Moto di cariche in un campo magnetico L.S.G. Oberdan C.Pocecco Moto di cariche in B pag. 1 La seguente presentazione è stata ideata per offrire agli studenti

Moto di cariche in un campo magnetico

L.S.”G. Oberdan” C.Pocecco Moto di cariche in B pag. 1

La seguente presentazione è stata ideata per offrire agli studenti una sintesi dei più importanti fenomeni riguardanti l’elettromagnetismo.

La presente non deve sostituirsi al testo, che va studiato accuratamente, ma intende focalizzare l’attenzione sui concetti più importanti.

Le immagini ed il testo sono stati reperiti in rete o sono stati modificati da libri per i licei scientifici o per l’Università e vengono utilizzati per l’elevato contenuto didattico.



Interazioni tra magneti e correnti elettriche

Forza magnetica su una carica elettrica e su una corrente elettrica

Definizione operativa di campo magnetico

Forza elettromagnetica

Forza di Lorentz

Spettrometro di massa

Acceleratori di particelle: ciclotrone e sincrotrone

Effetto Hall

Tubo catodico e scoperta dell’elettrone

2. Interazione magnete – corrente elettrica


L'esperienza di Oersted dimostra che:

Interazione corrente – magnete:Una corrente elettrica agisce – tramite il suo campo magnetico nello spazio circostante – esercita una forza su un ago magnetico.

Per un principio di simmetria, spesso soddisfatto dalle leggi fisiche, ci si aspetta anche il viceversa:

Interazione magnete – corrente:Anche un magnete agisce su una corrente:Un campo magnetico, generato ad esempio da un magnete – possa agire su un cariche elettriche in moto (o correnti elettriche), esercitando una forza sulla corrente.

Corrente Campo magnetico

Spira Magnete

Ipotesi di Ampère sulle correnti elettriche


L’origine del campo magnetico è dovuto alle cariche elettriche in movimento.

Pertanto:Il campo magnetico di una spira percorsa da corrente è analogo al campo generato da barra magnetica.

La spira si comporta come un magnete, i cui poli coincidono con le due facce.

Un osservatore che guarda una spira percorsa da corrente vede la faccia Nord se egli vede circolare la corrente in verso antiorario o vede la faccia Sud, se egli vede circolare la corrente in verso orario.

Equivalenza spira - magnete



In un tubo catodico un fascetto di elettroni viene sparato dal catodo verso uno schermo fluorescente. Se non ci sono campi elettrici o magnetici, il fascetto prosegue diritto e colpisce la parte centrale dello schermo, provocando un puntino fluorescente

Forza magnetica su una carica elettrica (1)


Se si avvicina al tubo catodico, perpendicolarmente al fascio, una calamita a barra, prima dalla parte del polo nord, poi da quella del polo sud, il fascio degli elettroni viene vistosamente spostato.

A differenza di quello che accade quando al tubo si avvicina una bacchetta elettricamente carica, gli elettroni non sono attratti o respinti dal magnete, ma deviati lateralmente, a seconda del polo che avviciniamo.

Esiste quindi una forza magnetica (dovuta al campo magnetico della calamita), ma, ancora una volta, questa forza non è attrattiva o repulsiva, ma è una forza deviante.

Una forza deviante cambia la direzione, ma non l'intensità della velocità degli elettroni. La forza magnetica non compie lavoro: l'energia cinetica delle cariche rimane invariata.



Sperimentalmente:si trova che la forza F che agisce su una carica elettrica q, a parità di velocità e di tipo di particella: la forza magnetica dipende fortemente dall'angolo con cui i protoni penetrano nel campo magnetico.Se le particelle viaggiano lungo le linee del campo, non risentono di alcuna forza, se viaggiano perpendicolarmente alle linee del campo, la forza è massima: esiste una proporzionalità tra forza e seno dell'angolo.

A parità di direzione e di tipo di particella, la forza è invece proporzionale alla velocità con cui il fascio viene sparato nel campo magnetico.

Come si può constatare, con le particelle alfa, la forza magnetica, nelle stesse condizioni di velocità, è doppia (e non quadrupla): questo porta a ipotizzare una proporzionalità tra forza e carica, piuttosto che una dipendenza dalla massa.sinvqF

Rimane da determinare il valore della costante di proporzionalità.



Per determinare operativamente l'intensità del campo magnetico, si misura la forza magnetica che, a differenza della forza elettrica, non dipende solo dalle cariche elettriche, ma anche dall’intensità e dalla direzione della velocità v:

con q carica elettrica, v velocità della carica, α angolo tra velocità e campo magnetico, k costante di proporzionalità

Consideriamo allora il caso in cui la forza magnetica è massima, quando cioè le particelle cariche penetrano perpendicolarmente nel campo magnetico (α = 90°). Si ha allora :

sinvqkFmagn

vqkF max

BvqF

La costante di proporzionalità è il vettore B campo magnetico.

Forza di Lorentz:

Definizione operativa di c. magnetico


Le dimensioni di B sono:

L’unità di misura nel S.I. è il tesla (T)

Si usa anche il gauss (G):

LiF

TL

q

FB

Cm

NsT

TG 4101

Definizione operativa di campo magnetico B

è un vettore la cui intensità B è data dal rapporto:

Le dimensioni fisiche del campo magnetico differiscono da quelle del campo elettrico per un fattore [velocità].

vq

FB max

L’equazione definisce implicitamente B:BvqF

Forza magnetica su correnti elettriche (1)


Analogamente al caso della forza magnetica esercitata dal campo su una carica elettrica q immessa nel campo:

Sperimentalmente:si trova che la forza F con cui un campo uniforme B agisce su una corrente i in un filo rettilineo:

è proporzionale all’intensità della corrente iè proporzionale alla lunghezza l del filo immerso nel campo è perpendicolare sia al campo che alla direzione della correnteè proporzionale al seno dell’angolo tra la direzione del campo e della corrente

Chiamiamo B la costante di proporzionalità:

sinliF

sinBliF

La forza tra correnti e magneti è un tipo nuovo di forza NON-NEWTONIANA



La forza F su una carica q in moto con velocità v in un campo magnetico B vale:

BvqFL

In una corrente in un conduttore abbiamo n cariche per unità di volume, quindi la forza per unità di volume Fv è:

BvnqFV

La forza totale F agente su un conduttore di lunghezza l e sezione S vale:

qnSvi

BvqnSlF

La forza agente su di un filo si può pensare come risultante delle forze elementari agenti su ognuna delle cariche in moto che costituiscono la correnteLa corrente i può scriversi:

BliF



Forza magnetica esercitata dal campo B su una corrente elettrica

Il vettore B definisce completamente il campo magnetico o di induzione magnetica.

Grazie a questa azione, si può usare anche un circuito “esploratore” percorso da corrente per rivelare un campo magnetico.

BliF

BldiF

Seconda legge di Laplace:per un filo di forma arbitraria e per un campo magnetico qualsiasi

Forza magnetica


BvqFL Verso di F:1. regola mano dx: se il pollice indica il verso della

velocità v e le altre dita il verso di B, il vettore Fmagnetica uscirà dal palmo della mano.

2. Regola di Fleming mano sx:Pollice: ForzaIndice: BMedio: Intensità corrente /Velocità v cariche elettriche q

NB: Con cariche negative il vettore qv ha verso opposto a quello della velocità:

o si mette il pollice nel verso opposto a quello della velocità

oppure si utilizza la mano sinistra invece della mano destra.

BliF

Definizione operativa di c. magnetico


Le dimensioni di B sono:

L’unità di misura nel S.I. è il tesla (T)

Si usa anche il gauss (G):

LiF

TL

q

FB

Cm

NsT

TG 4101

Definizione operativa di campo magnetico B

è un vettore la cui intensità B è data dal rapporto:

Le dimensioni fisiche del campo magnetico differiscono da quelle del campo elettrico per un fattore [velocità].

li

FB max

Anche l’equazione definisce implicitamente B:BliF

Principio di sovrapposizione


Principio di sovrapposizione:

Nel caso si abbiano diversi magneti o circuiti percorsi da corrente, ciascuno dei quali genera un campo magnetico.Si verifica sperimentalmente che:Il campo magnetico risultante è dato dalla somma vettoriale dei singoli campi:

n

jjtot BB

1

Forza elettromagnetica


Una particella carica che si trovi a passare in una zona di spazio dove sia presente un campo elettrico E e un campo magnetico B risente sia della forza elettrica, sia della forza magnetica. La forza totale è detta forza elettromagnetica (o forza di Lorentz).

BvqEqF OSS: Nell'espressione della forza elettromagnetica, compare la velocità che è una grandezza relativa al sistema di riferimento.

Poiché, per il principio di relatività, tutte le leggi della fisica sono invarianti per sistemi inerziali, il fatto che la forza em dipenda dalla velocità, cioè dipenda dal sistema di riferimento, sembra essere un punto critico. Nei sistemi di riferimento in cui la carica è in moto, essa è sottoposta alla forza magnetica, in quello solidale ad essa, questa forza sembra scomparire.

Con la relatività di Einstein si vedrà che anche i campi elettrici e magnetici dipendono dal sistema di riferimento e che possono trasformarsi l'uno nell'altro, essendo parte di un'unica realtà, il campo elettromagnetico.

Le 4 forze fondamentali


1. Forza gravitazionale,2. Forza elettromagnetica3. Forza nucleare debole4. Forza nucleare forte.

La forza em, rispetto a quella gravitazionale, è enormemente più intensa (dell'ordine di 1037).

La forza gravitazionale ha selettività nulla poichè coinvolge tutti i tipi di corpi, mentre la forza e.m. interessa solamente le particelle dotate di carica elettrica.

Si cerca di raggiungere una ulteriore unificazione, per arrivare ad un'unica forza di cui tutte le altre siano una manifestazione particolare. Questa unica ipotetica forza, responsabile di tutti i fenomeni naturali, è detta supergravità.

Moto di una carica in un c elettrico uniforme

L.S.”G. Oberdan” C.Pocecco Moto di cariche in E pag. 18

Una carica elettrica penetra in un campo elettrico E uniforme con una velocità vo:

La carica si muove come un proiettile in un campo gravitazionale. La carica è sottoposta ad una forza costante (in intensità, direzione e verso).

La traiettoria della carica è rettilinea: se la velocità è nulla o parallela al campo La traiettoria della carica è parabolica: se la velocità non è nella direzione del campo

Moto di una carica in un c elettrico uniforme


tmaqEF cos tm

qEa cos

Supponiamo di avere una caricaelettrica q di massa m immersain campo uniforme E.

m

qEa

dt

dv

tm

qEv dt

m

qEdv dt

m

qEdv

tm

qEv

dt

dy

dttm

qEdy dtt

m

qEdy

2

2

1t

m

qEy

Equazioneoraria del moto uniformementeaccelerato

2

2

1t

m

qEy

La traiettoria risultante è una parabola

Lungo asse x: moto rettilineo uniforme con velocità v0

Lungo asse y: moto uniformemente accelerato

Moto di una carica in un campo magnetico


Una carica che penetra in un campo magnetico costante è sottoposta alla forza magnetica solo se non viaggia parallelamente alle linee di campo.

In questo caso infatti la forza magnetica è nulla e il moto è rettilineo uniforme. Se la carica si muove perpendicolarmente alle linee di campo la traiettoria è circolare perché la forza si mantiene sempre perpendicolare alla velocità.

In generale la traiettoria sarà elicoidale (composizione di un moto rettilineo uniforme e di uno circolare).

Forza magnetica su una carica in moto (1)


Sperimentalmente si osserva che:

una carica elettrica in quiete posta in un campo magnetico NON subisce alcuna forza;una carica elettrica che si muove con una velocità v in una regione ove esiste un campo magnetico B subisce una forza avente:Modulo: proporzionale alla carica e alla componente della velocità perpendicolare al campo magnetico,Direzione: perpendicolare al piano definito dal vettore velocità della carica e dal campo magnetico, Verso: dato dalla regola della mano destra: il pollice dà il verso di FL (att.ne al segno della carica q!)

Forza di Lorentz (2)


BvqFL

La forza F su una carica q in moto con velocità v in un campo magnetico B:

Modulo di F = q v B sina

Se v // B: F = 0Se v B: F max

Tramite questa relazione è definibile l’unità di misura del campo magnetico:

nel S.I.: Tesla

Cm

NsB gaussT 4101



Consideriamo una particella di carica q in moto con vettore velocità v rispetto al vettore campo magnetico B .

La forza di Lorentz è sempre perpendicolare alla velocità.

BvqFL

vFLLavoro compiuto da FL è nullo

0 PotenzavFL

0 CEL FL non fa variare l’en. cinetica



BvqFL

FL fa variare la direzione della velocità, ma il modulo della velocità rimane costante

Quando una particella entra in un campo magnetico B, la

FL fa incurvare la traiettoria della particella.

Il campo magnetico non compie lavoro, pertanto il campo magnetico non induce una variazione di energia cinetica e quindi non cambia il modulo della velocità v:



1. )(uniformeBv

Se la carica q entra nel campo magnetico uniforme con direzione perpendicolare al campo, il vettore velocità cambia di direzione, ma il modulo resta costante.

Il moto risultante è circolare uniforme.

Moto circolare uniformeMoto circolare uniformeMoto circolare uniformeMoto circolare uniforme



)(uniformeBv Moto circolare uniforme

BvqFL

qvBr

mv

2

qB

mvr

Forza centripeta fornita dalla FL

Raggio dell’orbita costante poiché v è costante. Traiettoria: cerchio nel piano perpendicolare a B

qB

m

v

rT

22 Periodo

22

1

m

qB

TFrequenza, pulsazione

T, non dipendono da v:

Particelle con uguale q/m compiono un giro nello stesso periodo.

,

Bm

q Frequenza

ciclotronica



2. )(uniformeBnonv

Se la carica q entra nel campo magnetico uniforme con direzione non perpendicolare al campo, il vettore velocità può essere scomposto: in una componente parallela al campo (che non viene modificata): MOTO RETTILINEO UNIFORME con velocità v parallela in una componente perpendicolare al campo (che cambia direzione): MOTO CIRCOLARE UNIFORME dovuto alla Forza di Lorentz.Il moto risultante è MOTO ELICOIDALE (v parallela determina il passo dell’elica).

Moto elicoidaleMoto elicoidaleMoto elicoidaleMoto elicoidale



3. Moto di una carica in un c magnetico VARIABILE Moto a spiraleMoto a spiraleMoto a spiraleMoto a spirale

Se B è più intenso, il raggio della traiettoria è minoreSe B è più intenso, il raggio della traiettoria è minoreSe B è più intenso, il raggio della traiettoria è minoreSe B è più intenso, il raggio della traiettoria è minore

L.S.”G. Oberdan” C.Pocecco Moto di cariche in B

pag. 29

Bottiglia magnetica

Fasce di van AllenRaggi cosmici intrappolati dal campo magnetico terrestreAurore polari

3. Moto di una carica in un c magnetico VARIABILE: Bottiglia magnetica Fasce di van Allen


Aurora boreale


Applicazioni: 1.Spettrometro di massa (1)


Il campo B è UNIFORME.

Gli ioni vengono emessi da una sorgente S in direzione perpendicolare,

e vengono accelerati da d.d.p. continua V

Misura rapporto q/m di ioniSeparazione isotopica deglielementi



BvqFL

qvBr

mv

2

Vqmv 2

2

1

B uniformev perpendicolare a B:

Gli ioni vengono accelerati da d.d.p. continua V,Per il principio di conservazione dell’energia:



qB

mvr Br

m

qv

Vm

qv 22

VrBm

q

22

2

Ioni entrano con velocità v nella camera di separazione,dove B uniforme perpendicolare a v.

Gli ioni descrivono semicirconferenze di

raggio:

Rapporto q/m:

Vqmv 2

2

1

Separazione isotopica degli elementi

Applicazioni: 2.Acceleratori di particelle (1)


L'azione dei campi magnetici sulle particelle cariche, ha notevoli applicazioni, tra cui gli acceleratori di particelle utilizzati nei grandi centri di ricerca: ad esempio il CERN di Ginevra.



Il primo acceleratore di questo tipo fu il ciclotrone (1932) inventato dal fisico Ernest Orlando Lawrence ed è usato ancora oggi in medicina, per la cura dei tumori.

Un ciclotrone è una macchina usata per accelerare fasci di particelle elettricamente cariche (normalmente ioni leggeri).Utilizza una corrente alternata ad alta frequenza ed alta tensione (105 V), in associazione con un campo magnetico uniforme perpendicolare di intensità: ~1-2 T.Le particelle cariche sono immesse al centro del sistema, in cui è stato fatto un vuoto molto spinto, e, accelerate dal campo elettrico, passano nel primo D dove sono forzate a compiere un'orbita semicircolare di raggio determinato.



Il campo elettrico tra i D non è costante, ma oscilla con la stessa frequenza di rotazione delle particelle (frequenza di risonanza), indipendente dalla velocità.Condizione di risonanza T = Toscillatore

Quando le particelle escono dal primo D, il campo elettrico ha cambiato verso e accelera le particelle verso il secondo D. La velocità più elevata le costringe su un'orbita di raggio maggiore, ma sempre alla stessa frequenza.Il processo continua con le particelle che percorrono orbite con raggio crescente (traiettoria a spirale) fino a raggiungere energie cinetiche dell'ordine di qualche MeV con cui escono dal ciclotrone (velocità prossime a quella della luce)Per energie superiori ci sono limitazioni di due tipi: 1. Il raggio dell'orbita è proporzionale alla velocità dell'orbita e, per elevate energie, occorrono apparecchi molto grandi. 2. A velocità prossime a quella della luce intervengono fenomeni relativistici quali l'aumento della massa delle particelle che diminuisce la frequenza di rotazione. Per ovviare a questi inconvenienti si aumenta il campo magnetico, in modo da mantenere costante il raggio, facendo muovere le particelle su un anello circolare. Gli acceleratori che sincronizzano sia il campo magnetico, sia la frequenza di risonanza con cui oscilla il campo elettrico in funzione della massa delle particelle si dicono sincrotroni.



Esempio numericoUn ciclotrone di raggio R=53 cm lavora ad una frequenza f=12 MHz. Qual è l’intensità di B necessaria per accelerare nuclei di deuterio? Qual è la massima energia cinetica acquistata dai nuclei?

Il deuterio è isotopo dell’idrogeno con massa = 3.34 · 10-27 kg.Per la condizione di risonanza la frequenza dell’oscillatore è uguale allafrequenza del moto circolare uniforme dei nuclei nell’acceleratore.

Frequenza:

L’energia cinetica massima è quella che il nucleo ha lungo la massimacirconferenza possibile nella macchina:

qB

mvR T

f1

v

RT

2

m

qB

mv

qBv

R

vf

222 T

q

fmB 57,1

2

BRm

qv

MeVJm

RBqBR

m

qmmvEn 171027.2

2

1

2

1

2

1 122222

2max

Applicazioni: 3.Effetto Hall (1)


Fino al 1879 non si sapeva nulla sul segno delle cariche in moto in un conduttore: il verso convenzionale della corrente è quello che avrebbero avuto delle cariche positive libere di muoversi da zone a potenziale più alto verso zone a potenziale più basso.

Il segno positivo era stato assegnato alla cosiddetta elettricità vetrosa, cioè alla carica assunta dal vetro strofinato con un panno.Il conduttore metallico è nel complesso neutro ma le cariche libere di muoversi (portatori di carica) al suo interno avrebbero potuto essere sia positive, sia negative. In quest'ultimo caso si sarebbero spostate da zone a potenziale più basso verso zone a potenziale più alto.

Per le applicazioni elettriche, comunque, i due modelli erano equivalenti.

modello con portatori di carica positivimodello con portatori di carica negativi



I portatori di carica sono positivi o negativi?

La forza magnetica agisce solo sulle cariche in moto. Nel 1879 il fisico statunitense Hall ideò ed eseguì un esperimento che stabilì il segno dei portatori di carica sfruttando la forza magnetica.

Hall utilizzò come conduttore una striscia metallica di rame abbastanza larga, fece passare della corrente continua e immerse la striscia in un campo magnetico uniforme perpendicolare alla direzione della corrente.

Vediamo cosa succede nei due casi:

modello con portatori di carica positivimodello con portatori di carica negativi

Campo B entrante nel foglio



In ambedue i casi:la forza magnetica sposta le cariche in moto verso il bordo superiore della striscia.I portatori di carica dunque si ammassano sul bordo superiore della striscia, originando una debole differenza di potenziale (effetto Hall) tra il bordo superiore e quello inferiore che rimane sguarnito delle cariche opposte.

Il segno di questa tensione permette di decidere il segno dei portatori di carica.

Una accurata misura della differenza di potenziale tra i due bordi della striscia di rame dimostrò che le cariche libere di muoversi nei conduttori metallici erano cariche negative.



Scoperta dell’elettrone (1)


La data di nascita dell'elettrone è il 1897, anno in cui Joseph John Thomson (1865-1940), direttore del Cavendish Laboratory di Cambridge osservò che i raggi catodici erano sensibili ai campi elettrici e magnetici e che si comportavano come particelle cariche negativamente.

Thomson progettò un esperimento per determinare le caratteristiche di queste particelle

Joseph John Thomson (1865-1940)



In un tubo a raggi catodici, le particelle negative (raggi catodici) sono emesse dal catodo e sparate a velocità elevata nel vuoto attraverso una zona d dove possono agire i campi elettrico e magnetico incrociati, perpendicolari rispetto alla velocità.Dopo questo tratto il fascio, eventualmente deviato, attraversa una zona di deriva molto più lunga della precedente, fino a colpire una zona dello schermo fluorescente che si illumina nel punto colpito.Con i campi spenti il fascio non è deviato e colpisce la parte centrale dello schermo. Con un campo elettrico E (diretto verticalmente), il fascio è deviato verticalmente verso l'alto o verso il basso. Si misura la deflessione verticale y che è funzione della geometria del sistema e delle caratteristiche della particella. Si regola l'intensità del campo magnetico B finché la deflessione del fascio non viene annullata. Si misura in questo modo la velocità della particella v = E/B Dalla misura della velocità, Thomson riuscì a determinare il rapporto carica/massa in funzione di altre grandezze dell'apparato: q/m =2 y E / B2 d2 (con y deflessione misurata con B=0)

Il valore ottenuto sperimentalmente da Thomson fu: q/m = 1,76 1011 C/kg



Il valore trovato da Thomson risultava essere circa 2000 volte più grande di quello, conosciuto, del rapporto carica massa dello ione idrogeno (protone). Inoltre questo valore era sempre lo stesso indipendentemente dal materiale di cui era fatto il catodo.Thomson ipotizzò che le particelle negative fossero componente di tutti gli atomi. Non conoscendone né la massa, né la carica, erano possibili tre ipotesi: 1. le particelle negative hanno stessa massa dei protoni, ma carica 2000x maggiore 2. le particelle negative hanno la stessa carica dei protoni, ma massa 2000x minore 3. le particelle negative avevano sia la massa sia la carica diversa da quelle dei protoni

Modello atomico a panettone.Thomson scelse la seconda ipotesi (che poi si rivelò giusta). Pensò anche (erroneamente) che la massa maggiore della parte positiva dell'atomo corrispondesse ad un volume maggiore ed immaginò un atomo in cui la parte positiva riempiva tutto il volume a disposizione, mentre le particelle negative (elettroni) erano piccole ed immerse nella massa positiva come l'uvetta nel panettone.

Applicazioni: 4.Tubo catodico (1)




Thomson scopre l’elettrone (1897) misurando rapporto q/m con un tubo catodico

Elettroni emessi da filamento e accelerati da d.d.p. V.E del condensatore deflette elettroni verso l’alto (se B=0):

B uniforme e perpendicolare a E: si hanno campi incrociatiSi può regolare B in modo che elettroni non siano deflessi:

Si misura così v. Dalle misure di y, noti E e L, si ricava q/m

2

2

2mv

ELqy

qvBqE

B

Ev

2

2

1t

m

qEy

v

Lt



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