Vème Conférence Internationale en Recherche OpérationnelleCIRO'10

Marrakech, 24­27 Mai 2010

Modélisation Stochastique de la demande pour les stocks de distribution par une loi 

de probabilité Log­normale

Mohamed El MerouaniMohamed El MerouaniDépartement de Statistique et InformatiqueDépartement de Statistique et Informatique

Faculté Polydisciplinaire de TétouanFaculté Polydisciplinaire de TétouanUniversité Abdelmalek EssaâdiUniversité Abdelmalek Essaâdi

Tétouan-MarocTétouan-Maroc

Introduction:

● Modéliser la demande lors de la période de livraison.

● On  considère  la  demande  des  stocks  de distribution comme variable aléatoire qui suit une loi de probabilité Log­normale 

● Tadikamalla  (1979);  Das  (1983);  Aggarwal (1984); Al­Harkan & Hariga (2007).

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Objectifs: 

● Optimiser (minimiser) le coût total de stockage.● Déterminer  le  minimum  de  la  quantité 

commandée et le point de commande.● Déterminer le nombre moyen des ruptures.● Déterminer  le  minimum  de  l'espérance  du  coût 

total du stock de sécurité, On discute les deux cas:

✔ coût de rupture connu,✔ coût de rupture proportionnel.

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Modélisation Stochastique de la demande:

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● Dans le cas discrèt, on utilise la loi de Poisson.

● Dans le cas continue, on utilise la loi normale.

● Loi de Poisson (Non), pourquoi?:

● Discrète.● Sa variance=sa moyenne.

● Lois de probabilités: discrètes et continues.

Loi normale?

● Loi normale, non, les raisons:

● une loi normale a une probabilité non nulle de prendre des valeurs négatives.

● La  demande  d'un  produit  est  normale lorsqu'elle porte sur un grand nombre d'unités.

● Elle est symétrique par rapport à la moyenne.

Loi exponentielle?

● Losque la symétrie n'est plus vérifiée, 

● De même, la loi exponentielle, non, parce que:● Elle est caractérisée par E=  ● Loi  exponentielle  négative,  modélise  les 

phénomènes de désintégration.

●  La loi exponentielle (négative).

Loi Log­normale:

X~ ,

f x = {1

2π xσexp {−

12 Ln x −μ 2

σ2 } si x0

0 si x≤0

● On  se  propose  de  modéliser  la  demande  X pendant  le  délai  de  livraison  L  par  une  loi  de probabilité Log­normale.

● Notation:                     si sa fonction de densité de probabilité est 

Loi Log­normale:

● La loi lognormale a la propriété d'être  asymétrique et étalée vers la droite

 Schéma multiplicative:

● La demande durant le délai de livraison L est notée X et elle est supposée égale à :

  où D est la demande globale ou totale

X=D.L   

Schéma multiplicative:

● Lorsque la demande D et le délai de livraison (ou 

de production) L  sont des v.a.,  alors  la demande 

X,  les  dates  et  durées  de  rupture  de  stocks 

éventuelles  et  les  coûts  de  détention  deviennent 

eux­mêmes aléatoires.

Schéma multiplicative:

● Si les lois suivies par D et L sont log­normales à 

deux paramètres, alors la loi suivie par le produit 

D.L=X  est aussi  log­normale dont  les paramètres 

sont exactement la somme des paramètres de D et 

de L. Ceci est grâce à  la propriété de  la fonction 

logarithme, Ln(D.L)=Ln(D)+Ln(L).

Espérance et variance de la 

demande:

● La loi suivie par X et L se caractérise par les deux paramètres:

­L'espérance

­La variance

E X =exp {μσ2

2}

Var X =eσ2

−1 e2μσ2

La méthode à point de commande:

● Le point de commande Sc  est  le niveau de stock 

auquel on déclenche une commande ou auquel on 

entame la production d’un nouveau lot.

La méthode à point de commande:

● La fonction de répartition de la Log-normale étant:

● L événement une rupture de stock se produit n est ’ “ ” ’

rien d autre que l événement ’ ’ {X >SC}; en conséquence la probabilité de rupture s écrit: ’

F x =1

σ 2π∫0

x 1t

exp {−Ln t−μ 2

2σ2 }dt

P XSC =1−F SC =1

σ 2π∫SC

∞ 1t

exp {−Ln t−μ 2

2σ2}dt

 Détermination de Sc lorsque le coût de rupture Cr est connu:

● Nr=nombre de ruptures dans la période de 

réference (l'année, par exemple)● Cr =Cr =Coût de ruptutre● CCSS=Coût de détention=Coût de détention● CCt=t=Coût totale du stock de sécurité

Ct=CS+Cr

● L'objectif est min Espérance du coût total de L'objectif est min Espérance du coût total de stockage pendant le délai de livraison.stockage pendant le délai de livraison.

● Notons Notons E(CE(Ctt))  l’espérance du coût total du stock l’espérance du coût total du stock 

de sécuritéde sécurité

E(Ct) =Cr E(Nr) + CS E(SS)

Nous  supposons  implicitement  que  la  quantité 

optimale de commande     a déjà été déterminée par 

les  techniques  déterministes  classiques  (Le  modèle 

de Wilson). 

le coût de rupture total est égal au produit Nr.Cr où 

Nr  est  le  nombre  de  ruptures  dans  l’année;  on  a 

alors:

Q

 En effet, le rapport            est le nombre moyen de 

commandes  et  par  conséquent  le  nombre  moyen 

de possibilités de rupture de stock.

E N r =E D

Q×P XSC

E N r =E D

Q1

σ 2π∫SC

∞ 1t

exp {− Ln t−μ 2

2σ } dt

E D Q

● Lorsqu’on  cherche  à  évaluer  un  coût  de  rupture 

moyen  (une  espérance),  il  faut  connaître  le 

nombre  moyen  d’unités  non  livrées  et  appliquer 

le coût unitaire de rupture à ce nombre (que nous 

noterons E(Nn)). On a alors:

E N n =∫SC

∞

x−SC f x dx

E N n =1

σ 2π∫SC

∞ x−SC

xexp {−

Ln x−μ 2

2σ2 }dx

● Un coût de rupture fixe est généralement associé 

à des ventes différées et dans ce cas le stock de 

sécurité s’écrit :S S=SC−X

MinMin E(Ct)

ce qui conduit à résoudre l’équation : E(Ct)=0

où est la fonction de densité de la loi log-normale.

∂

∂SC

−C r

E D Q

f SC C S=0

f

=C r

E D Q

P XSC C S SC−E X

● Le point de commande dans ce cas est déterminé 

“implicitement” par:

pour éviter l’obtention du point de commande 

« implicitement » est de considérer la demande 

suivant une loi de probabilité log­normale à trois 

paramètres, avec SC comme le paramètre seuil.

f SC =QC S

E D C r

Détermination Sc lorsque Cr proportionnel: 

● Cr fonction linéaire de du nombre d’unités dont 

la demande n’a pu être satisfaite Nn.● Distinguer deux cas:● Ventes différées:● Ventes perdues:

Ventes différées:Cr=coût de rupture unitaire 

E(Ct) =C S SC−E X Cr

E D Q

E N n

=C S SC−E X Cr

E D Q

∫SC

∞

x−SC f x dx

=CS SC−E X C r

E D Q

1σ 2π

∫SC

∞ x−SC x

exp {− Ln x−μ 2

2σ2 } dx

● Nn dépende de Sc

E(Ct)

E(Ct)

ou F est la fonction de répartition de la log­normale 

(de X) 

∂

∂SC

=C SCr

E D Q

∂

∂ SC[∫S

C

∞

x−SC f x dx ]

=C S−Cr

E D Q

P XSC

P XSC =1−F SC =Q ¿ C S

E D C r

∂

∂ SC

Ventes perdues:

● Le stock de sécurité s’écrit, cette fois:

● Le coût total de stockage s’écrit alors:

E(Ct)

E S S =∫0

SC SC−x f x dx

E S S =1

σ 2π∫0

SC SC−x x

exp {− Ln x−μ 2

2σ2 } dx

=C S [ SC−E X ∫SC

∞

x−SC f x dx ]Cr

E D Q

∫SC

∞

x−SC f x dx

E(Ct)

E(Ct)=0

=C S [ SC−E X ] [C SC r

E D Q ]∫SC

∞

x−SC f x dx

∂

∂ SC

P XSC =C S

[C SC r

E D Q ]

=C S

Q

[C SQC r E D ]

Conclusion :● Cas numériques d’application, surtout dans le cas 

d’un  très  grand  nombre  de  données,  que  ces 

derniers soient réels ou générées par simulation. 

● Inférence  statistique,  en  particulier  l’estimation 

des paramètres de la loi log­normale pour prévoir 

la demande futur, ainsi que les délai de livraison 

dans les périodes à venir.

Conclusion:

● Considérer  la demande suivant une  loi de probabilité 

log­normale  à  trois  paramètres,  avec  SC  comme  le 

paramètre seuil.

● Modéliser la demande par des processus stochastiques 

au lieu de le faire par des simples lois de probabilités.

Réferences:[1]  Aggarwal,  V. :  « Modelling  of  distributions  by  value 

for multi­item inventory», IEEE Trans., 16, 90­98, 1984.

[2]  Aitchison,  J.  &  Brown,  J.  A.  C.:  «  The  Lognormal Distribution  »,  Cambridge  University  Press,  London, 1957.

[3]  Al­Harkan,  I.  &  Hariga,  M.:  « A  Simulation Optimization  Solution  to  the  Inventory  Continuous Review  Problem  with  lot  size  dependent  Lead  Time  », The  Arabian  Journal  for  Science  and  Engineering,  Vol. 32, N° 2B, 327­338, October 2007.

Références:[4]  Crow,  E.  L.  &  Shimitzu,  K.:  « Lognormal 

Distributions:  Theory  and  Applications  »,  Marcel Dekker, Inc., New York, 1988.

[5] Cohen, A. C.: « Estimating parameters of logarithmic­normal  distributions  by  maximum  likelihood  »,  Journal of  the  American  Statistical  Association,  46,  206­212, 1951.

[6] Das, C.: «Inventory control for Lognormal demand », Computers & Operations Res., 10, 267­276, 1983.

Références:[7]  Roger,  P. :  « Gestion  de  Production »,  Dalloz­Sirey, 

1997.[8]  Strijbosch,  L.  W.  G.  &  Moors,  J.  J.  A.  :  « Modified 

normal  demand  distributions  in  (R,  S)­inventory  control», European  Journal  of  Operational  Research,  172,  201­212, 2006.

[9]  Tadikamalla,  Pandu  R : « The  lognormal  approximation to the lead time demand in inventory control », Omega, vol. 7, issue 6, pages 553­556, 1979.

[10]  Tadikamalla,  Pandu  R :  « A  comparison  of  several approximations  to  the  lead  time  demand  distribution», Omega, vol. 12, issue 6, pages 575­581, 1984.