Movimiento Relativo a Ejes Rotantes

5/22/2018 Movimiento Relativo a Ejes Rotantes

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MECNICA DINMICA Movimiento relativo a ejes rotantes


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Movimiento relativo a ejes rotantes

En la cinemtica de partculas, analizamos el siguiente mecanismo:

B O

A

re

e

r

r2

r

BAr

/

Y

X

r

MECNICA DINMICA 2



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Recordemos las ecuaciones que rigen su movimiento:

Ahora vamos a inscribir este mismo mecanismo, en un sistema coordenado 3D.

MECNICA DINMICA 3



4/42

Z

Y

X

rB

rA

rA/B

MECNICA DINMICA 4



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Como vemos, es necesario reajustaralgunos conceptos:

; velocidad deArelativa al ejerotanteAB.

Perpendicular a; aceleracin deArelativa aleje de rotanteAB.

escalar vectorial

MECNICA DINMICA 5



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Al llevar el mecanismo a un sistema X-Y-Z, podemos escribir las ecuaciones de cuerporgido:

Si Bes fijo:

MECNICA DINMICA 6



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Ejemplo 1: El marco triangular mostrado rota con una velocidad angular de 2 rad/s ensentido antihorario. Simultneamente el seguidor P se mueve con velocidad constante de0.2m/s relativo al marco, determinar la aceleracin de P y su direccin en la posicinmostrada cuando:a) P se mueve de izquierda a derechab) P se mueve de derecha a izquierda

c) Cul de los dos casos anteriores es ms favorable?d) Existe aceleracin de Coriolis? Explique con clculos

MECNICA DINMICA 7


P

2 rad/s

r=0.2

5m

A


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MECNICA DINMICA 8


P

2 rad/s

r=0.25

m

A

Solucin: a) Del problema:

Podemos hallar la aceleracin relativa del seguidor:

Luego, la aceleracin total del seguidor, ser:


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MECNICA DINMICA 9


P

2 rad/s

r=0.2

5m

A

Solucin:

b) Para este caso :

La nueva aceleracin ser:


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MECNICA DINMICA 10


P

2 rad/s

r=0.2

5m

A

Solucin:c) Elprimer caso resulta ms favorable desde el puntode vista mecnico, pues la aceleracin (que en esteproblema sigue una direccin normal) es menor, porlo tanto, la fuerza de friccin ser, en consecuencia,menor.

d) S existe, para ambos casos:

1 caso

2 caso


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Ejemplo 2: El brazo AB est rotando en sentido antihorario con una velocidad angularconstante de 4 rad/s. Al mismo tiempo, el disco est rotando en sentido horario con 8rad/s relativo aAB. Determinar:a) La aceleracin del punto P que est en el borde del disco.b) Existe aceleracin de Coriolis? Explique con clculos.

MECNICA DINMICA 11


30

P

B

A

4 rad/s

8 rad /s


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MECNICA DINMICA 12


Solucin:

30

P

B

A

4 rad/s

8 rad /s a) De los datos del problema:

Hallamos la velocidad de Prelativa a B:

De igual modo, la aceleracin de P

relativa a B:


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MECNICA DINMICA 13


Solucin:

30

P

B

A

4 rad/s

8 rad /s Entonces, la aceleracin de Pes:

b) De lo anterior tenemos que la aceleracinde Coriolis es:


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Ejemplo 3: En el sistema, determinar la velocidad y aceleracin de B, para un observadorsituado en el vehculoA. La velocidades deA y de Bson constantes.

MECNICA DINMICA 14

50 pies

A B

45 mi/h 60 mi/h

O



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MECNICA DINMICA 15


Solucin: Convertimos las velocidades a pies/s:

La velocidad angular del vehculoA, es:

Luego, la velocidad relativa del vehculo B, es:


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MECNICA DINMICA 16


Solucin: Hallamos la aceleracin deA:

Luego, la aceleracin relativa del vehculo B, ser:


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Ejemplo 4: Una persona est de pie en el punto A sobre la plataforma circular que gira convelocidad angular constante de 0.5 rad/s en sentido antihorario. Si camina con velocidadconstante de 0.75 m/s medida con relacin a la plataforma, determine su aceleracincuando alcanza el punto B, segn la trayectoriaABC. Nota: Tomar r = 3 m y d = 1m

MECNICA DINMICA 17


O

A C

B

Dr

dy

x


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MECNICA DINMICA 18


Solucin: Existe una componente de aceleracin relativa de la persona,ya que se est desplazando en una trayectoria curva de modoque:

Por lo tanto, la aceleracin de la persona en B:


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Ejemplo 5: El disco mostrado se encuentra rodando. Para la posicin indicada, la velocidadangular del disco es 5 rad/s en sentido horario y la aceleracin angular es 2 rad/s2 ensentido antihorario, al mismo tiempo la velocidad del seguidor P con respecto a la rueda esde 8 pies/s, respectivamente, dirigida hacia abajo. Determinar la aceleracin del punto P enesa posicin.

MECNICA DINMICA 19


y

x

= 5 rad/s

= 2 rad/s2

12 in

P

O


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MECNICA DINMICA 20


Solucin:

y

x

= 5 rad/s

= 2 rad/s2

P

O

De las caractersticas del grfico, tenemos que:

Realizamos algunas conversiones:

Luego, la aceleracin de O:

Por lo tanto, la aceleracin de P:

arelvrel


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Ejemplo 6: El disco D de radio R est unido por un pasador al extremo A del brazo OA delongitud L sobre el plano del disco. El brazo gira con respecto a un eje vertical alrededor deO a la rapidez angular constante de 1, y el disco gira con respecto a A con una rapidezconstante 2. En funcin de las variables citadas, determinar:a) La velocidad total del punto P.b) Existe aceleracin de Coriolis? Cul es su valor?

c) La aceleracin del punto P.

MECNICA DINMICA 21


1

2O

D

P

R

A

L


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MECNICA DINMICA 22


1

2O

D

P

R

A

L

Y

X

z

x

y

Solucin: a) Calculamos los trminos de lavelocidad de P:

Reemplazando:


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MECNICA DINMICA 23


Solucin:

1

2O

D

P

R

A

L

Y

X

z

x

y

b)De los datos anteriores:

c)Luego, calculamos la aceleracin de P:


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Ejemplo 7: La rueda de 200 mm de radio conectada a la barra mediante el pin P, situado a140 mm del centro A de la rueda , gira hacia la derecha con una velocidad angularconstante de 20 rad/s . Cuando = 0 ,X= 480 mm. Determinar la velocidad angular de labarra BD y la velocidad relativa del pin con respecto a la barra BD cuando = 90.

MECNICA DINMICA 24


D

AB

x

P


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MECNICA DINMICA 25


D

A

B

480

P

140200 x /2

BD

A

Solucin: Datos del problema:

Si utilizamos el CI de la rueda, tenemosque la velocidad de P:


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MECNICA DINMICA 26


D

A

B

480

P

140200 x /2

BD

A

Solucin: Si iniciamos desde B, tenemos que:

De modo que resulta un sistema deecuaciones:

Resolviendo:


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MECNICA DINMICA 27


X

(mm)

rP/B

(mm)

Velocidad

angular de BD

(rad/s)

Velocidadrelativa

del pin P

(mm/s)

Velocidadabsoluta del

pin P

(mm/s)

Aceleracinrelativa del

pin P

(mm/s2)

Aceleracinangular de

la barra BD

(rad/s2)

Aceleracinabsoluta del

pin P

(mm/s2)

0

90

180

360

A modo de ejercicio, se deja a los alumnos la siguiente variante del problema:

Ejemplo 7*: La rueda de 200 mm de radio conectada a la barra mediante el pin P, situado a140 mm del centroA de la rueda , gira hacia la derecha con una velocidad angular constantede 20 rad/s . Cuando = 0 ,X= 480 mm. Determinar :


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Ejemplo 8: En el sistema mostrado , la aceleracin angular de AB es 1 rad/s2 y el carro

circular tiene una aceleracin angular de 0.6 rad/s2y una velocidad angular de 0.5 rad/s,ambas en sentido horario. Existe aceleracin de Coriolis? Escriba Si, el valorcorrespondiente en rad/s2o en su defecto No, Cero

MECNICA DINMICA 28

2 pies

AB

=2 rad/s

=0.5 rad/s

x

y

30

C

60

B

A



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Solucin:

MECNICA DINMICA 29

2

2 rad/s

0.5 rad/s

30

C

B

A

3

10sen30

1 rad/s2

0.6 rad/s2

De los datos tenemos que:

Podemos hallar la velocidad de C

relativa al disco:

Por lo tanto, la aceleracin de Coriolis es:



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Problema 9: Un disco de 400 mm de dimetro est

rgidamente unido a un eje de 600 mm de longitud, yrueda sin deslizar sobre una superficie fijada en el planoxy. El eje, que es perpendicular al disco, est unido a unpin en Ay es libre para pivotar alrededor de A. Ademsde que el disco y el eje rotan sobre sus propios ejes convelocidad angular 1, el eje tambin rota alrededor de

una eje vertical con velocidad angular 2. Si 1 = 5rad /sy 1= 20 rad/s en el instante mostrado, determine:

1

2

x

y

A

BC

D

z

MECNICA DINMICA 30



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a) La velocidad angular total y la aceleracinangular total del disco en ese instante.

b) La velocidad vc y la aceleracin ac del punto Csobre el borde del disco en ese instante.

1

2

x

y

A

BC

D

z

Problema 9:

MECNICA DINMICA 31



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Solucin:a) La barra AB forma una ngulo con el ejexcomo se muestra.

De acuerdo con la regla de la manoderecha, la velocidad angular va del

punto B hacia A, y tienecomponentes:

z

x 18.43

1

B

A

MECNICA DINMICA 32



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D

1

2

x

y

A

z

D

2

s

1

D

Solucin:Sabemos que el disco gira sin deslizarse. Por lo tanto, el arco DDque describe sobre eldisco es el mismo que describe sobre el planoxy.

MECNICA DINMICA 33



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MECNICA DINMICA 34


Solucin:Derivando lo anterior respecto al tiempo, obtenemos las relaciones entre las velocidadesangulares1y 2:

La aceleracin angular ser la derivada de la velocidad angular:

Donde las derivadas deben considerar los cambios en las direcciones as como los cambiosen las magnitudes de 1y 2.


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Por lo tanto:Solucin:

Recordemos que: Si derivamos con respecto al tiempo:

Reemplazando:


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b) La posicin del punto Crelativo al punto alrededor del cual el disco gira es:Solucin:

Entonces, la velocidad del punto Cest dada por:

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La aceleracin del punto Cest dada por la ecuacin:Solucin:

MECNICA DINMICA 37



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Problema 10: La escalera de un

carro de bomberos est siendolevantada constantemente a .Simultneamente, est rotandoalrededor del eje vertical en formaconstante a y desplegndoseconstantemente con .

Determine la velocidad vB y laaceleracin aB del final de laescalera cuando s = 10 m y 2= 30

MECNICA DINMICA 38


s

z

x

y

B

A


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Solucin:El sistema coordenadoxyzest fijado con su origen en A, como se muestra. La rotacin delsistema xyz est escogida de tal forma que la escalera siempre est en el plano yz.Entonces, la velocidad relativa est dada por:

Donde:

MECNICA DINMICA 39



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Solucin:Analizando el movimiento de la escalera:

B

A

Por lo tanto:

MECNICA DINMICA 40



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Solucin:La ecuacin de la aceleracin es:

Donde:

MECNICA DINMICA 41



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Solucin:Analizando el movimiento de la escalera:

B

A

Por lo tanto:


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