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Laboratorio de movimiento parabólico
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MOVIMIENTO PARABÓLICO
Alejandra Parra Merchán, Carlos
Javier Varela, Lina Marcela Rivera
Tibaduiza 1Universidad Pedagógica y tecnológica de Colombia,
Facultad de ingeniería, Avenida Central del Norte 39-
115, Tunja, Boyacá.
RESUMEN
En este laboratorio trabajamos sobre
el movimiento parabólico, teniendo en
cuenta que este movimiento, une
tanto el M.U.A (movimiento
uniformemente acelerado) y M.U.R
(movimiento uniformemente
rectilíneo). Se realizaron las
respectivas deducciones y se logró
establecer el valor experimental de la
gravedad y su correspondiente error
por medio de gráficas y las
ecuaciones vistas en clase. Tomando
coordenadas tanto en X como en Y y
conociendo que se pueden presentar
variados factores de error fue factible
hacer varias mediciones de tiempo
con cada una de las respectivas
coordenadas.
INTRODUCCION
El movimiento parabólico posee
ciertas características peculiares que
lo diferencian de cualquier otro tipo
de movimiento. Es un movimiento
compuesto, es decir, se puede
descomponer en dos movimientos
simples: el uniformemente acelerado
(Desde el punto de partida del objeto
hasta que alcanza su máxima altura)
y caída libre (Desde la altura máxima,
hasta el punto de caída del objeto) y
su trayectoria describe una parábola.
A partir del análisis gráfico de este
movimiento en un plano inclinado, se
busca analizar y obtener estas
características, incluyendo la
independencia que existe entre los
dos movimientos simples antes
mencionados que lo constituyen, y los
valores numéricos de altura máxima y
alcance máximo horizontal, para ser
comparados con los valores teóricos
conociendo que el tiempo total del
movimiento es de un segundo. Y de
esta manera, lograr entender el
efecto que tienen las fuerzas que
actúan sobre el objeto en su
movimiento y plantear la ecuación
que mejor describe dicho movimiento.
MARCO TEORICO
Consideremos un proyectil P que se
lanza con una velocidad inicial
formando un ángulo de tiro. Se
desprecia todo tipo de rozamiento. El
proyectil queda solamente bajo la
influencia del campo gravitacional. Es
decir, hay una única aceleración
llamada aceleración de la gravedad y
está dirigida hacia el centro de la
tierra. Para el caso de alcances
cortos y que se tome un elemento de
área de la Tierra pequeño,
tendríamos un vector
perpendicular a la superficie terrestre.
Con base en las anteriores
afirmaciones, la partícula proyección
no tiene aceleración, es decir,
ov
,
g
g
xP
mientras que la partícula
proyección está acelerada y su
valor es Por lo tanto, la
partícula proyección tiene un
movimiento rectilíneo uniforme M.U.,
mientras que la partícula proyección
tiene un movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado M.U.A.
Luego, las ecuaciones del
movimiento parabólico en el plano (x
,y) se obtienen de la combinación de
los movimiento simultáneos y
(1)
(2)
(3)
Asumiendo que el proyectil fue
lanzado de la posición del origen de
coordenadas O, entonces y
Por lo tanto, la ecuación de la
trayectoria se obtiene al eliminar el
tiempo en la componente del
radio vector (1) y reemplazándolo en
la componente del mismo
vector. De esta forma, la ecuación de
la trayectoria es igual a :
(4)
La expresión (4) es una ecuación
cuadrática, cuya gráfica es una
parábola como lo veremos a
continuación:
En la presente práctica se describe el
movimiento de una esfera que rueda
sobre una rampa de una altura fija .
El momento en el que la esfera sale
de la rampa, posición O, se considera
el instante inicial para el movimiento
parabólico y La
aceleración de la gravedad es de la
forma El punto O
es la referencia por el cual pasan el
eje horizontal x y el eje vertical y.
METODOLOGIA:
Se realizó un montaje similar al de la
ilustración, conformado por un
módulo al cual se le aplicó una
inclinación fija para todo el
procedimiento, un soporte universal
con fotoceldas, una esfera y un
metro.
,0x
a
yP
.gay
xP
yP
xP :
yP
jysentvtgixtvtroooo)
2
1()cos()(
2
jsenvtgivtvoo
)()cos()(
jgta )()(
0o
x
.0o
y
)(txx
)(tyy
xxv
gy
o
oo
tancos2
1 2
22
h
0o
x .0o
y
./)10.077,9( smg
Primeramente la esfera se dejaba
caer desde la parte superior del
módulo, realizando una trayectoria
hasta el final de este, realizando un
movimiento uniformemente
acelerado, como se había visto en los
anteriores laboratorios.
Después de esta acción la esfera
salía del módulo con una aceleración,
recorriendo una distancia tanto a lo
largo (eje x) como una altura (eje y),
lo que representaba el movimiento
parabólico que estaba teniendo la
esfera.
Por medio del metro se tomaron las
respectivas mediciones de las alturas
(y) y de las distancias a lo largo(x).
Con la inclinación fija de la
rampa se procede a hacer un
lanzamiento de prueba para
verificar la distancia máxima
recorrida por la esfera desde
que sale del módulo hasta que
llega al suelo.
A medida que la esfera va
realizando el movimiento las
fotoceldas nos indicaran el
tiempo en el que esta pasara
por las coordenadas(x,y).
Conociendo la distancia
máxima, y sabiendo que se
tienen que tomar siete
distancias tanto en X como en
Y, comenzamos desde 30cm
en X, desplazándonos de diez
en diez hasta llegar a los 90cm
(distancia máxima) y la altura
del suelo hasta la parte final
del módulo fue de 94cm,
variando dependiendo de X.
Primero vamos a analizar el
movimiento de la esfera a lo largo de
la trayectoria (EjeX), el movimiento
uniforme:
T(s) Tprom Insertidumbre(s) X1(cm)
0,1681
0,167
0,1666
0,167
0,1694
0,16762 0,016704451 30
T(s) Tprom Insertidumbre(s) X2(cm)
0,2099
0,2102
0,2087
0,2102
0,2123
0,21026 0,017121659 40
T(s) Tprom Insertidumbre(s) X3(cm)
0,2682
0,2646
0,2651
0,2659
0,2636
0,26548 0,008663553 50
T(s) Tprom Insertidumbre(s) X4(cm)
0,3163
0,3204
0,3204
0,3196
0,319
0,31914 0,012847026 60
Cuando un objeto se mueve con
aceleración constante, se tiene un
movimiento uniformemente
acelerado. Cuando el movimiento es
en línea recta, la ecuación que lo
describe es:
𝑥(𝑡) = 𝑥 + 𝑣 𝑡 + 𝑎𝑡
Esta es la ecuación de una parábola.
Por otro lado, la velocidad
instantánea v:
𝑣(𝑡) = 𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑣 + 𝑎𝑡
En el plano v-t describe una línea
recta cuya pendiente es igual a la
aceleración del objeto. Si se tiene el
registro de la posición de un objeto,
en movimiento uniformemente
acelerado, para diferentes instantes
de tiempo, es posible determinar toda
la información del movimiento del
objeto: la ecuación de movimiento y
la velocidad instantánea para
cualquier tiempo.
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑥𝑡
𝑥0 = 0,4094cm
𝑣𝑥 = 183.93𝑐𝑚
𝑠
PENDIENTE (b1)
∑ 𝒙𝒊𝒚𝒊𝒏𝒊=𝟏 −
𝟏𝒏
∑ 𝒙𝒊 ∑ 𝒚𝒊𝒏𝒊=𝟏
𝒏𝒊=𝟏
∑ 𝒙𝒊𝒏𝒊=𝟏
𝟐−
𝟏𝒏 (∑ 𝒙𝒊𝒏
𝒊=𝟏 )𝟐
𝟏𝟓𝟏, 𝟐𝟐𝟔𝟖 −𝟏𝟕
∗ 𝟐, 𝟐𝟔𝟕𝟖𝟒 ∗ 𝟒𝟐𝟎
𝟎, 𝟖𝟏𝟕𝟏𝟐𝟗𝟑𝟏𝟕 −𝟏𝟕
∗ (𝟐, 𝟐𝟔𝟕𝟖𝟒)^𝟐=
𝟏𝟓, 𝟐
𝟎, 𝟏
= 𝟏𝟖𝟒, 𝟓
TERMINO INDEPENDIENTE (b0)
𝟏
𝒏[∑ 𝒚𝒊 − 𝒃𝟏 ∑ 𝒙𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
𝒊=𝟏
]
𝟏
𝟕[𝟒𝟐𝟎 − (𝟏𝟖𝟒, 𝟓 ∗ 𝟐, 𝟐𝟔𝟕𝟖𝟒)] = 𝟎, 𝟐
COEFICIENTE DE CORRELACION
(R)
𝒃𝟎 ∑ 𝒚𝒊 + 𝒃𝟏 ∑ 𝒙𝒊𝒚𝒊 −𝟏𝒏 (∑ 𝒚𝒊)𝒏
𝒊=𝟏𝟐𝒏
𝒊=𝟏𝒏𝒊=𝟏
∑ 𝒚𝒊𝒏𝒊=𝟏
𝟐−
𝟏𝒏 (∑ 𝒚𝒊)𝒏
𝒊=𝟏𝟐
𝟎, 𝟐 ∗ 𝟒𝟐𝟎 + (𝟏𝟖𝟒, 𝟓 ∗ 𝟏𝟓𝟏, 𝟐𝟐𝟔𝟖) −𝟏𝟕
(𝟒𝟐𝟎)𝟐
𝟐𝟖𝟎𝟎𝟎 −𝟏𝟕
(𝟒𝟐𝟎)𝟐
=𝟖𝟒, 𝟎 + 𝟐𝟕𝟗𝟎𝟏. 𝟑 − 𝟐𝟓𝟐𝟎𝟎
𝟐𝟖𝟎𝟎= 𝟏. 𝟎
T(s) Tprom Insertidumbre(s) X5(cm)
0,3819
0,3829
0,3823
0,3866
0,3848
0,3837 0,012249153 70
T(s) Tprom Insertidumbre(s) X6(cm)
0,432
0,4636
0,4607
0,435
0,4293
0,44412 0,077231379 80
T(s) Tprom Insertidumbre(s) X7(cm)
0,479
0,4819
0,4729
0,4773
0,4765
0,47752 0,018847378 90
Por medio de las tablas se realizó
una gráfica distancia vs tiempo, se
aprecia una forma de parábola y su
ecuación asociada. En este caso, el
objeto se aleja del origen
aumentando la velocidad
uniformemente. El aumento uniforme
en la velocidad, hace que el objeto
recorra mayor distancia por unidad de
tiempo según se aleja. Por ello, la
gráfica resulta ser una parabólica.
Observa que el cambio en la posición
al principio es pequeño y el mismo va
aumentando según pasa el tiempo.
Para linealizar nuestra gráfica,
utilizamos el análisis gráfico.
Primeramente sacamos logaritmo a
cada dato de la tabla de datos
iniciales. Luego procedemos a
graficar los nuevos datos. Nuestra
gráfica de datos iniciales nos da una
curva por lo que decimos que
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑛 para linealizar hacemos
lo siguiente:
ln(𝑓𝑥) = ln (𝑎𝑥𝑛)
Lo que queda:
ln(𝑓𝑥) = ln(𝑎) + ln(𝑛𝑥)
ln(𝑓𝑥) = 𝑛𝑙𝑛(𝑥) + ln (𝑎)
La pendiente de la recta de
linealización es igual a n y su punto
de intersección con las ordenadas es
igual a 𝑙𝑛𝑎 ,à es de la forma canónica
de una recta 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏
T(s) Tprom Insertidumbre(s) Y1(cm)
0,1681
0,167
0,1666
0,167
0,1694
940,16762 0,016704451
T(s) Tprom Insertidumbre(s) Y2(cm)
0,2099
0,2102
0,2087
0,2102
0,2123
0,21026 0,017121659 90
T(s) Tprom Insertidumbre(s) Y3(cm)
0,2682
0,2646
0,2651
0,2659
0,2636
0,26548 0,008663553 76
T(s) Tprom Insertidumbre(s) Y4(cm)
0,3163
0,3204
0,3204
0,3196
0,319
0,31914 0,012847026 64
T(s) Tprom Insertidumbre(s) Y5(cm)
0,3819
0,3829
0,3823
0,3866
0,3848
0,3837 0,012249153 43
T(s) Tprom Insertidumbre(s) Y6(cm)
0,432
0,4636
0,4607
0,435
0,4293
0,44412 0,077231379 26
T(s) Tprom Insertidumbre(s) Y7(cm)
0,479
0,4819
0,4729
0,4773
0,4765
0,47752 0,018847378 8
PENDIENTE (b1)
∑ 𝒙𝒊𝒚𝒊𝒏𝒊=𝟏 −
𝟏𝒏
∑ 𝒙𝒊 ∑ 𝒚𝒊𝒏𝒊=𝟏
𝒏𝒊=𝟏
∑ 𝒙𝒊𝒏𝒊=𝟏
𝟐−
𝟏𝒏 (∑ 𝒙𝒊𝒏
𝒊=𝟏 )𝟐
−𝟔, 𝟑𝟎𝟏𝟒𝟎𝟑𝟑𝟖𝟔 −𝟏𝟕
∗ −𝟑, 𝟔𝟏𝟒𝟒𝟐𝟎𝟕𝟓𝟖 ∗ 𝟏𝟏, 𝟓𝟔𝟓𝟖𝟗𝟓𝟕𝟐
𝟐, 𝟎𝟑𝟖𝟒𝟔𝟖𝟏𝟕𝟏 −𝟏𝟕
∗ (−𝟑, 𝟔𝟏𝟒𝟒𝟐𝟎𝟕𝟓𝟖)^𝟐
=−𝟎, 𝟑
𝟎, 𝟐= −𝟏, 𝟕
TERMINO INDEPENDIENTE (b0)
𝟏
𝒏[∑ 𝒚𝒊 − 𝒃𝟏 ∑ 𝒙𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
𝒊=𝟏
]
𝟏
𝟕[𝟏𝟏, 𝟓𝟔𝟓𝟖𝟗𝟓𝟕𝟐 − (−𝟏, 𝟕 ∗ −𝟑, 𝟔𝟏𝟒𝟒𝟐𝟎𝟕𝟓𝟖)]
= 𝟎, 𝟖
COEFICIENTE DE CORRELACION
(R)
𝒃𝟎 ∑ 𝒚𝒊 + 𝒃𝟏 ∑ 𝒙𝒊𝒚𝒊 −𝟏𝒏 (∑ 𝒚𝒊)𝒏
𝒊=𝟏𝟐𝒏
𝒊=𝟏𝒏𝒊=𝟏
∑ 𝒚𝒊𝒏𝒊=𝟏
𝟐−
𝟏𝒏
(∑ 𝒚𝒊)𝒏𝒊=𝟏
𝟐
𝟎, 𝟖 ∗ 𝟏𝟏, 𝟓𝟔𝟓𝟖𝟗𝟓𝟕𝟐 + (−𝟏, 𝟕 ∗ −𝟔, 𝟑𝟎𝟏𝟒𝟎𝟑𝟑𝟖𝟔) −𝟏𝟕
(𝟏𝟏, 𝟓𝟔𝟓𝟖𝟗𝟓𝟕𝟐)𝟐
𝟏𝟗, 𝟗𝟗𝟕𝟗𝟖𝟑𝟒𝟖 −𝟏𝟕
(𝟏𝟏, 𝟓𝟔𝟓𝟖𝟗𝟓𝟕𝟐)𝟐
=𝟗, 𝟑 + 𝟏𝟎, 𝟕 − 𝟏𝟗, 𝟏
𝟎. 𝟗= 𝟏. 𝟎
Además de la existente forma para
hallar la Aceleración y permitir una
mejor lectura de datos como lo es la
Linealizacion existe también un
método valido, como lo es la
realización de una gráfica con una
ecuación polinomica de orden 2 que
junto a la linealizacion corresponde a
una de las formas como podemos
obtener nuestros resultados y mejorar
la presentación de estos mismos.
𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝑣𝑜𝑥𝑡 + (1
2) 𝑎𝑡2
𝑎
2= −444,44
𝑎 = −888.9𝑐𝑚
𝑠2
La gravedad en nuestro sistema nos
dio -888.9𝑐𝑚
𝑠2 pero esta gravedad tiene
una incertidumbre la cual se halla
mediante las siguientes expresiones
∆𝑔 =𝑑𝑧
𝑑𝑏∆𝑏 =
𝑑𝑧
𝑑𝑦𝑑𝑦 +
𝑑𝑔
𝑑𝑡𝑑𝑡
𝑦(𝑡) =1
2𝑔𝑡2 𝑔 = 2
𝑦
𝑡2
𝑑𝑔
𝑑𝑦=
𝑑
𝑑𝑦(
2𝑦
𝑡2) =
2
𝑡2
𝑑𝑔
𝑑𝑡=
𝑑
𝑑𝑡(2𝑦𝑡−2) = 2𝑦(−2𝑡−3) =
−4𝑦
𝑡3
∆𝑔 =𝑑𝑔
𝑑𝑦∆𝑦 +
𝑑𝑔
𝑑𝑡∆𝑡
𝑑𝑔
𝑑𝑦∆𝑦 =
2
𝑡2∆𝑦
𝑑𝑔
𝑑𝑡=
−4𝑦
𝑡3∆𝑡
Dando como resultado el
desviamiento del dato que buscamos
(la gravedad), en nuestra
experimentación.
Distancia 94cm:
𝑑𝑔
𝑑𝑦∆𝑦 =
2
𝑡2 ∆𝑦 =0,71183334𝑐𝑚
𝑠2
𝑑𝑔
𝑑𝑡=
−4𝑦
𝑡3 ∆𝑡=-1333,65203𝑐𝑚
𝑠2
∆𝑔 =±1332,9402𝑐𝑚
𝑠2
Distancia 90cm:
𝑑𝑔
𝑑𝑦∆𝑦 =
2
𝑡2 ∆𝑦 =0,45239383𝑐𝑚
𝑠2
𝑑𝑔
𝑑𝑡=
−4𝑦
𝑡3 ∆𝑡=-8143,08898𝑐𝑚
𝑠2
∆𝑔 =±8142,63659𝑐𝑚
𝑠2
Distancia 76cm:
𝑑𝑔
𝑑𝑦∆𝑦 =
2
𝑡2 ∆𝑦 =0,28376993𝑐𝑚
𝑠2
𝑑𝑔
𝑑𝑡=
−4𝑦
𝑡3 ∆𝑡=-4313,30298𝑐𝑚
𝑠2
∆𝑔 =±4313,01921𝑐𝑚
𝑠2
Distancia 64cm:
𝑑𝑔
𝑑𝑦∆𝑦 =
2
𝑡2 ∆𝑦 =0,19636655𝑐𝑚
𝑠2
𝑑𝑔
𝑑𝑡=
−4𝑦
𝑡3 ∆𝑡=-2513,49186𝑐𝑚
𝑠2
∆𝑔 =±2513,2955𝑐𝑚
𝑠2
Distancia 43cm:
𝑑𝑔
𝑑𝑦∆𝑦 =
2
𝑡2 ∆𝑦 =0,13584586𝑐𝑚
𝑠2
𝑑𝑔
𝑑𝑡=
−4𝑦
𝑡3 ∆𝑡=-1168,27437𝑐𝑚
𝑠2
∆𝑔 =±1168,13852𝑐𝑚
𝑠2
Distancia 26cm:
𝑑𝑔
𝑑𝑦∆𝑦 =
2
𝑡2 ∆𝑦 =0,10139799𝑐𝑚
𝑠2
𝑑𝑔
𝑑𝑡=
−4𝑦
𝑡3 ∆𝑡=-527,269533𝑐𝑚
𝑠2
∆𝑔 =±527,168135𝑐𝑚
𝑠2
Distancia 8cm:
𝑑𝑔
𝑑𝑦∆𝑦 =
2
𝑡2 ∆𝑦 =0,08770955𝑐𝑚
𝑠2
𝑑𝑔
𝑑𝑡=
−4𝑦
𝑡3 ∆𝑡=-140,335274𝑐𝑚
𝑠2
∆𝑔 =±140,247564𝑐𝑚
𝑠2
Para determinar una incertidumbre
general se hace necesario hacer un
promedio sobre los ∆g
∆𝑔𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =888.9+_2591,06367𝑐𝑚
𝑠2
X(cm) Y(Cm)
30 94
40 90
50 76
60 64
70 43
80 26
90 8
Esta grafica representa la trayectoria que
nuestra masa experimentó, donde la
distancia en el eje (x) va aumentando
conforme el eje (y) disminuye, debido a la
fuerza de atracción gravitacional y la
velocidad que llevaba nuestra esfera
CONCLUSIONES:
Comprobamos como si se
convinan el m.u.r y el m.u.a en
el movimiento parabolico.
Concluimos a partir de la
experiencia que nuestra
gravedad medida es de
888.9+_2591,06367 cm/s^2
esta gravedad no es exacta ya
que se concluyo a partir de
datos experimentales de un
movimiento parabolico que
midiéndolo desde la altura se
puede ver como un
movimiento uniformemente
acelerado
En el m.u.r vemos que la
velocidad de la esfera es la
pendiente de la recta la cual
sale al linealizar a traves de
minimos cuadrados
La propagacion de
incertidumbres nos permite
demostrar lo densa que es la
recta numerica y que por mas
aproximado que se este de un
resultado va a tener errores
tanto sistemáticos como
humanos
En condiciones ideales todo
cuerpo caería con la misma
velocidad a efectos de la
fuerza de aceleración
gravitacional. Sin embargo, en
la experiencia se pudo
evidenciar que la velocidad
con la que cae un objeto en
caída libre, puede variar por
diversos factores: por la
resistencia del aire, el área de
contacto, errores sistemáticos
y (la de las maquinas---
buscar).
Los errores se dan por fallas
del sujeto que mide. Al trabajar
con valores muy pequeños se
puede discriminar cifras que
luego afectaran drásticamente
los resultados que se esperan.
Debido al movimiento en
ambos ejes y a la altura (h),
nuestra masa describe una
semiparabola, al ser atraída
por fuerza de aceleración de la
gravedad
