Monte-Carlo-Simulation und Ising-Modellpeople.physik.hu-berlin.de/~plefka/Ising.pdf · Das Ising Modell Monte Carlo Simulation Phasen¨ubergang Zusammenfassung etc. Kritische Exponenten

Das Ising Modell Monte Carlo Simulation Phasenubergang Zusammenfassung etc.

Monte-Carlo-Simulation und Ising-Modell

Simon Dinter

Betreuer: Prof. Dr. Muller-Preußker

Seminar zur theoretischen Physik, SS 20075. Juli 2007

S. Dinter MCS & Ising-Modell


Gliederung

1 Das Ising Modell

2 Monte Carlo SimulationMotivationPrinzip der MCSAlgorithmenStatistischer Fehler

3 PhasenubergangKritische Exponenten und OrdnungsparameterFinite Size Scaling

4 Zusammenfassung etc.ZusammenfassungAusblickLiteratur



Was ist das Ising Modell?

Einschrankung des Heisenberg-Modells auf eineRaumrichtung.

Halbwegs realistisches Modell eines Viel-Teilchen-Systems, dasPhasenubergang zeigt und (eingeschrankt) mathematischstreng behandelbar ist

Anschauliches Demonstrationsmodell furPfadintegral-Simulation in QM

Einfaches Modell fur magnetische Vielteilchen-Systeme mitauf eine Raumrichtung fixierten permanenten magnetischenMomenten ⇒ Verstandnis von Ferromagnetismus

Modell einer Flussigkeit (Hard Core WW-Potential zwischenMolekulen), ”Gittergasmodell”

Beschreibung binarer Legierungen (z.B Zn - Cu)

Erschließung des Verhaltens von Ionenkanalen in Membranen,Koharenzerscheinungen auf Kapitalmarkten, . . .



Hamiltonian (1)

Definition

Seinen N auf Gitterplatzen lokalisierte permanente magnetischeMomente (Spins) si (i = 1, . . . ,N) mit je 2Einstellungsmoglichkeiten si = ±1 und externes Magnetfeld hDann lautet der Hamiltonian:

H = −N∑

i ,j=1

ji ,jsi sj − hN∑

i=1

si



Hamiltonian (2)

Kommentare

Erster Summand: WW der Spins untereinander, zweiterSummand: WW Spin mit Magnetfeld

Ferromagnetismus : j ≥ 0, Anitferromagnetismus: j ≤ 0

Meist Einschrankung auf Nachste-Nachbar-Wechselwirkung:jij ≡ j , falls i , j Indizes nachste Nachbarn, 0 sonst

Randbedingungen erforderlich

Dimensionalitat des Systems bestimmt Anzahl nachsterNachbarn



Mathematische Behandlung (1)

Zustandssumme

Alle relevanten thermodynamischen Großen lassen sich aus derZustandssumme Z ableiten.

Z (T ) := Sp

(exp

(− H

kBT

))

Hier:

Z (T ,N, h) =∑{si,j}

exp

(−

H ({si ,j} ; h)

kBT

)

2 mogliche Einstellungen fur jeden Spin → 2N Summanden inZ




Beispiele fur thermodynamische Großen

Mit β ≡ 1/kBT gilt:

Innere Energie

U = 〈H〉 = − ∂

∂βlnZ

Freie EnergieF = −kBT lnZ

Magnetisierung

M = N∂

∂βhlnZ




Das Ising-Modell ist exakt losbar fur

Nachste-Nachbar-Wechselwirkung in d = 1 fur beliebiges h

Nachste-Nachbar-Wechselwirkung in d = 2 fur h = 0

Bisher nicht analytisch gelost fur d = 3



Motivation fur Monte Carlo Simulation

Grundsatzliche Vorteile der Simulation

Physikalische bzw. statistische Probleme haufig zu kompliziertfur analytische Losung

Schneller und einfacher als streng analytische Losung

Unabhangige Uberprufung analytischer Resultate moglich

Einschrankungen

Benotigen schnelle Rechner, denn relativer statistischer Fehlerproportional zur ”Rechenzeit”

∼ 1√N∼ 1√

τcomp

Guter Zufallszahlengenerator erforderlich

Große des simulierten Systems durch Speicher beschrankt



Motivation fur Monte Carlo Simulation

Grundsatzliche Vorteile der Simulation

Physikalische bzw. statistische Probleme haufig zu kompliziertfur analytische Losung

Schneller und einfacher als streng analytische Losung

Unabhangige Uberprufung analytischer Resultate moglich

Einschrankungen

Benotigen schnelle Rechner, denn relativer statistischer Fehlerproportional zur ”Rechenzeit”

∼ 1√N∼ 1√

τcomp

Guter Zufallszahlengenerator erforderlich

Große des simulierten Systems durch Speicher beschrankt



Prinzip am Beispiel des Ising-Modells

Erzeuge statistisches Ensemble { {s}i } (i = 1, . . . ,M),M � 2N hinreichend groß

Dabei grundsatzlich verschiedene Methoden der Erzeugung(Sampling):

Sampling Methoden

Simple Sampling

Biased Sampling

Importance Sampling

Werden im Folgenden nur Importance Sampling behandeln.



Importance Sampling (1)

Erzeugung der Konfigurationen unter Berucksichtigung desstatistischen Gewichts

P ({s}i ) =1

Zexp

(−

H ({s}i )kBT

)fur jede Konfiguration

Der Mittelwert eines Operators O

〈O〉 =1

Z

∑{s}i

O ({s}i ) exp

(−

H ({s}i )kBT

)Lasst sich dann wie folgt abschatzen

〈O〉 ' 1

M

M∑i=1

O ({s}i )




Wie erzeugt man Konfigurationen mit diesem Gewicht?Man kann zeigen, dass als Hinreichende Bedingung die”Detailed Balance” Bedingung

Detailed Balance

P ({s}i ) W ({s}i → {s}i ′) = P ({s}i ′) W ({s}i ′ → {s}i )

erfullt sein muss.

W ist nicht eindeutig! Spezielle Wahl kann Algorithmusoptimieren/vereinfachen.Trivialerweise erfullt, falls

W ({s}i → {s}i ′) ≡ W ({s}i ′) = P ({s}i ′)





Detailed Balance


erfullt sein muss.


W ({s}i → {s}i ′) ≡ W ({s}i ′) = P ({s}i ′)





Detailed Balance


erfullt sein muss.


W ({s}i → {s}i ′) ≡ W ({s}i ′) = P ({s}i ′)



Vorbereitungen

Gegeben sei d-dimensionales Gitter mit N Gitterplatzen, aufdenen Spins mit 2 Einstellmoglichkeiten lokalsisiert sind, z.B.dreidimensionales Gitter mit L Gitterplatzen in jederRaumrichtung

Definiere Randbedingungen (z.B. periodisch in alleRaumrichtungen fortgesetztes Gitter)

Stelle beliebige Anfangskonfiguration her

Beispiele fur Anfangskonfigurationen

”Kaltstart”: Alle Spins gleichgerichtet

”heißer Start”: Alle Spins beliebig gerichtet

Beliebige andere Konfiguration denkbar, z.B. ”Schachbrett”(nachste Nachbarn entgegengerichtet)



Vorbereitungen

Gegeben sei d-dimensionales Gitter mit N Gitterplatzen, aufdenen Spins mit 2 Einstellmoglichkeiten lokalsisiert sind, z.B.dreidimensionales Gitter mit L Gitterplatzen in jederRaumrichtung

Definiere Randbedingungen (z.B. periodisch in alleRaumrichtungen fortgesetztes Gitter)

Stelle beliebige Anfangskonfiguration her

Beispiele fur Anfangskonfigurationen

”Kaltstart”: Alle Spins gleichgerichtet

”heißer Start”: Alle Spins beliebig gerichtet

Beliebige andere Konfiguration denkbar, z.B. ”Schachbrett”(nachste Nachbarn entgegengerichtet)



Lokaler Algorithus (1)

Erzeuge nun sukzessive neue Zustande, indem immer ein Spingemaß Boltzmann-Statistik geandert wird wobei alle anderenfixiert bleiben. Spin ist ”im Warmebad seiner Nachbarn” ⇒Heat Bath Algorithmus.

Dann betrachten wir fur festes k:

H = −sk

(j∑

i∈N.N.

si + h

)︸︷︷︸

A

−hN∑

l=1, l 6=k

sl − j∑

m,lN.N.

smsl

Somit ist die Wahrscheinlichkeit, bei fixierten Spins Si 6=k denSpin sk zu erhalten, mit a = A/kBT :

W (sk) = const · e+ask



Lokaler Algorithus (2)

Wir erhalten:

W (sk = +1) =e+a

e+a + e−a

W (sk = −1) =e−a

e+a + e−a

W erfullt per Konstruktion Detailed Balance Bedingung!



Heat Bath Algorithmus

Umsetzung des Heat Bath Algorithmus:

1 Wahle einen (beliebigen) Gitterplatz k aus

2 Berechne a und damit W (sk = ±1)

3 Wahle Zufallszahl η aus [0; 1] und setze

sk = +1 falls η < W (sk = +1)

sk = −1 falls η ≥ W (sk = +1)

4 Schritte 1 bis 3 so oft wiederholen, bis statistischeUnabhangigkeit (asymptotisch) gewahrleistet ist, d.h. dassaktuelle Spinkonfiguration und Startkonfiguration unkorreliertsind. (Mindestens einmal das gesamte Gitter durchlaufen)

5 Konfiguration dann als neue Konfiguration ins Ensembleaufnehmen oder Mittelwert gewunschter Observablenspeichern.



Statistischer Fehler

Wir betrachten den Erwartungswert des Quadrates desstatistischen Fehlers bei M Messungen einer Große A. Nach einigenUmformungen und Annahmen erhalten wir als Endergebnis mitBeobachtungszeit τobs :

Statistische Fehlerabschatzung⟨(δA)2

⟩≈ 2

τA

τobs

(⟨A2⟩− 〈A〉2

)Diese Abschatzung gilt nur fur Korrelationszeiten τA � τobs/M,fur den umgekehrten Fall erhalten wir das gleiche Ergebnis wie imunkorellierten Fall (Simple Sampling)



Cluster Algorithmen (1)

Problem beim lokalen Algorithmus: Schlechte Performance inder Nahe des Kritischen Punktes, da (im thermodyn. Limes)Korrelationslange und -zeit divergieren

Vorteil Cluster-Algorithmen: Cluster konnen sehr groß werden,bis Ordnung Korrelationslange.

Problem: Volumenabhangigkeit

Cluster Algorithmen u.a. von Swendsen & Wang und U. Wolff




Prinzip des Swendsen Wang Cluster-Algorithmus

Wenn benachbarte Spins gleichgerichtet, diese mit gewisserWahrscheinlichkeit w zu Clustern zusammenfassen, fur jedenCluster zufalligen Spinwert auswahlen und diesen jedem Spinim Cluster zuweisen.

w ≤ exp−δH/kBT

Prinzip des Cluster-Algorithmus von Wolff

Beim Swendsen Wang Algorithmus werden viele Clustererzeugt.

Idee: Einen Spin zufallig auswahlen (”Dartwurf”) und umdiesen einen einzigen Cluster konstruieren.

Verschiedene Vor- und Nachteile, siehe Literatur




Prinzip des Swendsen Wang Cluster-Algorithmus

Wenn benachbarte Spins gleichgerichtet, diese mit gewisserWahrscheinlichkeit w zu Clustern zusammenfassen, fur jedenCluster zufalligen Spinwert auswahlen und diesen jedem Spinim Cluster zuweisen.

w ≤ exp−δH/kBT

Prinzip des Cluster-Algorithmus von Wolff

Beim Swendsen Wang Algorithmus werden viele Clustererzeugt.

Idee: Einen Spin zufallig auswahlen (”Dartwurf”) und umdiesen einen einzigen Cluster konstruieren.

Verschiedene Vor- und Nachteile, siehe Literatur



Kritische Exponenten (1)

Beschreibt das Verhalten einer Funktion f (ε) nahe deskritischen Punktes Tc . weiter

Definition

Funktion f (ε) sei positiv und stetig fur geeignet kleine Werte von

ε ≡ T − Tc

Tc.

Dann ist

λ ≡ limε→0

ln f (ε)

lnε

der kritische Exponent von f , falls der Grenzwert existiert.

Notation f (ε) ∝ ελImpliziert nicht: f (ε) = Aελ




Beschreibt das Verhalten einer Funktion f (ε) nahe deskritischen Punktes Tc . weiter

Definition

Funktion f (ε) sei positiv und stetig fur geeignet kleine Werte von

ε ≡ T − Tc

Tc.

Dann ist

λ ≡ limε→0

ln f (ε)

lnε

der kritische Exponent von f , falls der Grenzwert existiert.

Notation f (ε) ∝ ελImpliziert nicht: f (ε) = Aελ




Universalitatshypothese

Kritische Exponenten sind fast universell, sprich fur allethermodynamischen Systeme gleich, hangen nur ab von

Dimension d des Systems

Reichweite der Teilchen-Wechselwirkung

Spindimensionalitat (wichtig bei magnetischen Systemen)

Durch Simulation und exakte Rechnung: β = 0, 125 fur d = 2

Durch Simulation in d = 3 ergeben sich typische Werteβ ≈ 0, 325± 0, 04




Universalitatshypothese

Kritische Exponenten sind fast universell, sprich fur allethermodynamischen Systeme gleich, hangen nur ab von

Dimension d des Systems

Reichweite der Teilchen-Wechselwirkung

Spindimensionalitat (wichtig bei magnetischen Systemen)

Durch Simulation und exakte Rechnung: β = 0, 125 fur d = 2

Durch Simulation in d = 3 ergeben sich typische Werteβ ≈ 0, 325± 0, 04



Ordnungsparameter (1)

Wie wird Phasenubergang charakterisiert?

Phasenubergange mit spontaner Symmetriebrechung:Ordnungsparameter

Ordnungsparameter sind im einem Zustand des Systems Nullund nehmen im anderen einen Wert 6= 0 an

Beispiele:

Phasenubergang Ordnungsparametermagnetischer PU spontane Magnetisierungflussig/gasformig DichtedifferenzSupraleitung Amplitude der koharenten Wellenfunktion

Bemerkung: Ordnungsparameter kann auch richtungsabhangigsein (→ Supraleiter)




weiter

Ordnungsparameter fur das Ising-Modell: Spontane Magnetisierungpro Gitterplatz

m ∼ 〈s〉m0 (T ) := lim

h→0+lim

N→∞m (T , h)

Wichtige Bemerkung

In einem endlichen System findet aber kein Phasenubergang statt,da Korrelationslange und Korrelationszeit endlich sind. Dasbedeutet insbesondere fur die spontane Magnetisierung, dass dieWahrscheinlichkeit, von einem Zustand m > 0 in einen anderen mitm < 0 zu kommen, nicht Null ist.⇒ Mussen vom endlichen System auf ein unendlich ausgedehntesSystem skalieren: Finite Size Scaling




weiter

Ordnungsparameter fur das Ising-Modell: Spontane Magnetisierungpro Gitterplatz

m ∼ 〈s〉m0 (T ) := lim

h→0+lim

N→∞m (T , h)

Wichtige Bemerkung

In einem endlichen System findet aber kein Phasenubergang statt,da Korrelationslange und Korrelationszeit endlich sind. Dasbedeutet insbesondere fur die spontane Magnetisierung, dass dieWahrscheinlichkeit, von einem Zustand m > 0 in einen anderen mitm < 0 zu kommen, nicht Null ist.⇒ Mussen vom endlichen System auf ein unendlich ausgedehntesSystem skalieren: Finite Size Scaling




Magnetisierung pro Gitterplatz in Abhangigkeit eines außerenMagnetfeldes bei verschiedenen Temperaturen




Entwicklung der Magnetisierung fur bei MC-Simulation fur kleinesSystem, wir sehen, dass Magnetisierung ”umklappt”



Finite Size Scaling (1)

Phanomenologische Aussagen der Finite Size Scaling Theorie

Skaleneffekte werden gesteuert durch den Quotienten L/ξ, ξist Korrelationslange

Dabei gilt fur T ≈ TC :

L

ξ' Lεν

Definition ε

Ergebnis fur die Magnetisierung (→ Brankov, Kap. 4.3):

mL (T , h) ' bL−β/νY(aεL1/ν , bhLδ/ν

)Y ist universelle Skalierungsfunktion, hangt aber vonRandbedingungen und Systemgeometrie ab.




Phanomenologische Aussagen der Finite Size Scaling Theorie

Skaleneffekte werden gesteuert durch den Quotienten L/ξ, ξist Korrelationslange

Dabei gilt fur T ≈ TC :

L

ξ' Lεν

Definition ε

Ergebnis fur die Magnetisierung (→ Brankov, Kap. 4.3):

mL (T , h) ' bL−β/νY(aεL1/ν , bhLδ/ν

)Y ist universelle Skalierungsfunktion, hangt aber vonRandbedingungen und Systemgeometrie ab.




Spontane Magnetisierung

Spontane Magnetisierung m0 (T ) als Ordnungsparameter:Doppelte Grenzwertbildung unhandlich und unublich, denn furT < TC ist in hinreichend großen Systemen Magnetisierung+m oder −m ausreichend metastabil, so dass vernunftigeAbschatzungen gemacht werden konnen.

Aber: Fur T > TC findet man womoglich Magnetisierungδm 6= 0, da sich Fluktuationen wegen endlicherBeobachtungszeit und endlicher Systemgroße nicht vollstandigherausmitteln.

Benotigen hinreichend lange Beobachtungszeiten




Jedoch: Bei T ↗ TC nimmt m ab und δm zu, bisFluktuationen in O (m)

Losung: Root Mean Square des Ordnungsparameters bilden:

mrms =√〈m2〉 =

⟨(N∑

i=1

Si/N

)2⟩1/2

=1

N

N∑i ,j=1

〈SiSj〉

1/2

Abschatzung ergibt fur T = TC mit N = Ld

mrms (T = TC ) ∝ L−β/ν




Im endlichen System ist der Ordnungsparameterwahrscheinlichkeitsverteilte Große

Die Dichte der Wahrscheinlichkeitsverteilung ist symmetrisch.

Fur T > TC und L � ξ ist dieWahrscheinlichkeitsverteilungsdichte fur einenOrdnungsparameter von Gauß’scher Form.

Fur T ≈ TC wird diese breiter und verliert ihre GaußscheForm, sie bildet ein abgeflachtes Plateau.

Fur T < TC und wiederum L � ξ besitzt sie in der Nahe derWerte +m0 und −m0 jeweils Gauß’sche Form weicht jedochfur m → 0 davon ab.




Wahrscheinlichkeitsverteilung fur spontane Magnetisierung imendlichen System bei Temperatur T < TC




Fur große L sollte auch 〈|s|〉L eine gute Naherung derspontanen Magnetisierung sein, da bei akzeptablenBeobachtungszeiten kein Wechsel von positiver zu negativerMagnetisierung stattfindet, wir ”sehen” also nur die Halfte derWahrscheinlichkeitsverteilung. ⇒ 〈s〉L ' 〈|s|〉L.Auf der nachsten Folie werden verschiedene Abschatzungenfur spontane Magnetisierung verglichen. Wir stellen fest, dasssich diese fur große L dem gleichen Wert annahern.







Bisher nur L � ξ fur Abschatzungen betrachtet

In der Praxis ist Korrelationslange ξ meist unbekannt

Gauß’scher Charakter der Verteilungsfunktion kann durchBerechnung der sogenannten 4.-Ordnung- oderBinderkumulante:

UL = 1−⟨s4⟩L

3 〈s2〉2Lgetestet werden.






Zusammenfassung

Ising Modell außerst vielseitig

Monte-Carlo-Simulationen machtiges Werkzeug zur Losungkomplizierter statistischer Probleme

Phasenubergang: Konzepte und Schwierigkeiten



Ausblick

Monte-Carlo-Simulationen werden benotigt

zur Kalkulation hochdimensionaler Integrale, z.B.Pfadintegrale in QM und OFT

fur numerische Behandlung statistischer Modelle, z.B.Supraleitung bei hohen Temperaturen zu verstehen

speziell um Quantenfeldtheorien zu simulieren, insbesondereQuantenchromodynamik:Berechnung des Massenspektrums von Hadronen



Dank

Vielen Dank fur Ihre Aufmerksamkeit



Links

Java-Applet mit lokalem Algorithmushttp://bartok.ucsc.edu/peter/java/ising/keep/ising.html

Zusatzlich Cluster-Algorithmenhttp://www-fcs.acs.i.kyoto-u.ac.jp/˜harada/monte-en.html



Literatur

Binder, Heermann: Monte Carlo Simulation in StatisticalPhysics

W. Nolting: Grundkurs Theoretische Physik, Bd.4, Kap.4

H. Eugene Stanley: Introduction to Phase Transitions andCritical Phenomena

Rodney J. Baxter: Exactly Solved Models in StatisticalMechanics

Brankov, Danchev, Tonchev: Theory of Critical Phenomena inFinite Size Systems

U. Wolff: Comparison between Cluster Monte CarloAlgorithms in the Ising Model

U. Wolff: Cluster Algorithms for Non-Linear Sigma Models(→ HEP-Spires)

Deckblatt


Documents

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