Métodos Numéricos MCC613 › 2020 › ... · Reglas de redondeo 1. En el redondeo, se conservan las cifras significativas y el resto se descarta. El último dígito que se conserva

Errores, exactitud, precisión

Prof: J. Solano

Universidad Nacional de IngenieríaFacultad de Ciencias

Maestría en Ciencia de la Computación

Métodos NuméricosMCC613

Métodos Numéricos - MCC613 2

Objetivos

• Entender diferencia entre exactitud y precisión.

• Aprender como cuantificar el error.

• Aprender como estimados del error pueden ser usados para decidir cuando terminar un cálculo iterativo.

• Entender como los roundoff errors (errores de redondeo) ocurren porque computadores digitales están limitados en su capacidad para representar los números.

• Entender como números floating-point tienen límites en su rango y precisión.


IntroducciónEj: ley del gas ideal,

PV = NRT,

(R es cte que depende del sist medición).

Dos experimentos para evaluar esta ley, mediante el mismo gas en cada caso. Primer experimento, P =1.00atm, V =0.100m3, N =0.00420mol, R=0.08206.

La ley del gas ideal predice que la temperatura del gas es

Sin embargo cuando medimos la tempertura encontramos 150C.


A continuación, repetimos el experimento utilizando los mismos valores de R y N, pero incrementamos la presión en un factor de dos y reducimos el volumen en ese mismo factor. El producto PV sigue siendo el mismo, por lo que la temperatura prevista sigue siendo 170C. Sin embargo, ahora encontramos que la temperatura real del gas es 190C.

• La ley del gas de ideal es inválida en estas condiciones?

• Somos nosotros? (lo mas probable)

• O es el análisis de errores (nos salvamos?)

48.9

Cifras significativas - Ejemplo

Cifras significativas de un número son aquellas que pueden ser usadas con confianza, es decir, el número de ciertos digitos mas un digito estimado.


Exactitud (accuracy) y PrecisiónExactitud se refiere a cuan cerca un valor medido o calculado numéricamente coincide con el valor verdadero, mientras que precisión se refiere cuan cerca valores individuales medidos o calculados numéricamente coincide con los otros.

a) inexacto e impreciso

b) exacto e impreciso

c) inexacto e preciso

d) exacto e preciso


Exactitud y PrecisiónLos errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su precisión y exactitud. La precisión se refiere a:

1. El número de cifras significativas en una cantidad. La extensión en las lecturas repetidas.

2. La exactitud se refiere a la aproximación de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa.

Los errores numéricos se originan con el uso de aproximaciones. Estos incluyen errores de truncamiento y los errores de redondeo, el primer caso se generan por representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto y el segundo por representar números exactos.


Exactitud y Precisión (cont.)Valor verdadero = Valor aproximado + error

Error numérico igual a la diferencia del valor verdadero y el valor aproximado:

Ev = valor verdadero - valor aproximado

Ev: valor exacto del error

Una manera de medir es normalizar el error respecto al valor verdadero, como en:

El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como:

donde ev denota el error relativo porcentual (error)


Exactitud y Precisión (cont.)Normalizar el error es una alternativa, usando la mejor estimación posible del valor verdadero, esto es, a la aproximación misma, como:

ea: error relativo porcentual aproximado

Ciertos métodos numéricos usan un esquema iterativo para calcular resultados. Se hace una aproximación anterior, esto se repite varias veces, en tales casos, el error a menudo se calcula como la diferencia entre la aproximación previa y la actual. Por lo tanto, el error relativo porcentual está dado por:


Exactitud y Precisión (cont.)a menudo no importa el signo del error, si no que su valor absoluto sea menor a una tolerancia prefijada e

s.

| ea |< e

s

es=(0.5×102−n)%

si se cumple este último criterio el resultado es correcto en al menos n cifras significativas.


Ejemplo: Estimación del error para métodos iterativos

A menudo se pueden representar las funciones mediante una serie infinita. La función exponencial se puede representar como,

Empezando con el primer término, ex = 1, y agregando más términos, estímese el valor de e0.5. Después que se agregue cada término, calcúlesen los errores relativos porcentuales real y aproximado. El valor real de e0.5 = 1.648721271. Agregar términos hasta que el valor absoluto del error aproximado ea sea menor al criterio preestablecido, es que contempla tres cifras significativas.


Solución:e

s = (0.5×102−3)% = 0.05%

primera estimación ex ≈ 1

segunda estimación ex ≈ 1+x

para x=0.5 e0.5 ≈ 1+0.5 = 1.5

error relativo real,

ev = (1.648721271 − 1.5)/1.648721271 x 100% = 9.02%

ea = (1.5 − 1)/1.5 x 100% = 33.3% > e

s


Solución:tercera estimación ex ≈ 1 + x + x2/2!

para x=0.5 e0.5 ≈ 1 + 0.5 + 0.52/2= 1.625

error relativo real,

ev = (1.648721271 − 1.625)/1.648721271 x 100% = 1.438%

ea = (1.625 − 1.5)/1.625 x 100% = 7.69% > es

Se continua hasta que | εa | < es


Reglas de redondeo1. En el redondeo, se conservan las cifras significativas y el resto se descarta. El último dígito que se conserva se aumenta en uno si el primer dígito descartado es mayor de 5. De otra manera se deja igual. Si el primer dígito descartado es 5 o 5 seguido de ceros, entonces el último dígito retenido se incrementa en 1, sólo si es impar.

2. En la suma y en las restas, el redondeo se lleva a cabo de forma tal que el último dígito retenido en la respuesta corresponda al último dígito más significativo de los números que están sumando o restando. Nótese que un dígito en la columna de las centésimas es más significativo que uno de la columna de las milésimas.

3. Para la multiplicación y para la división el redondedo es tal que la cantidad de cifras significativas del resultado es igual al número más pequeño de cifras significativas que contiene la cantidad en la operación.


Reglas de redondeo1. Errores de redondeo

5.6723 −> 5.67 3 cifras significativas10.406 −> 10.41 4 cifras significativas7.3500 −> 7.4 2 cifras significativas

2. Sumas y restas

2.2 − 1.768 = 0.432 −> 0.4

3. Multiplicación y división

a) 0.0642 × 4.8 = 0.30816 −> 0.3

b) 945/0.3185 = 2967.032967 −> 2970


Efectos NuméricosAdemás de los problemas de errores causados por operaciones aritméticas, hay ciertos efectos numéricos que contribuyen a que el resultado obtenido no tenga crédito Algunos de los más frecuentes son:

• Cancelación

• Propagación de errores

• Inestabilidad numérica

• Mal acondicionamiento


CancelaciónLa cancelación se produce restando dos números casi iguales. Supongamos que operamos con aritmética de punto flotante. Sean x e y dos números con exponente e. Cuando hacemos la diferencia x – y, también tendrá el exponente e. Si normalizamos el número obtenido, veremos que debemos mover los dígitos a la izquierda para que el primero no sea cero. Así, aparecen varios dígitos de cero al final de la mantisa del número normalizado. Estos no tienen ningún significado

Ejemplo: calcular

Solución:

Por lo tanto

La normalización da 0.5031420000 × 10−4.

La pregunta es si podemos tener un resultado mas preciso. Rpta: SIRecordando

Entonces obtenemos


CancelaciónEjemplo: resolver x2 – 1634 x + 2 = 0

Solución: se tiene que

Por lo tanto x1 = 817 + 816.9987760 = 0.1633998776 × 103 ,

x2 = 817 − 816.9987760 = 0.1224000000 × 10−2

La pregunta es si podemos tener un resultado mas preciso. Rpta: SIRecordando que el producto de las dos raices es igual al término independiente de la ecuación: x

1 x

2 = 2 → x

2 = 2/x

1

Entonces obtenemos x2 = 0.1223991125 × 10−2

Ver tambien: https://invdes.com.mx/ciencia-ms/un-matematico-revoluciona-la-resolucion-de-ecuaciones-de-segundo-grado/?fbclid=IwAR0fnT5_SvbUVvnmrpxYNet03SR4Urnll1cF9zH37S0tEneaBPVbfXld2lI


Propagación de errorLa cancelación no ocurre solo cuando dos números casi iguales se restan directamente uno del otro. También ocurre al calcular una suma, cuando una suma parcial es demasiado grande en comparación con el resultado final. Por ej, considere que:

sea la suma a calcular, donde ak puede ser positivo o negativo. Sea

el cálculo es hecho a través de una secuencia de sumas parciales tq:

s1 = a

1, s

k = s

k-1 + a

k, k = 2, 3,. . ., n tal que s = s

n.

Si se calcula en aritmética de punto fijo, cada ak se ve afectado por

algún error, que están limitados por algun e para todo k. Si no se produce un overflow, el error en la suma final s será max ne. Como no todos a

k tienen el mismo signo, el error será menor que que ne.


Propagación de errorSi la suma se calcula en pto flotante, puede ocurrir otro fenómeno. Suponer que una de las sumas intermedias es considerablemente grande en relación con la suma final s, tq el exponente de s

k excede el

exponente de s en, digamos, p unidades. Claro que solo puede ocurrir si no todos los a

k tienen el mismo signo. Simulemos tal suma en aritmética

de punto fijo (usando para todas las sumas parciales el mismo exponente de s), entonces debemos cambiar los últimos p dígitos de s

k

por ceros. Estos dígitos influyen en los últimos dígitos de s y, como en general son incorrectos, no podemos decir que el error final será pequeño.

Ejemplo: Calcular e−5.25, utilizando 5 dígitos significativos en todas las operaciones

Solución: usando

Si ex se calcula utilizando esta fórmula, la serie debe truncarse. Entonces tendremos un error de truncamiento.


Propagación de errorConsideremos los primeros 20 términos de la serie anterior para evaluar e−5.25. Tenemos entonces:

El cálculo da: e-5.25 = 0.65974 × 10−2. Usando calculadora, el resultado es 0.52475 × 10−2. Esta diferencia entre los valores obtenidos se produjo porque en la expresión arriba tenemos términos del orden de 102 que desprecian cualquier cantidad menor que 10−3, mientras que el resultado real de e-5.25 es casi exclusivamente de términos de este orden.


Propagación de errorLa pregunta es si podemos tener un resultado mas preciso. Rpta: SIRecordando e-5.25 = 1/e5.25 y que:

Sumando todos los términos de la expresión de e5.25, obtenemos e5.25 = 0.19057×103, => e−5.25 = 1/e5.25 =1/0.19057×103 = 0.52475×10−2.


Inestabilidad NuméricaSi un resultado intermedio de un cálculo está contaminado por un error de redondeo, este error puede influir en todos los resultados posteriores que dependen de este resultado intermedio. Errores de redondeo pueden propagarse incluso si todos los cálculos posteriores se realizan con doble precisión. De hecho, c/nuevo resultado intermedio introduce un nuevo error de redondeo.

Por lo tanto, es de esperar que todos estos errores influyan en el resultado final. En una situacion simple como una suma, el error final puede ser igual a la suma de todos los errores intermedios.

A veces, los errores intermedios pueden cancelarse entre sí como mínimo parcialmente En otros casos (como procesos iterativos), los errores intermedios pueden tener un efecto insignificante en el resultado final. Los algoritmos con esta propiedad se denominan estables.

La inestabilidad numérica ocurre si los errores intermedios tienen una influencia muy grande en el resultado final. Veremos este hecho a través del siguiente ejemplo.


Inestabilidad NuméricaEjemplo: resolver integral

Solución: tratemos de encontrar una fórmula de recurrencia para In.

Integrando por partes, se deduce que:

tenemos formula de recurrencia: In = 1 − n I

n−1 , n = 1, 2, . . . ,

y como

entonces I0 = 0.6321 , I

1 = 0.3679 , I

2 = 0.2642 , I

3 = 0.2074 ,

I4 = 0.1704 , I

5 = 0.1480 , I

6 = 0.1120 , I

7 = 0.216 !!!.


Inestabilidad Numérica I

7 está errado porque,

esto es, I7 < 1/8 = 0.1250. Además, la secuencia I

n es decreciente. Para

ver que existe inestabilidad, supongamos que el valor I0 se ve afectado

por un error e0. Supongamos además que todas las operaciones

aritméticas posteriores se calculan exactamente. Sea In el valor exacto de

la integral e In el valor calculado asumiendo que solo hay error en el

valor inicial, obtenemos: I0 = I

0 + e

0 ,

y asi: In = 1 − n I

n-1, n = 1, 2, . . . .

Sea rn el error,o sea: r

n = I

n − I

n .

Se verifica que rn = −n r

n-1 , n = 1, 2, . . . .

Aplicando la formula repetidamente, obtenemos: r

n = −n r

n-1 = (−n)2 r

n-2 = . . . = (−n)n r

0 ,

y por tanto rn = (−n)n e

0 (desde que r

0 = e

0). A c/paso el error crece.


Inestabilidad Numérica Surge la pregunta: Como hallar el valor exacto de I

n? En este caso

particular, tenga en cuenta que: una relación de recurrencia inestable en la dirección creciente de n no impide que sea estable en la dirección decreciente de n. Así, para I

n-1, obtenemos:

In-1

= (1 – In) / n

Si se usa de esta forma, la relación también necesita un valor inicial. Sin embargo, no es fácil de encontrar este valor porque todo I

n donde n> 0

es desconocido.

Sabemos que In → 0 cuando n→∞. Por tanto, tomando I

20 = 0 y usando

relación anterior para n = 20, 19, 18,.. obtenemos: I7 = 0.1123835 donde

ahora todos los dígitos son correctos.

Curiosamente, comenzando con I7 = 0, obtenemos I

0 = 0.6320. Esto

ocurre porque en este caso el error se reduce sustancialmente con cada paso, es decir, con cada paso el error disminuye por factor 1/n.

.


Mal acondicionamientoLa mayoría de los procesos numéricos siguen la siguiente línea general:

• Se proporcionan datos,

• Los datos se procesan de acuerdo con un plan preestablecido (algoritmo),

• Se producen resultados.

Aquí veremos los problemas en los que los resultados dependen continuamente de los datos. Tales problemas se llaman un problema bien planteado. Los problemas que no dependen continuamente de los datos son llamado problema fuera de lugar.

Luego analicemos cómo las perturbaciones en los datos pueden o no influir en los resultados.


Mal acondicionamientoEjemplo: Resolver el sistema:

_x001a_x + y = 2x + 1.01y = 2.01

Solución: Se puede obtener fácilmente, por ej, por sustitución. Obtenemos: x = y = 1. Si el número 2.01 de la segunda ecuación se cambia a 2.02, obtenemos que la solución del sistema es x = 0 e y = 2. Un pequeño cambio en los datos produce un gran cambio en resultado. Interpretemos el resultado geométricamente. La solución del sistema esel punto de intersección de las dos líneas: y = 2-x e y = (2.01 -x) /1.01


Mal acondicionamientoPor supuesto, el punto de intersección es muy sensible a pequeñas perturbaciones en c/u de estas líneas ya que son prácticamente paralelas. De hecho, si el coeficiente de y en la segunda ecuación es 1.00, las dos líneas son exactamente paralelas y el sistema no tiene solución. Esto es típico de los problemas mal condicionados. También se les llama problemas críticos, porque tienen infinitas soluciones o no tienen ninguna.

Documents

Métodos Numéricos MCC613 › 2020 › ... · Reglas de redondeo 1. En el redondeo, se conservan las cifras significativas y el resto se descarta. El último dígito que se conserva