1

MOVIMIENTO ARMÓNICO III

CÁTEDRA DE FÍSICA – FFyB - UBA

02

2

=⋅+ xmk

dtxd )cos( 0)( ϕω +⋅⋅= tAx t

mk /0 =ω

makx =−kxF st −=Re

t

A

-A

T

x(t)

TT/2

A = Amplitud (desplazamiento máximo)T = Período (t al cual se repite)ω0 = Frecuencia angular (2Π/T o 2Πf)ϕ = Fase (x(0))

REPASANDO…..

Armónico porque F∝x

Pero existen fuerzas que son NO conservativas…..

vFRoz ∝ amFFF Rozst ⋅=−=∑ Re

)'cos( 0)2/(

0 ϕω +⋅⋅= ⋅− teAx tmb

2

0 2' ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

mb

mkω

La amplitud disminuyeexponencialmente con t

ω0’< ω0

A0.e-(b/2m).t

-A0.e-(b/2m).t

2

-1

0

1

b=1b=5x(

t)

En ambos casos ω0 = Π/2; pero notar que ω0’ varía

Para discutir…

2

0 2' ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

mb

mkωsi Que pasa cuando

2

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

mb

mk

0'0 =ω El sistema es NO oscilante

AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO

ϕcos)2/(0)(

tmbt eAx ⋅−⋅=

0.0

0.5

1.0

t

x(t)

3

2

0 2' ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

mb

mkωsi Que pasa cuando

2

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛<

mb

mk

ω0’ NO tiene solución en los reales

??0'20 <ω

LA SOLUCIÓN ES IMAGINARIA, EL SISTEMA ES NO OSCILANTE!!!

SOBREAMORTIGUAMIENTO

Por lo tanto,si queremos mantener el movimiento

hay que entregar energía al sistema…

OSCILACIONES FORZADAS

4

MOVIMIENTO ARMÓNICO FORZADO

amFFF tst ⋅=+=∑ )(Re

tsenFF t '0)( ω⋅=

)'cos()'( 22

0

0)( ϕω

ωω+⋅⋅

−= t

mFx

A

t

4484476•La oscilación ocurre con ω’ y no con ω0(es independiente del sistema)

•La amplitud depende dela F ejercida y su frecuencia, pero también del sistema (m y ω0)

Pero…Qué pasa con A al variar ω’??

depe

nde

de la

s co

ndic

ione

s in

icia

les

NO

dep

ende

de

las

cond

icio

nes

inic

iale

s

SOLUCIÓN ESTACIONARIA(permanente en el tiempo)

transitorio estacionario

}aFF

dtxdmtsenFxk

tst

2

2

0

)(Re

' ⋅=⋅+⋅−48476876ω

A es función de ω’

Si ω0 = ω’

)'( 220

0)'( ωωω −=

mFA

∞→∞→ totalEA ;)'(ω

Es posible?En la práctica siempre hay amortiguamiento…

Si ω’ es muy distinto de ω0; A es pequeñaSi ω’ es muy parecido a ω0; A es grande

Dado que A es “una medida” de la energía del sistema2

21 AkEtotal ⋅=

Entonces, la transferencia de Energía al sistema aumenta cuando ω’ se asemeja a ω0

amFFFF Roztst ⋅=−+=∑ )(Re

}}a

FFF

dtxdmvbtsenFxk

Roztst

2

2

0

)(Re

' ⋅=⋅−⋅+⋅−48476876ω

SOLUCIÓN ESTACIONARIA(permanente en el tiempo)

)'cos(0)( ϕω +⋅⋅= t

GFx t

222220

2 ')'( ωωω bmG +−= )'('arctan 2

02 ωωωϕ−

−=m

b

Ahora, si ω’ = ω0; G ≠ 0; y A tiene un valor finito

OSCILACIONES FORZADAS AMORTIGUADAS

5

ω’ <<< ω0 ϕ ≈ 0

ω’ >>> ω0 ϕ ≈ Π

ω’ = ω0 ϕ = Π/2

2/)0('arctan

)'('arctan 2

02

Π=−=−

−=mb

mb ω

ωωωϕ

6

Menos amortiguado

(b decreciente)

RESONANCIA

Estrictamente la resonancia se alcanza cuando:

022

0 )2/(' ωωω =−= mb

RESONANCIA

ω’/ ω0

022

0 )2/(' ωωω =−= mb

Estrictamente la resonancia se alcanza cuando:

Ejemplo de resonancia: PUENTE DE TACOMA (US), 1940

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PROBLEMA

Un auto de 2000kg está fabricado de modo tal que su sistema de amortiguación en cada rueda posee una constante de fuerza efectiva de 5500 N/m y un coeficiente de amortiguamiento b=1100 Kg/s. Si se toma una carretera con “lomos de burro” cada 30 m y toda la masa se reparte uniformemente en las cuatro ruedas, qué velocidad de desplazamiento deberá evitarse con el fin de no alcanzar una amplitud de oscilación máxima que no dejará tomar mate y resultará sumamente molesta para los cuatro pasajeros de 75 Kg cada uno?

La velocidad que deberá evitarse es aquella en la que el sistema vehículo-pasajeros entre en resonancia… esa velocidad depende de la separación de los lomos y de la frecuencia natural de oscilación del sistema…

Habíamos planteado que la amplitud de oscilación resulta máxima cuando…

')2/(' 022

0 ωωω =−= mbEntonces…

2

2

)4/)4752000((2/1100

4/)4752000(/5500

)2/()/('

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⋅+⋅−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⋅+=

=−=

kgkgskg

kgkgmN

mbmkω

sradss /650,8915,0565,9' 22 =−= −−ω

sT 726,0'/2 =Π= ω

Y por último…. hkmsms

mtdv /149/3,41

726,030

≅===

Circuito LCR conectado a una fuente de AC

Recorriendo el circuito

fuentecapacitorbobinaaresistenci VVVV ∆=∆+∆+∆⇒

0)'(0 =+−+CqtsenV

dtdiLiR ω

)'(102

2

tsenVqLCdt

dqLR

dtqd ω=++ La solución es análoga a la del

movimiento forzado

)'cos(0)( ϕω +⋅⋅= t

GVq t

222220

2 ')'( ωωω RLG +−= )'('arctan 2

02 ωωωϕ−

−=L

R

8

Para poder sintonizar la radio se emplea un capacitor variable cuyo valor puede variar entre 10 y 365 pF y una bobina para formar un circuito LC de frecuencia variable. Cuál es la relación entre las frecuencias mínimas y máximas que pueden sintonizarse con este aparato? Por otra parte, si quiere usarse para sintonizar la banda AM (540 – 1600 kHz) la relación hallada es demasiado grande, pero puede ajustarse agregando un capacitor en paralelo al anterior. Qué valor debe tener este capacitor y qué valor debería tener la inductancia para poder sintonizar emisoras AM?

PROBLEMA

LC1

0 =ω

)'cos()'( 22

0

0)( ϕω

ωω+⋅⋅

−= t

LVq

A

t

4484476

1

2

1

2

1

2

2

1

02

01

1

1

CC

CLCL

LCLC

LC

LC====

ωω

04,610365

02

01 ==pFpF

ωω

Ahora… 6,04 es demasiado para sintonizar AM. Hay que disminuir la relación agregando un capacitor en paralelo…

CpFCpF +⋅=+ 1096,2365

Hace falta que ω01/ ω02 = f1/f2 = 1600 kHz / 540 kHz = 2,96 ≈ 3

Uds. saben que para una conexión en paralelo:Ceq = C1 + C2

)10(96,2365 2 CpFCpF +⋅=+

pFpFC 6,35779,721,277

==

96,210365

02

01 =++

=CpFCpF

ωω

9

Por último… si

LC1

0 =ω

pFLseg

)6,35365(110.39,3 16

+⋅=−

pFLseg 6,400110.15,1 2132

0 ⋅== −ω

HL 610.1,217 −=

16130 10.39,310.54022 −− =⋅Π=⋅Π= segsegfω

VCoulsegL /106,40010.15,11

12213 −− ⋅⋅=

[H]=V seg/A

SEGUIMOS LA PRÓXIMA…. (LA ÚLTIMA )

PARA LEER:

FISICA. Resnick - Halliday - Krane. Vol 1. 4ta Ed. 1998, CECSA, Mexico, DF.

FISICA. Wilson - Buffa. 5ta Ed. 2003, Pearson Educación SA, Mexico, DF.

FISICA. Feynman. Vol 1. 1987, Addison Wesley IberoAmericana SA, Mexico, DF.

cualquier duda a monczorf@ffyb.uba.ar (Federico)