BAB II

2.1 Matriks

2.1.1 Defenisi.

Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka, sering disebut elemen-elemen yang

disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang,

dimana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom dan baris serta dibatasi

tanda ”[ ]” atau ”( )”.

Sebuah matriks dinotasikan dengan simbol huruf besar seperti , , atau dan

sebagainya. Sebuah matriks yang berukuran baris dan kolom dengan dapat

dituliskan sebagai berikut :

atau juga dapat ditulis :

Contoh :

Disebut matriks dengan 2 baris dan 3 kolom. Jika sebuah matriks, kita gunakan

untuk menyatakan elemen yang terdapat didalam baris dan kolam dari . Dalam

contoh ini dan atau dapat ditulis

2.1.2 Operasi Matriks.

Perkalian skalar

Defenisi :

Jika adalah matriks dan adalah suatu skalar, maka hasil kali

dari adalah matriks dengan .

Contoh :

dengan diberikan maka

Perkalian Matriks

Definisi :

Jika adalah matriks dan adalah matriks maka hasil

kali dari matriks dan matriks yang ditulis dengan adalah matriks .

Secara matematik dapat ditulis sebagai berikut :

Penjumlahan Matriks

Jika adalah matriks dan adalah matriks maka

penjumlahan matriks dari matriks dan matriks yang ditulis dengan

Pengurangan Matriks

Jika adalah matriks dan adalah matriks maka

pengurangan matriks dari matriks dan matriks yang ditulis dengan

dimana .

Teorema

Jika adalah matriks nxn yang mengandung sebaris bilangan nol, maka

.

Contoh :

Matriks Segitiga

Matriks suatu matriks bujur sangkar dikatakan segitiga bawah (lower

tringular) jika untuk dan matriks suatu matriks bujur sangkar

dikatakan segitiga atas (upper tringular) jika untuk

Contoh :

Segitiga bawah , Segitiga atas

Teorema

Jika adalah matriks segitiga , maka adalah hasil kali elemen-elemen pada

diagonal utama, yakni

Contoh :

Teorema

jika adalah sembarang matriks kuadrat, maka

Teorema :

jika dan adalah matriks kuadrat yang ordonya sama, maka

Contoh:

, ,

Sehingga det (AB) = det (A) det (B)

2.1.3 Eigenvalue dan Eigenvektor

Definisi

Jika adalah matriks n, maka vektor tak nol didalam dinamakan

eigenvektor dari jika adalah kelipatan skalar dari ; yakni,

Untuk suatu skalar . Skalar dinamakan nilai eigen(eigenvalue) dari dan dikatakan

eigenvektor yang bersesuaian dengan .

Untuk mencari nilai eigen matriksAyang berukurannxn:

,

,

,

untuk memperoleh nilai

buah akar

Jika eigenvalue adalah substitusi pada persamaan , maka solusi dari

eigenvektor adalah .

Definisi

Misalkan matriks . Determinan

Dikatakan karakteristik polinom dari , persamaan

dikatakan persamaan karakteristik dari .

Definisi

Matriks kuadrat dinamakan didiagonalisasi (diagonalizable) jika terdapat matriks

yang dapat dibalik sehingga diagonal, matriks dikatakan mendiagonalisasi .

Teorema :

Jika adalah matriks n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen satu sama

lain.

1. dapat didiagonalisasi

2. mempunyai vektor eigen bebas linier

2.1.4 Matriks Korelasi

Misalnya pada persamaan :

persamaan tersebut dinyatakan sebagai :

dengan adalah nilai tengah yang dihitung dari data. Persamaan dapat

ditulis :

Dimana

Jika ,

Matriks untuk model ini adalah :

dengan

kemudian bagi setiap peubah dengan jumlah kuadrat terkoreksinya, dan namakan peubah

barunya :

dan

,

dan

ini akan mengubah model diatas kedalam bentuk baru :

atau

dengan

melalui metode kuadrat terkecil, nilai dugaan parameter pada persamaan diatas dapat

ditentukan yaitu :

Matriks merupakan matriks korelasi yaitu :

Dengan

hubungan antara koefisien antara regresi data awal dengan koefisien regresi yang

dibakukan adalah :

, dan

dengan dan merupakan nilai rata-rata dari dan nilai rata-rata dari .