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MOVIMIENTO ARMÓNICO IV
CÁTEDRA DE FÍSICA – FFyB - UBA
LA ÚLTIMA…
Oscilaciones de dos cuerpos
kxdt
xdm +=⋅ 21
2
1
kxdt
xdm −=⋅ 22
2
2
kxxxdtd
mmmm
−=−⋅+
)( 122
2reducida masa
21
21
48476
Lxxx −−= )( 12
La solución es idéntica a la conocidacon la masa reducida como m y x2-x1 como x
OPERANDO….
L=longitud natural del resorte
)cos( 0)( ϕω +⋅⋅= tAx t mk /0 =ω
2
00 21 xkdxxkdxFE
xx
pot ⋅=⋅⋅−−=⋅−= ∫∫
x
Epot
Frest
SABÍAMOS QUE…
xkF ⋅−=
2
3 4 5 6
-500
-250
0
250
500
H2
N2
r(Å)Ep(r
) (10
-23 J
)
POTENCIAL DE LENNARD-JONES
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=
60
120
0)( 2rr
rrEEp r
H2 N2
R0 E0 r0 E0
(A) (10-23J) (A) (10-23J)3,3 43 4,2 131
3 4 5 6
-150
-100
-50
0
50
100
H2
N2
r(Å)
Ep(r
) (10
-23 J
)
Notar que para r=r0 0)( 0EEp r −=
Notar que para r→∞ 0)( →∞→rEp
3 4 5 6
-250
0
250
500
H2
N2
Ep(r
) (10
-23 J
)
r(Å)
3 4 5 6
-100
-50
0
50
100
r(Å)
N2
H2
dEp/
dr (1
0-23 J
/Å)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=
60
120
0)( 2rr
rrEEp r
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⋅⋅== 5
60
11
120
0)( 12rr
rrEF
drdEp
r
Notar que para r=r0 0)( 0=rF
Notar que para r→∞ 0)( →∞→rF
3 4 5 6
-100
-50
0
50
100
r(Å)
ESPECTROSCOPÍA INFRARROJA
Ep
x
Dos cuerpos unidos por un resorte Una molécula diatómica
x
Frest
3
2
21 AkEtotal ⋅=
Habíamos visto que para un oscilador armónico…..
mkmk ⋅=→= 2 si ωω
22
21 ω⋅⋅= mAEtotal
Vale decir que para una m y una A definida,la energía del oscilador es una función CONTÍNUA de la frecuencia angular
ener
gía
ClCláásicasica: : todostodos loslosvaloresvalores posiblesposibles de de
energenergííaa estestáánnpermitidospermitidos
CuCuáánticantica: : ssóólolociertosciertos ““nivelesniveles
de de energenergííaa””estestáánn permitidospermitidos
0 0011223344
nn. . . . . . ..
‘‘nnúúmeromero cucuáánticontico’’
Pero…. a nivel molecular la energía está cuantizada
ω⋅⋅+= h)21(nE
La energía de la transicióncorresponde a la zona del IR
4
cambiocambio de de nivelniveln=0 n=0 n=1n=1n=1 n=1 n=2n=2n=3 n=3 n=4n=4n=4 n=4 n=5n=5
υυexptlexptl8,658,658,348,348,028,027,727,72
υυ armonicoarmonico (10(101313 Hz)Hz)8,658,658,658,658,658,658,658,65
Vibraciones en la vida real
El oscilador armónico es un buen modelo para lasmoléculas diatómicas simples (por ej. HCl)
ENERGÍAINCIDENTE
ENERGÍATRANSMITIDA
SISTEMAESTUDIADO
Donde disminuye la E transmitida es porque la absorbió el sistemaRESONANCIA
FRECUENCIA
INTE
NSI
DA
D
Con qué frecuencia vibrará una molécula de cloruro de hidrógeno cuyo átomo de cloro corresponde al isótopo de masa atómica 35 g/mol, si el enlace tiene una constante de fuerza de 96,67 N/m? y una molécula formada con el isótopo de 37Cl?
PROBLEMA
5
mk /0 =ω
Suponiendo que la molécula se comporta como un oscilador armónico, su frecuencia de vibración será…
Pero recordar que al tratarse de dos cuerpos unidos por un resorte…
21
21
mmmmm+⋅
=
átkgátgmolátmolgm
Cl/10.81395,5/10.81395,5/10.022,6
/35 26232335
−− ===
Entonces…
átkgátgmolátmolgm H /10.6611296,1/10.6611296,1/10.022,6
/1 2724231
−− ===
kgmmmm
mHCl
HCl 2710.6149871,1135
135 −=+
⋅=
sradkgmNmk /10.4466,210.6149871,1
/67,96/ 14270 === −ω
Por lo que…
Para el caso de la molécula formada por el isótopo 37Cl…
átkgátgmolátmolgm Cl /10.14618,6/10.14618,6/10.022,6
/37 26232337
−− ===
Luego…
kgmmmm
mHCl
HCl 2710.617416,1137
137 −=+
⋅=
Entonces…
sradkgmNmk /10.44475,210.307698,1
/67,96/ 14260 === −ω
THzHzsradf 94,3810.8939,32
/10.4466,22/ 1314
0 ==Π
=Π=ω
THzHzsradf 09,3810.8909,32
/10.44475,22/ 1314
0 ==Π
=Π=ω
ESPECTRO DEL HCl
La partición de cada pico es por la diferencia de masa entre el 35Cl y el 37Cl
{)cos(
0)( ϕω +⋅⋅= tAx
mk
t
21
21con mmmmm+⋅
=
6
QUÉ APRENDIMOS EN ESTAS CLASES?
SISTEMAS EN EQUILIBRIO
ESTABLE
FUERZA RESTAURADORA
ES PROPORCIONAL A X
MOVIMIENTO PERIÓDICO
MOVIMIENTO ARMÓNICO
SIMPLEAMORTIGUADO FORZADO
RESONANCIA ESPECTROSCOPÍAS
INESTABLE NEUTRO
puede ser
porque existe
que determina
si la Fzarestauradora
el movimiento es
un caso particular
idealmenteen presencia
de rozamientosi existe unaFza externa
puede provocar
es el fundamento de las
PÉNDULO SIMPLE
OSCILADOR ANGULAR
CIRCUITOOSCILANTE
SISTEMAS DEDOS CUERPOS
HOJA DE FÓRMULAS 1
Posición velocidad, aceleración y parámetros de un oscilador armónico simple
)cos( 0)( ϕω +⋅⋅= tAx t mk /0 =ωT
f 1=f
T⋅Π=
Π= 22
0ω
)( 00)(
)( ϕωω +⋅⋅⋅−== tsenAdt
dxv t
t )cos( 02
0)(
)( ϕωω +⋅⋅⋅−== tAdt
dva t
t
Fuerza restauradora y energía potencial
kxF st −=Re2
21 xkEpot ⋅=
Superposición de dos MAS
)cos( 021 αω +⋅⋅=+= tAxxx )cos(2 212
22
1 ϕ∆++= AAAAA2211
2211
coscostan
ϕϕϕϕα
AAsenAsenA
++
=
Oscilador angular
)cos( 0max)( ϕωθθ +⋅= tt I/0 κω = Oscilación de dos cuerpos
kxxxdtd
mmmm
−=−⋅+
)( 122
2reducida masa
21
21
48476Circuito LC
)cos( 0)( ϕω +⋅⋅= tQq t LC1
0 =ω
HOJA DE FÓRMULAS 2Oscilaciones amortiguadas
)'cos( 0)2/(
0)( ϕω +⋅⋅= ⋅− teAx tmbt
2
0 2' ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
mb
mkω
Oscilaciones forzadas
)'cos()'( 22
0)( ϕω
ωω+⋅⋅
−= t
mFx
A
t
4484476
Oscilaciones forzadas amortiguadas
)'cos()( ϕω +⋅⋅= tGFx t
22220
22 ')'( ωωω bmG +−=
)'('arctan 2
02 ωωωϕ−
−=m
b
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BIBLIOGRAFÍA
consultas bienvenidas a [email protected] (Federico)
FISICA. Resnick - Halliday - Krane. Vol 1. 4ta Ed. 1998, CECSA, Mexico, DF.
FISICA. Wilson - Buffa. 5ta Ed. 2003, Pearson Educación SA, Mexico, DF.
FISICA. Feynman. Vol 1. 1987, Addison Wesley IberoAmericana SA, Mexico, DF.
RECURSOS ON LINE
http://bcs.wiley.com/he-bcs/Books?action=index&itemId=0471216437&bcsId=2037
http://www.kettering.edu/~drussell/Demos.html
http://www.physicsclassroom.com
