MS Impresso Aula11

Matemática Superior - UVB

Faculdade On-line UVB 1

Aula 11Pontos Críticos e Aplicações da Derivada

Objetivos da Aula

Fazer o estudo da variação de uma função por meio das derivadas,

determinando os intervalos nos quais ela é crescente ou

decrescente, os seus extremos, os pontos de inflexão e também

mostrar algumas aplicações do cálculo de máximos e mínimos

na resolução de problemas de otimização relacionados à área

econômica e administrativa.

Funções Crescentes e Decrescentes

Uma função é crescente em um intervalo (a , b) se para quaisquer

dois números e em (a , b), ( ) < que ( ), sempre que

< (figura 1 abaixo).

Uma função é decrescente em um intervalo (a , b), se para quaisquer

dois números e em (a , b), ( ) > f ( ), sempre que

< (figura 2 abaixo).



Dizemos que f é crescente em um ponto c se existe um intervalo (a

, b) contendo c tal que f é crescente em (a , b). semelhantemente,

dizemos que f é decrescente em um ponto c se existe um intervalo (a

, b) contendo c tal que f é decrescente em (a , b).

Como a taxa de variação de uma função em um ponto x = c é dada pela

derivada da função naquele ponto, a derivada presta-se naturalmente

para ser uma ferramenta na determinação dos intervalos, onde uma

função diferenciável é crescente ou decrescente. De fato, a derivada

de uma função em um ponto mede não só a declividade da reta

tangente ao gráfico da função naquele ponto, como também a taxa

de variação da função no mesmo ponto. Na verdade, em um ponto

onde a derivada é positiva, a declividade da reta tangente ao gráfico

é positiva e a função é crescente. Em um ponto onde a derivada é

negativa, a declividade da reta tangente ao gráfico é negativa e a

função é decrescente (figura abaixo).

Essas observações conduzem-nos ao seguinte teorema importante:

a) Se f ‘(x) > 0 para cada valor de x em um intervalo (a , b), então f

é crescente em (a , b).

b) Se f ‘(x) < 0 para cada valor de x em um intervalo (a , b), então f

é decrescente em (a , b).

c) Se f ‘(x) = 0 para cada valor de x em um intervalo (a , b), então f

é constante em (a , b).



Exemplo 1:

Determine o intervalo onde a função f (x) = é crescente e o intervalo

onde é decrescente.

Determinando os Intervalos onde uma Função é Crescente ou Decrescente

1) Determine todos os valores de x para os quais f ‘(x) = 0 ou f ‘ é

descontínua e identifique os intervalos abertos determinados por

estes pontos.

2) Escolha um ponto teste c em cada intervalo encontrado no passo

1 e determine o sinal de f ‘(c) naquele intervalo.

a) Se f ‘(c) > 0, f é crescente naquele intervalo.

b) Se f ‘(c) < 0 f é decrescente naquele intervalo.



Exemplo 2:

Determine os intervalos onde a função

é crescente e onde é decrescente.

Solução:

1. A derivada de f é

e é contínua em todos os pontos. os zeros de f ‘(x) são x = -2 e x = 4,

e estes pontos dividem a reta nos intervalos

2. Para determinar o sinal de f ‘(x) nos intervalos

, calcule f (x) em um ponto teste conveniente em cada intervalo. Os

resultados estão mostrados na seguinte tabela:

Usando esses resultados, obtemos o diagrama de sinais mostrado na

figura 1 abaixo. Concluímos que f é crescente nos intervalos

e é decrescente no intervalo (-2 , 4). A figura 2 mostra o gráfico de f.



Máximos e Mínimos

Algumas das aplicações mais importantes do cálculo diferencial são

os problemas de otimização, em que devemos encontrar a maneira

ótima (melhor maneira) de fazer alguma coisa.

Veremos agora a definição de máximo e mínimo absoluto.

Definição

Uma função f tem máximo absoluto em c se f (c) f (x) para todo x

em D, onde D é o domínio de f. O número f (c) é chamado de valor

máximo de f em D. Analogamente, f tem um mínimo absoluto em c

se f (c) f (x) para todo x em D, e o número f (c) é chamado de valor

mínimo de f em D. Os valores máximo e mínimo de f são chamados

de valores extremos de f.

Valor mínimo f (a)

Valor máximo f (d)

Na figura acima, se considerarmos somente os valores de x próximos

de b [por exemplo, se restringirmos nossa atenção ao intervalo (a ,



c)], então f (b) é o maior desses valores de f (x) e é chamado de valor

máximo local de f. Da mesma forma, f (c) é chamado de valor mínimo

local de f, pois f (c) que f (x) para x nas proximidades de c [no intervalo

(b , d), por exemplo]. A função f tem também um mínimo local em e.

Portanto, teremos a seguinte definição.

Definição

Uma função f tem um máximo local em c se f (c) f (x) quando x

estiver nas proximidades de c. Isso significa que f (c) f (x) para todo

x em algum intervalo aberto contendo c. Analogamente, f tem um

mínimo local em c se f (c) f (x) quando x estiver nas proximidades

de c.

Exemplo 1:

Se f (x) = x 2, então f (x) f (0), pois x 2 0 para todo x. Portanto, f (0)

= 0 é o valor mínimo absoluto de f . Isso corresponde ao fato de que a

origem é o ponto mais baixo sobre a parábola y= x 2 (veja a figura ao

lado). Porém a, não há um ponto mais alto sobre a parábola e dessa

forma a função não tem um valor máximo.

Exemplo 2:

O gráfico da função



está mostrado na figura ao lado. você pode ver que f (1) = 5 é um

máximo local, enquanto o máximo absoluto é f (-1) = 37. Esse máximo

absoluto não é um máximo local pois ocorre no extremo de intervalo.

Também f (0) = 0 é um mínimo local, e f (3) = -27 é tanto um mínimo

local como um mínimo absoluto. Note que em x = 4, f não tem um

máximo local nem um máximo absoluto.

Vimos que algumas funções têm valores extremos, ao contrário de

outras. O teorema a seguir dá condições para garantir que uma função

tenha valores extremos.

Teorema do Valor Extremo

Se f for contínua em um intervalo fechado [a , b], então f assume

um valor máximo absoluto f (c) e um valor mínimo absoluto f (d) em

algum número c e d em [a , b].

O Teorema do Valor Extremo está ilustrado na figura abaixo. Note que

um valor extremo pode ser assumido mais de uma vez.



O Teorema do Valor Extremo afirma que uma função contínua em um

intervalo fechado tem um valor máximo e um mínimo, mas não diz

como encontrar estes valores extremos. Vamos começar por examinar

valores extremos locais.

A figura abaixo mostra o gráfico de uma função f com o máximo local

em c e o mínimo local em d. Parece que nos pontos de máximo e

de mínimo as retas tangentes são horizontais e portanto cada uma

tem inclinação zero. Sabemos que a derivada é a inclinação da reta

tangente; assim, parece que o f ‘(c) = 0 e f ‘(d) = 0.

Ponto Crítico de f

Um ponto crítico de uma função f é qualquer ponto x no domínio

de f tal que f ‘(x) = 0 ou f ‘(x) não exista.



A figura abaixo apresenta o gráfico de uma função que possui pontos

críticos em x = a, b, c, d e e. Observe que f ‘(x) = 0 em x = a, b e c.

Depois, uma vez que existe um canto em x = d, f ‘(x) não existe neste

ponto. Finalmente, f ‘ (x) não existe em x = e porque neste ponto a

reta tangente é vertical. Além disso observe que os pontos críticos x

= a, b e d dão origem a extremos relativos de f, enquanto os pontos

críticos x = c e x = e não.

A figura abaixo mostra os pontos críticos e f.

Tendo definido o que é um ponto crítico, podemos agora apresentar

um procedimento formal para encontrar os extremos relativos de

uma função contínua diferenciável em todos os pontos exceto em

alguns valores isolados de x. Incorporado a este procedimento está

o chamado teste da primeira derivada, que nos ajuda a determinar se

um ponto da origem a um máximo ou mínimo relativo da função f.

Procedimento para encontrar Extremos Relativos (O Teste da Primeira Derivada)

1º) Determine os pontos críticos de f.

2º) Determine o sinal de f ‘(x) à esquerda e à direita de cada

ponto crítico.



a) Se f ‘(x) muda o sinal de positivo para negativo quando nos

movemos através do ponto crítico x = c, então f ‘(c) é um máximo

relativo.

b) Se f ‘(x) muda o sinal de negativo para positivo quando nos

movemos através do ponto crítico x = c, então f ‘(c) é um mínimo

relativo.

c) Se f ‘(x) não muda de sinal quando nos movemos através do ponto

crítico x =c, então f ‘(c) não é um extremo relativo.

Exemplo 1:

Encontre os máximos e mínimos relativos da função

Solução:

A derivada de é dada por f ‘(x) = 2x. Fazendo f ‘(x) = 0, temos

x = 0 como o único ponto crítico de f. Uma vez que

Verificamos que f ‘(x) muda de sinal de negativo para positivo quando

nos movemos através do ponto crítico x = 0. Logo, concluímos que f

(0) = 0 é um mínimo relativo de f.

Veja a figura abaixo.



Exemplo 2:

Encontre os máximos e mínimos relativos da função

Solução:

A derivada de f é

e é contínua em toda parte. Os zeros de f ‘(x), x = -2 e x = 4 são os únicos

pontos críticos da função f. O diagrama de sinais de f ‘ é mostrada na

figura abaixo. Examine os dois pontos críticos x = -2 e x = 4 para um

extremo relativo usando o teste da primeira derivada e o diagrama de

sinais para f ‘ :

Diagrama de sinais para f ‘

1º) O ponto crítico x = -2: Uma vez que a função f ‘(x) muda o sinal

de positivo para negativo quando passamos por x = -2 da esquerda

para direita, concluímos que um máximo relativo de f ocorre em x =

-2. O valor de f (x) quando x = -2 é

2º) O ponto crítico x = 4: f ‘(x) muda de sinal de negativo para

positivo quando passamos por x = 4 da esquerda para direita; logo, f

(4) = -48 é um mínimo relativo de f.

O gráfico de f aparece na figura abaixo.



f tem máximo relativo em x = -2 e um mínimo relativo em x = 4.

Aplicação

A função lucro da Companhia Acrosonic é dada por

dólares, onde x é o número de sistemas de som Acrosonic modelo

F produzidos. Encontre onde a função P é crescente e onde é

decrescente.

Solução:

A derivada P’ da função P é

P’(x) = -0,04x + 300 = -0,04.(x - 7500)

Logo, P’(x) = 0 quando x = 7500. Além disso, P’(x) > 0 para x no intervalo

(0 , 7500), e P’(x) < 0 para x no intervalo (7500 , ). Isto significa que a



a função P é crescente em (0 , 7500) e decrescente em (7500 , �), como

mostra a figura ao lado.

Concavidade de uma Função f

Seja uma função f diferenciável no intervalo (a , b). Então:

1) f é côncava para cima em (a , b) se f ‘ é crescente em (a , b).

2) f é côncava para baixo em (a , b) se f ‘ é decrescente em (a , b).



Geometricamente, uma curva é côncava para cima se está acima

de suas retas tangentes (figura 1 acima). De maneira similar, uma

curva é côncava para baixo se está abaixo de suas retas tangentes

(figura 2 acima).

Também dizemos que f côncava para cima em um ponto x = c se

existe um intervalo (a , b) contendo c no qual f é côncava pra cima.

De maneira semelhante dizemos que f côncava para baixo em um

ponto x = c se existe um intervalo (a , b) contendo c no qual f é

côncava para baixo.

Se uma função f tem segunda derivada f ‘’, podemos usar f ‘’ para

determinar os intervalos de concavidade da função. Lembre-se de

que f ‘’(x) mede a taxa de variação da inclinação f ‘(x) da reta tangente

ao gráfico de f no ponto (x , f (x)). Logo, se f ‘’(x) > 0 em um intervalo

(a , b), então as inclinações das retas tangentes ao gráfico de f são

crescentes em (a , b), e então f é côncava para cima em (a , b). De

modo semelhante, se f ‘’(x) < 0 em (a , b), então f é côncava para baixo

em (a , b). Essas observações sugerem o seguinte teorema:

a) Se f ‘’(x) > 0 para cada valor de x em (a , b), então f é côncava para

cima em (a , b).

b) Se f ‘’(x) < 0 para cada valor de x em (a , b), então f é côncava para

baixo em (a , b).

Exemplo 1:

Determine onde a função é côncava para

cima e onde é côncava para baixo.

Solução:

Neste caso,



e f ‘’ é definida em toda parte. Fazendo f ‘’(x) = 0 temos x = 1. O

diagrama de sinais de f ‘’ aparece na figura ao lado. Concluímos que

f é côncava para baixo no intervalo (- , 1) e é côncava para cima no

intervalo (1 , ). A figura abaixo mostra o gráfico de f .

Ponto de Inflexão

Um ponto no gráfico de uma função diferenciável f no qual a

concavidade muda é chamado um ponto de inflexão.



O procedimento a seguir pode ser usado para encontrar pontos

de inflexão.

1) Calcule f ‘’(x).

2) Determine os pontos no domínio de f para os quais f ‘’(x) = 0 ou

f ‘’(x) não existe

3) Determine o sinal de f ‘’(x) à esquerda e à direita de cada ponto x

= c encontrado no passo 2. Se houver uma mudança no sinal de f

‘’(x) quando passamos pelo ponto x = c, então (c , f(c)) é um ponto

de inflexão de f.

Exemplo 1:

Encontre os pontos de inflexão da função

Solução:



Observe que f ‘’ é contínua em toda a parte e é zero se x = 0. No

diagrama de sinais de f ‘’ vemos que f ‘’(x) muda de sinal quando

passamos por x = 0. Logo, (0 , 0) é um ponto de inflexão da função f

como é mostrado no gráfico abaixo.

Aplicação

O total de vendas S (em milhares de dólares) da Artic Air Corporation,

um fabricante de ar condicionado para automóveis, relaciona-se com

a quantidade de dinheiro x (em milhares de dólares) que a companhia

gasta anunciando seus produtos pela fórmula

Encontre o ponto de inflexão de S.



Solução:

As duas primeiras derivadas de S são dadas por

As duas primeiras derivadas de S são dadas por

Fazendo S’’ = 0 temos x = 50 como único candidato para ponto de

inflexão de S. Além disso, uma vez que

S’’ > 0 para x < 50

S’’ < 0 para x > 50

o ponto (50 , 2700) é um ponto de inflexão da função S. O gráfico de

S aparece na figura abaixo.

O teste da segunda derivada

Agora, mostraremos como a Segunda derivada f” de uma função f

pode ser usada para nos ajudar a determinar se o ponto crítico de f

é um extremo de f. A figura (1) mostra o gráfico de uma função que

tem o máximo relativo em x = c. Observe que f é côncava para baixo

neste ponto. De maneira análoga, a figura (2) mostra que num mínimo

relativo de f o gráfico é côncavo para cima. Mas da nossa análise

anterior sabemos que f é côncava para baixo em x = c de f”< 0 e f é



côncava para cima em x = c se f” > 0. Essas observações sugerem o

seguinte processo alternativo para determinar se um ponto crítico de

f leva a um extremo relativo de f. Esse resultado é chamado de teste

da Segunda derivada e é aplicável quando f”existe. Veja o resumo no

quando abaixo.

O Teste da Segunda Derivada

1.Calcule f’(x) e f”(x);

2.Encontre todos os pontos críticos de f nos quais f’(x) = 0;

3.Calcule f”( c ) para cada um dos pontos críticos c:

a)se f”( c) < 0, então f tem um máximo relativo em c;

b)se f”( c ) > 0, então f tem um mínimo relativo em c;

c)se f”( c ) = 0, o teste falha; isto é, é inconclusivo.

Comparação dos Testes da Primeira e Segunda Derivada

Os testes da Primeira e Segunda derivada são usados para classificar

os pontos críticos de f. O teste da Segunda derivada é aplicável

somente quando f”existe, portanto menos versátil que o teste da

primeira derivada. Além disso, o teste da Segunda é inconclusivo



quando f”é igual a zero em um ponto crítico de f, enquanto o teste

da primeira derivada sempre leva a conclusões positivas. O teste da

Segunda derivada é também de uso inconveniente quando f” é difícil

de calcular .

O resumo abaixo representa os diferentes papéis desempenhadas

pela primeira derivada f’ e Segunda derivada f” de uma função f na

determinação das propriedades do gráfico de f.

Exemplo :

Determine os extremos relativos da função

f(x) = x³ - 3x² - 24x + 32

Usando o teste da Segunda derivada.

Solução:

f(x) = x³ - 3x² - 24x + 32

f’(x) = 3x² - 6x - 24

f”(x) = 6x – 6

fazendo f’(x) = 0.

3x² - 6x – 24 = 0

( use a fórmula de Bhaskara para resolução desta equação)

resulta em x = -2 e x = 4, os pontos críticos de f. Determinaremos se

existe ou não extremos relativos entre esses pontos encontrando o

sinal da Segunda derivada neles:



f”(x) = 6x – 6

f”(-2) = 6(-2) – 6 = -18, logo f tem um valor máximo relativo.

f”(4) = 6(4)– 6 = 18, logo f tem um valor mínimo relativo.

Aplicação de Extremos Absolutos para Resolução de Problemas de Otimização

Os extremos absolutos ( máximo absoluto ou mínimo absoluto) de

uma função é aplicado para resolver problemas relacionados com

maximização e minimização, vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1:

Um homem deseja ter um jardim de forma retangular no seu quintal.

Ele tem 50 metros de material para cercar seu jardim. Encontre as

dimensões do maior jardim que ele pode ter se usar todo o material.

Solução:

Sejam x e y as dimensões ( em metros ) dos lados do jardim, conforme

a figura abaixo:

A área do jardim ( A ) dada por A = xy, que é a quantidade

a ser maximizada.



O perímetro (soma de todos os lados) do jardim de forma retangular

é 2x + 2y, que deve ser igual a 50 m. DesSa forma, temos:

2x + 2y = 50 ( I )

resolvendo essa equação para y para Y em função de x temos

2y = 50 – 2x

y = 25 – x ( II )

substituindo ( II ) em ( I ), resulta:

A = xy

A = x(25 – x)

A = - x² +25x

Não esqueça que a função a ser otimizada dever envolver apenas

uma variável.

Como os lados do retângulo devem ser não-negativo, devemos ter

x e y = 25 – x 0; isto é, devemos ter 0 x 25. Logo, o problema

é reduzido a encontrar o máximo absoluto de A = f(x) = - x² +25x no

intervalo fechado [0, 25].

Observe que f é contínua em [0, 25] e portanto o valor máximo

absoluto de f deve ocorrer nos extremos ou nos pontos críticos de f. A

derivada da função f(x) é dada por

f(x) = - x² +25x

f’(x) = - 2x +25

fazendo f’(x) = 0, obtemos

-2x + 25 = 0

25 = 2x

x = 12,5 , como ponto crítico de A. Em seguida, calcularemos A = f(x)

em x = 12,5 e nos extremos x = 0 e x = 25 do intervalo [0, 25], obtendo

os seguintes valores:

f(x) = - x² +25x

f(0) = - (0)² +25(0) = 0

f(12,5) = - (12,5)² +25(12,5) = 156,25



f(25) = - (25)² +25(25) = 0

vemos que o valor máximo absoluto da função f é 156,25.Da equação

(II) vemos que quando x = 12,5 , o valor de y é dado por y = 12,5. Logo

, o jardim teria área máxima (156, 25 m²) se tivesse a forma de um

quadrado com lados de 12,5 m de comprimento.

Exemplo 2:

Cortando quadrados idênticos de cada canto de um pedaço retangular

de papelão e dobrando as abas resultantes, o papelão pode ser

transformado numa caixa aberta. Se o papelão tem 16 polegadas de

comprimento e 10 polegadas de largura, encontre as dimensões da

caixa com o máximo de volume.

Solução:

Seja x o comprimento (em polegadas) de um lado de cada um dos

quadrados idênticos a serem cortados do papelão( conforme figura

abaixo) e seja V o lume da caixa resultante.

As dimensões da caixa são ( 16 – 2x) polegadas de comprimentos, (10

– 2x) polegadas de largura e x polegada de altura..



Logo, seu volume (em polegadas cúbicas) é dado por:

V = (16 – 2x)(10 – 2x)x

V = 4(x³ - 13x² + 40x), que a quantidade a ser maximizada.

Uma vez que cada lado da caixa deve ser não-negativo, x deve

satisfazer as desigualdades x 0, 16 – 2x 0 e 10 – 2x 0. Este

conjunto de desigualdades é satisfeito se 0 x 5. Logo o problema

é reduzido à encontrar o máximo absoluto de

V = f(x) = 4(x³ - 13x² + 40x)

No intervalo fechado [0, 5].

Observe que f é contínua em [0, 5] e, portanto, o valor máximo

absoluto de f deve ocorrer nos extremos ou nos pontos críticos de f.

Calculando a derivada de f(x), obtemos:

f(x) = 4(x³ - 13x² + 40x)

f’(x) = 4(3x² - 26x + 40)

f’(x) = 4(3x – 20)(x – 2)

fazendo f”(x) = 0 e resolvendo a equação resultante de x, obtemos x =

20/3 ou x = 2, como 20/3 está fora do intervalo [0, 5] é desconsiderado,

estamos apenas interessado no ponto crítico x = 2 de f. em seguida,

calculando f(x) em x = 0, x = 5 ( os extremos do intervalo[0, 5] ), e x

= 2, obtemos:

f(x) = 4(x³ - 13x² + 40x)

f(0) = 4[0³ - 13(0)² + 40(0)] = 0

f(5) = 4[5³ - 13(5)² + 40(5)] = 0

f(2) = 4[2³ - 13(2)² + 40(2)] = 144

Logo, o volume da caixa é maximizada tomando x = 2. As dimensões

da caixa são 12x6x2 polegadas, e o volume é 144 pés cúbicos.



Exemplo 3:

A taxa de operação (expressa em porcentagem) de fábricas, minas e

empresas de serviços em uma certa região do país no t-ésimo dia do

ano de 2000 é dada pela função

Em que dia dos primeiros 250 dias de 2000 a taxa de operação da

capacidade de produção foi máxima.

Solução:

O problema é resolvido encontrando o máximo absoluto da função f

em [ 0 , 250]. Diferenciando f (x), obtemos

Fazendo f ‘(t) = 0 e resolvendo a equação resultante, obtemos t = -200

ou 200. Uma vez que –200 está fora do intervalo [0 , 250], estamos

apenas interessados no ponto crítico t = 200 de f.

Calculando f (t) em t = 0, t = 200 e t = 250, encontramos: f(0) = 80,

f(200) = 83, f(250) = 82,93

Concluímos que a taxa de operação da capacidade de produção era

máxima no ducentésimo dia ( t = 200) de 200 – isto é , um pouco

depois da metade de julho de 2000.

Exemplo 4:

A Companhia Dixie de Importação e Exportação é o único revendedor

da motocicleta Excalibur 250 cc. A direção estima que a demanda

dessas motocicletas é de 10.000 por ano e que elas serão vendidas a

uma taxa uniforme ao longo do ano. O custo de encomenda de cada

carregamento de motocicletas é de $ 10.000 e o custo anual de cada



motocicleta é de $ 200.

A direção da Dixie enfrenta o seguinte problema: Encomendar muitas

motocicletas de uma só vez ocupa valioso espaço de armazenagem

e aumenta o custo de estoque. Por outro lado, fazer encomendas

com muita freqüência aumenta o custo de encomendas. Qual a

quantidade que deve ser encomendada e com que com freqüência,

para minimizar os custos de encomenda e estoque?

Solução:

Seja x o número de motocicletas em cada encomenda (tamanho do

lote). Então, assumindo que cada carregamento chega quando o lote

anterior foi totalmente vendido, o número médio de motocicletas

estocadas é de x/2. Logo, o custo de armazenagem da Dixie por ano é

dado por 200(x/2), ou 100x dólares.

Em seguida, uma vez que a companhia requer 10.000 motocicletas por

ano e cada encomenda é de x motocicletas, o número de encomendas

requerido é.

Isto resulta num custo de encomenda de

dólares por ano. Logo, o custo total anual incorrido pela Dixie, que

inclui o custo de encomenda e estoque atribuídos à venda dessas

motocicletas, é dado por



O problema reduz-se a encontrar o mínimo absoluto da função C no

intervalo (0 , 10.000). Para isso, calculamos

Fazendo C’(x) = 0 e resolvendo a equação resultante, obtemos

x = 1000. Como o número –1000 está fora do domínio da função C,

ele é rejeitado, deixando x = 1000 como único ponto crítico de C. Em

seguida, determinamos

Uma vez que C’’(1000) > 0, o teste da segunda derivada indica que o

ponto crítico x = 1000 é um mínimo relativo da função C. Além disso,

C’’(x) > 0 para todo x em (0 , 10.000), a função é côncava para cima

em toda a parte e, portanto, o ponto x = 1000 também é o mínimo

absoluto de C. Assim, para minimizar os custos de encomenda e

estoque, a Dixie deve fazer 10.000/1000, ou 10, encomendas por ano,

cada uma de 1000 motocicletas.

Referências Bilbliográficas

TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo:

Thomson, 2001.

LEITHOLD, L. O Matemática Aplicada à Economia e Administração. São

Paulo: Harbra, 1988.

STEWART JAMES, Cálculo Vol. I. 4ª Ed. São Paulo: Pioneira Thomson

Learning, 2003.

Documents

MS Impresso Aula11