Multiple integraler

Multiple integralerMultiple integralerMultiple integralerMultiple integraler

InnholdInnhold

Enkelt-integral Def Integrasjon ’omvendt operasjon’ av derivasjon’ Eksempler

Dobbelt-integral Rektangulært område Generelt område Areal Gjennomsnitt Massesenter Treghetsmoment Polar form

Substitusjon i multiple integraler Dobbelt-integral Trippel-integral

Trippel-integral Rektangulære områder Generelle områder Volum Gjennomsnitt Massesenter Treghetsmoment Sylinderkoordinater Kulekoordinater

IntegrasjonAnvendelser - Areal / Volum / Buelengde

Areal

b

a

dx)x(fA

V

Vcm

dV)r(

dV)r(r

r

dt)t('rdsL2

1

t

tC

A

dAA

V

dVV

V

dV)r(M

Volum Buelengde

IntegrasjonAnvendelser - Musikk

IntegrasjonDerivasjon

IntegrasjonAnvendelser - Sampling / Digitalisering

Opprinneligfunksjon

Reprodusertfunksjon

Samplings-punkter

Enkelt-ledd

Shannons samplingsteorem

Fourier

IntegrasjonAnvendelser - Mobiltelefon

Dobbelt-integralEks: Wavelets Gjennfinning / Skjuling

dxxfxfbafWbaW baba )()(),]([),( ,,

a

bxaxba

2/1, || )(

dadbxbaWaC

xf ba )(),(11

)( ,2

dadbxbaWaC

xf ba )(),(11

)( ,2

Kreftsvulster Bomring Video-komprimering

Fjerner lav-frekv. W Fjerner høy-frekv. W

Enkelt-integralDefEnkelt-integralDef

a bxi*

xi

n

iii

P

b

a

xxfdxxf1

*

0)(lim)(

y = f(x)

Enkelt-integralIntegrasjon og derivasjon er ’motsatte’ operasjonerF’(x) = f(x)

Enkelt-integralIntegrasjon og derivasjon er ’motsatte’ operasjonerF’(x) = f(x)

a x

x

)x(f)x('F du)u(f)x(Fx

a

y = f(x)

x+x

)(

)(lim

)(lim

)(

lim

)()(

lim

)()(lim

lim)('

0

0

0

0

0

0

xf

xfx

xxfx

duuf

x

duufduuf

x

xFxxFx

FxF

x

x

xx

x

x

x

a

xx

a

x

x

x

F(x+x) F(x)

F F

x x

Enkelt-integralIntegrasjon og derivasjon er ’motsatte’ operasjonerF’(x) = f(x) - Eks Areal

Enkelt-integralIntegrasjon og derivasjon er ’motsatte’ operasjonerF’(x) = f(x) - Eks Areal

)()(' )()( xfxFdxxfxFx

a

12

63

3

63

4

1

3

1

3

64

4

1

13

14

3

1

4

1

x3

1

4

1

dxx4

1

dxx4

1dx)x(fA

33

4

1

3

4

1

2

4

1

24

1

2

4

1)( xxfy

Dobbelt-integralDefDobbelt-integralDef

m

i

n

jijijij

PR

AyxfdAyxf1 1

**

0),(lim),(

R

Aij

f(xij*,yij*)

xij*

yij*

z = f(x,y)

Dobbelt-integralRektangulært områdeDobbelt-integralRektangulært område

m

i

n

jijijij

PR

AyxfdAyxf1 1

**

0),(lim),(

b

a

d

cR

dydx)y,x(ff(x,y)dA d

c

b

aR

dxdy)y,x(ff(x,y)dA

RdA

f(x,y)

x

y

z = f(x,y)

a

b

cd

RdA

f(x,y)

x

y

z = f(x,y)

a

b

cd

dyc

bxa :R

bxa

dyc :R

Dobbelt-integralRektangulært områdeEks 1 - Volum - dydx

Dobbelt-integralRektangulært områdeEks 1 - Volum - dydx

5

02

10

2

72

2

12

2

7

x2

1x

2

7

dxx2

7

dx02

10x041

2

11x14

dxy2

1xyy4

dydx)yx4(zdAV

1y0 2x0 R: yx4f(x,y)z

22

2x

0x

2

2

0

2

0

22

2

0

1y

0y

2

2

0

1

0R

b

a

d

c

d

c

b

aR

dydx)y,x(fdxdy)y,x(ff(x,y)dA

4

2

1

z = f(x,y) = 4-x-y

Dobbelt-integralRektangulært områdeEks 1 - Volum - dxdy

Dobbelt-integralRektangulært områdeEks 1 - Volum - dxdy

5

006116

yy6

dyy26

dy0y02

1042y2

2

124

dyyxx2

1x4

dxdy)yx4(zdAV

1y0 2x0 R: yx4f(x,y)z

22

1y

0y2

1

0

1

0

22

1

0

2x

0x

2

1

0

2

0R

b

a

d

c

d

c

b

aR


4

2

1

z = f(x,y) = 4-x-y

Dobbelt-integralRektangulært områdeEks 2

Dobbelt-integralRektangulært områdeEks 2

4

))1(8)1(2()1812(

y8y2

dy)y162(

dy)y020()y222(

dyyx2x

dxdy)yx61(f(x,y)dA

1y1 2x0 R: yx61f(x,y)

22

1y

1y2

1

1

1

1

2x

0x33

1

1

2x

0x3

1

1

2

0

2

R

2

4

)02()22(

x2

dx2

dx)x31()x31(

dxyx3y

dydx)yx61(f(x,y)dA

1y1 2x0 R: yx61f(x,y)

2x0x

2

0

2

0

22

2

0

1y

1y22

2

0

1

1

2

R

2

b

a

d

c

d

c

b

aR


Dobbelt-integralGenerelt områdeDobbelt-integralGenerelt område

m

i

n

jijijij

PR

AyxfdAyxf1 1

**

0),(lim),(

a

b g1(x)g2(x)

b

a

)x(g

)x(gR

2

1

dydx)y,x(ff(x,y)dA d

c

)y(h

)y(hR

2

1

dxdy)y,x(ff(x,y)dA

h1(y)

h2(y)

c d

)x(gy)x(g

bxa :R

21

)y(hx)y(h

dyc :R

21

Dobbelt-integralGenerelt områdeEks 1 - Volum - dydx

Dobbelt-integralGenerelt områdeEks 1 - Volum - dydx

1

02

10

2

31

2

11

2

3

x2

1x

2

3

dxx2

3x3

dx02

10x03x

2

1xxx3

dxy2

1xyy3

dydx)yx3(zdAV

3232

1x

0x

32

1

0

2

1

0

22

1

0

xy

0y

2

1

0

x

0R

1

2

3

(1,1,1)

z = f(x,y) = 3-x-y

d

c

)x(h

)x(h

b

a

)x(g

)x(gR

2

1

2

1

dxdy)y,x(fdydx)y,x(ff(x,y)dA

1

2

3

(1,1,1)

z = f(x,y) = 3-x-y

y=x

Dobbelt-integralGenerelt områdeEks 1 - Volum - dxdy

Dobbelt-integralGenerelt områdeEks 1 - Volum - dxdy

1

02

5020

2

11

2

5121

2

1

y2

5y2y

2

1

dy2

5y4y

2

3

dyyyy2

1y31y1

2

113

dyyxx2

1x3

dxdy)yx3(zdAV

2323

1y

0y

23

1

0

2

1

0

222

1

0

1x

yx

2

1

0

1

yR

1

2

3

(1,1,1)

z = f(x,y) = 3-x-y

d

c

)x(h

)x(h

b

a

)x(g

)x(gR

2

1

2

1

dxdy)y,x(fdydx)y,x(ff(x,y)dA

1

2

3

(1,1,1)

z = f(x,y) = 3-x-y

y=x

Dobbelt-integralIntegrasjonsgrenser [1/3]

R

x2 + y2 = 1

y = 1 - x

y = 1 – x2

y = 1 - x

x = 1 - y

1

1

R

dAyxf ),(

x = 1 – y2

x

y

1

0

1

1

2

),( x

x

xy

xy

dydxyxf

1

0

1

1

2

),( y

y

yx

yx

dxdyyxf


R

dAyxf ),(

2

0

2

2

),( x

x

xy

xy

dydxyxf

4

02

),( y

y

yx

yx

dxdyyxf

R

4

2

y = 2x

y = x2

y = x2

y = 2xx = y/2

x = y


R

dAyxf ),(

2x

1x

2xy

xy 2

dydx)y,x(f

4y

1y

yx

2yx

1y

0y

yx

yx

dxdy)y,x(f dxdy)y,x(f

y = x2

y = x + 2 R

y = x2

y = x + 2

y = x2

y = x + 2 R

Dobbelt-integralEgenskaperDobbelt-integralEgenskaper

ØRR RRR hvis dA)y,x(fdA)y,x(f dA)y,x(f

R på g(x,y)f(x,y) hvis dA)y,x(g dA)y,x(f

R på 0f(x,y) hvis 0 dA)y,x(f

dA)y,x(gdA)y,x(f dA)y,x(g)y,x(f

dA)y,x(fc dA)y,x(cf

21

R

21

RR

RR

R

RRR

RR

21

Dobbelt-integralAreal - Eks 1

6

10

3

10

2

11

3

11

2

1x

3

1x

2

1

dxxx

dxy

dydx

dAA

3232

1x

0x

32

1x

0x

2

1x

0x

xy

xy

1x

0x

xy

xy

R

2

2

y = x2

y = x

(1,1)

x

y

R

dAA

R

Dobbelt-integralAreal - Eks 2

2

9x

3

1x2x

2

1

dxx2x

dxy

dydx

dAA

2x

1x

32

2x

1x

2

2x

1x

2xy

xy

2x

1x

2xy

xy

R

2

2

R

dAA

y = x2

y = x + 2

Dobbelt-integralGjennomsnitt - Innledning

n

ii

i

an

i

1

100

0

1

50101

1

505050101

1)100...210(

101

1

55511

1)10...210(

11

1

5153

1)942(

3

1

2 4 9

0 1 2 10

0 100

n

iian 1

1

Dobbelt-integralGjennomsnitt - Enkeltintegral

0 10

L

n

ii dxxf

La

n)(

1

1

1

2

12

2

1

2

1x2sin

4

1x

2

1

2

1dx

2

x2cos1

2

1xdxcos

2

1

21)1(

10coscos

1xcos

1xdxsin

1

5102

1

10

1x

2

1

10

1xdx

L

1

2

0

2

0

2

0

2

00

2

10

0

2L

0

Dobbelt-integralGjennomsnitt - Dobbeltintegral - Def

R

R

R dA

fdA

fdARfavgR avArealet

1),(

RL

n

1ii dA)y,x(f

R

1 dx)x(f

L

1 a

n

1

R

z = f(x,y)

Dobbelt-integralGjennomsnitt - Dobbeltintegral - Eks

2))1()1((

1xcos

1

dxinxs 1

dxsin(xy) 1

dxdy)xycos(x 1

1

fdAR avArealet

1)R,f(avg

x

0x

x

0x

x

0x

1y

0y

x

0x

1y

0y

R

R

dAyxfR

),(1

f(x,y) = xcos(xy)

Dobbelt-integralMasse - Massesenter - Def

R

xx

cm

R

yy

cm

R

R

RR

cm

RR

dAyxyMM

My

dAyxxMM

Mx

dAyx

dAyxr

dAyxrM

dmrM

r

dAyxdmM

),(

),(

),(

),(

),(11

),(

dm

M

dm

r

rcm

xcm

ycm

Dobbelt-integralMasse - Massesenter - Eks

14

11

7

5

14

10

10...)666(),(

1147)1228(323

)666(),(

1468)1224(636

)666(),(

1

0

2

0

2

1

0

341

0

231

0

2

0

232

1

0

2

0

2

1

0

231

0

21

0

2

0

2

1

0

2

0

M

My

M

Mx

dxdyxxyxdAyxxxdmM

xxdxxxdxyyxy

dxdyyyxydAyxyydmM

xxdxxxdxyyxy

dxdyyxdAyxdmM

xcm

ycm

x

x

xy

yRR

y

x

x

x

x

x

x

xy

y

x

x

xy

yRR

x

x

x

x

x

x

x

xy

y

x

x

xy

yRR

(1,2)

x = 1y =2x

666),( yxyx

(xcm,ycm)

Dobbelt-integralTreghetsmoment - Def

yx

RR

RR

L

RR

y

RR

x

IIdAyxyxdmyxI

dAyxrdmrI

dAyxxdmxI

dAyxydmyI

),()()(

),(

),(

),(

22220

22

22

22

dm

r

x

y

dmrI 2

L

M

IR MRI

M

IR MRI

M

IR MRI

00

200

yy

2yy

xx

2xx

Treghetsmoment

Gyrasjons-radius

Dobbelt-integralTreghetsmoment - Eks

5

99

5

3912

5

39...)666(),(

1248)1640(22

32

)666(),(

0

1

0

2

0

22322

1

0

451

0

341

0

2

0

343

1

0

2

0

23222

yx

x

x

xy

yRR

y

x

x

x

x

x

x

xy

y

x

x

xy

yRR

x

III

dxdyxyxxdAyxxdmxI

xxdxxxdxyyxy

dxdyyyxydAyxydmyI

(1,2)

x = 1y =2x

666),( yxyx

Dobbelt-integralPolar form - Rektangulært område

br

arR

jii

iij

ii

iij

jijij

m

i

n

jijijij

PR

rdrdrrfdAyxf

rr

rr

rr

rr

rrA

AyxfdAyxf

)sin,cos( ),(

222

2

1

)2

()2

(2

1

)(2

1

),(lim),(

*

*

2*2*

22

1 1

**

0

y

x

=

=

a b

a b

r

R

G

GR

rdrdrrfdAyxf )sin,cos(),(

Dobbelt-integralPolar form - Generelt område

y

x

= g2(r)

=

a b

y

x

= g1(r)

r = g1()

r = g2()

=

r = a

r = b

)(

)(

21

2

1

)sin,cos( ),(

)()( :

gr

grR

rdrdrrfdAyxf

grgR

br

ar

)r(g

)r(gR

21

2

1

drrd)sinr,cosr(f dA)y,x(f

)r(g)r(g bra:R

GR


R

R

Dobbelt-integralPolar form - Grenser

2

4

2

sin

2

)sin,cos( )sin,cos(

r

rR

rdrdrrfrdrdrrf

y

x

x2 + y2 = 4

r = 2

(2,2)

r = 2 / sin

GR


R

Dobbelt-integralPolar form - Areal - Eks1

20 r

3

2

0

3

2

0

2

2

0 0

2

2

0 0

3

4

6

1

2

1

2

1

d

dr

drdrrdrddAA

r

r

r

rGR

R

2

a

r

2

r =

GR

GR

rdrddAA

rdrdrrfdAyxf

)sin,cos(),(

G

y

x

Dobbelt-integralPolar form - Areal - Eks2

4

)2sin(4

)cos(22 4

2

1 4

4

40

4

0

4

0

)2cos(4

0

2

4

0

)2cos(4

0

d

dr

drdrrdrddAA

r

r

r

rGR

r

GR

rdrddAA

y

x

/4

G

R

20 2cos4r2

Dobbelt-integralPolar form - Volum - Eks1

321616

4

14

2

116

)416(

)416(

))(416()4416(

)3()316()(

2

0

2

0

2

0

2

0

42

2

0

2

0

2

2

2222

222221

d

drr

drdrr

rdrdr

dAyxdAyx

dAyxyxdAzzV

r

r

r

r

G

RR

RR

GR

rdrddAA

z

y

x

z = 16 – x2 – 3y2

z = 3x2 + y2

Trippel-integralDefTrippel-integralDef

z

y

x

T

Rijk

ijk*

ijk*

ijk*

ijkTR

0PT

V)z,y,x(flimdV)z,y,x(fijk

Trippel-integralMasse - Volum - Gjennomsnitt

T

T

TT

dVzyxfV

Tfavgw

dVV

dVzyxdmM

),,(1

),(

),,(Masse

Volum

Gjennomsnitt

T

dV)z,y,x(f

Trippel-integralRektangulært områdeTrippel-integralRektangulært område

z

y

x

zyx

vudcbaT ,,,

(a,c,u)

(b,d,v)

v

u

d

c

b

a

v

u

b

a

d

c

d

c

v

u

b

a

d

c

b

a

v

u

b

a

v

u

d

c

b

a

d

c

v

uT

dxdydzzyxf

dydxdzzyxf

dxdzdyzyxf

dzdxdyzyxf

dydzdxzyxf

dzdydxzyxfdVzyxf

),,(

),,(

),,(

),,(

),,(

),,(),,(

dVT

Trippel-integralGenerelt områdeTrippel-integralGenerelt område

z

y

x

a

z = f2(x,y)

bx

ax

xgy

xgy

yxfz

yxfzT

dzdydxzyxfdVzyxf)(

)(

),(

),(

1

1

2

1

),,( ),,(

z = f1(x,y)

y = g2(x)

y = g1(x)

b

T

Trippel-integralIntegrasjons-grenser - Eks1Trippel-integralIntegrasjons-grenser - Eks1

z

y

x

1

y + z = 1

1

0

1

0

2

0

z

dxdydz

1

2

z

y

x

1

y + z = 11

2

z

y

x

1

y + z = 11

2

y

x

1

y + z = 11

2

y

x

1

y + z = 11

2

y

x

1

y + z = 11

2

1

0

1

0

2

0

y

dxdzdy

2

0

1

0

1

0

z

dydzdx 1

0

2

0

1

0

y

dzdxdy

1

0

2

0

1

0

z

dydxdz

2

0

1

0

1

0

y

dzdydx

dxdydz

Trippel-integralIntegrasjons-grenser - Eks2Trippel-integralIntegrasjons-grenser - Eks2

z

y

x

dxdydz

(1,1,0)

(0,1,1)

1

0

1

0x

xy

dzdydxz

y

x (1,1,0)

(0,1,1) z

y

x (1,1,0)

(0,1,1)

z

y

x (1,1,0)

(0,1,1) z

y

x (1,1,0)

(0,1,1) z

y

x (1,1,0)

(0,1,1)

x + z = 1

x –y + z = 0

z = y

1

0 0

y

x

xy

dzdxdy

1

0

1

0

1x

zx

dydzdx

1

0

1

0z

zy

dxdydz

1

0

1

0

1z

zx

dydxdz 1

0 0 0

y zy

dxdzdy

Trippel-integralIntegrasjons-grenser - Eks2 - VolumberegningTrippel-integralIntegrasjons-grenser - Eks2 - Volumberegning

z

y

x

dxdydz

(1,1,0)

(0,1,1)

6

1

6

1

2

1

2

1

x6

1x

2

1x

2

1 dxx

2

1x

2

1

dxxx2

1x

2

1 dxxyy

2

1

dxdy)xy( dxdyz

dzdydxV

1x

0x

321

0

2

1

0

221

0

1y

xy

2

1

0

1

x

1x

0x

1y

xy

xyz

0z

1x

0x

1y

xy

xyz

0z

x + z = 1

x –y + z = 0

z = y

Trippel-integralIntegrasjons-grenser - Eks3 – Volumberegning [1/2]Trippel-integralIntegrasjons-grenser - Eks3 – Volumberegning [1/2]

T

dVV

28dxx42

24dx

2

x4

3

8

2

x48

dx2

x4

3

8

2

x4x282dxy

3

4yx2y8

dxdy)y4x28(dxdyz

dxdydzV

2x

2x

2

32

2x

2x

2

322

32

2x

2x

2

322

22x

2x

2

x4y

2

x4y

32

2x

2x

2

x4y

2

x4y

222x

2x

2

x4y

2

x4y

yx8z

y3xz

2x

2x

2

x4y

2

x4y

yx8z

y3xz

2

2

2

2

2

2

22

22

2

2

22

22

z

y

x

z = 8 – x2 – y2

z = x2 + 3y2

y = (4-x2)/2

y = -(4-x2)/2

(2,0,0)

Trippel-integralIntegrasjons-grenser - Eks3 – Volumberegning [2/2]Trippel-integralIntegrasjons-grenser - Eks3 – Volumberegning [2/2]

2

2

2

32 dxx4

64

3242sin

8

1sin

4

32sin

8

1sin

4

34

24sin

8

1

22sin

22

3

24sin

8

1

22sin

22

34

u4sin8

1u2sinu

2

34duu4cos

2

1u2cos2

2

34

du2

u4cos1u2cos214duu2cosu2cos214du

2

u2cos116

2

u2cos1ucos uducos16 uducosucos42 uducos2usin44

usin2x dxx4

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

22

2

42

2

2

322

32

2

2

32

2

2

2

32

Trippel-integralGjennomsnitt - Eks1Trippel-integralGjennomsnitt - Eks1

D

D

D dV

FdV

FdVD av Volum

1)D,F(avg

188

1z2

8

1 zdz4

8

1

dzzy8

1 dzyzdy2

8

1

dzdyyzx2

1

8

1 dzdyxyzdx

222

1

FdVD av Volum

1

D)avg(F,

2z

0z

22z

0z

2z

0z

2y

0y

2y

0y

22z

0z

2y

0y

2z

0z

2y

0y

2x

0x

22z

0z

2y

0y

2x

0x

D

z

y

x

2

2

2Bestem gjennomsnittet av funksjonen F(x,y,z) = xyzover terningen avgrenset av koordinatplaneneog planene x = 2, y = 2, z = 2 i første oktant.

z

y

x

0 0

00

8

0

1

0

2

F =

0

Trippel-integralEgenskaperTrippel-integralEgenskaper

ØDD DDD FdVFdV FdV

D påG F hvis GdV FdV

D på 0 F hvis 0 FdV

GdVFdV dV)GF(

FdVk kFdV

2121

DDD

DD

D

DDD

DD

21

Trippel-integralMasse - Massesenter - TreghetsmomentTrippel-integralMasse - Massesenter - Treghetsmoment

M

IR

dVrI

dV)yx(I

dV)zx(I

dV)zy(I

M

Mz

M

My

M

Mx

dVzzdmM dVyydmM dVxxdmM

dVdmM

LL

D

2L

D

22z

D

22y

D

22x

xyxzyz

DD

xy

DD

xz

DD

yz

DD

Masse

Første momentom koordinatplan

Massesenter

Treghetsmoment

Gyrasjonsradius

Trippel-integralTreghetsmoment - EksTrippel-integralTreghetsmoment - Eks

)ba(M12

1I )ca(M

12

1I

)cb(M12

1)cb(

12

abc bc

48

1cb

48

1a4

bz6

1zb

24

1a4 dzbz

2

1b

24

1a4

dzyzy3

1a4 dzdy)zy(a4

dzdyx)zy(8dzdydx)zy(8

dzdydx)zy(I

22z

22y

222233

2

cz

0z

332

cz

0z

23

2

cz

0z

2

by

0y

232

cz

0z

2

by

0y

22

2

cz

0z

2

by

0y

2

ax

0x

222

cz

0z

2

by

0y

2

ax

0x

22

2

cz

2

cz

2

by

2

by

2

ax

2

ax

22x

z

y

xa

b

c

D

2L dVrI

Trippel-integralSylinder-koordinater - DefTrippel-integralSylinder-koordinater - Def

dzrdrddV z

y

x

x

y

z

r

zz

ry

rx

sin

cos

dV

dr

dr

rddz

zdrdrd)z,sinr,cosr(fdV)z,y,x(fGD

)w,v,u(zz

)w,v,u(yy

)w,v,u(xx

zz

ry

rx

sin

cos

dzrdrddV

Trippel-integralSylinder-koordinater - MassesenterEks 1


3

4

83

32

M

Mz

3

32d

2

16d)r4(

6

1

2

drdr)r4(2

dydx)yx4(2

dydxz2

1dydxzdzdxdydzzM

8rdrd)r4(dydx)yx4(dydxzdydxdzdxdydz M

(symmetri) 0y 0x

xy

2

0

2

0

2r

0r

32

2

0

2r

0r

22

R

222

R

yx4z

0z

2

R

yx4z

0zD

xy

R

2

R

22

R

yx4z

0zR

yx4z

0zD

2222

22

22

Bestem massesenteret til legemetmed konstant massetetthetbegrenset av paraboloiden z = 4 – x2 – y2

og disken R: x2 + y2 4 i planet z = 0.

x

yr

z

r r 222

x

y

4

zz

ry

rx

sin

cos

dzrdrddV



3

4

83

32

3

32

3

16

12

1

2

1

2

1

844

1

(symmetri) 0 0

2

0

2

0

2

0

62

0

2

0

52

0

2

0 0

22

0

2

0 0

2

0

2

0

2

0

42

0

2

0

32

0

2

00

2

0

2

0 0

22

22

M

Mz

ddrddrrdrdrzdrdrzdzdVzM

ddrddrrdrdrzdrdrdzdVM

yx

xy

rr

D

xy

rr

D

Bestem massesenteret til legemetmed konstant massetetthetbegrenset av sylinderen x2 + y2 = 4,paraboloiden z = x2 + y2

og disken R: x2 + y2 4 i planet z = 0.

x2 + y2 = 4 r = 2

z = x2 + y2

r

r2

z

x

y2

2

r 2

x

y

zz

ry

rx

sin

cos

dzrdrddV

Trippel-integralKule-koordinater - DefTrippel-integralKule-koordinater - Def

dddsindV 2

z

x

y

z

cos

sinsin

cossin

z

y

x

G

2

D

dddsinffdV

d

drd

sind

d

x

y

)w,v,u(zz

)w,v,u(yy

)w,v,u(xx

cosz

sinsiny

cossinx

dddsindV 2

d

dsin

Trippel-integralKule-koordinater - EksTrippel-integralKule-koordinater - Eks

32

6

1d

6

1d

2

1

3

1

dcos3

1ddsin

3

1

dd3

1dddsin

dddsindV V

2

0

2

0

2

0

30

2

0

3

0

2

0

3

0

1

0

32

0

3

0

1

0

2

G

2

D

Bestem volumet av ’iskrem-kjeglen’.

xy

zKule = 1

= /3

cosz

sinsiny

cossinx

dddsindV 2

Trippel-integralKoordinat-formlerTrippel-integralKoordinat-formler

zz

ry

rx

sin

cosSylindrisk Rektangulær

Sfærisk Rektangulær

Sfærisk Sylindrisk

cos

sinsin

cossin

z

y

x

ddddV

dzrdrddV

dxdydzdV

sin2

cos

sin

z

r

Rektangulær

Sylindrisk

Sfærisk

x

y

z

r

)w,v,u(zz

)w,v,u(yy

)w,v,u(xx

Substitusjon i multiple integralerEnkelt-integraler - Multiple integralerSubstitusjon i multiple integralerEnkelt-integraler - Multiple integraler

x

y

u

v

)v,u(rr

(u,v)

GS

dudvdwwvuJdxdydz

dudvvuJdxdy

duugdx

r

r

),,(

),(

)('

v)h(u,y

v)g(u,x

xuuG

g(u)x

)v,u(rr

(x,y)

x[ ] [ ]

S

Enkelt-integral

Dobbelt-integral

G

r

S

dudvv)(u,Jv))h(u,v),f(g(u,y)dSf(x,

GS

(u)duf(g(u))g'f(x)dx

(u)duf(g(u))g'f(x)dxd

c

b

a

p(x)u (u)g'

1(x)p'

y)q(x,v

y)p(x,u

1y)(x,Jv)(u,J 1rr

Substitusjon i multiple integralerDobbelt-integral - Jacobi-determinantSubstitusjon i multiple integralerDobbelt-integral - Jacobi-determinant

G

r

S

dudv)v,u(J))v,u(r(fdxdy)y,x(f

yx

yx

rrr

r

vv

uuy)(x,J 1y)(x,Jv)(u,J

Gv)(u,0v)(u,J med

avbildning deriverbar igkontinuerl bijektiv v)(u,ryx,

11

x

y

u

v)v,u(rr

(a,b)

u

v

G

G v)(u,J

vu

S

vu

u

v

dudvb)(a,rb)(a,rv))(u,rf(y)dSf(x,

ΔvΔub)(a,rb)(a,rΔS

Δub)(a,rb)(a,rb)Δu,(ar

Δvb)(a,rb)(a,rΔv)b(a,r

r

�

S

S

uvvuvu

vur yxyx

yy

xx

v

y

u

yv

x

u

x

)v,u(

)y,x()v,u(J

dudv)v,u(JdxdydA r

dudv)v,u(Jdxdy r

v)h(u,y

v)g(u,x

y)q(x, vv)h(u,y

y)p(x,u v)g(u,x

r(a,b)

Substitusjon i multiple integralerTrippel-integral - Jacobi-determinantSubstitusjon i multiple integralerTrippel-integral - Jacobi-determinant

)w,v,u(

)z,y,x(

zzz

yyy

xxx

w

z

v

z

u

zw

y

v

y

u

yw

x

v

x

u

x

)w,v,u(J

dudvdw)w,v,u(J)w,v,u(r(fdxdydz)z,y,x(f

wvu

wvu

wvu

r

G

r

D

v

w G

u

y

z D

x

)w,v,u(kz

)w,v,u(hy

)w,v,u(gx

zyx

zyx

zyx

rrr

r

www

vvv

uuu

z)y,(x,J 1z)y,(x,Jw)v,(u,J

Gw)v,(u, 0w)v,(u,J med

avbildning deriverbar igkontinuerl bijektiv w)v,(u,rzy,x,

11

)w,v,u(rr

dudvdw)w,v,u(JdxdydzdV r

dudvdw)w,v,u(Jdxdydz r

Substitusjon i multiple integralerJacobi-determinant - Enkelt-integralSubstitusjon i multiple integralerJacobi-determinant - Enkelt-integral

dx)x(f

xr

x

x

g)x(J

dug

1dx

dxgdu

dxdx

dgdu

dx

dg

dx

du

)x(gu

1

ur

u

h)u(J

duhdx

dudu

dhdx

du

dh

du

dx

)u(hx

(u)duf(u)Jduf(u)hdug

1f(u)f(x)dx ru

x

(u)duJdx r

Substitusjon i multiple integralerJacobi-determinant - Polar-koordinaterSubstitusjon i multiple integralerJacobi-determinant - Polar-koordinater

r)sin(cosrcosrsin

sinrcos

yy

xx),r(J

sinry

cosrx

22

r

rr

P

r

y

x

dudv)v,u(Jdxdy r

rdrddrdθw)v,(u,JdxdydV r

Substitusjon i multiple integralerJacobi-determinant - Sfæriske koordinaterSubstitusjon i multiple integralerJacobi-determinant - Sfæriske koordinater

sin

cossinsin

sincossin

sinsincoscossincossincossin

sincossinsinsinsincoscossincoscoscossincossin

0sincos

cossincoscossinsin

sinsincoscoscossin

),,(

cos

sinsin

cossin

2

222

232

23222232

22222

zzz

yyy

xxx

J

z

y

x

r

x

y

z

dudvdw)w,v,u(Jdxdydz r

dθddsinρdθddθ),,(JdxdydzdV 2r

Substitusjon i multiple integralerTransformasjon - Eks 1 [1/4]Substitusjon i multiple integralerTransformasjon - Eks 1 [1/4]

1b

y

a

x2

2

2

2

Bestem arealet avden elliptiske disken Egitt ved: x

y

b

a

dudv)v,u(Jdxdy

dudv)v,u(JdxdyA

r

D

r

E

E


bvy

aux

1b

y

a

x2

2

2

2

1 vu

1b

)bv(

a

)au(

1b

y

a

x

22

2

2

2

2

2

2

2

2

x

y

b

au

v

1

1

Den elliptiske disken E transformeres over til en sirkelskive D

E D

dudv)v,u(Jdxdy

dudv)v,u(JdxdyA

r

D

r

E


bvy

aux

x

y

b

au

v

1

1


abb0

0a

yy

xx)v,u(J

vu

vur

Jacobi-determinant

ab

1

b

10

0a

1

vv

uu)y,x(J

yx

yx

r 1

Invers Jacobi-determinant

E D

dudv)v,u(Jdxdy

dudv)v,u(JdxdyA

r

D

r

E


bvy

aux

x

y

b

au

v

1

1


ab1abdudvababdudvdudvabdxdyA 2

1 radius med Sirkel

DDDE

E D

dudv)v,u(Jdxdy

dudv)v,u(JdxdyA

r

D

r

E


0 12

2

2

2

2

2

zc

z

b

y

a

xBestem masse-senterettil den halve ellipsoiden Tgitt ved:

Massetettheten er konstant.x

y

z

a b

c

dudvdw)w,v,u(Jdxdydz

dudvdw)w,v,u(Jffdxdydz

r

K

r

T

T


cwz

bvy

aux

xy

z

a b

c

1

1

1

u v

w

0 12

2

2

2

2

2

zc

z

b

y

a

x

0 1

0 1)()()(

0 1

222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

wwvu

wc

cw

b

bv

a

au

zc

z

b

y

a

x

Halv-ellipsoiden T transformeres over til en halv-kule K



r

K

r

T

T K


abc

c

b

a

zzz

yyy

xxx

wvuJ

wvu

wvu

wvu

r 00

00

00

),,(

Jacobi-determinant

abc

c

b

a

www

vvv

uuu

zyxJ

zyx

zyx

zyx

r

1

100

01

0

001

),,(1


cwz

bvy

aux

xy

z

a b

c

1

1

1

u v

w




r

K

r

T

T K


abc3

21

3

4

2

1abcdVabcdudvdwabcdudvdwabcdxdydzM 3

KKKT

)symmetri( 0yx c8

3d

8

1

2

c3drdr

2

r1

2

c3

ddrwrdw2

c3wdV

2

c3dudvdwabccw

abc3

21

dxdydzzM

1z

2

0

2

0

1

0

2

2

0

1

0

r1

0KKT

2

cwz

bvy

aux

xy

z

a b

c

1

1

1

u v

w




r

K

r

T

T K


3

2

2

2

32

23

0

4

0

12

2

zw

yv

yxu

dzdydxzyx

F

y

y

Beregn

ved å benytte transformasjonen x

y

z3

41

y = 2x (plan bak)

y = 2x-2 (plan foran)



r

G

r

T

T


3

0

4

0

12

2

z

z

y

y

yx

yx

Grenser xyz Tilhørende uvw Grenser uvw

u

v

w

1

2

1x

y

z3

21

y = 2x (plan bak)

y = 2x-2 (plan foran) wz

vy

vux

3

2

33

03

42

02

112

22

2

w

w

v

v

vv

vu

vv

vu

1

0

2

0

1

0

w

w

v

v

u

u

3

2

2

2

zw

yv

yxu



r

G

r

T

T G


6

300

020

011

),,(

wvu

wvu

wvu

r

zzz

yyy

xxx

wvuJ

Jacobi-determinant

u

v

w

1

2

1x

y

z3

21

y = 2x (plan bak)


vy

vux

3

2

3

2

2

2

zw

yv

yxu

6

1

3

100

02

10

02

11

),,(1

zyx

zyx

zyx

r

www

vvv

uuu

zyxJ




r

G

r

T

T G


u

v

w

1

2

1x

y

z3

21

y = 2x (plan bak)


vy

vux

3

2

3

2

2

2

zw

yv

yxu

12266

)21(62

16

2

16

2

16

)(6),,()(32

2

1

0

2

1

0

1

0

2

0

1

0

2

0

1

0

2

0

1

0

2

1

0

2

0

1

0

1

0

2

0

1

0

3

0

4

0

12

2

ww

dwwdwvwvdwdvwdwdvuwu

dwdvduwudwdvduwvuJwudzdydxzyx

F r

y

y



r

G

r

T

T G


Beregn massen av området D.Massetettheten er gitt ved:(x,y) = x2 + y2

dudvvuJdxdy

dudvvuJdxdyM

r

D

r

E

),(

),(

xy = 1

xy = 4

y2 – x2 = 5

y2 – x2 = 2

D


5

2

4

1

22

22

xy

xy

xy

xy

Grenser xy Grenser uv

u

v

5

2

22 xyv

xyu

5

2

4

1

v

v

u

u

E

41

xy = 1 xy = 4

y2 – x2 = 5

y2 – x2 = 2xy = 1

xy = 4

y2 – x2 = 5

y2 – x2 = 2

D

dudvvuJdxdy

dudvvuJdxdyM

r

D

r

E

),(

),(


Jacobi-determinant22

2222

22

1

),(

1),( 1),(),(

222222

),(

1

1

1

yxyxJvuJyxJvuJ

yxxyyx

xy

vv

uuyxJ

r

rrr

yx

yx

r


dudvvuJdxdy

dudvvuJdxdyM

r

D

r

E

),(

),(

22 xyv

xyu

xy = 1

xy = 4

y2 – x2 = 5

y2 – x2 = 2

D

u

v

5

2

E

41

xy = 1 xy = 4

y2 – x2 = 5

y2 – x2 = 2


dudvvuJdxdy

dudvvuJdxdyM

r

D

r

E

),(

),(

2

933

2

1)E avArealet (

2

1

2

1

1)(

2

1

22

1)(),(

2222

2222

E

EEE

r

DDD

dudv

dudvyx

yxdudvyx

yxdudvvuJ

dxdydAdmM

22 xyv

xyu

xy = 1

xy = 4

y2 – x2 = 5

y2 – x2 = 2

D

u

v

5

2

E

41

xy = 1 xy = 4

y2 – x2 = 5

y2 – x2 = 2

ENDENDENDEND

Documents

Multiple integraler