Momento Cuadrupolar de las tensiones

El ncleo y sus radiaciones

Clase 14

Curso 2011

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Departamento de Fsica

Fac. Ciencias Exactas - UNLP

Momento cuadrupolar elctrico

Si el promedio temporal de la distribucin de carga dentro del ncleo se

desva de la simetra esfrica, entonces los ncleos poseern momentos

multipolares elctricos finitos.

Estos momentos multipolares contribuyen a la energa electrosttica del

estado electrnico del tomo.

Efectos medibles en la estructura hiperfina de espectros atmicos y

moleculares pueden ser atribuidos a momentos nucleares cuadrupolares

elctricos.

Momento multipolares clsicos de cargas puntales

q

q

q q qq

q

a

a

abb


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Desarrollo multipolar de una distribucin de carga

0

'r r

''

)'(

4

1)(

0

dVrr

rr


')'('')'(

1

4

1)(

3

0

dVrxr

xdVr

rr i

i

i

...')'()3(

''

6

1 25

,

dVrrxxr

xxijji

ji

ji


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')'()3(

''

6

1')'()3(

''

6

1

,5

,

2

5,

dVrxxxxr

xxdVrrxx

r

xxijkl

lk

klji

ji

ji

ijji

ji

ji

')'()''''3(

1

6

1

,5

,

dVrxxxxxxxxr

ijklji

lk

kljiji

ji

')'()''''3(6

1

,5

,

dVrxxxxr

xxijklkl

lk

ji

ji

ji

')'()'''3(6

1 25

,

dVrrxxr

xxijji

ji

ji



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...

6

1.

4

1)(

,53

0

ij

ji

jiQ

r

xx

r

rp

r

qr

dVrrxxQ ijjiij )'()3(2


Una distribucin de carga sin simetra esfrica posee momentos

multipolares adicionales al momento monopolar.

Una nica carga, cuando no est localizada en el origen de coordenadas,

tambin posee momentos multipolares.


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)1()()( dVrVrW

ji ji

ji

ii

ixx

Vxx

x

VxVrV

,0

2

0

)2(...2

1)0()(


Energa de interaccin entre una distribucin de carga y un potencial

externo


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)3(6

1

6

1

0

2

22

0

2

,

2

iiji

ij

ji x

Vr

xx

Vr

)5(

0

2

0

ji

ij

i

i

xx

VV

x

VV

i jiji

ijjiiii

ixx

Vrxx

x

Vr

x

VxVrV )4(...)3(

6

1

6

1)0()(

0

2

,

2

0

2

22

0



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)7()3)((2 dVrxxrQ ijjiij

)6...()3()(6

1

)(6

1)()0()(

2

,

2

dVrxxrV

dVrrVdVrxVdVVrW

ijji

ji

ij

i

iii

i

i



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)8()( k

k

op rrerr

)9()3)((2 dVrxxrQ ijji

opop

ij

)10()()()( kk rfrrrf



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)11()3( 2 ijk

kjkik

op

ij rxxeQ

ji

op

ijijQ V,

(12)6

1QH

teorema de Wigner -Eckart :

)13(,',)(,,,',)((,, mIQmICmIrQmI opijop

ij I



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Para encontrar la constante C utilizamos m=m=I, i=j=z

Definimos la parte izquierda de la ecuacin (14) como eQ, entonces la

constante constante C es

)15()12(

II

eQC

)14(,',)(2

3,,,',,, 2 mImICmIQmI ijijji

op

ij IIIII



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ji

ijijjiijQII

eQV

,

2 )16()(2

3

)12(6

1IIIII

)()z

(zz

Vy

(yy

V)x

(xx

V)II(

eQ

Q17223)223223

126IIIIIIH

Y Utilizando la ecuacin de Laplace

0

,

ijji

ijV

)18())(()3()12(4

2222

yxyyxxzzzQ VVVII

eQIIIIH



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)20(

zz

xxyy

V

VV

)21()()3()12(4

2222

yxzZZ

QII

eQVIIIIH



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Consideremos la componente Qzz del tensor:

dVrrzQzz )()3(22

Vemos que si 0 )()( zzQrr

Igual para una distribucin de carga positiva (x,y,z) =cte. con simetra

cbica.

z 0zzQz 0Q z

0Q

Distribucin prolada Distribucin oblada



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Momento cuadrupolar Q


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Momento cuadrupolar nuclear

Q tiene una definicin distinta de la definicin clsica. No se calcula

respecto del eje de simetra, sino respecto del eje donde es mxima la

proyeccin de I ( mI =I )

La densidad de carga se reemplaza por la probabilidad de que haya un

protn en el punto de coordenadas zyx ,,2

),,(),,( zyxezyx

La integral sobre la densidad de carga se divide por la carga del protn.

dVrze

Q )3(1 22 (promedio temporal)

Las unidades de Q son las de rea. Se utiliza la unidad barn:

224101 cmbarn


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dVre

Q )1cos3(1 2

Relaciones entre Q, mI e I

z

IImI

La evaluacin del momento cuadrupolar en el estado

cuntico mI = I es coherente con las definiciones

convencionales del momento magntico y del

momento mecnico I.

En el caso de Q, las componentes efectivas para otros

valores de m, no siguen una simple ley de cosenos como

lo hacen para e I.

)1(cos

II

m Q

II

IImQmQ

I

m

)12(

)1(3

1cos3

1cos3)(

2

2

2

0Q

Se puede demostrar que:

1Iobservable si y solo si


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Significado de los datos experimentales

de momentos cuadrupolares

Los vectores medidos de Q caen en el rango de 10-26 a 10-24 cm2, que son del

orden del cuadrado del dimetro nuclear.

Tales momentos son producidos por uno o algunos protones a distancias

del orden del radio nuclear.


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Elipticidad de la distribucin de carga

Asumiendo un modelo de densidad constante de los ncleos, para la

distribucin de carga y masa, el hecho de que los ncleos tengan valores

finitos de Q significa que la distribucin de carga es ligeramente elipsodial.

Consideramos un ncleo elipsodial z

a

b

Lmite clsico

II baV 2

3

4

ba

Ze24

3

dVrz

eQQ zz )3(

22

)(5

2 22 abZ



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Para ncleos reales a b, as que definimos

2

baR

ab

ab

R

ab

2

: radio nuclear

: elipticidad

2

5

4ZRQ

Nmero de protones

requeridos para producir el

valor Q observado


Para I =0, I =1/2, =0

Para I 1, es una fraccin muy pequea. Es una buena aproximacin

suponer que los ncleos son esfricos.


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Estructura de capas de los ncleos

La variacin sistemtica de Q y con Z muestra que Q tiene mnimos

absolutos cerca de Z =50 y 82.

Veamos como funciona el modelo carozo + partcula nica

Un carozo con Z par, que tendra I =0 y =0, no puede esperarse que, en general, cancele su momento cuadrupolar. Solo especiales

valores pares de Z, contendran protones en todos los posibles

estados mj y tendran simetra esfrica y Q =0. Este es el caso de las

capas cerradas correspondientes a los nmeros mgicos 2, 8, 20,

28, 40, 50, 82.

Para Z impar, N par, tal que Z corresponde a una capa cerrada ms un protn, debemos esperar una distribucin de carga oblada, tipo

lenteja y Q 0.

Ver por ejemplo: In11549 Sb

121

51y


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Para ncleos con Z par, N impar, se observa una variacin sistemtica similar al caso Z impar, N par. Esto sugiere que las

fuertes fuerzas atractivas entre protones y neutrones son tales que la

distorsin en la distribucin de los neutrones produce una distorsin

similar en la distribucin de protones.

En conclusin:

Z impar, N par Q depende primariamente del nmero

de protones.

Q >0 antes del llenado de una capa de

protones.

Q


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Z par, N impar La magnitud de Q depende del nmero

de protones, pero el signo depende del

nmero N, como si los neutrones

tuvieran carga positiva.

Z impar, N impar Depende de cmo se acoplan los espines

del protn y neutrn impares. Si son

paralelos, Q tiene magnitud y signo

comparable a un similar nucledo Z

impar, N par.

(10B, 14N, 176Lu).

De otra manera Q es considerablemente

reducido.

(6Li, 36Cl)

Para Z par, N par, I =0 y Q =0

Estructura de capas de los ncleos

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