores de las dos
muestras aleatorias independientes estén al menos en la escala ordinal.
Las dos muestras se combinan en un conjunto ordenado, en el que cada valor
muestral se identifica según el grupo muestral original. Los valores se clasifican
entonces de menor a mayor, asignando el rango 1 al menor valor muestral
observado. En caso de valores iguales, se les asigna el rango medio. Si la
hipótesis nula es cierta, el promedio de los rangos de cada grupo muestral debería
ser aproximadamente igual.
30.2. Prueba de Kruskal-Wallis para comparar k muestras independientes (o
Prueba H de suma de rangos)
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Cuando se tiene interés o necesidad de probar una hipótesis nula en la que se
afirma que k tratamientos son iguales o que k muestras aleatorias independientes
provienen de poblaciones idénticas, siendo k > 2, la prueba estadística que se
realizaría dentro de la estadística paramétrica sería el análisis de varianza de un
sentido y para la prueba se utilizaría la distribución F; sin embargo, cuando la
escala es ordinal o se desconfía del supuesto de que las muestras provienen de
poblaciones con forma de distribución normal, se puede utilizar esta prueba para
muestras independientes. La hipótesis alternativa sería que al menos dos
poblaciones tienen una distribución diferente.
La prueba de Kruskal-Wallis sirve para probar la hipótesis nula de que varias
poblaciones tienen las mismas medianas. Así, es el equivalente no paramétrico
del diseño completamente aleatorizado de un factor de análisis de varianza. Se
supone que las diversas poblaciones tienen la misma forma y dispersión para que
la hipótesis anterior sea aplicable, ya que diferencias en forma o dispersión
podrían también conducir al rechazo de la hipótesis nula. Es necesario que los
valores de las diversas muestras aleatorias independientes estén al menos en la
escala ordinal.
Las varias muestras son vistas primeramente como un conjunto de valores, y cada
valor de este grupo combinado se clasifica de menor a mayor. En caso de valores
iguales, se les asigna el rango medio. Si la hipótesis nula es cierta, el promedio de
los rangos de cada grupo muestral debería ser más o menos igual.
Ejercicios propuestos
1. Cinco antiguos pacientes son seleccionados aleatoriamente del ala A de un
hospital y cuatro pacientes son seccionados del ala B. Los pacientes estuvieron
los siguientes números de días:
Ala A 13 4 2 10 6
Ala B 10 9 7 8
Se debe efectuar una prueba U de Mann-Whitney para determinar si existe
diferencia significativa entre la duración de las estancias en el hospital para las
dos alas. ¿Cuál es la clasificación para la estancia de 13 días en el Ala A?
R/ta: 9 días
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2. Elija la muestra con la mayor suma de rangos si los elementos son clasificados de mayor a menor:
Muestra A: 1 3 9
Muestra B: 5 1 8 Muestra C: R/ta: 16
9 4 2
3. En una partida de Rol se lanza 200 veces un dado de cuatro caras obteniéndose 60 veces el número 1, 45 veces el número 2, 38 veces el número 3 y 57 veces el número 4. Se puede aceptar, a un nivel de confianza del 95%, que estos resultados corresponden a un dado homogéneo. R/ta: Se acepta de la hipótesis que los resultados corresponden a un dado homogéneo
4. En una encuesta preelectoral realizada a 500 personas se obtuvo la
siguiente distribución en función de sus edades y de su intención de
voto:
Partido
Edad
18 – 35
35 – 50
50 o más A 10 40 60 B 15 70 90 C 45 60 35 D 30 30 15
A un nivel de confianza del 90% ¿Puede afirmarse que la intención de
voto es independiente de la edad?
R/ta: Se rechaza la hipótesis de independencia de las variables 5. Los tiempos de respuesta de 9 sujetos en una tarea de reconocimiento de palabras, previamente presentadas, han sido los siguientes: 115, 98, 123, 109, 112, 87, 118, 104, 116
A un nivel de confianza del 95% ¿Son compatibles estos resultados con la hipótesis de que el tiempo de reacción en esta tarea sigue una distribución Normal de media 110 y desviación típica 10? R/ta: Se acepta la hipótesis de normalidad de la variable.
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Autoevaluación
1. Los miembros de un equipo ciclista se dividen al azar en tres grupos
que entrenan con métodos diferentes. El primer grupo realiza largos recorridos
a ritmo pausado, el segundo grupo realiza series cortas de alta intensidad y el
tercero trabaja en el gimnasio con pesas y se ejercita en el pedaleo de alta
frecuencia. Después de un mes de entrenamiento se realiza un test de
rendimiento consistente en un recorrido cronometrado de 9 Km. Los tiempos
empleados fueron los siguientes:
Método I Método II Método III
15 14 13 16 13 12 14 15 11 15 16 14 17 14 11
A un nivel de confianza del 95% ¿Puede considerarse que los tres métodos
producen resultados equivalentes? O por el contrario ¿Hay algún método
superior a los demás?
Solución: E estadístico de contraste vale: F = 13,4/ 1,43 = 9,37
El valor de la F teórica con 2 y 12 grados de libertad, a un nivel de confianza
del 95% es 3,89. Por consiguiente se rechaza la hipótesis nula y se concluye
que los tres métodos de entrenamiento producen diferencias significativas.
(Tomado de problemas de análisis de datos Tema 14 Análisis de varianzas: José
María Salinas)
Test No Parámetro 2. En una partida de Rol se lanza 200 veces un dado de cuatro caras obteniéndose 60 veces el número 1, 45 veces el número 2, 38 veces el número 3 y 57 veces el número 4. Se puede aceptar, a un nivel de confianza del 95%, que estos resultados corresponden a un dado homogéneo. Solución:
Paso 1: La hipótesis nula será que el dado es homogéneo, esto implica que la distribución de los números es uniforme, es decir que los cuatro números tienen una probabilidad de aparecer de 0,25.
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Paso 2: La hipótesis alternativa será que la distribución no es uniforme. Paso 3: Como la variable es discreta utilizaremos el test Ji-cuadrado de
bondad de ajuste a una distribución.
Paso 4: En la tabla siguiente se han realizado todos los cálculos necesarios, obteniéndose el valor 4,36 para el estadístico de contraste. xi ni pi Npi ni-np i (ni-np i)
2 (ni-
np i)2/np i
1 60 0,25 50 10 100 2 2 45 0,25 50 -5 25 0,5 3 38 0,25 50 -12 144 2,88 4 57 0,25 50 7 49 0,98
200 4,36
Paso 5: Como el estadístico tenía 4 sumandos, buscamos en las tablas de la
Ji- cuadrado con 3 grados de libertad el valor que deja por debajo una
probabilidad de 0,95 y obtenemos que el valor crítico es 7,81.
Como el valor del estadístico es inferior al valor crítico, aceptamos la
hipótesis nula. Estos resultados son compatibles con el hecho de que el
dado sea homogéneo.
3. En una encuesta preelectoral realizada a 500 personas se obtuvo la
siguiente distribución en función de sus edades y de su intención de voto:
Partido 18 - 35 35 - 50 50 o más
A 10 40 60
B 15 70 90
C 45 60 35
D 30 30 15
A un nivel de confianza del 90% ¿Puede afirmarse que la intención de voto es independiente de la edad? Solución: 1º La hipótesis nula es que las dos variables son independientes. 2º La hipótesis alternativa es que hay relación entre ambas variables. 3º Se trata de un contraste de independencia entre dos variables, por consiguiente el estadístico de contraste a utilizar es el estadístico Ji- cuadrado para tablas de contingencia.
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4º Las tablas siguientes presentan los cálculos del estadístico:
Partido
Edad 18 – 35 35 – 50 50 o más
A B C D
10 40 60 15 70 90 45 60 35 30 30 15
110 175 140 75
100 200 200 500
A partir de las frecuencias marginales de la tabla anterior, se obtienen las
frecuencias esperadas que aparecen a continuación:
Partido
Edad 18 – 35
35 – 50
50 o más
A 22 44 44 B 35 70 70 C 28 56 56 D 15 30 30
Por consiguiente las discrepancias entre frecuencias empíricas y frecuencias
esperadas son:
Los cuadrados de las discrepancias son:
Partido
Edad 18 – 35
35 – 50
50 o más
A 144 16 256 B 400 0 400
C 289 16 441 D 225 0 225
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Dividiendo por las frecuencias esperadas se obtiene:
Partido
Edad
18 – 35 35 – 50 50 o más
A B C D
6,55 0,36 5,82 11,43 0 5,71 10,32 0,29 7,88
15 0 7,5
43,30 0,65 26,91 70,86 Sumando, se obtiene el valor del estadístico 70,86. 5º Como la edad presenta tres intervalos y los partidos son cuatro, el estadístico tendrá (3 - 1)·(4 -1 ) = 6. Buscamos en las tablas de la distribución Ji-cuadrado con 6 grados de libertad el valor de la variable que deja por debajo una probabilidad de 0,9 encontramos que el valor crítico es 10,64.
6º Como el valor del estadístico es mayor que el valor crítico rechazamos la hipótesis nula de que ambas variables son independientes. 7º La edad cambia la intención de voto. 4. Los tiempos de respuesta de 9 sujetos en una tarea de reconocimiento de palabras, previamente presentadas, han sido los siguientes: 115, 98, 123, 109, 112, 87, 118, 104, 116
A un nivel de confianza del 95% ¿Son compatibles estos resultados con la
hipótesis de que el tiempo de reacción en esta tarea sigue una distribución
Normal de media 110 y desviación típica 10? Solución: 1º La hipótesis nula es que los datos proceden de una Normal (110, 10).
2º La hipótesis alternativa es que no siguen esa distribución Normal.
3º Como la variable es continua, y la hipótesis nula específica totalmente la distribución utilizaremos el test de Kolmogoroff-Smirnoff, cuyo estadístico de contraste es: max | Fn(xi ) - Mn(xi) | 4º los cálculos del estadístico se especifican en la siguiente tabla:
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xi 87 98 104 109 112 115 116 118 123
zi -2,3 -1,2 -0,6 -0,1 0,2 0,5 0,6 0,8 1,3 Fn 0,0107 0,1151 0,2743 0,4602 0,5793 0,6915 0,7257 0,7881 0,9032 Mn 0,1111 0,2222 0,3333 0,4444 0,5556 0,6667 0,7778 0,8889 1
|Fn-Mn | 0,1004 0,1071 0,059 0,0158 0,0237 0,0248 0,0521 0,1008 0,0968
5º Buscando en las tablas del test Kolmogoroff-Smirnoff para n = 9 el valor crítico para un nivel de confianza del 95% se obtiene 0,43001. 6º Como el valor del estadístico 0,1071 es menor que el valor crítico se acepta la hipótesis nula.
7º A un nivel de confianza del 95% no hay evidencia en contra de que el tiempo de reacción siga una distribución N(110, 10). (Tomado de problemas de análisis de datos Tema 14 Análisis de varianzas: José María Salinas)
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REFERENTES
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Pontificia Universidad Javeriana. Bogotá. D.C. Colombia. Extraído el 18 de octubre
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http://books.google.com.co/books?id=3uhUqvF0_84C&printsec=frontcover&dq=inf
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Juárez, F., Villatoro, J. A. y López, E. K. (2002). Apuntes de Estadística Inferencial.
México, D. F.: Instituto Nacional de Psiquiatría Ramón de la Fuente. Extraído el 10
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Mayorga, J. (2004). Inferencia Estadística. Universidad Nacional de Colombia.
Bogotá. D. C. Colombia. Extraído el 18 de octubre de 2012 de
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Web del Instituto Tecnológica De Chihuahua curso Estadística 1 ITC (s. f).
Extraído el 18 de octubre de 2012 de:
http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/cap02.html.