Motidiﬂuidoidealeirrotazionale: metodologiedisoluzione · Introduzione La risoluzione delle equazioni che regolano il campo di moto di un ﬂuido è un problema non risolvibile

Moti di fluido ideale irrotazionale:metodologie di soluzione

Cesare Corrado

Marzo 2009

In copertina: linee di corrente e campo di velocità per un profiloNACA0012 risolte con la teoria del potenziale

Indice

Introduzione 1

1 Alcuni richiami sulle equazioni dei fluidi 3

1.1 Le equazioni dei fluidi: ipotesi semplificative ed equazioni delpotenziale cinetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 La funzione di Corrente ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Connessione del dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Condizioni di unicità per il potenziale . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Condizioni al contorno per la scia . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 I metodi a singolarità virtuali 17

2.1 Il metodo della funzione di Green . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.1 Applicazione della formula di Green al problema aero-dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 I metodi a Pannelli 25

3.1 Il metodo di Hess e Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Il metodo di Morino nel caso stazionario . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1 Alcune osservazioni sulle matrici D e Z . . . . . . . . . 33

4 Altri metodi numerici per l’aerodinamica 35

4.1 La linea portante-schema di Weissinger . . . . . . . . . . . . . 36

4.2 La superficie portante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.1 Il Vortex-Lattice Method . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

iii

INDICE

4.2.2 La Piston Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

iv

Introduzione

La risoluzione delle equazioni che regolano il campo di moto di un fluido èun problema non risolvibile per via analitica e praticamente impossibile darisolvere per via numerica a causa dell’elevata separazione delle scale spazio-temporali che regolano il fenomeno; inoltre, per le applicazioni pratiche lasoluzione conterrebbe un maggior numero di informazioni di quelle neces-sarie. Di qui la necessità di creare modelli semplificati in grado di fornireun’approssimazione della soluzione sufficientemente accurata per i fini prati-ci e non troppo onerosa dal punto di vista computazionale.Per quanto concerne le applicazioni aeronautiche, l’informazione necessariaper un’analisi preliminare riguarda la distribuzione del carico aerodinamicosulle superfici bagnate dal fluido, carico fornito in gran parte dalla portanza,essendo le forze resistive inferiori di diversi ordini di grandezza: di qui lapossibilità di assumere modelli a fluido ideale. Se il campo di moto del fluidoideale è anche di tipo isoentropico ne conseguirà che sarà anche irrotazionale,1

permettendo di introdurre una grandezza detta potenziale cinetico che ridur-rà il problema ad un’equazione scalare. Un’ulteriore semplificazione potràessere ottenuta se si riuscirà ad esprimere le grandezze aerodinamiche signi-ficative senza dover ricorrere alla soluzione di tutto il campo di moto, marisolvendo un problema sulle sole superfici aerodinamiche.Per la risoluzione numerica esistono vari metodi, tipicamente:

1In realtà per un moto in cui siano presenti onde d’urto deboli, ovvero onde d’urtoapprossimabili con un raggio di curvatura infinito, è possibile ancora applicare la teoriairrotazionale

1

Introduzione

• Elementi finiti

• Volumi finiti

• Differenze finite

• Elementi di contorno

Nella trattazione seguente verrà esposta la sola categoria dei metodi adelementi di contorno, poiché questi trovano ampio impiego nelle applicazioniaeronautiche; di questi inoltre verrà trattato il solo caso stazionario subson-ico, in quanto è l’unico che non richiede una risoluzione nel dominio dellatrasformata di Fourier; verrà tuttavia introdotto anche un metodo per regi-mi supersonici, sotto le cui condizioni di applicabilità è possibile trovare unasoluzione senza dover ricorrere al dominio delle frequenze.

Queste note sono organizzate nel modo seguente:

• Nel primo capitolo vengono fatti alcuni richiami sulla teoria dei fluidi,in particolar modo per quanto riguarda l’ottenimento dell’equazione delpotenziale e le ipotesi di validità;

• Nel secondo capitolo vengono introdotti i metodi a singolarità virtualie la funzione di Green,in particlare per il caso Aerodinamico;

• Nel terzo capitolo vengono illustrati i metodi a pannelli tipicamente piùutilizzati: il metodo di Hess e Smith ed il metodo di Morino;

• Nel quarto capitolo vengono illustrate tecniche di soluzione per profilidi spessore trascurabile: in particolar modo metodi detti “a superficieportante”. Viene inoltre illustrato un metodo applicabile al caso su-personico, sotto l’ipotesi che la corrente asintotica abbia un numero diMach superiore a 2.

2

Capitolo 1

Alcuni richiami sulle equazioni

dei fluidi

1.1 Le equazioni dei fluidi: ipotesi semplifica-

tive ed equazioni del potenziale cinetico

Per descrivere il moto di un fluido comprimibile occorre risolvere un sistemadi equazioni algebriche e differenziali alle derivate parziali che ne traducele leggi di conservazione; nel caso più generale di un fluido omogeneo, leequazioni in gioco tradurranno le seguenti leggi:

• Conservazione della massa

• Conservazione della quantità di moto

• Conservazione dell’energia

• Equazione termica di stato (p = p(ρ, T ))

• Equazione calorica di stato (e = e(ρ, T ) )

• Relazione costitutiva (σ = σ(p,∇v))

3

1. Alcuni richiami sulle equazioni dei fluidi

Considerando anche l’equazione del momento della quantità di moto, siottiene che il tensore degli sforzi fluidi è simmetrico e quindi, nel caso tridi-mensionale, sarà costituito da 6 incognite, legate al campo di moto ed allapressione attraverso le relazioni costitutive. Si tratta dunque di risolvere unsistema complesso nelle incognite p,v, T, ρ, e, in tutte le sue scale spaziali etemporali.Per gli scopi aerodinamici, le informazioni fornite dalla risoluzione di untale sistema sono sovrabbondanti: è allora lecito domandarsi se un modellosemplificato fornisca le informazioni necessarie con un costo computazionalenettamente inferiore. Si introducono le seguenti ipotesi semplificative:

1. flusso inviscido (µ = 0)Il campo di moto è descritto dalle equazioni di Eulero:1

∂ρ

∂t+∇ · (ρv) = 0 (1.1)

∂ρv

∂t+∇ · (ρv ⊗ v) +∇p = 0 (1.2)

p

ργ= cost (1.3)

avendo indicato con ⊗ il prodotto tensoriale fra due vettori; l’ultimarelazione deriva dal fatto che il flusso è isoentropico (s = cost).

2. Flusso irrotazionale (∇× v = 0)Il campo di moto è descritto dalle equazioni di Eulero semplificate, cheassumono la seguente forma:

∂ρ

∂t+∇ · (ρv) = 0 (1.4)

ρ∂v

∂t+ ρ∇

(|v|2

2

)+∇p = 0 (1.5)

p

ργ= cost (1.6)

1Queste vengono scritte in forma conservativa; esplicitando le derivate ed utilizzandol’equazione di continuità è possibile trovare anche la forma non conservativa, tuttavia moltimetodi numerici si basano sulla prima

4


Occorre ora fornire le condizioni al contorno; considerando un problemaesterno e descrivendo la superficie del corpo immerso nel fluido con unasuperficie S, la condizione al contorno di non penetrazione si traducenella:

v · n = 0 su S (1.7)

Ricordando che ogni campo vettoriale irrotazionale in un dominio sem-plicemente connesso2 può essere espresso come il gradiente di una fun-zione potenziale, la (1.5) può essere riscritta nella forma:

∇(∂φ

∂t+|v|2

2

)+

1

ρ∇p = 0 (1.8)

Si consideri ora una curva proveniente dall’infinito e terminante in unpunto P del campo di moto e si vada ad integrare la (1.8) lungo talecammino, ciò porta al teorema di Bernoulli per flussi irrotazionali:∫ P

−∞d

(∂φ

∂t+|v|2

2

)+

∫ P

−∞

1

ρdp = 0

=⇒ ∂φ

∂t+|v|2 − |v∞|2

2+

∫ P

−∞

1

ρdp = 0 (1.9)

avendo assunto un flusso stazionario a monte. Utilizzando ora l’e-quazione dell’energia:

p

ργ=p∞ργ∞⇒ ργ =

p

p∞ργ∞ (1.10)

e ricordando la definizione della velocità del suono:

c =

√γp

ρ(1.11)

2Si fa osservare che per il problema in questione il dominio non è in genere semplice-mente connesso; come si vedrà in seguito, questa ipotesi sarà soddisfatta per un corpoaerodinamico introducendo la scia.

5


Si ottiene:

p = ργp∞ργ∞→ dp = γ

p∞ργ∞

ργ−1dρ∫ P

−∞

1

ρdp =

∫ P

−∞γp∞ργ∞

ργ−2dρ =

[γ

γ − 1

p∞ργ∞

ργ−1

]P−∞

ρ = ρ∞

(p

p∞

) 1γ

⇒ ργ−1 = ργ−1∞

(p

p∞

) γ−1γ

∫ P

−∞

1

ρdp =

γ

γ − 1pγ−1γp

1γ∞

ρ∞

P−∞

p1γ∞

ρ∞=p

1γ

ρ

=⇒∫ P

−∞

1

ρdp =

c2 − c2∞

γ − 1

da cui:

∂φ

∂t+|v|2

2+

c2

γ − 1=|v∞|2

2+

c2∞

γ − 1(1.12)

che rappresenta il teorema di Bernoulli per un flusso:

• comprimibile

• isoentropico

• irrotazionale

• non stazionario

Considerando il coefficiente di pressione :

cp =p− p∞

12ρ∞|v∞|2

(1.13)

Dalle (1.10), (1.11) e (1.12) si può scrivere:

p

p∞=

γρc2

γρ∞c2∞

=

(p

p∞

) 1γ c2

c2∞→(p

p∞

)γ=

(p

p∞

)(c2

c2∞

)γ6


⇒ p

p∞

(c2

c2∞

) γγ−1 ρ

ρ∞=

(c2

c2∞

) 1γ−1

(1.14)

(c2

c2∞

)= 1− γ − 1

c2∞

(∂φ

∂t+

1

2(|v|2 − |v∞|2)

)(1.15)

Si ottiene:

cp =

pp∞− 1

12γM2

∞(1.16)

Si perviene così al problema del potenziale completo, più convenienterispetto al problema di Eulero in quanto si sono ridotte le incognite delcampo di veloictà da tre ad una (scalare):

∂ρ

∂t+∇ · (ρ∇φ) = 0 (1.17)

ρ(φ) = ρ∞

(c2

c2∞

) 1γ−1

(1.18)(c2

c2∞

)= 1− γ − 1

c2∞

(∂φ

∂t+

1

2(|v|2 − |v∞|2)

)(1.19)

∂φ

∂n= 0 su S (1.20)

Osservazione 1 Il modello del potenziale completo non può essere applica-

to in presenza di onde d’urto, in quanto il flusso che si viene a creare non è

più isoentropico e di conseguenza cade l’ipotesi di irrotazionalità;3 tuttavia,

nel caso in cui si abbiano onde d’urto deboli (e di conseguenza rettilinee) il

modello può ancora essere applicato, poiché il salto entropico da luogo ad un

rotore della velocità praticamente nullo.

3. Approssimazione delle piccole perturbazioniIn questo caso il potenziale è costituito dalla sovrapposizione lineare del

3Come si vede dall’equazione di Crocco

7


potenziale corrispondente al flusso indisturbato e di una perturbazione(teoria linearizzata):

φ = V∞ (x+ ϕ) (1.21)

Si passa dunque a linearizzare le grandezze in gioco mediante lo svilup-po:

c = c∞ + ∆c p = p∞ + ∆p; (1.22)

Per la velocità, poichè i termini quadratici sono trascurabili:

v = ∇φ =

[(1 +

∂ϕ

∂x

)i+

∂ϕ

∂yj +

∂ϕ

∂zk

]V∞ (1.23)

v · v ' V 2∞

(1 + 2

∂ϕ

∂x

)(1.24)

Trascurando i termini quadratici, dalla (1.19) si ottiene:

c2

c2∞' c2

∞ + 2c∞∆c

c2∞

= 1− γ − 1

c2∞

(V∞

∂ϕ

∂t+

1

2

(V 2∞ + 2V∞

∂ϕ

∂x− V 2

∞

))= 1− γ − 1

c2∞

V∞Dϕ

Dt(1.25)

Per la (1.18), sostituendo e sviluppando in serie di Taylor nell’intornodi c2

∞, arrestandosi al primo ordine:

ρ∞ + ∆ρ

ρ∞'(c2∞ + 2c∞∆c

c2∞

) 1γ−1

'(c2∞ + 2c∞∆c

c2∞

)∣∣∣∣ 1γ−1

∆c=0

+1

γ − 1

(c2∞ + 2c∞∆c

c2∞

)∣∣∣∣ 2−γγ−1

∆c=0

2∆c

c∞

' 1 +2∆c

c∞(γ − 1)(1.26)

⇒ ∆ρ

ρ∞= − 1

c2∞V∞

Dϕ

Dt(1.27)

8


dove:

Dϕ

Dt(1.28)

è la derivata materiale (Lagrangiana) del potenziale linearizzata.

Dall’equazione di continuità si ottiene la linearizzazione:

∂∆ρ

∂t+∇ ·

[(ρ∞ + ∆ρ)V∞

((1 +

∂ϕ

∂xi

)+∂ϕ

∂yj +

∂ϕ

∂zk

)]= 0

⇒ ∂∆ρ

∂t+ ρ∞V∞∇ · ∇ϕ+ v∞

∂∆ρ

∂x' 0

(1.29)

Andando a sostituire la (1.27), ricordando la definizione della (1.28) edopo alcuni passaggi:

∇ · ∇ϕ =1

c2∞

D2ϕ

Dt2(1.30)

Per ottenere il coefficiente di pressione dalla (1.13), per prima cosa silinearizza la pressione con uno sviluppo di Taylor arrestato al primoordine nell’intorno di c2

∞:

p

p∞=p∞ + ∆p

p∞=

(c2∞ + 2c∞∆C

c2∞

) γγ−1

' 1 +

[γ

γ − 1

(c2∞ + 2c∞∆c

c2∞

) 1γ−1 2c∞

c2∞

]∆c=0

∆c (1.31)

⇒ ∆p

p∞=

2∆c

c∞

γ

γ − 1= −γV∞

c2∞

Dϕ

Dt(1.32)

andando ora a sostituire l’espressione appena trovata nella (1.16) siottiene:

cp = − 2

V∞

Dϕ

Dt(1.33)

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particolare importanza merita il caso stazionario, per cui la (1.30)diventa:

(1−M2∞)∂2ϕ

∂x2+∂2ϕ

∂y2+∂2ϕ

∂z2= 0 (1.34)

dove si vede che per M∞ < 1 (caso subsonico) l’equazione è di tipoellittico, mentre per M∞ > 1 l’equazione diventa di tipo iperbolico.

Per quanto riguarda le condizioni al contorno, ci si metta in un sistemadi riferimento solidale col corpo aerodinamico, di velocità VB nota; siottiene:

− VB · n = ∇φ · n (1.35)

Applicando ora la teoria lineare per il potenziale:

∇φ · n = V∞

[(1 +

∂ϕ

∂x

)i+

∂ϕ

∂yj +

∂ϕ

∂zk

]· n = V∞i · n+ V∞∇ϕ · n

⇒ ∂ϕ

∂n= −(V∞i+ VB) · n

V∞= −

VtotBNV∞

(1.36)

Avendo indicato con VtotBN la velocità assoluta della corrente in di-rezione normale al corpo che, per le ipotesi di piccole perturbazioni, in-dicherà la pendenza locale del corpo aerodinamico rispetto la correnteassoluta; infatti, osservando la figura 1.1 si vede che si può scrivere:

tanα ' sinα ' α (1.37)

|VtotB | = |V∞i+ VB| ' V∞ (1.38)

α ' sinα ' −|VtotBN |V∞

(1.39)

⇒ α =∂ϕ

∂n(1.40)

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Figura 1.1: Velocità ed incidenza

Per la chiusura del problema si imporrà infine una condizione al con-torno di Dirichlet per il potenziale all’infinito, data dalla seguente:

φ∞ = V∞x⇒ ϕ∞ = 0 (1.41)

1.2 La funzione di Corrente ψ

Si consideri il caso stazionario ed incomprimibile: l’equazione del potenzialecinetico si riduce alla risoluzione dell’equazione di Laplace:

∇2φ = 0 (1.42)

munita delle opportune condizioni al contorno. Sotto queste ipotesi, è possi-bile riformulare il problema di Laplace per una nuova grandezza detta fun-zione di corrente ψ, che fisicamente rappresenta una portata attraverso unasuperficie, così definita nel caso bidimensionale:

ψ(P2) = ψ(P1) +

∫ P2

P1

v · ndc (1.43)

dove P1 e P2 sono due punti che giacciono in una regione connessa delfluido ed l è il generico percorso aperto che li unisce. Nel caso di un fluido

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incomprimibile, è possibile dimostrare attraverso il teorema di Gauss cheil valore di ψ dipende solamente dalla posizione dei punti rispetto cui sicalcola, ma non dal percorso che li unisce. Per quanto riguarda la funzionedi corrente, in maniera duale a quanto detto per il potenziale, si avrà cheessa esisterà solo sotto la condizione di moto incomprimibile4 e nel caso dimoto irrotazionale soddisferà l’equazione di Laplace:

∇2ψ = 0 (1.44)

Si può inoltre dimostrare che la funzione di corrente, il vettore velocitàed il potenziale sono legati attraverso le seguenti relazioni:

∂φ

∂x= u =

∂ψ

∂y

∂φ

∂y= v = −∂ψ

∂x(1.45)

Se ne deduce che le linee equipotenziali e le linee in cui ψ = cost costitu-iscono un sistema di curve ortogonali.

1.3 Connessione del dominio

Nella sezione 1.1 si era accennato al fatto che affinchè il potenziale sia univo-camente determinato, oltre all’ipotesi di irrotazionalità, occorre anche ipo-tizzare che il dominio sia semplicemente connesso. Si introduce allora laseguente:

Definizione 1 Una regione dello spazio si dice semplicemente connessa (oconnessa con molteplicità uno) quando ogni coppia di cammini che unisconodue punti del dominio e che rimangono in esso compresi, costituisce una curvachiusa riducibile

Dalla definizione introdotta ne risulta che, ad esempio nel caso bidimen-sionale, se la curva in questione racchiude il copro aerodinamico, questa non

4In realtà è possibile definirne una “modificata ” che può essere utilizzata anche nelcaso comprimibile

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è riducibile:5 esiste quindi una regione dello spazio non semplicemente con-nessa ed in essa il potenziale sarà una funzione polidroma (che assume cioèpiù di un valore).Si consideri allora una generica curva chiusa C che racchiuda il copro inmmer-so nella corrente fluida e si calcoli la circolazione di v lungo detto cammino;ciò che si ottiene è la seguente:∮

C

v · tdc = Γ (1.46)

Questo risultato mostra una prima interessante proprietà: per tutti icammini chiusi non riducibili e che circondano una volta la lacuna, la circo-lazione della velocità è indipendente dal percorso e pari ad un valore costanteΓ, detta costante ciclica: se infatti il cammino non riducibile si avvolgesseper n, n ∈ Z volte attorno alla lacuna, si avrebbe che:∮

C

v · tdc = nΓ (1.47)

Il potenziale allora viene ad essere definito come:

φ(P ) = φ∗(P ) + nΓ , n ∈ Z (1.48)

avendo indicato con φ∗(P ) il valore principale del potenziale. Si è ottenuto unrisultato di notevole interesse: essendo interessati al gradiente del potenziale,la parte relativa alla polidromicità avrà derivata nulla, essendo Γ costante.

1.4 Condizioni di unicità per il potenziale

Si è visto che affinchè il sia una funzione monodroma (e quindi determinabilein maiera univoca) è necessario o essere in un dominio semplicemente con-nesso o avere un valore di circolazione Γ nullo; si è visto inoltre che per poter

5Nel caso tridimensionale, per un’ala di apertuta finita, il dominio è invece semplice-mente connesso; un dominio tridimensionale non semplicemente connesso è ad esempioun dominio attraversato da una retta, ovvero un dominio in cui i “buchi ” non sono didimensione finita.

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determinare il potenziale in maniera univoca nel caso in cui la costante ciclicanon sia nulla occorre conoscere il valore di detta costante.Si vuole ora applicare il teorema di Gauss nel caso di un dominio non sem-plicemente connesso e ricavare il potenziale in maniera univoca: il truccoconsiste nel rendere semplicemente connsesso il dominio mediante l’intro-duzione di un talgio, il cui compito è quello di non consentire percorsi chiusiche circondino la lacuna (si veda la figura 1.2). Tuttavia, con questa oper-azione il potenziale presenterà una discontinuità attraverso detta linea: duepunti a cavallo del taglio infatti dal punto di vista topologico stanno agli es-tremi di una regione semplicemente connessa. Inoltre è possibile dimostrare

Figura 1.2: Taglio del dominio

attraverso il teorema di Gauss che il salto del potenziale a cavallo della sciaè pari proprio al valore della costante ciclica:

φ+ − φ− = ∆φ = Γ (1.49)

In altre parole: la soluzione è determinata univocamente quando si conosceil valore della derivata normale del potenziale sul contorno ed il valore dellacostante ciclica.Nelle applicazioni aerodinamiche relative agli aeromobili si è in presenza dicorpi aerodinamici:se l’angolo con cui la corrente investe il corpo non è troppo

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elevato, la scia che si forma dietro di essi è caratterizzata da una dimensionelongitudinale prevalente rispetto allo spessore, inoltre si forma a partire daun bordo di uscita aguzzo (il bordo di uscita del profilo). Per i problemidi interesse allora i fenomeni legati al rotore della velocità saranno confinatiall’interno della scia, che costituirà il taglio del dominio precedentementeintrodotto: taglio di cui si conosce il punto di distacco, e che servirà quin-di per descrivere una corrente che contiene anche della vorticità attraversol’equazione di Laplace.

1.5 Condizioni al contorno per la scia

Perchè l’equazione di Laplace possa essere risolta occorre fornire anche dellecondizoni al contorno sulla scia, la cui posizione inoltre è incognitae deve es-sere ricavata essa stessa come parte della soluzione. Per risolvere il problemasi ricorre alle leggi di conservazione della massa e della quantità di moto informa integrale.6

Prendendo due punti P1 e P2 a cavallo della scia e facendoli tendere a questa,dall’equazione di conservazione della massa si ottiene:

∂φ

∂n

∣∣∣∣1

=∂φ

∂n

∣∣∣∣2

(1.50)

ovvero: la derivata del potenziale in direzione ortogonale alla scia deve es-sere continua; nel caso in cui il flusso sia anche stazionario, la discontinuitàcostituisce anche una linea di corrente: ne segue allora che

∂φ

∂n

∣∣∣∣ = 0 (1.51)

non potendoci essere flusso di massa in direzione ortogonale ad una linea dicorrente.Dalla continuità della derivata normale del potenziale e dall’equazione di

6Il potenziale attraverso la scia è discontinuo e quindi non può essere utilizzata la formadifferenziale.

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conservazione della quantità di moto inoltre si ritrova che anche la pressionedeve essere continua a cavallo della scia:

p1 = p2 (1.52)

Applicando il teorema di Bernoulli dalla (1.52) è possibile ottenere unacondizione al contorno sul potenziale; indicando con ∆φ = φ1−φ2 il salto dipotenziale a cavallo della scia si ottiene:

∂∆φ

∂t+ Vs · ∇∆φ = 0 (1.53)

dove:

Vs =∇φ1 +∇φ2

2è detta velocità sulla scia (1.54)

In altre parole, si ha una condizione di trasporto per la discontinuità. Nelcaso particolare di moto stazionario questa condizione mostra che il salto dipotenziale ∆φ si mantiene costante sulla scia

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Capitolo 2

I metodi a singolarità virtuali

Sono metodi utilizzati tipicamente per il caso stazionario incomprimibile econsistono nel rappresentare il corpo tramite una distribuzione di singola-rità, o una combinazione lineare delle stesse1 (sorgenti, pozzi dipoli, etc)di intensità incognita, funzione però delle condizioni al contorno relativeal corpo aerodinamico. Le soluzioni semplici dell’equazione di Laplace chedeterminano dette singolarità sono tipicamente le seguenti:

• La corrente uniforme dove, detta v∞ la velocità asintotica, si ottiene(si veda rigura 2.1):

φ(x, y) = u∞x+ v∞y (2.1)

ψ(x, y) = u∞y − v∞x (2.2)

• La sorgente dove, detta q la portata di massa emessa da una sorgenteposta nell’origine degli assi, r la distanza da essa e θ la relativa posizioneangolare, si ha (si veda figura 2.2):

φ(r, θ) =q

2πlog r (2.3)

ψ(r, θ) =q

2πθ (2.4)

1Avendo un’equazione alle derivate parziali lineare, si può applicare il principio disovrapposizione degli effetti.

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2. I metodi a singolarità virtuali

• Il vortice che costituisce il campo di moto duale a quello della sorgente;detta Γ l’intensità (circolazione) di un vortice posto nell’origine degliassi, si ha:

φ(r, θ) =Γ

2πθ (2.5)

ψ(r, θ) = − Γ

2πlog r (2.6)

• La dipolo o dipolo, consistente nella sovrapposizione di una sorgentee di un pozzo di eguale intensità q, posti ad una distanza d che vienefatta tendere a zero in modo tale che il prodotto µ = qd, che costituiscel’intensità della dipolo, si mantenga finito. Si ottiene (si veda figura2.3):

φ(r, θ) = − µ

2π

cos θ

r(2.7)

ψ(r, θ) =µ

2π

sin θ

r(2.8)

Figura 2.1: Potenziale e linee di corrente per la corrente uniforme

Considerando un corpo aerodinamico, per quanto visto nella sezione 1.5,affinchè la velocità del dorso e quella del ventre siano eguali al bordo di uscita,è necessario introdurre una vorticità sul profilo, attraverso una singolarità ditipo vortice: questo farà si che il corpo sia di tipo prtante; dovendosi inoltreconservare la vorticità nel campo di moto e considerando di essere partiti

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Figura 2.2: Potenziale e linee di corrente per la sorgente

Figura 2.3: Potenziale e linee di corrente per il dipolo

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da uno stato di quiete in cui sicuramente la vorticità è nulla, dovrà esisterefra il corpo e l’infinito a valle dello stesso una vorticità di intensità ugualee contraria a quella presente sul corpo: questa vorticità è costituita dallascia. Detta ξ la distribuzione del vettore vorticità e Q il generico punto doveè generata la vorticità, la velocità indotta da tale distribuzione può esserecalcolata mediante la legge di Biot-Savart:

V (P ) =1

4π

∫ ∫ ∫V

ξ × rPQ‖rPQ‖3

dV (2.9)

che costituisce un integrale di convoluzione. Grazie alla linearità dell’op-eratore di Laplace è poi possibile costruire la soluzione desiderata semplice-mente combinando le soluzioni fondamentali ed imponendo il soddisfacimentodelle condizioni al contorno.

Esempio 1 Si voglia ricavare l’andamento della corrente attorno ad un profilo alare portante: si dis-tribuiranno sulla stessa delle sorgenti che forniranno l’andamento dello spessore e delle dipoli per far si cheil corpo risulti di forma chiusa. Le uniche incognite del problema sono costituite dalle intensità delle sin-golarità virtuali, incognite che saranno determinate dall’imposizione della condizione di non penetrazionesul contorno del profilo.

2.1 Il metodo della funzione di Green

Si consideri l’equazione di Poisson, generalizzazione dell’equazione di Laplace:

∇2φ = g(r) (2.10)

Essendo un’equazione lineare, sarà possibile applicare il principio di sovrap-posizione degli effetti ed esprimere la soluzione nel generico punto r0 comesomma di due contributi, uno relativo al termine noto g con condizioni alcontorno omogenee ed uno relativo alle condizioni al contorno con terminenoto nullo:

φ(r0) =

∫V

G(r0, r)g(r)dV + φ(r0) |BC (2.11)

dove la funzione G, che compare nell’integrale di convoluzione è dettafunzione di Green e costituisce la funzione di influenza che esprime il valore

20


del potenziale in un punto in funzione della causa che lo ha generato in unaltro punto; tale funzione è per ora indeterminata.

Si considerino ora i seguenti problemi:

∇2G = δ(r − r0) (2.12)

∇2φ = g (2.13)

Si moltiplichi la (2.12) per φ, e la si sottragga alla (2.13) moltiplicata perG; integrando:

∫V

(G(r0, r)∇2φ(r)− φ(r)∇2G(r0, r)

)dV

=

∫V

G(r0, r)g(r)dV −∫V

φrδ(r − r0)dV (2.14)

poichè:

φ∇2G = ∇ · (φ∇G)−∇φ · ∇G G∇2φ = ∇ · (G∇φ)−∇φ · ∇G

utilizzando il teorema della divergenza si ottiene infine:

Eφ(r0) =

∫V

G(r0, r)g(r)dV +

∫∂V

(φ(r)

∂G(r0, r)

∂n− G(r0, r)

∂φ(r)

∂n

)dS

(2.15)

Dove il primo termine a secondo membro rappresenta l’effetto dovuto altermine g, mentre il secondo termine a secondo membro rappresenta il con-tributo legato alle condizioni al contorno del problema. Il termine E chemoltiplica il membro di destra è tipico dei problemi aerodinamici ed assume

i seguenti valori:0 all’interno del corpo1 nella zona in cui è presente il fluido12

sul contorno del corpo

Osservazione 2 Nel termine di bordo:∫∂V

(φ(r)

∂G(r0, r)∂n

− G(r0, r)∂φ(r)∂n

)dS (2.16)

21


si conoscerà rispettivamente o il potenziale o la sua derivata dalle condizioni al

contorno: ne segue che uno dei due termini rimane indefinito. Se il contorno è di

forma semplice e descrivibile analiticamente è possibile selezionare una particolare

funzione di Green G che annulli il contributo incognito.

Considerando, per semlicità, il caso r0 = 0, si ottiene per la funzione diGreen:

G =ln(r)

2πper il caso 2D (2.17)

G = − 1

4πrper il caso 3D (2.18)

2.1.1 Applicazione della formula di Green al problema

aerodinamico

La formula di green appena introdotta vale per un punto r0 interno al do-minio di integrazione: sembrerebbe allora impossibiler applicare questa tec-nica risolutiva al caso aerodinamico, dove il dominio è di dimensione infini-ta e caratterizzato dal campo di moto esterno al profilo aerodinamico concondizioni al contorno sia sul corpo che all’infinito.

Figura 2.4: Dominio di integrazione per la funzione di Green (Da ....)

Si consideri il contorno rappresentato in figura 2.4 e vi si applichi laformula di Green: si può osservare che il contorno l viene percorso due volte insenso opposto, per cui non fornirà alcun contributo. L’integrale sul contorno

22


S∞ è non nullo, tuttavia può tendere ad un valore costante. Grazie allalinearità dell’equazione del potenziale, si può definire una nuova grandezza,detta potenziale di perturbazione:

ϕ(r0) = φ(r0)− V∞ · r0 (2.19)

che si annulla all’infinito (e quindi non dà contributo su S∞) e che è del tuttoequivalente a calcolare φ Si può così utilizzare la formula di Green, essendosiricondotti a soli integrali sul corpo aerodinamico:

ϕ(r0) =

∮S1

(ϕ∂G∂n− G ∂ϕ

∂n

)dS (2.20)

∂ϕ

∂n= −V∞ · n su S1 (2.21)

Alternativamente, considerando che all’infinito l’effetto del corpo è trascur-abile per cui:

φ(r0) =

∮S∞

(φ∂G∂n− G ∂φ

∂n

)dS = V∞ · r0 (2.22)

che rappresenta la soluzione esatta della corrente indisturbata, è possibileesprimere la soluzione sul potenziale come:

φ(r0) =

∮S1

(φ∂G∂n− G ∂φ

∂n

)dS + V∞ · r0 (2.23)

Si è interessati al caso di profili portanti, profili cioè che sono in grado digenerare una forza aerodinamica. Per la definizione di corpo aerodinamico,la scia sarà di spessore infinitesimo, si staccherà dal bordo di uscita ed inessa sarà concentrata tutta la vorticità attraverso la quale il corpo generaportanza. La regione costituita dalla scia si trova dunque all’esterno deldominio di itegrazione e la formula di Green, valutata lungo il contorno dellascia, darà contributo non nullo; tuttavia, essendo questo contorno percorsodue volte in senso opposto come accadeva prima per il contorno l, ed essendoil potenziale discontinuo a cavallo, ne seguirà che:

ϕ(r0) =

∮S1

(ϕ∂G∂n− G ∂ϕ

∂n

)dS +

∫Sw

∆ϕ∂G∂n

dS (2.24)

23


Avendo indicato con Sw il contorno costituito dalla scia. Nel caso 2Dstazionario l’espressione del potenziale assume un’espressione più semplice,essendo ∆φ costante lungo la linea di corrente costituita dalla scia; intro-ducendo la funzione, continua lungo la scia:

ϕ2(r0) = φ(r0)− V∞ · r0 −∆φ

2πθ (2.25)

è possibile ancora utilizzare la formula di Green estesa al solo contornoS1.

24

Capitolo 3

I metodi a Pannelli

La formula di Green risulta particolarmente utile nelle applicazioni numerichequando il contorno del corpo non è descrivibile analiticamente, come spessoaccade per i profili aerodinamici: è infatti possibile esprimere la soluzionein funzione di integrali estesi alla sola frontiera del dominio di integrazione.Sulla funzione di Green si basa una recente categoria di metodi numerici,detti metodi a pannelli. Si cominci con l’osservare che la formula di Greencostituisce una generalizzazione dei metodi a singolarità virtuali; consideran-do infatti un corpo non portante, ad esempio nel caso tridimensionale, e lafunzione di Green definita nella (2.18) per un punto che non appartiene alcontorno del corpo (⇒ E = 1) si ha:

φ(r0) =1

4π

(∫∂V

φ∂ 1

r

∂ndS −

∫∂V

1

r

∂φ

∂ndS

)(3.1)

Il primo termine rappresenta il potenziale generato da una dipolo di inten-sità φ, mentre il secondo termine rappresenta il potenziale generato da unasorgente di intensità ∂φ

∂n. Analizzando la (2.24), si può notare che nel caso

di un corpo portante è presente un termine aggiuntivo costituito da una dis-tribuzione di dipoli lungo la superficie della scia di intensità pari a ∆φ; conla formula di Green è dunque possibile rappresentare anche il campo di motoattorno ad un corpo portante, a patto di distribuire lungo la scia una dis-tribuzione di dipoli, equivalente ad uno strato vorticoso: si può così riuscire

25

3. I metodi a Pannelli

a costruire una formulazione di potenziale che contempla la presenza di unostrato vorticoso di spessore infinitesimo all’interno del campo di moto.

Osservazione 3 Una rappresentazione alternativa dello strato vorticoso può es-

sere ottenuta sostituendo la distribuzione di dipoli lungo la scia con una dis-

tribuzione di vortici; questa seconda tecnica sarà alla base del metodo di Morino,

che verrà introdotto nella sezione 3.2.

Si può pensare di discretizzare il corpo aerodinamico in N pannelli retti-linei e porre su questi delle sorgenti, dando localmente una distribuzione nota(tipicamente costante per il caso subsonico), ma dipendende da un certo nu-mero di parametri incogniti. Per ottenere un corpo portante, occorrerà infineaggiungere delle incognite ulteriori costituite da dipoli o vortici, sempre diintensità incognita. Ne segue che gli integrali che compaiono nella (2.24) po-tranno esere calcolati analiticamente e costituiranno la matrice di un sistemalineare. Per chiudere il problema occorre determinare il vettore dei termininoti per le N + 1 equazioni nelle N + 1 incognite:1 a questo fine si utilizzer-anno le N equazioni che impongono la condizione di non penetrazione più lacondizione di regolarità al bordo di uscita (condizione di Kutta); supponendoche la numerazione dei pannelli sia tale per cui il primo e l’ultimo pannellosono quelli del bordo di uscita, il tutto si traduce nelle seguenti condizioni:

Vi · ni = 0 i = 1, .., N (3.2)

V1 · t1 = VN · tN (3.3)

Si introducono adesso i due metodi a pannelli più utilizzati nel campoaerodinamico: il metodo di Hess e Smith, che costituisce un metodo inverso,in quanto risolve un sistema le cui incognite sono le intensità delle singolaritàvirtuali sui pannelli; il metodo di Morino che costituisce un metodo diretto,ovvero un metodo la cui incognita primaria è proprio il potenziale.

1Si sta considerando per semplicità il caso di una distribuzione di potenziale costantesul pannello; nel caso di una distribuzione, ad esempio, lineare tale per cui le incognitesono 2 per pannello, si potrà imporre ad esempio la continuità del potenziale.

26


3.1 Il metodo di Hess e Smith

Il metodo di Hess e Smith è un metodo del tipo a pannelli basato sull’ipotesidi assumere nullo il potenziale relativo ai termini di dipolo e di descriverel’effetto portante attraverso una distribuzione di vortici sul contorno del cor-po, essendo chiaramente descritto l’effetto dello spessore mediante termini disorgente. Il potenziale in un generico punto del campo di moto potrà dunqueessere scomposto in tre contributi:

φ(r0) = φ∞(r0) + φs(r0) + φv(r0) (3.4)

relativi rispettivamente alla corrente asintotica, alla distribuzione di sor-genti ed alla distribuzione di vortici. Detto α l’angolo di incidenza fra la cor-rente indisturbata ed il profilo e considerando per semplicità il caso bidimen-sionale, le espressioni per ciascun contributo del potenziale sono le seguenti(cfr. cap.2):

φ∞(r0) = V∞ (x0 cosα + y0 sinα) (3.5)

φs(r0) =1

2π

∮q(s) log |r − r0|ds (3.6)

φv(r0) = − 1

2π

∮γ(s)θds (3.7)

dove le distribuzioni di intensità γ(s) e q(s) sono incognite e dipenderannodalle condizioni al contorno. Si consideri ora la suddivisione del profilo inpannelli rettilinei come figura 3.1; si supponga inoltre per semplicità che suogni pannello l’intensità q(s) delle sorgenti sia costante e che su tutto il corposi abbia un’intensità di vortice costante e pari a γ; il potenziale nel genericopunto r0 del campo di moto sarà pari a:

φ(r0) = V∞ (x0 cosα + y0 sinα) +1

2π

N∑j=1

∫pann.j

(qj log |r − r0| − γθ) ds

(3.8)

Espressione valutabile analiticamente e funzione degli N + 1 valori qj e γ.Per determinare le intensità incognite ci si serve delle condizioni al contorno;

27


Figura 3.1: Pannellizzazione del profilo

scegliendo come punti di controllo i punti medi di ciascun pannello e detta nila relativa normale, si ottengono le N relazioni : Vi · ni = 0; per l’incognitaN + 1 si utilizza invece la condizione di Kutta che, nel caso in cui il primoe l’ultimo pannello vadano a cadere sul bordo di uscita, porta alla seguente:V1 · n1 = VN · nN dove ti è la tangente all’i−esimo pannello.Si scomponga ora la velocità nel punto di controllo del generico pannello inelle sue componenti orizzontale e vericale:

ui = V∞ cosα +N∑j=1

qjusij + γN∑j=1

uvij (3.9)

vi = V∞ sinα +N∑j=1

qjvsij + γN∑j=1

vvij (3.10)

dove con le quntità fgij rappresentano i coefficienti di influenza, ovvero lacomponente di velocità orizzontale\vericale prodotta nel punto di controllodel pannello i da una distribuzione unitaria di singolarità posta sul pannelloj e dipendono esclusivamente dalla geometria del problema e possono esserecalcolati una volta per tutte. Per quanto riguarda il termine sorgente, siottiene per le componenti di velocità in coordinate cartesiane:

us =1

2π

x

x2 + y2(3.11)

vs =1

2π

y

x2 + y2(3.12)

Passando, per comodità, ad un sistema di coordinate locali per il pannello

28


Figura 3.2: Pannello j-esimo visto dal punto di controllo del pannello i-esimo

j − esimo:

uj = u∗j cos θj − v∗j sin θj (3.13)

vj = u∗j sin θj + v∗j cos θj (3.14)

dove per il significato dei simboli si faccia riferimento alla figura 3.2, edindicando nel nuovo sistema di riferimento con (x∗, y∗) le coordinate del puntodi controllo del pannello i−esimo, si ottiene:

u∗sij =1

2π

∫ lj

0

x∗ − t(x∗ − t)2 + y∗2

dt = − 1

2πlog√

(x∗ − t)2 + y+2

∣∣∣∣t=ljt=0

= − 1

2πlog

rij+1

rij(3.15)

v∗sij =1

2π

∫ lj

0

y∗

(x∗ − t)2 + y∗2dt = − 1

2πarctan

x∗ − ty∗

∣∣∣∣t=ljt=0

=βij2π

(3.16)

In maniera analoga per il vortice:

u∗vij = −βij2π

(3.17)

v∗vij = − 1

2πlog

rij+1

rij(3.18)

29


Assemblando la matrice dei coefficienti ed il termine noto si ottiene infine:[Aqq Aqγ

Aγq Aγγ

]{q

γ

}=

{bq

bγ

}(3.19)

Si possono ora determinare le prestazioni del profilo a patto di determinareprima per ogni pannello la componente tangenziale di velocità:

Vi · ti = V∞ cos(θi − α)

+N∑j=1

qj2π

(sin(θj − θi)βij − cos(θi − θj) log

rij+1

rij

)

+γ

2π

N∑j=1

(sin(θj − θi) log

rij+1

rij+ cos(θi − θj)βij

)(3.20)

Il coefficiente di pressione, valutato sul singolo pannello nel punto di controllovale:

cp(xi, yi) = 1−(Vi · tiV∞

)2

(3.21)

da cui è possibile ricavare la forza aerodinamica, andando ad integrarelungo il contorno.Si può ripetere il calcolo per un’incidenza diversa semplicemente ricostruendoil termine noto, rimanendo invariata la matrice dei coefficienti.

3.2 Il metodo di Morino nel caso stazionario

Come il metodo di Hess e Smith anche il metodo di Morino è un metodo deltipo a pannelli in cui però si determina il potenziale φ sul corpo aerodinamicorisolvendo un sistema di equazioni in cui l’icognita è il potenziale stesso.Anche il metodo di Morino è basato sulla formula di Green e consiste in unpassaggio al limite nel far tendere il generico punto r0 del campo di moto algenerico punto rc del contorno; diversamente dal metodo di Hess e Smith,questo metodo è basato su singolarità del tipo sorgenti e dipoli. Si considerila (??) con il termine g = 0 e si scompongano gli integrali in una parte Sw

30


relativa alla scia ed in una parte Sb relativa al corpo. Si ricordi inoltre chela scia costituisce una linea di flusso, ovvero: V · n|Sw = 0 ⇒ ∂φ

∂n

∣∣Sw

= 0,avendo allineato la scia con la corrente asintotica V∞, parallela all’asse x,per semplificare le espressioni che seguiranno. Per quanto riguarda l’integralelungo la scia si ottiene:∫

Sw

(φ(r)

∂G(r0, r)

∂n− G(r0, r)

∂φ(r)

∂n

)dS =

=

∫Sw

∆φ(r)∂G(r0, r)

∂n(3.22)

Inoltre la scia non deve produrre portanza, il che si traduce nella seguenterelazione:

∆cp|Sw = 0 cp = −2∂φ

∂x⇒ −2

∂∆φ

∂x

∣∣∣∣Sw

= 0⇒ ∆φ|Sw = f(y) (3.23)

avendo indicato con y la coordinata in apertura. Come si vede, il salto dipotenziale sulla scia varia solo in apertura, essendo costante nella direzionedella corrente asinotica: ne segue che il salto sarà eguale a quello che si hasul bordo d’uscita: ∆φ|Sw = ∆φBU ; inoltre, per la circolazione:

Γ =

∮S

∂φ

∂sds =

∮dφ = ∆φBU (3.24)

Osservazione 4 Nel caso non stazionario il salto di potenziale è retto da un’e-

quazione evolutiva, facendo dipendere così la soluzione dalla storia passata; in par-

ticolare non varrà più la relazione ∆φ|Sw = ∆φBU . Tipicamente questo è affrontato

mediante la trasformata di Fourier per la variabile temporale; questo argomernto

però esula dalle presenti note.

Osservazione 5 Nel caso comprimibile stazionario l’equazione per il potenziale

assumerebbe la forma:

(1−M2∞)

∂2φ

∂x2+∂2φ

∂y2+∂2φ

∂z2= 0 (3.25)

31


Nel caso subsonico è possibile ricondursi nuovamente all’equazione di Laplace at-

traverso la trasformazione di Prandtl-Glauert:

X =x√

1−M2∞

Y = y Z = z (3.26)

ed utilizzare nuovamente la teoria sviluppata finora per il caso incomprimibile,

avendo sempre a che fare con un’equazione differenziale di tipo ellittico.

Si ottiene infine:1

2φ(r0) =

∫SB

(φ(r)

∂G(r0, r)

∂n− G(r0, r)

∂φ(r)

∂n

)dS

+

∫Sw

∆φBU(r)∂G(r0, r)

∂ndS (3.27)

Applicando ora la stessa pannellizzazione di figura 3.1 la (3.27) diventa:

1

2φi =

N∑k=1

∫SBk

(φk∂G(ri, r)

∂n− G(ri, r)

∂φk∂n

)dS

+

∫Swk

∆φBUk∂G(ri, r)

∂ndS (3.28)

Considerando, per semplicità, il caso in cui il potenziale e la sua derivatanormale siano funzioni costanti su ogni pannello e pari al valore al centro delpannello stesso, si possono portare fuori dal segno di integrale, ottenendo:

1

2φi =

N∑k=1

φk

∫SBk

∂G∂n

dS −N∑k=1

∂φk∂n

∫SBk

GdS +N∑k=1

∆φBUk

∫Swk

∂G∂n

dS

(3.29)

che porta al seguente sistema lineare:

1

2{φ} = [D] {φ}+ [Z]

{∂φ

∂n

}(3.30)

Si può notare, andando a sostituire la funzione di Green, che la matrice[D] rappresenta dei termini di dipolo, mentre la matrice [Z] rappresenta deitermini di sorgente. Raccogliendo i termini comuni si ottiene infine:

[Y ] {φ} = [Z]

{∂φ

∂n

}(3.31)

32


dove il termine a secondo membro è determinato mediante le condizioni alcontorno sul potenziale relative alla non compenetrazione.

Per calcolare ora le azioni aerodinamiche, noto il potenziale, si intro-duce una matrice di differenziazione [d] lungo la direzione x dopodichè, dallaformula per il coefficiente di portanza, si ottiene:

{cpi} = [d] [Y ]−1 [Z]

{∂φ

∂n

}(3.32)

ottenedo direttamente l’espressione per i carichi aerodinamici.

3.2.1 Alcune osservazioni sulle matrici D e Z

Si è detto che la matrice D rappresenta dei termini di dipolo, parte del corpoe parte della scia. Si scomponga allora:

[D] = [DB] + [DW ] (3.33)

Per quanto riguarda il termine [DW ], questo dipenderà in generale da comeè pannellata la scia; poichè ∆φBU varia solo in apertura, si può pensare dipannellizare la scia con pannelli molto allungati nella direzione del moto;inoltre, nella matrice [D] il contributo relativo alla scia si fa sentire solo neipannelli corrispondenti al bordo di uscita.Per quanto riguarda la matrice [Z], andando a sostituire ad esempio la fun-zione di Green per il caso tridimensionale, è possibile notare che facendotendere a zero lo spessore l’integrale che contribuisce alla generazione di det-ti termini tende ad annullarsi, portando ad un’equazione (e quindi ad unsistema) singolare: ne segue che il metodo di Morino può essere applicatosolo per corpi di spessore finito, mentre nel presenta un comportamento sin-golare per corpi di spessore nullo come le superfici portanti. Si è tuttavianotato che può comunque essere utilizzato per la simulazione di superficiportanti, a patto di utilizzare uno spessore fittizio abbastanza sottile.

33

Capitolo 4

Altri metodi numerici per

l’aerodinamica

Per studiare l’aerodinamica dell’ala oltre ai metodi appena introdotti ne es-istono di semplificati, che forniscono solamente la distribuzione della differen-za del coefficiente di portanza ∆cp fra dorso e ventre, ma non la distribuzioneche lo genera. Qualora si consideri l’ala come una superficie bidimension-ale si utilizzeranno metodi detti a superficie portante, mentre se questa èschematizzata con una linea, il metodo sarà detto a linea portante.

Si consideri una generica alla e si faccia tendere a zero lo spessore: siottiene una superficie in cui le condizioni al contorno sopra e sotto dettasuperficie differiranno solo per il segno. inoltre, considerando la formulazio-ne del problema con la funzione di Green si otterrà per il caso stazionarioun’equazione integrale della forma:

α(x, y) =

∫S

K(x, y, ξ, η,M∞)∆cp(ξ, η)ds (4.1)

dove la funzione K(x, y, ξ, η,M∞) costituisce il nucleo dell’equazione inte-grale (funzione di influenza) che lega l’incidenza alla distribuzione del caricoaerodinamico. Si osservi che in K è compreso anche il contributo dovuto allascia.

Per risolvere numericamente il problema è possibile utilizzare un metodoa singolarità virtuali.

35

4. Altri metodi numerici per l’aerodinamica

4.1 La linea portante-schema di Weissinger

Si discretizzi l’ala attraverso una distribuzione discreta di vortici a staffacome indicato in figura 4.1

Figura 4.1: Pannellizzazione per la linea portante

I vortici vanno posti al 25% della corda (centro aerodinamico) e si esten-deranno all’infinito. Per ottenere la velocità indotta nel generico punto Pad opera questi vortici, si utilizza la legge di Biot-Savart, che per un filettovorticoso di lunghezza l e intensità Γ assume la seguente forma:

v(P ) =

∫l

dl× rPO‖rPO‖3

(4.2)

rPO =−−−−−→(P −O), O ∈ l (4.3)

Osservazione 6 Passando alle coordinate polari nella (4.2) si trova l’espressione

per la parte di vortice che si estende all’infinito.

Per chiudere il problema ci si serve delle condizioni al contorno, scegliendocome punto di collocazione il punto posto al 75% della corda alare (punto diincidenza equivalente):

v · n = (v + V∞) · n = 0 (4.4)

Osservazione 7 Nel caso in cui si abbia un’ala rettangolare si può utilizzare un’u-

nico vortice trovando lo stesso risultato della teoria della linea portante di Prandtl,

mentre nel caso in cui si abbia un’ala a freccia questa teoria prende il nome di Teo-

ria di Weissinger. In generale, pur avendo un’ala a pianta rettangolare, è possibile

utilizzare più di un vortice, ottenendo una distribuzione discreta di portanza.

36


4.2 La superficie portante

Nel seguito verranno analizzati due schemi di superficie portante: il Vortex-Lattice method, che costituisce un’estensione dello schema di Weissinger e laPiston Theory, che trova applicazione in campo supersonico.

4.2.1 Il Vortex-Lattice Method

Si può pensare di estendere la teoria della sezione 4.1, considerando l’alacone costituita da pannelli sia in apertura sia in corda, su cui sono collocatidei vortici a staffa, come rappresentato in figura 4.2, solo che questa voltai vortici ed i punti di controllo saranno rispettivamente al 25% ed al 75%

del pannello stesso. Anche in questo caso il sistema risolvente si ottieneimponendo v · n = 0 negli N punti di collocazione.

Figura 4.2: Pannellizzazione per la superficie portante

Si ottiene il seguente sistema lineare:

1

V∞{vn} =

1

V∞[GΓ · n] {Γ} (4.5)

GΓ · n =1

4π

∫l

dl× rPO‖rPO‖3

(4.6)

Ricordando che su ogni pannello la vorticità Γi è costante si ottiene ilseguente legame fra la circolazione e la portanza prodotta:

L = ρV∞Γb =1

2ρV 2∞Si∆cp (4.7)

⇒ Γ =1

2V∞

(Sibi

)∆cp (4.8)

37


dove Si è la superficie del singolo pannello e b la larghezza del vortice a staffa.Andando a sostituire nella (4.5) si ottiene infine il legame cercato:

{α} = [A] {∆cp} (4.9)

[A] =1

2[GΓ · n]

[(S

b

)ii

](4.10)

Considerando ora un’ala a bassa incidenza ed a bassa curvatura di lineamedia, la condizione al contorno per il pannello i− esimo diventa:

vi · ni = wi − vi tan Λ + V∞

(α−

(∂z

∂x

)lmi

)= 0 (4.11)

dove α rappresenta l’angolo di incidenza,(∂z∂x

)lmi

rappresenta la pendenzalocale della linea media, Λ rappresenta l’angolo di diedro, vi la componentedi velocità in direzione dell’apertura e wi la velocità in direzione ortogonalealla superficie. Dividendo la (4.11) per V∞ si ottiene il termine noto delsistema:

αi =viV∞

tan Λ +

(α−

(∂z

∂x

)lmi

)= 0 (4.12)

4.2.2 La Piston Theory

La piston Theory è un metodo a superficie portante utilizzato per flussisupersonici quando M∞ > 2 e consiste nel considerare una perturbazione dipressione rispetto al valore asintotico del tipo:

p = ρ∞c∞vn (4.13)

dove c∞ è il valore asintotico della velocità del suono. Questa teoria sibasa sul considerare l’ala come costituita da una serie di pistoni affiancatiposti in direzione normale alla superficie alare che non si influenzano fra loro;1

1Quest’ultima ipotesi giustifica la condizione di applicabilità per M∞ > 2: perché ipistoncini siano indipendenti si deve avere un cono di Mach di ampiezza nulla e per ilvalore suddetto è abbastanza stretto da rendere accettabili i risultati su cui si basa questateoria.

38


il coefficiente di portanza e l’incidenza avrnno la seguente forma:

cp =p

12ρ∞V 2

∞=

2

M∞

vnV∞

(4.14)

α =vnV∞

(4.15)

da cui:

∆cp = 2cp =4

M∞α (4.16)

39

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Motidiﬂuidoidealeirrotazionale: metodologiedisoluzione · Introduzione La risoluzione delle equazioni che regolano il campo di moto di un ﬂuido è un problema non risolvibile