Mokymo kursas ,,Statistinėanalizėhumanitariniųir ... · skaitinĖs charakteristikos taŠkiniai ir intervaliniai ĮverČiai hipoteziŲtikrinimas laiko eiluČiŲ analizĖ poŽymiŲ

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042

Lietuvos duomenų archyvas (LIDA)

1

PROJEKTAS,,EMPIRINIŲ DUOMENŲ IR INFORMACIJOS HSM TYRIMAMS

KAUPIMAS IR VALDYMAS: LIETUVOS HSM DUOMENŲ ARCHYVAS (LIDA)”

Mokymo kursas,,Statistinė analizė humanitarinių ir socialinių

mokslų tyrimuose”

1. STATISTINIAI METODAI IR PROGRAMINĖS PRIEMONĖS HSM TYRIMUOSE

Vytautas JANILIONIS

2008

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


2

Mokymo kurso turinys:

1. Statistiniai metodai ir programinės priemonės HSM tyrimuose (teorinė paskaita, 3 ak. val.).

2. Požymių priklausomumo tyrimas (teorinė paskaita, 1 ak. val. ir praktinis seminaras, 2 ak. val.).

3. Dispersinė analizė (teorinė paskaita, 1 ak. val. ir praktinis seminaras, 2 ak. val.).

4. Regresinė analizė (teorinė paskaita, 1 ak. val. ir praktinis seminaras, 2 ak.val.)

5. Faktorinė analizė (teorinė paskaita, 1 ak. val. ir praktinis seminaras, 2 ak. val.).

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


3

STATISTIKOS STATISTIKOS METODAIMETODAI

HSM duomenysHSM duomenys

DUOMENDUOMENŲŲANALIZANALIZĖĖS S

PROGRAMINPROGRAMINĖĖĮĮRANGARANGA

STATISTINĖ DUOMENŲ ANALIZĖ

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


4

STATISTIKOS METODAI

TIKIMYBIŲ TEORIJASKAITINĖS CHARAKTERISTIKOS

TAŠKINIAI IR INTERVALINIAI ĮVERČIAIHIPOTEZIŲ TIKRINIMAS

LAIKOEILUČIŲANALIZĖ

POŽYMIŲPRIKLAUSOMUMO

TYRIMAS

KOKYBĖS,KONTROLĖSUŽDAVINIAI

FAKTORINĖANALIZĖ

DISPERSINĖANALIZĖ

GRAFINĖANALIZĖ

KLASTERINĖANALIZĖ

DISKRIMINANTINĖANALIZĖ

REGRESINĖANALIZĖ

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


5

IMTIES IMTIES ĖĖMIMO METODAIMIMO METODAI

Tikimybinės imtys:ATSITIKTINATSITIKTINĖĖ IMTISIMTISSLUOKSNINSLUOKSNINĖĖ IMTISIMTISLIZDINLIZDINĖĖ IMTISIMTIS

Netikimybinės imtys:PROGINPROGINĖĖ IMTISIMTISKVOTINKVOTINĖĖ IMTISIMTIS

POPULIACIJA

nN

IMTIS

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


6

PaklaidosImties paklaida – tai parametro ir statistikos (parametro įverčio) skirtumas.

Imties paklaidą sudaro atsitiktinė paklaida ir sistemingoji paklaida:

Atsitiktinė paklaida atsiranda todėl, kad statistika negali suteikti visiškai tikslios informacijos apie visą populiaciją – pagal apibrėžimą ji remiasi tik daline informacija (imtimi). Atsitiktinėpaklaida priklauso nuo imties dydžio.

Sistemingąją paklaidą dažniausiai lemia imties iškreiptis, atsirandanti dėl prasto jos sudarymo.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


7

amžiuspajamospelno dydisūgistemperatūra

TOLYDUSIS

šeimos dydisdarbuotojų sk.vaikų sk.avarijų sk./sav.kambarių sk.

DISKRETUSIS

KIEKYBINIS

lytistautybėtikėjimasišsimokslinimasšeimyninė padėtisįmonės tipastechnologija

KOKYBINIS

KINTAMASIS(požymis, faktorius, rodiklis, indeksas...)

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


8

LYTIS•vyras•moteris

IŠSIMOKSLINIMAS•nebaigtas vidurinis•vidurinis•nebaigtas aukštasis•aukštasis

TEMPERATŪRA SVORISsvaras= 0,45459 kg

KINTAMASIS(požymis, faktorius, parametras, rodiklis, indeksas...)

261

122

2

1

1,31,16

50

2

1

3259

=°°

=

=°

°=

+=

FF

t

t

CC

t

t

CtFt

a- klasifikavimasb- tvarka (prioritetai)

c- kiekybinis skirtumasd- santykio operacijos

aa aa bb aa bb cc aa bb ddccINTERVALŲINTERVALŲ SANTYKIŲSANTYKIŲVARDŲVARDŲ TVARKOSTVARKOS

Žymėjimai:

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


9

Matavimo skalės (SPSS)

Vardų - Nominal

Tvarkos - Ordinal

Intervalų - Scale

Santykių - Scale

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


10

Pagal kokią skalę matuojami kintamieji?

Ar „Omnitel” sugeba gerai teikti paslaugas?

1 2 3 4 5 6 7

Visiškai nesutinku Visiškai sutinku

Kaip Jūs vertinate prekės kokybę?

1- bloga 2 - vidutinė 3 - gera 4 - puiki

Ar Jūs asmeniškai naudojatės „Tako“ paslauga?

1 Taip 2 Ne

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


11

DUOMENŲ MATRICA

Respondento atsakymai įvisus anketos klausimus

Visų respondentų atsakymai įanketos klausimą apie amžių

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


12

STATISTINĖS ANALIZĖSSISTEMA (pvz. SPSS)

0102030405060708090

1st Qtr 2nd Qtr 3rd Qtr 4th Qtr

EastWestNorth

x x x

x x x

x x x

k

k

n n nk

11 12 1

21 22 2

1 2

. . .

. . ....

...

. . .

... ...

. . .

. . .

X1 X2 Xk

ID1

ID2

IDn

DDUUOMENOMENŲŲFAILAIFAILAI

IIŠŠVADOS,VADOS,ATASKAITOSATASKAITOS

DIAGRAMOSDIAGRAMOSVARTOTOJASVARTOTOJAS

DUOMENDUOMENŲŲMATRICAMATRICA

LENTELLENTELĖĖSS

POPULIACIJAPOPULIACIJA

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


13

Fortran

PL/1

Pascal

C

Universaliosprogramavimo

kalbos

APL

Analytic

Matematikaiorientuotos

programavimo kalbos

MathCad

Mathematica

MatLab

Maple V

Universaliosmatematikos

sistemos

SAS

SPSS

Statgraphics

Statistica

Statistika

SIMULA

SPSS

GASP

SOL

Modeliavimas

Atskirų matematikoskrypčių

programinė įranga

MATEMATIKOS PROGRAMINĖĮRANGA

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


14

SAS sistema , tai JAV SAS Institute Inc. programinė įranga pirmaujanti pasaulyje informacijos pristatymo (information delivery ) srityje.

Jos pagrindinė paskirtis - gauti informaciją iš duomenų trumpiausiu ir efektyviausiu keliu. Sistema apjungia visus informacijos gavimo išduomenų žingsnius:

• duomenų tvarkymas,• duomenų analizė,• ataskaitų rengimas ir rezultatų grafinis vaizdavimas,• informacijos sklaida,• taikomųjų programų kūrimas.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


15

STATA

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


16

http://www.spss.comhttp://www.spss.com

( Statistical Package for Social Sciences)( Statistical Package for Social Sciences)[ [ for Windows 3.X/95/98/for Windows 3.X/95/98/2000/2000/NT/XPNT/XP//]]

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


17

Sistema apjungia visus informacijos gavimo iš duomenų žingsnius:

Duomenų tvarkymas (duomenų įvedimas, redagavimas, saugojimas, rūšiavimas, dokumentavimas, sąveika su įvairiomis duomenų bazėmis, duomenų rinkinių sujungimas, duomenų poaibių išskyrimas ir t.t.).

Duomenų analizė (statistikos ir matematikos metodų taikymas duomenųanalizei). Galima spręsti koreliacinės, dispersinės, regresinės ir laiko eilučiųanalizės, optimizavimo, kokybės kontrolės ir t.t. uždavinius. Pagrindinis šiųuždavinių sprendimo tikslas: atlikti duomenų analizę, kuri padėtų priimti sprendimus.

Ataskaitų rengimas ir rezultatų grafinis vaizdavimas (duomenų analizės rezultatų standartinių ir vartotojo ataskaitų, dvimačių ir trimačių grafikų, diagramų, žemėlapių, spalvotų skaidrių rengimas).

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


18

(…, SPSS/PC+4.0 (DOS), … , SPSS for Windows v.16)

SPSS MODULIAISPSS MODULIAISPSS BaseSSPSS Advanced Models

SPSS TablesSPSS TrendsSPSS CategoriesSPSS Exact TestsSigmaPlotSPSS Maps

SPSS Missing Value AnalysisSPSS Regression ModelsSPSS Data EntrySPSS ConjointSPSS WebApp FrameworkSPSS Report Writer

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


19

SPSS Base statistikos metodai:

1. Skaitinės duomenų charakteristikos.2. Dažnių lentelės.3. Grafinė analizė.4. Požymių priklausomumo lentelės.5. Parametrinių hipotezių tikrinimas.6. Vienfaktorinė dispersinė analizė.7. Koreliacinė analizė.8. Neparametrinių hipotezių tikrinimas.9. Klasterinė analizė.10.Diskriminantinė analizė.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


20

SPSS SPSS dokumentaidokumentai

duomenys programos rezultatai

LENTELLENTELĖĖSS

0102030405060708090

1st Qtr 2nd Qtr 3rd Qtr 4th Qtr

EastWestNorth

grafinis formatastekstinis formatas

GRAFIKAI IR DIAGRAMOSGRAFIKAI IR DIAGRAMOS

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


21

SPSS vartotojo instrumentai:

• meniu sistema;• duomenų analizės uždavinių programavimo kalba;• duomenų matricos redaktorius;• SPSS programų redaktorius;• statistinės analizės rezultatų redaktorius;• grafikų ir diagramų redaktorius;• statistinės analizės konsultantai:

Help Statistics Coach;Help Results Coach;

• SPSS mokomoji programa (Tutorial).

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


22

VARDAS(Name)

skaitinis (3;24.3;-2E4)datos (97.10.28)valiutos ($102.33)simbolinis ('moteris'; vyras)

TIPAS(Type)

diskrečių reikšmiųsąrašas

intervalas

TRŪKSTAMOSREIKŠMĖS

(Missing Values)

KintamojoŽYMĖ

REIKŠMIŲŽYMĖS

ŽYMĖS(Labels)

KINTAMASIS(VARIABLE)

Pvz.

LYTIS,

MOKSLAS,

AMZIUSPvz. Kintamasis MOKSLAS.

Kintamojo žymė: “Jūsų išsimokslinimas”

Reikšmių žymės:

0=“Nebaigtas vidurinis”

1=“Vidurinis”

2=“Nebaigtas aukštasis”

3=“Aukštasis”

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


23

Kintamojo žymė ir reikšmių žymės

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


24

Kintamųjų parametrai(SPSS 10-16 versijos)

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


25

1,64)3(~

3;90,0 =tTt

TOLYDIEJI SKIRSTINIAISTJUDENTO SKIRSTINYS

Plotas=0,9

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


26

36,0

);(~

20;10;05,0

21

=F

FF νν

TOLYDIEJI SKIRSTINIAIFIŠERIO SKIRSTINYS

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


27

APAPRARAŠŠOMOJI STATISTIKAOMOJI STATISTIKAAprašomoji statistika tai duomenų sisteminimo ir grafinio vaizdavimo būdai.

Pagrindinis aprašomosios statistikos tikslas - glaustas ir vaizdus surinktų duomenų apibūdinimas

Duomenims sisteminti naudojami:

dažniai,santykiniai dažniai,procentai, vidurkis, mediana, standartinis nuokrypis,....................................

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


28

GRAFINIS DUOMENGRAFINIS DUOMENŲŲ VAIZDAVIMASVAIZDAVIMAS

Grafiškai apibūdinti duomenis galima:stulpelinėmis diagramomis, skritulinėmis diagramomis, žiedinėmis diagramomis,histogramomis

...........................................

Yra daugybė grafinio vaizdavimo būdų. Kuris diagramos tipas yra tinkamiausias konkrečioje situacijoje, priklauso nuo daugybės faktorių. Duomenų grafiniame vaizdavime nepaprastai daug vietos kūrybai.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


29

EMPIRINIS SKIRSTINYSEMPIRINIS SKIRSTINYS

Empirinis skirstinys – tai atsitiktinio dydžio galimos reikšmės ir jų įgijimo dažniai.

Empirinis skirstinys gali būti pateiktas:

stulpeline diagrama,

histograma,

dažnių lentele,

..............................

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


30

DADAŽŽNIAINIAI

Įvertinkite teikiamos PASLAUGOS KOKYBĘ :1-bloga, 2-patenkinama, 3-gera, 4-labai gera.

Pavyzdžiu, jei duota imtis x=(1, 3, 2, 2, 4, 1, 2, 1, 3, 2), n=10.

tai jos variacinė seka bus 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4.

Užrašysime dažnių ir santykinių dažnių skirstinius.

xi 1 2 3 4 mi 3 4 2 1

xi 1 2 3 4 Wi 0,3 0,4 0,2 0,1

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


31

DADAŽŽNIAINIAI

Įvertinkite teikiamosPASLAUGOS KOKYBĘ :1-bloga,2-patenkinama,3-gera, 4-labai gera.

X Įvertinkite teikiamos paslaugos kokybę

3 30,0 30,0 30,04 40,0 40,0 70,02 20,0 20,0 90,01 10,0 10,0 100,0

10 100,0 100,0

blogapatenkinamageralabai geraTotal

Valid

DažnisFrequency

% (nuo bendroapklaustųjųskaičiaus)Percent

% (nuoatsakiusiųjų į

klausimą) Valid Percent

Sukauptasisprocentas

CumulativePercent

Įvertinkite teikiamos paslaugos kokybę

labai geragerapatenkinamabloganeatsakė

Pro

cent

as

40

30

20

10

0

1010

3030

20

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


32

DADAŽŽNIAINIAI

Įvertinkite teikiamos PASLAUGOS KOKYBĘ :1-bloga, 2-patenkinama, 3-gera, 4-labai gera.

Tarkime 2 respondentai neatsakė į klausimą

Pavyzdžiu, duota imtis y=(1, 3, 2, 2, 4, 1, 9, 1, 9, 2), n=10.Y Įvertinkite teikiamos paslaugos kokybę

3 30,0 37,5 37,53 30,0 37,5 75,01 10,0 12,5 87,51 10,0 12,5 100,08 80,0 100,02 20,0

10 100,0

blogapatenkinamageralabai geraTotal

Valid

neatsakėMissingTotal

Frequency PercentValid

PercentCumulative

Percent

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


33

HISTOGRAMAHISTOGRAMA

Išlaidos telekomunikacijų paslaugoms kovo mėn.

220 - 240

200 - 220

180 - 200

160 - 180

140 - 160

120 - 140

100 - 120

80 - 100

60 - 80

40 - 60

20 - 40

San

tyki

nio

dažn

io ta

nkis

,0149

,0099

,0050

0,0000 16

41

68

157

207217

170

116

55

x (a0;a1] (a1;a2] ... (ar-1;ar]Wi W1 W2 ... Wr

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


34

SSTATAČČIAKAMPIAKAMPĖĖ DIAGRAMADIAGRAMA(Box and Whisker plot, Jhon Tukey, 1977 m.)

max ilgis 1,5 KP≤ ...Išskirtys

KP-kvartilinisplotis

xmin x0.25 xme x0.75 xmax X

50% imties reikšmių 50% imties reikšmių

50% imties reikšmių

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


35

KLAUSIMAS: Kiek per kovo mėnesį išleidote pinigųtelekomunikacijų paslaugoms?

SSTATAČČIAKAMPIAKAMPĖĖ DIAGRAMADIAGRAMA

1056N =

Kovas

Išla

idos

kov

o mėn

esį (

Lt)

250

200

150

100

50

0

4173522991533625329Statistics

Kovas1056

498,3097,00

21234

72,0097,00

124,00

ValidMissing

N

MeanMedianMinimumMaximum

255075

Percentiles

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


36

SPSSSPSS ApraApraššomoji statistikaomoji statistika

SPSS meniu:

Analyze Descriptive StatisticsFrequencies...Descriptives...Explore ...

GraphsBar ...Pie ...Histogram ...Boxplot...

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


37

Išvados apie populiaciją

PopuliacijaPopuliacija

ImtisImtis

SStatistitatistikaka__XX

ĮĮververččiai iriai irhipotezhipotezėėss

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


38

Parametrų įverčiai

Nežinomas populiacijos vidurkis µ.

PopuliacijaPopuliacija AtsitiktinAtsitiktinėė imtisimtis Su 95% garantija galime teigti, kad

vidurkis µ yra tarp

40 ir 60.Vidurkis⎯X = 50

☺

☺

☺☺

☺

☺☺☺☺

☺☺

☺☺ ☺☺

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


39

STATISTIKA Dažnai mus domina ne visas stebimojo kintamojo skirstinys, o tik tam tikra jo charakteristika. Statistinėms išvadoms naudojama kokia nors atsitiktinės imties funkcija

( )nXXXf ,,, 21 … , kuri vadinama statistika.

Pavyzdžiui, ∑=

=n

iiX

nX

1

1

Terminas statistika – tradicinis !!! Statistika – mokslas. Statistika – atsitiktinės imties funkcija.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


40

Populiacija

SkaitinSkaitinėės charakteristikoss charakteristikosKlaidKlaidųų skaiskaiččiaus skirstinysiaus skirstinys

0,00,10,20,3

1 2 3 4

( )12.1

5.2

1

2

1

=−

=

==

∑

∑

=

=

N

X

N

X

N

ii

N

ii

µσ

µ

( )12.1

5.2

1

2

1

=−

=

==

∑

∑

=

=

N

X

N

X

N

ii

N

ii

µσ

µ

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


41

Visos galimos imtys, kai n=2

1 2 stebėjimas st. 1 2 3 4 1 1.0 1.5 2.0 2.5

2 1.5 2.0 2.5 3.0

3 2.0 2.5 3.0 3.5

4 2.5 3.0 3.5 4.0

1 2 stebėjimas st. 1 2 3 4 1 1.0 1.5 2.0 2.5

2 1.5 2.0 2.5 3.0

3 2.0 2.5 3.0 3.5

4 2.5 3.0 3.5 4.0

16 16 imimččiiųų vidurkiaividurkiai1 2 stebėjimas st. 1 2 3 4 1 1,1 1,2 1,3 1,4

2 2,1 2,2 2,3 2,4

3 3,1 3,2 3,3 3,4

4 4,1 4,2 4,3 4,4

1 2 stebėjimas st. 1 2 3 4 1 1,1 1,2 1,3 1,4

2 2,1 2,2 2,3 2,4

3 3,1 3,2 3,3 3,4

4 4,1 4,2 4,3 4,4

16 16 imimččiiųų

Paprastoji atsitiktinPaprastoji atsitiktinėė grgrąžąžintinintinėė imtisimtis

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


42

EmpirinioEmpirinio vidurkiovidurkio ((statistikosstatistikos) ) skirstinysskirstinys

,0,1,2,3

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0⎯X

P(⎯X)

16 16 imimččiiųų vidurkiaividurkiai Statistikos skirstinysStatistikos skirstinys((Sampling DistributionSampling Distribution))

1 2 stebėjimas st. 1 2 3 4 1 1.0 1.5 2.0 2.5

2 1.5 2.0 2.5 3.0

3 2.0 2.5 3.0 3.5

4 2.5 3.0 3.5 4.0

1 2 stebėjimas st. 1 2 3 4 1 1.0 1.5 2.0 2.5

2 1.5 2.0 2.5 3.0

3 2.0 2.5 3.0 3.5

4 2.5 3.0 3.5 4.0

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


43

Empirinio vidurkio (statistikos) skirstinio vidurkis ir standartinis nuokrypis

5.216

0.45.10.11 =+++

==∑

=

N

XN

ii

xµ 5.216

0.45.10.11 =+++

==∑

=

N

XN

ii

xµ

( )

( ) ( ) ( ) 79.016

5.20.45.25.15.20.1 222

1

2

=−++−+−

=

−=

∑=

N

XN

ixi

x

µσ

( )

( ) ( ) ( ) 79.016

5.20.45.25.15.20.1 222

1

2

=−++−+−

=

−=

∑=

N

XN

ixi

x

µσ

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


44

Empirinio vidurkio Empirinio vidurkio (statistikos) skirstinys(statistikos) skirstinysPopulPopuliiaacijacija

,0,1,2,3

1 2 3 4

P(X)

,0,1,2,3

1 1,5 2 2,5 3 3,5 4⎯X

P(⎯X)

µ = 2 5.µ = 2 5. µ x = 2 5.µ x = 2 5.

σ x = 0 79.σ x = 0 79.σ = 112.σ = 112.Svarbu skirti šiuos du skirstinius !!!

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


45

Parametro taškinis įvertis yra atsitiktinis dydis.Koks šio įverčio tikslumas ir patikimumas?

P j j j j j( )Θ Θ Θ− < < + = −ε ε α1

taškinis įvertis

nežinomas parametras

tikslumas patikimumas

INTERVALINIAI ĮVERČIAI

Θ j Θ j

pasikliautinasis intervalas pasikliovimolygmuo

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


46

Apklausus 400 atsitiktinai atrinktų respondentų, 32 respondentai atsakė, kad jie nepatenkinti paslaugos kokybe. Kokia dalis populiacijos nepatenkinta paslaugos kokybe? (išvadą pateikite su 95 % garantija) 08,0

40032ˆ ==p

107.0053.0

400)08.01(08.096.108.0

400)08.01(08.096.108.0

)ˆ1(ˆˆ)ˆ1(ˆˆ 2/2/1

≤≤

−⋅⋅+≤≤

−⋅⋅−

−⋅⋅−≤≤

−⋅⋅− −

p

p

nppZpp

nppZp αα

107.0053.0

400)08.01(08.096.108.0

400)08.01(08.096.108.0

)ˆ1(ˆˆ)ˆ1(ˆˆ 2/2/1

≤≤

−⋅⋅+≤≤

−⋅⋅−

−⋅⋅−≤≤

−⋅⋅− −

p

p

nppZpp

nppZp αα

)107,0;053,0()(95,0 =pPI96,1

025,02/

025,0 −==

Zα

96,1975,02/1

975,0 ==−

Zα

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


47

PASIKLIAUTINOJO INTERVALO RADIMO BENDRASIS ALGORITMAS

1. Maksimalaus tikėtinumo, momentų ar kitu metodu randamasstebimo atsitiktinio dydžio X skirstinio nežinomo parametro Θtaškinis įvertis Θ .

2. Parenkama statistika ( )U Θ , priklausanti nuo parametro Θ irpasiskirsčiusi pagal žinomą pasiskirstymo dėsnį.

Statistika ( )U Θ parenkama priklausomai nuo :a) X tikimybių skirstinio tipo;b) nežinomų parametrų skaičiaus;c) imties didumo;

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


48

Pavyzdžiui, kai X skirstinys yra normalusis ( )X N~ ,µ σ ,parametro µ pasikliautinojo intervalo radimui naudojamosšios statistikos:

a) kai σ žinomas

( )ZX

n Z N=− µσ

, ~ , 0 1 ;b) kai σ nežinomas

( )tX

sn St n=

−−

µ, ~ t 1 .

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


49

3. Parenkamas pasikliovimo lygmuo

{ }99.0 ;95.0 ;9.01 ∈−α

4. Randami kvantiliai uα2 ir u1 2−α tenkinantys lygtį

( )( )P u U uα α α2 21 1< < = −−Θ (*)

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


50

1. Lygtis (*) pertvarkoma į jai ekvivalenčią lygtį

( )P Θ Θ Θ− < < + = −ε ε α1Parametro

taškinis įvertis

Tikslumas Nežinomasparametras

Patikimumas

Pasikliautinasis intervalas

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


51

PASIKLIAUTINOJO INTERVALO RADIM O PAVYZDYS

Duota atsitiktinė im tis ( )nxxxx …;; 21= . Žinoma, kad stebimo atsitiktinio

dydžio X skirstinys yra normalusis ( )σµ ,~ NX . Abu parametrai µ ir σnežinomi.

Rasti nežinomo parametro µ pasikliautinąjį intervalą. Sprendimas

1. Geriausias parametro µ taškinis įvertis yra empirinis vidurkis X (rastas taikant momentų ir maksimalaus tikėtinumo metodus)

∑=

==n

iiX

nX

1

1µ

2. Pasikliautinojo intervalo sudarymui pasirenkam e statistiką

( )1~, −−

= nSttnS

Xt µ

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


52

3. Pasirenkame pasikliovimo lygmenį 1 − α .

4. Randame Stjudento skirstinio kvantilius t nα2 1; − ir t n1 12− −α ;

5. Pertvarkę lygtį

αµαα −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<

−< −−− 11;11; 22 nn t

SXtP ,

gauname

αµ αα −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−<<− −−− 11;1;1 22 nn t

nSXt

nSXP

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


53

POPULIACIJAX~N(µ;σ)

.

...

...

...

. . .X1

Xn

X2

X1 X2 X3 XK

Atsitiktinės imtys

n-imties didumas

Imčių vidurkiai

Imčių vidurkių tikimybinis skirstinys nx

σσ =

µµ =x

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


54

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


55

Normaliojo skirstinio parametrų įverčiai

Pavyzdžiui, duota klientų išlaidų telekomunikacijųpaslaugoms kovo mėnesį imtis. Apskaičiuosime klientųišlaidų vidurkio 0,95 pasikliautinąjį intervalą.

SPSS meniu: Analyze Descriptive statistics Explore .

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


56

),(~ 2σµNX

);()(1;

21;

211

−−−− ⋅−⋅−=

nnt

nSXt

nSXPI ααα µ

))1(;)1(()( 2

1;2

2

2

1;2

1

22

1

−−−

−−⋅−⋅

=nn

nSnSPIαα

α χχσ

čia ∑=

−⋅−

=n

ii XX

nS

1

22)(

11 , nepaslinktas populiacijois

dispersijos 2σ taškinis įvertis.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


57

Descriptives

98,30 1,1696,02

100,58

97,2897,00

1426,64237,77

21234213

52,00,363 ,075,053 ,150

MeanLower BoundUpper Bound

95% Confidence Intervalfor Mean

5% Trimmed MeanMedianVarianceStd. DeviationMinimumMaximumRangeInterquartile RangeSkewnessKurtosis

KovasStatistic Std. Error

Apskaičiuojame populiacijos vidurkio µ pasikliautinąjį intervalą:

)58,100;02,96()(95,0 =µPI . Išvada: su 95% garantija galime teigti, kad klientų vidutinės išlaidostelekomunikacijų paslaugoms kovo mėnesį buvo nuo 96,02 iki 100,58 Lt.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


58

Vidurkių pasikliautinųjų intervalų grafikai

SPSS meniu: Graph Error bar (Simple, Summaries for groups of cases)

475425383164239N =

Miestas

KitasPanevėžysŠiauliaiKlaipėdaKaunasVilnius

95%

CI K

ovas

140

130

120

110

100

90

80

70

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


59

Hipotezių tikrinimas

Hipoteze statistikoje vadinamas teiginys apie nežinomus populiacijųpožymių (kintamųjų) skirstinius.

Pavyzdžiui, statistinėmis hipotezėmis bus šie teiginiai:

• stebimo atsitiktinio dydžio skirstinys yra normalusis;

• atsitiktinio dydžio vidurkis lygus 100;

• dviejų atsitiktinių dydžių vidurkiai yra lygūs;

• vieno atsitiktinio dydžio dispersija yra didesnė negu kito ir t.t.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


60

HIPOTEZIŲ TIKRINIMAS

. . .

PARAMETRINĖS

Suderinamumo

AtsitiktinumoNepriklausomumoHomogeniškumo

NEPARAMETRINĖS

HIPOTEZĖS

H F x No o o: ( ) ( ),≡ µ σHH

o

a

: ,: .

µ µµ µ

1 2

1 2

=<

HH

o

a

: ,: .

µ µµ µ

=≠

0

0

HH

o

a

: ,: .

σ σσ σ

1 2

1 2

=≠

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


61

Hipotezių tikrinimo klaidos

Populiacija

Ho teisinga Ho klaidinga

Atmesti Ho I rūšies klaidasu tikimybe α(reikšmingumo lygmuo)

Teisingas sprendimas su tikimybe 1-β(kriterijaus galia)

Neatmesti Ho

Teisingas sprendimas su tikimybe 1-α

II rūšies klaida su tikimybe β

Sprendimaspagal imtiesduomenis

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


62

Kriterijaus galia (kriterijui su kairia kritine sritimi)

plotas = α

( )0Huf

αu u

( )aHuf( )uf

plotas = β−1 plotas = β

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


63

Kriterijaus galia – tai tikimybė atmesti hipotezę Ho , kai ji klaidinga.

Kriterijaus galia priklauso nuo:

– tikrosios populiacijos parametro reikšmės;

– reikšmingumo lygmens α;

– standartinio nuokrypio ir imties didumo n.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


64

Bendroji hipotezės tikrinimo schema (1)

10. Formuluojamos nulinė H0 ir alternatyvioji Ha hipotezės.

20. Parenkamas reikšmingumo lygmuo

};01,0;05,0;1,0{∈α

30. Hipotezei H0 tikrinti parenkama statistika U, kurios tankio funkcija, kai H0, teisinga, yra f(u|H0).

ČIA DAŽNIAUSIAI DAROMOS KLAIDOS !!!

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


65

α

0HU

40. Parinktam reikšmingumo lygmeniui

randamos kritinės reikšmės, hipotezės priėmimo sritis

ir kritinė sritis UK.

Hipotezės kritinė sritis gali būti dvipusė ir vienpusė. Tai priklauso nuo tikrinamos hipotezės.

plotas = 2α

( )0Huf

plotas = 2αplotas = α−1

0u2

αu21 α−u

Kritinėsritis

Kritinėsritis

Hipotezės priėmimo sritis

u


00 : Θ=ΘH

0: Θ≠ΘaH

),[],( 2/12/ +∞−∞= −αα uuK ∪U

),( 2/12/0 αα −= uuHU

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


66


50. Pagal imties duomenis apskaičiuojama stebėtoji statistikos U reikšmėuimt ir priimamas sprendimas. Jeigu uimt patenka į kritinę sritį, tai

hipotezė H0 atmetama.

plotas = 2α

( )0Huf

plotas = 2αplotas = α−1

0u2

αu21 α−u

Kritinėsritis

Kritinėsritis


u

uimt ?

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


67

p-reikšmė

plotas = α

( )0Huf

plotas = α−1

0u αu

Kritinė sritis


u

plotas = imtα

( )0Huf

0u imtu u

α<p

0H

α≥p

0H

Jeigu , tai hipotezė

atmetama.

, tai hipotezė

neatmetama.

Jeigu

imtp α=

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


68

⎩⎨⎧

≠=

.:,:

0

00

θθθθ

aHH

0: θθ<aH

PASTABA: dažnai tikrinant hipotezes statistikos paketai skaičiuoja p reikšmę tik vienai alternatyvai, o kitoms alternatyvoms Jūs turite apskaičiuoti patys!!!Pavyzdžiui, t kriterijui paketas SPSS skaičiuoja p reikšmę dvipusei kritinei sričiai (Sig 2-tailed), t.y. hipotezei

Vienpusėms alternatyvoms p reikšmes Jūs turite apskaičiuoti patys:•jeigu alternatyva yra

0: θθ >aH

ir stebėta Stjudento statistikos reikšmė timt≤0, taip p reikšmė=p*/2, čia p*- dvipusės kritinės srities p reikšmė, jeigu timt>0, tai p reikšmė=1-p*/2;•jeigu alternatyva yra

ir timt>0, taip p reikšmė=p*/2, jeigu timt≤0, tai p reikšmė=1-p*/2.Tos pačios taisyklės tinka ir standartinio normaliojo skirstinio statistikai Z.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


69

Hipotezė apie proporciją (1)

StatistikaStatistika::

SprendimasSprendimas::

H0: p = 0,10Ha: p < 0,10α = 0,05n = 200Kritinė reikšmė:

Z0-1.645

.05Reject

Z0-1.645

.05RejectAtmesti

α=0,05

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


70


Z0-1.645

.05Reject

Z0-1.645

.05Reject


12.2

200)10,01(10,0

10,020011

)1(ˆ

00

0 −=−⋅

−=

−⋅−

≅

npp

ppZ 12.2

200)10,01(10,0

10,020011

)1(ˆ

00

0 −=−⋅

−=

−⋅−

≅

npp

ppZ



Atmesti

α=0,05

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


71


Z0-1.645

.05Reject

Z0-1.645

.05Reject


12.2

200)10,01(10,0

10,020011

)1(ˆ

00

0 −=−⋅

−=

−⋅−

≅

npp

ppZ 12.2

200)10,01(10,0

10,020011

)1(ˆ

00

0 −=−⋅

−=

−⋅−

≅

npp

ppZ



Atmesti

α=0,05

AtmestiAtmesti HH00 ((αα = 0= 0,,05) 05) ..

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


72

Ačiū už dėmesį !

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


73





2. POŽYMIŲ PRIKLAUSOMUMO TYRIMAS

Vytautas JANILIONIS

2008

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


74





4. Regresinė analizė (teorinė paskaita, 1 ak. val. ir praktinis seminaras, 2 ak. val.)


ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


75

Ar kintamieji yra priklausomi, ar nepriklausomi?

Pavyzdžiui:

• ar yra priklausomybė tarp politinių pažiūrų ir amžiaus; • ar nusikalstamumo lygis priklauso nuo bedarbystės lygio;• ar atlyginimo dydis priklauso nuo išsimokslinimo lygio;• ar mokymosi rezultatai priklauso nuo mokymo metodikos;• ar užsienio politikos kursas priklauso nuo to, kokia partija yra valdžioje;• ar dviejų ekspertų vertinimai yra suderinti;• ar dvi žmonių grupės sutaria vienu ar kitu klausimu.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


76

Nagrinėsime šiuos uždavinius:

1. Kaip apibrėžti dviejų kintamųjų sąryšį turint atsitiktinę imtį;

2. Kaip daryti išvadas apie dviejų kintamųjų ryšio stiprumą visoje

populiacijoje, turint tik atsitiktinę duomenų imtį;

3. Kaip prognozuoti, t.y. įvertinti, vieno kintamojo reikšmes remiantis

kito kintamojo reikšmių imtimi, jei žinoma, kad tarp dviejų

kintamųjų yra pakankamai didelė koreliacija.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


77

Iš koreliacijos koeficiento negalima nustatyti koreliacijos priežasties !!!

• kintamasis X daro poveikį kintamajam Y;• kintamasis Y daro poveikį kintamajam X;• abu kintamieji X ir Y yra veikiami trečio kintamojo.

Du kintamieji X ir Y didelę koreliaciją gali turėti dėl trijų priežasčių:

Todėl koreliacinės analizės metu nustatytas ryšys negali būti interpretuojamas kaip priežastingumas, o tik kaip asociacijos arba ryšio matas.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


78

• intervalų ir santykių skalės

• X ir Y tikimybiniai skirstiniai yra normalieji

Koreliacijos koeficientas įvertina tiesinio ryšio stiprumą

( ) ( ) 2 2 2 2 y y x x

y x y x

s s

k r

y x

xy

− −

• − = = = ρ

0 1 2 3 4 5 6 7 8

01234567r =-1

r = 0,85

0

2

4

6

8

10

12

14

r = 0

Pirsono koreliacijos koeficientas

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


79

;0:0 =ρH

;0: ≠ρaH

Hipotezei Ho tikrinti naudojama Stjudento statistika

21 2

−−

= nr

rt , t~St(n-2).

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


80

Spirmeno ranginis koreliacijos koeficientas

• Santykių, intervalų ir tvarkos skalės

Spirmeno ranginis koreliacijos koeficientas

įvertina ryšio stiprumą monotoniškumo prasme

0

1

2

3

4

5

6

X 1 2 3 4 5 6

X

Y

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

X 1 2 3 4 5

X

Y

00.5

11.5

22.5

33.5

44.5

5

X 1 2 3 4 5 6

X

Y

rs= 1 rs= 1rs= 0.6

)1(

)(61 2

1

2

−

−−==

∑=

nn

ryrxr

n

iii

SSρ

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


81

;0:0 =sH ρ

;0: ≠saH ρ

Hipotezei Ho tikrinti naudojama Stjudento statistika

21 2

−−

= nr

rts

s, t~St(n-2).

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


82

Požymių priklausomumo lentelėsTarkime, kad stebime atsitiktinių dydžių porą (X, Y).

Atsitiktinis dydis X įgyja I skirtingų reikšmiųAtsitiktinis dydis Y įgyja J skirtingų reikšmių

X\Y y1 y2 … yJ ∑

x1 o11 o12 … o1J o1•

x2 o21 o22 … o2J o2•

xI oI1 oI2 … oIJ oI•

∑ o•1 o•2 … o•J n

SPSS meniu: Analyze Descriptive Statistics Crosstabs...

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


83

Požymių priklausomumo lentelės

Tarkime, kad stebime atsitiktinių dydžių porą (X, Y).

SPSS meniu: Analyze Descriptive Statistics Crosstabs...

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


84

Požymių priklausomumo lentelėsAr Jūs gaunate informacijos apie firmos teikiamas paslaugas? * Ar Jūs asmeniškai naudojatės

firmos teikiama paslauga? Crosstabulation

94 417 511

18,4% 81,6% 100,0%

63,5% 46,0% 48,4%

8,9% 39,5% 48,4%54 490 544

9,9% 90,1% 100,0%

36,5% 54,0% 51,6%

5,1% 46,4% 51,6%148 907 1055

14,0% 86,0% 100,0%

100,0% 100,0% 100,0%

14,0% 86,0% 100,0%

Count% within Ar Jūs gaunateinformacijos apie firmosteikiamas paslaugas?% within Ar Jūsasmeniškai naudojatėsfirmos teikiamapaslauga?% of TotalCount% within Ar Jūs gaunateinformacijos apie firmosteikiamas paslaugas?% within Ar Jūsasmeniškai naudojatėsfirmos teikiamapaslauga?% of TotalCount% within Ar Jūs gaunateinformacijos apie firmosteikiamas paslaugas?% within Ar Jūsasmeniškai naudojatėsfirmos teikiamapaslauga?% of Total

Taip

Ne

Ar Jūs gaunateinformacijos apie firmosteikiamas paslaugas?

Total

Taip Ne

Ar Jūs asmeniškainaudojatės firmos

teikiama paslauga?Total

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


85


Tikriname hipotezę:H0 : ,,Atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi“.Ha : ,,Atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra priklausomi“.

Hipotezės tikrinimui taikome kriterijų su dešine kritine sritimi:

( ) ( )( )( )11~ 2

1 1

22 −−

−= ∑ ∑

= =

JIE

EOI

i

J

j ij

ijij χχ

čia Oij – stebėtas dažnis (observed frequency),

Eij – tikėtinas (laukiamas) dažnis (expected frequency).

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


86

Požymių priklausomumo lentelėsLentelė 2x2 χ2 χ2 su Jeito

pataisa H0

Kramerio Cir

p-reikšmė

X\Y Ne Taip

Ne 10 10 20 0 0 neatmesta 0Taip 10 10 20 1

20 20 40

∑

∑

∑

∑

∑

X\Y Ne Taip

Ne 11 9 20 0,4 0,1 neatmesta 0,1Taip 9 11 20 0,527

20 20 40

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


87

Požymių priklausomumo lentelėsLentelė 2x2 χ2 χ2 su Jeito

pataisa H0

Kramerio Cir

p-reikšmė

X\Y Ne Taip

Ne 15 5 20 10 8,1 atmesta 0,5Taip 5 15 20 0,02

20 20 40

∑

∑

∑

∑

X\Y Ne Taip

Ne 20 0 20 40 36,1 atmesta 1Taip 0 20 20 0,000

20 20 40

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


88

X3 * Y3 Crosstabulation

15 5 2010,0 10,0 20,0

5 15 2010,0 10,0 20,0

20 20 4020,0 20,0 40,0

CountExpected CountCountExpected CountCountExpected Count

0

1

X3

Total

0 1Y3

Total


Chi-Square Tests

10,000b 1 ,0028,100 1 ,004

10,465 1 ,001,004 ,002

9,750 1 ,002

40

Pearson Chi-SquareContinuity Correction a

Likelihood RatioFisher's Exact TestLinear-by-LinearAssociationN of Valid Cases

Value df

Asymp.Sig.

(2-sided)Exact Sig.(2-sided)

Exact Sig.(1-sided)

Computed only for a 2x2 tablea.

0 cells (,0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is10,00.

b.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


89


Symmetric Measures

,500 ,002,500 ,002,447 ,002

40

PhiCramer's VContingency Coefficient

Nominal byNominal

N of Valid Cases

ValueApprox.

Sig.

Not assuming the null hypothesis.a.

Using the asymptotic standard error assuming the nullhypothesis.

b.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


90

χ2 kriterijaus taikymo nepriklausomumo hipotezės tikrinimui schema

Ar požymių priklausomumo lentelės formatas yra 2x2?

Ar nors vienam langelyje Eij<5?

Ar visuose langeliuose 1E ij ≥ ir

ne daugiau kaip 20% langelių Eij<5?

χ2 kriterijaus taikyti negalima. Vietoje jo naudojamas Fišerio tikslus kriterijus (Fisher's Exact test)

χ2 kriterijus su Jeito pataisa

( )∑ ∑

= =

−−=

I

1i

J

1j ij

2ijij

E0,5E

χO

2

(χ2 test with Yates' Continuity Correction)

Taikome χ2 kriterijų

( )∑ ∑

= =

−=

I

1i

J

1j ij

ijij

EEO

χ2

2

χ2 kriterijaus taikyti negalima. Lentelėje reikia apjungti stulpelius (eilutes), kuriuose yra langelių netenkinančių aukščiau pateiktų sąlygų ir pradėti nuo pradžios.

TAIP NE

TAIPTAIPNE NE

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


91

1.HipotezėH0: Kintamieji X ir Y yra nepriklausomiHa: Kintamieji X ir Y yra priklausomi

2.Statistika

Laisvės laipsnių skaičius: (I - 1)(J - 1)EiluEiluččiiųų sk.sk.,, StulpeliStulpeliųų sksk..

StebStebėėtas (observed) datas (observed) dažžnisnisTikTikėėtinas (etinas (expectedxpected) da) dažžnisnis

( ) ( )( )( )11~ 2

1 1

22 −−

−= ∑ ∑

= =

JIE

EOI

i

J

j ij

ijij χχ

Nepriklausomumo hipotezNepriklausomumo hipotezėės tikrinimas , s tikrinimas , χχ22 kritkriteerijusrijus

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


92

Nepriklausomumo hipotezNepriklausomumo hipotezėės tikrinimas, s tikrinimas, χχ22 kritkriteerijusrijus

Tarkime, kad Jūs esate analitikas ir norite išsiaškinti ar yra ryšys tarp prekės A ir prekės B pirkimo? Atsitiktinai atrinktų 286 pirkėjų apklausos rezultatai pateikti lentelėje.

Y- Ar perkate prekę B ? X- Ar perkate

prekę A ? Ne Taip Iš

viso Ne 84 32 116 Taip 48 122 170 Iš viso 132 154 286

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


93

Nepriklausomumo hipotezės tikrinimas, χ2 kriterijus

Ho:Ha:α =l.l. =Kritinė reikšmė:



IIššvadavada::

χ20

Reject

χ20

RejectAtmesti

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


94


Ho: X ir Y yra nepriklausomiHa: X ir Y yra priklausomiα =l.l. =Kritinė reikšmė:



IIššvadavada::

χ20

Reject

χ20

RejectAtmesti

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


95


H0: X ir Y yra nepriklausomi

Ha: X ir Y yra priklausomi

α = 0,05l.l. =Kritinė reikšmė:



IIššvadavada::

χ20

Reject

χ20

RejectAtmesti

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


96


H0: X ir Y yra nepriklausomiHa: X ir Y yra priklausomi

α = 0,05l.l. = (2-1)(2-1)=1Kritinė reikšmė:



IIššvadavada::

χ20 3.841

Reject

χ20 3.841

Reject

αα =0=0,,0505

Atmesti

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


97

Nepriklausomumo hipotezNepriklausomumo hipotezėės tikrinimas, s tikrinimas, χχ22 kriterijuskriterijus

Y- Ar perkate prekę B? Ne Taip

X- Ar perkate prekę A?

O E O E Iš viso

Ne 84 53,5 32 62,5 116 Taip 48 78,5 122 91,5 170 Iš viso 132 132 154 154 286

Y- Ar perkate prekę B? Ne Taip

X- Ar perkate prekę A?

O E O E Iš viso

Ne 84 53,5 32 62,5 116 Taip 48 78,5 122 91,5 170 Iš viso 132 132 154 154 286

EEijij ≥≥ 55 visuose langeliuosevisuose langeliuose

170170··132 132 286286

170170··154 154 286286

116116··132 132 286286

154154··132 132 286286

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


98


H0: X ir Y yra nepriklausomiHa: X ir Y nėra nepriklausomi



χ20 3.841

Reject

χ20 3.841

Reject

αα =0=0,,0505

Atmesti

( )15,54

2

1

2

1

22 =

−= ∑ ∑

= =i j ij

ijij

EEO

χ

( )∑ ∑

= =

=−−

=I

1i

J

1j ij

2

ijij2 Yates 39,52

E0,5E

χO

Sprendimas:Sprendimas:

IIššvadavada::

((χχ2 test with Yates' Continuity Correction)2 test with Yates' Continuity Correction)

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


99


H0: X ir Y yra nepriklausomiHa: X ir Y yra nepriklausomi




IIššvadavada::

χ20 3.841

Reject

χ20 3.841

Reject

αα =0=0,,0505

χχ22 = 54= 54,,2929

Atmesti

AtmestiAtmesti HH00 ((αα = 0= 0,,05)05)

Tarp kintamTarp kintamųųjjųų X ir Y yra statistiX ir Y yra statistišškai kai reikreikššmingas rymingas ryššys.ys.

39,52χ 2 Yates =

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


100

SPSSSPSS Pirsono ir Spirmeno koreliacijos koeficientai

Tvarkos skalė

Vardų skalė

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


101

Ryšio stiprumo matai tvarkos skalėje

(rxi>rxj) ir (ryi> ryj) arba (rxi <rxj) ir (ryi< ryj), tai pora vadinama suderinta. Suderintų porų skaičius imtyje žymimas raide P;

(rxi>rxj) ir (ryi< ryj) arba (rxi<rxj) ir (ryi>ryj), tai pora vadinama nesuderinta. Suderintų porų skaičius imtyje žymimas raide Q;

(rxi=rxj) ir (ryi≠ryj), tai pora vadinama surišta x-su, tokių porų skaičius imtyje žymimas raide Tx;

(rxi≠rxj) ir (ryi=ryj), tai pora vadinama surišta y-u, tokių porų skaičius imtyje žymimas raide Ty;

(rxi=rxj) ir (ryi=ryj), tai pora vadinama surišta x-u ir y-u, tokių porų skaičius imtyje žymimas raide Txy.

Surištų porų skaičių imtyje žymėsime T=Tx+Ty+Txy

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


102

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


103

Kendalo ranginės koreliacijos koeficientai

)1(21

−⋅

−=

nn

QPaτ 11 ≤≤− aτ

yxb TQPTQP

QP++++

−=τ

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


104


Correlations

1,000 ,778**, ,002

10 10,778** 1,000,002 ,

10 101,000 ,915**

, ,00010 10

,915** 1,000,000 ,

10 10

Correlation CoefficientSig. (2-tailed)NCorrelation CoefficientSig. (2-tailed)NCorrelation CoefficientSig. (2-tailed)NCorrelation CoefficientSig. (2-tailed)N

Pirmas ekspertas (a)

Antras ekspertas (a)

Pirmas ekspertas (a)

Antras ekspertas (a)

Kendall's tau_b

Spearman's rho

Pirmasekspertas

(a)

Antrasekspertas

(a)

Correlation is significant at the .01 level (2-tailed).**.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


105


)1(21

−⋅

−=

nn

QPaτ 11 ≤≤− aτ

yxb TQPTQP

QP++++

−=τ

)1()(

2 −⋅−⋅

=mn

QPmcτ 11 ≤≤− cτ),min( JIm =

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


106

Gudmeno ir Kraskelo koeficientas γ

γ

Gudmeno ir Kraskelo koeficientas γ parodo kokių porųimtyje yra daugiau suderintų ar nesuderintų.

lygus įverčiui tikimybių skirtumo, kuris parodo kiek tikimybė, kad atsitiktinai parinkta pora bus suderinta, didesnė užtikimybę, kad ji bus nesuderinta, kai γ>0 ir atvirkščiai, kai γ<0.

QPQP

+−

=γ

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


107

Samerio (Sommer’s) koeficientai

yYX TQP

QPd++

−=

xXY TQP

QPd++

−=

2/)( yx TTQPQPd+++

−=

.

X * Y Crosstabulation

Count

5 10 1510 10

5 10 10 25

12

X

Total

1 2 3Y

Total

Directional Measures

,857 ,048 12,247 ,000,750 ,084 12,247 ,000

1,000 ,000 12,247 ,000

SymmetricX DependentY Dependent

Somers' dOrdinal by OrdinalValue

Asymp.Std. Errora Approx. Tb

Approx.Sig.


Using the asymptotic standard error assuming the null hypothesis.b.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


108

Vardų skalė

Fi (Phi) koeficientas, tai ryšio matas 2x2 lentelėms dar vadinamas tarpusavio sutapimo koeficientu. Jis apibrėžiamas taip:

.

n/2χφ =

φ.

Koeficiento kitimo sritis 2x2 lentelei yra [0; 1].

Kontingencijos koeficientas C (Pirsono kontingencijos koeficientas)

),min(1),min(0,2

2

JIJIC

nC −

≤≤+

=χ

χ

.

Matome, kad C neviršija 1. Naudojant šį koeficientą, reikia atsižvelgti į tai, kad didžiausia C reikšmė priklauso nuo eilučių ir stulpelių skaičiaus lentelėje. Pavyzdžiui, lentelei 4x4, Cmax=0,866.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


109

Vardų skalė

Kramerio V koeficientas

( )10,

1,1min≤≤

−−= V

JIV φ

22 × φLentelei Kramero V koeficientas sutampa su koeficientu

Gudmeno ir Kraskelo ryšio koeficientai

λλλ ,, YXXY

Jie dar vadinami sąlyginės prognozės indeksais ir įvertina vieno požymio kategorijos nuspėjamumo santykį klaidos sumažėjimą, kai žinoma kito požymio kategorija.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


110

Vardų skalėλλλ ,, YXXYGudmeno ir Kraskelo ryšio koeficientai

3,0=XYλ 6,0=YXλ 45,0=λPavyzdžiui, jei

galima sakyti, kad spėjimo klaida sumažėja 30%, jei spėjant X naudojamasi informacija apie Y ir spėjimo klaida sumažėja 60%,jei spėjant Y naudojamasi informacija apie X.

Koeficientas įvertina spėjimo klaidos sumažėjimą, kai kintamieji yra simetriniai.

λ

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


111

Kapa

.

Tėvo apibūdinimas * Mamos apibūdinimas Crosstabulation

Count

88 10 2 10014 40 6 6018 10 12 40

120 60 20 200

1 tipas2 tipas3 tipas

Tėvo apibūdinimas

Total

1 tipas 2 tipas 3 tipasMamos apibūdinimas

Total

Symmetric Measures

,492 ,051 9,456 ,000200

KappaMeasure of AgreementN of Valid Cases

ValueAsymp.

Std. Errora Approx. Tb Approx. Sig.


Using the asymptotic standard error assuming the null hypothesis.b.

Kapa <0,40 silpnas suderinamumas, sutarimas,0,40<= Kapa<= 0,75 vidutiniškas suderinamumas, sutarimas,

Kapa>0,75 stiprus suderinamumas, sutarimas.

IxI lentelė

Vardųskalė

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


112


ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


113





3. DISPERSINĖ ANALIZĖ

Vytautas JANILIONIS

2008

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


114





4. Regresinė analizė (teorinė paskaita, 1 ak.val. ir praktinis seminaras, 2 ak. val.)


ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


115

DISPERSINDISPERSINĖĖ ANALIZANALIZĖĖR.A.FiR.A.Fiššeriseris (1918, 1925, 1935m.)(1918, 1925, 1935m.)

Stebimų atsitiktinių dydžių skirstinių priklausomybės nuo kiekybinių arba kokybinių faktorių tyrimas vadinamasDISPERSINE ANALIZEDISPERSINE ANALIZE.

AA

YY

Vienfaktorinė dispersinė analizė su fiksuotais faktoriais (I modelis).Stebimo atsitiktinio dydžio Ytikimybių skirstinys priklauso nuofaktoriaus A, kuris yra I skirtinguoselygmenyse.

1 pvz. A – politinės pažiūros 2 pvz. A - mokymo metodikaY – amžius Y - mokymo rezultatai

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


116

DISPERSINDISPERSINĖĖS ANALIZS ANALIZĖĖS S MODELIAIMODELIAI

I modelis (modelis su fiksuotais faktoriais).Faktorių lygmenys parenkami pagal planą. Tyrinėtoją domina tik tie faktoriaus A lygmenys,kuriuos jis pasirinko.

II modelis (modelis su atsitiktiniais faktoriais).Faktorių lygmenys parenkami atsitiktinai išdidelio (arba begalinio) skaičiaus galimųlygmenų.

III modelis (mišrus modelis).Dalis faktorių atitinka I modelį, o kita dalis -II modelį.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


117

Vienfaktorinė dispersinė analizėPilnas randomizuotas faktorinis eksperimento planas

Faktorius A Kintamasis Y

a1 R1

R2 1Y R3

a2 R4

R5 2Y R6

a3 R7

R8 3Y R9

•Y

Pagal faktorių A skiriame 3 nepriklausomas populiacijas.

Kiekvienoje populiacijoje matuojame tąpatį priklausomą kintamąjį Y (intervalųarba santykių skalė).

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


118

Dvifaktorinė dispersinė analizėPilnas randomizuotas faktorinis eksperimento planas

Faktorius B

b1 b2 b3

a1 R1

R2 11Y R3

R7

R8 12Y R9

R13

R14 13Y R15

•1Y Faktorius A

a2 R4

R5 21Y R6

R10

R11 22Y R12

R16

R17 23Y R18

•2Y

1•Y 2•Y 3•Y ••Y

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


119

Vienfaktorinė dispersinė analizėPilnas randomizuotas-blokinis faktorinis eksperimento planas

Blokuotieji duomenys dažniausiai gaunami, kai tų pačių objektų požymį matuojame keletąkartų (repeated measures). Blokuotųjų duomenų dispersinė analizė tinka ne tik pakartotiniams matavimams. Svarbu kad bloką sudarančius duomenis vienytų kokia nors bendra informacija.

Faktorius A

a1 a2 ••• aJ R1 R2

R3........ 1Y

R4 R5

R1 R2

R3........ 2Y

R4 R5

•••

R1 R2

R3........ JY

R4 R5

•Y

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


120

Dvifaktorinė dispersinė analizėPilnas randomizuotas-blokinis faktorinis eksperimento planas

Faktorius B

b1 b2 b3

a1 R1

R2 11Y R3

R1

R2 12Y R3

R1

R2 13Y R3

•1Y Faktorius A

a2 R1

R2 21Y R3

R1

R2 22Y R3

R1

R2 23Y R3

•2Y

1•Y 2•Y 3•Y ••Y

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


121

VIENFAKTORINĖ DISPERSINĖ ANALIZĖ (One-Way Analysis of Variance)

Stebimo atsitiktinio dydžio Y skirstinys priklauso nuo faktoriaus A, kuris

yra I skirtinguose lygmenyse IAAA ,,, 21 … .

Tarkime, kad yra I imčių, kurios kiekvienos didumas yra Iini , , 1= ,

∑=

=I

iinn

1 .

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


122

DUOMENŲ MATRICA

A Y 1 y11

1 y12

1 y13

2 y21 2 y22

2 y23

2 y24

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


123

Faktorius A (Mokymo metodas) Faktoriaus lygmenys

a1

a2

a3

Respondentai Priklausomas

kintamasis 21 h 17 h 31 h

Y 27 h 25 h 28 h 29 h 20 h 22 h

Faktorius A (Mokymo metodas) Faktoriaus lygmenys

a1

a2

a3

Respondentai Priklausomas

kintamasis 21 h 17 h 31 h

Y 27 h 25 h 28 h 29 h 20 h 22 h

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


124

Kiekvieną stebėjimą ijy išskaidome į du dėmenis:

I1,...,=i ,n1,...,=j , iijiij ey += β

i-tos grupės vidurkis iiM(Y β=)

čia iβ - nežinomi parametrai, eij - nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai,

kurių skirstinys standartinis normalusis ( )N 0 2,σ .

Hipotezė apie vidurkių lygybę IH ββ == ...: 10

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


125

XX

f(X)f(X)

ββ1 1 = β= β2 2 = β= β33

XX

f(X)f(X)

ββ1 1 == ββ22 ββ33

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


126

Išskaidome vidurkį iβ į komponentę, nepriklausančią nuo iA ir

komponentę apibūdinančia lygmens iA poveikį:

ijiijiij eey +α+β=+β−β+β= 000 )(,

)(YM=β 0 , ),(~ eij Ne σ0 , )( ii YM=β ,

čia iα faktoriaus A i-tojo lygmens efektas.

Tą pačią hipotezę H 0 galime užrašyti per efektus.

010 =α==α IH ...:

aH : “ne visi iα tarpusavyje lygūs”.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


127

Nulinės hipotezės tikrinimui naudojama Fišerio statistika

e

ASSSSF =

, čia

( )∑=

⋅⋅⋅ −=I

iiiA nyySS

1

2

nuokrypių kvadratų suma, apibūdinanti faktoriaus A poveikį stebimo atsitiktinio dydžio Y vidurkiui;

( )∑ ∑= =

⋅−=I

i

n

jiije

i

yySS1 1

2

nuokrypių kvadratų suma, apibūdinanti atsitiktinių klaidų faktoriaus E poveikį stebimo atsitiktinio dydžio Y vidurkiui, kurį modelyje nusako atsitiktinis dydis eij;

⋅⋅y – imties Y empirinis vidurkis;

⋅iy – imties Y i empirinis vidurkis;

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


128

NUOKRYPIŲ KVADRATŲ SUMOS

( )∑ ∑= =

⋅⋅−=I

i

n

jijp

i

yySS1 1

2– bendroji nuokrypių kvadratų suma;

eAp SSSSSS +=;

Nuokrypių kvadratų vidurkiai (faktorinė ir liekamoji empirinės dispersijos):

,1,1

1eeAA SS

InSSSS

ISS

−=

−=

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


129

F I Š E R I O K R I T E R I J U S

e

ASSSSF =

J e i H 0 te is in g a , ta i

( ) InIFF −=−= 2121 ,1 čia ,,~ νννν .

H ip o te z ė s t ik r in im u i n a u d o ja m a s F iš e r io k r i te r i ju s s u d e š in e k r i t in e

s r i t im i

( ) [ )∞== −− ,,021210 ;;1;;1 νναννα FF KH FF

.

H 0 a tm e ta m a , k a i s te b ė to j i k r i te r i ja u s s ta t i s t ik o s r e ik š m ė p a te n k a į k r i t in ę

s r i t į KimtF F∈ , p r ie š in g u a tv e ju s te b ė j im ų d u o m e n y s n u l in e i

h ip o te z e i n e p r ie �ta ra u ja .

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


130

Vienfaktorinės dispersinės analizės rezultatų lentelė

Nuokrypių

šaltinis Nuokrypių kvadratų

suma

Laisvės laipsniai

ν

Nuokrypių kvadratų vidurkis

Fišerio statistika

Fimt

( )imtimt FFP >=α

Faktorius A SSA I – 1 ASS e

ASSSS

imtα

Atsitiktinių klaidų

faktorius E

SSe n – I eSS

Visi faktoriai

SSp n – 1

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


131

PAGRINDINIAI VIENFAKTORINPAGRINDINIAI VIENFAKTORINĖĖS DISPERSINS DISPERSINĖĖS ANALIZS ANALIZĖĖS S UUŽŽDAVINIAIDAVINIAI

1. Rasti parametrų taškinius ir intervaliniusįverčius.

2. Patikrinti hipotezę apie stebimo atsitiktinio dydžio Yvidurkių lygybę prie skirtingų faktoriaus A lygmenų

3. Sugrupuoti faktoriaus A lygmenis į homogeniškumogrupes (daugiakartinio palyginimo metodai).

β β β β0 1 2, , ,..., I

,,,:"

,...:

IiβvisineH

βββH

ia

I

1210

=

===

:,,Bent du vidurkiai tarpusavyje nelygūs”.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


132

Pavyzdys

Atsitiktinai atrinkta 12 darbuotojų, kurie atsitiktinai paskirti į 4 grupes. Kiekviena grupė buvo mokoma atlikti tam tikrą darbą taikant skirtingąmokymo metodą.

Ar mokymosi vidutinis laikas priklauso nuo mokymo metodo?(α =0,05).

M1 M2 M3 M4

10 11 13 189 16 8 235 9 9 25

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


133

Pavyzdys

StatistikaStatistika: :


AtmestiAtmesti HH00 ((αα = = 0,0,0505))

H0: β1 = β2 = β3 = β4

Ha: ,,Bent du vidurkiai nelygūs’’.

α = 0,05ν1 = 3 ν2 = 8

FFimtimt== 1111,,66 66..

FF00 4.074.07

αα = .05= .05

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


134

Source ofSource ofVariationVariation

Degrees ofDegrees ofFreedomFreedom

Sum ofSum ofSquaresSquares

MeanMeanSquareSquare

((VarianceVariance

FF

(Methods)(Methods) 4 4 -- 1 = 31 = 3 348348 116116 11,611,6

ErrorError 12 12 -- 4 = 84 = 8 8080 1010

TotalTotal 12 12 -- 1 = 111 = 11 428428

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


135

Daugkartiniai lyginimai

Daugkartiniai lyginimų kriterijai skirstomi į apriorinius ir aposteriorinius (post hoc).

Aprioriniai lyginimai planuojami prieš dispersinę analizę arba vietoje jos.

Aposterioriniai (post hoc) lyginimai vykdomi po to, kai jau žinomi analizės rezultatai (hipotezės apie kelių vidurkių lygybe tikrinimo rezultatai) .

Yra daug skirtingų daugkartinio lyginimo kriterijų. Dauguma kriterijų (tik su skirtingais reikšmingumo lygmenimis) galima naudoti ir kaip apriorinius ir kaip aposteriorinius daugkartinius lyginimus.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


136


Yra daug skirtingų aposteriorinių (Post Hoc) daugkartinių lyginimų kriterijų. Vien SPSS pateikia 18.skirtingų kriterijų: LSD (Least Significant Diferense - mažiausiai reikšmingo skirtumo), Benferonio (Bonferroni) , Šefe (Scheffe), Tjukio (Tukey) ir kiti taikomi kai lyginamų populiacijų dispersijos yra lygios (Equal Variances Assumed). Tamhane T2, Dunnett T3, Games-Howell, Dunnett C. kriterijai, taikomi kai lyginamųpopuliacijų dispersijos nėra lygios (Equal Variances Not Assumed).

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


137


Aprioriniai kriterijai

Tradiciškai aprioriniams priskiriami kriterijai, taikomi hipotezėms apie tiesines populiacijų vidurkių daugdaras (kontrastus) tikrinti. Tiesiniu populiacijų vidurkių kontrastu (contrast) vadinama suma

∑=

=I

iiic

1,βψ 0

1=∑

=

I

iic

0:0 =ψH.0: ≠ψaH

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


138


Kai I=6 pasirinkę

41

4321 −==== cccc21

65 == cc

( ) ( )432165 41

21 ββββββψ +++−+=

gauname

,SPSS įvesdami kontrastus spragtelėkite dialogo langelio One-Way ANOVA mygtukąContrasts...Coefficients įrašykite pirmojo koeficiento reikšmę ir spragtelėkite mygtuką Add. Tokiu pat būdu įrašykite likusius koeficientus.

Sprendimo priėmimo taisyklė: H0 atmetama (kontrastas statistiškai reikšmingai skiriasi nuo nulio), jeigu p-reikšmė p < α. H0 neatmetama, jeigu p ≥α ; čia α — reikšmingumo lygmuo.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


139

DVIFAKTORINĖ DISPERSINĖ ANALIZĖ SU PASTOVIAIS FAKTORIAIS

Atsitiktinio dydžio Y skirstinys gali priklausyti nuo faktoriaus A, kuris yra I skirtinguose lygmenyse

A1, A2, ...,AI

ir nuo faktoriaus B, kuris yra J skirtinguose lygmenyse

B1,B2,...,BJ.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


140

Dvifaktorinė dispersinė analizėPilnas randomizuotas faktorinis eksperimento planas

FaFaktorius Bktorius B ((Mokymo metodas)Mokymo metodas)FaktoriFaktoriųųlygmenyslygmenys

19 h19 h ☺☺ 20 h20 h ☺☺ 22 h22 h ☺☺FaktoriusFaktorius AA AukAukšštata 11 h11 h ☺☺ 17 h17 h ☺☺ 31 h31 h ☺☺(Motyvacija)(Motyvacija) 27 h27 h 25 h25 h 31 h31 hŽŽemaema

29 h29 h 30 h30 h 49 h49 h

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


141

Dvifaktorinė dispersinė analizė

Pažymėkime

( ) JjIiyyyyY ijKijyjijij ,1,,1,,...,,, 321 === atsitiktinio dydžio Y imtį, gautą prie faktoriaus A lygmens AI ir faktoriaus B lygmens Bj . Tuomet stebėjimų vektorius

( )IJYYYY ,...,, 1211= .

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


142


Tarkime, kad ( )eijij NY σβ ,~ , tuomet matavimus yijkgalime išreikšti dviejų dėmenų suma ( ) ,, ijijijkijijk YMey ββ =+=

( )eijk Ne σ,0~

KkJjIi ,1,,1,,1 ===

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


143


( ) ( )+−+−+= ⋅⋅

ji

jiijkyγα

βββββ 000

( )( )

ijkjiij e

ij

++−++ ⋅⋅

αγ

ββββ 0

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


144


0β – generalinės aibės vidurkis, 0β =M(Y),

∑=

⋅ β−β=β−β=αJ

jijii J 1

001

– pagrindinis faktoriaus A

i – tojo lygio efektas;

ij)(αγ – faktoriaus A i – tojo lygio ir faktoriaus B j– tojo lygio sąveikos efektas.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


145


Dvifaktorinės dispersinės analizės pilnoji nuokrypių kvadratų suma

( )2

1 1 1∑ ∑ ∑= = =

−=I

i

J

j

K

kijkp yySS

išskaidoma į keturis dėmenis

eABBAp SSSSSSSSSS +++=,

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


146


čia

( ) ∑∑==

⋅⋅⋅⋅⋅ α=−=I

ii

I

iiA JKyyJKSS

1

2

1

2 ˆ

dauginame iš J•K, nes fiksavus faktoriaus A – tąjį lygį yra atlikta J•K matavimų

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


147


( )∑ ∑= =

⋅⋅⋅⋅⋅ =−=J

j

J

jjjB IKyyIKSS

1 1

22 γ;

( )( ) ( )∑ ∑ ∑ ∑= = = =

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =+−+=I

i

J

j

I

i

J

j ijjiijAB KyyyyKSS1 1 1 1

2γα ;

( )∑ ∑ ∑= = =

⋅−=I

i

J

j

K

kijijke yySS

1 1 1

2;

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


148


Hipotezių tikrinimas: H I0 1 2 0: ...α α α= = = = (Faktoriaus A visų lygių efektai lygūs nuliui, t.y. stebimo atsitiktinio dydžio vidurkis nepriklauso nuo faktoriaus A). H a :,,Ne visi α i i I, ,= 1 lygūs nuliui“. Hipotezės tikrinimui naudojamas Fišerio kriterijus su dešinine kritine sritimi.

FSS

SSF I I J KA

e= − −~ ( ( ), ( ) )1 1

SS

SSA

P100% - faktoriaus A poveikio stebimo atsitiktinio dydžio Y vidurkiui laipsnis

išreikštas procentais.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


149

Dvifaktorinės dispersinės analizė lentelė

Nuokrypių šaltinis Source of variation

Nuokrypių kvadratų suma

Sum of squares

Laisvės laipsnių skaičius

d.f.

Nuokrupių kvadratų vidurkis

Mean square

Fišerio statistika F-ratio αimt

Sig. level Faktoriai

(Main efects) A B

SSA

SSB

I-1

J-1

SS

SS

IA

A=−1

SSSS

JB

B=−1

FSS

SSimtA A

e=

FSS

SSimtB B

e=

αimtA

αimtB

Faktorių sąveika

(Interactions) A B

SSAB

(I-1)(J-1)

SS

SS

I JAB

AB=− −( )( )1 1

FSS

SSimtAB AB

e=

αimtAB

Atsitiktinių klaidų

faktorius (Residual)

SSe

IJ(K-1)

SSSS

IJ Ke

e=−( )1

-

-

Visi faktoriai (Total)

SSP IJK-1 - - -

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


150


ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


151





4. REGRESINĖ ANALIZĖ

Vytautas JANILIONIS

2008

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


152




3. Dispersinė analizė (teorinė paskaita, 1 ak.val. ir praktinis seminaras, 2 ak. val.).



ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


153

REGRESINĖ ANALIZĖ

1. Ar stebimi atsitiktiniai dydžiai yra priklausomi?

2. Koks yra ryšio tarp jų stiprumas?

3. Kokia yra jų statistinės priklausomybės analizinėišraiška?

Funkcinė priklausomybė - tai neatsitiktinių dydžių priklausomybė. Esant funkcinei priklausomybei, žinant vienų dydžių reikšmes galima tiksliai apskaičiuoti kito dydžio reikšmę.

Statistinė priklausomybė – tai priklausomybė tarp atsitiktinių dydžių, kai kiekvieną galimą vieno atsitiktinio dydžio reikšmę atitinka tam tikras antrojo dydžio reikšmių skirstinys.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


154

PAGRINDINIAI REGRESINĖS ANALIZĖS UŽDAVINIAI

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

2

211

,...,,, kXfY βββX

Y Regresijos funkcijos parametrai

1. Regresinės funkcijos analizinės išraiškos radimas.2. Regresijos funkcijos nežinomų parametrų taškinių

ir intervalinių įverčių radimas.3. Hipotezių apie regresijos funkcijos parametrus tikrinimas.4. Prognozavimo paklaidų vertinimas.5. Regresijos modelio prielaidų tikrinimas.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


155

VIENO KINTAMOJO TIESINĖ REGRESINĖ ANALIZĖ

- analizinė išraiška

- taškiniai įverčiai

- intervaliniai įverčiai( ) -αεββ-εβP

xbbyarbaxββy

ss

rβxss

ryβ

XββY

iiiii

x

y

x

y

1ˆˆ

ˆˆ

ˆ,-ˆ.2

.1

1010

10

10

=+<<

+=+=

==

+=

3. Hipotezių tikrinimas

H Hi a i0 0 0: , : .β β= ≠

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


156

4. Prognozavimo paklaidų įvertinimas

Prognozuojamų reikšmių pasikliautinoji juosta

Χ+=Υ 10ˆˆˆ ββ


( ) ( )( )P y x y y xp p p p p− < < + = −ε ε α1

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


157


• (Y|X=x) sąlyginis skirstinys yra normalusis. • Sąlyginis vidurkis yra tiesinė funkcija M(Y|X=x)= x10 ββ + . • Sąlyginė dispersija yra pastovi D(Y|X=x)=const. • Stebėjimai n1,2iyx ii ,...,),,( = yra nepriklausomi. 1-4 prielaidos ekvivalentiškos prielaidai, kad dvimačio atsitiktinio dydžio skirstinys yranormalusis.

Y

X

5. Regresijos modelio prielaidų tikrinimas

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


158

1 uždavinys. Regresijos funkcijos analizinės išraiškos radimas

Tiesinė funkcija

YY = mX + b

b = Y-interceptX

Changein Y

Change in X

m = Slope

XY 10 ββ +=

1β

0β

)(1 αβ tg=α

atkarpa (intercept)

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


159

1 uždavinys. Regresijos funkcijos analizinės išraiškos radimas.

Populiacijos ir imties regresijos lygtys

PopuliacijaPopuliacija

AtsitiktinAtsitiktinėė imtisimtis

Y Xi i i= + +β β ε0 1

iii XY εββ ˆˆˆˆ10 ++= iii XY εββ ˆˆˆˆ10 ++=

☺ ☺☺

☺

☺☺☺

☺☺☺☺

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


160


IŠTIESINIMO METODAS Reikia parinkti tokią koordinačių sistemą, kuriojeeksperimento taškai išsidėsto tiesėje (arba pakankamai arti jos). 1 pavyzdys. Laipsninė funkcija.

.~,ln~,ln~,ln~,~~~~

lnlnln

1100

10

10

0 1

β=ββ=β==

β+β=

β+β=β= β

XXYY

XY

XYXY

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


161


2 pavyzdys. Rodiklinė funkcija.

.~,~,~,ln~,~~~~

ln

1100

10

10

10

β=ββ=β==

β+β=

β+β== β+β

XXYY

XY

XYeY X

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


162

2 uždavinys. Regresijos funkcijos nežinomų parametrųtaškinių ir intervalinių įverčių radimas

Išlaidos reklamai (x 100 Lt)

500400300200100

Pard

avim

as (

x 1

00 L

t)

6000

5000

4000

3000

2000

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


163

2 uždavinys. Regresijos funkcijos nežinomų parametrųtaškinių ir intervalinių įverčių radimas.

ε2

Y

X

ε1 ε3

ε4

^^

^ε2

Y

X

ε1 ε3

ε4

^^

^^

Y Xi i= +β β0 1Y Xi i= +β β0 1

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


164

2 uždavinys. Regresijos funkcijos nežinomų parametrųtaškinių ir intervalinių įverčių radimas.

Kiekvienai iš tos pačios populiacijos sudarytai imčiai gausime vis kitas empirinės tiesinės regresijos lygties koeficientų reikšmes. Vadinasi, galima kalbėti apie atsitiktinius dydžius B0 ir B1.

Pažymėkime tų atsitiktinių dydžių empirinius vidurkius b0 ir b1, o standartinius nuokrypius 0bs ir 1bs . Standartiniai nuokrypiai 0bs ir 1bs

literatūroje dažnai dar vadinami standartinėmis koeficientų 0β ir 1β

paklaidomis. Jie apibrėžiami lygybėmis:

∑=

−= n

ii

eb

xx

ss

1

2

2

)(1 , n

sxss ebb

222

10+⋅=

.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


165

2 uždavinys. Regresijos funkcijos nežinomų parametrųtaškinių ir intervalinių įverčių radimas

Galima kalbėti ir apie vidurkių 0β ir 1β pasikliautinuosius intervalus. Jei patenkintosanksčiau aptartos pasikliautinųjų intervalų sudarymo sąlygos, t.y. a.d. B0 ir B1 turi normalųjį skirstinį, tai vidurkių 0β ir 1β pasikliautinieji intervalai (pasikliovimo lygmuo lygus α−1 ) randami pagal formules:

11 2;2/112;2/11 bnbn stbstb ⋅−≤≤⋅− −−− αα β ,

00 2;2/002;2/10 bnbn stbstb ⋅−≤≤⋅− −−− αα β .

Čia 2;2/ −ntα pažymėtas Stjudento skirstinio su n-2 laisvės laipsniais α/2 kvantilis.

Intervalinių įverčių skaičiavimas nesiskiria nuo aprašytųjų Modulyje PARAMETRŲ

TAŠKINIAI IR INTERVALINIAI ĮVERČIAI.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


166

3 uždavinys. Hipotezių apie regresijos lygtieskoeficientų reikšmingumą tikrinimas

Nulinė hipotezė 0: 10 =βH .

Alternatyvioji hipotezė 0: 1 ≠βaH

Šios hipotezės tikrinimui naudojamas Sjudento t kriterijus

)1(~1

11 −= ntTBS

B

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


167

3 uždavinys. Hipotezių apie regresijos lygties koeficientųreikšmingumą tikrinimas.

Regresijos lygties koeficientų lentelė

Koeficientai

Regresijos lygties koeficientai b i

(Unstandardized Coefficients)

Normuoti koeficientai

(Standardized Coefficients)

Stebėta Stjudento statistikos reikšmė

(t)

Stebėtas reikšmin

gumo lygmuo

(p-reikšmė)

(Sig.) Koeficientų

taškiniai įverčiai

(B)

Koeficientų standartinės

paklaidos (Std. Error)

(Beta)

β0 (Constant)

b0 0bs

0

00bs

bimtt =

0imtα

β1

b1

1bs y

x

ssbBETA 1=

1

11bs

bimtt =

1imtα

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


168

Coefficientsa

520,609 142,259 3,660 ,001 232,621 808,596

9,958 ,459 ,962 21,681 ,000 9,028 10,888

(Constant)Išlaidos reklamai(x 100 Lt)

Model1

B Std. Error

UnstandardizedCoefficients

Beta

Standardized

Coefficients

t Sig.LowerBound

UpperBound

95% ConfidenceInterval for B

Dependent Variable: Pardavimas (x 100 Lt)a.

Gavome imties regresijos lygtį parduota=520,61+9,96*reklama.Išvada. Padidinus išlaidas reklamai vienu vienetu, pardavimai padidėja vidutiniškai 9,96 vienetais. Abu regresijos lygties koeficientai yra reikšmingi, nes atmestos abi nulinės hipotezės apie koeficientų lygybę nuliui.

)60,808;62,232()( 095,0 =βPI )89,10;03,9()( 195,0 =βPI

Apskaičiuojame populiacijos regresijos lygties koeficientųpasikliautinuosius intervalus:

.

Išvada. Su 95% garantija galime prognozuoti, kad padidinus išlaidas reklamai vienu vienetu, pardavimai vidutiniškai padidės nuo 9,03 iki 10,89 vienetų.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


169

4 uždavinys. Prognozavimo paklaidų įvertinimas

Plot of Fitted Model

x

y

0 0,5 1 1,5 2 2,5 30

0,4

0,8

1,2

1,6

2

Prognozuojamų reikšmių pasikliautinoji juosta

Υ Χ= +β β0 1

( ) ( )( )P y x y y xp p p p p− < < + = −ε ε α1

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


170

4 uždavinys. Prognozavimo paklaidų įvertinimas.

| | | | | | | | | | | | | | |

0 100 200 300 400 500 600 700Confidence | |

Interval: 351.8 511.9Prediction | |

Interval: 194.1 669.6

Y sąlyginio vidurkio pasikliautinasis intervalas

Individualios Y reikšmės pasikliautinasis intervalas

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


171


Y sąlyginio vidurkio pasikliautinasis intervalas

( )( )∑

=

−−−

−

−+=

⋅−≤=≤⋅−

n

ii

pY

YnpYn

XX

XXn

SS

StYXXYEStY

1

2

2

ˆ

ˆ2/,2ˆ2/1,2

1

kur

ˆ)(ˆαα

( )( )∑

=

−−−

−

−+=

⋅−≤=≤⋅−

n

ii

pY

YnpYn

XX

XXn

SS

StYXXYEStY

1

2

2

ˆ

ˆ2/,2ˆ2/1,2

1

kur

ˆ)(ˆαα

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


172


Kas įtakoja pasikliautinojo intervalo plotį?

1. Pasikliovivimo lygmuo (1 - α)2. Duomenų sklaida (s)3. Imties didumas (n)4. Taško Xp atstumas nuo X vidurkio

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


173


Intervaliniai įverčiai (Interval Estimates)

Dep Var Pred Std Err Low95% Upp95% Low95% Upp95%

Obs SALES Value Predict Mean Mean Predict Predict1 1.000 0.600 0.469 -0.892 2.092 -1.837 3.037 2 1.000 1.300 0.332 0.244 2.355 -0.897 3.4973 2.000 2.000 0.271 1.138 2.861 -0.111 4.1114 2.000 2.700 0.332 1.644 3.755 0.502 4.8975 4.000 3.400 0.469 1.907 4.892 0.962 5.837

YY prognozprognozėė, , kai kai XX = 4= 4

Y vidurkio pasikliautinasisintervalas

SSYYY reikšmės pasikliautinasisintervalas

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


174

Standartinė regresijos paklaida

Apibrėžtumo koeficientasS

nee i

i

n=

− =∑1

22

1

r SS SSR P2 = /Y X= +β β0 1

Prognozės paklaida

e y yi i i= −Nuokrypių kvadratų sumos:

SS aP ii

n=

=∑ 2

1SSR i

i

n=

=∑ε 2

1

SS ee ii

n=

=∑ 2

1SS SS SSP R e= +

Y

X

( )x yi i,

ei

εi

aiyi

y

x xi

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


175

Apibrėžtumo koeficientas

Regresinėje analizėje naudojamos trys nuokrypių kvadratų sumos:

Bendroji nuokrypių kvadratų suma (total sum of squares)

∑∑==

=−=n

ii

n

iip ayySS

1

2

1

2)( .

Ji apibūdina a.d. Y reikšmių sklaidą apie vidurkį. Regresinė nuokrypių kvadratų suma (regresion sum of squares)

∑∑==

ε=−=n

ii

n

iiR yySS

1

2

1

2)( .

Ji apibūdina eksperimento taškų sklaidos apie vidurkį y dalį, kuri paaiškinama Y tiesine regresija X atžvilgiu (t.y. jų tiesine priklausomybe) – "paaiškinama nuokrypių dalis".

Liekanų kvadratų suma (residual (eror) sum of squares)

∑∑==

=−=n

ii

n

iie eyySS

1

2

1

2)(

apibūdina eksperimento taškų sklaidą apie regresijos tiesę, t.y. taškų sklaidos apie vidurkį y dalį, kuri nepaai�kinama tiesine regresija – "nepaaiškinama nuokrypių dalis".

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


176

eRp SSSSSS +=

Apibrėžtumo koeficientas parodo, kuri atsitiktinio dydžio Y sklaidos dalis apie vidurkį y paaiškinama tiesine regresija. Kuo 2r →1, tuo geriau regresijos modelis apibūdina eksperimento taškus. Daugumoje statistinės analizės paketų išvedamas dydis 2r ⋅100 [%]. Statistikos paketai regresinės analizės rezultatus pateikia lentelėmis. Žemiau pateikta paketo SPSS lentelės struktūra. Modelis

(Model)

Koreliacijoskoeficientas

(R)

Apibrėžtumo koeficientas (R Square)

Pataisytas apibrėžtumo koeficientas

(Adjusted R Square)

Standartinė regresijos paklaida

(Std. Error of the Estimate)

1 r 2r 2adjr

2es

p

RSSSS

r =2

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


177

Regresijos modelio rodiklių suvestinė

Model Summary b

,962a ,925 ,923 221,52 2,162Model1

R R SquareAdjustedR Square

Std. Errorof the

EstimateDurbin-W

atson

Predictors: (Constant), Išlaidos reklamai (x 100 Lt)a.

Dependent Variable: Pardavimas (x 100 Lt)b.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


178

KELIŲ KINTAMŲJŲ REGRESINĖ ANALIZĖ

X 1X 2

X k

...

Y

Kokia yra statistinė priklausomybė tarpnepriklausomų kintamųjų X1, X2, …, Xkir priklausomo kintamojo Y ?

( ) εβββ

εββββ

+=Υ

+++++=Υ

kk

kk

XXXf

XXX

,...,,,,...,,

...

2121

22110Tiesinė

Netiesinė

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


179

PAGRINDINIAI KELIŲ KINTAMŲJŲ REGRESINĖS ANALIZĖS UŽDAVINIAI

1. Regresinės funkcijos analizinės išraiškos radimas.2. Regresijos funkcijos nežinomų parametrų taškinių

ir intervalinių įverčių radimas.3. Hipotezių apie regresijos funkcijos parametrus tikrinimas.4. Prognozavimo paklaidų įvertinimas.5. Regresijos modelio prielaidų tikrinimas.6. Optimalios regresijos lygties sudarymas.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


180

X2

Y

X1E(Y) = β0 + β1X1i + β2X2i

β0

Yi = β0 + β1X1i + β2X2i + εi

ResponsePlane

(X1i,X2i)

(Observed Y)

εi

X2

Y

X1E(Y) = β0 + β1X1i + β2X2i

β0

Yi = β0 + β1X1i + β2X2i + εi

ResponsePlane

(X1i,X2i)

(Observed Y)

εi

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


181

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


182

Optimalios kelių kintamųjų tiesinės regresijos lygties sudarymas

Regresinės analizės modelis yra vertingesnis, kuomažesniu kintamųjų skaičiumi jis nusakomas. Suprantama,reikia stengtis, kad kintamųjų KXXX ,...,, 21 skaičiaus sumažinimas iš esmės nepablogintų Y prognozės tikslumo. Pagrindiniai regresijos lygties optimalumo kriterijai:

• suvestinis apibrėžtumo koeficientas 12 →r • standartinė regresijos paklaida 1→eS • regresijos lygtyje nėra kintamųjų, kurie reikšmingai

nepagerina Y prognozavimo

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


183

Visų regresijų metodas

22110

220

110

0

XXYXYXY

Y

βββββββ

β

++=+=+=

=

Kai 10=K , tai galimų skirtingų regresijos lygčių skaičiusyra 102422 10 ==K

.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


184

PAŽINGSNINĖS REGRESIJOS METODAI

• kintamųjų įrašymo metodas (Forward)

• kintamųjų išbraukimo metodas (Backward)

• mišrus kintamųjų įrašymo–išbraukimo metodas (Stepwise)

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


185

TIESINĖS REGRESIJOS MODELIO PRIELAIDOS

Assumptions of the Linear Regression Model

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


186

Tiesinės regresijos modelio prielaidos

• (Y|X=x) sąlyginis skirstinys yra normalusis. • Sąlyginis vidurkis yra tiesinė funkcija M(Y|X=x)= x10 ββ + . • Sąlyginė dispersija yra pastovi D(Y|X=x)=const. • Stebėjimai n1,2iyx ii ,...,),,( = yra nepriklausomi. 1-4 prielaidos ekvivalentiškos prielaidai, kad dvimačio atsitiktinio dydžio skirstinys yranormalusis.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


187

Dispersinės analizės (ANOVA) rezultatų lentelė

Nuokrypių šaltinis

Nuokrypių kvadratų suma

(Sum of Squares)

Laisvės laipsniųskaičius

(df)

Nuokrypių kvadratų vidurkis

(Mean Square)

Stebėta Fišerio statistikos reikšmė

(F)

Reikšmingumo

lygmuo (Sig.)

Regresija (Regression)

SSR

1 RSS=RSS

e

Rimt

SSSSF =

imtα Atsitiktiniai

faktoriai (paklaidos) (Residual)

SSe

n-2

2−=

nSS

SS ee

Total

SSp

n-1

H0: β1 = β2 = β3 = β4= …=0Ha: Bent vienas βi nelygus nuliui.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


188

Tiesinės regresijos modelio prielaidų tikrinimo SPSS meniu

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


189

Multikolinearumas

Tarp nepriklausomų kintamųjų yra stipriai koreliuojančių.

1. Dispersijos mažėjimo daugiklis VIF (Variance Inflation Factor)2. Tolerancija (Tolerance).

3. Sąlygojimo indeksas (Condition index).VIF

aTolerancij 1=

Jeigu 4<VIF<10 - galima įtarti, kad kintamasis yra multikolinearus (nuo vidutinio iki stipraus) .

Jeigu VIF>=10 - kintamasis ,,per daug multikolinearus”.

Jeigu 10<Sąlygojimo indeksas <= 30 tai galima įtarti, kad kintamasis yra multikolinearus (nuo vidutinio iki stipraus).

Sąlygojimo indeksas >30 rodo stiprų multikolinearumą (regresijos koeficientų įverčiai yra nestabilūs).

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


190

Išskirčių nustatymas (Outlier diagnostics)

• Liekamosios paklaidos.• Standartizuotosios liekamosios paklaidos. • Stebėjimo įtakos indeksas (Leverage).• Kuko matas D (Cook’s D).

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


191

Standatizuotosios liekamosios paklaidosStandardized Residuals

.

syi−

= ii

yZRESID

Stebėta reikšmė yra išskirtis, jeigu standartizuotosios liekamosios paklaidos modulis viršija 3,5.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


192

Kuko matas D (Cook’s D)

Kuko matas D atsižvelgia į standartizuotąją liekaną ir į stebėjimo įtakos indeksą.

'( )

i ii

i i

h eCook s Dp h s h

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ − −⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

2

2

11 1

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


193

DFFITSDFFITS statistikos įvertina i-tojo stebėjimo įtaką y prognozei.

Didelės DFFITS reikšmės rodo, kad i-tasis stebėjimas reikšmingai įtakoja prognozę.

Belsley, Kuh, ir Welsch rekomenduoja stebėtas yi reikšmes, kurioms DFFITS statistikos reikšmė yra didesnes už

priskirti išskirtims.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


194

DFBETAS

DFBETAS statistikos įvertina i-tojo stebėjimo įtaką regresijos lygties koeficientui βj

Didelės DFBETASj reikšmės rodo, kad i-tasis stebėjimas reikšmingai įtakoja regresijos lygties koeficientą βj

Belsley, Kuh, ir Welsch rekomenduoja i-tąjį stebėjimą, kuriam DFBETAS reikšme didesnes už

priskirti išskirtims.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


195

Matas Reikšmė

leverage >2p/n

abs(ZRESID) > 3,5

CooksD > 4/n

abs(DFFITS)

p – parametrų skaičius modelyje (įskaitant konstantą), n –stebėjimų skaičius.

>

abs(DFBETAS) >

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


196

Regression Standardized Residual

1,81,0,2-,6-1,4-2,2

HistogramDependent Variable: Pardavimas (x 100 Lt)

Freq

uenc

y

14

12

10

8

6

4

2

0

Std. Dev = ,99 Mean = 0,0

N = 40,00

Liekamųjų paklaidųnormalumo tikrinimas

Normal P-P Plot of Regression Standardized Residual

Dependent Variable: Pardavimas (x 100 Lt)

Observed Cum Prob

1,00,75,50,250,00E

xpec

ted

Cum

Pro

b

1,00

,75

,50

,25

0,00

Išvada. Vizualiai palyginę, galime teigti, kad standartizuotųjų liekanų histograma yra suderinta su standartinio normaliojo skirstinio kreive (t.y. standartizuotųjųliekanų skirstinys yra suderintas su standartiniu normaliuoju skirstiniu).

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


197

Liekamųjų paklaidų normalumo tikrinimas

Suderinamumo hipotezės tikrinimo rezultatai (Kolmogorovo-Smirnovo statistika)

One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test

ZRE_1 Standardized

Residual N 40

Normal Parameters(a,b) Mean ,0000 Std. Deviation ,98710Most Extreme Differences Absolute ,075 Positive ,055 Negative -,075Kolmogorov-Smirnov Z ,477Asymp. Sig. (2-tailed) ,977

a Test distribution is Normal. b Calculated from data.

Išvada. Suderinamumo hipotezė neatmesta (p=0,977>0,05), standartizuotųjų liekanų skirstinys yra suderintas su standartiniu normaliuoju skirstiniu.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


198

Homoskedastiškumas / Heteroskadastiškumas

X

SR

X

SR

X

SR

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


199


ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


200





5. Faktorinė analizė

Vytautas JANILIONIS

2008

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


201



2. Požymių priklausomumo tyrimas (teorinė paskaita, 1 ak.val. ir praktinis seminaras, 2 ak. val.).




ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


202

FAKTORINFAKTORINĖĖ ANALIZANALIZĖĖ

IstorijaIstorija

Faktorinės analizės pradininkas –

CharlesCharles SpearmanSpearman

(Čarlzas Spirmenas, 1863 - 1945)

Prieš beveik 100 metų SpearmanSpearman iškėlėhipotezę, kad didžiulė įvairovė žmogaus protinių gabumų - matematinių, kalbos, artistinių, loginio samprotavimo įgūdžių ir t.t. -gali bgali būūti paaiti paaišškinti vienu bendrojo intelekto kinti vienu bendrojo intelekto "faktoriumi"faktoriumi““, kurį jis pavadino gg.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


203


Tikslai ir uTikslai ir užždaviniaidaviniai

FaktorinFaktorinėė analizanalizėė taikoma dideliam stebimųkintamųjų kiekiu sumažinti, juos pakeičiant tiesiogiai nestebimais (latentiniais) faktoriaisfaktoriais.

FaktorinFaktorinėės analizs analizėės modelio prielaida:s modelio prielaida: egzistuoja tokie tiesiogiai nestebimi faktoriaifaktoriai, kuriais galime paaiškinti stebimų kintamųjųtarpusavio koreliaciją. Kitaip tariant, turėdami n kintamųjų, galime nustatyti k latentinių faktorių (k < n), kurie charakterizuoja n kintamųjųaibę.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


204

F1

Faktoriaus sFaktoriaus sąąvokavokaX1

X2

X3

FaktoriusFaktorius Fj – tai tiesiogiai nestebimas (latentinis) kintamasis, kuris vienija tam tikrą grupę susijusiųkintamųjų Xi.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


205

MatematinisMatematinis modelismodelis

112121111 uFaFaFaX mm ++++= …

222221212 uFaFaFaX mm ++++= ……………………………………………………..

kmkmkkk uFaFaFaX ++++= …2211

kFFF ,,, 21 …imii aaa ,,, 21 …ku

- bendrieji latentiniai faktoriai - faktorių svoriai

- specifinis kintamojo Xk faktorius

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


206

MatematinisMatematinis modelismodelis

Faktorių svoriai parodo, kaip stipriai kintamasis koreliuoja su faktoriumi.

Faktoriaus svoris, ija Interpretacija

6.0≥ija Faktorių jF ir kintamąjį iX sieja stiprus ryšys

6.03.0 <≤ ija Faktorių jF ir kintamąjį iX sieja ryšys

3.0<ija Tarp faktoriaus jF ir kintamojo iX ryšio nėras

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


207

Matematinis modelis Matematinis modelis

XX11 XX22 XX33 XX44 XX55

FF11 FF22

u1 u2 u3 u4 u5

Faktoriai F1 ir F2 apibūdina kintamuosius X1, X2, X3, X4 ir X5

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


208

PavyzdysPavyzdys

Faktorių jF svoriai ija Kintamieji, iX

1ia 2ia 3ia Loginis mąstymas, 1X 0.82 0.63 0.44 Gramatika, 2X 0.68 0.64 0.21 Literatūra, 3X 0.28 0.59 0.18 Algebra, 4X 0.45 0.20 0.38 Geometrija, 5X 0.50 0.17 0.69 Fizika, 6X 0.41 0.13 0.37 Lotynų, 8X 0.58 0.70 0.20

Prancūzų, 9X 0.32 0.68 0.17

Istorija, 10X 0.25 0.43 0.12

Technologijos, 11X 0.49 0.09 0.60

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


209

PavyzdysPavyzdys

Geometrija

Fizika

Prancūzų

Lotynų

Algebra

Loginis mąstymas

Literatūra Gramatika

Istorija

Technologijos

Bendrieji protiniaigebėjimai

Kalbiniai įgūdžiai

Inžinieriniai gebėjimai

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


210

FaktorinFaktorinėės analizs analizėės tipais tipai

Tiriančioji

Patvirtinančioji


ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


211

FaktorinFaktorinėės analizs analizėės pries priešštaringumastaringumas

Faktorinė analizė yra gana prieštaringas daugiamatės statistinės analizės uždavinys, nes:

•išskirti faktoriai yra nevienareikšmiai;

• Išskirtus faktorius ne visada lengva interpretuoti;

• Ne visada galime išskirti faktorius, apibendrinančius stebimo reiškinio kintamuosius;

• Išskirtų faktorių patikimumas labai priklauso nuo pradinių kintamųjų, t.y. prieš taikant faktorinę analizę būtina įsitikinti, kad stebėtą reiškinįaprašantys kintamieji buvo tinkamai parinkti.

Šiam uždaviniui dažniausiai neegzistuoja vienintelis sprendinys, t.y.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


212

FaktorinFaktorinėės analizs analizėės s lyglygččiiųų sprendimo sprendimo

metodaimetodai

PagrindiniPagrindiniųų faktorifaktoriųų

DidDidžžiausio tikiausio tikėėtinumo tinumo

MinimaliMinimaliųųjjųų liekanliekanųų

…………..........

PagrindiniPagrindiniųų komponenkomponenččiiųų

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


213

Faktorinės analizės modeliuose stebimus kintamuosius iX išreiškiame faktorių jF tiesinėmis daugdaromis:

iikikiii UdFaFaFaX ++++= …2211 kur

iX - kintamasis,

ija - faktoriaus svoris (kintamojoXi ir faktoriaus Fj koreliacijos koeficientas),

jF - faktorius,

iU - specifinis faktorius, susijęs tik su kintamuoju , iX

id - specifinio faktoriaus svoris. ir yra tenkinamos sąlygos:

1) 0),cov( =ji FF , bendrieji faktoriai yra nekoreliuoti tarpusavyje ir 1=jDF

2) ),(~ 2iii NX σµ , kiekvienas stebimas kintamasis yra pasiskirstęs pagal normalųjį dėsnį

3) 0),cov( =ji UU , specifiniai faktoriai yra nekoreliuoti tarpusavyje ir jjDU τ= (dispersija yra lygi konstantai)

4) 0),cov( =ij UF , bendrieji ir specifiniai faktoriai yra nekoreliuoti tarpusavyje

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


214

Pagrindinė komponentė yra kintamasis, kurį galime išreikšti stebimų kintamųjų tiesine daugdara:

pipiii XbXbXbC +++= …2211 ,

čia 1C - pirmoji (išskirta) komponentė,

ijb - kintamojo svoris (kintamojo Xj ir komponentės Ci koreliacijos koeficientas). ir yra tenkinamos sąlygos:

1) 0),cov( =ji CC , komponentės yra nekoreliuotos tarpusavyj, 2) kDCDCDC ≥≥≥ …21 , komponentės yra išdėstytos dispersijų mažėjimo tvarka, t.y.

pirmoji komponentė paaiškina didžiausią dalį pradinių kintamųjų dispersijos, antroji mažesnę ir t.t.,

3) pk DXDXDXDCDCDC +++=+++ …… 2121 , komponenčių dispersijų suma yra lygi pradinių kintamųjų dispersijų sumai.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


215

FaktorinFaktorinėės analizs analizėės etapais etapaiDuomenDuomenųų tikimas faktorinei analizeitikimas faktorinei analizei

,

Faktorinė analizė taikoma tik kiekybiniams kintamiesiems (intervalų arba santykių skalė).

0H

aH

– koreliacijų matrica yra vienetinė, t.y. visi kintamieji yranekoreliuoti.

– koreliacijų matrica nėra vienetinė.

Bartleto sferiškumo kriterijus tikrina hipotezę:

KMO kriterijus tikrina, ar stebimus duomenis išvis įmanoma apibendrinti tam tikru faktorių rinkiniu. Naudojant šį kriterijų yra nustatomi “per daug” multikolinearūskintamieji, kuriuos reikėtų pašalint iš modelio, t.y. dalinės koreliacijos tarp kintamųjųneturėtų būti labai didelės, jeigu norime gauti skirtingų faktorių rinkinį. Jeigu bendrasis KMO yra mažesnis už 0.6, tuomet stebimiems kintamiesiems faktorinėanalizė yra netaikytina .

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


216

FaktorinFaktorinėės analizs analizėės etapais etapai

FaktoriFaktoriųų iiššskyrimasskyrimas

,

Faktorinės analizės lygčių sistemos sprendimo metodo parinkimas:

• pagrindinių komponenčių,• pagrindinių faktorių, • didžiausio tikėtinumo ir kt.

Faktorių skaičiaus nustatymas:

• Kaiserio kriterijus. Faktoriaus Fj tikrinė reikšmė > 1.

• Faktorių tikrinių reikšmių grafikas.

• Intuicija.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


217

FaktoriFaktoriųų tikrinitikriniųų reikreikššmimiųų grafikasgrafikas

Faktoriaus numeris

Tikr

inė

reik

šmė

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


218

FaktorinFaktorinėės analizs analizėės etapais etapai

FaktoriFaktoriųų sukimassukimas

,

Faktorių sukimas – tai faktorių svorių matricos transformavimas įlengviau interpretuojamą pavidalą.

Ortogonalus faktorių sukimas – tai faktorių ašių sukimas išlaikant statųkampą (90 laipsnių) tarp ašių.

Faktorius 1F

Faktorius 2F

0.7

0.6 0.2

0.9Pasuktas faktorius 1F

Pasuktas faktorius 2F

Kintamasis 1X

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


219

FaktorinFaktorinėės analizs analizėės etapais etapaiFaktoriFaktoriųų sukimassukimas

Statistinės analizės paketuose yra įdiegta įvairių ortogonalių ir neortogonalių faktoriųsukimo metodų: VARIMAX, QUARTIMAX, EQUIMAX, PROMAX ir kt.

VARIMAX sukimas – tai ortogonalus faktorių sukimas maksimizuojantis fakoriaus jF svorių

njjj bbb ,,, 21 … kavadratų dispersiją kintamųjų nXXX ,,, 21 … atžvilgiu. Faktorių sukimas neįtakoja bendros faktoriais paaiškinamos dispersijos dalies, t.y. tikrinių reikšmių suma ∑ kλ lieka nepakitusi. Tačiau pasikeičia faktorių svoriai ijb ir kiekvieno faktoriaus paaiškinama bendrosios dispersijos dalis ∑⋅ ki λλ /100 . Vienas iš faktorinės analizės trūkumų yra tai, kad skirtingų faktorių sukimo procedų rezultatai yra skirtingi. Taigi, išskirtų faktorių interpretacija labai priklauso nuo sukimo metodo parinkimo.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


220

SPSSSPSSAnalyzeAnalyze Data Data reductionreduction FactorFactor......

Analizuojami kintamieji

Stebėti kintamieji

Faktoriųsukimas

Faktoriųreikšmės

Analizės parametrai

Aprašomoji statistika Faktorių

išskyrimas

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


221

SPSSSPSS

AnalyzeAnalyze Data Data reductionreduction FactorFactor... ... DescriptivesDescriptives......

Aprašomoji statistika

Pradinis (nepasuktas) sprendinys

KMO ir Bartletosferiškumokriterijus

Kintamųjųkoreliacinėmatrica

Kintamųjųkoreliacijųreikšmingumas

Koreliacinės matricos determinantas

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


222

SPSSSPSSAnalyzeAnalyze Data Data reductionreduction FactorFactor... ... ExtractionExtraction......

FaktoriųIšskyrimo metodo parinkimas

Koreliacijos matrica

Nepasuktas sprendinys

Faktorių tikriniųreikšmiųgrafikas

Faktoriųskaičiaus išskyrimo kriterijus

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


223

SPSSSPSSAnalyzeAnalyze Data Data reductionreduction FactorFactor... ... RotationRotation......

Faktoriųsukimo metodo parinkimas

Pasuktas sprendinys

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


224

SPSSSPSS

AnalyzeAnalyze Data Data reductionreduction FactorFactor... ... ScoresScores......

Sukurti naujus kintamuosius

Faktorių reikšmiųskaičiavimo metodo parinkimas

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


225

PavyzdysPavyzdys

Apklausos duomenys įrašyti faile atsakymai.sav. Kiekvienas teiginys įvertintas skalėje nuo 1 iki 7, (1 - „visiškai nesutinku“, 7 - „visiškai sutinku“).

1X = „Aš labai stengiuosi stiprinti santykius su savo dabartiniu partneriu“,

2X = „Jei išsiskirčiau su savo dabartiniu partneriu, prarasčiau daug mėgstamų laisvalaikio užsiėmimų“,

3X = „Jei išsiskirčiau su savo dabartiniu partneriu, prarasčiau daug bendrų draugų“,

4X = „Įdomiau būtų pradėti naują pažintį, negu tęsti santykius su dabartiniu partneriu“,

5X = „Labiau noriu būti vienas, negu su dabartiniu partneriu“,

6X = „Aš linkęs silpninti santykius su dabartiniu partneriu“.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


226

DuomenysDuomenys

Imties didumas n=50

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


227

KoreliacinKoreliacinėė analizanalizėėFaktorinė analizė neturi prasmės nekoreliuotiems duomenims, todėl pirmiausiai reikia analizuotikintamųjų 621 ,,, XXX … koreliacinę matricą. Koreliacinės analizės tikslas yra nustatyti visiškainekoreliuotus arba silpnai tarpusavyje koreliuotus kintamuosius ir pašalinti juos iš pradiniųkintamųjų rinkinio. Kartais kintamieji gali ir per daug stipriai koreliuoti tarpusavyje(multikolinearumo problema).

Correlation Matrix a

1,000 ,857 ,747 -,373 -,420 -,296,857 1,000 ,816 -,219 -,238 -,142,747 ,816 1,000 -,255 -,348 -,219

-,373 -,219 -,255 1,000 ,621 ,592-,420 -,238 -,348 ,621 1,000 ,664-,296 -,142 -,219 ,592 ,664 1,000

,000 ,000 ,004 ,001 ,019,000 ,000 ,063 ,048 ,162,000 ,000 ,037 ,007 ,063,004 ,063 ,037 ,000 ,000,001 ,048 ,007 ,000 ,000,019 ,162 ,063 ,000 ,000

X_1X_2X_3X_4X_5X_6X_1X_2X_3X_4X_5X_6

Correlation

Sig. (1-tailed)

X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6

Determinant = ,019a.

Kintamieji 1X , 2X ir 3X reikšmingai stipriai koreliuoja tarpusavyje, hipotezės apie koreliacijoskoeficientų lygybę nuliui, atmestos (p = 0,000 < 0,05).

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


228

Anti-image Matrices

,210 -,131 -,013 ,045 ,066 ,013-,131 ,172 -,125 -,007 -,058 -,017-,013 -,125 ,307 -,020 ,071 ,004,045 -,007 -,020 ,540 -,152 -,157,066 -,058 ,071 -,152 ,426 -,203,013 -,017 ,004 -,157 -,203 ,504,756a -,690 -,053 ,133 ,221 ,040

-,690 ,649a -,546 -,022 -,215 -,057-,053 -,546 ,811a -,049 ,195 ,010,133 -,022 -,049 ,824a -,317 -,301,221 -,215 ,195 -,317 ,735a -,438,040 -,057 ,010 -,301 -,438 ,767a

X_1X_2X_3X_4X_5X_6X_1X_2X_3X_4X_5X_6

Anti-image Covariance

Anti-image Correlation

X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6

Measures of Sampling Adequacy(MSA)a.

DuomenDuomenųų tinkamumas tinkamumas faktorineifaktorinei analizeianalizei

Matricos įstrižainėje yra Kintamojo stebėjimų tinkamumo matas – MSA (Measure of samplingAdequacy). Rekomenduojama iš pradinių kintamųjų rinkinio pašalintikintamuosius, kuriems 5,0<MSA . Mūsų atveju visų kintamųjų MSAreikšmės yra didesnės už 0,5 - visi kintamųjų 621 ,,, XXX … stebėjimaiyra tinkami faktorinei analizei.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


229

DuomenDuomenųų tinkamumas tinkamumas faktorineifaktorinei analizeianalizei

KMO and Bartlett's Test

,747

183,60115

,000

Kaiser-Meyer-Olkin Measure of SamplingAdequacy.

Approx. Chi-SquaredfSig.

Bartlett's Test ofSphericity

KMO matas parodo, ar analizuojamiems duomenims iš viso galima takyti faktorinę analizę. Jeigu šio kriterijaus reikšmė yra mažesnė už 0,6, tuomet faktorinė analizė nepriimtina. Mūsų atveju KMO= 0,747,todėl duomenų aibė pakrnčiamai tinka faktorinei analizei. Bartleto sferiškumo kriterijus (KMO and Bartlett‘s Test) parodo, ar tarp analizuojamųkintamųjų yra statistiškai reikšmingai koreliuojančių, t.y. tikrinama hipotezė „Visi stebimikintamieji yra nekoreliuoti“. Gavome, kad nulinė hipotezė yra atmesta(p=0,000<0,05).Turimiems duomenims faktorinė analizė turi prasmę.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


230

FaktoriFaktoriųų iiššskyrimasskyrimasTotal Variance Explained

3,297 54,951 54,951 3,297 54,951 54,951 2,611 43,524 43,5241,603 26,718 81,669 1,603 26,718 81,669 2,289 38,145 81,669

,420 7,005 88,674,328 5,465 94,139,248 4,131 98,270,104 1,730 100,000

Component123456

Total % of Variance Cumulative % Total % of Variance Cumulative % Total % of Variance Cumulative %Initial Eigenvalues Extraction Sums of Squared Loadings Rotation Sums of Squared Loadings

Extraction Method: Principal Component Analysis.

Faktorių išskyrimui naudojome pagrindinių komponenčių metodą (Principal Components). Faktoriaus 1F tikrinė reikšmė (Initial Eigenvalues) yra lygi 3,297 ir tai sudaro net 55% bendros visų kintamųjų dispersijos. Pastebėsime, kad faktoriais 1F ir 2F galime paaiškinti 82% visos kintamųjų 1X , 2X , 3X , 4X , 5X ir 6X dispersijos. Likę faktoriai 63 ,, FF … paaiškina tik nedidelę dispersijos dalį (18%), todėl juos atmetame.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


231


3,297 54,951 54,951 3,297 54,951 54,951 2,611 43,524 43,5241,603 26,718 81,669 1,603 26,718 81,669 2,289 38,145 81,669

,420 7,005 88,674,328 5,465 94,139,248 4,131 98,270,104 1,730 100,000

Component123456



Kaiserio kriterijus (Extraction Sums of Squared Loadings). Rekomenduoja išskirti tik tuos faktorius, kurių tikrinės reikšmės yra didesnės už 1. Gauti rezultatai rodo, kad tikslinga išskirti tik faktorius

1F ir 2F (tikrinės reikšmės atitinkamai lygios 3,297 ir 1,603).

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


232

Faktorių tikrinių reikšmių grafike (Scree plot) aiškiai matomas „lūžis“ tarp tikriniųreikšmių 2 ir 3, kuris rodo, kad reikia nagrinėti tik 2 faktorius.

654321

Factor Number

3

2

1

0

Eige

nval

ue

Scree Plot


ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


233


3,297 54,951 54,951 3,297 54,951 54,951 2,611 43,524 43,5241,603 26,718 81,669 1,603 26,718 81,669 2,289 38,145 81,669,420 7,005 88,674,328 5,465 94,139,248 4,131 98,270,104 1,730 100,000

Component123456



Atlikus faktorių sukimą, jų struktūra buvo optimizuota (Rotation Sums of Squared Loadings), t.y. dabar faktoriai 1F ir 2F yra beveik vienodos svarbos. Prieš sukimą faktorius 1F paaiškino 55% bendros visų kintamųjų dispersijos, o po sukimo šis rodiklis sumažėjo iki 44%. Tačiau faktoriui 2F šis rodiklis padidėjo nuo 27% iki 38%. Bendra faktoriais 1F ir 2F paaiškinama dispersijos dalis yra nepakitusi (82%).

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


234

Communalities

1,000 ,8741,000 ,9271,000 ,8371,000 ,7161,000 ,7771,000 ,769

X_1X_2X_3X_4X_5X_6

Initial Extraction


Component Matrix a

,865 ,356,780 ,564,797 ,449

-,653 ,538-,713 ,519-,610 ,630

X_1X_2X_3X_4X_5X_6

1 2Component

Extraction Method: Principal Component Analysis.2 components extracted.a.

Kintamųjų bendrumai (Communalities) po faktorių išskyrimo rodo, kokią kiekvieno kintamojo dispersijos dalį galime paaiškinti faktoriais 1F ir 2F . Pavyzdžiui, 87,4% kintamojo 1X dispersijos galime paaiškinti faktoriais 1F ir 2F . Analogiškai interpretuojami ir likusių kintamųjų 2X , ..., 6X bendrumai. Faktorių svorių matrica (Component Matrix) parodo kintamųjų ir faktorių ryšius. Priminsime, kad faktorius ir kintamasis laikomi stipriai susiję, jeigu faktoriaus svoris 6.0≥ija . Faktorių svorių matricoje matome, kad pavyzdžiui, faktorius 1F

yra reikšmingai susijęs su visais kintamaisiais 1X , 2X , 3X , 4X , 5X ir 6X . Tačiau minėti kintamieji aprašo skirtingus dalykus, todėl faktoriaus 1F neįmanoma tinkamai interpretuoti.


ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


235


1,00,50,0-0,5-1,0

Component 1

1,0

0,5

0,0

-0,5

-1,0

Com

pone

nt 2

X_6X_5X_4X_3

X_2

X_1

Component Plot

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


236


Rotated Component Matrixa

,894 -,276,961 -,061,901 -,160

-,161 ,831-,220 ,854-,070 ,874

X_1X_2X_3X_4X_5X_6

1 2Component

Extraction Method: Principal Component Analysis. Rotation Method: Varimax with Kaiser Normalization.

Rotation converged in 3 iterations.a.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


237


ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


238

FaktoriFaktoriųų interpretavimasinterpretavimas

Faktoriai buvo pasukti naudojant ortogonalųjį Varimax sukimą (žr. Rotated Component Matrix).

Po sukimo faktorius 1F yra stipriai susijęs su kintamaisiais 1X , 2X ir 3X (svoriai didesni už 0,6)ir

visiškai nenusijęs su kintamaisiais 4X , 5X ir 6X (svoriai moduliu mažesni už 0,3). Faktorius 2F

yra stipriai susijęs su kintamaisiais 4X , 5X ir 6X (svoriai moduliu didesni už 0,6 )ir visiškai

nenusijęs su kintamaisiais 1X , 2X ir 3X (svoriai moduliu mažesni už 0,3). Taigi, dabar faktorius

interpretuoti yra žymiai lengviau.

Faktorius 1F yra stipriai susijęs su kintamaisiais 1X , 2X ir 3X , kuriais įvertinama dabartinių santykių vertė, todėl faktorių 1F galime pavadinti „Dabartinių santykių vertė“. Panašiai samprotaudami apibūdinsime ir kitą faktorių: kintamaisiais 4X , 5X ir 6X įvertinama alternatyvos vertė, todėl 2F galime įvardinti „Alternatyvos vertė“.

ESF/2004/2.5.0-K01-021/SUT-167BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0042


239


Documents

Mokymo kursas ,,Statistinėanalizėhumanitariniųir ... · skaitinĖs charakteristikos taŠkiniai ir intervaliniai ĮverČiai hipoteziŲtikrinimas laiko eiluČiŲ analizĖ poŽymiŲ