1

ĐAI HOC QUÔC GIA HA NÔI

TRƢƠNG ĐAI HOC KHOA HOC TỰ NHIÊN

-----------------------

NGUYỄN THỊ HÀ

MỘT SỐ MÔ HÌNH XẾP HÀNG VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Lý thuyết xác xuất và thống kê toán học

Mã số: 604601106

LUÂN VĂN THAC SI KHOA HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN: Ts. Trần Mạnh Cƣờng

Hà Nôi - 2016

2

Mục Lục MỞ ĐẦU ....................................................................................................... Error! Bookmark not defined.

CHƢƠNG 1 ................................................................................................... Error! Bookmark not defined.

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................................................. Error! Bookmark not defined.

1.1 Phân bố Poisson và phân bố mũ ..................................................... Error! Bookmark not defined.

1.1.1 Phân bố Poisson ............................................................................ Error! Bookmark not defined.

1.1.2 Phân bố mũ: .................................................................................. Error! Bookmark not defined.

1.2. Xích Markov ....................................................................................... Error! Bookmark not defined.

1.2.1. Phân loại trạng thái xích Markov ................................................. Error! Bookmark not defined.

1.3. Quá trình Markov ................................................................................ Error! Bookmark not defined.

1.3.1. Trƣờng hợp không gian trạng thái hữu hạn.................................. Error! Bookmark not defined.

1.3.2. Trƣờng hợp không gian trạng thái vô hạn đếm đƣợc ................... Error! Bookmark not defined.

CHƢƠNG 2: .................................................................................................. Error! Bookmark not defined.

MỘT SỐ MÔ HÌNH XẾP HÀNG ................................................................. Error! Bookmark not defined.

2.1 Khái niệm và phân loại quá trình xếp hàng ......................................... Error! Bookmark not defined.

2.1.1 Khái niệm quá trình xếp hàng ....................................................... Error! Bookmark not defined.

2.1.2 Các yếu tố cơ bản của hàng đợi .................................................... Error! Bookmark not defined.

a. Bố trí vật lí của hệ thống .................................................................... Error! Bookmark not defined.

b. Nguyên tắc phục vụ............................................................................ Error! Bookmark not defined.

c. Các phân phối xác suất của các dòng tín hiệu, dòng phục vụ ............ Error! Bookmark not defined.

2.1.3 Phân tích hàng đợi ......................................................................... Error! Bookmark not defined.

2.1.4 Phân loại Kendall .......................................................................... Error! Bookmark not defined.

2.1.5 Mục tiêu của phân tích hàng đợi ................................................... Error! Bookmark not defined.

2.2 Một số mô hình xếp hàng cơ bản ......................................................... Error! Bookmark not defined.

2.2.1 Mô hình xếp hàng sinh – chết tổng quát ....................................... Error! Bookmark not defined.

2.2.2 Mô hình hàng đợi M/M/1 .............................................................. Error! Bookmark not defined.

a. Phân bố giới hạn ................................................................................. Error! Bookmark not defined.

b. Thời gian khách hàng chờ đợi ............................................................ Error! Bookmark not defined.

c. Thời gian bận rộn ............................................................................... Error! Bookmark not defined.

d. Quá trình dời đi .................................................................................. Error! Bookmark not defined.

e. Bài toán ví dụ ..................................................................................... Error! Bookmark not defined.

2.2.3. Mô hình hàng đợi M/M/s ............................................................. Error! Bookmark not defined.

a. Thời gian chờ đợi ............................................................................... Error! Bookmark not defined.

3

b. Thời gian bận rộn ............................................................................... Error! Bookmark not defined.

c. Quá trình dời đi .................................................................................. Error! Bookmark not defined.

d. Bài toán ví dụ ..................................................................................... Error! Bookmark not defined.

2.2.4. Mô hình hàng đợi hữu hạn M/M/s/K ........................................... Error! Bookmark not defined.

a. Bài toán ví dụ ..................................................................................... Error! Bookmark not defined.

2.2.5. Mô hình hàng đợi M/G/1 ............................................................. Error! Bookmark not defined.

a. Phân bố giới hạn ................................................................................. Error! Bookmark not defined.

b. Thời gian chờ đợi ............................................................................... Error! Bookmark not defined.

c. Thời gian bận rộn ............................................................................... Error! Bookmark not defined.

d. Bài toán ví dụ ..................................................................................... Error! Bookmark not defined.

2.2.6. Mô hình hàng đợi G/M/1 ............................................................. Error! Bookmark not defined.

a. Phân bố giới hạn ................................................................................. Error! Bookmark not defined.

b. Thời gian chờ đợi ............................................................................... Error! Bookmark not defined.

c. Chu kỳ bận rộn ................................................................................... Error! Bookmark not defined.

d. Bài toán ví dụ ..................................................................................... Error! Bookmark not defined.

CHƢƠNG 3: .................................................................................................. Error! Bookmark not defined.

ỨNG DỤNG .................................................................................................. Error! Bookmark not defined.

3.1 Mô phỏng một số mô hình xếp hàng bằng Matlab............................... Error! Bookmark not defined.

3.1.1 Mô phỏng hàng đợi M/M/1 ........................................................... Error! Bookmark not defined.

3.2 Ứng dụng của mô hình xếp hàng trong bài toán ra quyết định. ........... Error! Bookmark not defined.

a) Xét ba bài toán sau: ............................................................................ Error! Bookmark not defined.

b) Hàm giá: ............................................................................................ Error! Bookmark not defined.

KẾT LUẬN .................................................................................................... Error! Bookmark not defined.

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. Error! Bookmark not defined.

4

MỞ ĐẦU

Lý thuyết xếp hàng đã đƣợc nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi trên thế giới trong

nhiều lĩnh vực ngành nghề khác nhau nhƣ bƣu chính viễn thông, hàng không,

đƣờng sắt, kiểm soát lƣu lƣợng giao thông, đánh giá hiệu năng hệ thống máy tính,

y tế và chăm sóc sức khỏe, không lƣu, bán vé …

Trong nhiều hệ thống phục vụ, các khách hàng (costumer) phải dùng chung tài

nguyên, phải chờ để đƣợc phục vụ và đôi khi bị từ chối phục vụ. Lý thuyết quá

trình xếp hàng (queueing process) xác định và tìm các phƣơng án tối ƣu để hệ

thống phục vụ là tốt nhất.

Trong nửa đầu của thế kỷ 20 lý thuyết xếp hàng đã đƣợc ứng dụng để nghiên

cứu thời đợi trong các hệ thống điện thoại. Ngày nay lý thuyết xếp hàng còn có

nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau nhƣ trong mạng máy tính, trong việc

quản lý xí nghiệp, quản lý giao thông và trong các hệ phục vụ khác … Ngoài ra lý

thuyết xếp hàng cũng còn là cơ sở toán học để nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều

bài toán kinh tế nhƣ đầu tƣ, kiểm kê, rủi ro của bảo hiểm, thị trƣờng chứng khoán

… Chuỗi Markov là quá trình xếp hàng với thời gian rời rạc đã đƣợc xem xét trong

giáo trình xác suất thống kê. Quá trình sinh tử cũng là quá trình xếp hàng, trong đó

sinh biểu thị sự đến và tử biểu thị sự rời hàng của hệ thống.

Đối với lý thuyết xếp hàng ta quan tâm đến các số đo hiệu năng, đó là các giá trị

trung bình khi quá trình đạt trạng thái dừng bao gồm: độ dài hàng đợi trung bình

của hàng, độ dài hàng đợi trung bình của hệ thống, thời gian đợi trung bình của

hàng (trễ của hàng) và thời gian đợi trung bình của hệ thống (trễ của hệ thống). Để

tính các đại lƣợng này ta có thể sử dụng phƣơng pháp giải phƣơng trình tích phân

dạng Wiener – Hopf hoặc phƣơng pháp khảo sát chuỗi Markov nhúng. Từ đó suy

ra các công thức tính các phân bố ổn định cho các loại hàng M/M/k, M/M/k/N;

Công thức tổng quát tính các giá trị trung bình này cho các hàng G/G/1 và công

thức cụ thể cho các hàng đặc biệt M/M/1, M/D/1 và M/𝐸𝑘 /1 …

Luận văn này tìm hiểu về một số mô hình xếp hàng cơ bản và ứng dụng của nó.

Nội dung của luận văn này gồm ba chƣơng.

Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị.

Chƣơng này trình bày về một số phân bố xác suất liên quan nhƣ: Phân bố

Poisson, phân bố mũ. Những định nghĩa, định lý về xích Markov, phân loại trạng

thái xích Markov, quá trình Markov gồm trƣờng hợp không gian trạng thái hữu hạn

và không gian trạng thái vô hạn đếm đƣợc.

5

Chƣơng 2: Một số mô hình xếp hàng.

Trình bày về một số mô hình xếp hàng cơ bản gồm: Mô hình hệ thống xếp hàng

Markov đơn giản gồm mô hình xếp hàng Birth- and – Death tổng quát, trình bày cụ

thể mô hình hàng đợi M/M/1, M/M/s và mô hình hàng đợi hữu hạn M/M/s/K. Mô

hình chuỗi Markov nhúng trình bày tổng quát về chuỗi Markov nhúng cụ thể là mô

hình hàng đợi M/G/1 và G/M/1.

Chƣơng 3: Ứng dụng

Chƣơng này tìm hiểu về một vài ứng dụng đơn giản của mô hình xếp hàng bao

gồm: Mô phỏng một số mô hình bằng Matlab và ứng dụng của mô hình xếp hàng

trong bài toán ra quyết định.

Dù đã có nhiều cố gắng nhƣng do thời gian và khả năng có hạn nên các vấn đề

trong luận văn vẫn chƣa đƣợc trình bày sâu sắc và không thể tránh khỏi những sai

sót. Em rất mong đƣợc sự góp ý xây dựng của thầy cô và các bạn. Em xin chân

thành cảm ơn!

6

CHƢƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chƣơng này em xin trình bày về một sốphân bốxác suất liên quan là

phân bố Poisson, phân bố mũvà một số định nghĩa, định lý về xích Markov gồm

hai trƣờng hợp là không gian trạng thái hữu hạn và không gian trạng thái vô hạn

đếm đƣợc để chuẩn bị kiến thức cho các chƣơng tiếp theo của khóa luận.

1.1 Phân bố Poisson và phân bố mũ

1.1.1 Phân bố Poisson

Định nghĩa.Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị từ 0, 1, 2, … gọi là phân

phối Poisson với tham số λ nếu:

𝑃 𝑋 = 𝑘 =𝑒−𝜆𝜆𝑘

𝑘! 𝑘 = 0, 1, 2, ….

Ký hiệu: X ~ Poisson(λ)

Kỳ vọng:

𝐸 𝑥 = 𝑘𝜆𝑘𝑒−𝜆

𝑘!

∞

𝑘=0

= 𝜆𝑘𝑒−𝜆

𝑘 − 1 !

∞

𝑘=1

Phƣơng sai : D(X) = 𝐸 𝑋 − 𝜇 2 = λ

Do đó, chúng ta có thể viết: X ~ Poisson (µ).

Mô hình Poisson:

Giả sử chúng ta quan tâm đến số lần xảy ra của một sự kiện A trong một khoảng

thời gian hoặc không gian liên tục có chiều dài w; với điều kiện là số lần xảy ra

trong những khoảng không giao nhau là độc lập nhau, và xác suất xuất hiện A

nhiều hơn một lần trong khoảng đó là rất bé. Hơn nữa, “cƣờng độ” xuất hiện A là

không thay đổi, tức là số lần xuất hiện trung bình của A trong một khoảng chỉ phụ

thuộc vào độ dài của khoảng đó.

Với các điều kiện trên, nếu gọi X là BNN chỉ số lần xuất hiện A trong một khoảng

chiều dài w thì ngƣời ta chứng minh đƣợc rằng X tuân theo luật phân phối Poisson

với tham số λ = mw, trong đó m là một hằng số dƣơng chỉ “cƣờng độ” xuất hiện

của A.

7

Thí dụ, số cuộc điện thoại gọi đến trong một phút tại một trạm nào đó; sốlỗi trên

một trang giấy trong một quyển sách dầy; số đơn đặt hàng gửi tới một cơ sở trong

một tháng, …

Biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện nêu trên đã đƣợc nhà toán học Simeon D.

Poisson nghiên cứu và hình thành phân phối Poisson.

Ngoài ra, phân phối Poisson còn đƣợc dùng để tính xấp xỉ phân phối nhịthức

B(n;p) khi n lớn và p khá gần 0 hoặc gần 1.

Định lý Poisson.

Giả sử trong một dãy n phép thử độc lập, một biến cố A xuất hiện với xác suất 𝑝𝑛

trong mỗi phép thử. Nếu khi 𝑛 → ∞ mà 𝑝𝑛 → 0 sao cho 𝑛. 𝑝𝑛 = 𝜆 (λ là một

hằng số dƣơng) thì với mọi 𝑘 ∈ 0,1,2,… , 𝑛, chúng ta có:

lim𝑛→∞

𝐶𝑛𝑘𝑝𝑛

𝑘 1 − 𝑝𝑛 𝑛−𝑘 =

𝜆𝑘

𝑘!𝑒−𝜆

Hệ quả:

Nếu 𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝), với 𝑛 > 30 và (𝑛𝑝 < 5 𝑕𝑎𝑦 𝑛 1 − 𝑝 < 5) thì chúng ta có thể

xem như 𝑋~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 (𝑛𝑝)

Định lí:

Cho hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập. Nếu 𝑋~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 (𝜇) và

𝑌~𝑃𝑖𝑜𝑠𝑠𝑜𝑛 (𝜆) thì biến ngẫu nhiên 𝑋 + 𝑌~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 (𝜇 + 𝜆).

1.1.2 Phân bố mũ:

Định nghĩa:

Hàm mật độ xác suất của một phân phối mũ có dạng như sau:

𝑓 𝑥, 𝜆 = 𝜆𝑒−𝜆𝑥 , 𝑥 ≥ 00 , 𝑥 < 0

Trong đó λ là tham số của phân bố, thƣờng đƣợc gọi là tham số tỉ lệ. Phân bố

đƣợc hỗ trợ dựa trên khoảng [0; ∞).

Nếu một biến ngẫu nhiên X có phân phối này, ta viết:

𝑋~𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑖𝑎𝑙 (𝜆).

Đặc tả:

8

Một cách khác để định nghĩa hàm mật độ xác suất của một phân phối mũ nhƣ

sau:

𝑓 𝑥, 𝜆 = 1

𝜆𝑒−𝑥/𝜆 , 𝑥 ≥ 0

0 ,𝑥 < 0

Trong đó 𝜆 > 0 là một tham số của phân bố và có thể đƣợc coi là nghịch đảo

của tham số tỉ lệ đƣợc định nghĩa ở trên. Trong đặc tả, λ là một tham số sống sót

theo nghĩa: nếu một biến ngẫu nhiên X là khoảng thời gian mà một hệthống sinh

học hoặc cơ học M cho trƣớc sống sót đƣợc và 𝑋~𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑖𝑎𝑙 (𝜆)thì 𝐸 𝑋 = 𝜆.

Nghĩa là khoảng thời gian sống sót kì vọng của M là λ đơn vị thời gian.

Tính chất:

+ Giá trị trung bình và phương sai:

Giá trị trung bình hay giá trị kì vọng của một biến ngẫu nhiên phân phối mũ X với

tham số tỉ lệ λ đƣợc cho bởi công thức:

𝐸 𝑋 =1

𝜆

Phƣơng sai của X là: 1

𝜆2

+ Tính không nhớ:

Một tính chất quan trọng của phân phối mũ là nó không nhớ. Nghĩa là nếu một

biến ngẫu nhiên T có phân phối mũ xác suất điều kiện của nó phải thỏa mãn:

𝑃(𝑇 > 𝑠 + 𝑡/𝑇 > 𝑡) = 𝑃 𝑇 > 𝑠 ,∀ 𝑠, 𝑡 ≥ 0

1.2. Xích Markov

Xét một hệ nào đó đƣợc quan sát tại các thời điểm rời rạc 0,1,2,... Giả sử các quan

sát đó là X0, X1, ..., Xn, ... Khi đó ta có một dãy các đại lƣợng ngẫu nhiên (ĐLNN)

(Xn) trong đó Xn là trạng thái của hệ tại thời điểm n. Giả thiết rằng mỗi Xn, n =

0,1,... là một ĐLNN rời rạc. Ký hiệu E là tập giá trị của các (Xn). Khi đó E là một

tập hữu hạn hay đếm đƣợc, các phần tử của nó đƣợc ký hiệu là i, j, k... Ta gọi E là

không gian trạng thái của dãy.

9

Định nghĩa 1.2.1.Ta nói rằng dãy các ĐLNN (Xn) là một xích Markov nếu với mọi

n1< ... < nk< nk+1 và với mọi i1, i2, ..., ik+1∈ E, ta có:

𝑃 𝑋𝑛𝑘+1= 𝑖𝑘+1/𝑋𝑛1

= 𝑖1 , 𝑋𝑛2= 𝑖2, … , 𝑋𝑛𝑘

= 𝑖𝑘

= 𝑃 𝑋𝑛𝑘+1= 𝑖𝑘+1/𝑋𝑛𝑘

= 𝑖𝑘 .

Ta coi thời điểm nk+1 là tƣơng lai, nk là hiện tại còn n1, ..., nk -1 là quá khứ. Nhƣ vậy,

xác suất có điều kiện của một sự kiện B nào đó trong tƣơng lai nếu biết hiện tại và

quá khứ của hệ cũng giống nhƣ xác suất có điều kiện của B nếu chỉ biết trạng thái

hiện tại của hệ. Đó chính là tính Markov của hệ. Đôi khi tính Markov của hệ còn

phát biểu dƣới dạng: Nếu biết trạng thái hiện tại của hệ thì quá khứ và tƣơng lai

độc lập với nhau.

Giả sử 𝑃 𝑋𝑚+𝑛 = 𝑗/𝑋𝑚 = 𝑖 là xác suất để xích tại thời điểm m ở trạng thái i sau n

bƣớc, tại thời điểm m + n chuyển sang trạng thái j. Đây là một con số nói chung

phụ thuộc vào i, j, m, n. Nếu đại lƣợng này không phụ thuộc m ta nói xích là thuần

nhất. Ký hiệu:

𝑃𝑖𝑗 = 𝑃 𝑋𝑛+1 = 𝑗 /𝑋𝑛 = 1 ,

𝑃𝑖𝑗 𝑛 = 𝑃 𝑋𝑚+𝑛 = 𝑗/𝑋𝑚 = 𝑖 .

Ta gọi (𝑃𝑖𝑗 , 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐸) là xác suất chuyển sau một bƣớc hay xác suất chuyển còn

(𝑃𝑖𝑗 𝑛 , 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐸) là xác suất chuyển sau n bƣớc. Chú ý rằng:

𝑃𝑖𝑗𝑗 ∈𝐸 = 1,

𝑃𝑖𝑗 𝑛 = 1𝑗∈𝐸 .

Phân bố của X0 đƣợc gọi là phân bố ban đầu. Ta ký hiệu 𝑢𝑖 = 𝑃(𝑋0 = 𝑖).

Định lý 1.2.1.Phân bố đồng thời của (X0, X1, ..., Xn) được hoàn toàn xác định từ

phân bố ban đầu và xác suất chuyển. Cụ thể ta có:

𝑃 𝑋0 = 𝑖0, 𝑋1 = 𝑖1, … , 𝑋𝑛 = 𝑖𝑛 = 𝑢𝑖0𝑃𝑖0𝑖1

… 𝑃𝑖𝑛−1𝑖𝑛 .

Nhƣ vậy phân bố đồng thời của 𝑋0, … , 𝑋𝑛 đƣợc xác định bởi phân bố ban đầu

và xác suất chuyển.

Định lý 1.2.2.(Phương trình C - K (Chapman-Kolmogorov)):

𝑃𝑖𝑗 (n + m) = 𝑃𝑖𝑘𝑘 ∈𝐸 (n) 𝑃𝑘𝑗 (m).

10

Trong trƣờng hợp E có d phần tử, ta ký hiệu𝑃 = (𝑃𝑖𝑗 ), 𝑃(𝑛) = (𝑃ij(n))là các ma

trận vuông cấp 𝑑 × 𝑑. P đƣợc gọi là ma trận xác suất chuyển, P(n) đƣợc gọi là ma

trận xác suất chuyển sau n bƣớc. Khi đó từ phƣơng trình Chapman - Kolmogorov

tƣơng đƣơng với:

𝑃(𝑛 + 𝑚) = 𝑃(𝑛)𝑃(𝑚).

Vì P = P(1) nên bằng quy nạp ta dễ thấy:

𝑃(𝑛) = 𝑃𝑛 .

Gọi 𝑢𝑖 𝑛 = 𝑃 𝑋𝑛 = 𝑖 . Ký hiệu vecto 𝑈 𝑛 = (𝑢1(𝑛),… , 𝑢𝑑 𝑛 )là vector hàng d

- chiều mô tả phân bố của 𝑋𝑛, 𝑈 = 𝑢 0 = (𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑑)là vector hàng d - chiều

mô tả phân bố ban đầu (Phân bố của𝑋0).

Định lý 1.2.3.Ta có:

𝑈 𝑚 + 𝑛 = 𝑈 𝑚 𝑃𝑛 .

Định nghĩa 1.2.2.Phân bố ban đầu 𝑈 = (𝑢𝑖), 𝑖 ∈ 𝐸 được gọi là phân bố dừng

nếu ta có 𝑈(𝑛) = 𝑈 với mọi n tức là 𝑢𝑖 𝑛 = 𝑢𝑖 ∀𝑖 ∈ 𝐸 , ∀𝑛. Khi đó dãy (𝑋𝑛 )

có cùng phân bố.

Từ định lý 1.2.3 ta suy ra 𝑈 = (𝑢𝑖) là phân bố dừng nếu và chỉ nếu:

• 1. 𝑢𝑖 ≥ 0 và 𝑢𝑖 = 1𝑖∈𝐸 ,

• 2. 𝑢𝑖 = 𝑢𝑖𝑃𝑖𝑗 𝑖∈𝐸 ∀𝑗 ∈ 𝐴.

Định lý 1.2.4.Giả sử (𝑋𝑛 ) là xích Markov với không gian trạng thái

E = 1,2,... với ma trận xác suất chuyển 𝑃 = (𝑃𝑖𝑗 ) và ma trận xác suất chuyển sau

n bước là𝑃 𝑛 = 𝑃𝑖𝑗 (𝑛). Ta nói rằng xích có phân bố giới hạn nếu với mọi i, j ∈ E

tồn tại giới hạn:

lim𝑛→ ∞

𝑃𝑖𝑗 𝑛 = 𝜋𝑗

Giới hạn này không phụ thuộc i ∈ E. khi đó:

• 1. 𝜋𝑗𝑗 ∈𝐸 ≤ 1 và πj = 𝜋𝑖𝑃𝑖𝑗𝑖 ∈𝐸 .

• 2. Hoặc πj = 0 với mọi j ∈ E, hoặc 𝜋𝑗𝑗 ∈𝐸 = 1.

11

• 3. Nếu 𝜋𝑗𝑗 ∈𝐸 = 1 thì U = (π1, π2, ...) là phân bố dừng và phân bố dừng là duy

nhất. Nếu πj = 0 với mọi j ∈ E thì phân bố dừng không tồn tại.

Ý nghĩa của phân bố giới hạn là nhƣ sau: Gọi 𝑢𝑖(𝑛) = 𝑃(𝑋𝑛 = 𝑖). Ký hiệu

vector 𝑈(𝑛) = (𝑢1(𝑛),𝑢2(𝑛), . . . )là vector hàng d - chiều mô tả phân bố của 𝑋𝑛 .

Ta có:

P(Xn = j) = 𝑃𝑗 ∈𝐸 (X0 = i)𝑃𝑖𝑗 (n).

Do đó:

lim𝑛→ ∞ 𝑃 𝑋𝑛 = 𝑗 = 𝑃 𝑋0 = 𝑖 𝑗 ∈𝐸 lim𝑛→ ∞ 𝑃𝑖𝑗 (𝑛)

= 𝑃 𝑋0 = 𝑖 𝑗 ∈𝐸 𝜋𝑗 = 𝜋𝑗 .

Định nghĩa 1.2.3.Giả sử (𝑋𝑛 ) là xích Markov với không gian trạng thái

E =1, 2, ... với ma trận xác suất chuyển 𝑃 = 𝑃𝑖𝑗 (𝑛)và ma trận xác suất chuyển

sau n bước là 𝑃(𝑛) = 𝑃𝑖𝑗 (𝑛). Ta nói rằng xích có phân bố giới hạn nếu với mọi i,

j ∈ E tồn tại giới hạn:

lim𝑛→ ∞ 𝑃𝑖𝑗 (n) = πj .

Giới hạn này không phụ thuộc i ∈ E và 𝜋𝑗𝑗 ∈𝐸 = 1. Nói cách khác, vecto giới hạn

𝜋 = (𝜋1, 𝜋2 , . . . ) lập thành một phân bố xác suất trên E.

Vậy phân bố 𝑈(𝑛) của 𝑋𝑛hội tụ tới phân bố giới hạn π. Khi n khá lớn ta có

(𝑋𝑛 = 𝑗) ≈ 𝜋𝑗.

Theo định lý 1.1.4 nếu phân bố giới hạn tồn tại thì phân bố dừng cũng tồn tại và

duy nhất. Hơn nữa hai phân bố này trùng nhau. Tuy nhiên điều ngƣợc lại không

đúng tức là có những xích Markov có tồn tại phân bố dừng nhƣng không tồn tại

phân bố giới hạn.

Định lý 1.2.5.Cho (𝑋𝑛 ) là xích Markov với không gian trạng thái hữu hạn

E = 1,2,...,d với ma trận xác suất chuyển sau n bước là 𝑃(𝑛) = (𝑃𝑖𝑗 (n)).Khi đó

có tồn tại phân bố giới hạn π = (π1, ..., πd ) với 𝜋𝑗 > 0 ∀𝑗 ∈ 𝐸 khi và chỉ khi xích

là chính quy theo nghĩa: Tồn tại 𝑛0sao cho:

𝑃𝑖𝑗 𝑛0 > 0, ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝐸.

1.2.1. Phân loại trạng thái xích Markov

12

Định nghĩa 1.2.4.Ta nói rằng trạng thái i đến được trạng thái j và ký hiệu là

𝑖 → 𝑗 nếu tồn tại 𝑛 ≥ 0 sao cho 𝑃𝑖𝑗 (𝑛) > 0.

(Ta quy ước 𝑃𝑖𝑖 0 = 1, 𝑃𝑖𝑗 (0) = 0 nếu(i ≠ j)).

Hai trạng thái i và j được gọi là liên lạc được nếu 𝑖 → 𝑗và 𝑗 → 𝑖. Trong trường

hợp đó ta viết 𝑖 ↔ 𝑗.

Định nghĩa 1.2.5.Xích Markov được gọi là tối giản nếu hai trạng thái bất kỳ là

liên lạc được. Có nghĩa là theo cách phân lớp trên thì E không thể phân hoạch

thành các lớp con nhỏ hơn.

Định nghĩa 1.1.6.Ký hiệu 𝑓𝑖𝑖 𝑛 là xác suất để hệ xuất phát từ i lần đầu tiên quay

lại i ở thời diểm n. Nghĩa là:

𝑓𝑖𝑖 (n) = P(Xn = i, 𝑋𝑛−1 ≠ i, ..., 𝑋1 ≠ i|X0 = i)

và ký hiệu:

𝑓𝑖𝑖∗= 𝑓𝑖𝑖

∞𝑛=1 (𝑛).

Định lý 1.2.6.Trạng thái i là hồi quy khi và chỉ khi:

𝑃𝑖𝑖(𝑛)∞𝑛=1 = ∞.

Định lý 1.2.7.Nếu i ↔ j và j hồi quy thì i hồi quy.

Chứng minh:

Theo giả thiết tồn tại 𝑚, 𝑛 sao cho𝑃𝑖𝑖 (n) > 0, 𝑃𝑗𝑖 (m) > 0. Với mỗi số nguyên dƣơng

h từ phƣơng trình C-P suy ra:

𝑃𝑖𝑖 (n + h + m) ≥ 𝑃𝑖𝑗 (n)𝑃𝑗𝑗 (h)𝑃𝑗𝑖 (m).

Vậy:

𝑃𝑖𝑖∞𝑕=1 (n + h + m) ≥ 𝑃𝑗 (n)𝑃𝑗𝑖 (m) 𝑃𝑗𝑗

∞𝑕=1 (h) = ∞.

Vậy i hồi quy.

Định lý 1.2.8. Ký hiệu 𝑄𝑖𝑖 là xác suất để hệ xuất phát từ i quay lại i vô số lần, 𝑄𝑖𝑗 là

xác suất để hệ xuất phát từ i đi qua j vô số lần. Khi đó:

• (i) Nếu i hồi quy thì 𝑄𝑖𝑖 = 1, nếu i không hồi quy thì 𝑄𝑖𝑖 = 0.

13

• (ii) Nếu i hồi quy 𝑖 ↔ 𝑗thì𝑄𝑖𝑗 = 1. Nói riêng, với xác suất một hệ xuất phát từ i

sau một số hữu hạn bước sẽ đi qua j.

Định lý 1.2.9.Cho (𝑋𝑛 ) là xích tối giản không hồi quy. Khi đó với mọi i, j:

𝑃𝑖𝑗 𝑛 < ∞∞𝑛=1 .

Nói riêng

lim𝑛→ ∞ 𝑃𝑖𝑗 = 0

và xích không tồn tại phân bố dừng.

Định lý 1.2.10.Cho (𝑋𝑛 ) là xích tối giản hồi quy không có chu kỳ. Khi đó với mọi i,

j ta có:

lim𝑛→ ∞ 𝑃𝑖𝑗 (n) = 1

𝜇 𝑗

ở đó:

µ𝑗 = 𝑘𝑓𝑗𝑗∞𝑘=1 (k).

Định nghĩa 1.2.7.Trạng thái hồi quy i được gọi là trạng thái hồi quy dương nếu

𝜇𝑖 < ∞ và được gọi là trạng thái hồi quy không nếu µ𝑖 = ∞.

Định lý 1.2.11.Giả sử 𝑖 → 𝑗. Nếu i hồi quy dương thì j hồi quy dương. Nếu i hồi

quy không thì j hồi quy không.

Định lý 1.2.12.Giả sử (𝑋𝑛) là xích tối giản không có chu kỳ với không gian trạng

thái đếm được E. Khi đó sẽ xảy ra một trong ba khả năng sau đây:

• 1)Mọi trạng thái là không hồi quy. Khi đó với mọi i, j ta có:

𝑙𝑖𝑚𝑛→ ∞ 𝑃𝑖𝑗 (n) = 0.

Xích không có phân bố dừng.

• 2) Mọi trạng thái là hồi quy không. Khi đó với mọi i, j ta có:

𝑙𝑖𝑚𝑛→ ∞ 𝑃𝑖𝑗 = 0.

Xích không có phân bố dừng.

• 3) Mọi trạng thái là hồi quy dương. Khi đó với mọi i, j, ta có:

14

𝑙𝑖𝑚𝑛→ ∞ 𝑃𝑖𝑗 = πj> 0

và𝜋 = (𝜋1, 𝜋2, . . . ) là phân bố giới hạn (và cũng là phân bố dừng) của xích.

Định lý 1.2.13.Giả sử (𝑋𝑛 ) là xích tối giản không có chu kỳ với không gian trạng

thái hữu hạn E = 1, 2, ..., d. Khi đó mọi trạng thái đều hồi quy dương và xích có

phân bố giới hạn 𝜋 = (𝜋1, 𝜋2 , . . . , 𝜋𝑑 ). Phân bố này cũng là phân bố dừng duy

nhất của xích.

Định lý 1.2.14.Giả sử 𝑋𝑛 là xích tối giản với không gian trạng thái E đếm được.

Khi đó:

• 1.Với mỗi 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐸:

𝑙𝑖𝑚𝑛→ ∞ 𝑛−1 𝑃𝑖𝑗 (𝑘)𝑛𝑘=1 =

1

𝜇 𝑗.

Nói cách khác dãy 𝑃𝑖𝑗 𝑛 hội tụ theo trung bình Cesaro tới πj = 1

𝜇 𝑖không phụ thuộc

i.

• 2.Dãy 𝜋 = (𝜋𝑗 ) thoả mãn:

a) 𝜋𝑗∞𝑗=1 ≤ 1,

b) 𝜋𝑗 = 𝜋𝑖𝑃𝑖𝑗∞𝑖=1 .

Định lý 1.2.15.Cho (𝑋𝑛 ) là xích Markov tối giản. Khi đó:

• 1. Nếu E hữu hạn có d phần tử thì (𝜋1, . . . , 𝜋𝑑) là phân bố dừng duy nhất.

• 2. Chỉ có các khả năng sau:

a) Mọi trạng thái của E là không hồi quy

b) Mọi trạng thái của E là hồi quy không

c) Mọi trạng thái của E là hồi quy dương.

• 3. Nếu E là vô hạn đếm được thì xích có phân bố dừng khi và chỉ khi mọi

trạng thát của E là hồi quy dương. Trong trường hợp này phân bố dừng là duy

nhất.

1.3. Quá trình Markov

15

Xét họ các ĐLNN rời rạc (𝑋𝑡), t ≥ 0 với tập chỉ số t là các số thực không âm

𝑡 ∈ [0, ∞). Ký hiệu 𝐸 = 𝑋𝑡 Ω là tập giá trị của 𝑋𝑡 . Khi đó E là một tập hữu hạn

hay đếm đƣợc, các phần tử của nó đƣợc ký hiệu 𝑙à 𝑖, 𝑗, 𝑘. . .. Ta gọi (𝑋𝑡) là một quá

trình ngẫu nhiên với không gian trạng thái E .

Định nghĩa 1.3.1. Ta nói rằng (𝑋𝑡) là một quá trình Markov nếu với mọi

𝑡1 < . . . < 𝑡𝑘 < 𝑡và với mọi 𝑖1 , 𝑖2, . . . 𝑖𝑛 , 𝑖 ∈ 𝐸 ∶

PXt = i|𝑋𝑡1 = i1, 𝑋𝑡2

= i2..., 𝑋𝑡𝑘= ik = PXt = i|𝑋𝑡𝑘 = ik.

Nhƣ vậy, xác suất có điều kiện của một sự kiện B nào đó trong tƣơng lai nếu biết

hiện tại và quá khứ của hệ cũng giống nhƣ xác suất có điều kiện của B nếu chỉ biết

trạng thái hiện tại của hệ. Đó chính là tính Markov của hệ. Đôi khi tính Markov

của hệ còn phát biểu dƣới dạng: "Nếu biết trạng thái hiện tại 𝑋𝑡 của hệ thì quá khứ

𝑋𝑢 ,𝑢 < 𝑡 và tƣơng lai 𝑋𝑠 , 𝑠 > 𝑡 là độc lập với nhau."

Giả sử:

P𝑋𝑡+𝑠 = j|Xs = i

là xác suất để xích tại thời điểm s ở trạng thái i sau một khoảng thời gian t, tại thời

điểm t + h chuyển sang trạng thái j. Đây là một con số nói chung phụ thuộc vào i, j,

t, s. Nếu đại lƣợng này không phụ thuộc s ta nói xích là thuần nhất.

Ký hiệu:

𝑃𝑖𝑗 (t) = P𝑋𝑡+𝑠 = j|Xs = i.

Ta gọi 𝑃𝑖𝑗 𝑡 là xác suất chuyển của hệ từ trạng thái i sang trạng thái j sau một

khoảng thời gian t . Ký hiệuP(t) = (𝑃𝑖𝑗 (t), i, j → E). P(t) là một ma trận hữu hạn

hay vô hạn chiều. Chú ý rằng:

• i)𝑃𝑖𝑗 (t) ≥ 0.

• ii) 𝑃𝑖𝑗 (𝑡)𝑗 ∈𝐸 = 1.

Phân bố của 𝑋0 đƣợc gọi là phân bố ban đầu. Ta ký hiệu 𝑢𝑖 = 𝑃(𝑋0 = 𝑖).

Định lý 1.3.1.Phân bố hữu hạn chiều của quá trình (𝑋𝑡) được hoàn toàn xác định

từ phân bố ban đầu và xác suất chuyển. Cụ thể với 𝑡1 < 𝑡2 < . . . < 𝑡𝑛 phân bố

đồng thời của (𝑋𝑡1, ..., 𝑋𝑡𝑛 ) được tính theo công thức sau:

16

P(𝑋𝑡1= i1, ..., 𝑋𝑡𝑛 = in) =

= 𝑢𝑖𝑃𝑖𝑖1 𝑡1 𝑃𝑖1𝑖2𝑖 ∈𝐸 𝑡2 − 𝑡1 …𝑃𝑖𝑛−1𝑖𝑛 (𝑡𝑛 − 𝑡𝑛−1).

Định lý 1.3.2.( Phương trình Chap - Kolmogorov):

𝑃𝑖𝑗 (t + s) = 𝑃𝑖𝑘 (𝑡)𝑃𝑘𝑗 (𝑠)𝑘 ∈𝐸 .

1.3.1. Trƣờng hợp không gian trạng thái hữu hạn

Giả sử E = 1, 2,..., d. Khi đó từ phƣơng trình C - K P(t), t > 0 là một họ các ma

trận thoả mãn đẳng thức sau:

𝑃(𝑡 + 𝑠) = 𝑃(𝑡)𝑃(𝑠).

Nói cách khác họ (P(t), t > 0) lập thành một nửa nhóm các ma trận. Từ nay về sau

ta sẽ luôn giả thiết thêm rằng:

1.𝑃𝑖𝑗 (0) = δij.

2.lim𝑛→ ∞ 𝑃𝑖𝑗 (𝑡)= δij.

Ở đây 𝛿𝑖𝑗 là ký hiệu Kronecke:

δij = 1 𝑘𝑕𝑖 𝑖 = 𝑗0 𝑘𝑕𝑖 𝑖 ≠ 𝑗

Định lý 1.3.3.Hàm ma trận P(t) là một hàm liên tục và tồn tại:

𝑃′ (0) = 𝑙𝑖𝑚𝑕→ 0+

𝑃 𝑡 −𝐼

𝑕 .

Định lý 1.3.4.Cho quá trình Markov với nửa nhóm P(t), t > 0 các xác suất chuyển.

Gọi A là ma trận cực vi của nửa nhóm. Khi đó ta có:

𝑃′ 𝑡 = 𝑃 𝑡 𝐴 ,

↔ 𝑃𝑖𝑗′ = 𝑃𝑖𝑘 𝑡 𝑎𝑘𝑗 − 𝑃𝑖𝑗 𝑦 𝑎𝑗𝑘 ≠𝑗 . (1.3.1)

và

𝑃′ 𝑡 = 𝐴𝑃(𝑡) ,

↔ 𝑃′𝑖𝑗 𝑡 = 𝑃𝑘𝑗 𝑎𝑖𝑘𝑘 ≠𝑖 − 𝑃𝑖𝑗 (𝑦)𝑎𝑖 . (1.3.2)

17

với𝑎𝑖𝑗 là cƣờng độ chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j và 𝑎𝑖 là cƣờng độ thoát

khỏi trạng thái i của hệ.

Phƣơng trình (1.3.1) gọi là phƣơng trình thuận và phƣơng trình (1.3.2) gọi là

phƣơng trình ngƣợc Kolmogorov.

Định lý 1.3.5.Cho quá trình Markov tối giản (𝑋𝑡) với không gian trạng thái E = 1,

2,..., d hữu hạn và ma trận xác suất chuyểnP(t) = 𝑃𝑖𝑗 (t). Khi đó với mỗi 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐸

tồn tại giới hạn hữu hạn:

𝑙𝑖𝑚𝑡→ ∞

𝑃𝑖𝑗 𝑡 = 𝜋𝑗

chỉ phụ thuộc j không phụ thuộc i. Thêm vào đó 𝜋 = (𝜋1, 𝜋2, . . . , 𝜋𝑑 ) là phân bố

xác suất duy nhất thoả mãn phương trình:

𝜋 = 𝜋𝑃(𝑡),∀𝑡 > 0.

1.3.2. Trƣờng hợp không gian trạng thái vô hạn đếm đƣợc

Định lý 1.3.6.

(1)Với mọi i ≠ j, giới hạn:

𝑃𝑖𝑗′(0) = lim

𝑡→ ∞

𝑃𝑖𝑗 (𝑡)

𝑡= 𝑎𝑖𝑗

luôn tồn tại hữu hạn.

(2)Với mỗi i giới hạn:

𝑃′𝑖𝑖 (0) = lim𝑡→ ∞

𝑃𝑖𝑗 𝑡 −1

𝑡 = 𝑎𝑖𝑖 = − 𝑎𝑖

tồn tại nhưng có thể bằng vô cùng.

Định lý 1.3.7.Cho quá trình Markov với P(t) = (𝑃𝑖𝑗 (t))là họ các ma trận xác suất

chuyển. Gọi A là ma trận cực vi của quá trình. Khi đó ta có:

𝑃′ (t) = P(t)A,

↔ 𝑃𝑖𝑗′ (t) = 𝑃𝑖𝑘 𝑡 𝑎𝑘𝑗 − 𝑃𝑖𝑗 (𝑦)𝑎𝑗𝑘 ≠𝑗 . (1.3.3)

và

𝑃′ (t) = AP(t),

18

↔ 𝑃𝑖𝑗′ (t) = 𝑎𝑖𝑘𝑃𝑘𝑗 − 𝑃𝑖𝑗 (𝑦)𝑎𝑖𝑘 ≠𝑖 . (1.3.4)

với𝑎𝑖𝑗 là cường độ chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j và ai là cường độ thoát

khỏi trạng thái i của hệ.

Phương trình (1.3.3) gọi là phương trình thuận và phương trình (1.3.4) gọi là

phương trình ngược Kolmogorov.

Định lý 1.3.8.Cho quá trình Markov tối giản (𝑋𝑡) với không gian trạng thái E = 1,

2,..., đếm được và ma trận xác suất chuyểnP(t) = 𝑃𝑖𝑗 (t). Khi đó, với mỗi 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐸 tồn

tại giới hạn hữu hạn:

𝑙𝑖𝑚𝑡→ ∞ 𝑃𝑖𝑗 (𝑡)= πj

chỉ phụ thuộc j không phụ thuộc i. Thêm vào đó giới hạn 𝜋 = (𝜋1, 𝜋2, . . . , ) hoặc là

tất cả bằng không:

𝜋𝑗 = 0 ∀𝑗 ∈ 𝐸

hoặc là tất cả dương và lập thành một phân bố xác suất. Phân bố đó được gọi là

phân bố giới hạn của quá trình:

πj> 0 ∀j ∈ E, 𝜋𝑗𝑗 = 1.

CHƢƠNG 2:

MỘT SỐ MÔ HÌNH XẾP HÀNG

2.1 Khái niệm và phân loại quá trình xếp hàng

76

Trên thực tế mô hình xếp hàng còn đƣợc ứng dụng trong nhiều lĩnh vực ngành

nghề khác nhau nhƣ bƣu chính viễn thông, hàng không, đƣờng sắt, kiểm soát lƣu

lƣợng giao thông, … Trong lí thuyết xếp hàng ta quan tâm đến số đo hiệu năng, đó

là các giá trị trung bình khi quá trình đạt trạng thái dừng bao gồm: độ dài hàng đợi

trung bình của hàng, độ dài hàng đợi trung bình của hệ thống, thời gian đợi trung

bình của hàng (trễ của hàng) và thời gian đợi trung bình của hệ thống (trễ của hệ

thống). Để tính các đại lƣợng này ta có thể sử dụng phƣơng pháp giải phƣơng trình

tích phân dạng Wiener – Hopf hoặc phƣơng pháp khảo sát chuỗi Markov nhúng.

Từ đó suy ra các công thức tính các phân bố ổn định cho các loại hàng M/M/k,

M/M/k/N; Công thức tổng quát tính các giá trị trung bình này cho các hàng G/G/1

và công thức cụ thể cho các hàm đặc biệt M/D/1 và M/𝐸𝑘 /1 …Mà trong luận văn

này em mới đề cập đến một số dạng tổng quát, các hàng đặc biệt. Em rất mong

đƣợc sự góp ý xây dựng của thầy cô và các bạn.

Em xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Đặng Hùng Thắng, Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên, Nhà

xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội, 2007.

[2] Đặng Hùng Thắng, Mở đầu về lý thuyết xác suất và các ứng dụng, Nhà

xuất bản giáo dục, 2005.

[3] U.Narayan Bhat, An Introduction to Queueing Theory - Modeling and

77

Analysis in Applications, Birkhauser Boston, 2008.