1.            Jawab :

*  kita misalkan    dan fungsi u dapat diturunkan menjadi

*  Baru kita subtitusikan ke soal :

 

Jangan sampai lupa untuk mengembalikan permisalan kita       ya…..

2.  

Jawab :

*  kita misalkan      dan fungsi u dapat diturunkan menjadi :

 *  Baru kita subtitusikan ke soal :

3.   

Jawab :

*  kita misalkan    dan fungsi u dapat diturunkan menjadi

*  Baru kita subtitusikan ke soal :

4.      = …

Jawab :

* kita misalkan    maka :

 

*sehingga :

5.      …

Jawab :

* kita misalkan     maka :

*sehingga :

(sumber soal : http://www.meetmath.com/161235-materi-integral-subtitusi.html/comment-page-1#comment-423 )

dari dua soal terakhir di atas ada cara praktisnya :

Contoh soal lain :

 1.

misal :

u = x - 1  maka x = u + 1

du/dx = 7  maka dx = du/7

sehingga :

2.

misal :

u = 4 - x  maka x = 4 - u

du/dx = -1 maka dx = du/(-1) = - du

sehingga

∫udv = uv – ∫vdu

Contoh 1 :

∫x cos x dx = …

Jawab :

u = x     →  du = dx

dv = cos x dx → v = sin x

∫udv = uv – ∫vdu

∫x cos x dx =x sin x -∫sin x dx

∫x cos x dx =x sin x + cos x + c

 

Contoh 2 :

∫x2 sin x dx = …

 Jawab :

u = x2  → du = 2x dx

dv = sin x dx   → v = -cos x

∫udv = uv – ∫vdu

∫x2 sin x dx = x2 (-cos x) – ∫- cos x . 2x dx

∫x2 sin x dx = -x2 cos x + 2∫x cos x  dx

dengan menggunakan hasil contoh 1 maka diperoleh

∫x2 sin x dx =  -x2 cos x + 2(x sin x + cos x) + c

∫x2 sin x dx = -x2 cos x + 2x sin x + 2cos x + c

 

Contoh 3 :

∫x3 cos x dx = …

Jawab :

u = x3 → du = 3x2 dx

dv = cos x dx  → v = sin x

∫udv = uv – ∫vdu

∫x3 cos x dx = x3 sin x – ∫sin x . 3x2 dx

∫x3 cos x dx = x3 sin x – 3∫x2 sin x dx

dengan menggunakan hasil contoh 2 maka diperoleh

∫x3 cos x dx = x3 sin x – 3(-x2 cos x + 2x sin x + 2cos x) + c

∫x3 cos x dx = x3 sin x + 3x2 cos x – 6x sin x – 6cos x + c

 

Contoh 4 :

∫x3 sin x dx = …

Jawab :

u = x3 → du = 3x2 dx

dv = sin x dx  → v = -cos x

∫udv = uv – ∫vdu

∫x3 sin x dx = x3 (-cos x) – ∫(-cosx) 3x2 dx

∫x3 sin x dx = -x3 cos x + 3∫ x2 cosx dx ……………………..(1)

Bagian terakhir harus kita hitung dengan parsial lagi

u = x2  → du = 2x dx

dv = cos x dx   → v = sin x

∫udv = uv – ∫vdu

∫x2 cos x dx = x2 sin x – ∫sin x . 2x dx

∫x2 cos x dx = x2 sin x – 2∫x sin x  dx ……………………….(2)

Bagian terakhir harus kita hitung dengan parsial lagi

u = x     →  du = dx

dv = sin x dx → v = -cos x

∫udv = uv – ∫vdu

∫x sin x dx =x (-cos x) -∫-cos x dx

∫x sin x dx = -xcos x +∫cos x dx …………………………….(3)

Persamaan (3) kita substitusikan ke persamaan (2) sehingga diperoleh

∫x2 cos x dx = x2 sin x – 2(-xcos x +∫cos x dx)

∫x2 cos x dx = x2 sin x + 2x cos x + 2∫cos x dx

Hasil terakhir ini kita substitusikan ke persamaan (3) sehingga diperoleh

∫x3 sin x dx = -x3 cos x + 3(x2 sin x + 2x cos x + 2∫cos x dx)

∫x3 sin x dx = -x3 cos x + 3x2 sin x + 6x cos x + 6∫cos x dx

∫x3 sin x dx = -x3 cos x + 3x2 sin x + 6x cos x + 6sin x  + c