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1
MOVIMIENTO ARMOacuteNICO II
CAacuteTEDRA DE FIacuteSICA ndash FFyB - UBA
02
2
=sdot+ xmk
dtxd )cos( 0)( ϕω +sdotsdot= tAx t
mk 0 =ω
makx =minuskxF st minus=Re
t
A
-A
T
x(t)
TT2
A = Amplitud (desplazamiento maacuteximo)T = Periacuteodo (t al cual se repite)ω0 = Frecuencia angular (2ΠT o 2Πf)ϕ = Fase (x(0))
REPASANDOhellip
Armoacutenico porque Fpropx
ALGUNOS CASOS A MODO DE EJEMPLOhellip
2
Caso 1 El peacutendulo simple
θsengmF sdotsdotminus=OJO
θθ asympsenPero para θ pequentildeos
x
-1
1
θ
senθ
-1
1
θ -10 -05 05 10
-1
1
θ
senθ
Caso 1 El peacutendulo simple
θsengmF sdotsdotminus=OJO
θθ asympsenPero para θ pequentildeos
θsdotsdotminus= gmFLx sdot=θ
maxL
gmLxgmF
k
=sdot⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=sdotsdotminus=
876 a anaacutelogo
Lg
mLgm
mk
=sdot
==
0ω
x
Caso 2 El oscilador angular
θκτ sdot=τ = torca de restitucioacutenκ = constante de torsioacutenθ = desplazamiento angular
2
2
dtdII θατ =sdot= I = momento de inercia
α = aceleracioacuten angular
2
2
dtdI θθκ =sdotminus
)cos( 0max)( ϕωθθ +sdot= tt
I0 κω =
3
Caso 3 Oscilaciones de dos cuerpos
kxdt
xdm +=sdot 21
2
1
kxdt
xdm minus=sdot 22
2
2
kxxxdtd
mmmm
minus=minussdot+
)( 122
2reducida masa
21
21
48476
Lxxx minusminus= )( 12
La solucioacuten es ideacutentica a la conocidacon la masa reducida como m y x2-x1 como x
OPERANDOhellip
L=longitud natural del resorte
Caso 4 Circuito oscilante (circuito LC)
Cuando el capacitor se descarga la carga q disminuye y la intensidad i aumenta
La FEM de la bobina se opone al incremento en i
Recorriendo el circuito 0=∆minus∆rArr=∆+∆minus capacitorbobinaacapacitorbobinaa VVVVVV
Dado quedtdqi minus=
012
2
=+ qLCdt
qd )cos( 0)( ϕω +sdotsdot= tQq t
LC1
0 =ω
0=minusCq
dtdiL
ya que q disminuye con el tiempo
02
2
=sdot+ xmk
dtxd )cos( 0)( ϕω +sdotsdot= tAx t
mk 0 =ωrecordar
)cos( 0)( ϕω +sdotsdot= tQq tCoacutemo es la oscilacioacuten y queacute pasa con la energiacutea
t
Q I
-Q -I
TT2q(t)
i (t
)
t
Q I
-Q -I
TT2q(t)
i (t
)
t
Q I
-Q -I
TT2q(t)
i (t
)
t
Q I
-Q -I
TT2q(t)
i (t
)
t
Q I
-Q -I
TT2q(t)
i (t
)
)( 0)( ϕω +sdotsdotminus= tsenIi t
4
OSCILACIONES AMORTIGUADAS
Ademaacutes de las Fuerzas Restauradoras actuacuteanFuerzas de Rozamiento que NO son conservativas
Perohellip un peacutendulo se frena con el tiempohellip
vFRoz prop
amFFF Rozst sdot=minus=sum Re
amvbxk
Rozst FF
sdot=sdotminussdotminus876Re
av
dtxdm
dtdxbxk 2
2
sdot=sdotminussdotminus
)cos( 0)2(
0 ϕω +sdotsdot= sdotminus teAx tmb
2
0 2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
mb
mkω
La amplitud disminuyeexponencialmente con t
ω0rsquolt ω0
A0e-(b2m)t
-A0e-(b2m)t
2
21 si AkEtotal sdot=rarr Al disminuir A lo que disminuye es la
energiacutea del sistema
SISTEMA NO CONSERVATIVO
5
-1
0
1
b=1b=5x(
t)
En ambos casos ω0 = Π2 pero notar que ω0rsquo variacutea
Para discutirhellip
2
0 2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
mb
mkωsi Que pasa cuando
2
2⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
mb
mk
00 =ω El sistema es NO oscilante
AMORTIGUAMIENTO CRIacuteTICO
ϕcos)2(0)(
tmbt eAx sdotminussdot=
00
05
10
t
x(t)
6
2
0 2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
mb
mkωsi Que pasa cuando
2
2⎟⎠⎞
⎜⎝⎛lt
mb
mk
ω0rsquo NO tiene solucioacuten en los reales
020 ltω
LA SOLUCIOacuteN ES IMAGINARIA EL SISTEMA ES NO OSCILANTE
SOBREAMORTIGUAMIENTO
Circuito LCR
Cuando el capacitor se descarga la carga q disminuyey la intensidad i aumenta
La FEM de la bobina se opone al incremento en i
Recorriendo el circuito
0=∆minus∆+∆rArr=∆+∆minus∆minus capacitoraresistencibobinaacapacitorbobinaaresistencia VVVVVVVV
0=minus+CqiR
dtdiL
012
2
=++ qLCdt
dqLR
dtqd )cos( 0
2)( ϕω +sdotsdotsdot= sdotminus teQq tL
R
t
( )20 2
12
0
LR
LC minus=
ω
ω02
2
=++ xmk
dtdx
mb
dtxd )cos( 0
)2(0 ϕω +sdotsdot= sdotminus teAx tmb
2
0 2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
mb
mkω
7
PROBLEMA 1
Cuaacutel es el valor de la resistencia que debe conectarse a un inductor L=220mH y un capacitor en serie para que la carga maacutexima en el capacitor decaiga un 1 luego de transcurridos 50 ciclos si la frecuencia de la oscilacioacuten es de 098 kHz
L=220mH
R
SOLUCIOacuteNLa carga maacutexima (ldquoAmplitudrdquo) decae un 1 (al 99 de la inicial) luego de 50 ciclospero cuaacutento dura un ciclo
segsegf
T 313 10021
1098011 minus
minus sdot=sdot
==
tLR
t eQQ sdotminussdot= 2)(
Sabiendo quehellip
basta con despejar thellip
segLR
QQ 05102990ln990ln sdotminus==
y quehellip QQ ciclos sdot= 990)50(
Vale decir que 50 ciclos duran 50 10210-3seg = 0051seg
Ω=sdotsdotsdot
minus=sdot
minus=minus
mseg
Hseg
LR 7860510
)102202990(ln0510
)2990(ln 3
[H]=V segA
Por lo tantosi queremos mantener el movimiento
hay que entregar energiacutea al sistemahellip
Lo que vienehellip OSCILACIONES FORZADAS
8
SEGUIMOS LA PROacuteXIMAhellip
PARA LEER
FISICA Resnick - Halliday - Krane Vol 1 4ta Ed 1998 CECSA Mexico DF
FISICA Wilson - Buffa 5ta Ed 2003 Pearson Educacioacuten SA Mexico DF
FISICA Feynman Vol 1 1987 Addison Wesley IberoAmericana SA Mexico DF
cualquier duda a monczorfffybubaar (Federico)
2
Caso 1 El peacutendulo simple
θsengmF sdotsdotminus=OJO
θθ asympsenPero para θ pequentildeos
x
-1
1
θ
senθ
-1
1
θ -10 -05 05 10
-1
1
θ
senθ
Caso 1 El peacutendulo simple
θsengmF sdotsdotminus=OJO
θθ asympsenPero para θ pequentildeos
θsdotsdotminus= gmFLx sdot=θ
maxL
gmLxgmF
k
=sdot⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminus=sdotsdotminus=
876 a anaacutelogo
Lg
mLgm
mk
=sdot
==
0ω
x
Caso 2 El oscilador angular
θκτ sdot=τ = torca de restitucioacutenκ = constante de torsioacutenθ = desplazamiento angular
2
2
dtdII θατ =sdot= I = momento de inercia
α = aceleracioacuten angular
2
2
dtdI θθκ =sdotminus
)cos( 0max)( ϕωθθ +sdot= tt
I0 κω =
3
Caso 3 Oscilaciones de dos cuerpos
kxdt
xdm +=sdot 21
2
1
kxdt
xdm minus=sdot 22
2
2
kxxxdtd
mmmm
minus=minussdot+
)( 122
2reducida masa
21
21
48476
Lxxx minusminus= )( 12
La solucioacuten es ideacutentica a la conocidacon la masa reducida como m y x2-x1 como x
OPERANDOhellip
L=longitud natural del resorte
Caso 4 Circuito oscilante (circuito LC)
Cuando el capacitor se descarga la carga q disminuye y la intensidad i aumenta
La FEM de la bobina se opone al incremento en i
Recorriendo el circuito 0=∆minus∆rArr=∆+∆minus capacitorbobinaacapacitorbobinaa VVVVVV
Dado quedtdqi minus=
012
2
=+ qLCdt
qd )cos( 0)( ϕω +sdotsdot= tQq t
LC1
0 =ω
0=minusCq
dtdiL
ya que q disminuye con el tiempo
02
2
=sdot+ xmk
dtxd )cos( 0)( ϕω +sdotsdot= tAx t
mk 0 =ωrecordar
)cos( 0)( ϕω +sdotsdot= tQq tCoacutemo es la oscilacioacuten y queacute pasa con la energiacutea
t
Q I
-Q -I
TT2q(t)
i (t
)
t
Q I
-Q -I
TT2q(t)
i (t
)
t
Q I
-Q -I
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i (t
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t
Q I
-Q -I
TT2q(t)
i (t
)
t
Q I
-Q -I
TT2q(t)
i (t
)
)( 0)( ϕω +sdotsdotminus= tsenIi t
4
OSCILACIONES AMORTIGUADAS
Ademaacutes de las Fuerzas Restauradoras actuacuteanFuerzas de Rozamiento que NO son conservativas
Perohellip un peacutendulo se frena con el tiempohellip
vFRoz prop
amFFF Rozst sdot=minus=sum Re
amvbxk
Rozst FF
sdot=sdotminussdotminus876Re
av
dtxdm
dtdxbxk 2
2
sdot=sdotminussdotminus
)cos( 0)2(
0 ϕω +sdotsdot= sdotminus teAx tmb
2
0 2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
mb
mkω
La amplitud disminuyeexponencialmente con t
ω0rsquolt ω0
A0e-(b2m)t
-A0e-(b2m)t
2
21 si AkEtotal sdot=rarr Al disminuir A lo que disminuye es la
energiacutea del sistema
SISTEMA NO CONSERVATIVO
5
-1
0
1
b=1b=5x(
t)
En ambos casos ω0 = Π2 pero notar que ω0rsquo variacutea
Para discutirhellip
2
0 2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
mb
mkωsi Que pasa cuando
2
2⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
mb
mk
00 =ω El sistema es NO oscilante
AMORTIGUAMIENTO CRIacuteTICO
ϕcos)2(0)(
tmbt eAx sdotminussdot=
00
05
10
t
x(t)
6
2
0 2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
mb
mkωsi Que pasa cuando
2
2⎟⎠⎞
⎜⎝⎛lt
mb
mk
ω0rsquo NO tiene solucioacuten en los reales
020 ltω
LA SOLUCIOacuteN ES IMAGINARIA EL SISTEMA ES NO OSCILANTE
SOBREAMORTIGUAMIENTO
Circuito LCR
Cuando el capacitor se descarga la carga q disminuyey la intensidad i aumenta
La FEM de la bobina se opone al incremento en i
Recorriendo el circuito
0=∆minus∆+∆rArr=∆+∆minus∆minus capacitoraresistencibobinaacapacitorbobinaaresistencia VVVVVVVV
0=minus+CqiR
dtdiL
012
2
=++ qLCdt
dqLR
dtqd )cos( 0
2)( ϕω +sdotsdotsdot= sdotminus teQq tL
R
t
( )20 2
12
0
LR
LC minus=
ω
ω02
2
=++ xmk
dtdx
mb
dtxd )cos( 0
)2(0 ϕω +sdotsdot= sdotminus teAx tmb
2
0 2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
mb
mkω
7
PROBLEMA 1
Cuaacutel es el valor de la resistencia que debe conectarse a un inductor L=220mH y un capacitor en serie para que la carga maacutexima en el capacitor decaiga un 1 luego de transcurridos 50 ciclos si la frecuencia de la oscilacioacuten es de 098 kHz
L=220mH
R
SOLUCIOacuteNLa carga maacutexima (ldquoAmplitudrdquo) decae un 1 (al 99 de la inicial) luego de 50 ciclospero cuaacutento dura un ciclo
segsegf
T 313 10021
1098011 minus
minus sdot=sdot
==
tLR
t eQQ sdotminussdot= 2)(
Sabiendo quehellip
basta con despejar thellip
segLR
QQ 05102990ln990ln sdotminus==
y quehellip QQ ciclos sdot= 990)50(
Vale decir que 50 ciclos duran 50 10210-3seg = 0051seg
Ω=sdotsdotsdot
minus=sdot
minus=minus
mseg
Hseg
LR 7860510
)102202990(ln0510
)2990(ln 3
[H]=V segA
Por lo tantosi queremos mantener el movimiento
hay que entregar energiacutea al sistemahellip
Lo que vienehellip OSCILACIONES FORZADAS
8
SEGUIMOS LA PROacuteXIMAhellip
PARA LEER
FISICA Resnick - Halliday - Krane Vol 1 4ta Ed 1998 CECSA Mexico DF
FISICA Wilson - Buffa 5ta Ed 2003 Pearson Educacioacuten SA Mexico DF
FISICA Feynman Vol 1 1987 Addison Wesley IberoAmericana SA Mexico DF
cualquier duda a monczorfffybubaar (Federico)
3
Caso 3 Oscilaciones de dos cuerpos
kxdt
xdm +=sdot 21
2
1
kxdt
xdm minus=sdot 22
2
2
kxxxdtd
mmmm
minus=minussdot+
)( 122
2reducida masa
21
21
48476
Lxxx minusminus= )( 12
La solucioacuten es ideacutentica a la conocidacon la masa reducida como m y x2-x1 como x
OPERANDOhellip
L=longitud natural del resorte
Caso 4 Circuito oscilante (circuito LC)
Cuando el capacitor se descarga la carga q disminuye y la intensidad i aumenta
La FEM de la bobina se opone al incremento en i
Recorriendo el circuito 0=∆minus∆rArr=∆+∆minus capacitorbobinaacapacitorbobinaa VVVVVV
Dado quedtdqi minus=
012
2
=+ qLCdt
qd )cos( 0)( ϕω +sdotsdot= tQq t
LC1
0 =ω
0=minusCq
dtdiL
ya que q disminuye con el tiempo
02
2
=sdot+ xmk
dtxd )cos( 0)( ϕω +sdotsdot= tAx t
mk 0 =ωrecordar
)cos( 0)( ϕω +sdotsdot= tQq tCoacutemo es la oscilacioacuten y queacute pasa con la energiacutea
t
Q I
-Q -I
TT2q(t)
i (t
)
t
Q I
-Q -I
TT2q(t)
i (t
)
t
Q I
-Q -I
TT2q(t)
i (t
)
t
Q I
-Q -I
TT2q(t)
i (t
)
t
Q I
-Q -I
TT2q(t)
i (t
)
)( 0)( ϕω +sdotsdotminus= tsenIi t
4
OSCILACIONES AMORTIGUADAS
Ademaacutes de las Fuerzas Restauradoras actuacuteanFuerzas de Rozamiento que NO son conservativas
Perohellip un peacutendulo se frena con el tiempohellip
vFRoz prop
amFFF Rozst sdot=minus=sum Re
amvbxk
Rozst FF
sdot=sdotminussdotminus876Re
av
dtxdm
dtdxbxk 2
2
sdot=sdotminussdotminus
)cos( 0)2(
0 ϕω +sdotsdot= sdotminus teAx tmb
2
0 2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
mb
mkω
La amplitud disminuyeexponencialmente con t
ω0rsquolt ω0
A0e-(b2m)t
-A0e-(b2m)t
2
21 si AkEtotal sdot=rarr Al disminuir A lo que disminuye es la
energiacutea del sistema
SISTEMA NO CONSERVATIVO
5
-1
0
1
b=1b=5x(
t)
En ambos casos ω0 = Π2 pero notar que ω0rsquo variacutea
Para discutirhellip
2
0 2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
mb
mkωsi Que pasa cuando
2
2⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
mb
mk
00 =ω El sistema es NO oscilante
AMORTIGUAMIENTO CRIacuteTICO
ϕcos)2(0)(
tmbt eAx sdotminussdot=
00
05
10
t
x(t)
6
2
0 2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
mb
mkωsi Que pasa cuando
2
2⎟⎠⎞
⎜⎝⎛lt
mb
mk
ω0rsquo NO tiene solucioacuten en los reales
020 ltω
LA SOLUCIOacuteN ES IMAGINARIA EL SISTEMA ES NO OSCILANTE
SOBREAMORTIGUAMIENTO
Circuito LCR
Cuando el capacitor se descarga la carga q disminuyey la intensidad i aumenta
La FEM de la bobina se opone al incremento en i
Recorriendo el circuito
0=∆minus∆+∆rArr=∆+∆minus∆minus capacitoraresistencibobinaacapacitorbobinaaresistencia VVVVVVVV
0=minus+CqiR
dtdiL
012
2
=++ qLCdt
dqLR
dtqd )cos( 0
2)( ϕω +sdotsdotsdot= sdotminus teQq tL
R
t
( )20 2
12
0
LR
LC minus=
ω
ω02
2
=++ xmk
dtdx
mb
dtxd )cos( 0
)2(0 ϕω +sdotsdot= sdotminus teAx tmb
2
0 2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
mb
mkω
7
PROBLEMA 1
Cuaacutel es el valor de la resistencia que debe conectarse a un inductor L=220mH y un capacitor en serie para que la carga maacutexima en el capacitor decaiga un 1 luego de transcurridos 50 ciclos si la frecuencia de la oscilacioacuten es de 098 kHz
L=220mH
R
SOLUCIOacuteNLa carga maacutexima (ldquoAmplitudrdquo) decae un 1 (al 99 de la inicial) luego de 50 ciclospero cuaacutento dura un ciclo
segsegf
T 313 10021
1098011 minus
minus sdot=sdot
==
tLR
t eQQ sdotminussdot= 2)(
Sabiendo quehellip
basta con despejar thellip
segLR
QQ 05102990ln990ln sdotminus==
y quehellip QQ ciclos sdot= 990)50(
Vale decir que 50 ciclos duran 50 10210-3seg = 0051seg
Ω=sdotsdotsdot
minus=sdot
minus=minus
mseg
Hseg
LR 7860510
)102202990(ln0510
)2990(ln 3
[H]=V segA
Por lo tantosi queremos mantener el movimiento
hay que entregar energiacutea al sistemahellip
Lo que vienehellip OSCILACIONES FORZADAS
8
SEGUIMOS LA PROacuteXIMAhellip
PARA LEER
FISICA Resnick - Halliday - Krane Vol 1 4ta Ed 1998 CECSA Mexico DF
FISICA Wilson - Buffa 5ta Ed 2003 Pearson Educacioacuten SA Mexico DF
FISICA Feynman Vol 1 1987 Addison Wesley IberoAmericana SA Mexico DF
cualquier duda a monczorfffybubaar (Federico)
4
OSCILACIONES AMORTIGUADAS
Ademaacutes de las Fuerzas Restauradoras actuacuteanFuerzas de Rozamiento que NO son conservativas
Perohellip un peacutendulo se frena con el tiempohellip
vFRoz prop
amFFF Rozst sdot=minus=sum Re
amvbxk
Rozst FF
sdot=sdotminussdotminus876Re
av
dtxdm
dtdxbxk 2
2
sdot=sdotminussdotminus
)cos( 0)2(
0 ϕω +sdotsdot= sdotminus teAx tmb
2
0 2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
mb
mkω
La amplitud disminuyeexponencialmente con t
ω0rsquolt ω0
A0e-(b2m)t
-A0e-(b2m)t
2
21 si AkEtotal sdot=rarr Al disminuir A lo que disminuye es la
energiacutea del sistema
SISTEMA NO CONSERVATIVO
5
-1
0
1
b=1b=5x(
t)
En ambos casos ω0 = Π2 pero notar que ω0rsquo variacutea
Para discutirhellip
2
0 2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
mb
mkωsi Que pasa cuando
2
2⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
mb
mk
00 =ω El sistema es NO oscilante
AMORTIGUAMIENTO CRIacuteTICO
ϕcos)2(0)(
tmbt eAx sdotminussdot=
00
05
10
t
x(t)
6
2
0 2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
mb
mkωsi Que pasa cuando
2
2⎟⎠⎞
⎜⎝⎛lt
mb
mk
ω0rsquo NO tiene solucioacuten en los reales
020 ltω
LA SOLUCIOacuteN ES IMAGINARIA EL SISTEMA ES NO OSCILANTE
SOBREAMORTIGUAMIENTO
Circuito LCR
Cuando el capacitor se descarga la carga q disminuyey la intensidad i aumenta
La FEM de la bobina se opone al incremento en i
Recorriendo el circuito
0=∆minus∆+∆rArr=∆+∆minus∆minus capacitoraresistencibobinaacapacitorbobinaaresistencia VVVVVVVV
0=minus+CqiR
dtdiL
012
2
=++ qLCdt
dqLR
dtqd )cos( 0
2)( ϕω +sdotsdotsdot= sdotminus teQq tL
R
t
( )20 2
12
0
LR
LC minus=
ω
ω02
2
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mb
dtxd )cos( 0
)2(0 ϕω +sdotsdot= sdotminus teAx tmb
2
0 2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
mb
mkω
7
PROBLEMA 1
Cuaacutel es el valor de la resistencia que debe conectarse a un inductor L=220mH y un capacitor en serie para que la carga maacutexima en el capacitor decaiga un 1 luego de transcurridos 50 ciclos si la frecuencia de la oscilacioacuten es de 098 kHz
L=220mH
R
SOLUCIOacuteNLa carga maacutexima (ldquoAmplitudrdquo) decae un 1 (al 99 de la inicial) luego de 50 ciclospero cuaacutento dura un ciclo
segsegf
T 313 10021
1098011 minus
minus sdot=sdot
==
tLR
t eQQ sdotminussdot= 2)(
Sabiendo quehellip
basta con despejar thellip
segLR
QQ 05102990ln990ln sdotminus==
y quehellip QQ ciclos sdot= 990)50(
Vale decir que 50 ciclos duran 50 10210-3seg = 0051seg
Ω=sdotsdotsdot
minus=sdot
minus=minus
mseg
Hseg
LR 7860510
)102202990(ln0510
)2990(ln 3
[H]=V segA
Por lo tantosi queremos mantener el movimiento
hay que entregar energiacutea al sistemahellip
Lo que vienehellip OSCILACIONES FORZADAS
8
SEGUIMOS LA PROacuteXIMAhellip
PARA LEER
FISICA Resnick - Halliday - Krane Vol 1 4ta Ed 1998 CECSA Mexico DF
FISICA Wilson - Buffa 5ta Ed 2003 Pearson Educacioacuten SA Mexico DF
FISICA Feynman Vol 1 1987 Addison Wesley IberoAmericana SA Mexico DF
cualquier duda a monczorfffybubaar (Federico)
5
-1
0
1
b=1b=5x(
t)
En ambos casos ω0 = Π2 pero notar que ω0rsquo variacutea
Para discutirhellip
2
0 2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
mb
mkωsi Que pasa cuando
2
2⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
mb
mk
00 =ω El sistema es NO oscilante
AMORTIGUAMIENTO CRIacuteTICO
ϕcos)2(0)(
tmbt eAx sdotminussdot=
00
05
10
t
x(t)
6
2
0 2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
mb
mkωsi Que pasa cuando
2
2⎟⎠⎞
⎜⎝⎛lt
mb
mk
ω0rsquo NO tiene solucioacuten en los reales
020 ltω
LA SOLUCIOacuteN ES IMAGINARIA EL SISTEMA ES NO OSCILANTE
SOBREAMORTIGUAMIENTO
Circuito LCR
Cuando el capacitor se descarga la carga q disminuyey la intensidad i aumenta
La FEM de la bobina se opone al incremento en i
Recorriendo el circuito
0=∆minus∆+∆rArr=∆+∆minus∆minus capacitoraresistencibobinaacapacitorbobinaaresistencia VVVVVVVV
0=minus+CqiR
dtdiL
012
2
=++ qLCdt
dqLR
dtqd )cos( 0
2)( ϕω +sdotsdotsdot= sdotminus teQq tL
R
t
( )20 2
12
0
LR
LC minus=
ω
ω02
2
=++ xmk
dtdx
mb
dtxd )cos( 0
)2(0 ϕω +sdotsdot= sdotminus teAx tmb
2
0 2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
mb
mkω
7
PROBLEMA 1
Cuaacutel es el valor de la resistencia que debe conectarse a un inductor L=220mH y un capacitor en serie para que la carga maacutexima en el capacitor decaiga un 1 luego de transcurridos 50 ciclos si la frecuencia de la oscilacioacuten es de 098 kHz
L=220mH
R
SOLUCIOacuteNLa carga maacutexima (ldquoAmplitudrdquo) decae un 1 (al 99 de la inicial) luego de 50 ciclospero cuaacutento dura un ciclo
segsegf
T 313 10021
1098011 minus
minus sdot=sdot
==
tLR
t eQQ sdotminussdot= 2)(
Sabiendo quehellip
basta con despejar thellip
segLR
QQ 05102990ln990ln sdotminus==
y quehellip QQ ciclos sdot= 990)50(
Vale decir que 50 ciclos duran 50 10210-3seg = 0051seg
Ω=sdotsdotsdot
minus=sdot
minus=minus
mseg
Hseg
LR 7860510
)102202990(ln0510
)2990(ln 3
[H]=V segA
Por lo tantosi queremos mantener el movimiento
hay que entregar energiacutea al sistemahellip
Lo que vienehellip OSCILACIONES FORZADAS
8
SEGUIMOS LA PROacuteXIMAhellip
PARA LEER
FISICA Resnick - Halliday - Krane Vol 1 4ta Ed 1998 CECSA Mexico DF
FISICA Wilson - Buffa 5ta Ed 2003 Pearson Educacioacuten SA Mexico DF
FISICA Feynman Vol 1 1987 Addison Wesley IberoAmericana SA Mexico DF
cualquier duda a monczorfffybubaar (Federico)
6
2
0 2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus=
mb
mkωsi Que pasa cuando
2
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⎜⎝⎛lt
mb
mk
ω0rsquo NO tiene solucioacuten en los reales
020 ltω
LA SOLUCIOacuteN ES IMAGINARIA EL SISTEMA ES NO OSCILANTE
SOBREAMORTIGUAMIENTO
Circuito LCR
Cuando el capacitor se descarga la carga q disminuyey la intensidad i aumenta
La FEM de la bobina se opone al incremento en i
Recorriendo el circuito
0=∆minus∆+∆rArr=∆+∆minus∆minus capacitoraresistencibobinaacapacitorbobinaaresistencia VVVVVVVV
0=minus+CqiR
dtdiL
012
2
=++ qLCdt
dqLR
dtqd )cos( 0
2)( ϕω +sdotsdotsdot= sdotminus teQq tL
R
t
( )20 2
12
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ω02
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2
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⎜⎝⎛minus=
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PROBLEMA 1
Cuaacutel es el valor de la resistencia que debe conectarse a un inductor L=220mH y un capacitor en serie para que la carga maacutexima en el capacitor decaiga un 1 luego de transcurridos 50 ciclos si la frecuencia de la oscilacioacuten es de 098 kHz
L=220mH
R
SOLUCIOacuteNLa carga maacutexima (ldquoAmplitudrdquo) decae un 1 (al 99 de la inicial) luego de 50 ciclospero cuaacutento dura un ciclo
segsegf
T 313 10021
1098011 minus
minus sdot=sdot
==
tLR
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Sabiendo quehellip
basta con despejar thellip
segLR
QQ 05102990ln990ln sdotminus==
y quehellip QQ ciclos sdot= 990)50(
Vale decir que 50 ciclos duran 50 10210-3seg = 0051seg
Ω=sdotsdotsdot
minus=sdot
minus=minus
mseg
Hseg
LR 7860510
)102202990(ln0510
)2990(ln 3
[H]=V segA
Por lo tantosi queremos mantener el movimiento
hay que entregar energiacutea al sistemahellip
Lo que vienehellip OSCILACIONES FORZADAS
8
SEGUIMOS LA PROacuteXIMAhellip
PARA LEER
FISICA Resnick - Halliday - Krane Vol 1 4ta Ed 1998 CECSA Mexico DF
FISICA Wilson - Buffa 5ta Ed 2003 Pearson Educacioacuten SA Mexico DF
FISICA Feynman Vol 1 1987 Addison Wesley IberoAmericana SA Mexico DF
cualquier duda a monczorfffybubaar (Federico)
7
PROBLEMA 1
Cuaacutel es el valor de la resistencia que debe conectarse a un inductor L=220mH y un capacitor en serie para que la carga maacutexima en el capacitor decaiga un 1 luego de transcurridos 50 ciclos si la frecuencia de la oscilacioacuten es de 098 kHz
L=220mH
R
SOLUCIOacuteNLa carga maacutexima (ldquoAmplitudrdquo) decae un 1 (al 99 de la inicial) luego de 50 ciclospero cuaacutento dura un ciclo
segsegf
T 313 10021
1098011 minus
minus sdot=sdot
==
tLR
t eQQ sdotminussdot= 2)(
Sabiendo quehellip
basta con despejar thellip
segLR
QQ 05102990ln990ln sdotminus==
y quehellip QQ ciclos sdot= 990)50(
Vale decir que 50 ciclos duran 50 10210-3seg = 0051seg
Ω=sdotsdotsdot
minus=sdot
minus=minus
mseg
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LR 7860510
)102202990(ln0510
)2990(ln 3
[H]=V segA
Por lo tantosi queremos mantener el movimiento
hay que entregar energiacutea al sistemahellip
Lo que vienehellip OSCILACIONES FORZADAS
8
SEGUIMOS LA PROacuteXIMAhellip
PARA LEER
FISICA Resnick - Halliday - Krane Vol 1 4ta Ed 1998 CECSA Mexico DF
FISICA Wilson - Buffa 5ta Ed 2003 Pearson Educacioacuten SA Mexico DF
FISICA Feynman Vol 1 1987 Addison Wesley IberoAmericana SA Mexico DF
cualquier duda a monczorfffybubaar (Federico)
8
SEGUIMOS LA PROacuteXIMAhellip
PARA LEER
FISICA Resnick - Halliday - Krane Vol 1 4ta Ed 1998 CECSA Mexico DF
FISICA Wilson - Buffa 5ta Ed 2003 Pearson Educacioacuten SA Mexico DF
FISICA Feynman Vol 1 1987 Addison Wesley IberoAmericana SA Mexico DF
cualquier duda a monczorfffybubaar (Federico)
