Méthode des EF étendus - cgeo.ulg.ac.be · 3 Méthode des EF étendus Applications Utilisation directe des modèles CAO pour l'analyse Génération de maillage « minimaliste »

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Méthode des EF étendus

Problématique des conditions aux limites et de la modélisation implicite des volumes

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But ici

Libérer les contrainte sur le maillage Interfaces avec l'extérieur du problème (frontières) Et/ou interfaces entre matériaux différents

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Applications

Utilisation directe des modèles CAO pour l'analyse Génération de maillage « minimaliste »

Utilisation de sets de données « sales »non adaptés à la génération de maillages Imagerie scanner; applications biomédicales

Interfaces mobiles Remplissage Optimisation de forme et optimisation topologique

Problèmes de contact en mécanique

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Interface CAO

D'une représentation CAO traditionelle (B-rep)

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Interface CAO

… Vers une représentation implicite (level-set)

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Conditions aux limites

Comment appliquer des conditions aux limites Neumann/conditions naturelles (en mécanique :

pressions, forces) Par intégration (il s'agit

d'une forme linéaire)

Attention ! l'intégration se fait sur un domaine N (ou

) qui coupe les éléments du maillage

a u ,v=∫

∇su : D : ∇ s

v d

b v=∫

f⋅v d∫N

f⋅v d N

Trouver u tel quea u ,v=b v ∀v

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Conditions aux limites

Comment appliquer des conditions aux limites Dirichlet/conditions essentielles (en mécanique :

déplacements) Eléments finis « standards »

élimination des DDL etajout d'une contributiondans le membre de droite

Ici, le domaine D sur

lequel appliquer cela est non conforme et doncon ne peut simplement éliminer les DDL – il faut calculer les valeurs à imposer pour chaque DDL concerné... de façon à ce que la condition de Dirichlet voulue soit vérifiée

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Conditions aux limites de Dirichlet

Exemple 1: un simple laplacien

Trouver u∈V 1={v∈H 1 , v∣D

=uD } tel que

a u , v =bv ∀ v∈V 0={v∈H 1 , v∣D=0 }a u , v =∫

∇ u⋅∇ v d

bv =∫N

f⋅v d

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Exemple 1 DDL concernés : ceux dont le support coupe la

frontière

Matière

Vide

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Avec deux éléments ? Sans conditions de Dirichlet : 4 ddl , u dispose

d'une certaine liberté dans la partie rouge Si on impose exactement u=0 sur l'interface …

Combien reste-t-il de ddl pour u dans la zone rouge ?

u=0

u1

a1

a2

b2

b3 c

3

c4

u3

u2 u

4

u1

a1

=u2

a2

;u2

b1

=u3

b3

;u3

c3

=u4

c4

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Exemple complet Nombre de ddl restants dans les zones grises

après imposition de la condition aux limite de Dirichlet :

3 ! L'espace fonctionnel est très appauvri dans les éléments

traversés par l'interface.

Matière

Videu=0

1 11 !

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On ne peut pas imposer exactement une condition de Dirichlet par élimination dès lors que celle ci est imposée au travers des éléments !

(Une) Solution : utilisation de multiplicateurs de Lagrange, cf. article Babuska 1973 (dans la bibliographie)

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Multiplicateurs de Lagrange

u , v=u2v2On veut minimiser

Si on pose une condition supplémentaire :

Méthode 1 : élimination de v :

C'est la méthode utilisée précédemment...

u , v =2u u2 vv=0 ∀u , vu=v=0 0 ,0=0

g u , v =u−v2=0

' u=2 u24 u4≡u , v

' u =4 u1u=0 ∀ uu=−1 ' −1=2 v=1

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u , v ,=0=2u u2v− vu−v2 ∀u ,v ,

Méthode 2 : Introduction d'une variable supplémentaire

u , v ,=u , v g u , v =u2v2

u−v2

{2u=02v−=0u−v2=0

⇔{u=−1v=1=2

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En éléments finis , cela donne

−u= f dansu=uD sur D

F u=12∫

∇ u⋅∇ u d−∫

fu dEquivalent à minimiser

pour tout u satisfaisant les conditions aux limites sur . En utilisant des multiplicateurs de Lagrange pour les CL, on obtient la fonctionnelle à minimiser:

Et la forme faible associée :

D

F u ,=12∫

∇ u⋅∇ u d−∫D

u−uDd D−∫

fu d

∫

∇ u⋅∇u d=∫

f u d ∀ude forme faible : trouver δu tel que

a u , u=l u

=12a u ,u −l u

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F u ,=12∫

∇ u⋅∇ u d−∫D

u−uDd D−∫

fu d

=12AU ,U −L U U=u

AU ,U =u ,⋅a bb 0⋅u=a u ,ub u ,b , u

L U =l u −c

a u ,u=∫

∇ u⋅∇ u d

b u ,=b , u=−∫D

u⋅D

l u=∫

fu d

c=−∫D

uD d D

AU ,U =L U

a u , ub , u=l ub , u =c

B u , ,u ,=

∫

∇ u⋅∇u d−∫D

uud D=∫

f u d−∫D

uD u d D

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Trouver u∈V={v∈H 1}∈L={∈H 1/2 D

' }tels que

∫

∇ u⋅∇ v d−∫D

⋅v d =∫N

f⋅v d ∀ v∈V

−∫D

⋅u d =−∫D

⋅uD d ∀∈L

On a « dualisé » la condition de DirichletCelle ci est maintenant traitée comme une condition de Neumann sur les multiplicateurs de Lagrange

Pour simplifier les notations, posons v=u ,=

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Les multiplicateurs de Lagrange ont un sens physique

En mécanique, c'est la force à appliquer pour assurer la condition sur la variable primale (les déplacements).

Dans notre cas, c'est le gradient de la solution à imposer pour assurer u=u

D sur

D.

Le problème obtenu correspond à un trouver un point selle (min-max) – La matrice des systèmes linéaires à résoudre est non définie positive (mais symétrique)

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Construction des espaces discrets

On ne touche pas à l'espace primal (pour u). Il s'agit de l'espace muni des fonctions de formes nodales (fonctions chapeau)

On doit construire un espace discret adéquat pour .

Posons que l'espace Lh pour soit constituée des

fonctions chapeau construites sur les noeuds de la frontière...

Trouver uh∈V h⊂V={v∈H 1 }h∈Lh⊂L={∈H 1/2

D' }

tels que ...

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Matière

Vide

Posons que l'espace Lh pour soit constituée des

fonctions chapeau ...

On fait un calcul. On obtient un système linéaire non défini positif de la forme suivante :

Ah BhT

Bh 0 uhh=F hDh

∫

∇ u⋅∇ v d−∫D

⋅v d =∫N

f⋅v d ∀ v∈V h

−∫D

⋅u d =−∫D

⋅uD d ∀∈Lh

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On résoud … Les multiplicateurs

de Lagrangeoscillent.

Plus h (taille caractér.du maillage) diminue, plus cela oscille...

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Que se passe-t-il ? Les discrétisations pour u et sont incompatibles. Elles ne respectent pas la condition de

Ladyzhenskaya-Babuška-Brezzi (LBB), ou condition inf-sup qui s'applique ici :

Cette condition est difficile à vérifier analytiquement.

inf∈L

h

supu∈V

h

∫huh d

h1/2∥∥0,D∥u∥1,

≥0

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Vérification numérique de la condition LBB. Il existe un test numérique « simple »; cf Chapelle,

Bathe, 1993 et KJ Bathe 2001 (voir bibliographie) On considère un problème plus général, en ajoutant une

« raideur » k à la condition de Dirichlet (condition de Robin) – si k → , retour au cas précédent

Ah BhT

Bh −1kM huhh=F hDh

∫

∇ u⋅∇ v d−∫D

⋅v d =∫N

f⋅v d ∀ v∈V h

−∫D

⋅u d −∫D

1k d =−∫

D

⋅uD d ∀∈Lh

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Test numérique de Chapelle - Bathe

Ce test revient à calculer la première des valeurs propres non nulles () du problème aux valeurs propres suivant :

ou A

h doit être inversible

Cela ne dépend pas de k !

On vérifie que ne tend pas vers 0 pour une séquence

de maillages de densité croissante. Ici,

Ah BhT

Bh −1kM huhh=F hDh

=0

1hBh Ah−1Bh

T W h=M hW h

1hBhTM h

−1Bh W h'=

' AhW h'

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Résultats Deux cas :

- aligné avec le maillage

- non aligné Le second cas

ne fonctionnepas du tout.

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Espaces incompatibles... Espace pour les multiplicateurs de Lagrange trop

« riche » par rapport à l'espace pour la variable primale.

Revient à imposer exactement la condition de Dirichlet

→ Il faut appauvrir Lh




●Du maillage de l'interface, on prend chaque noeud et on le met dans un ensemble N●Si un noeud de N est aussi partie du maillage, le marquer comme vital (ens. V) , l'enlever de N●Prendre chaque arrète incidente et compter les intersections partant des noeuds de fin avec l'interface ●Trier l'ensemble N. La clef est le nombre défini plus haut (plus petit en premier)

●Boucler sur la liste ordonnée (N), ni● Prendre les noeuds de fin, et à partir de ces noeuds, les noeuds connectés de N● Si ni n'est pas NV (non vital), le marquer comme Vital (V) et

tous les autres comme non vitaux (NV)●FinBoucle

2

2

3 4 4 5

4

6 46

4 5 4 4 4

5 4 6

4

5 4 4 4 4 4 4 4 4 3



Ce qui reste, Une distribution quasi-uniforme de noeuds

La densité est presque la même que celle du maillage de volume (surface)

Ça marche en 3D !



Resultat de la décimation Projection des noeuds 3D



Projection des noeuds 3DResultat de la décimation



Construction des fonctions de forme ? Directement sur l'interface

Ça marche

… seulement en 2D


Conditions aux limites de Dirichlet En 3D : on serait obligé de reconstruire une

triangulation de l'ensemble des noeuds VQue dire de :

Interfaces courbes Décalage entre les

triangulations Pb d'intégration

On doit changer l'approche pour le 3D


Conditions aux limites de Dirichlet Autre solution

Prendre la traces des FF de volume – mais il y en a trop !

On combine les FF (en formant des combinaisons linéaires) pour chaque noeud V

A certaines places, une FF de volume peut être liée à plus d'un noeud V.

Il y a une liberté : 100% avec le vert, ou 100% avec le rouge ou n'importe quelle combinaison telle que la somme est 100% (pour conserver la partition de l'unité)



Intérêt de l'utilisation de la trace comme espace des multiplicateurs de Lagrange Intégration aisée Fonctions de forme compctes Partition de l'unité sur l'interface Même algorithmes en 2D et 3D Résultats numériques ?



2D

3D











Composites : encollage parfait Encollage imparfait







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Conclusion

La méthode des éléments finis étendus (X-FEM) date d'une dizaine d'année (Moës 1999). Elle est basée sur la méthode de partition de l'unité (Babuska 1997)

Comparée à la méthode des éléments finis classique, elle permet de relaxer les contraintes imposées au maillage pour la simulation de phénomènes physiques divers, par exemple propagation de fissures, interfaces matériaux et bien d'autres. Elle est fréquemment associée à la technique des level-sets (Sethian 1998) pour la modélisation des interfaces

Le but est d'améliorer la FEM, pas de la remplacer, et de conserver ses attraits en y ajoutant des particularités permettant de faire des choses impossibles par ailleurs.

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Bibliographie

Babuska I. « The finite element method with Lagrange multipliers » Numerische Mathematik,20:179-192,1973Babuska I. Melenk J.M. « The partition of unity method » IJNME, 40:727-758,1997Barth T.J. Sethian J.A. « Numerical schemes for the hamilton-jacobi and level-set equations on triangulated domains » JCP 145:1-40,1998Bathe K.J « The inf-sup condition and its evaluation for mixed finite element methods, Computer and Structures 79:243-252, 2001Béchet E. Minnebo H. Moës N. Burgardt B. « improved implementation and robusness study of the X-FEM for stress analysis around cracks » IJNME 64:1033:1056,2005Béchet E. Scherzer M, Kuna M, « Applications of the X-FEM to the fracture of piezoelectric materials, IJNME 77:1535:1565,2009Béchet E. Moës N. Wohlmuth B. « A stable lagrange multiplier space for stiff interface conditions within the extended finite element method » , IJNME 78(8):931-954,2009.Belytschko T. Moës N, Usui S, Parimi C, « arbitrary discontinuities in finite elements » IJNME 50:993-1013,2001Belytschko T. Chessa J. Zi G. Xu J. Th extended finite element method for arbitrary discontinuities, Computational mechanics – Theory and practice » K.M. Mathisen, T. Kvamsdal et K.M. Okstad (dir), CIMNE Barcelona, Spain 2003Breitkopf P (dir) « La méthode des éléments finis – extensions et alternatives » Hermes-Lavoisier, France, 2006Chapelle D. Bathe KJ. « The inf-sup test » Computer and Structures 47:537-545, 1993Daux C Moës N. Dolbow J Sukumar N Belytschko T. « Arbitrary branched and intersecting cracks with the extended finite element method » IJNME 48:1741-1760,2000Dolbow J. Moës N. Belytschko T. « Discontinuous enrichment in finite elements with a partition of unity method » FEAD 36:235-260,2000Gravouil A. Moës N. Belytschko T. « Non planar 3D crack propagation by the extended finite element method and level-sets part II: level-set update » IJNME 53:2569-2586,2002Legrain G. Moës N. Verron E « stress analysis around crack tips in finite strain problems using the X-FEM » IJNME 63:290-314,2005Moës N. Béchet E. Toubier M. « Imposing essential boundary conditions in the extended finite element method »IJNME 67:1641-1669

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Bibliographie

Moës N. Cloirec M. Cartraud P. Remacle J.F. « a computational approach to handle complex microstructure geometries » CMAME 53:3163-3177,2003Moës N. Dolbow J. Belytschko T. « A finite element method for crack growth without remeshing », IJNME 46:133-150,1999Moës N. Gravouil A. Belytschko T. « Non planar 3D crack propagation by the extended finite element method and level-sets part I : Mechanical model IJNME 53:2549-2568,2002Osher S, Fedkiw R. « level-set methods and dynamic implicit surfaces » Springer-verlag 2002Mohammadi, S « Extended Finite Element Method for fracture analysis of structures» , Blackwell publishing, ISBN 978-1-4051-7060-4, 2008.Rhetore J. Gravouil A. Combescure A. « an energy conserving scheme for dynamic crack growth with the X-FEM » IJNME 63:631-659,2005Sethian J.A. « level set methods and fast marching methods : evolving interfaces in computational geometry, fluid mechanics, computer vision and material sciences »Cambridge university press, UK, 1999Sukumar N.Chopp D.L. Moës N Belytschko T. « modeling holes and inclusions by level-sets in the extended finite element method » CMAME 190:6183-6200,2001Sukumar N. Moës N. Moran B. Belytschko T. « Extended finite element method for three dimensional crack modelling » IJNME 48:1549-1570,1999Strouboulis T. Babuska I. Copps K. « The design and analysis of the generalized finite element method » CMAME 181:43-71,2000

Nota :

IJNME = International journal for numerical methods in engineering (Wiley)CMAME = Computer methods in applied mechanics and engineering (Elsevier)FEAD = Finite element in analysis and design (Elsevier)JCP = Journal of computational physics (Elsevier)

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Recrutement ...

Bourse de doctorat

- Modélisation de géométries 3D issues de tomographie X.

- Méthode des éléments finis étendus en général.

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