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MOQ-14
PROJETO e ANÁLISE de
EXPERIMENTOS
Professor: Rodrigo A. Scarpel
www.mec.ita.br/~rodrigo
Programa do curso:
Semana Conteúdo
1 Apresentação da disciplina. Princípios de modelos lineares de regressão. Correlação amostral.
2 Regressão linear simples: hipóteses do modelo, estimação de parâmetros, propriedades e inferência dos estimadores.
3 Análise de variância (ANOVA) em regressão. Intervalos de confiança e de previsão. Análise dos resíduos.
4 Diagnósticos e reparação de problemas em regressão. Transformações.
5 Regressão linear forma matricial: estimação dos parâmetros, inferência dos estimadores, intervalos de confiança.
6 Prova
7Princípios de regressão linear múltipla. Diagnósticos e reparação dos problemas em regressão linear múltipla.
Multicolinearidade e seus efeitos.
8 Seleção de variáveis. Modelos polinomiais. Modelos com variáveis qualitativas.
9Introdução ao projeto de experimentos: estratégia de experimentação, princípios básicos e aplicações típicas.
Experimentos inteiramente casualizados. Análise de variância.
10 Experimentos fatoriais com dois ou mais fatores.
11 Experimentos fatoriais 2k. Pontos centrais.
12 Experimentos em blocos casualizados. Blocagem em experimentos 2k.
13 Prova
14 Experimentos fatoriais fracionados.
15 Experimentos com fatores quantitativos. Métodos de superfície de resposta.
16 Otimização de produtos e processos. Projetos robustos.
Professor: Rodrigo A. Scarpel
www.mec.ita.br/~rodrigo
EXPERIMENTOS
FATORIAIS FRACIONADOS
Introdução:
À medida que o número de fatores em um experimento fatorial 2k aumenta, o
número requerido de corridas aumenta rapidamente.
Exemplo: experimento 25 requer 32 corridas → 5 g.l. correspondem aos
efeitos principais, 10 g.l. às interações de 2a ordem e 31 g.l. correspondem às
interações de ordens superiores (≥ 3).
Freqüentemente, há pouco interesse nas interações de ordens altas
(principalmente se o interesse é estudar um processo ou um sistema).
Se pudermos considerar que certas interações de ordens altas são
negligenciáveis, um planejamento fatorial fracionário poderá ser usado.
Os experimentos fracionários são amplamente utilizados nos projetos pilotos,
ou de seleção (screening experiments) com a finalidade de identificar os fatores
que têm grandes efeitos e descartar os que têm pouco ou nenhum efeito para,
posteriormente, fazer investigações mais aprofundadas.
Meia-fração de um experimento 2k:
Uma meia-fração de um experimento 2k contém 2k-1 corridas.
Exemplo: experimento 23-1
→ Combinações de tratamento escolhidas para coleta: a, b, c e abc
→ Vantagem: requer apenas 4 corridas (em contraste ao experimento completo
que requer 8 corridas)
Note que o experimento 23-1 é formado selecionando-se as combinações de
tratamento com sinal positivo para o efeito ABC (chamado de gerador dessa
fração) e que o sinal de I = ABC (chamado de relação de definição).
Combinações
de tratamento I A B C AB AC BC ABC
a + + - - - - + +
b + - + - - + - +
c + - - + + - - +
abc + + + + + + + +
[1] + - - - + + + -
ab + + + - + - - -
ac + + - + - + - -
bc + - + + - - + -
Meia-fração de um experimento 2k:
As combinações do experimento 23-1 resultam em 3 g.l. associados aos
efeitos principais e outros 3 associados às interações. Suas estimativas são
(metade superior da tabela):
Observa-se que: (pares associados ou aliases)
Combinações
de tratamento I A B C AB AC BC ABC
a + + - - - - + +
b + - + - - + - +
c + - - + + - - +
abc + + + + + + + +
[1] + - - - + + + -
ab + + + - + - - -
ac + + - + - + - -
bc + - + + - - + -
)(
)(
)(
21
21
21
abccbaC
abccbaB
abccbaA
n
n
n
)(
)(
)(
21
21
21
abccbaAB
abccbaAC
abccbaBC
n
n
n
ABACBCA C ,B ,
ABCl
ACBl
BCAl
C
B
A
Meia-fração de um experimento 2k:
A estrutura dos pares associados (aliases) pode ser encontrada usando a relação de
definição I=ABC. Assim,
A = A.I = A.ABC = A2BC = BC
B = B.I = B.ABC = AB2C = AC
C = C.I = C.ABC = ABC2 = AB
A fração alternativa do experimento 23-1: [1], ab, ac, bc (sinal – de ABC)
Neste caso: I = – ABC, A = – BC, B = – AC e C = – AB
Procedimento seqüêncial: fração principal + fração alternativa = fatorial completo
(útil pois é possível rodar experimentos pequenos e eficientes e combinar as informações)
Combinações
de tratamento I A B C AB AC BC ABC
a + + - - - - + +
b + - + - - + - +
c + - - + + - - +
abc + + + + + + + +
[1] + - - - + + + -
ab + + + - + - - -
ac + + - + - + - -
bc + - + + - - + -
Generalização de um experimento 2k-1:
Procedimento para generalização: criar as combinações de tratamento para
um experimento fatorial completo com k-1 fatores (experimento básico) e
então adicionar o k-ésimo fator, identificando seus níveis altos e baixos com
os sinais mais e menos da interação de mais alta ordem.
Exemplos:
Combinações de tratamento: c, a, b, abc
Combinações de tratamento: (1), ad, bd, ab,
cd, ac, bc, abcd
Generalização de um experimento 2k-1:
Delineamentos de resolução em experimentos 2k-1:
• III: os efeitos principais tem como aliás as interações simples
→ I= ABC
• IV: nenhum efeito principal tem como aliás outro efeito principal ou
interação simples. As interações simples têm como aliás outra
interação simples. → I= ABCD
Efeitos
Principais Aliás
Interações
Simples Aliás
A BCD AB CD
B ACD AC BD
C ABD AC BC
D ABC
Causas de Variação GL
Efeitos Principais 4
Erro experimental (de interações simples) 3
Meia-fração de um experimento 2k:
Exemplo: Experimento 24-1, I= ABCD
Resposta: Taxa de filtração
Fatores: A= temperatura, B= pressão, C= concentração de formaldeído e D= Taxa de agitação
Estimativas Aliás
LA=19,00 LAA+BCD
LB=1,50 LB B+ACD
LC=14,00 LC C+ABD
LD=16,50 LD D+ABC
LAB=-1,00 LABAB+CD
LAC=-18,50 LACAC+BD
LAD=19,00 LADAD+BC
Observa-se que os seguintes efeitos
significativos: A, C, D, AC e AD.
Como o fator B, não é significativo,
deve-se desconsiderá-lo da análise.
Experimentos A B C D=ABC Tratamentos Taxa
(1) - - - - (1) 45
a + - - + ad 100
b - + - + bd 45
ab + + - - ab 65
c - - + + cd 75
ac + - + - ac 60
ab + - - ab 65
c - + + cd 75
Experimentos B C D=ABC Tratamentos Taxa
(1) - - - (1) 45
a - - + ad 100
b + - + bd 45
ab + - - ab 65
c - + + cd 75
ac - + - ac 60
bc + + - bc 80
abc + + + abcd 96
Experimentos A B C D=ABC Tratamentos Taxa
(1) - - - - (1) 45
a + - - + ad 100
b - + - + bd 45
ab + + - - ab 65
c - - + + cd 75
ac + - + - ac 60
ab + - - ab 65
c - + + cd 75
Experimentos B C D=ABC Tratamentos Taxa
(1) - - - (1) 45
a - - + ad 100
b + - + bd 45
ab + - - ab 65
c - + + cd 75
ac - + - ac 60
bc + + - bc 80
abc + + + abcd 96
Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P
Interseção 70,75 0,637 111,002 0,000
A 9,5 0,637 14,905 0,004
C 7 0,637 10,983 0,008
D 8,25 0,637 12,944 0,006
AC -9,25 0,637 -14,513 0,005
AD 9,5 0,637 14,905 0,004
Procedimento seqüêncial: fazer um experimento fatorial completo com os
fatores A, C e D (23).
Meia-fração de um experimento 2k:
Exemplo: Continuação ... Experimento 23
Resposta: Taxa de filtração
Fatores: A= temperatura, C= concentração de formaldeído e D= Taxa de agitação
Experimentos A C D Taxa
(1) - - - 45
a + - - 71
c - + - 68
ac + + - 60
d - - + 43
ad + - + 100
cd - + + 75
acd + + + 86
Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P
Interseção 68,5 1,186 57,764 0,0003
A 10,75 1,186 9,065 0,0120
C 3,75 1,186 3,162 0,0871
D 7,5 1,186 6,325 0,0241
AC -10 1,186 -8,433 0,0138
AD 6,25 1,186 5,270 0,0342
Generalização de um experimento 2k-1:
Delineamentos de resolução em experimentos 2k-1:
• V: os efeitos principais e interação simples não tem como aliás qualquer
efeito principal ou interação simples. As interações simples têm como
aliás as interações tríplices. → I= ABCDE
Efeitos
PrincipaisAliás
Interações
SimplesAliás
A BCDE AB CDE
B ACDE AC BDE
C ABDE AD BCE
D ABCE AE BCD
E ABCD BC ADE
BD ACE
BE ACD
CD ABE
CE ABD
DE ABC
Generalização de um experimento 2k-1:
Delineamentos de resolução em experimentos 2k-1:
• VI: os efeitos principais têm como aliases as interações quíntuplas, as
interações simples têm como aliases somente as interações quádruplas
e as interações tríplices têm como aliases somente as interações
tríplices → I = ABCDEF
Efeitos
PrincipaisAliás
Interações
SimplesAliás
Interações
TríplicesAliás
A BCDEF AB CDEF ABC DEF
B ACDEF AC BDEF ABD CEF
C ABDEF AD BCEF ABE CDF
D ABCEF AE BCDF ABF CDE
E ABCDF AF BCDE ACD BEF
F ABCDE BC ADEF ACE BDF
BD ACEF ACF BDE
BE ACDF ADE BCF
BF ACDE ADF BCE
CD ABEF BCD AEF
CE ABDF
CF ABDE
DE ABCF
DF ABCE
EF ABCD
Generalização de um experimento 2k-1:
Análise de experimentos fatoriais fracionados 2k-1:
Análise de variância (ANOVA) → significância dos efeitos
Análise de regressão → estimação e significância dos efeitos
Empregar os gráficos de probabilidade Normal (Q-Q Normal) para
determinar a importância relativa dos efeitos. Procedimento:
1. Calcule os efeitos: efeito = contraste / 2k-1-1
2. Construa um gráfico de probabilidade Normal com todos os
efeitos
3. Os efeitos que caírem fora de uma linha reta devem ser
considerados relevantes
4. Faça a análise de variância para verificar a significância dos
efeitos avaliados como relevantes.
Fração ¼ de um experimento 2k:
No caso da fração ¼, em vez de uma, duas interações são selecionadas para
serem sacrificadas. A terceira interação sacrificada resulta da interação
generalizada das duas selecionadas. Exemplo: Experimento 26-2
• ALIASES:
I = ABCE = ADEF = BCDF
A = DEF = BCE = ABCDF
B = ACE = CDF = ABDEF
C = ABE = BDF = ACDEF
D = AEF = BCF = ABCDE
E = ABC = ADF = BCDEF
F = BCD = ADE = ABCEF
AB = CE = ACDF = BDEF
AC = BE = ABDF = CDEF
AD = EF = BCDE = ABCF
AE = BC = DF = ABCDEF
AF = DE = ABCD = BCEF
BD = CF = ABEF = ACDE
BF = CD = ACEF = ABDE
ABD = CDE = ACF = BEF
ACD = BDE = ABF = CEF
• Combinações de tratamento: (1), ae, bef, abf, cef, acf,
bc, abce, df, adef, bde, abd, cde, acd, bcdf e abcdef
• Sendo, I = ABCE e I = BCDF, a terceira interação
sacrificada é (ABCE)(BCDF) = ADEF
Generalização: Experimentos 2k-p
Quando usamos a fração 1/(2p), temos um experimento com 2k-p
tratamentos e o experimento é denominado de fatorial fracionário 2k-p:
Necessita-se de p geradores independentes
A relação definição é formada pelos p geradores inicialmente
selecionados e as 2p-p-1 interações.
A estrutura de aliases pode ser encontrada multiplicando-se cada efeito
pelo contraste de definição.
Deve-se ter cuidado na escolha dos p geradores para um fatorial
fracionário 2k-p, de tal forma que efeitos de interesse não estejam
associados com outros também de interesse.
Um critério razoável é selecionar os geradores de tal forma que o
delineamento tenha a maior resolução possível.
Generalização: Experimentos 2k-p
Para casa:
• Laboratório 10 (site: www.mec.ita.br/~rodrigo/)
• Leitura: Walpole et al. – cap. 15 (15.8 a 15.12): Experim. fatoriais 2k e frações
Montgomery e Runger – cap.14 (14.9): Desing of experiments ...