Movimientos con conservación de la energía mecánica

Curso l Física I

Autor l Lorenzo Iparraguirre

253

CAPÍTULO 8:

Movimientos con conservación de la

energía mecánica

8.1.- Sistemas con fuerzas conservativas.

Ya hemos hablado de la energía cinética, que es la forma de almacenar energía en el movi-

miento de un sistema.

Ahora hablaremos de la energía “potencial”, que es aquella que el sistema puede tener aún

estando en reposo, en función de las posiciones o deformaciones de las partes1.

La idea básica de un sistema que almacena energía mecánica en forma potencial significa que

su estructura o naturaleza es tal que, cuando un agente externo realiza sobre él un trabajo posi-

tivo W llevando sus partes desde una posición A hasta otra B, si luego el sistema puede retor-

nar de B a A, lo hace realizando esa misma cantidad de trabajo W (positivo) sobre el agente

externo (le devuelve la energía antes suministrada). Es decir que estamos pensando en un sis-

tema en el cual, por algún mecanismo, necesariamente actúa alguna fuerza interior además de

la que le aplica el agente exterior, y esta fuerza entre las partes del sistema es la que las hace

retornar a la posición o configuración inicial (haciendo trabajo positivo para ello).

Un ejemplo :

Para subir un cuerpo hasta una cierta posición más elevada, un agente deberá hacer trabajo positivo,

ya que el cuerpo no subirá espontáneamente porque la fuerza peso siempre se opondrá a ello. Pero

una vez que el cuerpo esté en la posición alta, la fuerza peso tenderá a hacerlo retornar a la posición

baja, y si eso ocurre, hará trabajo positivo en el descenso.

Ahora bien, el cuerpo no tendría la capacidad de hacer trabajo bajando si no estuviese en el campo

gravitatorio terrestre. De manera que el conjunto {cuerpo, planeta Tierra}, o el conjunto {cuerpo, campo

gravitatorio de la Tierra}, es un sistema que almacena energía potencial gravitatoria cuando el cuer-

po sube, y puede devolverla al bajar. La energía potencial gravitatoria debe ser una función de la altura

del cuerpo.

Otro ejemplo:

Para estirar o comprimir un resorte, o deformar cualquier cuerpo elástico, un agente hace trabajo posi-

tivo. Pero luego el cuerpo elástico tiende a recuperar su forma inicial, pudiendo él hacer trabajo positivo 1 La denominación potencial hace referencia a la posibilidad de llegar a ser algo, y no tiene que ver con la potencia; una

energía potencial, como veremos, debe interpretarse como una capacidad “latente”, en el sistema, algo que puede llegar a

manifestarse si se dan determinadas condiciones.

proed

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en ese proceso. Decimos entonces que almacena energía potencial elástica al ser deformado, y

puede devolverla al recuperar su forma inicial. La energía potencial elástica debe ser una función de la

deformación.

Si el cuerpo no es elástico puede quedar deformado sin hacer ningún trabajo luego de ello; ese es un

ejemplo de cuerpo que no almacena energía potencial elástica.

Fuerza conservativa y energía potencial.

Ya hemos visto que hacer un trabajo W sobre un sistema es transferirle mecánicamente esa

cantidad de energía, de manera que si un sistema está interactuando sólo con un agente exter-

no que hace sobre él la cantidad de trabajo Wext(AB), mientras el sistema pasa de la posi-

ción o configuración A a la B, tenemos:

Energía transferida mecánicamente al sistema = Wext(AB)

Si además estamos considerando procesos en los cuales no hay otro tipo de transferencia de

energía, entonces la variación de la energía del sistema estará dada toda por la energía transfe-

rida de este modo:

E = EB EA = Wext (AB)

Existe un Principio de Conservación de la Energía que nos garantiza que el sistema ha alma-

cenado, en la diferencia EB EA , toda la energía suministrada por el agente externo. Pero no

nos garantiza que el sistema pueda realizar con ella la misma cantidad de trabajo sobre el

agente exterior, al retornar desde la configuración o posición B hasta la A.

Ya sabemos que en los sistemas macroscópicos eso difícilmente ocurre. Cuando ocurre, es

decir cuando el sistema tiene propiedades tales que se garantiza que puede realizar, al retornar

de B a A (para simplificar supongamos el caso en que nada de esta energía se almacena como

cinética) la misma cantidad de trabajo sobre el agente exterior que antes éste hizo sobre él,

entonces decimos que las fuerzas interiores que actúan son “conservativas”.

Esto significa que consideramos que la energía suministrada durante el proceso AB es con-

servada por el sistema, puesto que está garantizado que luego puede ser devuelta. Dado que

explícitamente hemos excluido la posibilidad de almacenar la energía en forma cinética, de-

cimos que la ha almacenado en forma de energía potencial: E = Ep.

Es decir, para esta evolución AB, con EcA = EcB ,

Wext (AB) = Ep = EpB EpA (8.1)

Ahora bien, estamos hablando de sistemas especiales en los que, además del agente externo,

actúa algún agente o mecanismo interior, capaz de este proceso de almacenar energía que es-

tamos estudiando. Tendremos que Wresultante = Wext + Wint , y este trabajo resultante debe ser

nulo para el caso propuesto de Ec = 0, ya que (según el teorema del trabajo y la energía ciné-

tica) es igual a la variación de la energía cinética total.

De manera que podemos reescribir (8.1) en términos del trabajo de las fuerzas interiores que

intervienen en un proceso, para todos los casos en que éstas son conservativas:

Wint (AB) = Ep = EpA EpB (8.1’)

NOTA: esta expresión es parecida a (8.1) pero su validez es mayor, porque sólo

involucra a las fuerzas interiores. El agente exterior, tanto como la fuerza que

él aplica, pueden existir o no. Lo que es propio del sistema es la fuerza interior

que actúa entre sus partes en función de sus posiciones relativas. Esta fuerza es

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la que puede ser conservativa o no. Si lo es, lo sigue siendo aunque el agente

exterior no exista, o aunque éste realice alguna acción distinta de las que

hemos considerado.

De manera que (8.1’) DEFINE la variación de energía potencial, y lo hace para

cualquier forma de movimiento entre A y B, con variación o no de la energía

cinética, haya o no haya agente exterior. Mientras que (8.1) vale sólo para el

caso en que el movimiento ocurre con Ec = 0 (y obviamente involucra un

agente exterior que en general se requiere para ello).

Cualquiera de estas expresiones nos muestra que la energía potencial esencialmente queda

definida a través de su variación Ep.

Podemos atribuirle cualquier valor arbitrario en cualquier punto ó configuración arbitraria

tal como el A, y luego la expresión (8.1’) permitirá calcular su valor en cualquier B, a partir

de:

Ep(B) = Ep(A) Wint (AB) (8.1’’)

Como vemos el aumento de Ep ocurre cuando Wint < 0, es decir mientras las fuerzas interiores

están trabajando en contra, y da cuenta exactamente del trabajo que ellas podrán hacer luego al

retornar al sistema a la situación anterior. Y viceversa.

A partir de ahora, denominaremos en general “conservativas”, a las fuerzas de este tipo, sean

o no interiores al sistema considerado y las simbolizaremos escribiendo CF

(como veremos, la

denominación “interior”, que hemos estado utilizando puede no ser adecuada para muchos

casos de estas fuerzas).

De manera que la existencia de una energía potencial Ep se refiere siempre a la existencia de

una fuerza conservativa de algún tipo en un sistema, y queda definida en cualquier proceso

AB por:

WFc(AB) = Ep (8.2)

Condición necesaria para que una fuerza sea conservativa.

A partir de (8.2) obtenemos que una fuerza conservativa siempre debe cumplir WFc(AB) =

WFc(BA), para dos puntos A, B, cualesquiera.

Observando la próxima figura nos damos cuenta de que esto significa que CF

debe estar igual-

mente definida en cada posición, independientemente de con qué rapidez o con qué sentido se

pase por allí. En cada posición debe actuar siempre de la misma manera, con igual intensidad

y sentido, independientemente de cómo sea el movimiento. Así vemos que fuerzas como la

gravitatoria, siempre vertical hacia abajo y de módulo constante, independientemente de que

el objeto sobre el que actúa suba o baje, o la elástica, siempre hacia la posición de equilibrio

del resorte, independientemente de que éste se esté estirando o acortando, cumplen con esta

condición y son típicos ejemplos de fuerzas conservativas.

En cambio encontramos que la fuerza de rozamiento invierte su sentido cuando invertimos el

sentido en que recorremos un trayecto cualquiera AB, y esto la califica automáticamente como

fuerza no conservativa: quita energía a la ida (WAB < 0) , y la vuelve a quitar a la vuelta

(WBA < 0).

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A

vAB

vBA B

FC

FC

A

vAB

vBA B

FNC

FNC

Fig. 8.1: Esquema de cómo actúa una fuerza conservativa (izquierda), y una no conservativa (de-

recha), mientras un móvil pasa sucesivamente por los puntos A y B en un sentido y luego en el

otro.

Energía potencial

Para simplificar el tratamiento (aunque luego mostraremos que las conclusiones son mucho

más generales), ahora consideremos el movimiento de una única partícula sobre la que actúa

una fuerza conservativa FC .

Esta fuerza puede ser aplicada por un campo de fuerzas creado por otro cuerpo (por ejemplo

un campo eléctrico, o gravitatorio, etc.), o por elementos mecánicos, como un resorte cuyo

otro extremo está fijo.

Asociada con una fuerza conservativa siempre existe una energía potencial definida por (8.2):

)BA(Ep

)A(Ep)B(Ep WFc(AB)

Como ya dijimos, podemos atribuir a la energía potencial cualquier valor arbitrario en cual-

quier punto arbitrario tal como el A, y luego podremos calcular su valor en cualquier otro pun-

to B, a partir de:

Ep(B) = Ep(A) WFc(AB) (8.2’)

De manera que para calcular o conocer cuál es la función de las coordenadas que da la energía

potencial correspondiente a un problema dado, lo que hay que saber es calcular el trabajo

hecho por la fuerza en un desplazamiento desde un punto de referencia hasta cualquier punto

genérico.

Repasando la definición de trabajo encontramos que en un desplazamiento infinitesimalr ,

cuyo módulo es l, el trabajo hecho por CF

vale:

WFc = F rC = FC cos l = FCT l

componente tangencial

Y en todo el camino desde A hasta B el trabajo se expresa mediante una integral:

WFc(AB) = F drCA

B

= B

ACTdF l

En este momento no estamos interesados en calcular integrales, ni en conocer específicamente

funciones energía potencial, sino en aprender a manejar las ideas y procedimientos asociados

importantes (luego veremos cómo se calculan o definen las energías potenciales en algunos

casos de interés).

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Lo que necesitamos para entender propiedades generales de la energía potencial ahora es estu-

diar lo que sucede al considerar desplazamientos infinitesimales, de manera que volvamos a la

definición de trabajo recién escrita para el desplazamiento r .

Para una notación más práctica ubiquemos el eje x a lo largo del desplazamiento (cualquiera

que sea su ubicación en el espacio). En estas condiciones FCT = FCx , y l = x, de manera

que, reescribiendo con esta notación la definición (8.2), WFc = Ep , obtenemos las siguien-

tes expresiones fundamentales:

Ep = FCxx (8.3)

FCx = x

Ep

(8.4)

NOTA: LA FUERZA APUNTA HACIA DONDE LA ENERGÍA POTENCIAL DISMINUYE.

Vemos en la expresión (8.3) que el aumento de Ep (Ep > 0) sólo puede ocurrir si

FCx

tiene el signo contrario que x. Y viceversa, Ep disminuye cuando FCx

tiene el

mismo signo que x.

Esto se ilustra en los esquemas siguientes, para diferentes orientaciones posibles

de la fuerza y del eje x:

Ep mayor FCx

> 0 Ep menor

x

Ep menor FCx

> 0 Ep mayor

x

Ep menor FCx

< 0 Ep mayor

x

Ep mayor FCx

< 0 Ep menor

x

Es decir, independientemente de cómo se ubiquen el eje y el desplazamiento,

Las componentes de la fuerza siempre apuntan

hacia donde la energía potencial disminuye.

Esto es lo que ya fue dicho al comienzo de este capítulo: si la partícula se des-

plaza o es desplazada en contra de una fuerza conservativa la energía poten-

cial “se almacena”, es decir, aumenta, mientras que si la partícula viaja “lle-

vada” por la fuerza conservativa (en el mismo sentido de ella), en este proceso

“se gasta”, es decir disminuye, la energía potencial.

Energía potencial gravitatoria

Consideremos un cuerpo de masa m en la vecindad de la superficie de la Tierra, donde el

campo gravitatorio es constante. Si colocamos un eje x horizontal y un eje y vertical, positivo

hacia arriba, la fuerza peso será: P

= (0 ; m g).

Una forma útil y simple de calcular el trabajo que hace esta fuerza en un trayecto cualquiera es

comenzar considerando un trayecto rectilíneo desde un punto (xA ; yA), hasta otro (xB ; yB).

WP(AB) = P cos dAB

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A

B

P

m

PT yB yA

Fig. 8.2: Elementos para definir la energía potencial gravitatoria.

Para mayor sencillez podemos considerar en esta figura el ángulo = 90º, que es el ángu-

lo de AB con la horizontal. Tendremos cos = sen, y dAB cos = dAB sen = y.

Entonces:

WP(AB) = P y (8.5)

Ahora bien, (8.5) es válida para trayectos AB de cualquier forma, y no sólo rectilíneos. Para

convencernos de eso imaginemos que AB está compuesto de varios desplazamientos sucesi-

vos de distinta dirección, AA’A’’… etc. B. Al sumar todas las contribuciones Py

para obtener el trabajo total, tendremos el factor común – P por la suma de todos los y suce-

sivos, cuyo resultado será – P por la diferencia total yB – yA .

De manera que, si Ep = WP, entonces Ep = P y = m g yB – m g yA.

Esto significa que podemos definir:

Ep = P y = m g y (8.6)

Vemos aquí cómo se cumple que la fuerza del campo apunta hacia donde disminuye Ep: la

fuerza gravitatoria apunta hacia abajo, que es hacia donde disminuye y.

Ahora bien, y representa la altura con respecto a un nivel que ha sido definido arbitrariamente

como altura cero (por ejemplo, el nivel del piso, o el nivel del mar, o el punto más bajo de

algo, etc.). Es claro que estas elecciones posibles son todas arbitrarias, y ahora nos encontra-

mos con que si cambiamos esta elección, cambia Ep.

¿Qué significa esto?

Esto es una consecuencia natural de la definición misma de lo que es una energía potencial,

dada por (8.1) o (8.2): la energía potencial es una función de la posición que se define por su

variación.

El valor particular de Ep en un punto cualquiera no tiene significado físico; sólo lo tiene su

variación entre dos puntos. De manera que si Ep es una función energía potencial correcta

para un sistema, Ep + cualquier constante, también lo es.

Para el caso específico de la fuerza gravitatoria, podemos decir que la función energía poten-

cial más general posible será:

Ep = m g y + C (8.6’)

Donde C es una constante que se elige arbitrariamente. En general se elige para que Ep sea

cero en algún lugar particular. Si no se escribe nada, Ep será cero en y = 0 (que de todos mo-

dos corresponderá a una altura arbitraria).

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Una vez que se eligen estos valores, ya no se cambian, y los resultados con significado físico

no serán afectados por estas elecciones, como veremos en ejemplos concretos.

Energía potencial elástica

Para el caso de una fuerza elástica a lo largo del eje x, si definimos x = 0 en la posición de

equilibrio, se tiene Fx = k x. De manera que la fuerza tangencial es hacia la posición de equi-

librio, y hace un trabajo negativo tanto si el resorte es estirado como comprimido. Por lo tanto,

si partimos de x = 0, y estiramos o comprimimos el resorte hasta cualquier valor x, según (8.1)

será:

Ep(x) – Ep(0) = Welástico = Área deF(x)

x

F (módulo)

x

F(x)

Área = ½ x F = ½ k x2

Fig. 8.3: Elementos para definir la energía potencial elástica.

De manera que, finalmente:

Ep(elástica) = 2

xk 2

+ C (8.7)

Donde C es el valor arbitrario de Ep en la posición de equilibrio (generalmente se toma C =

0).

Vemos aquí cómo se cumple que la fuerza del campo apunta hacia donde disminuye Ep: la

fuerza elástica siempre apunta hacia la posición de equilibrio del resorte, y en este caso esta

posición es x = 0, en la cual la energía potencial tiene su mínimo valor.

Ejemplo desarrollado 1

a) Calcule la fuerza necesaria para estirar 20 cm un resorte de constante elástica k = 3000 N/m.

b) Calcule también, para el proceso de estirar el resorte: el trabajo que hace un agente externo, el

trabajo que hace el resorte sobre el agente, y la energía potencial que almacena el resorte.

Desarrollo

a) F = k x = 3000 (N/m) 0,2 m = 600 N.

b) Una fuerza de 600 N actuando a lo largo de 20 cm, hubiera hecho un trabajo de 120 J; pero la fuer-

za no fue siempre de 600 N, sino que comenzó en cero y fue aumentando a medida que el resorte se

estiraba, y llegó a 600 al final. De manera que tenemos una gráfica similar a la de la figura 8.3, y para

averiguar el trabajo realizado lo que debemos calcular es el área, que está dada por la expresión de la

energía potencial: Wext = ½ k (x)2 = 3000 0,22/2 = 60 J.

Una vez obtenido este valor, interpretando los signos podemos decir: Wresorte = 60 J; Ep = 60 J.

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Para justificar los signos de Wext y Wresorte se debería hacer un esquema mostrando que la fuerza que

aplica el agente externo actúa en el sentido de la deformación, y la que (por reacción) le aplica el re-

sorte a él, actúa en sentido opuesto.


Considere un resorte alineado con el eje x que tiene un extremo fijo en x = 0, tal que su energía poten-

cial está dada por la función Ep(x) = 600 (N/m) (x – 0,20 m)2.

a) Encuentre la constante elástica y la posición de equilibrio x0 del extremo libre del resorte.

b) Encuentre la fuerza que debe aplicar un agente para estirar el extremo libre del resorte hasta x1 =

0,30 m. Calcule el trabajo que hace el agente para estirar el resorte y muéstrelo en una gráfica de la

función Ep(x).

c) Repita los puntos a) y b) si la función energía potencial hubiese sido Ep1(x) = 600 (N/m) (x – 0,20

m)2 + 10 J (es decir, la misma Ep(x) más una constante igual a 10 J).

Desarrollo

a) Dado que el coeficiente de x2, en este caso 600 N/m, en la expresión de la energía potencial elásti-

ca, debe ser k/2, podemos deducir que k = 1200 N/m. Por otra parte es claro que el mínimo de la fun-

ción Ep(x) del enunciado está en x = 0,20 m, ya que allí vale 0, y en cualquier x mayor o menor (que

0,20 m), Ep tiene algún valor positivo. Por lo tanto ésa debe ser la posición de equilibrio, y la diferencia

(x – 0,20) es la distancia o estiramiento desde esa posición.

b) F = k x = 1200 (N/m) (0,30 - 0,20) m = 120 N.

Wext = Ep = 600 0,12 – 0 = 6 J.

c) El coeficiente de x2 sigue siendo 600 N/m, de manera que k = 1200 N/m.

La función Ep1(x) tiene otro valor en el mínimo, pero éste sigue estando en x = 0,20 m, de manera que

ésa sigue siendo la posición de equilibrio.

La fuerza para estirar el resorte está dada por la misma expresión (independiente de la constante que

se pueda agregar a la función Ep) F = k x = 120 N.

Ahora Ep1(0,30) = 6000,12 + 10 = 16; Ep1(0,2) = 10; Wext = Ep1 = 16 – 10 = 6 J.

Veamos en las siguientes gráficas cómo juegan los distintos valores.

x

(m)

Ep (J)

0,1 0,2 0,3 0,4

20

10

6 x

(m)

Ep (J)

0,1 0,2 0,3 0,4

20 16

10

Ep(x)

Ep1(x)

8.2.- Movimiento en presencia de fuerzas conservativas y

no conservativas.

Supongamos un sistema que consiste en una partícula sobre la que actúa una fuerza conserva-

tiva CF

, y alguna otra fuerza no conservativa, NCF

(que podría ser aplicada por algún agente, o

deberse al rozamiento, o a un motor, etc.).

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La fuerza resultante sobre la partícula está dada por: CNCR FFF

, y por lo tanto WR = WNC

+ WFc . Ahora bien, según el teorema del trabajo y la energía cinética, WR = Ec , de manera

que:

WNC + WFc = Ec

Cuando actúa una fuerza conservativa podemos definir una energía potencial asociada con ella

según (8.2), WFc = Ep , entonces sustituyendo esto en la expresión anterior queda:

WNC Ep = Ec ,

Esta expresión nos invita a agrupar todas las energías en el miembro derecho:

WNC Ep + Ec (8.8)

Y llamando energía mecánica total, ET , a la suma de la cinética y la potencial, podemos escri-

bir:

ET = Ep + Ec (8.9)

WNC = ET (8.8’)

Ejemplo desarrollado: Resorte empuja, frena el rozamiento.

Un cuerpo de 16 kg está en reposo en el punto A de una pista horizontal. Un agente lo mantiene en

esa posición comprimiendo 20 cm un resorte de constante elástica k = 104 N/m. En un instante dado el

agente suelta el cuerpo, que es impulsado por el resorte hasta perder contacto con él en el punto B.

Entre el cuerpo y el piso actúa una fuerza de rozamiento constante de 50 N, que lo detiene finalmente

en un punto C.

A B 0,20 m C

1) Dibujar diagramas de cuerpo libre mostrando todas las fuerzas actuantes en cada tramo (entre A y

B, y entre B y C).

2) Calcule la velocidad con que el cuerpo pasa por B.

3) Calcule la ubicación del punto C en el que el cuerpo se detiene.

Desarrollo

1) Le llamamos F

a la fuerza que aplica el resorte, P

es el peso, NR

es la reacción normal (perpendi-

cular) del piso, y NCF

es la fuerza de roce, que viene a ser la parte tangencial de la reacción del piso.

A B C

P

RN

P

RN

F FNC

FNC

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262

2) vB se calcula a partir de la energía cinética en B, para calcular la cual aplicamos: WNC = ET. En

esta expresión WNC es el trabajo hecho por el rozamiento, que es la fuerza no conservativa que actúa

desde el instante en que se libera el cuerpo. Entre A y B, WNC = – FR dAB = – 50N0,2m = –10 J.

Dado que B es la posición de equilibrio del resorte, para la energía potencial podemos plantear: EpA =

10000 (N/m)(0,2m)2/2 = 200 J ; EpB = 0. Y por otra parte, EcA = 0, con lo cual ET = EpB + EcB – (EpA

+ EcA) = EcB – 200 J.

Con estos elementos podemos calcular la energía cinética en B aplicando:

WNC = - 10 J = ET = EcB – 200 J EcB = 190 J.

Despejando la velocidad de la expresión de Ec, en general se obtiene: v = (2Ec/m)½ , por lo cual ahora,

vB = (2190/16)½ 4,87 m/s.

Es importante notar que EcB. también se hubiese podido calcular razonando de una manera menos

estructurada, diciendo: el resorte va a impulsar al móvil hasta B dándole una energía igual a la poten-

cial que tiene almacenada en A, es decir, 200 J; y mientras esto ocurre el rozamiento le va a quitar 10

J, de manera que el móvil va a tener, al pasar por B, EcB = 190 J.

Desde B en adelante el cuerpo se desprende del resorte, y la única fuerza tangencial actuante es la

del rozamiento (que además pasa a ser la resultante). De manera que planteamos WNC = – FR dBC, =

EcC – EcB = 0 – EcB 50 N dBC = 190 J dBC = 190 / 50 = 3,80 m.

Debe notarse que también podría haberse calculado la ubicación del punto C de un solo paso, sin

calcular vB, simplemente planteando WNC = ET, para el trayecto AC: tenemos EcA = EcC = 0, por lo

cual ET = Ep = - EpA = - 200 J = WNC = – FR dAC dAC = 200 J / 50 N = 4 m.

La conservación de la energía mecánica.

En los casos en los que en un sistema sólo actúan fuerzas conservativas, y no existen otras

fuerzas, o bien existen otras fuerzas pero no hacen trabajo, la aplicación de (8.8) o (8.8’)

automáticamente nos permite plantear que el movimiento ocurrirá manteniendo la energía

mecánica total constante:

Si WNC = 0 ET = 0

O equivalentemente:

Ep + Ec= valor constante denominado ET (8.9)

Lo cual también puede expresarse diciendo que para dos puntos cualquiera A y B del movi-

miento, se cumplirá:

EpA + EcA = EpB + EcB = ET

Cada energía puede variar,

pero la suma se conserva.

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263

Ejemplo desarrollado: Caída libre

Un cuerpo de masa m = 2 kg está cayendo verticalmente. En un instante t1 pasa por A, a una altura de

100 metros del nivel de referencia (piso) y el módulo de su velocidad es de 20 m/s. Luego, en otro

instante t2, pasa por B, a 40 metros sobre el mismo nivel.

1) Diga dónde considera el cero de la energía potencial, y de acuerdo con eso calcule la energía

mecánica total inicial del sistema .

2) Despreciando la resistencia del aire, determine la energía mecánica total, cinética y potencial del

cuerpo cuando se encuentra a 40 metros de altura.

3) Determine la velocidad en ese punto, y la que tendrá luego al llegar a tierra (un instante antes de

tocarla).

4) Indique los valores de las energías (mecánicas) potencial, cinética y total, en cada punto: A, B, y C,

(inmediatamente antes de tocar el piso), eligiendo:

4.1) energía potencial cero en C.

4.2) energía potencial cero en A.

4.3) energía total cero en C (explique en dónde, aproximadamente estaría Ep = 0) .

5) Determine el trabajo de la fuerza peso desde A hasta B, y desde B hasta C, y muestre qué tienen

que ver esos valores con los anteriores.

Desarrollo

1) Consideramos arbitrariamente Ep = 0, en el piso, en el cual también situamos arbitrariamente el

origen del eje y (vertical hacia arriba). De acuerdo con esto, Ep = m g y.

Entonces, EcA = 2 kg(20 m/s)2/2 = 400 J ; EpA 2 kg9,8 (N/kg)100 m = 19,6 N100 m = 1960 J ;

ETA 2360 J ;

2) Planteamos conservación de la energía mecánica: ETB = 2360 J ; y dado que EpB = 19,6 N40 m =

784 J, la energía cinética debe ser EcB = 2360 – 784 = 1576 J.

3) Despejando la velocidad de la expresión de Ec, en general se obtiene: v = (2Ec/m)½ , por lo cual: vB

= (21576/2)½ = 39,7 m/s.

Para la llegada al suelo será EpC = 0, con lo cual EcC = 2360 J , y vC = (22360/2)½ = 48,6 m/s.

4) Se registran los resultados de este punto en las siguientes tablas:

4.1 4.2 4.3

Ep Ec ET Ep Ec ET Ep Ec ET

A 1960 400 2360 A 0 400 400 A -400 400 0

B 784 1576 2360 B -1176 1576 400 B -1576 1576 0

C 0 2360 2360 C -1960 2360 400 C -2360 2360 0

Es muy instructivo mirar estas tablas porque allí se advierte rápidamente:

a) Tanto la energía potencial como la total cambian con la elección arbitraria del cero de la potencial,

no así la columna de las energías cinéticas, cuyo valor tiene sentido físico en sí mismo, ya que deter-

mina la velocidad.

b) Una vez conocido el valor de la energía mecánica total en un punto, por la conservación, vale para

todos los puntos.

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264

c) La suma de las dos primeras columnas siempre debe dar el valor de la tercera.

d) La energía potencial (y también la total, aunque en este ejemplo no se vea) puede ser negativa, no

así la cinética.

e) Una vez que el cuerpo llega al nivel y = 0 (si no choca con algo), seguirá aumentando su energía

cinética mientras aumenta negativamente su energía potencial en los valores negativos de y. Se con-

sidera que Ep disminuye cuando aumenta negativamente: -1960 < -1176 < 0, etc.

Para determinar el punto (llamémoslo D) en el cual la energía potencial sería cero en el caso 4.3), es-

cribo que EpD = m g yD + Cte, y lo igualo a cero. La expresión Ep = m g y + Cte es válida para todos los

puntos, y vale cero para el punto particular buscado, D. Si la aplicamos al punto C, para el cual y = 0,

encontramos que Cte = -2360 J (notar que el mismo valor para la constante obtendríamos en cualquier

punto - por ejemplo en A, la expresión quedaría m g 100 m + Cte = –400 J, y de ella también se ob-

tendría que Cte = -2360 J).

Con este valor de la constante, ahora tenemos que para cualquier punto Ep = m g y – 2360 J, y por lo

tanto, para que EpD sea cero, yD debe ser 2360/19,6 = 120,4 m. Esta es la altura desde la cual habría

que haber soltado este cuerpo desde el reposo para que cayera de esta forma, ya que con ET = 0, en

ese punto, con EpD = 0, también tendríamos EcD = 0.

5) WP(AB)= 19,6 N60 m = 1176 J; WP(BC)= 19,6 N40 m = 784 J (ambos positivos porque fuerza y

desplazamiento tienen igual sentido).

Con estos valores podemos corroborar el teorema del trabajo y la energía cinética: EcB = EcA +

WP(AB), y también: EcC = EcB + WP(BC).

También podemos corroborar que el peso hace trabajo a expensas de la Ep: EpB = EpA – WP(AB), y

también: EpC = EpB – WP(BC).

Movimientos con vínculos.

En muchos casos prácticos hay sistemas con uno o más “vínculos” que determinan o modifi-

can la trayectoria de la partícula, como por ejemplo un sistema de rieles o guías fijos, o el hilo

de un péndulo. Si estos vínculos tienen ciertas características ideales (ausencia de rozamiento,

por ejemplo) tales que no disipan energía, permiten seguir planteando la conservación de la

energía mecánica.

En estos casos los vínculos aplican fuerzas sobre la partícula, y éstas actúan determinando la

trayectoria; pero consideramos que tienen la característica ideal de no realizar trabajo. Para

esto las fuerzas de vínculo no deben tener componentes tangenciales, es decir que deben ser

fuerzas normales a la trayectoria que ellas determinan.

En estos casos, se plantea la conservación de la energía mecánica total, con la misma función

energía potencial, dependiente sólo de la fuerza conservativa que esté en juego, e indepen-

diente de estos vínculos y sus fuerzas.

NOTA PRÁCTICA

Un caso importante es el de cuerpos que se deslizan por pistas ideales sin roza-

miento. Para estos casos la única fuerza que trabaja es el peso, y la conserva-

ción de la energía mecánica se traduce en que, para dos puntos A y B de la pis-

ta o trayectoria: ½ m vA

2

+ m g yA

= ½ m vB

2

+ m g yB

. Simplificando la masa se

obtiene lo visto en el capítulo anterior, en la parte de péndulos y planos incli-

Curso l Física I


265

nados: la velocidad de los vehículos que viajan por carreteras de cualquier

forma, en condiciones ideales de ausencia de rozamiento y sin otras fuerzas

motrices más que el peso, es absolutamente independiente de la masa. Ahora

además podemos calcular esta velocidad para una pista de cualquier forma, a

partir de la expresión anterior:

vB

2

vA

2

= 2 g (yA

yB

) (8.10)

O bien:

vB

2

= vA

2

2 g y (8.10’)

Nótese la semejanza con las expresiones del MRUV y de la caída libre vertical, lo

cual corresponde porque la caída libre vertical es a la vez un caso de MRUV, y

de conservación de la energía. Ahora podemos ver que estas expresiones valen

para cualquier caso de conservación de la energía en un campo gravitatorio

uniforme, con trayectoria de cualquier forma, aunque no sea ni rectilínea, ni

uniformemente variada la velocidad.

Ejemplo desarrollado: Péndulo

Considere el péndulo de la figura, consistente en un cuerpo de m = 500 g suspendido de un hilo de

71 cm de longitud, que se suelta, a partir del reposo, en la posición A, a 45o de la vertical. No se consi-

deran rozamientos.

O

A

B C

D

L = 71 cm 45º

22º 23º

a) Calcule la velocidad del cuerpo en B, en C, y en D.

b) Indique los valores de las energías (mecánicas) potencial, cinética y total, en cada punto: A, B, C, y

D, eligiendo:

b.1) energía potencial cero en B.

b.2) energía potencial cero en A.

b.3) energía potencial cero en el punto de suspensión.

c) Dibuje cualitativamente todas las fuerzas actuantes sobre m en los puntos B, C, y D. Explique el

efecto de cada fuerza sobre el movimiento en el instante correspondiente.

Desarrollo

a) El hilo es un vínculo que obliga al cuerpo a seguir la trayectoria con forma de arco de circunferencia,

y al hacerlo provoca la aparición de una fuerza cuyo valor se va ajustando en cada instante según la

ley fundamental (del impulso) para las fuerzas normales. Pero esta fuerza no tiene componente tan-

gencial, y por ello no hace trabajo, y podemos ignorarla para plantear la conservación de la energía

mecánica, lo cual se hace simplemente con la fuerza peso. De manera que podemos calcular las velo-

cidades aplicando las expresiones (8.10) o (8.10’), para lo que sólo necesitamos las alturas de los pun-

tos.

Tenemos yA – yB = 0,71 m – 0,71 m cos45o 0,710 – 0,502 0,208 m; yC – yB = 0,71 m – 0,71 m

cos22o 0,710 – 0,658 0,052 m; yA – yC = 0,208 m – 0,052 m 0,156 m; yD = yA .

Curso l Física I


266

O

A

B

C D

71 cm 45º

22º 23º

50,2 cm

20,8 cm 5,2 cm

65,8 cm

Entonces vB (0 + 29,80,208)½ 2,02 m/s ; vC (0 + 29,80,156)½ 1,75 m/s (vc también puede

calcularse a partir de vB: vC (2,022 – 29,80,052)½ 1,75 m/s) ; vD = 0.

b) Elegimos EpB = 0 ; EpA 0,5kg9,8(N/kg)0,208m 1,02 J ; EpC 0,5kg9,8(N/kg)0,052m

0,25 J.

Por otra parte las energías cinéticas resultan: EcA = 0 ; EcB 0,52,022/2 1,02 J ; EcC 0,51,752/2

0,77 J ; EcD = 0.

Efectuando todas las sumas se verifica la conservación, ya que todas dan Ec + Ep 1,02 J.

Para las otras elecciones de energía potencial cero, simplemente debemos sumar a las columnas de

Ep y de ET lo que haga falta para que se cumpla lo pedido y quede inalterada la columna de la Ec. Los

resultados de están en las siguientes tablas:

b.1 b.2 b.3

Ep Ec Etotal Ep Ec Etotal Ep Ec Etotal

A 1,02 0 1,02 A 0 0 0 A -2,46 0 -2,46

B 0 1,02 1,02 B -1,02 1,02 0 B -3,48 1,02 -2,46

C 0,25 0,77 1,02 C -0,77 0,77 0 C -3,23 0,77 -2,46

D 1,02 0 1,02 D 0 0 0 D -2,46 0 -2,46

c) Las únicas fuerzas actuantes son, el peso, siempre igual, y la fuerza del hilo, siempre alineada con

él, hacia el punto de suspensión. La fuerza del hilo tiene módulo variable de tal manera que supera a la

componente normal del peso en la cantidad exacta necesaria para curvar la trayectoria: FN – PN =

m v2 / 2.

Así tenemos que en A (y lo mismo ocurrirá en D), vA = 0, FN iguala a PN, y la resultante es exactamen-

te tangencial, como se requiere para que el movimiento se inicie en dirección tangencial.

FB FC

FD

P

Resultante tangencial

Resultante normal

P

P

En el punto más bajo, B, hay una resultante vertical, hacia arriba, que curva la trayectoria, y no hay

fuerza tangencial. Por ello la velocidad, que ha estado aumentando hasta allí, deja de hacerlo, y co-

menzará a disminuir.

En cualquier punto como el C, la resultante tiene una componente tangencial que va frenando el mo-

vimiento, y sigue teniendo una componente normal (variable) que curva la trayectoria.

Curso l Física I


267

En el punto D la componente tangencial ha logrado detener el movimiento, y lo hará recomenzar ins-

tantáneamente. En ese instante exacto la resultante normal es nula, y por ello el movimiento recomien-

za en la dirección de la resultante, que es tangencial.

En el punto más bajo, B hay máxima fuerza del hilo, pues es máxima la velocidad, y por ello debe ser

máxima la fuerza resultante normal. Podría pensarse que al ser ésta la posición de equilibrio del

péndulo, la fuerza resultante allí debería ser nula, pero en realidad, por ser posición de equilibrio de

una oscilación, la que tiene que ser nula es la resultante tangencial, cosa que se cumple. Ahora bien,

dado que la trayectoria es curva, allí tiene que haber una resultante normal. No debe haber equilibrio

de las fuerzas en B (a menos que el cuerpo esté en reposo allí), porque si lo hubiese la trayectoria no

se curvaría.

NOTA PRÁCTICA

Si hubiese varias fuerzas conservativas, 1CF

, 2CF

, ... etc. actuando sobre la partí-

cula, nada cambiaría en los razonamientos.

Para cada fuerza conservativa hay una energía potencial definida de la ma-

nera que ya se explicó:

1CF

Ep1

, tal que : Ep1

= WFc 1

2CF

Ep2

, tal que : Ep2

= WFc2

Etc.

El trabajo total se puede expresar en dos términos: uno que contiene el trabajo

de todas las fuerzas conservativas, y otro que contiene el trabajo de las demás,

a las que llamaremos NCF

:

Wtotal

= WFc

+ WNC

En el término WFc

sumamos los trabajos que vamos a reemplazar con variacio-

nes de energías potenciales, y en el otro quedan los de las demás fuerzas (WNC

).

Si aplicamos Wtotal

= Ec, y sustituimos WFc

por las variaciones de las energías

potenciales correspondientes tenemos:

Wtotal

= (Ep1

Ep2

Ep3

...) + WNC

= Ec

Al igual que en (8.8), si reunimos todas las variaciones de energía del lado

derecho llegamos a:

WNC

= Ec + Ep1

+ Ep2

+ Ep3

...

Vemos que siempre seguirá siendo válida la expresión WNC

= ET

, siendo la

energía mecánica total, ET

, la suma de la cinética más todas las potenciales:

ET

=

2

vm 2

+ Ep1

+ Ep2

+ . . .

única Ec Eptotal

ET

= Ec + Eptotal

Dicho con otras palabras, la suma (vectorial) de todas las fuerzas conservati-

vas sería una fuerza resultante CF

, también conservativa, la cual define una

energía potencial total Eptotal

= Epi

, que funciona exactamente con la mismas

expresiones de cualquier Ep.

Curso l Física I


268

8.3.- Interpretación de los movimientos que conservan la

energía mecánica a partir de la gráfica de la función energ-

ía potencial.

Vamos a hacer aquí una presentación limitada al caso de movimientos unidimensionales, aun-

que veremos que las ideas básicas se generalizan fácilmente a más dimensiones.

Un movimiento unidimensional es aquél en el cual la posición se puede indicar con una única

variable. El más simple es el movimiento rectilíneo, en el cual se puede indicar la posición

con el valor de x, por ejemplo, pero un movimiento unidimensional también puede ser cur-

vilíneo, como en el caso del péndulo o de cualquier movimiento circular, en los cuales la po-

sición se puede indicar con el valor de un ángulo, o de la distancia recorrida a lo largo de la

curva.

Ahora por simplicidad consideremos una partícula de masa m que sólo puede moverse en

línea recta, e imaginemos un eje x a lo largo de la trayectoria.

O x

x v

Fig. 8.4: la partícula para la que se presenta esta discusión. El eje x puede representar

cualquier línea recta del espacio a lo largo de la cual tiene lugar el movimiento.

Supongamos para abreviar que sobre m actúan solamente una fuerza conservativa que deno-

minamos cF

(la cual actúa alineada con el eje x), y que de ella sólo tenemos como dato la fun-

ción energía potencial Ep(x) correspondiente:

E ( J )

x ( m )

Ep(x)

Fig. 8.5: La función Ep(x), dato del problema, es arbitraria en esta discusión. Corresponde a la

existencia de una fuerza conservativa hipotética, y no debe pensarse que se habla específicamen-

te de la gravedad ni de un resorte, sino de cualquier cosa arbitraria concebible, cuya naturaleza

real no interesa. Para la gravedad y para los resortes corresponden gráficas muy simples que ve-

remos en los ejemplos.

Sabemos que la función Ep(x) varía solamente cuando cF

hace trabajo, y dado que en un des-

plazamiento x este trabajo vale WFc = Fcx x, resulta que, aunque nuestro único dato sea la

función Ep(x), a partir de esta función podemos averiguar el valor de la fuerza que actúa en

cada lugar del eje x aplicando (8.4), de la cual obtenemos:

Fcx = x

Ep

= pendiente de Ep(x)

Supongamos que en un instante dado la partícula está en un lugar x1 con velocidad v1 hacia la

derecha; la curva nos indica el correspondiente valor de la energía potencial, Ep1 = Ep(x1), en

Curso l Física I


269

ese momento. Si calculamos Ec1 = ½ m v12, y se lo sumamos a Ep1 obtenemos la energía

mecánica total en ese punto ET1 = Ep1 + Ec1 :

E ( J )

x

sumamos Ec1 Ep(x1)

Ep1 + Ec1

x1 v1

Ec1

Fig. 8.6: Así incorporamos a nuestra gráfica arbitraria una situación inicial particular,

dada por la posición x1 y la velocidad correspondiente vx1.

Ahora la idea principal es que la partícula continuará moviéndose de manera tal que la energía

mecánica total mantenga constantemente el valor calculado para nuestro punto dato x1. Así,

cuando la partícula pase por otra nueva posición x2 cualquiera, su energía potencial habrá ad-

quirido el nuevo valor Ep2 dado por la curva (Ep2 = Ep(x2)), y la Ec cambiará de manera de

tener el valor Ec2 que hace cumplir la condición de conservación:

Ec2 + Ep2 = ET1

E ( J )

x

Ec2

Ep1

ET2 = ET1

x1

Ec1

x2

Ep2

x0 Epmin

Fig. 8.7: Mientras la partícula pasa de x1 a x2, su energía cinética debe variar (en

este caso disminuir) para mantener constante la energía total.

En el caso de nuestra figura particular vemos que la partícula pasa por x1 dirigiéndose hacia

donde Ep aumenta (movimiento en contra de la fuerza). Como la energía cinética está indica-

da por la distancia (medida en el eje de ordenadas) desde la curva hasta la línea horizontal que

indica el valor constante ET, vemos que en esta caso va disminuyendo (Ec2 < Ec1).

NOTA:

Como la energía cinética siempre es positiva encontramos que en cualquier x,

ET

= ½ m v2

+ Ep(x) Ep(x)

Vemos que a partir del punto x1

elegido arbitrariamente en el cual comenza-

mos nuestro análisis, sumaremos al valor Ep1

una cantidad Ec1

que siempre será

algo positivo, de manera que la línea indicativa de ET

siempre estará por enci-

ma de Ep1

, y la partícula siempre tendrá alguna cierta distancia para despla-

zarse mientras la curva de la función Ep(x) se mantiene por debajo de la línea

horizontal indicativa de la ET

.

El menor valor posible para la energía cinética es cero (v = 0). Si ese hubiera

sido el caso en nuestro punto inicial x1

, el valor de ET

hubiera sido Ep1

, y es lo

más bajo que la línea indicativa de ET

podría estar.

Curso l Física I


270

Es decir, si la partícula está en algún valor de x, la energía mecánica total ya

tiene por lo menos el valor Ep(x), y no tiene ningún sentido plantearse la posi-

bilidad de que la línea de ET

pase allí por debajo de la curva de Ep(x).

Dicho con otras palabras,

Por el solo hecho de existir en algún lugar x ,

la partícula ya tiene ET

Ep(x).

De manera que si la función Ep(x) tiene un mínimo absoluto como el que se

muestra en la gráfica en el punto x0

, la línea indicativa de ET

no podrá pasar

por debajo del valor Epmín

. El menor valor posible para la energía total es ET

=

Epmín

, y sólo para el caso en que la partícula está detenida en x0

. Para cual-

quier otro caso ET

> Epmín

.

Por otra parte, el hecho de que los valores de la energía potencial sean positivos

(como en las figuras que hemos mostrado), o que sean negativos en algunos

lugares o en todos, resulta de elecciones arbitrarias, y no tiene ningún signifi-

cado especial, como ya hemos visto en algunos ejemplos.

Volvamos ahora a la discusión central.

La recta horizontal que hemos trazado indica el valor que siempre tendrá la energía mecánica

Ep(x) + ½ m v2 en este movimiento. De manera que a medida que la partícula avanza, la dife-

rencia entre ET y Ep (es decir la distancia que ET está por encima de la curva, medida en uni-

dades del eje de ordenadas) nos indica el valor de la energía cinética en cada lugar.

Y mientras sea ET > Ep , será Ec 0, y esto significará que la partícula aún no se habrá dete-

nido, es decir, seguirá avanzando.

La partícula avanzará hasta x = x , abscisa de la intersección de la gráfica de Ep(x) con la

recta indicativa de ET.

E ( J )

x

Ec2 Ec1

ET

x1

Intersección: en x se tiene Ep(x) = ET

Ec = 0 v = 0 la partícula se detiene

x2 x Fig. 8.8: La partícula se detiene cuando llega al punto x = x , en el cual su energía cinética se anula.

En x la partícula se detiene.

Esta detención es por un instante. La partícula no podrá permanecer detenida allí, porque en

ese lugar actúa CF

.

¿Cómo sabemos que Fc no es cero en x?

Pues porque Fcx = Ep/x = pendiente, y vemos que la pendiente no es cero allí (y en

general no podrá serlo cuando la curva intersecte una línea horizontal, salvo casos especiales

que veremos).

Curso l Física I


271

La pendiente positiva de la gráfica en x indica que allí CF

actúa en sentido negativo. Deci-

mos que:

x es un “punto de retorno”, para este valor de la energía mecánica total.

De manera que la partícula invertirá el sentido de marcha (RECORDAR QUE LA

PARTÍCULA NO VIAJA POR LA LÍNEA CURVA REPRESENTATIVA DE LA

FUNCIÓN Ep(x), sino que lo hace EN LÍNEA RECTA POR EL EJE x ) y volverá a pasar por

los puntos x2, x1, x0, etc. En esta parte del viaje la fuerza (Fcx <0) actuará a favor del movi-

miento haciendo que la energía cinética aumente, y que vuelva a tener en cada lugar el valor

que tuvo antes, indicado por la distancia desde la curva que representa Ep(x) hasta la recta

horizontal que representa a ET. Así la partícula pasará por x2, x1, con los valores de energía

cinética Ec2 , Ec1, que tuvo antes, y su velocidad aumentará hasta x = x0 , en donde la Ec to-

mará el valor Ecmáx .

E ( J )

x Epmín

ET

x0 vmáx

Ecmáx

Fig. 8.9: El punto de energía potencial mínima, x0 , es el punto por el

cual la partícula pasa con máxima velocidad (en módulo).

A partir de este punto la fuerza comienza a actuar en contra, ya que la partícula se encuentra

viajando hacia dónde Ep aumenta (y CF

apunta hacia donde Ep disminuye). La partícula con-

tinuará mientras su energía cinética disminuye como lo indica la distancia desde la curva hasta

la recta horizontal indicativa de ET, y llegará al punto de retorno x, en donde nuevamente

curva y recta se intersectan.

E ( J )

x

ET

x0

v

Ecmáx Ec

x x

Fig. 8.10: El módulo de la velocidad siempre disminuye cuando la partícula viaja

hacia donde aumenta la energía potencial. Y la partícula se detiene siempre que la

partícula llega a un punto en el cual Ep = ET, en este caso x.

Y ya la gráfica nos permite inferir que la partícula, luego de detenerse por un instante en x,

se acelerará en sentido positivo, aumentará su velocidad hasta x0, y luego se frenará gradual-

mente hasta detenerse instantáneamente en x, repitiendo indefinidamente este movimiento

oscilatorio.

Curso l Física I


272

NOTA:

El movimiento continuará indefinidamente recuperando siempre los mismos

valores de la velocidad al pasar por los mismos puntos mientras se cumpla la

hipótesis de partida, de que sólo actúa la fuerza considerada, estrictamente

conservativa, en virtud de la cual se mantiene inalterado el valor de ET

= Ec +

Ep = Ec1

+ Ep1

.

El hecho de que esto no ocurra exactamente así en la práctica es una manifes-

tación de la presencia de fuerzas no conservativas (en general tenemos el ro-

zamiento, para el cual ET

= Wext

< 0).

Para el caso particular que estamos analizando, vemos que podemos delimitar una zona entre

x y x (donde Ep ET) en la cual ocurre el movimiento. El resto del eje x es prohibido para

la partícula con esta energía total.

E ( J )

x

ET

x x

Fig. 8.11: Las zonas sombreadas, x < x , y x > x , son prohibidas para la partícula con el valor

indicado de ET. En este caso la partícula se mantiene oscilando indefinidamente entre x y x .

Cabe ahora preguntarnos cuáles serían las características de los movimientos posibles con

otros valores de la energía total, suponiendo esta misma partícula bajo la acción de la misma

fuerza conservativa (es decir dada esta misma función Ep(x) ).

A continuación planteamos pasos para un modo general de analizar movimientos a partir de la

gráfica de Ep(x) siguiendo estas ideas.

a) Posiciones de equilibrio.

Dado el caso que estamos analizando, ¿hay posiciones de equilibrio, es decir posiciones tales

que si dejamos la partícula en reposo en una de ellas, permanece allí?

Si las hay, deben ser lugares en los que Fcx = 0, o sea los puntos de la gráfica con pendiente

nula:

Fcx =

E

x

p = 0 Posición de equilibrio.

En nuestro ejemplo hay tres posiciones de éstas: x0 , x1 , y x2 .

E ( J )

x ( m )

x0 x1 x2

Ep0

Ep2

Ep1

Fig. 8.12: Las posiciones de equilibrio posibles para el

caso de la Ep graficada son x0, x1, y x2.

Curso l Física I


273

Como la fuerza apunta hacia donde la energía potencial disminuye, es nula en cada uno de

estos puntos exactamente, pero no en sus cercanías. Dependiendo de que el punto corresponda

a un mínimo o un máximo de la curva, la fuerza en la zona próxima apunta hacia el punto o

hacia afuera de la zona. Analicemos ahora lo que puede suceder en cada uno de estos puntos.

Puntos de equilibrio estable (mínimos de la función Ep(x): x = x0 , y x = x2 .

La partícula en reposo en x0 tiene ET = Ep0 = Epmín , y sólo puede hacer una cosa, que es per-

manecer quieta en ese punto, como ya hemos comentado. Para apartarla levemente de esa po-

sición (ya sea hacia la izquierda o hacia la derecha) un agente externo debe hacer trabajo posi-

tivo pues la energía de la partícula deberá aumentar necesariamente (aunque el proceso sea tan

lento que no aumente Ec, lo mismo deberá aumentar Ep para salir del lugar de Epmín). Cuando

el agente externo suspenda su intervención dejando a la partícula con una energía levemente

superior a Ep0 , ésta quedará oscilando con pequeña amplitud alrededor de x0 (estamos en las

mismas condiciones del ejemplo analizado antes, con la salvedad de que ahora la energía es

apenas superior a la Epmín).

Reconocemos la condición de equilibrio estable: la partícula puede permanecer en reposo

allí porque la fuerza es nula, pero si es apartada levemente hacia cualquier lado, la fuerza en

los puntos próximos tiende a volverla, haciendo que luego ésta quede oscilando (levemente)

alrededor de esa posición de equilibrio.

Podemos repetir el mismo análisis para el punto x2 , (y en general podremos hacerlo cada vez

que hallemos que la función Ep tiene un mínimo).

E ( J )

x ( m )

Oscilación

en torno a x0

x1

Ep0 + E

Ep2 + E

Oscilación

en torno a x2

Fig. 8.13: Si un agente externo aparta levemente la partícula de una posición de equilibrio es-

table, al cesar la acción externa la partícula oscilará (levemente) en torno de dicha posición.

Puntos de equilibrio inestable (máximos de la función Ep(x): x = x1 .

La partícula puede estar en reposo en x1 , puesto que allí no hay fuerza. Pero si es apartada

levísimamente de ese lugar ya sea hacia la izquierda o hacia la derecha (para lo cual no se re-

quiere suministrar energía), la fuerza ya no será nula, y como apuntará hacia donde la energía

potencial disminuye, tenderá a continuar apartando más la partícula de allí.

E ( J )

x ( m )

x1: equilibrio inestable

ET = Ep1

x x

Fig. 8.14: x1 es un punto de equilibrio inestable en este ejemplo.

Curso l Física I


274

Reconocemos en esta descripción la condición de equilibrio inestable. Y vemos que podre-

mos repetir el mismo análisis en cada lugar donde hallemos que la función Ep tiene un máxi-

mo.

Para este caso particular hay que añadir que la partícula en reposo en x1 tiene, como se dijo,

energía ET = Ep1 , y si es apartada levemente hacia cualquier lado se alejará hasta un punto de

retorno (x si partió hacia la izquierda, y x si lo hizo hacia la derecha) desde el cual volverá

luego nuevamente a la posición de equilibrio inestable.

En la siguiente figura se muestra una función Ep(x) tal que si la partícula es apartada de su

posición de equilibrio inestable, nunca retornará a ella.

E ( J )

x ( m )

x1: equilibrio inestable

ET = Ep1

Fig. 8.15: Caso de un punto de equilibrio inestable al cual la partícula nunca retornará.

Cada vez que una partícula queda en equilibrio inestable es imposible predecir si se irá o no

de allí, o cuándo y hacia qué lado lo hará.

NOTA:

Es posible hacer una ANALOGÍA, imaginando que la gráfica Ep(x) es una pista

o guía del movimiento en un plano vertical, y que la partícula móvil se desliza

por ella sin rozamiento. Si REEMPLAZAMOS IMAGINARIAMENTE la trayectoria

por la gráfica, y la fuerza conservativa del problema por el peso de la partícu-

la, podremos visualizar fácilmente dónde la velocidad aumenta o disminuye.

Claramente visualizaremos que los puntos más altos de las lomas serán posi-

ciones de equilibrio inestable, y los fondos de las hondonadas serán posiciones

de equilibrio estable. Etc.

Pero debe quedar claro que eso no pasa de ser una analogía, que puede ser útil

o no. La real situación física que estamos analizando en estas páginas es la de

un movimiento rectilíneo que ocurre en el eje x, para el que la TRAYECTORIA

NO ES LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN, la fuerza NO ES EL PESO, etc.

b) La fuerza.

Entre las posiciones de equilibrio (pendiente nula - máximos o mínimos de la función Ep(x)),

existen zonas en las cuales sobre la partícula necesariamente actuaría la fuerza (pendiente no

nula de Ep(x)):

Fcx =

E

x

p 0

Por ejemplo para la gráfica de nuestro ejemplo, las fuerzas que actuarían se muestran cualita-

tivamente (con vectores huecos) en la figura siguiente (8.16). Esta figura complementa las

explicaciones anteriores acerca de dónde puede haber equilibrio estable y dónde inestable.

Curso l Física I


275

E ( J )

x ( m )

Fcx > 0 Fcx < 0 Fcx > 0 Fcx < 0

Ep(x)

Fig. 8.16: Las flechas huecas ilustran cualitativamente las fuerzas que actúan en el

caso de la energía potencial hipotética correspondiente a la gráfica Ep(x).

c) Las zonas de movimiento posible, y las zonas prohibidas.

Como ya se dijo, dada una determinada ET, el movimiento sólo es posible donde Ep ET. En

las zonas con Ep > ET el movimiento no puede tener lugar con esa energía, y haciendo alusión

a eso las hemos denominado “zonas prohibidas” (son prohibidas con ese valor de ET).

Para la gráfica que estamos analizando podemos distinguir tres posibilidades principales,

según que ET sea:

caso c1: mayor que Epmín , y menor que Ep2 ,

caso c2: mayor que Ep2 pero menor que Ep1 , y

caso c3: mayor que Ep1.

No consideramos la posibilidad de que ET sea exactamente igual a Ep0, Ep1, o Ep2, porque

serían los casos de equilibrio que ya han sido discutidos.

Veamos cada caso en detalle.

Caso c1: Ep0 < ET < Ep2

E ( J )

x

ET

x > B, zona prohibida A B

x < A, zona prohibida

Ep2

Ep0

Fig. 8.17: Las zonas sombreadas muestran las partes inaccesibles

del eje x, para el valor mostrado de energía total ET.

Vemos que hay una oscilación entre A y B, que son los puntos de retorno. Las zonas rayadas

son inaccesibles con esta energía. Etc. Es un caso que ya hemos discutido.

Curso l Física I


276

Caso c2: Ep2 < ET < Ep1

E ( J )

x

ET

A B

Ep2

Ep1

C D

Fig. 8.18: Zonas de movimiento posible para el caso Ep2 < ET < Ep1 .

Lo rayado en la figura indica las zonas prohibidas para el valor dado de ET. La partícula puede

estar oscilando entre A y B, o entre C y D. Si está en una de esas zonas, nunca podrá pasar a la

otra zona posible (sin intervención de un agente externo que cambie el valor de ET). De mane-

ra que para una partícula entre A y B (con esta energía), no sólo es inaccesible lo rayado, sino

también el tramo CD; y viceversa, si la partícula con esta energía está entre C y D, nunca

saldrá de allí, y todo el resto, incluida la zona AB estará prohibida para ella.

Por otra parte, el movimiento entre A y B, o entre C y D, es una oscilación que se analiza de la

misma manera que las que hemos discutido antes.

Caso c3: ET > Ep1

E ( J )

x

ET

A B

Ep1

Ecmáx0

Ecmáx2 Ecmín1

x0 x1 x2

Fuerzas de la barrera

Fig. 8.19: Movimiento posible para el caso ET > Ep1 .

La partícula oscila entre A y B, con una zona intermedia de frenado al acercarse a x1, como

resultado de las fuerzas que ya hemos explicado. Al pasar por x1 la partícula llega a tener un

valor mínimo de energía cinética, que luego aumenta hasta valores máximos (en x0 o en x2 ,

según el sentido de marcha), para después disminuir nuevamente hasta la detención instantá-

nea en el punto de retorno que corresponda.

La zona cercana a x1 actúa como una “barrera repulsiva” que dificulta la aproximación de la

partícula, y luego devuelve la energía impulsándola cuando se aleja.

El efecto de esta barreara es muy pronunciado si la energía total supera en muy poco la altura

de dicha barrera: la partícula pasa muy lentamente por ella, llegando a casi detenerse, para

ganar considerablemente velocidad luego de atravesar la zona. Si en cambio la energía total

está muy por encima de Ep1 el efecto de la barrera puede ser poco perceptible, y el movimien-

to puede ser más o menos parecido a cualquier oscilación entre A y B.

d) La constante arbitraria.

Si dada una función Ep(x) imaginamos otra que sólo difiera de ella en una constante aditiva

C:

Curso l Física I


277

Ep’(x) = Ep(x) + C ,

NADA CAMBIA EN LA PENDIENTE en cada lugar, es decir que NADA CAMBIA EN LA

FUERZA FC , ni, por lo tanto, en los movimientos posibles.

Para obtener un mismo movimiento particular con Ep’(x) que con Ep(x), por supuesto, hay

que considerar la energía total ET’= ET + C .

En la siguiente figura se muestran a modo de ejemplo, tres funciones energía potencial. Una

es la Ep(x) que hemos venido utilizando hasta ahora para las explicaciones, otra es Ep’(x) =

Ep(x) C’, y la otra es Ep’’(x) = Ep(x) C’’, con C’’ elegida tal que, arbitrariamente, la

energía potencial valga cero en x1 (hubo que definir C’’ = Ep1).

E ( J )

x ( m ) x0 x1 x2

Ep’’(x)

Ep(x)

Ep’(x)

A B

ET

ET’’

ET’

Fig. 8.20: Tres funciones energía potencial equivalentes pues sólo difieren en un valor constante

Vemos que estas tres gráficas definen las mismas características de la fuerza, tienen las mis-

mas posiciones de equilibrio, etc. Por ejemplo para un valor cualquiera de la energía total ET

referido a la gráfica Ep(x), se obtienen iguales oscilaciones, con los mismos puntos de retorno

A y B, que si se considera la energía total ET’= ET + C’ para la gráfica Ep’(x), o la ET’’ =

Em C’’ para la Ep’’(x).

Debe notarse que no tiene ninguna importancia en sí mismo el hecho de que la energía poten-

cial sea positiva o negativa. Sumando o restando una constante adecuada podemos transfor-

mar valores positivos en negativos y viceversa. Si se suma o resta la misma constante arbitra-

ria a la energía mecánica total, tendremos el mismo movimiento. Así en el ejemplo de la figu-

ra vemos que el movimiento con energía ET’’ negativa, referido a la gráfica Ep’’(x), es el

mismo que el descripto por la gráfica Ep(x) con energía ET positiva. Lo que importa es que en

ambos casos en cada lugar es igual la diferencia ET Ep(x), que da la energía cinética de la

partícula.

e) Movimientos con vínculos.

Ya hemos comentado sobre los casos en los cuales hay uno o más vínculos que modifican la

trayectoria de la partícula aplicándole las correspondientes fuerzas.

Si estos vínculos tienen la característica ideal que ya hemos mencionado: no disipar energía,

entonces no alteran la ecuación de conservación de la energía mecánica, y podemos aplicar el

mismo tratamiento que hemos presentado hasta aquí.

En estos casos podremos tener una trayectoria que no sea rectilínea, y por ello tal vez puede

convenir elegir una coordenada más adecuada que x para indicar la posición: por ejemplo en

un péndulo el ángulo , o la altura del cuerpo oscilante con respecto a cierto nivel horizontal,

Curso l Física I


278

o para un móvil sobre una pista arbitraria, la distancia recorrida, medida a lo largo de la pista,

etc.

Todos estos movimientos para los cuales la posición se puede indicar con una sola coordena-

da, se denominan “unidimensionales”.

Independientemente de la coordenada que se elija en cada caso, cuando tengamos la función

Ep escrita en función de esa coordenada, siempre podremos hacer este mismo tratamiento:

para una energía total ET, la partícula sólo podrá estar en lugares para los cuales Ep ET, y en

cada lugar tendrá Ec = ET Ep , o sea velocidad de módulo v = m/Ec2 , con alguno de

los dos sentidos posibles, etc.


El siguiente gráfico representa aproximadamente la energía potencial de un cuerpo de 2 kg que se

puede mover a lo largo del eje x.

E (J)

2 1

x (cm)

Ep(x) = 500 [J/m2] x2

-4 -2 2 4 6

a) Diga cuál es la posición de equilibrio – diga sin es estable o inestable.

b) Si la energía total es 0,80 J, explique cómo es el movimiento.

b.1) Encuentre los puntos de retorno.

b.2) Encuentre la velocidad con la cual este cuerpo pasa por la posición de equilibrio.

c) Encuentre la energía que es necesario suministrar al sistema para que el cuerpo aumente la ampli-

tud de sus oscilaciones hasta 6 cm a cada lado de la posición de equilibrio.

d) Indique si esta gráfica podría corresponder al cuerpo sujeto en el extremo de un resorte. En ese

caso encuentre la constante elástica del resorte, y la frecuencia de las oscilaciones.

Desarrollo

a) La gráfica muestra una única posición de equilibrio, en x = 0, que es de equilibrio estable, por ser un

mínimo.

b) b.1) Trazando un recta indicativa del valor de la energía total por el valor 0,8 J, encontramos que

intersecta a la gráfica en x = 4 cm, que son los puntos de retorno (estos valores también pueden

encontrarse analíticamente despejando de la expresión para Ep(x) igualada a 0,8 J).

b.2) Al pasar por la posición de equilibrio el cuerpo tiene la energía cinética máxima, que es 0,80 J; por

lo tanto, en valor absoluto, vmáx = kg2/J8,02 0,89 m/s.

c) Para que la amplitud de las oscilaciones aumente hasta 6 cm, la energía total debe aumentar hasta

1,8 J, y para ello Em = 1 J.

d) Efectivamente esta gráfica podría corresponder a las oscilaciones del cuerpo sujeto a un resorte de

constante elástica tal que ½ k = 500 J/m2, es decir k = 1000 N/m. La frecuencia de las oscilaciones

según la fórmula para el resorte, estaría dada por f = (1/2) mk 3,56 1/s.

Curso l Física I


279


La siguiente gráfica muestra la Ep(x) de una partícula de 20 g de masa que se mueve en línea recta a

lo largo del eje x, pasando por el punto A con vA = 20 m/s, como lo indica la figura. E (J)

3 x (m)

Ep(x)

-4 -2 2 4

-6 B A

C

20 m/s

a) Calcule la energía total del movimiento. Indíquela en la gráfica, y utilice este esquema para describir

si la partícula pasa por B y por C. Describa las características principales de este movimiento. Indique

en qué lugares la partícula encuentra fuerzas, y cómo son éstas.

b) Calcule la velocidad mínima con que debe venir la partícula desde la izquierda para poder pasar por

B.

c) Repita lo solicitado en el punto a), para el caso en que la partícula incida con la misma velocidad,

pero desde la derecha hacia la izquierda (vC = 20 m/s) . Desarrollo

a) Al pasar por A tenemos la energía potencial indicada por la gráfica, Ep(A) = 6 J, y un energía ciné-

tica de 0,02 kg (20 m/s)2 / 2 = 4 J. De manera que ET = -6 + 4 = 2 J. E (J)

3 x (m)

Ep(x)

2 4

-6

Ec = 4 J -2

ET = -2

20 m/s

punto de retorno

Vemos que hay un punto de retorno aproximadamente en x = 1 m, de manera que es claro que la

partícula no llega a B ni a C. La partícula viaja libre de fuerzas por los x negativos hasta el origen (es

claro que su energía cinética es constante en este tramo). Allí aproximadamente comienza a actuar

una fuerza que la frena, logra detenerla por un instante en el punto de retorno mencionado, y la lanza

de vuelta hacia los x negativos, por los que continuará uniformemente, libre de fuerzas, para siempre.

b) Para que la partícula supere la “barrera” que hay en B, su energía total debe ser E’T 3 J. Para ello,

mientras se acerca por los x < 0, debe hacerlo con E’c E’T – Ep = 9 J, o sea con velocidad v’A 30

m/s. En estas condiciones la partícula pasará por B con una mínima velocidad, y luego, entre aproxi-

madamente x = 2 y x = 3 m sufrirá la acción de una fuerza hacia la derecha que la acelerará hasta que

adquiera una energía cinética Ecfinal = E’T, que se mantendrá constante indefinidamente de allí en ade-

lante. E (J)

3

x (m) Ecfinal

-2 2 4

-6

E’c > 9 J

E’T > 3 J

v’> 30 m/s

Curso l Física I


280

c) Si la partícula incide desde la derecha con velocidad vC = - 20 m/s, o sea con energía cinética Ec = 4

J, ése mismo es el valor de la energía total, ya que en esta parte Ep = 0. Entonces a la partícula le

sobra para pasar la barrera y continuar hacia los x negativos, alejándose en esta parte con Ec’’ = 10 J,

lo que significa v’’ = 22 s/m1000 31,6 m/s. La figura correspondiente al punto anterior repre-

senta bastante bien esta situación, excepto por el signo de la velocidad.


Los dos átomos de una molécula diatómica cualquiera (esquema (b)), se ejercen fuerzas tales que

resulta una energía potencial de interacción Ep(x) como la mostrada en (a). E

(J) Ep(x) y nube electrónica

x0 x x

(a) x (b)

a) Explique cómo es la fuerza neta actuante sobre cada núcleo en función de la distancia entre ambos,

x, según la forma de la gráfica. Explique también las razones físicas para que la fuerza sea de atrac-

ción, o repulsión, según los valores de x.

b) Si para un compuesto arbitrario AB se registra experimentalmente que al formarse se obtienen 500

kJ/mol, y que la distancia media entre el núcleo de A y el de B en cada molécula AB formada es 0,20

nm, indique los valores que corresponderían en la gráfica.

c) Indique un valor negativo cualquiera de la energía total en el dibujo. Explique cómo es el movimiento

correspondiente. Interprete detalles importantes. Indique los puntos de retorno. Comparando con dos

masas en los extremos de un resorte, interprete cuáles son las masas que vibran, y cuál es el resorte,

o medio elástico.

d) Para el estado vibracional elegido en el punto anterior, indique (cualitativamente) en la gráfica,

cuánta energía sería necesario suministrarle para disociarla, a partir del estado vibracional elegido.

cuánta energía podría aún quitarse a la molécula, y en qué estado quedaría ésta cuando se le

hubiese quitado toda la energía posible.

Desarrollo

a) Leyendo exclusivamente lo que dice la gráfica vemos que hay una posición de equilibrio en x0. Para

x < x0 la fuerza neta es repulsiva, mientras que es atractiva para x > x0 . Ahora bien, si un agente ex-

terno acerca los núcleos, encuentra que a medida que x disminuye la fuerza repulsiva se hace cada

vez más grande, y es imposible llegar a x = 0 (que significaría que ambos núcleos se han juntado en el

mismo lugar), porque se requeriría una energía infinita para ello. En cambio si el agente externo hace

aumentar la distancia internuclear más allá de un cierto valor, la gráfica muestra que la fuerza atractiva

se debilita y puede llegar a desaparecer, con lo cual la molécula se habría descompuesto en dos áto-

mos independientes.

Físicamente la ligadura entre los átomos se entiende porque ellos disponen de estados orbitales “ligan-

tes” para algunos electrones, los cuales corresponden a una distribución de carga negativa entre los

núcleos capaz de equilibrar o superar la repulsión entre ellos.

La posición de equilibrio es precisamente aquélla en la cual están equilibradas las fuerzas repulsivas

con las atractivas.

Curso l Física I


281

Se entiende la fuerza repulsiva cuando x < x0 como resultado de que al aproximarse los núcleos, resul-

ta insuficiente la carga electrónica (negativa) que queda entre ambos.

Inversamente, la fuerza es atractiva cuando x > x0 porque la distribución de la nube electrónica en esta

situación es tal que aumenta la carga negativa entre los núcleos, y la atracción de estos electrones

sobre ambos núcleos supera a la repulsión mutua entre ambos.

Pero cuando la distancia entre los núcleos aumenta demasiado, la nube electrónica no se estira indefi-

nidamente como si fuera un material flexible, sino que los electrones se distribuyen en estados orbita-

les que se van definiendo cada vez más como pertenecientes a un núcleo o al otro, pero no al conjun-

to. Así es que si un agente externo separa mucho los núcleos, finalmente tendrá una de dos situacio-

nes diferentes siguiente:

O bien cada núcleo se habrá quedado con sus electrones, y tendremos dos átomos neutros que

prácticamente ya no interactuarán más, como en el caso de una molécula de átomos iguales,

por ejemplo N2 N + N, O bien un núcleo se quedará con un electrón de más que habrá arrebatado al otro en virtud de

una mayor afinidad, y tendremos dos iones de signo opuesto, que aún interactuarán, pero con

una fuerza que también se debilitará con la distancia (ley de Coulomb), como en el caso de

ClNa Cl- + Na+

En cualquiera de estas dos situaciones, al aumentar x la gráfica Ep(x) tenderá a una línea horizontal

(pendiente nula) indicativa de que la fuerza de interacción va desapareciendo.

b) c) y d) Se indica arbitrariamente un nivel ET. Supongamos un valor numérico de -300 kJ/mol

Para la energía total indicada (arbitrariamen-

te), el valor de x (que indica la distancia entre

los núcleos) oscilaría entre los valores corres-

pondientes a los puntos de retorno indicados.

Físicamente esto representa que ambos

núcleos oscilan acercando y alejándose alter-

nativamente, de manera que el centro de ma-

sa permanece fijo. Es como si fueran dos

cuerpos unidos por un resorte: cada núcleo es uno de los cuerpos y la nube electrónica es el resorte.

Muchos más detalles se analizan en el capítulo de vibraciones moleculares.

Por otra parte, la energía cinética media de los núcleos en esta vibración se relaciona directamente

con la temperatura del sistema, suponiendo que no hablamos de una molécula aislada, sino de un

sistema macroscópico compuesto de ellas.

Como se indica en la figura anterior, la energía que es necesario suministrar al sistema para disociarlo

es la diferencia entre el nivel cero (disociación), y el valor ET del estado vibracional elegido, es decir

300 kJ/mol.

Por otra parte, la energía que es posible quitar al sistema es la que queda entre el nivel ET y el mínimo

posible. Este mínimo posible, desde un punto de vista clásico sería el fondo de la curva (-500 kJ/mol),

pero como se explica en los capítulos correspondientes, según la mecánica cuántica el mínimo está

levemente por encima de ese valor. Esto significa que, clásicamente, la molécula puede quedar con los

núcleos en reposo a la distancia de equilibrio, con energía total exactamente igual a -500 kJ/mol; pero

la Mecánica Cuántica no admite eso, sino que indica que con la mínima energía aún habrá cierta vi-

bración fundamental que no puede desaparecer. Ese estado fundamental de energía mínima tendrá

cierta energía E0 levemente superior al mínimo de -500 KJ/mol, por ejemplo, sin pretender que sean

números válidos, digamos E0 = -490 kJ/mol. Eso significa que lo que podría quitarse a la molécula con

energía ET es ET – E0 = 190 kJ/mol.

x (nm)

500

( kJ/mol )

ET

0,20

puntos de retorno

energía necesaria para disociar

proed

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https://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/ar/

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Movimientos con conservación de la energía mecánica