Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
TUGAS AKHIR โ SM141501
TEOREMA TITIK TETAP PEMETAAN KONTRAKTIF LEMAH DAN PEMETAAN KANNAN LEMAH PADA RUANG METRIK PARSIAL
N JUDUL
ANNISA RAHMITA SOEMARSONO NRP. 1212 100 029 Dosen Pembimbing : 1. Sunarsini, S.Si, M.Si 2. Drs. Sadjidon, M.Si
JURUSAN MATEMATIKA Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2016
FINAL PROJECTโ SM141501
FIXED POINT THEOREM OF WEAKLY CONTRACTIVE
MAPPING AND WEAKLY KANNAN MAPPING IN PARTIAL
METRIC SPACE
ANNISA RAHMITA SOEMARSONO NRP. 1212 100 029 Supervisors : 1. Sunarsini, S.Si, M.Si 2. Drs. Sadjidon, M.Si
Department of Mathematic Faculty of Mathematics and Sciences Sepuluh Nopember Institute of Technology Surabaya 2016
xi
KATA PENGANTAR
Syukur alhamdulillah atas kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan segala nikmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir yang berjudul
โTEOREMA TITIK TETAP PEMETAAN KONTRAKTIF LEMAH DAN PEMETAAN KANNAN
LEMAH PADA RUANG METRIK PARSIALโ.
Tugas akhir ini diajukan untuk memenuhi salah satu syarat dalam memperoleh gelar Sarjana Sains pada bidang studi Analisis dan Aljabar Program Strata-1 di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember.
Penyusunan dan penulisan tugas akhir ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis sangat berterimakasih kepada pihak-pihak tersebut, antara lain:
1. Dr. Imam Mukhlash, S.Si, MT selaku Ketua Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember.
2. Ibu Sunarsini, S.Si, M.Si dan Bapak Drs. Sadjidon, M.Si selaku dosen pembimbing tugas akhir ini yang senantiasa memberi bimbingan, saran dan motivasi dalam penyelesaian tugas akhir ini.
3. Bapak Dr. Chairul Imron, MI.Komp selaku Kepala Program Studi S-1 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember serta Mas Ali yang selalu memberi informasi mengenai tugas akhir di jurusan Matematika FMIPA ITS.
4. Ibu Dra. Wahyu Fistia Doctorina, M.Si selaku dosen wali penulis selama berkuliah di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember.
5. Ibu Prof. Dr. Erna Apriliani, M.Si, Ibu Dian Winda Setyawati, S.Si, M.Si dan Bapak Dr. Dieky Adzkiya, S.Si, M.Si selaku dosen penguji tugas akhir ini yang telah memberi kritik dan saran bersifat membangun dalam penyelesaian tugas akhir ini.
6. Seluruh dosen dan civitas akademika Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember yang telah membantu penulis dalam penyelesaian tugas akhir ini.
7. Semua pihak yang telah memberikan dukungan dan ilmu kepada penulis dalam penyelesaian tugas akhir ini.
Terdapat banyak kekurangan pada tugas akhir ini, sehingga kritik dan saran yang bersifat membangun diperlukan demi kesempurnaan tugas akhir ini. Semoga tugas akhir ini dapat memberi manfaat bagi penulis dan para pembaca dalam melakukan penelitian-penelitian selanjutnya.
Surabaya, 26 Januari 2016
Penulis
xiii
Special Thankโs To
Pada penyusunan tugas akhir ini, dukungan dan doa yang luar biasa diberikan oleh orang-orang terdekat penulis. Oleh karena itu, penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada:
1. Enny Sukesi dan A. Soemarsono (alm) selaku kedua orang tua penulis yang senantiasa mendoakan dan memberi dukungan moril yang begitu luar biasa kepada penulis untuk menyelesaikan tugas akhir ini dengan sebaik-baiknya.
2. Kedua adik penulis, Fairuz Fadilah Soemarsono dan Dervish Hizzur Rahman, yang menjadi motivasi bagi penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini.
3. Teman-teman seperjuangan penulis, Auda Nuril Zazilah dan Aditya Putra Pratama yang selalu berbagi ilmu dan saling memberi dukungan.
4. Mia, Izza, Indah, Firoh, Yuni, Ninid, Adhel, Cendy, Jupe dan Neny yang merupakan teman-teman dekat penulis di bangku kuliah yang selalu memberi semangat tak henti-hentinya kepada penulis untuk segera menyelesaikan tugas akhir ini.
5. Sahabat-sahabat penulis, Rinca, Debby dan Sela yang selalu memberikan doa dan dukungannya kepada penulis untuk menyelesaikan tugas akhir ini.
6. Teman-teman seperjuangan wisuda 113 yang saling mendukung, mendoakan, dan memberikan motivasi kepada penulis.
7. Teman-teman MAT12IKS, PELITA SAINSTEK dan seluruh mahasiswa matematika 2012 yang selalu mendoakan penulis untuk wisuda 113.
xv
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL i LEMBAR PENGESAHAN v ABSTRAK vii ABSTRACT ix KATA PENGANTAR xi DAFTAR ISI xv DAFTAR SIMBOL xvii BAB I PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang .............................................................. 1 1.2 Rumusan Masalah ......................................................... 3 1.3 Batasan Masalah ........................................................... 3 1.4 Tujuan ........................................................................... 3 1.5 Manfaat ........................................................................ 3 1.6 Sistematika Penulisan .................................................. 4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 7 2.1 Penelitian Terdahulu .................................................... 7 2.2 Ruang Metrik ............................................................... 9 2.3 Ruang Metrik Parsial ..................................................12 2.4 Teorema Titik Tetap .................................................. 15
BAB III METODE PENELITIAN 19 3.1 Studi Literatur .............................................................. 19 3.2 Konstruksi Analogi antara Ruang Metrik dan Ruang
Metrik Parsial ................................................................20
xvi
3.3 Penyelidikan Keberadaan dan Ketunggalan Titik Tetap Pemetaan Kontraktif Lemah dan Pemetaan Kannan lemah pada Ruang Metrik Parsial .................................21 3.4 Penarikan Kesimpulan dan Penyusunan Tugas Akhir . 22
BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN 23 4.1 Ruang Metrik Parsial ....................................................23 4.2 Pemetaan Kontraktif Lemah dan Pemetaan Kannan Lemah pada Ruang Metrik Parsial ............................... 34 4.3 Teorema Titik Tetap Pemetaan Kontraktif Lemah dan Kannan Lemah pada Ruang Metrik Parsial ................. 43
BAB V PENUTUP 63 5.1 Kesimpulan ................................................................. 63 5.2 Saran .......................................................................... 64
DAFTAR PUSTAKA 65 LAMPIRAN 67
Biodata Penulis ...................................................................69
xvii
DAFTAR SIMBOL ๐ Metrik ๐ Metrik parsial ๐๐ Metrik yang dibangun oleh metrik parsial ๐๐ Metrik parsial yang dibangun oleh metrik ๐, ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ Pemetaan atau fungsi ๐ Himpunan tak kosong ๐ Konstanta (merupakan elemen dari himpunan
bilangan real) โ Himpunan bilangan real โ+ Himpunan bilangan real tak negatif โ Himpunan bilangan asli โ Elemen โ Subset (himpunan bagian) {๐ฅ๐} Barisan pada himpunan bilangan real sup Supremum (batas atas terkecil) inf Infimum (batas bawah terbesar) max Maksimum lim
๐โโ Limit ๐ mendekati โ
lim๐,๐โโ
Limit ๐, ๐ mendekati โ
โ Sigma (jumlahan dari bilangan-bilangan)
1
BAB I PENDAHULUAN
Pada bab ini, dijelaskan mengenai hal-hal yang menjadi
latar belakang tugas akhir, serta diperoleh rumusan masalah dan batasan masalah berdasarkan latar belakang tersebut. Pada bab ini, ditunjukkan pula tujuan dan manfaat dari tugas akhir serta sistematika penulisan tugas akhir.
1.1 Latar Belakang Matematika merupakan salah satu bidang yang
berpengaruh dalam perkembangan ilmu pengetahuan di dunia. Banyak sekali ilmu matematika yang bermanfaat bagi kehidupan manusia. Salah satu ilmu matematika yang sering digunakan sebagai bahan penelitian adalah analisis fungsional. Analisis fungsional mengalami perluasan, seperti ruang vektor, ruang norm, dan ruang metrik. Perluasan analisis fungsional pada konsep ruang metrik telah banyak dikembangkan, seperti ruang quasi metrik, ruang pseudo metrik, ruang ultrametrik, ruang metrik terurut, dan ruang metrik parsial. Karena telah mengalami perluasan-perluasan tersebut, analisis fungsional menjadi salah satu ilmu matematika yang menarik untuk dikaji lebih dalam.
Ruang metrik parsial merupakan salah satu perluasan dari konsep ruang metrik. Salah satu ilmuwan komputer yang pertama kali mengenalkan konsep jarak suatu titik ke dirinya sendiri tidak selalu bernilai nol atau yang lebih dikenal dengan konsep ruang metrik parsial adalah Matthews. Pada tahun 1994, lewat tulisannya yang berjudul โPartial Metric Topologyโ [4], dia menjabarkan hasil penelitiannya mengenai topologi ruang metrik parsial. Tidak hanya itu, di dalam penelitiannya, dia juga
2
memperluas prinsip kontraksi Banach untuk menunjukkan keberadaan dan ketunggalan titik tetap pemetaan kontraktif pada ruang metrik parsial. Hasil penelitiannya tersebut dijadikan pedoman oleh peneliti-peneliti selanjutnya dalam mengembangkan konsep ruang metrik parsial. Beberapa peneliti yang melakukan penelitian dengan berpedoman pada hasil penelitian Matthews adalah Maryam A Alghamdi, Naseer Shahzad dan Oscar Valero [2]. Mereka menyelidiki bahwa pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik dapat dikonstruksi ke dalam ruang metrik parsial. Adapun beberapa tujuan yang menjadi latar belakang terbentuknya konsep dasar ruang metrik parsial antara lain, untuk memperoleh model matematika dalam teori komputasi dan memodifikasi prinsip kontraksi Banach serta sebagai bahan kajian dalam menerjemahkan notasi-notasi pada jaringan data flow (diagram) [1].
Salah satu objek yang dikaji pada ruang metrik parsial adalah teorema titik tetap. Perkembangan teorema titik tetap semakin meningkat dengan adanya penelitian-penelitian yang dilakukan oleh para ilmuwan. Teorema titik tetap tidak hanya berkembang secara analisa saja namun juga pada terapannya. Teorema titik tetap biasanya diterapkan dalam permasalahan persamaan diferensial, persamaan matriks, dan permasalahan nonlinier. Pada ruang metrik parsial, teorema titik tetap menjadi objek yang dikaji untuk menerjemahkan notasi-notasi pada jaringan data flow (diagram) dan menunjukkan bahwa prinsip kontraksi Banach dapat digeneralisasi pada ruang metrik parsial untuk aplikasi dalam verifikasi program [1].
Penelitian-penelitian di atas yang berkaitan dengan perkembangan teorema titik tetap melalui perluasan prinsip kontraksi Banach pada ruang metrik parsial, serta penerapan
3
teorema titik tetap dalam kasus ruang metrik parsial itulah yang menjadikan latar belakang dari penulisan tugas akhir ini.
1.2 Rumusan Masalah Masalah yang dibahas pada tugas akhir ini berdasarkan
latar belakang di atas adalah bagaimana keberadaan dan ketunggalan titik tetap pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial.
1.3 Batasan Masalah Batasan masalah pada tugas akhir ini, yaitu hanya
membahas tentang teorema titik tetap pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial [0,1] โ โ.
1.4 Tujuan Tujuan dari tugas akhir ini berdasarkan rumusan-rumusan
masalah di atas adalah menyelidiki keberadaan dan ketunggalan titik tetap pada ruang metrik parsial dengan menggunakan teorema titik tetap pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial.
1.5 Manfaat Adapun manfaat-manfaat yang dapat diambil dari tugas
akhir ini sebagai berikut : 1. Memperluas pengetahuan tentang konsep ruang metrik
parsial dan teorema-teorema titik tetap pada ruang metrik parsial.
2. Sebagai bahan acuan dalam melakukan penelitian selanjutnya yang berkaitan dengan perluasan konsep
4
ruang metrik parsial dan teorema titik tetap pada ruang metrik parsial.
3. Sebagai landasan dalam pembuatan aplikasi pada bidang matematika maupun di luar bidang matematika yang membutuhkan konsep ruang metrik parsial dan teorema titik tetap pada ruang metrik parsial.
1.6 Sistematika Penulisan Tugas akhir ini disusun atas lima bab yang meliputi,
pendahuluan, tinjauan pustaka, metode penelitian, analisis dan pembahasan serta penutup. Uraian dari masing-masing bab dijelaskan di bawah ini.
1. BAB I PENDAHUAN Pada bab ini dijelaskan tentang latar belakang, rumusan
masalah, batasan masalah, tujuan, manfaat dan sistematika penulisan tugas akhir.
2. BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dijelaskan tentang penelitian sebelumnya
yang berkaitan tentang konsep ruang metrik parsial dan beberapa pemetaan pada ruang metrik parsial. Ditunjukkan pula beberapa definisi yang berkaitan dengan konsep ruang metrik dan ruang metrik parsial yang meliputi definisi ruang metrik dan ruang metrik parsial, definisi konvergensi barisan dan barisan Cauchy pada ruang metrik parsial, serta definisi ruang metrik parsial lengkap. Pada bab ini juga diberikan definisi pemetaan kontraktif, pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik dan ruang metrik parsial serta beberapa teorema titik tetap, meliputi teorema titik tetap pemetaan kontraktif,
5
teorema titik tetap pemetaan kontraktif lemah dan teorema titik tetap pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik serta teorema titik tetap pemetaan kontraktif pada ruang metrik parsial.
3. BAB III METODE PENELITIAN Pada bab ini dijelaskan tentang tahap-tahap dalam
melakukan penelitian berkaitan dengan tugas akhir ini yang meliputi studi literatur, konstruksi terkait analogi metrik dan metrik parsial, kajian teorema titik tetap pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik, penyelidikan tentang keberadaan dan ketunggalan titik tetap pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial serta penarikan kesimpulan dan pembukuan tugas akhir.
4. BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN Pada bab ini diuraikan tentang dua teorema yang
berkaitan dengan analogi antara metrik dan metrik parsial. Dibuktikan pula teorema yang menunjukkan pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik parsial namun bukan merupakan pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik dan teorema yang menunjukkan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial namun bukan merupakan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik. Selain itu, diuraikan mengenai pembuktian teorema titik tetap pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial dengan menggunakan beberapa lemma. Diberikan juga contoh dari teorema titik tetap tersebut untuk mendapatkan titik tetap yang tunggal dari
6
pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial.
5. BAB V PENUTUP Pada bab ini disajikan beberapa kesimpulan terkait
ruang metrik parsial, seperti pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial dan teorema titik tetap kedua pemetaan tersebut pada ruang metrik parsial. Diberikan pula beberapa saran untuk penelitian selanjutnya.
7
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini, ditunjukkan beberapa hal yang mendukung
penyelesaian tugas akhir, meliputi penelitian-penelitian terdahulu yang dilakukan oleh beberapa ilmuwan matematika terkait konsep ruang metrik dan ruang metrik parsial. Ditunjukkan pula definisi-definisi yang berkaitan dengan ruang metrik dan ruang metrik parsial dan beberapa teorema titik tetap pemetaan kontraktif pada ruang metrik dan ruang metrik parsial.
2.1 Penelitian Terdahulu Pada penelitian sebelumnya di beberapa dekade terakhir,
teorema titik tetap telah menjadi bahan kajian yang berkaitan dengan fenomena nonlinier. Secara khusus, teorema titik tetap dan hasilnya dapat dikembangkan secara analisis, terapan, topologi dan geometri. Teorema dasar yang digunakan pada teorema titik tetap adalah prinsip kontraksi Banach. Dalam lima puluh tahun terakhir, beberapa peneliti melakukan penelitian pada teorema titik tetap dengan memperluas prinsip kontraksi Banach [1].
Pada tahun 1978, Dugundji dan Granas [5], lewat tulisannya yang berjudul โWeakly Contractive Maps and Elementary Domainโ, telah memperluas teorema Banach ke dalam pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik. Dari definisi pemetaan kontraktif, mereka memperluas dalam bentuk pemetaan kontraktif lemah. Dari hasil penyelidikan yang mereka lakukan terkait keberadaan dan ketunggalan titik tetap pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik, diperoleh hasil
8
yaitu jika ๐ merupakan pemetaan kontraktif lemah maka ๐ memiliki titik tetap yang tunggal.
Kemudian, pada tahun 1994, lewat tulisannya yang berjudul โPartial Metric Topologyโ, Matthews [4] (seorang ilmuwan komputer) memperkenalkan konsep jarak titik ke dirinya sendiri tidak selalu bernilai nol atau yang lebih dikenal dengan konsep ruang metrik parsial sebagai bagian dari penelitian notasi jaringan dataflow dan menunjukkan bahwa prinsip kontraksi Banach dapat digeneralisasi untuk konteks ruang metrik parsial sebagai aplikasi dalam verifikasi program. Dari hasil topologi ruang metrik parsial yang dilakukan oleh Matthews, diperoleh hasil yaitu jika ๐ merupakan pemetaan kontraktif pada ruang metrik parsial maka ๐ memiliki titik tetap yang tunggal. Kemudian, dari hasil penelitian Matthews, banyak peneliti yang mempelajari teorema titik tetap pada ruang metrik parsial. Salah satu peneliti yang mempelajari teorema titik tetap pada ruang metrik parsial adalah Rus.
Pada tahun 2008, Rus menyelidiki masalah-masalah dasar yang berkaitan dengan teorema titik tetap pada ruang metrik yang dikonstruksi ke dalam ruang metrik parsial, meliputi keberadaan titik tetap, ketunggalan titik tetap dan konvergensi barisan [1]. Selanjutnya, pada tahun 2010, Ruiz dan Antonio [7] memperluas prinsip kontraksi Banach pada ruang metrik yang digagas oleh Kannan. Berpedoman pada hasil penelitian yang dilakukan oleh Dugundji dan Granas, mereka memperluas teorema Kannan ke dalam pemetaan Kannan lemah. Dari hasil penyelidikan yang mereka lakukan terkait keberadaan dan ketunggalan titik tetap pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik, diperoleh hasil yaitu jika ๐ merupakan pemetaan Kannan lemah maka ๐ memiliki titik tetap yang tunggal.
9
Kemudian, berdasarkan hasil penelitian yang dilakukan oleh Matthews, Dugundji dan Granas serta Ruiz, pada tahun 2012, Maryam A Alghamdi, Naseer Shahzad dan Oscar Valero [2] melakukan penelitian untuk menyelidiki bahwa pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik dapat dikonstruksi ke dalam ruang metrik parsial. Dari hasil penyelidikan mereka, didefinisikan pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial.
2.2 Ruang Metrik Pada sub bab ini diberikan beberapa definisi yang
berkaitan dengan konsep ruang metrik yang dibutuhkan dalam penyelesaian tugas akhir, meliputi definisi ruang metrik dan definisi beberapa pemetaan kontraktif pada ruang metrik. Diberikan pula contoh dari metrik.
Terlebih dahulu diberikan definisi metrik dan ruang metrik. Definisi berikut ini diperlukan untuk menunjukkan perbedaan antara ruang metrik dan ruang metrik parsial. Melalui definisi ini, dapat diperoleh analogi antara ruang metrik dan ruang metrik parsial.
Definisi 2.2.1. [3] Diberikan himpunan tak kosong ๐.
Fungsi ๐: ๐ x ๐ โ โ dikatakan metrik pada ๐ jika untuk setiap
๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ ๐ memenuhi (D1) ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โฅ 0;
(D2) ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 0 jika dan hanya jika ๐ฅ = ๐ฆ;
(D3) ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐(๐ฆ, ๐ฅ);
(D4) ๐(๐ฅ, ๐ง) โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) + ๐(๐ฆ, ๐ง).
Pasangan (๐, ๐) dikatakan sebagai ruang metrik.
10
Contoh 2.2.2. [3] Diberikan himpunan โ. Fungsi ๐: โ x โ โ โ
yang didefinisikan sebagai ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = |๐ฅ โ ๐ฆ| untuk setiap
๐ฅ, ๐ฆ โ โ merupakan metrik pada โ karena fungsi ๐ memenuhi (D1), (D2), (D3) dan (D4) untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ โ, seperti pada Definisi 2.2.1. Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut.
(D1) Didefinisikan ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = |๐ฅ โ ๐ฆ| untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ โ. Karena nilai mutlak selalu bernilai tak negatif, maka ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = |๐ฅ โ ๐ฆ| โฅ 0.
(D2) (โน) Jika ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = |๐ฅ โ ๐ฆ| = 0 maka terdapat dua kondisi,
yaitu ๐ฅ โ ๐ฆ = 0 dan โ(๐ฅ โ ๐ฆ) = ๐ฆ โ ๐ฅ = 0. Dari dua kondisi tersebut, terlihat bahwa ๐ฅ = ๐ฆ.
(โธ) Jika ๐ฅ = ๐ฆ, maka ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = |๐ฅ โ ๐ฆ| = |๐ฅ โ ๐ฅ| = 0.
(D3) Ditunjukkan bahwa ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐(๐ฆ, ๐ฅ). ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = |๐ฅ โ ๐ฆ| = |โ(๐ฅ โ ๐ฆ)| = |๐ฆ โ ๐ฅ| = ๐(๐ฆ, ๐ฅ).
(D4) ๐(๐ฅ, ๐ง) = |๐ฅ โ ๐ง| = |(๐ฅ โ ๐ฆ) + (๐ฆ โ ๐ง)| โค |๐ฅ โ ๐ฆ| + |๐ฆ โ ๐ง| = ๐(๐ฅ, ๐ฆ) + ๐(๐ฆ, ๐ง)
Selanjutnya, ditunjukkan beberapa definisi pemetaan kontraktif pada ruang metrik yang meliputi, definisi pemetaan kontraktif, pemetaan kontraktif lemah, pemetaan Kannan dan pemetaan Kannan lemah. Pemetaan-pemetaan tersebut menjamin keberadaan dan ketunggalan titik tetap.
11
Definisi 2.2.3. [3] Diberikan (๐, ๐) ruang metrik. Pemetaan
๐: ๐ โ ๐ dinamakan pemetaan kontraktif jika terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ โ โ,
0 โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ < 1 sedemikian hingga ๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ๐(๐ฅ, ๐ฆ) untuk
setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐.
Definisi 2.2.4. [5] Diberikan (๐, ๐) ruang metrik. Pemetaan
๐: ๐ โ ๐ dinamakan pemetaan kontraktif lemah jika terdapat
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ: ๐ x ๐ โ [0,1) sedemikian hingga untuk setiap 0 โค ๐ โค ๐, ๐ ๐ข๐{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ): ๐ โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐} < 1
dan
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)๐(๐ฅ, ๐ฆ)
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐.
Definisi 2.2.5. [6] Diberikan (๐, ๐) ruang metrik. Pemetaan
๐: ๐ โ ๐ dinamakan pemetaan Kannan jika terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ โ โ,
0 โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ < 1 sedemikian hingga
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) โค๏ฟฝฬ ๏ฟฝ
2[๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ)) + ๐(๐ฆ, ๐(๐ฆ))]
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐.
Definisi 2.2.6. [7] Diberikan (๐, ๐) ruang metrik. Pemetaan
๐: ๐ โ ๐ dinamakan pemetaan Kannan lemah jika terdapat
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ: ๐ x ๐ โ [0,1) sedemikian hingga untuk setiap 0 โค ๐ โค ๐,
๐ ๐ข๐{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ): ๐ โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐} < 1
dan
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) โค๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)
2[๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ)) + ๐(๐ฆ, ๐(๐ฆ))]
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐.
12
2.3 Ruang Metrik Parsial Pada sub bab ini diberikan beberapa definisi yang
berkaitan dengan konsep ruang metrik parsial yang meliputi, definisi ruang metrik parsial beserta contoh metrik parsial, konvergensi barisan dan barisan Cauchy pada ruang metrik parsial serta definisi ruang metrik parsial lengkap. Diberikan pula definisi pemetaan kontraktif pada ruang metrik parsial.
Terlebih dahulu diberikan definisi metrik parsial dan ruang metrik parsial. Definisi berikut ini diperlukan untuk menunjukkan perbedaan antara ruang metrik dan ruang metrik parsial. Melalui definisi ini, dapat diperoleh analogi antara ruang metrik dan ruang metrik parsial.
Definisi 2.3.1. [4] Diberikan himpunan tak kosong ๐.
Fungsi ๐: ๐ x ๐ โ โ + dikatakan metrik parsial pada ๐ jika
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ ๐ memenuhi
(P1) ๐ฅ = ๐ฆ jika dan hanya jika ๐(๐ฅ, ๐ฅ) = ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
= ๐(๐ฆ, ๐ฆ);
(P2) ๐(๐ฅ, ๐ฅ) โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ);
(P3) ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐(๐ฆ, ๐ฅ);
(P4) ๐(๐ฅ, ๐ง) โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) + ๐(๐ฆ, ๐ง) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ).
Pasangan (๐, ๐) dikatakan sebagai ruang metrik parsial.
Contoh 2.3.2. [2] Diberikan himpunan โ+. Fungsi ๐: โ+x โ+ โ โ+ yang didefinisikan sebagai ๐(๐ฅ, ๐ฆ) =
๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฆ} untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ โ+ merupakan metrik parsial pada โ+ karena fungsi ๐ memenuhi (P1), (P2), (P3) dan (P4) untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ โ+, seperti pada Definisi 2.3.1.
13
(P1) (โน) Jika ๐ฅ = ๐ฆ, maka ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฆ} = ๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฅ} =
๐(๐ฅ, ๐ฅ) dan ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฆ} = ๐๐๐ฅ{๐ฆ, ๐ฆ} =
๐(๐ฆ, ๐ฆ). Hal ini menunjukkan bahwa ๐(๐ฅ, ๐ฅ) = ๐(๐ฅ, ๐ฆ) =
๐(๐ฆ, ๐ฆ).
(โธ) Jika ๐(๐ฅ, ๐ฅ) = ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐(๐ฆ, ๐ฆ), maka diperoleh ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐(๐ฅ, ๐ฅ) = ๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฅ} = ๐ฅ dan ๐(๐ฅ, ๐ฆ) =
๐(๐ฆ, ๐ฆ) = ๐๐๐ฅ{๐ฆ, ๐ฆ} = ๐ฆ. Hal ini menunjukkan bahwa ๐ฅ = ๐ฆ.
(P2) Untuk menunjukkan bahwa ๐ memenuhi (P2), maka dibagi menjadi dua kondisi, yaitu untuk ๐ฅ โฅ ๐ฆ dan ๐ฅ <
๐ฆ. Telah diketahui bahwa ๐(๐ฅ, ๐ฅ) = ๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฅ} = ๐ฅ. Untuk ๐ฅ โฅ ๐ฆ, ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฆ} = ๐ฅ, sehingga diperoleh ๐(๐ฅ, ๐ฅ) = ๐(๐ฅ, ๐ฆ) dan untuk ๐ฅ < ๐ฆ, ๐(๐ฅ, ๐ฆ) =
๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฆ} = ๐ฆ, sehingga diperoleh ๐(๐ฅ, ๐ฅ) < ๐(๐ฅ, ๐ฆ). Karena ๐ memenuhi dua kondisi tersebut, maka ๐(๐ฅ, ๐ฅ) โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ).
(P3) Ditunjukkan bahwa ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐(๐ฆ, ๐ฅ). ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฆ} = ๐๐๐ฅ{๐ฆ, ๐ฅ} = ๐(๐ฆ, ๐ฅ).
(P4) Untuk menunjukkan bahwa ๐ memenuhi (P4), maka dibagi menjadi empat kondisi, yaitu 1) ๐ฅ โฅ ๐ง โฅ ๐ฆ
Untuk ๐ฅ โฅ ๐ง, ๐(๐ฅ, ๐ง) = ๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ง} = ๐ฅ. Untuk ๐ฅ โฅ
๐ฆ, ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฆ} = ๐ฅ. Untuk ๐ง โฅ ๐ฆ, ๐(๐ฆ, ๐ง) = ๐๐๐ฅ{๐ฆ, ๐ง} = ๐ง. Karena ๐ง โฅ ๐ฆ, maka
14
diperoleh ๐ง โ ๐ฆ โฅ 0, sehingga ๐(๐ฅ, ๐ง) โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) +
๐(๐ฆ, ๐ง) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ) dengan ๐(๐ฆ, ๐ฆ) = ๐๐๐ฅ{๐ฆ, ๐ฆ} = ๐ฆ. 2) ๐ฅ โฅ ๐ง dan ๐ง < ๐ฆ
Untuk ๐ฅ โฅ ๐ง, ๐(๐ฅ, ๐ง) = ๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ง} = ๐ฅ. Untuk ๐ง <
๐ฆ, ๐(๐ฆ, ๐ง) = ๐๐๐ฅ{๐ฆ, ๐ง} = ๐ฆ. Karena ๐ฅ โฅ ๐ง dan ๐ง <
๐ฆ, maka diperoleh ๐ฅ โฅ ๐ฆ atau ๐ฅ < ๐ฆ. Untuk ๐ฅ โฅ ๐ฆ, ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฆ} = ๐ฅ sehingga diperoleh ๐(๐ฅ, ๐ง) โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) + ๐(๐ฆ, ๐ง) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ) dengan ๐(๐ฆ, ๐ฆ) = ๐๐๐ฅ{๐ฆ, ๐ฆ} = ๐ฆ. Untuk ๐ฅ < ๐ฆ, ๐(๐ฅ, ๐ฆ) =
๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฆ} = ๐ฆ sehingga diperoleh juga ๐(๐ฅ, ๐ง) โค
๐(๐ฅ, ๐ฆ) + ๐(๐ฆ, ๐ง) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ) dengan ๐(๐ฆ, ๐ฆ) =
๐๐๐ฅ{๐ฆ, ๐ฆ} = ๐ฆ. 3) ๐ฅ < ๐ง dan ๐ง โฅ ๐ฆ
Untuk ๐ฅ < ๐ง, ๐(๐ฅ, ๐ง) = ๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ง} = ๐ง. Untuk ๐ง โฅ
๐ฆ, ๐(๐ฆ, ๐ง) = ๐๐๐ฅ{๐ฆ, ๐ง} = ๐ง. Karena ๐ฅ < ๐ง dan ๐ง โฅ
๐ฆ, maka diperoleh ๐ฅ โฅ ๐ฆ atau ๐ฅ < ๐ฆ. Untuk ๐ฅ โฅ ๐ฆ, ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฆ} = ๐ฅ sehingga diperoleh ๐(๐ฅ, ๐ง) โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) + ๐(๐ฆ, ๐ง) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ) dengan ๐(๐ฆ, ๐ฆ) = ๐๐๐ฅ{๐ฆ, ๐ฆ} = ๐ฆ. Untuk ๐ฅ < ๐ฆ, ๐(๐ฅ, ๐ฆ) =
๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฆ} = ๐ฆ sehingga diperoleh juga ๐(๐ฅ, ๐ง) โค
๐(๐ฅ, ๐ฆ) + ๐(๐ฆ, ๐ง) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ) dengan ๐(๐ฆ, ๐ฆ) =
๐๐๐ฅ{๐ฆ, ๐ฆ} = ๐ฆ. 4) ๐ฅ < ๐ง < ๐ฆ
Untuk ๐ฅ < ๐ง, ๐(๐ฅ, ๐ง) = ๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ง} = ๐ง. Untuk ๐ฅ <
๐ฆ, ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฆ} = ๐ฆ. Untuk ๐ง < ๐ฆ, ๐(๐ฆ, ๐ง) = ๐๐๐ฅ{๐ฆ, ๐ง} = ๐ฆ, sehingga ๐(๐ฅ, ๐ง) โค
๐(๐ฅ, ๐ฆ) + ๐(๐ฆ, ๐ง) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ) dengan ๐(๐ฆ, ๐ฆ) =
๐๐๐ฅ{๐ฆ, ๐ฆ} = ๐ฆ.
15
Kemudian, diberikan definisi yang berkaitan dengan konvergensi barisan pada ruang metrik parsial, barisan Cauchy pada ruang metrik parsial serta ruang metrik parsial yang lengkap yang diperlukan dalam pembuktian teorema titik tetap. Teorema titik tetap hanya dapat digunakan pada ruang metrik parsial yang lengkap.
Definisi 2.3.3. [4] Jika diberikan (๐, ๐) ruang metrik parsial
dan {๐ฅ๐} adalah barisan pada ๐ untuk setiap ๐ โ โ, maka (i) {๐ฅ๐} konvergen ke titik ๐ฅ โ ๐ pada ๐ jika dan
hanya jika ๐(๐ฅ, ๐ฅ) = ๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ);
(ii) {๐ฅ๐} dikatakan barisan Cauchy pada (๐, ๐) jika
๐๐๐๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) ada dan berhingga;
(iii) (๐, ๐) dikatakan lengkap jika setiap barisan
Cauchy {๐ฅ๐} pada ๐ konvergen ke titik ๐ฅ โ ๐
sehingga ๐(๐ฅ, ๐ฅ) = ๐๐๐๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐).
Selanjutnya, diberikan definisi pemetaan kontraktif pada ruang metrik parsial.
Definisi 2.3.4. [4] Diberikan (๐, ๐) ruang metrik parsial.
Pemetaan ๐: ๐ โ ๐ dinamakan pemetaan kontraktif jika
terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ โ โ, 0 โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ < 1 sedemikian hingga
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ๐(๐ฅ, ๐ฆ) untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐.
2.4 Teorema Titik Tetap Pada sub bab ini, diberikan beberapa teorema titik tetap.
Pemetaan ๐: ๐ โ ๐ dikatakan memiliki titik tetap yang tunggal jika ๐ฅ = ๐(๐ฅ) untuk ๐ฅ โ ๐. Selanjutnya, diberikan beberapa teorema titik tetap pada ruang metrik lengkap yang meliputi,
16
teorema titik tetap pemetaan kontraktif, teorema titik tetap pemetaan kontraktif lemah dan teorema titik tetap pemetaan Kannan lemah. Diberikan pula teorema titik tetap pemetaan kontraktif pada ruang metrik parsial lengkap.
Terlebih dahulu diberikan teorema titik tetap pemetaan kontraktif dan pemetaan Kannan pada ruang metrik lengkap, serta teorema titik tetap pemetaan kontraktif pada ruang metrik parsial lengkap.
Teorema 2.4.1. [3] Diberikan (๐, ๐) ruang metrik lengkap.
Jika ๐: ๐ โ ๐ adalah pemetaan kontraktif, maka ๐ memiliki
titik tetap yang tunggal.
Teorema 2.4.2. [6] Diberikan (๐, ๐) ruang metrik lengkap.
Jika ๐: ๐ โ ๐ adalah pemetaan Kannan, maka ๐ memiliki titik
tetap yang tunggal.
Teorema 2.4.3. [4] Diberikan (๐, ๐) ruang metrik parsial
lengkap. Jika ๐: ๐ โ ๐ adalah pemetaan kontraktif, maka ๐
memiliki titik tetap yang tunggal.
Kemudian, diberikan teorema titik tetap pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik lengkap dan teorema titik tetap pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik lengkap. Kedua pemetaan tersebut merupakan pengembangan dari pemetaan kontraktif pada ruang metrik lengkap.
Teorema 2.4.4. [5] Diberikan (๐, ๐) ruang metrik lengkap.
Jika ๐: ๐ โ ๐ adalah pemetaan kontraktif lemah, maka ๐
memiliki titik tetap yang tunggal ๐ฅโ dan {๐๐(๐ฅ)}๐โโ konvergen
ke ๐ฅโ untuk setiap ๐ฅ โ ๐.
17
Teorema 2.4.5. [7] Diberikan (๐, ๐) ruang metrik lengkap.
Jika ๐: ๐ โ ๐ adalah pemetaan Kannan lemah, maka ๐
memiliki titik tetap yang tunggal ๐ฅโ dan {๐๐(๐ฅ)}๐โโ konvergen
ke ๐ฅโ untuk setiap ๐ฅ โ ๐.
19
BAB III METODE PENELITIAN
Pada bab ini, dijelaskan mengenai langkah-langkah yang
dilakukan dalam pengerjaan tugas akhir yang meliputi beberapa tahap, yaitu studi literatur, proses konstruksi terkait analogi antara ruang metrik dan ruang metrik parsial, penyelidikan keberadaan dan ketunggalan titik tetap pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial serta penarikan kesimpulan dan penyusunan tugas akhir. Keempat tahap tersebut dijelaskan lebih rinci melalui keempat sub bab di bawah ini.
3.1 Studi Literatur Pada tahap ini, melalui beberapa literatur tugas akhir,
seperti buku, jurnal dan hasil penelitian-penelitian sebelumnya yang tertera pada daftar pustaka, dipelajari mengenai konsep ruang metrik yang meliputi definisi ruang metrik dan definisi beberapa pemetaan kontraktif pada ruang metrik. Diberikan pula contoh metrik. Selain itu, dipelajari juga mengenai konsep ruang metrik parsial yang meliputi, definisi ruang metrik parsial, definisi konvergensi barisan pada ruang metrik parsial dan definisi ruang metrik parsial lengkap. Diberikan pula definisi beberapa pemetaan kontraktif pada ruang metrik parsial serta contoh metrik parsial.
Pada tahap ini, dipelajari juga mengenai teorema titik tetap pemetaan kontraktif pada ruang metrik serta dipelajari proses konstruksi teorema titik tetap tersebut ke dalam konsep ruang metrik parsial. Kemudian, dipelajari tentang pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik. Dipelajari juga tentang pemetaan kontraktif lemah dan
20
pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial. Selanjutnya, dipelajari mengenai cara memperluas pemetaan kontraktif menjadi pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan menjadi pemetaan Kannan lemah. Dipelajari pula tentang teorema titik tetap pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik lengkap.
3.2 Konstruksi Analogi antara Ruang Metrik dan Ruang Metrik Parsial Pada tahap ini, diselidiki analogi antara ruang metrik dan
ruang metrik parsial. Dengan mengkonstruksi fungsi yang dibangun oleh metrik parsial, diperoleh bahwa fungsi tersebut merupakan metrik. Dari hasil pengkonstruksian tersebut, terlihat bahwa metrik parsial dapat membangun metrik. Proses pengkonstruksian tersebut tertuang pada Teorema 4.1.1 dan Teorema 4.1.4.
Selain itu, diselidiki hubungan antara ruang metrik lengkap dan ruang metrik parsial lengkap. Diselidiki pula hubungan antara barisan Cauchy pada ruang metrik dan barisan Cauchy pada ruang metrik parsial. Hasil penyelidikan tersebut dapat diterapkan pada pembuktian teorema titik tetap pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial lengkap, seperti pada pembuktian Teorema 4.3.5.
Pada tahap ini juga dipelajari mengenai cara mengkonstruksi teorema titik tetap pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik lengkap ke dalam ruang metrik parsial lengkap, yaitu dengan menggunakan analogi antara ruang metrik dan ruang metrik parsial.
21
3.3 Penyelidikan Keberadaan dan Ketunggalan Titik Tetap Pemetaan Kontraktif Lemah dan Pemetaan Kannan lemah pada Ruang Metrik Parsial Pada tahap ini, diselidiki keberadaan dan ketunggalan titik
tetap pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial lengkap dengan menggunakan teorema titik tetap. Sebelum melakukan kajian teorema titik tetap pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial lengkap, dipastikan terlebih dahulu bahwa pemetaan yang dikaji merupakan pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial, sebab tidak semua pemetaan yang bukan merupakan pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik juga bukan merupakan pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik parsial. Begitu juga untuk kasus pemetaan Kannan lemah. Hal ini ditunjukkan pada Contoh 4.2.2 dan Contoh 4.2.3. Pada Contoh 4.2.2 dan Contoh 4.2.3, ditunjukkan pemetaan yang merupakan pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik parsial namun bukan merupakan pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik. Sedangkan pada Contoh 4.2.5 dan Contoh 4.2.6, ditunjukkan pemetaan yang merupakan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial namun bukan merupakan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik.
Setelah memastikan bahwa pemetaan yang dikaji merupakan pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial, selanjutnya dibuktikan bahwa pemetaan tersebut memiliki titik tetap tunggal dengan menggunakan Teorema 4.3.5. Sebelumnya, ditunjukkan beberapa lemma yang mendukung dalam proses pembuktian Teorema 4.3.5, yaitu Lemma 4.3.1, Lemma 4.3.2, Lemma 4.3.3 dan Lemma 4.3.4. Setelah membuktikan Teorema 4.3.5,
22
selanjutnya diberikan contoh dari Teorema 4.3.5 yang tertuang pada Contoh 4.3.6. Pada contoh tersebut, didefinisikan pemetaan pada ruang metrik parsial lengkap. Pemetaan tersebut merupakan pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah. Dengan menggunakan Teorema 4.3.5, diperoleh titik tetap yang tunggal dari pemetaan tersebut.
3.4 Penarikan Kesimpulan dan Penyusunan Tugas Akhir Pada tahap ini, diperoleh beberapa kesimpulan terkait
analogi antara ruang metrik dan ruang metrik parsial serta penyelidikan tentang pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial. Selain itu, diperoleh kesimpulan dari penyelidikan keberadaan dan ketunggalan titik tetap pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial lengkap dengan menggunakan teorema titik tetap. Pada tahap ini, dilakukan pula penyusunan terhadap tugas akhir.
23
BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini, diuraikan mengenai analogi ruang metrik
dan ruang metrik parsial. Selain itu, ditunjukkan pula teorema yang menunjukkan pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik parsial namun bukan merupakan pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik dan teorema yang menunjukkan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial namun bukan merupakan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik. Dibuktikan pula teorema titik tetap pada ruang metrik parsial yang diperoleh dari definisi pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik, serta diberikan contoh dari teorema titik tetap tersebut.
4.1 Ruang Metrik Parsial Ruang metrik parsial merupakan salah satu pengembangan
dari konsep ruang metrik. Beberapa konsep pada ruang metrik, seperti yang berkaitan dengan konvergensi barisan pada ruang metrik, barisan Cauchy pada ruang metrik serta definisi ruang metrik lengkap dapat dianalogikan ke dalam ruang metrik parsial. Pengertian metrik dan metrik parsial sedikit berbeda, seperti yang telah dijelaskan pada Definisi 2.2.1 dan Definisi 2.3.1. Konsep ruang metrik parsial yang digagas oleh Matthews [4] memberikan pernyataan bahwa jarak titik ke dirinya sendiri tidak selalu bernilai nol. Hal inilah yang berbeda dengan konsep ruang metrik, bahwa jarak titik ke dirinya sendiri selalu bernilai nol.
Karena terdapat perbedaan antara konsep ruang metrik dan ruang metrik parsial, maka berdasarkan [4], dapat dibentuk analogi antara ruang metrik dan ruang metrik parsial. Melalui
24
pengkonstruksian fungsi ๐๐ yang dibangun dari metrik parsial ๐, diperoleh bahwa ๐๐ adalah metrik pada ๐, seperti yang tertuang pada teorema berikut ini.
Teorema 4.1.1. Diberikan (๐, ๐) ruang metrik parsial. Jika
fungsi ๐๐: ๐ x ๐ โ โ dengan
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 2๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ) (4.1) untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐, maka ๐๐ adalah metrik pada ๐.
Bukti: Seperti pada Definisi 2.2.1, jika ๐๐ adalah metrik pada ๐ maka ๐๐ memenuhi (D1), (D2), (D3) dan (D4) untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ
๐. Selanjutnya, dibuktikan bahwa ๐๐ memenuhi keempat syarat tersebut.
(D1) Karena ๐ adalah metrik parsial pada ๐ maka ๐ memenuhi (P3) dan (P2) seperti pada Definisi 2.3.1, sehingga ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 2๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ)
= ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) + ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ) = ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) + ๐(๐ฆ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ)
โฅ 0. Jadi, ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) โฅ 0 untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐, artinya ๐๐ memenuhi (D1).
(D2) (โน) Karena ๐ adalah metrik parsial pada ๐ maka ๐
memenuhi (P3) dan (P2) seperti pada Definisi 2.3.1, sehingga
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 2๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) = ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) + ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ)
25
= ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) + ๐(๐ฆ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ) = 0
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐, diperoleh ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) = 0
dan ๐(๐ฆ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ) = 0,
artinya ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐(๐ฅ, ๐ฅ) dan ๐(๐ฆ, ๐ฅ) = ๐(๐ฆ, ๐ฆ) sehingga ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐(๐ฅ, ๐ฅ) = ๐(๐ฆ, ๐ฆ) untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐. Karena ๐ adalah metrik parsial pada ๐ maka ๐ juga memenuhi (P1) seperti pada Definisi 2.3.1, sehingga diperoleh ๐ฅ = ๐ฆ. (โธ) Jika ๐ฅ = ๐ฆ, maka ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 2๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ)
= 2๐(๐ฅ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) = 0
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐.
Dari kedua bukti tersebut maka ๐๐ memenuhi (D2).
(D3) Karena ๐ adalah metrik parsial pada ๐ maka ๐ memenuhi (P3) seperti pada Definisi 2.3.1, sehingga ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 2๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ)
= 2๐(๐ฆ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) = ๐๐(๐ฆ, ๐ฅ)
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐, maka ๐๐ memenuhi (D3).
(D4) Karena ๐ adalah metrik parsial pada ๐ maka ๐ memenuhi (P4) seperti pada Definisi 2.3.1, sehingga
26
๐๐(๐ฅ, ๐ง) = 2๐(๐ฅ, ๐ง) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) โ ๐(๐ง, ๐ง) โค 2(๐(๐ฅ, ๐ฆ) + ๐(๐ฆ, ๐ง) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ))
โ๐(๐ฅ, ๐ฅ) โ ๐(๐ง, ๐ง) = 2๐(๐ฅ, ๐ฆ) + 2๐(๐ฆ, ๐ง) โ 2๐(๐ฆ, ๐ฆ)
โ๐(๐ฅ, ๐ฅ) โ ๐(๐ง, ๐ง) = 2๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ)
+2๐(๐ฆ, ๐ง) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ) โ ๐(๐ง, ๐ง) = ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) + ๐๐(๐ฆ, ๐ง)
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ ๐, maka ๐๐ memenuhi (D4).
Terbukti bahwa ๐๐ memenuhi (D1), (D2), (D3) dan (D4) untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ ๐, maka ๐๐ adalah metrik pada ๐. โ
Dari Teorema 4.1.1, terlihat bahwa ๐ adalah metrik parsial pada ๐ dan ๐๐ adalah metrik pada ๐. Dengan menggunakan ๐ dan ๐๐, dibentuk lemma-lemma yang menunjukkan analogi antara barisan Cauchy pada ruang metrik dan barisan Cauchy pada ruang metrik parsial, serta analogi antara ruang metrik lengkap dan ruang metrik parsial lengkap.
Lemma 4.1.2. Diberikan (๐, ๐) ruang metrik parsial dan
(๐, ๐๐) ruang metrik, dengan ๐๐ adalah metrik yang
didefinisikan pada (4.1). Barisan {๐ฅ๐}๐โโ adalah barisan
Cauchy pada (๐, ๐) jika dan hanya jika {๐ฅ๐} adalah barisan
Cauchy pada (๐, ๐๐).
Bukti: (โน) Jika {๐ฅ๐}๐โโ adalah barisan Cauchy pada (๐, ๐), maka sesuai Definisi 2.3.3 (ii), ๐๐๐
๐,๐โโ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) ada dan berhingga. Karena
27
(๐, ๐๐) adalah ruang metrik dengan ๐๐ adalah metrik yang dibangun oleh metrik parsial seperti pada (4.1), maka
๐๐๐๐,๐โโ
๐๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) = 2 ๐๐๐๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) โ ๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐)
โ ๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐)
atau 2 ๐๐๐
๐,๐โโ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) = ๐๐๐
๐,๐โโ๐๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) + ๐๐๐
๐โโ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐)
+ ๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐).
Karena ๐๐๐๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) ada dan berhingga, maka
2 ๐๐๐๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) juga ada dan berhingga, sehingga
๐๐๐๐,๐โโ
๐๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) + ๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) + ๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) ada dan
berhingga, artinya ๐๐๐๐,๐โโ
๐๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐), ๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) dan
๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) juga ada dan berhingga. Hal ini menunjukkan
bahwa {๐ฅ๐}๐โโ juga merupakan barisan Cauchy pada (๐, ๐๐).
(โธ) Karena ๐๐ adalah metrik yang dibangun oleh metrik parsial seperti pada (4.1), maka jika {๐ฅ๐}๐โโ adalah barisan Cauchy pada (๐, ๐๐), diperoleh
๐๐๐๐,๐โโ
๐๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) = 2 ๐๐๐๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) โ ๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐)
โ ๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐)
ada dan berhingga. Sehingga, jelas bahwa 2 ๐๐๐๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐),
๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) dan ๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) ada dan berhingga. Karena
2 ๐๐๐๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) ada dan berhingga, maka ๐๐๐๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐)
ada dan berhingga, artinya {๐ฅ๐}๐โโ juga merupakan barisan Cauchy pada (๐, ๐). โ
28
Lemma 4.1.3 Diberikan (๐, ๐) ruang metrik parsial dan
(๐, ๐๐) ruang metrik, dengan ๐๐ adalah metrik yang
didefinisikan pada (4.1). (๐, ๐) dikatakan lengkap jika dan
hanya jika (๐, ๐๐) lengkap. Sehingga, jika diberikan barisan
{๐ฅ๐}๐โโ pada (๐, ๐) maka untuk ๐ฅ โ ๐, ๐๐๐๐โโ
๐๐(๐ฅ๐, ๐ฅ) = 0
jika dan hanya jika ๐(๐ฅ, ๐ฅ) = ๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ) =
๐๐๐๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐).
Bukti: (โน) Jika (๐, ๐) merupakan ruang metrik parsial lengkap, maka sesuai Definisi 2.3.3 (iii), setiap barisan Cauchy {๐ฅ๐}๐โโ pada
(๐, ๐) konvergen ke titik ๐ฅ โ ๐ sehingga ๐(๐ฅ, ๐ฅ) =
๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ) = ๐๐๐๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐). Karena {๐ฅ๐}๐โโ adalah
barisan Cauchy pada (๐, ๐), maka berdasarkan Lemma 4.1.2, {๐ฅ๐}๐โโ juga merupakan barisan Cauchy pada (๐, ๐๐), sehingga {๐ฅ๐}๐โโ konvergen ke titik ๐ฅ โ ๐, artinya (๐, ๐๐) adalah ruang metrik lengkap. Karena ๐๐ adalah metrik yang dibangun dari metrik parsial seperti pada (4.1), maka ๐๐(๐ฅ, ๐ฅ) = 2๐(๐ฅ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) = 0 atau dengan kata lain ๐๐๐
๐โโ๐๐(๐ฅ๐, ๐ฅ) = 0.
(โธ) Jika (๐, ๐๐) adalah ruang metrik lengkap dengan ๐๐ adalah metrik yang dibangun dari metrik parsial seperti pada (4.1), maka setiap barisan Cauchy {๐ฅ๐}๐โโ pada (๐, ๐๐) konvergen ke titik ๐ฅ โ ๐ sehingga ๐๐(๐ฅ, ๐ฅ) = ๐๐๐
๐โโ๐๐(๐ฅ๐, ๐ฅ) =
๐๐๐๐,๐โโ
๐๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐). Karena ๐๐ adalah metrik yang dibangun
29
dari metrik parsial seperti pada (4.1), maka ๐๐(๐ฅ, ๐ฅ) =
2๐(๐ฅ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) = 0 atau dengan kata lain ๐๐๐๐โโ
๐๐(๐ฅ๐, ๐ฅ) = 0. Karena {๐ฅ๐}๐โโ adalah barisan Cauchy
pada (๐, ๐๐), maka berdasarkan Lemma 4.1.2, {๐ฅ๐}๐โโ juga merupakan barisan Cauchy pada (๐, ๐), sehingga {๐ฅ๐}๐โโ konvergen ke titik ๐ฅ โ ๐, artinya (๐, ๐) adalah ruang metrik parsial lengkap. Karena (๐, ๐) adalah ruang metrik parsial lengkap, dari Definisi 2.3.3 (iii) diperoleh bahwa ๐(๐ฅ, ๐ฅ) =
๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ) = ๐๐๐๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐). โ
Selanjutnya, melalui pengkonstruksian fungsi ๐๐ yang dibangun dari metrik ๐, diperoleh bahwa fungsi ๐๐ merupakan metrik parsial pada ๐, seperti yang tertuang pada teorema berikut ini.
Teorema 4.1.4. Diberikan (๐, ๐) ruang metrik. Jika fungsi
๐๐: ๐ x ๐ โ โ + dengan
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) =|๐ฅ| + |๐ฆ| + ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
2
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐, maka ๐๐ adalah metrik parsial pada ๐.
Bukti: Seperti pada Definisi 2.3.1, jika ๐๐ adalah metrik parsial pada ๐ maka ๐๐ memenuhi (P1), (P2), (P3) dan (P4) untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ ๐. Selanjutnya, dibuktikan ๐๐ memenuhi keempat syarat tersebut.
30
(P1) (โน) Karena ๐ adalah metrik pada ๐ maka ๐ memenuhi (D2) seperti pada Definisi 2.2.1, sehingga jika ๐ฅ = ๐ฆ, maka ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 0, diperoleh
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) =|๐ฅ| + |๐ฆ| + ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
2
=|๐ฅ| + |๐ฆ|
2
=|๐ฅ| + |๐ฅ|
2
=2|๐ฅ|
2
= |๐ฅ| = ๐๐(๐ฅ, ๐ฅ) (4.2)
dan
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) =|๐ฅ| + |๐ฆ| + ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
2
=|๐ฅ| + |๐ฆ|
2
=|๐ฆ| + |๐ฆ|
2
=2|๐ฆ|
2
= |๐ฆ| = ๐๐(๐ฆ, ๐ฆ) (4.3)
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐. Dari (4.2) dan (4.3) diperoleh bahwa
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐(๐ฅ, ๐ฅ) = ๐๐(๐ฆ, ๐ฆ).
31
(โธ) Dari (4.2), diperoleh |๐ฅ| = ๐๐(๐ฅ, ๐ฅ) dan dari (4.3), diperoleh |๐ฆ| = ๐๐(๐ฆ, ๐ฆ). Jika
๐๐(๐ฅ, ๐ฅ) = ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐(๐ฆ, ๐ฆ), maka
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) =|๐ฅ| + |๐ฆ| + ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
2
=|๐ฅ| + |๐ฅ| + ๐(๐ฅ, ๐ฅ)
2
=|๐ฅ| + |๐ฅ|
2
=2|๐ฅ|
2
= |๐ฅ| = ๐๐(๐ฅ, ๐ฅ) (4.4)
dan
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) =|๐ฅ| + |๐ฆ| + ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
2
=|๐ฆ| + |๐ฆ| + ๐(๐ฆ, ๐ฆ)
2
=|๐ฆ| + |๐ฆ|
2
=2|๐ฆ|
2
= |๐ฆ| = ๐๐(๐ฆ, ๐ฆ) (4.5)
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐. Dari (4.4), terlihat bahwa |๐ฅ| + |๐ฆ| + ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = |๐ฅ| + |๐ฅ| + ๐(๐ฅ, ๐ฅ),
sehingga diperoleh |๐ฅ| โ |๐ฆ| = ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ). (4.6)
Dari (4.5), terlihat bahwa
32
|๐ฅ| + |๐ฆ| + ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = |๐ฆ| + |๐ฆ| + ๐(๐ฆ, ๐ฆ), sehingga diperoleh |๐ฅ| โ |๐ฆ| = ๐(๐ฆ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฆ). (4.7)
Dari (4.6) dan (4.7), diperoleh ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) = ๐(๐ฆ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฆ). (4.8)
Karena ๐ adalah metrik pada ๐, maka jarak suatu titik ke dirinya sendiri selalu bernilai nol, artinya
๐(๐ฅ, ๐ฅ) = ๐(๐ฆ, ๐ฆ) = 0, sehingga (4.8) menjadi
๐(๐ฅ, ๐ฆ) + ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 2๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 0, dan diperoleh ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 0. Karena ๐ adalah metrik pada ๐, maka ๐ memenuhi (D2), sehingga diperoleh ๐ฅ = ๐ฆ untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐. Dari kedua bukti tersebut, terbukti bahwa ๐๐ memenuhi (P1).
(P2) Karena ๐ adalah metrik pada ๐ maka ๐ memenuhi (D1) seperti pada Definisi 2.2.1, sehingga
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) =|๐ฅ| + |๐ฆ| + ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
2
atau 2๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) = |๐ฅ| + |๐ฆ| + ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โฅ |๐ฅ| + |๐ฆ|. Dari (4.4) dan (4.5), diperoleh bahwa |๐ฅ| = ๐๐(๐ฅ, ๐ฅ) =
๐๐(๐ฆ, ๐ฆ) = |๐ฆ|, sehingga 2๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) โฅ |๐ฅ| + |๐ฆ|
= ๐๐(๐ฅ, ๐ฅ) + ๐๐(๐ฆ, ๐ฆ) = ๐๐(๐ฅ, ๐ฅ) + ๐๐(๐ฅ, ๐ฅ) = 2๐๐(๐ฅ, ๐ฅ)
atau ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) โฅ ๐๐(๐ฅ, ๐ฅ) untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐, maka ๐๐ memenuhi (P2).
33
(P3) Karena ๐ adalah metrik pada ๐ maka ๐ memenuhi (D3) seperti pada Definisi 2.2.1, sehingga
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) =|๐ฅ| + |๐ฆ| + ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
2
=|๐ฆ| + |๐ฅ| + ๐(๐ฆ, ๐ฅ)
2
= ๐๐(๐ฆ, ๐ฅ). untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐, maka ๐๐ memenuhi (P3).
(P4) Karena
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) =|๐ฅ| + |๐ฆ| + ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
2
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐, maka 2๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) = |๐ฅ| + |๐ฆ| + ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
sehingga ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 2๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ |๐ฅ| โ |๐ฆ|. Dari
๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 2๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ |๐ฅ| โ |๐ฆ|, (4.9) maka dapat diperoleh juga
๐(๐ฆ, ๐ง) = 2๐๐(๐ฆ, ๐ง) โ |๐ฆ| โ |๐ง| (4.10) dan
๐(๐ฅ, ๐ง) = 2๐๐(๐ฅ, ๐ง) โ |๐ฅ| โ |๐ง|. (4.11) Karena ๐ adalah metrik pada ๐ maka ๐ memenuhi (D4) seperti pada Definisi 2.2.1. Substitusi (4.9), (4.10) dan (4.11) ke dalam (D4), sehingga diperoleh 2๐๐(๐ฅ, ๐ง) โ |๐ฅ| โ |๐ง| โค 2๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ |๐ฅ| โ |๐ฆ|
+2๐๐(๐ฆ, ๐ง) โ |๐ฆ| โ |๐ง| = 2๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) + 2๐๐(๐ฆ, ๐ง)
โ2|๐ฆ| โ |๐ฅ| โ |๐ง| untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ ๐, maka
2๐๐(๐ฅ, ๐ง) โค 2๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) + 2๐๐(๐ฆ, ๐ง) โ 2|๐ฆ|.
34
Dari (4.3), |๐ฆ| = ๐๐(๐ฆ, ๐ฆ), sehingga 2๐๐(๐ฅ, ๐ง) โค 2๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) + 2๐๐(๐ฆ, ๐ง) โ 2|๐ฆ|
= 2๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) + 2๐๐(๐ฆ, ๐ง) โ 2๐๐(๐ฆ, ๐ฆ) atau ๐๐(๐ฅ, ๐ง) โค ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) + ๐๐(๐ฆ, ๐ง) โ ๐๐(๐ฆ, ๐ฆ) untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ ๐, artinya๐๐ memenuhi (P4).
Terbukti bahwa ๐๐ memenuhi (P1), (P2), (P3) dan (P4) untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ ๐, maka ๐๐ adalah metrik parsial pada ๐. โ
4.2 Pemetaan Kontraktif Lemah dan Pemetaan Kannan Lemah pada Ruang Metrik Parsial Pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik dan
pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik adalah dua bentuk pemetaan yang merupakan hasil perluasan pemetaan kontraktif pada ruang metrik. Pemetaan kontraktif pada ruang metrik kemudian dikonstruksi ke dalam ruang metrik parsial oleh Matthews [4]. Matthews menjamin keberadaan dan ketunggalan titik tetap pemetaan ๐ jika ๐ merupakan pemetaan kontraktif.
Hasil konstruksi yang dilakukan Matthews diterapkan oleh Maryam A Alghamdi, Naseer Shahzad dan Oscar Valero [2] ke dalam pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial artinya dijamin juga keberadaan dan ketunggalan titik tetap kedua pemetaan tersebut sebab kedua pemetaan tersebut merupakan hasil perluasan pemetaan kontraktif pada ruang metrik parsial. Oleh karena itu, jika pemetaan ๐ bukan merupakan pemetaan kontraktif lemah maka tidak dijamin keberadaan dan ketunggalan titik tetap ๐. Begitu pula jika ๐ bukan merupakan pemetaan Kannan lemah maka tidak dijamin keberadaan dan ketunggalan titik tetap ๐.
Dari Teorema 4.1.1, diperoleh bahwa ๐๐ adalah metrik pada ๐, sehingga didefinisikan pemetaan kontraktif lemah pada
35
(๐, ๐๐) seperti pada Definisi 2.2.4. Begitu pula pada kasus ruang metrik parsial. Dari Teorema 4.1.1, terlihat bahwa ๐ adalah metrik parsial pada ๐, sehingga berdasarkan [2], diperoleh definisi pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik parsial sebagai berikut.
Definisi 4.2.1. Diberikan (๐, ๐) ruang metrik parsial.
Pemetaan ๐: ๐ โ ๐ dinamakan pemetaan kontraktif lemah jika
terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ: ๐ x ๐ โ [0,1) sedemikian hingga untuk setiap 0 โค
๐ โค ๐, ๐ ๐ข๐{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ): ๐ โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐} < 1
dan
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)๐(๐ฅ, ๐ฆ)
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐.
Dari [2], terdapat contoh pemetaan yang merupakan pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik parsial namun bukan merupakan pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik.
Di bawah ini ditunjukkan contoh pemetaan yang merupakan pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik parsial.
Contoh 4.2.2. Diberikan ๐ metrik parsial, dengan ๐: [0,1] x [0,1] โ [0,1] didefinisikan sebagai ๐(๐ฅ, ๐ฆ) =
๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฆ} untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1]. Jika fungsi ๐: [0,1] โ [0,1]
dengan ๐(๐ฅ) =๐ฅ2
2 untuk setiap ๐ฅ โ [0,1] dan fungsi
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ: [0,1] x [0,1] โ [0,1) dengan ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ) =1
2 untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ
[0,1], maka ๐ merupakan pemetaan kontraktif lemah pada
36
ruang metrik parsial ([0,1], ๐). Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut.
Terlihat bahwa terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ yang memenuhi Definisi 4.2.1, yaitu
sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ):
๐ โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐} = sup {
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ):
๐ โค max{๐ฅ, ๐ฆ} โค ๐}}
=1
2
< 1 untuk setiap 0 โค ๐ โค ๐, sehingga
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) = ๐(๐ฅ2
2,๐ฆ2
2)
= max {๐ฅ2
2,๐ฆ2
2}
=1
2max{๐ฅ2, ๐ฆ2}
=1
2(max{๐ฅ, ๐ฆ})2
โค1
2max{๐ฅ, ๐ฆ}
= ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)๐(๐ฅ, ๐ฆ) untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1]. Artinya, ๐ merupakan pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik parsial ([0,1], ๐).
Selanjutnya, ditunjukkan contoh pemetaan yang bukan merupakan pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik.
Contoh 4.2.3. Diberikan fungsi ๐๐: [0,1] x [0,1] โ [0,1] dengan ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) = |๐ฅ โ ๐ฆ| untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1] dan ๐
adalah metrik parsial, ๐: [0,1] x [0,1] โ [0,1] yang didefinisikan sebagai ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฆ} untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ
37
[0,1]. Jika fungsi ๐: [0,1] โ [0,1] dengan ๐(๐ฅ) =๐ฅ2
2 untuk
setiap ๐ฅ โ [0,1] dan fungsi ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ: [0,1] x [0,1] โ [0,1) dengan ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ) =
1
2 untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1], maka ๐ bukan merupakan
pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik ([0,1], ๐๐). Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut.
Andaikan ๐ merupakan pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik ([0,1], ๐๐), maka terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ yang memenuhi Definisi 2.2.4, yaitu
sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ):
๐ โค ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐} = sup {
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ):
๐ โค |๐ฅ โ ๐ฆ| โค ๐}
=1
2
< 1 untuk setiap 0 โค ๐ โค ๐, sehingga
๐๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) = |๐ฅ2
2โ
๐ฆ2
2 |
= |๐ฅ2 โ ๐ฆ2
2|
= |(๐ฅ + ๐ฆ)(๐ฅ โ ๐ฆ)
2|
= |๐ฅ + ๐ฆ
2| |๐ฅ โ ๐ฆ|
=๐ฅ + ๐ฆ
2|๐ฅ โ ๐ฆ|
โค1
2|๐ฅ โ ๐ฆ|
= ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)|๐ฅ โ ๐ฆ| = ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)
38
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1]. Jadi, diperoleh ๐ฅ+๐ฆ
2โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ) untuk
setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1]. Selanjutnya, diambil sembarang ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1] dengan ๐ฅ = 1 dan ๐ฆ = 1, sehingga
๐ฅ + ๐ฆ
2=
1 + 1
2
= 1 โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ) = ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(1,1).
Hal ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ) < 1. Akibatnya, ๐ bukan merupakan pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik ([0,1], ๐๐).
Seperti pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik parsial yang tidak jauh berbeda dengan pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik, pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial juga tidak jauh berbeda dengan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik. Dari Teorema 4.1.1, diperoleh bahwa ๐๐ adalah metrik pada ๐, sehingga didefinisikan pemetaan Kannan lemah pada (๐, ๐๐) seperti pada Definisi 2.2.6. Begitu pula pada kasus ruang metrik parsial. Karena ๐ adalah metrik parsial pada ๐, sehingga berdasarkan [2], diperoleh definisi pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial sebagai berikut.
Definisi 4.2.4. Diberikan (๐, ๐) ruang metrik parsial.
Pemetaan ๐: ๐ โ ๐ dinamakan pemetaan Kannan lemah jika
terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ: ๐ x ๐ โ [0,1) sedemikian hingga untuk setiap 0 โค
๐ โค ๐, ๐ ๐ข๐{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ): ๐ โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐} < 1
dan
39
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) โค๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)
2[๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ)) + ๐(๐ฆ, ๐(๐ฆ))]
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐.
Dari [2], terdapat contoh pemetaan yang merupakan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial namun bukan merupakan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik.
Di bawah ini ditunjukkan contoh pemetaan yang merupakan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial.
Contoh 4.2.5. Diberikan ๐ metrik parsial, dengan ๐: [0,1] x [0,1] โ [0,1] yang didefinisikan sebagai ๐(๐ฅ, ๐ฆ) =
๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฆ} untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1]. Jika fungsi ๐: [0,1] โ [0,1]
dengan ๐(๐ฅ) =๐ฅ2
๐ฅ+1 untuk setiap ๐ฅ โ [0,1] dan fungsi
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ: [0,1] x [0,1] โ [0,1) dengan
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ) = {
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ))
๐(๐ฅ, ๐ฆ) , ๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฆ} โ 0
0 , ๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฆ} = 0
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1], maka ๐ merupakan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial ([0,1], ๐). Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut.
Karena fungsi ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ didefinisikan seperti pada Contoh 4.2.5, maka
diperoleh ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ) =๐(๐(๐ฅ),๐(๐ฆ))
๐(๐ฅ,๐ฆ)โค
1
2 untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1].
Selanjutnya, dapat ditunjukkan bahwa terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ yang memenuhi Definisi 4.2.4, yaitu
sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ):
๐ โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐} = sup {
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ):
๐ โค max{๐ฅ, ๐ฆ} โค ๐}
40
=1
2
< 1 untuk setiap 0 โค ๐ โค ๐, sehingga
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) = ๐(๐ฅ2
๐ฅ + 1,
๐ฆ2
๐ฆ + 1)
= max {๐ฅ2
๐ฅ + 1,
๐ฆ2
๐ฆ + 1}
โค๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)
2[๐ฅ + ๐ฆ]
=๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)
2
[ max {๐ฅ,
๐ฅ2
๐ฅ + 1}
+max {๐ฆ,๐ฆ2
๐ฆ + 1}]
=๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)
2[๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ))+๐(๐ฆ, ๐(๐ฆ))]
โค1
2โ
2 [๐ฅ + ๐ฆ]
=1
4[๐ฅ + ๐ฆ]
=1
4[max {๐ฅ,
๐ฅ2
๐ฅ + 1} + max{๐ฆ,
๐ฆ2
๐ฆ + 1}]
=1
4[๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ))+๐(๐ฆ, ๐(๐ฆ))]
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐. Artinya, ๐ merupakan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial ([0,1], ๐).
Selanjutnya, ditunjukkan contoh pemetaan yang bukan merupakan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik.
41
Contoh 4.2.6. Diberikan ๐๐ metrik, dengan ๐๐: [0,1] x [0,1] โ
[0,1] didefinisikan sebagai ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) = |๐ฅ โ ๐ฆ| untuk setiap
๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1]. Jika fungsi ๐: [0,1] โ [0,1] dengan ๐(๐ฅ) =๐ฅ2
๐ฅ+1
untuk setiap ๐ฅ โ [0,1] dan fungsi ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ: [0,1] x [0,1] โ [0,1) dengan
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ) = {
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ))
๐(๐ฅ, ๐ฆ) , ๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฆ} โ 0
0 , ๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฆ} = 0
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1] dengan ๐ metrik parsial, ๐: [0,1] x [0,1] โ [0,1] yang didefinisikan sebagai ๐(๐ฅ, ๐ฆ) =
๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฆ} untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1], maka ๐ bukan merupakan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik ([0,1], ๐๐). Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut.
Karena fungsi ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ didefinisikan seperti pada Contoh 4.2.6, maka
diperoleh ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ) =๐(๐(๐ฅ),๐(๐ฆ))
๐(๐ฅ,๐ฆ)โค
1
2 untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1].
Andaikan ๐ merupakan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik ([0,1], ๐๐), maka terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ yang memenuhi Definisi 2.2.6, yaitu
sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ):
๐ โค ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐} = sup {
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ):
๐ โค |๐ฅ โ ๐ฆ| โค ๐}
=1
2
< 1 untuk setiap 0 โค ๐ โค ๐, sehingga
๐๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) = |๐ฅ2
๐ฅ + 1 โ
๐ฆ2
๐ฆ + 1|
= |๐ฅ2(๐ฆ + 1) โ ๐ฆ2(๐ฅ + 1)
(๐ฅ + 1)(๐ฆ + 1)|
42
โค๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)
2[|
๐ฅ
๐ฅ + 1| + |
๐ฆ
๐ฆ + 1|]
=๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)
2
[ |
๐ฅ(๐ฅ + 1) โ ๐ฅ2
๐ฅ + 1|
+ |๐ฆ(๐ฆ + 1) โ ๐ฆ2
๐ฆ + 1|]
=๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)
2[|๐ฅ โ
๐ฅ2
๐ฅ + 1|+ |๐ฆ โ
๐ฆ2
๐ฆ + 1|]
=๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)
2[๐๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ))+๐๐(๐ฆ, ๐(๐ฆ))]
โค1
2โ
2 [|
๐ฅ
๐ฅ + 1| + |
๐ฆ
๐ฆ + 1|]
=1
4[|
๐ฅ
๐ฅ + 1| + |
๐ฆ
๐ฆ + 1|]
=1
4
[ |
๐ฅ(๐ฅ + 1) โ ๐ฅ2
๐ฅ + 1|
+ |๐ฆ(๐ฆ + 1) โ ๐ฆ2
๐ฆ + 1|]
=1
4[|๐ฅ โ
๐ฅ2
๐ฅ + 1| + |๐ฆ โ
๐ฆ2
๐ฆ + 1|]
=1
4[๐๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ)) +๐๐(๐ฆ, ๐(๐ฆ))]
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1]. Selanjutnya, diambil sembarang ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1] dengan ๐ฅ = 1 dan ๐ฆ = 0, maka diperoleh
๐๐(๐(1), ๐(0)) = |12
1 + 1 โ 0 |
= |1
2|
=1
2
43
โค๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(1,0)
4
=๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(1,0)
2 1
2
=๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(1,0)
2|1
2|
=๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(1,0)
2[|1 โ
1
2|]
=๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(1,0)
2[|1 โ ๐(1)| + |0 โ ๐(0)|]
=๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(1,0)
2[๐๐(1, ๐(1)) + ๐๐(0, ๐(0))]
sehingga 12โค
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(1,0)
4 atau 2 โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(1,0). Hal ini kontradiksi dengan
kenyataan bahwa ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ) < 1 untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1]. Akibatnya, ๐ bukan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik ([0,1], ๐๐).
4.3 Teorema Titik Tetap Pemetaan Kontraktif Lemah dan Pemetaan Kannan Lemah pada Ruang Metrik Parsial Teorema titik tetap merupakan objek yang dikaji pada
ruang metrik parsial sebab dengan mengkaji teorema titik tetap dapat dijamin keberadaan dan ketunggalan titik tetap pada ruang metrik parsial. Melalui teorema titik tetap pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah, dibuktikan bahwa terdapat titik tetap yang tunggal pada ruang metrik parsial.
Berdasarkan [2], dengan menggunakan ๐ dan ๐๐ yang memberikan analogi antara ruang metrik dan ruang metrik parsial seperti pada Teorema 4.1.1, dibuktikan teorema titik tetap pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial. Sebelum membuktikan teorema titik
44
tetap, dibuktikan beberapa lemma yang dibutuhkan pada proses pembuktian teorema titik tetap tersebut.
Lemma 4.3.1. Diberikan (๐, ๐) ruang metrik parsial lengkap
dan ๐: ๐ โ ๐ merupakan pemetaan sedemikian hingga
terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ: ๐ x ๐ โ [0,1] dengan ๐ ๐ข๐{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ): ๐ โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค
๐} < 1 untuk setiap 0 โค ๐ โค ๐, dan
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐๐ฅ {๐(๐ฅ, ๐ฆ),1
2[
๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ))
+๐(๐ฆ, ๐(๐ฆ))]}
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐. Jika ๐ฅ โ ๐ memenuhi barisan {๐ฅ๐}
dengan ๐ฅ๐ = ๐(๐ฅ๐โ1) = ๐๐(๐ฅ0), maka
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1) โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)
untuk setiap ๐ โ โ.
Bukti: Pertama-tama, diambil sembarang ๐ฅ0 โ ๐. Didefinisikan barisan {๐ฅ๐} dengan ๐ฅ๐ = ๐(๐ฅ๐โ1) = ๐๐(๐ฅ0) dan ๐ฅ๐ โ ๐ฅ๐+1 untuk setiap ๐ โ โ. Misalkan, ๐ฅ๐ = ๐(๐ฅ๐โ1) = ๐(๐ฅ) dan
๐ฅ๐+1 = ๐(๐ฅ๐) = ๐(๐(๐ฅ๐โ1)) = ๐(๐(๐ฅ)) = ๐(๐ฆ), maka ๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) = ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1)
= ๐(๐(๐ฅ๐โ1), ๐(๐ฅ๐)) โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)max{๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐),
1
2[๐(๐ฅ๐โ1, ๐(๐ฅ๐โ1)) + ๐(๐ฅ๐, ๐(๐ฅ๐))]}
= ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)max{๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐),
1
2[๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) + ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1)]} (4.12)
45
Selanjutnya, dibuktikan bahwa untuk setiap ๐ โ โ memenuhi (4.12). Untuk membuktikan bahwa setiap ๐ โ โ memenuhi (4.12), maka dapat dibagi menjadi dua kasus:
1. Jika max {๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐),1
2[๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) + ๐(๐ฅ๐ , ๐ฅ๐+1)]}
adalah ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐), maka ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1) โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) (4.13)
2. Jika max {๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐),1
2[๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) + ๐(๐ฅ๐ , ๐ฅ๐+1)]}
adalah 12[๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) + ๐(๐ฅ๐ , ๐ฅ๐+1)], maka
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1) โค๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)
2[๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) + ๐(๐ฅ๐ , ๐ฅ๐+1)]
=๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)
2๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)
+๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)
2๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1)
sehingga
1 โ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)
2๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1) โค
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)
2
๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) atau
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1) โค๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1,๐ฅ๐)
2โ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1,๐ฅ๐)๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) (4.14)
Dari dua kasus di atas, terlihat bahwa untuk setiap ๐ โ โ memenuhi (4.13) dan (4.14), sehingga
๐(๐ฅ๐ , ๐ฅ๐+1) โค๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)
2 โ ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)
โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐). Terbukti bahwa setiap ๐ โ โ,
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1) โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) dengan 0 โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค 1. โ
46
Lemma 4.3.2. Diberikan (๐, ๐) ruang metrik parsial lengkap
dan ๐: ๐ โ ๐ merupakan pemetaan sedemikian hingga
terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ: ๐ x ๐ โ [0,1] dengan ๐ ๐ข๐{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ): ๐ โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค
๐} < 1 untuk setiap 0 โค ๐ โค ๐, dan
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐๐ฅ {๐(๐ฅ, ๐ฆ),1
2[
๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ))
+๐(๐ฆ, ๐(๐ฆ))]}
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐. Jika {๐(๐ฅ๐ , ๐ฅ๐+1)}๐โโ barisan pada ๐
dengan ๐ฅ๐ = ๐(๐ฅ๐โ1) = ๐๐(๐ฅ0) dan ๐ฅ๐ โ ๐ฅ๐+1, maka {๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1)}๐โโ konvergen ke bilangan real ๐ = 0 dengan
kata lain ๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1) = 0.
Bukti: Jika {๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1)}๐โโ barisan pada ๐ dengan ๐ฅ๐ = ๐(๐ฅ๐โ1) =
๐๐(๐ฅ0) dan ๐ฅ๐ โ ๐ฅ๐+1, maka dibuktikan bahwa {๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1)}๐โโ konvergen ke bilangan real ๐ = 0. Dibuktikan dengan kontradiksi. Andaikan ๐ > 0, berdasarkan Lemma 4.3.1, diperoleh
0 < ๐ โค ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1) โค ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค โฏ โค ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1) untuk setiap ๐ โ โ. Misalkan, ๐ = ๐ dan ๐ = ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1), maka
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐):
๐ โค ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)},
sehingga ๐ โค ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1) โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)
โค (sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐):
๐ โค ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)})
๐
๐(๐ฅ0, ๐ฅ1) (4.15)
untuk setiap ๐ โ โ. Hal ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa
0 โค sup{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐): ๐ โค ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)} < 1. Oleh karena itu,
47
lim๐โโ
(sup{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐): ๐ โค ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)})๐ = 0,
maka satu-satunya yang benar adalah ๐ = 0 dan lim๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1) = 0.
Terbukti bahwa {๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1)}๐โโ konvergen ke ๐ = 0. โ
Lemma 4.3.3. Diberikan (๐, ๐) ruang metrik parsial lengkap
dan ๐: ๐ โ ๐ merupakan pemetaan sedemikian hingga
terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ: ๐ x ๐ โ [0,1] dengan ๐ ๐ข๐{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ): ๐ โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค
๐} < 1 untuk setiap 0 โค ๐ โค ๐, dan
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐๐ฅ {๐(๐ฅ, ๐ฆ),1
2[
๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ))
+๐(๐ฆ, ๐(๐ฆ))]}
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐. Fungsi ๐ dikatakan memiliki titik tetap
๐ฅโ โ ๐ jika ๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) = 0 sehingga berakibat ๐ฅโ = ๐(๐ฅโ).
Bukti: Dibuktikan bahwa ๐ memiliki titik tetap pada (๐, ๐). Dengan kata lain ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) = ๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) = ๐(๐(๐ฅโ), ๐(๐ฅโ)) = 0. Dibuktikan dengan kontradiksi. Andaikan ๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) > 0. Karena ๐ adalah metrik parsial pada ๐ sehingga ๐ memenuhi (P4), maka diperoleh
๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) โค ๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅ๐)) + ๐(๐(๐ฅ๐), ๐(๐ฅโ)) โ๐(๐(๐ฅ๐), ๐(๐ฅ๐))
sehingga ๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) โค ๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅ๐)) + ๐(๐(๐ฅ๐), ๐(๐ฅโ))
โ๐(๐(๐ฅ๐), ๐(๐ฅ๐)) โค ๐(๐ฅโ, ๐ฅ๐+1) + ๐(๐(๐ฅ๐), ๐(๐ฅโ)) โค ๐(๐ฅโ, ๐ฅ๐+1) + ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐, ๐ฅโ)
48
max{๐(๐ฅ๐, ๐ฅโ),1
2[๐(๐ฅ๐, ๐(๐ฅ๐))
+๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ))]}
โค ๐(๐ฅโ, ๐ฅ๐+1)
+max {๐(๐ฅ๐, ๐ฅโ),1
2[
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1)
+๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ))]} (4.16)
untuk setiap ๐ โ โ dengan ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐, ๐ฅโ) โ [0,1]. Jika ๐ โ โ, dari (4.16), diperoleh ๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) โค
1
2๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)). Namun,
๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) โค1
2๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) tidak mungkin terpenuhi sebab
๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) > 0, sehingga satu-satunya yang benar adalah ๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) = 0. Karena ๐ adalah metrik parsial, maka ๐ memenuhi (P3) dan (P2), sehingga diperoleh ๐(๐(๐ฅโ), ๐(๐ฅโ)) = 0 dan ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) = 0. Karena ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) =
๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) = ๐(๐(๐ฅโ), ๐(๐ฅโ)) = 0, maka ๐ฅโ = ๐(๐ฅโ) sebab ๐ memenuhi (P1).
Terbukti bahwa ๐ memiliki titik tetap ๐ฅโ = ๐(๐ฅโ) โ ๐. โ
Lemma 4.3.4. Diberikan (๐, ๐) ruang metrik parsial lengkap
dan ๐: ๐ โ ๐ merupakan pemetaan sedemikian hingga
terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ: ๐ x ๐ โ [0,1] dengan ๐ ๐ข๐{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ): ๐ โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค
๐} < 1 untuk setiap 0 โค ๐ โค ๐, dan
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐๐ฅ {๐(๐ฅ, ๐ฆ),1
2[
๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ))
+๐(๐ฆ, ๐(๐ฆ))]}
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐. Fungsi ๐ dikatakan memiliki titik tetap
tunggal ๐ฅโ = ๐(๐ฅโ) โ ๐ jika terdapat titik tetap yang lain,
misal ๐ง โ ๐, sedemikian hingga ๐(๐ฅโ, ๐ง) = 0 atau ๐ง = ๐ฅโ =
๐(๐ฅโ) โ ๐.
Bukti:
49
Dibuktikan bahwa ๐ memiliki titik tetap yang tunggal ๐ฅโ =
๐(๐ฅโ) โ ๐. Dibuktikan dengan kontradiksi, misalkan terdapat titik tetap yang lain dari fungsi ๐, yaitu ๐ง โ ๐. Artinya, ๐ง =
๐(๐ง) dengan ๐ง โ ๐ฅโ sehingga ๐(๐ฅโ, ๐ง) > 0, maka diperoleh
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง) โค sup{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง):
๐(๐ฅโ,๐ง)
2โค ๐(๐ฅโ, ๐ง) โค ๐(๐ฅโ, ๐ง)
} < 1.
Karena ๐ adalah metrik parsial, maka ๐ memenuhi (P2), sehingga diperoleh
๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) = 0 < ๐(๐ฅโ, ๐ง) dan ๐(๐ง, ๐ง) < ๐(๐ฅโ, ๐ง), maka ๐(๐ฅโ, ๐ง) = ๐(๐(๐ฅโ), ๐(๐ง))
โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง)max {๐(๐ฅโ, ๐ง),
1
2[๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) + ๐(๐ง, ๐(๐ง))]
}
= ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง)max {๐(๐ฅโ, ๐ง),
1
2[๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) + ๐(๐ง, ๐ง)]
}
โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง) ๐(๐ฅโ, ๐ง). (4.17) Karena
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง) โค sup{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง):
๐(๐ฅโ, ๐ง)
2โค ๐(๐ฅโ, ๐ง) โค ๐(๐ฅโ, ๐ง)
} < 1
maka (4.17) menjadi ๐(๐ฅโ, ๐ง) = ๐(๐(๐ฅโ), ๐(๐ง))
โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง)max {๐(๐ฅโ, ๐ง),
1
2[๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) + ๐(๐ง, ๐(๐ง))]
}
= ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง)max {๐(๐ฅโ, ๐ง),
1
2[๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) + ๐(๐ง, ๐ง)]
}
โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง) ๐(๐ฅโ, ๐ง)
50
โค sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง):
๐(๐ฅโ,๐ง)
2โค ๐(๐ฅโ, ๐ง) โค ๐(๐ฅโ, ๐ง)
} ๐(๐ฅโ, ๐ง)(4.18)
Karena ๐ฅโ dan ๐ง adalah titik tetap dari ๐, maka ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) =
๐(๐ง, ๐ง) = 0, sehingga (4.18) menjadi ๐(๐ฅโ, ๐ง) = ๐(๐(๐ฅโ), ๐(๐ง))
โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง)max {๐(๐ฅโ, ๐ง),
1
2[๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) + ๐(๐ง, ๐(๐ง))]
}
= ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง)max {๐(๐ฅโ, ๐ง),
1
2[๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) + ๐(๐ง, ๐ง)]
}
= ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง)max{๐(๐ฅโ, ๐ง), 0} โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง) ๐(๐ฅโ, ๐ง)
โค sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง):
๐(๐ฅโ,๐ง)
2โค ๐(๐ฅโ, ๐ง) โค ๐(๐ฅโ, ๐ง)
} ๐(๐ฅโ, ๐ง).
Hal ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa ๐(๐ฅโ, ๐ง) > 0 dan
sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง):๐(๐ฅโ,๐ง)
2โค ๐(๐ฅโ, ๐ง) โค ๐(๐ฅโ, ๐ง)} < 1.
Jadi, terbukti bahwa ๐ memiliki titik tetap tunggal, yaitu ๐ง =
๐ฅโ = ๐(๐ฅโ) โ ๐. โ
Lemma-lemma di atas, selanjutnya digunakan dalam pembuktian Teorema 4.3.5 berikut ini.
Teorema 4.3.5 (Teorema Pemetaan Kontraktif Lemah dan Pemetaan Kannan Lemah pada Ruang Metrik Parsial). Diberikan ๐ โ โ . Jika (๐, ๐) adalah ruang metrik parsial
lengkap dan ๐: ๐ โ ๐ merupakan pemetaan sedemikian
hingga terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ: ๐ x ๐ โ [0,1] dengan ๐ ๐ข๐{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ): ๐ โค
๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐} < 1 untuk setiap 0 โค ๐ โค ๐, sehingga
51
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐๐ฅ {๐(๐ฅ, ๐ฆ),1
2[
๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ))
+๐(๐ฆ, ๐(๐ฆ))]}(4.19)
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐, maka ๐ memiliki titik tetap yang tunggal
๐ฅโ โ ๐ dan barisan {๐๐(๐ฅ0)}๐โโ konvergen ke ๐ฅโ โ ๐ untuk
setiap ๐ฅ0 โ ๐, sehingga ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) = 0.
Bukti: Langkah pertama, ditunjukkan bahwa untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐ memenuhi (4.19). Diambil sembarang ๐ฅ0 โ ๐. Didefinisikan barisan {๐ฅ๐} dengan ๐ฅ๐ = ๐(๐ฅ๐โ1) = ๐๐(๐ฅ0) dan ๐ฅ๐ โ ๐ฅ๐+1 untuk setiap ๐ โ โ. Misalkan, ๐ฅ๐ = ๐(๐ฅ๐โ1) = ๐(๐ฅ) dan ๐ฅ๐+1 = ๐(๐ฅ๐) = ๐(๐(๐ฅ๐โ1)) = ๐(๐(๐ฅ)) = ๐(๐ฆ), maka berdasarkan Lemma 4.3.1, diperoleh bahwa ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1) โค
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) dengan 0 โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค 1, artinya untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐ memenuhi (4.19). Karena 0 โค
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค 1, akibatnya barisan {๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1)}๐โโ tidak naik, sehingga barisan tersebut konvergen ke bilangan real ๐ =
inf {๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)}๐โโ = 0.
Langkah kedua, ditunjukkan bahwa barisan {๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1)}๐โโ konvergen ke ๐ = 0. Jika {๐(๐ฅ๐ , ๐ฅ๐+1)}๐โโ barisan pada ๐ dengan ๐ฅ๐ = ๐(๐ฅ๐โ1) = ๐๐(๐ฅ0) dan ๐ฅ๐ โ ๐ฅ๐+1, maka dari Lemma 4.3.2, terlihat bahwa {๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1)}๐โโ konvergen ke ๐ = 0 dengan kata lain lim
๐โโ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1) = 0.
Langkah ketiga, ditunjukkan bahwa {๐ฅ๐} adalah barisan Cauchy pada (๐, ๐). Terlebih dahulu, ditunjukkan bahwa {๐ฅ๐} adalah barisan Cauchy pada (๐, ๐๐) dengan ๐๐ adalah metrik yang didefinisikan pada (4.1). Berdasarkan Lemma 4.3.2, lim๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1) = 0, sehingga lim๐โโ
๐๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1) = 0 sebab
52
๐๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1) โค 2๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1) untuk setiap ๐ โ โ. (4.20) Karena ๐ adalah metrik parsial, maka ๐ memenuhi (P2) sehingga untuk setiap ๐ โ โ,
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) โค ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1), (4.21) maka diperoleh lim
๐โโ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) = 0.
๐๐ adalah metrik sehingga memenuhi (D4). Dari (4.15) dan (4.20), maka untuk ๐ โ โ, ๐๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+๐) โค ๐๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1) + โฏ+ ๐๐(๐ฅ๐+๐โ1, ๐ฅ๐+๐)
โค 2๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)
(sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐):
0 โค ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)})
๐
+โฏ+ 2๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)
(sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐):
0 โค ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)})
๐+๐โ1
โค 2๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)
โ (sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐):
0 โค ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)})
๐ก
๐+๐โ1
๐ก=๐
โค 2๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)
(
(sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐):
0 โค ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)})
๐
1 โ sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐):
0 โค ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)})
dengan (sup{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐): 0 โค ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)})
๐
1 โ sup{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐): 0 โค ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)}๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)
merupakan jumlahan dari semua suku deret geometri
โ (sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐):
0 โค ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)})
๐ก
๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)
๐+๐โ1
๐ก=๐
53
yang memiliki suku awal, yaitu (sup{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐): 0 โค ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)})
๐๐(๐ฅ0, ๐ฅ1) dan rasionya adalah
sup{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐): 0 โค ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)} < 1). Hal ini menunjukkan bahwa {๐ฅ๐} adalah barisan Cauchy pada (๐, ๐๐) untuk setiap ๐ โ โ. Karena {๐ฅ๐} adalah barisan Cauchy pada (๐, ๐๐), maka berdasarkan Lemma 4.1.2, diperoleh bahwa {๐ฅ๐} adalah barisan Cauchy pada (๐, ๐) untuk setiap ๐ โ โ.
Langkah keempat, ditunjukkan bahwa {๐ฅ๐} konvergen ke ๐ฅโ โ
๐ pada (๐, ๐). Karena (๐, ๐) adalah ruang metrik parsial lengkap, dari Lemma 4.1.3, diperoleh bahwa (๐, ๐๐) adalah ruang metrik lengkap, sehingga lim
๐โโ๐๐(๐ฅ๐, ๐ฅโ) = 0 jika dan
hanya jika ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) = lim
๐โโ๐(๐ฅ๐, ๐ฅโ) = lim
๐,๐โโ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) (4.22)
untuk setiap ๐,๐ โ โ. Hal ini menunjukkan bahwa {๐ฅ๐} konvergen ke ๐ฅโ โ ๐ pada (๐, ๐) untuk setiap ๐ โ โ. Karena {๐ฅ๐} adalah barisan Cauchy pada (๐, ๐๐), maka diperoleh lim
๐,๐โโ๐๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) = 0 untuk ๐,๐ โ โ. Dari (4.21), diperoleh
lim๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) = 0, dan dari definisi ๐๐ pada (4.1), diperoleh
lim๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) = 0, sehingga (4.22) menjadi ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) =
lim๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅโ) = lim๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) = 0 untuk setiap ๐,๐ โ โ.
Langkah kelima, dibuktikan bahwa ๐ memiliki titik tetap pada (๐, ๐). Karena ๐ memenuhi (4.19) untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐, maka berdasarkan Lemma 4.3.3, ๐ memiliki titik tetap ๐ฅโ โ ๐
sedemikian hingga ๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) = 0 sehingga berakibat ๐ฅโ =
๐(๐ฅโ). Karena ๐ memiliki titik tetap ๐ฅโ โ ๐, maka barisan
54
{๐ฅ๐ = ๐๐(๐ฅ0)}๐โโ konvergen ke ๐ฅโ โ ๐ untuk setiap ๐ฅ0 โ ๐ atau ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) = 0.
Langkah terakhir, dibuktikan bahwa ๐ memiliki titik tetap tunggal ๐ฅโ = ๐(๐ฅโ) โ ๐ pada (๐, ๐). Karena ๐ memenuhi (4.19) untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐, maka berdasarkan Lemma 4.3.4, ๐ memiliki titik tetap yang tunggal ๐ฅโ = ๐(๐ฅโ) โ ๐. โ
Selanjutnya, ditunjukkan contoh Teorema 4.3.5 dengan mendefinisikan pemetaan ๐ pada [0,1] dan ๐ metrik parsial yang didefinisikan sebagai ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = max{๐ฅ, ๐ฆ} untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1] . Contoh tersebut dapat dilihat di bawah ini.
Contoh 4.3.6. Diberikan ([0,1], ๐) ruang metrik parsial lengkap dengan ๐: [0,1] x [0,1] โ [0,1] yang didefinisikan sebagai ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฆ} untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1]. Jika fungsi ๐: [0,1] โ [0,1] dengan ๐(๐ฅ) =
๐ฅ
8 untuk setiap ๐ฅ โ [0,1] dan
fungsi ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ: [0,1] x [0,1] โ [0,1] dengan ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ) =1
2 untuk setiap
๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1], maka ๐ memiliki titik tetap tungggal ๐ฅโ = 0 โ
[0,1]. Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut.
Pertama-tama diselidiki bahwa ๐ merupakan pemetaan kontraktif lemah pada ([0,1], ๐). Dapat ditunjukkan bahwa terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ yang memenuhi Definisi 4.2.1, yaitu
sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ):
๐ โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐} = sup {
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ):
๐ โค max{๐ฅ, ๐ฆ} โค ๐}}
=1
2
< 1 untuk setiap 0 โค ๐ โค ๐, sehingga
55
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) = ๐ (๐ฅ
8,๐ฆ
8)
= max {๐ฅ
8,๐ฆ
8}
=1
8max{๐ฅ, ๐ฆ}
โค1
2max{๐ฅ, ๐ฆ}
= ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)๐(๐ฅ, ๐ฆ) untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1].
Selanjutnya, diselidiki bahwa ๐ merupakan pemetaan Kannan lemah pada ([0,1], ๐). Dapat ditunjukkan bahwa terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ yang memenuhi Definisi 4.2.4, yaitu
sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ):
๐ โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐} = sup {
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ):
๐ โค max{๐ฅ, ๐ฆ} โค ๐}}
=1
2
< 1 untuk setiap 0 โค ๐ โค ๐, sehingga
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) = ๐ (๐ฅ
8,๐ฆ
8)
= max {๐ฅ
8,๐ฆ
8}
=1
8max{๐ฅ, ๐ฆ}
โค1
4[๐ฅ + ๐ฆ]
=1
2โ
2[max {๐ฅ,
๐ฅ
8} + max {๐ฆ,
๐ฆ
8}]
=๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)
2[๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ)) + ๐(๐ฆ, ๐(๐ฆ))]
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1].
56
Karena ๐ merupakan pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ([0,1], ๐), maka dengan menggunakan Teorema 4.3.5, dicari titik tetap dari ๐, yaitu ๐ฅโ โ [0,1] dan dibuktikan bahwa ๐ฅโ bernilai tunggal.
Dari dua penyelidikan sebelumnya, diperoleh bahwa ๐ merupakan pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ([0,1], ๐), artinya terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ sedemikian hingga
sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ):
๐ โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐} = sup {
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ):
๐ โค max{๐ฅ, ๐ฆ} โค ๐}}
=1
2
< 1 untuk setiap 0 โค ๐ โค ๐, sehingga
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) = ๐ (๐ฅ
8,๐ฆ
8)
= max {๐ฅ
8,๐ฆ
8}
=1
8max{๐ฅ, ๐ฆ}
โค1
2max {max{๐ฅ, ๐ฆ} ,
1
2[๐ฅ + ๐ฆ]}
=1
2max{
max{๐ฅ, ๐ฆ} ,1
2[max {๐ฅ,
๐ฅ
8} + max {๐ฆ,
๐ฆ
8}]
}
= ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)max {๐(๐ฅ, ๐ฆ),
1
2[๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ)) + ๐(๐ฆ, ๐(๐ฆ))]
}
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1], maka ๐ memiliki titik tetap yang tunggal ๐ฅโ โ [0,1] dan barisan {๐๐(๐ฅ0)}๐โโ konvergen ke ๐ฅโ โ
[0,1] untuk setiap ๐ฅ0 โ [0,1] sehingga ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) = 0, seperti pada Teorema 4.3.5.
57
Kemudian, dicari ๐ฅโ โ [0,1] sedemikian hingga barisan {๐๐(๐ฅ0)}๐โโ konvergen ke ๐ฅโ โ [0,1] di ([0,1], ๐) untuk setiap ๐ฅ0 โ [0,1] dan ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) = 0. Untuk ๐ฅ0 โ [0,1], maka didefinisikan barisan {๐ฅ๐} di [0,1] dengan
๐ฅ๐ = ๐(๐ฅ๐โ1) = ๐๐(๐ฅ0) = (๐ฅ0
8)๐
untuk setiap ๐ โ โ. Diselidiki bahwa {๐ฅ๐} konvergen ke titik ๐ฅโ โ [0,1].
๐1(๐ฅ0) = ๐(๐ฅ0) =๐ฅ0
8
๐2(๐ฅ0) = ๐(๐ฅ1) = (๐ฅ0
8)2
๐3(๐ฅ0) = ๐(๐ฅ2) = (๐ฅ0
8)3
โฎ โฎ โฎ
๐๐(๐ฅ0) = ๐(๐ฅ๐โ1) = (๐ฅ0
8)๐
Ketika ๐ โ โ, maka ๐ฅ๐ = ๐๐(๐ฅ0) โ ๐ฅโ = 0. Karena ๐ฅ๐ = ๐๐(๐ฅ0) โ ๐ฅโ = 0, maka {๐ฅ๐} = {๐๐(๐ฅ0)} =
{(๐ฅ0
8)๐} untuk setiap ๐ โ โ konvergen ke titik ๐ฅโ = 0 โ [0,1]
sehingga diperoleh lim๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅโ) = ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ), seperti pada
Definisi 2.3.3 (i). Karena lim๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅโ) = lim๐โโ
๐(๐๐(๐ฅ0), ๐ฅโ)
= lim๐โโ
max{๐๐(๐ฅ0), ๐ฅโ}
= lim๐โโ
max {(๐ฅ0
8)๐
, 0}
58
= lim๐โโ
(๐ฅ0
8)๐
= 0 , maka ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) = 0.
Selanjutnya, ditunjukkan bahwa {๐ฅ๐} adalah barisan Cauchy
pada ([0,1], ๐). {๐ฅ๐} = {(๐ฅ0
8)๐} untuk setiap ๐ โ โ dikatakan
barisan Cauchy jika lim๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) ada dan berhingga, sesuai
dengan Definisi 2.3.3 (ii). Misalkan, {๐ฅ๐} = {(๐ฅ0
8)๐
} untuk setiap ๐ โ โ, maka
lim๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) = lim๐,๐โโ
๐(๐๐(๐ฅ0), ๐๐(๐ฅ0))
= lim๐,๐โโ
max{๐๐(๐ฅ0), ๐๐(๐ฅ0)}
= lim๐,๐โโ
max {(๐ฅ0
8)๐
, (๐ฅ0
8)๐
}
= 0 < โ
untuk setiap ๐ฅ0 โ [0,1], artinya untuk setiap ๐,๐ โ โ,
lim๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) ada dan berhingga, sehingga {๐ฅ๐} = {(๐ฅ0
8)๐}
adalah barisan Cauchy pada ([0,1], ๐) untuk setiap ๐ โ โ.
Kemudian, ditunjukkan bahwa ([0,1], ๐) adalah ruang metrik parsial lengkap. ([0,1], ๐) dikatakan ruang metrik parsial lengkap jika barisan Cauchy {๐ฅ๐} pada ([0,1], ๐) konvergen ke titik ๐ฅโ โ [0,1], sehingga ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) = lim
๐,๐โโ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) untuk
setiap ๐,๐ โ โ, sesuai dengan Definisi 2.3.3 (iii). Diambil sembarang {๐ฅ๐} barisan Cauchy pada ([0,1], ๐) yang konvergen ke titik ๐ฅโ โ [0,1]. Dari penyelidikan sebelumnya, diperoleh
59
{๐ฅ๐} = {(๐ฅ0
8)๐} adalah barisan Cauchy pada ([0,1], ๐) untuk
setiap ๐ โ โ. Diselidiki bahwa {๐ฅ๐} = {(๐ฅ0
8)๐} yang
merupakan barisan Cauchy pada ([0,1], ๐) konvergen ke titik ๐ฅโ โ [0,1] untuk setiap ๐ โ โ. Dari penyelidikan sebelumnya,
juga diperoleh bahwa {๐ฅ๐} = {(๐ฅ0
8)๐} konvergen ke titik ๐ฅโ =
0 โ [0,1] untuk setiap ๐ โ โ, sehingga ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) = lim
๐,๐โโ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) = 0
untuk setiap ๐,๐ โ โ. Hal ini menunjukkan bahwa ([0,1], ๐) adalah ruang metrik parsial lengkap.
Selanjutnya, ditunjukkan bahwa ๐ memiliki titik tetap, artinya ๐ฅโ = ๐(๐ฅโ). Dari penyelidikan sebelumnya diperoleh ๐ฅโ = 0 dan ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) = 0, sehingga
๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) = ๐ (๐ฅโ,๐ฅโ
8) = max {๐ฅโ,
๐ฅโ
8} = ๐ฅโ = 0
dan
๐(๐(๐ฅโ), ๐(๐ฅโ)) = ๐ (๐ฅโ
8,๐ฅโ
8) = max {
๐ฅโ
8,๐ฅโ
8} =
๐ฅโ
8 = 0.
Artinya, ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) = ๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) = ๐(๐(๐ฅโ), ๐(๐ฅโ)) = 0.
Karena ๐ adalah metrik parsial maka ๐ memenuhi (P1). Akibatnya, ๐ฅโ = ๐(๐ฅโ) = 0 โ [0,1].
Kemudian, ditunjukkan bahwa titik tetap dari ๐, yaitu ๐ฅโ =
๐(๐ฅโ) = 0 โ [0,1] merupakan titik tetap tunggal. Andaikan terdapat titik tetap yang lain, yakni ๐ง โ [0,1] dari ๐(๐ฅ) =
๐ฅ
8
untuk setiap ๐ฅ โ [0,1] dengan ๐ง โ ๐ฅโ = 0, artinya 0 < ๐ง โค 1 sehingga ๐(๐ฅโ, ๐ง) > 0. Karena ๐ฅโ dan ๐ง merupakan titik tetap-titik tetap dari ๐ maka ๐ฅโ = ๐(๐ฅโ) dan ๐ง = ๐(๐ง), sehingga
60
๐(๐ฅโ, ๐ง) = ๐(๐(๐ฅโ), ๐(๐ง)) = max{๐(๐ฅโ), ๐(๐ง)}
= max {๐ฅโ
8,๐ง
8}
= max {0,๐ง
8}
=๐ง
8
โค๐ง
2
=1
2max {๐ง,
1
2๐ง}
=1
2max {๐ง,
1
2[0 + ๐ง]}
=1
2max{
max{๐ฅโ, ๐ง} ,1
2[max {๐ฅโ,
๐ฅโ
8} + max {๐ง,
๐ง
8}]
}
=1
2max {
max{๐ฅโ, ๐ง} ,1
2[max{๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)} + max{๐ง, ๐(๐ง)}]
}
= ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)max {๐(๐ฅโ, ๐ง),
1
2[๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) + ๐(๐ง, ๐(๐ง))]
}
Hal ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa ๐(๐ฅโ, ๐ง) =
max{๐ฅโ, ๐ง} = ๐ง > 0 untuk ๐ง โ ๐ฅโ = 0, maka satu-satunya yang benar adalah ๐ฅโ = ๐(๐ฅโ) = ๐ง = 0. Artinya, ๐ memiliki titik tetap tunggal, yaitu ๐ฅโ = ๐(๐ฅโ) = 0 โ [0,1].
23
4.1 Ruang Metrik Parsial Ruang metrik parsial merupakan salah satu
pengembangan dari konsep ruang metrik. Beberapa konsep pada ruang metrik, seperti yang berkaitan dengan konvergensi barisan pada ruang metrik, barisan Cauchy pada ruang metrik serta definisi ruang metrik lengkap dapat dianalogikan ke dalam ruang metrik parsial. Pengertian metrik dan metrik parsial sedikit berbeda, seperti yang telah dijelaskan pada Definisi 2.2.1 dan Definisi 2.3.1. Konsep ruang metrik parsial yang digagas oleh Matthews [4] memberikan pernyataan bahwa jarak titik ke dirinya sendiri tidak selalu bernilai nol. Hal inilah yang berbeda dengan konsep ruang metrik, bahwa jarak titik ke dirinya sendiri selalu bernilai nol.
Karena terdapat perbedaan antara konsep ruang metrik dan ruang metrik parsial, maka berdasarkan [4], dapat dibentuk analogi antara ruang metrik dan ruang metrik parsial. Melalui pengkonstruksian fungsi ๐๐ yang dibangun dari metrik parsial ๐, diperoleh bahwa ๐๐ adalah metrik pada ๐, seperti yang tertuang pada teorema berikut ini.
Teorema 4.1.1. Diberikan (๐, ๐) ruang metrik parsial. Jika
fungsi ๐๐: ๐ x ๐ โ โ dengan
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 2๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ) (4.1) untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐, maka ๐๐ adalah metrik pada ๐.
Bukti: Seperti pada Definisi 2.2.1, jika ๐๐ adalah metrik pada ๐ maka ๐๐ memenuhi (D1), (D2), (D3) dan (D4) untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ
๐. Selanjutnya, dibuktikan bahwa ๐๐ memenuhi keempat syarat tersebut.
24
(D1) Karena ๐ adalah metrik parsial pada ๐ maka ๐ memenuhi (P3) dan (P2) seperti pada Definisi 2.3.1, sehingga ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 2๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ)
= ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) + ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ) = ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) + ๐(๐ฆ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ)
โฅ 0. Jadi, ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) โฅ 0 untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐, artinya ๐๐ memenuhi (D1).
(D2) (โน) Karena ๐ adalah metrik parsial pada ๐ maka ๐
memenuhi (P3) dan (P2) seperti pada Definisi 2.3.1, sehingga
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 2๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) = ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) + ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ)
= ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) + ๐(๐ฆ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ) = 0
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐, diperoleh ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) = 0
dan ๐(๐ฆ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ) = 0,
artinya ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐(๐ฅ, ๐ฅ) dan ๐(๐ฆ, ๐ฅ) = ๐(๐ฆ, ๐ฆ) sehingga ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐(๐ฅ, ๐ฅ) = ๐(๐ฆ, ๐ฆ) untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐. Karena ๐ adalah metrik parsial pada ๐ maka ๐ juga memenuhi (P1) seperti pada Definisi 2.3.1, sehingga diperoleh ๐ฅ = ๐ฆ.
25
(โธ) Jika ๐ฅ = ๐ฆ, maka ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 2๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ)
= 2๐(๐ฅ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) = 0
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐.
Dari kedua bukti tersebut maka ๐๐ memenuhi (D2).
(D3) Karena ๐ adalah metrik parsial pada ๐ maka ๐ memenuhi (P3) seperti pada Definisi 2.3.1, sehingga ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 2๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ)
= 2๐(๐ฆ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) = ๐๐(๐ฆ, ๐ฅ)
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐, maka ๐๐ memenuhi (D3).
(D4) Karena ๐ adalah metrik parsial pada ๐ maka ๐ memenuhi (P4) seperti pada Definisi 2.3.1, sehingga ๐๐(๐ฅ, ๐ง) = 2๐(๐ฅ, ๐ง) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) โ ๐(๐ง, ๐ง)
โค 2(๐(๐ฅ, ๐ฆ) + ๐(๐ฆ, ๐ง) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ)) โ๐(๐ฅ, ๐ฅ) โ ๐(๐ง, ๐ง)
= 2๐(๐ฅ, ๐ฆ) + 2๐(๐ฆ, ๐ง) โ 2๐(๐ฆ, ๐ฆ) โ๐(๐ฅ, ๐ฅ) โ ๐(๐ง, ๐ง)
= 2๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ) +2๐(๐ฆ, ๐ง) โ ๐(๐ฆ, ๐ฆ) โ ๐(๐ง, ๐ง)
= ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) + ๐๐(๐ฆ, ๐ง) untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ ๐, maka ๐๐ memenuhi (D4).
Terbukti bahwa ๐๐ memenuhi (D1), (D2), (D3) dan (D4) untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ ๐, maka ๐๐ adalah metrik pada ๐. โ
26
Dari Teorema 4.1.1, terlihat bahwa ๐ adalah metrik parsial pada ๐ dan ๐๐ adalah metrik pada ๐. Dengan menggunakan ๐ dan ๐๐, dibentuk lemma-lemma yang menunjukkan analogi antara barisan Cauchy pada ruang metrik dan barisan Cauchy pada ruang metrik parsial, serta analogi antara ruang metrik lengkap dan ruang metrik parsial lengkap.
Lemma 4.1.2. Diberikan (๐, ๐) ruang metrik parsial dan
(๐, ๐๐) ruang metrik, dengan ๐๐ adalah metrik yang
didefinisikan pada (4.1). Barisan {๐ฅ๐}๐โโ adalah barisan
Cauchy pada (๐, ๐) jika dan hanya jika {๐ฅ๐} adalah barisan
Cauchy pada (๐, ๐๐).
Bukti: (โน) Jika {๐ฅ๐}๐โโ adalah barisan Cauchy pada (๐, ๐), maka sesuai Definisi 2.3.3 (ii), ๐๐๐
๐,๐โโ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) ada dan berhingga. Karena
(๐, ๐๐) adalah ruang metrik dengan ๐๐ adalah metrik yang dibangun oleh metrik parsial seperti pada (4.1), maka
๐๐๐๐,๐โโ
๐๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) = 2 ๐๐๐๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) โ ๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐)
โ ๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐)
atau 2 ๐๐๐
๐,๐โโ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) = ๐๐๐
๐,๐โโ๐๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) + ๐๐๐
๐โโ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐)
+ ๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐).
Karena ๐๐๐๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) ada dan berhingga, maka
2 ๐๐๐๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) juga ada dan berhingga, sehingga
๐๐๐๐,๐โโ
๐๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) + ๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) + ๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) ada
27
dan berhingga, artinya ๐๐๐๐,๐โโ
๐๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐), ๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) dan
๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) juga ada dan berhingga. Hal ini menunjukkan
bahwa {๐ฅ๐}๐โโ juga merupakan barisan Cauchy pada (๐, ๐๐).
(โธ) Karena ๐๐ adalah metrik yang dibangun oleh metrik parsial seperti pada (4.1), maka jika {๐ฅ๐}๐โโ adalah barisan Cauchy pada (๐, ๐๐), diperoleh
๐๐๐๐,๐โโ
๐๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) = 2 ๐๐๐๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) โ ๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐)
โ ๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐)
ada dan berhingga. Sehingga, jelas bahwa 2 ๐๐๐๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐),
๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐ , ๐ฅ๐) dan ๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) ada dan berhingga. Karena
2 ๐๐๐๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) ada dan berhingga, maka ๐๐๐๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐)
ada dan berhingga, artinya {๐ฅ๐}๐โโ juga merupakan barisan Cauchy pada (๐, ๐). โ
Lemma 4.1.3 Diberikan (๐, ๐) ruang metrik parsial dan
(๐, ๐๐) ruang metrik, dengan ๐๐ adalah metrik yang
didefinisikan pada (4.1). (๐, ๐) dikatakan lengkap jika dan
hanya jika (๐, ๐๐) lengkap. Sehingga, jika diberikan barisan
{๐ฅ๐}๐โโ pada (๐, ๐) maka untuk ๐ฅ โ ๐, ๐๐๐๐โโ
๐๐(๐ฅ๐, ๐ฅ) = 0
jika dan hanya jika ๐(๐ฅ, ๐ฅ) = ๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ) =
๐๐๐๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐).
28
Bukti: (โน) Jika (๐, ๐) merupakan ruang metrik parsial lengkap, maka sesuai Definisi 2.3.3 (iii), setiap barisan Cauchy {๐ฅ๐}๐โโ pada
(๐, ๐) konvergen ke titik ๐ฅ โ ๐ sehingga ๐(๐ฅ, ๐ฅ) =
๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐ , ๐ฅ) = ๐๐๐๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐). Karena {๐ฅ๐}๐โโ adalah
barisan Cauchy pada (๐, ๐), maka berdasarkan Lemma 4.1.2, {๐ฅ๐}๐โโ juga merupakan barisan Cauchy pada (๐, ๐๐), sehingga {๐ฅ๐}๐โโ konvergen ke titik ๐ฅ โ ๐, artinya (๐, ๐๐) adalah ruang metrik lengkap. Karena ๐๐ adalah metrik yang dibangun dari metrik parsial seperti pada (4.1), maka ๐๐(๐ฅ, ๐ฅ) = 2๐(๐ฅ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) = 0 atau dengan kata lain ๐๐๐
๐โโ๐๐(๐ฅ๐, ๐ฅ) = 0.
(โธ) Jika (๐, ๐๐) adalah ruang metrik lengkap dengan ๐๐ adalah metrik yang dibangun dari metrik parsial seperti pada (4.1), maka setiap barisan Cauchy {๐ฅ๐}๐โโ pada (๐, ๐๐) konvergen ke titik ๐ฅ โ ๐ sehingga ๐๐(๐ฅ, ๐ฅ) = ๐๐๐
๐โโ๐๐(๐ฅ๐, ๐ฅ) =
๐๐๐๐,๐โโ
๐๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐). Karena ๐๐ adalah metrik yang dibangun
dari metrik parsial seperti pada (4.1), maka ๐๐(๐ฅ, ๐ฅ) =
2๐(๐ฅ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) = 0 atau dengan kata lain ๐๐๐๐โโ
๐๐(๐ฅ๐, ๐ฅ) = 0. Karena {๐ฅ๐}๐โโ adalah barisan Cauchy
pada (๐, ๐๐), maka berdasarkan Lemma 4.1.2, {๐ฅ๐}๐โโ juga merupakan barisan Cauchy pada (๐, ๐), sehingga {๐ฅ๐}๐โโ konvergen ke titik ๐ฅ โ ๐, artinya (๐, ๐) adalah ruang metrik parsial lengkap. Karena (๐, ๐) adalah ruang metrik parsial
29
lengkap, dari Definisi 2.3.3 (iii) diperoleh bahwa ๐(๐ฅ, ๐ฅ) =
๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐ , ๐ฅ) = ๐๐๐๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐). โ
Selanjutnya, melalui pengkonstruksian fungsi ๐๐ yang dibangun dari metrik ๐, diperoleh bahwa fungsi ๐๐ merupakan metrik parsial pada ๐, seperti yang tertuang pada teorema berikut ini.
Teorema 4.1.4. Diberikan (๐, ๐) ruang metrik. Jika fungsi
๐๐: ๐ x ๐ โ โ + dengan
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) =|๐ฅ| + |๐ฆ| + ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
2
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐, maka ๐๐ adalah metrik parsial pada ๐.
Bukti: Seperti pada Definisi 2.3.1, jika ๐๐ adalah metrik parsial pada ๐ maka ๐๐ memenuhi (P1), (P2), (P3) dan (P4) untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ ๐. Selanjutnya, dibuktikan ๐๐ memenuhi keempat syarat tersebut.
(P1) (โน) Karena ๐ adalah metrik pada ๐ maka ๐ memenuhi (D2) seperti pada Definisi 2.2.1, sehingga jika ๐ฅ = ๐ฆ, maka ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 0, diperoleh
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) =|๐ฅ| + |๐ฆ| + ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
2
=|๐ฅ| + |๐ฆ|
2
=|๐ฅ| + |๐ฅ|
2
30
=2|๐ฅ|
2
= |๐ฅ| = ๐๐(๐ฅ, ๐ฅ) (4.2)
dan
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) =|๐ฅ| + |๐ฆ| + ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
2
=|๐ฅ| + |๐ฆ|
2
=|๐ฆ| + |๐ฆ|
2
=2|๐ฆ|
2
= |๐ฆ| = ๐๐(๐ฆ, ๐ฆ) (4.3)
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐. Dari (4.2) dan (4.3) diperoleh bahwa
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐(๐ฅ, ๐ฅ) = ๐๐(๐ฆ, ๐ฆ).
(โธ) Dari (4.2), diperoleh |๐ฅ| = ๐๐(๐ฅ, ๐ฅ) dan dari (4.3), diperoleh |๐ฆ| = ๐๐(๐ฆ, ๐ฆ). Jika
๐๐(๐ฅ, ๐ฅ) = ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐(๐ฆ, ๐ฆ), maka
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) =|๐ฅ| + |๐ฆ| + ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
2
=|๐ฅ| + |๐ฅ| + ๐(๐ฅ, ๐ฅ)
2
=|๐ฅ| + |๐ฅ|
2
31
=2|๐ฅ|
2
= |๐ฅ| = ๐๐(๐ฅ, ๐ฅ) (4.4)
dan
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) =|๐ฅ| + |๐ฆ| + ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
2
=|๐ฆ| + |๐ฆ| + ๐(๐ฆ, ๐ฆ)
2
=|๐ฆ| + |๐ฆ|
2
=2|๐ฆ|
2
= |๐ฆ| = ๐๐(๐ฆ, ๐ฆ) (4.5)
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐. Dari (4.4), terlihat bahwa |๐ฅ| + |๐ฆ| + ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = |๐ฅ| + |๐ฅ| + ๐(๐ฅ, ๐ฅ),
sehingga diperoleh |๐ฅ| โ |๐ฆ| = ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ). (4.6)
Dari (4.5), terlihat bahwa |๐ฅ| + |๐ฆ| + ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = |๐ฆ| + |๐ฆ| + ๐(๐ฆ, ๐ฆ),
sehingga diperoleh |๐ฅ| โ |๐ฆ| = ๐(๐ฆ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฆ). (4.7)
Dari (4.6) dan (4.7), diperoleh ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฅ) = ๐(๐ฆ, ๐ฆ) โ ๐(๐ฅ, ๐ฆ). (4.8) Karena ๐ adalah metrik pada ๐, maka jarak suatu titik ke dirinya sendiri selalu bernilai nol, artinya
๐(๐ฅ, ๐ฅ) = ๐(๐ฆ, ๐ฆ) = 0, sehingga (4.8) menjadi
๐(๐ฅ, ๐ฆ) + ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 2๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 0,
32
dan diperoleh ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 0. Karena ๐ adalah metrik pada ๐, maka ๐ memenuhi (D2), sehingga diperoleh ๐ฅ = ๐ฆ untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐. Dari kedua bukti tersebut, terbukti bahwa ๐๐ memenuhi (P1).
(P2) Karena ๐ adalah metrik pada ๐ maka ๐ memenuhi (D1) seperti pada Definisi 2.2.1, sehingga
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) =|๐ฅ| + |๐ฆ| + ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
2
atau 2๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) = |๐ฅ| + |๐ฆ| + ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โฅ |๐ฅ| + |๐ฆ|. Dari (4.4) dan (4.5), diperoleh bahwa |๐ฅ| = ๐๐(๐ฅ, ๐ฅ) =
๐๐(๐ฆ, ๐ฆ) = |๐ฆ|, sehingga 2๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) โฅ |๐ฅ| + |๐ฆ|
= ๐๐(๐ฅ, ๐ฅ) + ๐๐(๐ฆ, ๐ฆ) = ๐๐(๐ฅ, ๐ฅ) + ๐๐(๐ฅ, ๐ฅ) = 2๐๐(๐ฅ, ๐ฅ)
atau ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) โฅ ๐๐(๐ฅ, ๐ฅ) untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐, maka ๐๐ memenuhi (P2).
(P3) Karena ๐ adalah metrik pada ๐ maka ๐ memenuhi (D3) seperti pada Definisi 2.2.1, sehingga
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) =|๐ฅ| + |๐ฆ| + ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
2
=|๐ฆ| + |๐ฅ| + ๐(๐ฆ, ๐ฅ)
2
= ๐๐(๐ฆ, ๐ฅ). untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐, maka ๐๐ memenuhi (P3).
33
(P4) Karena
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) =|๐ฅ| + |๐ฆ| + ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
2
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐, maka 2๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) = |๐ฅ| + |๐ฆ| + ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
sehingga ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 2๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ |๐ฅ| โ |๐ฆ|. Dari
๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 2๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ |๐ฅ| โ |๐ฆ|, (4.9) maka dapat diperoleh juga
๐(๐ฆ, ๐ง) = 2๐๐(๐ฆ, ๐ง) โ |๐ฆ| โ |๐ง| (4.10) dan
๐(๐ฅ, ๐ง) = 2๐๐(๐ฅ, ๐ง) โ |๐ฅ| โ |๐ง|. (4.11) Karena ๐ adalah metrik pada ๐ maka ๐ memenuhi (D4) seperti pada Definisi 2.2.1. Substitusi (4.9), (4.10) dan (4.11) ke dalam (D4), sehingga diperoleh 2๐๐(๐ฅ, ๐ง) โ |๐ฅ| โ |๐ง| โค 2๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ |๐ฅ| โ |๐ฆ|
+2๐๐(๐ฆ, ๐ง) โ |๐ฆ| โ |๐ง| = 2๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) + 2๐๐(๐ฆ, ๐ง)
โ2|๐ฆ| โ |๐ฅ| โ |๐ง| untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ ๐, maka
2๐๐(๐ฅ, ๐ง) โค 2๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) + 2๐๐(๐ฆ, ๐ง) โ 2|๐ฆ|. Dari (4.3), |๐ฆ| = ๐๐(๐ฆ, ๐ฆ), sehingga 2๐๐(๐ฅ, ๐ง) โค 2๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) + 2๐๐(๐ฆ, ๐ง) โ 2|๐ฆ|
= 2๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) + 2๐๐(๐ฆ, ๐ง) โ 2๐๐(๐ฆ, ๐ฆ) atau ๐๐(๐ฅ, ๐ง) โค ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) + ๐๐(๐ฆ, ๐ง) โ ๐๐(๐ฆ, ๐ฆ) untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ ๐, artinya๐๐ memenuhi (P4).
Terbukti bahwa ๐๐ memenuhi (P1), (P2), (P3) dan (P4) untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ ๐, maka ๐๐ adalah metrik parsial pada ๐. โ
34
4.2 Pemetaan Kontraktif Lemah dan Pemetaan Kannan Lemah pada Ruang Metrik Parsial Pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik dan
pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik adalah dua bentuk pemetaan yang merupakan hasil perluasan pemetaan kontraktif pada ruang metrik. Pemetaan kontraktif pada ruang metrik kemudian dikonstruksi ke dalam ruang metrik parsial oleh Matthews [4]. Matthews menjamin keberadaan dan ketunggalan titik tetap pemetaan ๐ jika ๐ merupakan pemetaan kontraktif.
Hasil konstruksi yang dilakukan Matthews diterapkan oleh Maryam A Alghamdi, Naseer Shahzad dan Oscar Valero [2] ke dalam pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial artinya dijamin juga keberadaan dan ketunggalan titik tetap kedua pemetaan tersebut sebab kedua pemetaan tersebut merupakan hasil perluasan pemetaan kontraktif pada ruang metrik parsial. Oleh karena itu, jika pemetaan ๐ bukan merupakan pemetaan kontraktif lemah maka tidak dijamin keberadaan dan ketunggalan titik tetap ๐. Begitu pula jika ๐ bukan merupakan pemetaan Kannan lemah maka tidak dijamin keberadaan dan ketunggalan titik tetap ๐.
Dari Teorema 4.1.1, diperoleh bahwa ๐๐ adalah metrik pada ๐, sehingga didefinisikan pemetaan kontraktif lemah pada (๐, ๐๐) seperti pada Definisi 2.2.4. Begitu pula pada kasus ruang metrik parsial. Dari Teorema 4.1.1, terlihat bahwa ๐ adalah metrik parsial pada ๐, sehingga berdasarkan [2], diperoleh definisi pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik parsial sebagai berikut.
35
Definisi 4.2.1. Diberikan (๐, ๐) ruang metrik parsial.
Pemetaan ๐: ๐ โ ๐ dinamakan pemetaan kontraktif lemah jika
terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ: ๐ x ๐ โ [0,1) sedemikian hingga untuk setiap 0 โค
๐ โค ๐, ๐ ๐ข๐{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ): ๐ โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐} < 1
dan
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)๐(๐ฅ, ๐ฆ)
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐.
Dari [2], terdapat contoh pemetaan yang merupakan pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik parsial namun bukan merupakan pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik.
Di bawah ini ditunjukkan contoh pemetaan yang merupakan pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik parsial.
Contoh 4.2.2. Diberikan ๐ metrik parsial, dengan ๐: [0,1] x [0,1] โ [0,1] didefinisikan sebagai ๐(๐ฅ, ๐ฆ) =
๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฆ} untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1]. Jika fungsi ๐: [0,1] โ [0,1]
dengan ๐(๐ฅ) =๐ฅ2
2 untuk setiap ๐ฅ โ [0,1] dan fungsi
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ: [0,1] x [0,1] โ [0,1) dengan ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ) =1
2 untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ
[0,1], maka ๐ merupakan pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik parsial ([0,1], ๐). Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut.
Terlihat bahwa terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ yang memenuhi Definisi 4.2.1, yaitu
sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ):
๐ โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐} = sup {
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ):
๐ โค max{๐ฅ, ๐ฆ} โค ๐}}
36
=1
2
< 1 untuk setiap 0 โค ๐ โค ๐, sehingga
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) = ๐(๐ฅ2
2,๐ฆ2
2)
= max {๐ฅ2
2,๐ฆ2
2}
=1
2max{๐ฅ2, ๐ฆ2}
=1
2(max{๐ฅ, ๐ฆ})2
โค1
2max{๐ฅ, ๐ฆ}
= ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)๐(๐ฅ, ๐ฆ) untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1]. Artinya, ๐ merupakan pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik parsial ([0,1], ๐).
Selanjutnya, ditunjukkan contoh pemetaan yang bukan merupakan pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik.
Contoh 4.2.3. Diberikan fungsi ๐๐: [0,1] x [0,1] โ [0,1] dengan ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) = |๐ฅ โ ๐ฆ| untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1] dan ๐
adalah metrik parsial, ๐: [0,1] x [0,1] โ [0,1] yang didefinisikan sebagai ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฆ} untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ
[0,1]. Jika fungsi ๐: [0,1] โ [0,1] dengan ๐(๐ฅ) =๐ฅ2
2 untuk
setiap ๐ฅ โ [0,1] dan fungsi ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ: [0,1] x [0,1] โ [0,1) dengan ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ) =
1
2 untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1], maka ๐ bukan
merupakan pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik ([0,1], ๐๐). Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut.
37
Andaikan ๐ merupakan pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik ([0,1], ๐๐), maka terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ yang memenuhi Definisi 2.2.4, yaitu
sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ):
๐ โค ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐} = sup {
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ):
๐ โค |๐ฅ โ ๐ฆ| โค ๐}
=1
2
< 1 untuk setiap 0 โค ๐ โค ๐, sehingga
๐๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) = |๐ฅ2
2โ
๐ฆ2
2 |
= |๐ฅ2 โ ๐ฆ2
2|
= |(๐ฅ + ๐ฆ)(๐ฅ โ ๐ฆ)
2|
= |๐ฅ + ๐ฆ
2| |๐ฅ โ ๐ฆ|
=๐ฅ + ๐ฆ
2|๐ฅ โ ๐ฆ|
โค1
2|๐ฅ โ ๐ฆ|
= ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)|๐ฅ โ ๐ฆ| = ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1]. Jadi, diperoleh ๐ฅ+๐ฆ
2โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ) untuk
setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1]. Selanjutnya, diambil sembarang ๐ฅ, ๐ฆ โ
[0,1] dengan ๐ฅ = 1 dan ๐ฆ = 1, sehingga ๐ฅ + ๐ฆ
2=
1 + 1
2
= 1 โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ) = ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(1,1).
38
Hal ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ) < 1. Akibatnya, ๐ bukan merupakan pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik ([0,1], ๐๐).
Seperti pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik parsial yang tidak jauh berbeda dengan pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik, pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial juga tidak jauh berbeda dengan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik. Dari Teorema 4.1.1, diperoleh bahwa ๐๐ adalah metrik pada ๐, sehingga didefinisikan pemetaan Kannan lemah pada (๐, ๐๐) seperti pada Definisi 2.2.6. Begitu pula pada kasus ruang metrik parsial. Karena ๐ adalah metrik parsial pada ๐, sehingga berdasarkan [2], diperoleh definisi pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial sebagai berikut.
Definisi 4.2.4. Diberikan (๐, ๐) ruang metrik parsial.
Pemetaan ๐: ๐ โ ๐ dinamakan pemetaan Kannan lemah jika
terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ: ๐ x ๐ โ [0,1) sedemikian hingga untuk setiap 0 โค
๐ โค ๐, ๐ ๐ข๐{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ): ๐ โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐} < 1
dan
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) โค๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)
2[๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ)) + ๐(๐ฆ, ๐(๐ฆ))]
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐.
Dari [2], terdapat contoh pemetaan yang merupakan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial namun bukan merupakan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik.
Di bawah ini ditunjukkan contoh pemetaan yang merupakan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial.
39
Contoh 4.2.5. Diberikan ๐ metrik parsial, dengan ๐: [0,1] x [0,1] โ [0,1] yang didefinisikan sebagai ๐(๐ฅ, ๐ฆ) =
๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฆ} untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1]. Jika fungsi ๐: [0,1] โ [0,1]
dengan ๐(๐ฅ) =๐ฅ2
๐ฅ+1 untuk setiap ๐ฅ โ [0,1] dan fungsi
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ: [0,1] x [0,1] โ [0,1) dengan
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ) = {
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ))
๐(๐ฅ, ๐ฆ) , ๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฆ} โ 0
0 , ๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฆ} = 0
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1], maka ๐ merupakan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial ([0,1], ๐). Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut.
Karena fungsi ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ didefinisikan seperti pada Contoh 4.2.5, maka
diperoleh ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ) =๐(๐(๐ฅ),๐(๐ฆ))
๐(๐ฅ,๐ฆ)โค
1
2 untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1].
Selanjutnya, dapat ditunjukkan bahwa terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ yang memenuhi Definisi 4.2.4, yaitu
sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ):
๐ โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐} = sup {
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ):
๐ โค max{๐ฅ, ๐ฆ} โค ๐}
=1
2
< 1 untuk setiap 0 โค ๐ โค ๐, sehingga
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) = ๐(๐ฅ2
๐ฅ + 1,
๐ฆ2
๐ฆ + 1)
= max {๐ฅ2
๐ฅ + 1,
๐ฆ2
๐ฆ + 1}
40
โค๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)
2[๐ฅ + ๐ฆ]
=๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)
2
[ max {๐ฅ,
๐ฅ2
๐ฅ + 1}
+max{๐ฆ,๐ฆ2
๐ฆ + 1}]
=๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)
2[๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ))+๐(๐ฆ, ๐(๐ฆ))]
โค1
2โ
2 [๐ฅ + ๐ฆ]
=1
4[๐ฅ + ๐ฆ]
=1
4[max {๐ฅ,
๐ฅ2
๐ฅ + 1} + max{๐ฆ,
๐ฆ2
๐ฆ + 1}]
=1
4[๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ))+๐(๐ฆ, ๐(๐ฆ))]
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐. Artinya, ๐ merupakan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial ([0,1], ๐).
Selanjutnya, ditunjukkan contoh pemetaan yang bukan merupakan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik.
Contoh 4.2.6. Diberikan ๐๐ metrik, dengan ๐๐: [0,1] x [0,1] โ [0,1] didefinisikan sebagai ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) =
|๐ฅ โ ๐ฆ| untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1]. Jika fungsi ๐: [0,1] โ [0,1]
dengan ๐(๐ฅ) =๐ฅ2
๐ฅ+1 untuk setiap ๐ฅ โ [0,1] dan fungsi
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ: [0,1] x [0,1] โ [0,1) dengan
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ) = {
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ))
๐(๐ฅ, ๐ฆ) , ๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฆ} โ 0
0 , ๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฆ} = 0
41
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1] dengan ๐ metrik parsial, ๐: [0,1] x [0,1] โ [0,1] yang didefinisikan sebagai ๐(๐ฅ, ๐ฆ) =
๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฆ} untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1], maka ๐ bukan merupakan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik ([0,1], ๐๐). Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut.
Karena fungsi ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ didefinisikan seperti pada Contoh 4.2.6, maka
diperoleh ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ) =๐(๐(๐ฅ),๐(๐ฆ))
๐(๐ฅ,๐ฆ)โค
1
2 untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1].
Andaikan ๐ merupakan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik ([0,1], ๐๐), maka terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ yang memenuhi Definisi 2.2.6, yaitu
sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ):
๐ โค ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐} = sup {
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ):
๐ โค |๐ฅ โ ๐ฆ| โค ๐}
=1
2
< 1 untuk setiap 0 โค ๐ โค ๐, sehingga
๐๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) = |๐ฅ2
๐ฅ + 1 โ
๐ฆ2
๐ฆ + 1|
= |๐ฅ2(๐ฆ + 1) โ ๐ฆ2(๐ฅ + 1)
(๐ฅ + 1)(๐ฆ + 1)|
โค๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)
2[|
๐ฅ
๐ฅ + 1| + |
๐ฆ
๐ฆ + 1|]
=๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)
2
[ |
๐ฅ(๐ฅ + 1) โ ๐ฅ2
๐ฅ + 1|
+ |๐ฆ(๐ฆ + 1) โ ๐ฆ2
๐ฆ + 1|]
=๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)
2[|๐ฅ โ
๐ฅ2
๐ฅ + 1|+ |๐ฆ โ
๐ฆ2
๐ฆ + 1|]
42
=๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)
2[๐๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ))+๐๐(๐ฆ, ๐(๐ฆ))]
โค1
2โ
2 [|
๐ฅ
๐ฅ + 1| + |
๐ฆ
๐ฆ + 1|]
=1
4[|
๐ฅ
๐ฅ + 1| + |
๐ฆ
๐ฆ + 1|]
=1
4
[ |
๐ฅ(๐ฅ + 1) โ ๐ฅ2
๐ฅ + 1|
+ |๐ฆ(๐ฆ + 1) โ ๐ฆ2
๐ฆ + 1|]
=1
4[|๐ฅ โ
๐ฅ2
๐ฅ + 1| + |๐ฆ โ
๐ฆ2
๐ฆ + 1|]
=1
4[๐๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ)) +๐๐(๐ฆ, ๐(๐ฆ))]
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1]. Selanjutnya, diambil sembarang ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1] dengan ๐ฅ = 1 dan ๐ฆ = 0, maka diperoleh
๐๐(๐(1), ๐(0)) = |12
1 + 1 โ 0 |
= |1
2|
=1
2
โค๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(1,0)
4
=๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(1,0)
2 1
2
=๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(1,0)
2|1
2|
=๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(1,0)
2[|1 โ
1
2|]
43
=๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(1,0)
2[|1 โ ๐(1)| + |0 โ ๐(0)|]
=๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(1,0)
2[๐๐(1, ๐(1)) + ๐๐(0, ๐(0))]
sehingga 1
2โค
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(1,0)
4 atau 2 โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(1,0). Hal ini kontradiksi
dengan kenyataan bahwa ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ) < 1 untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ
[0,1]. Akibatnya, ๐ bukan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik ([0,1], ๐๐).
43
4.3 Teorema Titik Tetap Pemetaan Kontraktif Lemah dan Pemetaan Kannan Lemah pada Ruang Metrik Parsial Teorema titik tetap merupakan objek yang dikaji pada
ruang metrik parsial sebab dengan mengkaji teorema titik tetap dapat dijamin keberadaan dan ketunggalan titik tetap pada ruang metrik parsial. Melalui teorema titik tetap pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah, dibuktikan bahwa terdapat titik tetap yang tunggal pada ruang metrik parsial.
Berdasarkan [2], dengan menggunakan ๐ dan ๐๐ yang memberikan analogi antara ruang metrik dan ruang metrik parsial seperti pada Teorema 4.1.1, dibuktikan teorema titik tetap pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial. Sebelum membuktikan teorema titik tetap, dibuktikan beberapa lemma yang dibutuhkan pada proses pembuktian teorema titik tetap tersebut.
Lemma 4.3.1. Diberikan (๐, ๐) ruang metrik parsial lengkap
dan ๐: ๐ โ ๐ merupakan pemetaan sedemikian hingga
terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ: ๐ x ๐ โ [0,1] dengan ๐ ๐ข๐{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ): ๐ โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค
๐} < 1 untuk setiap 0 โค ๐ โค ๐, dan
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐๐ฅ {๐(๐ฅ, ๐ฆ),1
2[๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ))
+๐(๐ฆ, ๐(๐ฆ))]}
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐. Jika ๐ฅ โ ๐ memenuhi barisan {๐ฅ๐}
dengan ๐ฅ๐ = ๐(๐ฅ๐โ1) = ๐๐(๐ฅ0), maka
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1) โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)
untuk setiap ๐ โ โ.
Bukti:
44
Pertama-tama, diambil sembarang ๐ฅ0 โ ๐. Didefinisikan barisan {๐ฅ๐} dengan ๐ฅ๐ = ๐(๐ฅ๐โ1) = ๐๐(๐ฅ0) dan ๐ฅ๐ โ ๐ฅ๐+1 untuk setiap ๐ โ โ. Misalkan, ๐ฅ๐ = ๐(๐ฅ๐โ1) = ๐(๐ฅ) dan
๐ฅ๐+1 = ๐(๐ฅ๐) = ๐(๐(๐ฅ๐โ1)) = ๐(๐(๐ฅ)) = ๐(๐ฆ), maka ๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) = ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1)
= ๐(๐(๐ฅ๐โ1), ๐(๐ฅ๐)) โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)max{๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐),
1
2[๐(๐ฅ๐โ1, ๐(๐ฅ๐โ1)) + ๐(๐ฅ๐, ๐(๐ฅ๐))]}
= ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)max{๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐), 1
2[๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) + ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1)]} (4.12)
Selanjutnya, dibuktikan bahwa untuk setiap ๐ โ โ memenuhi (4.12). Untuk membuktikan bahwa setiap ๐ โ โ memenuhi (4.12), maka dapat dibagi menjadi dua kasus:
1. Jika max {๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐),1
2[๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) + ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1)]}
adalah ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐), maka ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1) โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) (4.13)
2. Jika max {๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐),1
2[๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) + ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1)]}
adalah 12[๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) + ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1)], maka
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1) โค๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)
2[๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) + ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1)]
=๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)
2๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)
+๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)
2๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1)
sehingga
45
1 โ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)
2๐(๐ฅ๐ , ๐ฅ๐+1) โค
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)
2
๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) atau
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1) โค๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1,๐ฅ๐)
2โ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1,๐ฅ๐)๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) (4.14)
Dari dua kasus di atas, terlihat bahwa untuk setiap ๐ โ โ memenuhi (4.13) dan (4.14), sehingga
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1) โค๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)
2 โ ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)
โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐). Terbukti bahwa setiap ๐ โ โ,
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1) โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) dengan 0 โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค 1. โ
Lemma 4.3.2. Diberikan (๐, ๐) ruang metrik parsial lengkap
dan ๐: ๐ โ ๐ merupakan pemetaan sedemikian hingga
terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ: ๐ x ๐ โ [0,1] dengan ๐ ๐ข๐{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ): ๐ โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค
๐} < 1 untuk setiap 0 โค ๐ โค ๐, dan
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐๐ฅ {๐(๐ฅ, ๐ฆ),1
2[๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ))
+๐(๐ฆ, ๐(๐ฆ))]}
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐. Jika {๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1)}๐โโ barisan pada ๐
dengan ๐ฅ๐ = ๐(๐ฅ๐โ1) = ๐๐(๐ฅ0) dan ๐ฅ๐ โ ๐ฅ๐+1, maka
{๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1)}๐โโ konvergen ke bilangan real ๐ = 0 dengan
kata lain ๐๐๐๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1) = 0.
Bukti: Jika {๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1)}๐โโ barisan pada ๐ dengan ๐ฅ๐ = ๐(๐ฅ๐โ1) =๐๐(๐ฅ0) dan ๐ฅ๐ โ ๐ฅ๐+1, maka dibuktikan bahwa {๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1)}๐โโ konvergen ke bilangan real ๐ = 0.
46
Dibuktikan dengan kontradiksi. Andaikan ๐ > 0, berdasarkan Lemma 4.3.1, diperoleh
0 < ๐ โค ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1) โค ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค โฏ โค ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1) untuk setiap ๐ โ โ. Misalkan, ๐ = ๐ dan ๐ = ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1), maka
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐):
๐ โค ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)},
sehingga ๐ โค ๐(๐ฅ๐ , ๐ฅ๐+1) โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)
โค (sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐):
๐ โค ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)})๐
๐(๐ฅ0, ๐ฅ1) (4.15)
untuk setiap ๐ โ โ. Hal ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa 0 โค sup{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐): ๐ โค ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)} < 1.
Oleh karena itu, lim๐โโ
(sup{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐): ๐ โค ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)})๐ = 0,
maka satu-satunya yang benar adalah ๐ = 0 dan lim๐โโ
๐(๐ฅ๐ , ๐ฅ๐+1) = 0.
Terbukti bahwa {๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1)}๐โโ konvergen ke ๐ = 0. โ
Lemma 4.3.3. Diberikan (๐, ๐) ruang metrik parsial lengkap
dan ๐: ๐ โ ๐ merupakan pemetaan sedemikian hingga
terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ: ๐ x ๐ โ [0,1] dengan ๐ ๐ข๐{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ): ๐ โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค
๐} < 1 untuk setiap 0 โค ๐ โค ๐, dan
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐๐ฅ {๐(๐ฅ, ๐ฆ),1
2[๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ))
+๐(๐ฆ, ๐(๐ฆ))]}
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐. Fungsi ๐ dikatakan memiliki titik tetap
๐ฅโ โ ๐ jika ๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) = 0 sehingga berakibat ๐ฅโ = ๐(๐ฅโ).
47
Bukti: Dibuktikan bahwa ๐ memiliki titik tetap pada (๐, ๐). Dengan kata lain ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) = ๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) = ๐(๐(๐ฅโ), ๐(๐ฅโ)) = 0. Dibuktikan dengan kontradiksi. Andaikan ๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) > 0. Karena ๐ adalah metrik parsial pada ๐ sehingga ๐ memenuhi (P4), maka diperoleh
๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) โค ๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅ๐)) + ๐(๐(๐ฅ๐), ๐(๐ฅโ))
โ๐(๐(๐ฅ๐), ๐(๐ฅ๐)) sehingga ๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) โค ๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅ๐)) + ๐(๐(๐ฅ๐), ๐(๐ฅ
โ)) โ๐(๐(๐ฅ๐), ๐(๐ฅ๐))
โค ๐(๐ฅโ, ๐ฅ๐+1) + ๐(๐(๐ฅ๐), ๐(๐ฅโ))
โค ๐(๐ฅโ, ๐ฅ๐+1) + ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐, ๐ฅโ)
max{๐(๐ฅ๐ , ๐ฅโ),1
2[๐(๐ฅ๐, ๐(๐ฅ๐))
+๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ))]}
โค ๐(๐ฅโ, ๐ฅ๐+1)
+max {๐(๐ฅ๐, ๐ฅโ),
1
2[๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1)
+๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ))]} (4.16)
untuk setiap ๐ โ โ dengan ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐, ๐ฅโ) โ [0,1]. Jika ๐ โ โ, dari (4.16), diperoleh ๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) โค 1
2๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)). Namun,
๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) โค1
2๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) tidak mungkin terpenuhi sebab
๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) > 0, sehingga satu-satunya yang benar adalah ๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) = 0. Karena ๐ adalah metrik parsial, maka ๐ memenuhi (P3) dan (P2), sehingga diperoleh ๐(๐(๐ฅโ), ๐(๐ฅโ)) = 0 dan ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) = 0. Karena ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) =๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) = ๐(๐(๐ฅโ), ๐(๐ฅโ)) = 0, maka ๐ฅโ = ๐(๐ฅโ) sebab ๐ memenuhi (P1).
48
Terbukti bahwa ๐ memiliki titik tetap ๐ฅโ = ๐(๐ฅโ) โ ๐. โ
Lemma 4.3.4. Diberikan (๐, ๐) ruang metrik parsial lengkap
dan ๐: ๐ โ ๐ merupakan pemetaan sedemikian hingga
terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ: ๐ x ๐ โ [0,1] dengan ๐ ๐ข๐{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ): ๐ โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค
๐} < 1 untuk setiap 0 โค ๐ โค ๐, dan
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐๐ฅ {๐(๐ฅ, ๐ฆ),1
2[๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ))
+๐(๐ฆ, ๐(๐ฆ))]}
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐. Fungsi ๐ dikatakan memiliki titik tetap
tunggal ๐ฅโ = ๐(๐ฅโ) โ ๐ jika terdapat titik tetap yang lain,
misal ๐ง โ ๐, sedemikian hingga ๐(๐ฅโ, ๐ง) = 0 atau ๐ง = ๐ฅโ =
๐(๐ฅโ) โ ๐.
Bukti: Dibuktikan bahwa ๐ memiliki titik tetap yang tunggal ๐ฅโ =๐(๐ฅโ) โ ๐. Dibuktikan dengan kontradiksi, misalkan terdapat titik tetap yang lain dari fungsi ๐, yaitu ๐ง โ ๐. Artinya, ๐ง =๐(๐ง) dengan ๐ง โ ๐ฅโ sehingga ๐(๐ฅโ, ๐ง) > 0, maka diperoleh
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง) โค sup{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง):
๐(๐ฅโ,๐ง)
2โค ๐(๐ฅโ, ๐ง) โค ๐(๐ฅโ, ๐ง)
} < 1.
Karena ๐ adalah metrik parsial, maka ๐ memenuhi (P2), sehingga diperoleh
๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) = 0 < ๐(๐ฅโ, ๐ง) dan ๐(๐ง, ๐ง) < ๐(๐ฅโ, ๐ง), maka ๐(๐ฅโ, ๐ง) = ๐(๐(๐ฅโ), ๐(๐ง))
โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง)max {๐(๐ฅโ, ๐ง),
1
2[๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) + ๐(๐ง, ๐(๐ง))]
}
49
= ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง)max {๐(๐ฅโ, ๐ง),
1
2[๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) + ๐(๐ง, ๐ง)]
}
โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง) ๐(๐ฅโ, ๐ง). (4.17) Karena
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง) โค sup{
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง):๐(๐ฅโ, ๐ง)
2โค ๐(๐ฅโ, ๐ง) โค ๐(๐ฅโ, ๐ง)
} < 1
maka (4.17) menjadi ๐(๐ฅโ, ๐ง) = ๐(๐(๐ฅโ), ๐(๐ง))
โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง)max {๐(๐ฅโ, ๐ง),
1
2[๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) + ๐(๐ง, ๐(๐ง))]
}
= ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง)max {๐(๐ฅโ, ๐ง),
1
2[๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) + ๐(๐ง, ๐ง)]
}
โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง) ๐(๐ฅโ, ๐ง)
โค sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง):
๐(๐ฅโ,๐ง)
2โค ๐(๐ฅโ, ๐ง) โค ๐(๐ฅโ, ๐ง)
} ๐(๐ฅโ, ๐ง)(4.18)
Karena ๐ฅโ dan ๐ง adalah titik tetap dari ๐, maka ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) =๐(๐ง, ๐ง) = 0, sehingga (4.18) menjadi ๐(๐ฅโ, ๐ง) = ๐(๐(๐ฅโ), ๐(๐ง))
โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง)max {๐(๐ฅโ, ๐ง),
1
2[๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) + ๐(๐ง, ๐(๐ง))]
}
= ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง)max {๐(๐ฅโ, ๐ง),
1
2[๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) + ๐(๐ง, ๐ง)]
}
= ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง)max{๐(๐ฅโ, ๐ง), 0} โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง) ๐(๐ฅโ, ๐ง)
50
โค sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง):
๐(๐ฅโ,๐ง)
2โค ๐(๐ฅโ, ๐ง) โค ๐(๐ฅโ, ๐ง)
} ๐(๐ฅโ, ๐ง).
Hal ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa ๐(๐ฅโ, ๐ง) > 0 dan
sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅโ, ๐ง):๐(๐ฅโ,๐ง)
2โค ๐(๐ฅโ, ๐ง) โค ๐(๐ฅโ, ๐ง)} < 1.
Jadi, terbukti bahwa ๐ memiliki titik tetap tunggal, yaitu ๐ง =๐ฅโ = ๐(๐ฅโ) โ ๐. โ
Lemma-lemma di atas, selanjutnya digunakan dalam pembuktian Teorema 4.3.5 berikut ini.
Teorema 4.3.5 (Teorema Pemetaan Kontraktif Lemah dan Pemetaan Kannan Lemah pada Ruang Metrik Parsial). Diberikan ๐ โ โ . Jika (๐, ๐) adalah ruang metrik parsial
lengkap dan ๐: ๐ โ ๐ merupakan pemetaan sedemikian
hingga terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ: ๐ x ๐ โ [0,1] dengan ๐ ๐ข๐{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ): ๐ โค
๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐} < 1 untuk setiap 0 โค ๐ โค ๐, sehingga
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐๐ฅ {๐(๐ฅ, ๐ฆ),1
2[๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ))
+๐(๐ฆ, ๐(๐ฆ))]}(4.19)
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐, maka ๐ memiliki titik tetap yang tunggal
๐ฅโ โ ๐ dan barisan {๐๐(๐ฅ0)}๐โโ konvergen ke ๐ฅโ โ ๐ untuk
setiap ๐ฅ0 โ ๐, sehingga ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) = 0.
Bukti: Langkah pertama, ditunjukkan bahwa untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐ memenuhi (4.19). Diambil sembarang ๐ฅ0 โ ๐. Didefinisikan barisan {๐ฅ๐} dengan ๐ฅ๐ = ๐(๐ฅ๐โ1) = ๐๐(๐ฅ0) dan ๐ฅ๐ โ ๐ฅ๐+1 untuk setiap ๐ โ โ. Misalkan, ๐ฅ๐ = ๐(๐ฅ๐โ1) = ๐(๐ฅ) dan ๐ฅ๐+1 = ๐(๐ฅ๐) = ๐(๐(๐ฅ๐โ1)) = ๐(๐(๐ฅ)) = ๐(๐ฆ), maka berdasarkan Lemma 4.3.1, diperoleh bahwa ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1) โค
51
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) dengan 0 โค ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค 1, artinya untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐ memenuhi (4.19). Karena 0 โค๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค 1, akibatnya barisan {๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1)}๐โโ tidak naik, sehingga barisan tersebut konvergen ke bilangan real ๐ =inf {๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐)}๐โโ = 0.
Langkah kedua, ditunjukkan bahwa barisan {๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1)}๐โโ konvergen ke ๐ = 0. Jika {๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1)}๐โโ barisan pada ๐ dengan ๐ฅ๐ = ๐(๐ฅ๐โ1) = ๐๐(๐ฅ0) dan ๐ฅ๐ โ ๐ฅ๐+1, maka dari Lemma 4.3.2, terlihat bahwa {๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1)}๐โโ konvergen ke ๐ = 0 dengan kata lain lim
๐โโ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1) = 0.
Langkah ketiga, ditunjukkan bahwa {๐ฅ๐} adalah barisan Cauchy pada (๐, ๐). Terlebih dahulu, ditunjukkan bahwa {๐ฅ๐} adalah barisan Cauchy pada (๐, ๐๐) dengan ๐๐ adalah metrik yang didefinisikan pada (4.1). Berdasarkan Lemma 4.3.2, lim๐โโ
๐(๐ฅ๐ , ๐ฅ๐+1) = 0, sehingga lim๐โโ
๐๐(๐ฅ๐ , ๐ฅ๐+1) = 0 sebab
๐๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1) โค 2๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1) untuk setiap ๐ โ โ. (4.20) Karena ๐ adalah metrik parsial, maka ๐ memenuhi (P2) sehingga untuk setiap ๐ โ โ,
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) โค ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1), (4.21) maka diperoleh lim
๐โโ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) = 0.
๐๐ adalah metrik sehingga memenuhi (D4). Dari (4.15) dan (4.20), maka untuk ๐ โ โ, ๐๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+๐) โค ๐
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐+1) + โฏ+ ๐๐(๐ฅ๐+๐โ1, ๐ฅ๐+๐)
โค 2๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)
(sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐):
0 โค ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)})๐
+โฏ+ 2๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)
52
(sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐):
0 โค ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)})๐+๐โ1
โค 2๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)
โ (sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐):
0 โค ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)})๐ก
๐+๐โ1
๐ก=๐
โค 2๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)
(
(sup {
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐):
0 โค ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)})๐
1 โ sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐):
0 โค ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)})
dengan (sup{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐): 0 โค ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)})
๐
1 โ sup{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐): 0 โค ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)}๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)
merupakan jumlahan dari semua suku deret geometri
โ (sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐):
0 โค ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)})๐ก
๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)
๐+๐โ1
๐ก=๐
yang memiliki suku awal, yaitu (sup{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐): 0 โค ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)})
๐๐(๐ฅ0, ๐ฅ1) dan rasionya adalah
sup{๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐): 0 โค ๐(๐ฅ๐โ1, ๐ฅ๐) โค ๐(๐ฅ0, ๐ฅ1)} < 1). Hal ini menunjukkan bahwa {๐ฅ๐} adalah barisan Cauchy pada (๐, ๐๐) untuk setiap ๐ โ โ. Karena {๐ฅ๐} adalah barisan Cauchy pada (๐, ๐๐), maka berdasarkan Lemma 4.1.2, diperoleh bahwa {๐ฅ๐} adalah barisan Cauchy pada (๐, ๐) untuk setiap ๐ โ โ.
Langkah keempat, ditunjukkan bahwa {๐ฅ๐} konvergen ke ๐ฅโ โ๐ pada (๐, ๐). Karena (๐, ๐) adalah ruang metrik parsial lengkap, dari Lemma 4.1.3, diperoleh bahwa (๐, ๐๐) adalah
53
ruang metrik lengkap, sehingga lim๐โโ
๐๐(๐ฅ๐ , ๐ฅโ) = 0 jika dan
hanya jika ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) = lim
๐โโ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ
โ) = lim๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) (4.22)
untuk setiap ๐,๐ โ โ. Hal ini menunjukkan bahwa {๐ฅ๐} konvergen ke ๐ฅโ โ ๐ pada (๐, ๐) untuk setiap ๐ โ โ. Karena {๐ฅ๐} adalah barisan Cauchy pada (๐, ๐๐), maka diperoleh lim
๐,๐โโ๐๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) = 0 untuk ๐,๐ โ โ. Dari (4.21), diperoleh
lim๐โโ
๐(๐ฅ๐ , ๐ฅ๐) = 0, dan dari definisi ๐๐ pada (4.1), diperoleh
lim๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) = 0, sehingga (4.22) menjadi ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) =
lim๐โโ
๐(๐ฅ๐ , ๐ฅโ) = lim
๐,๐โโ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) = 0 untuk setiap ๐,๐ โ โ.
Langkah kelima, dibuktikan bahwa ๐ memiliki titik tetap pada (๐, ๐). Karena ๐ memenuhi (4.19) untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐, maka berdasarkan Lemma 4.3.3, ๐ memiliki titik tetap ๐ฅโ โ ๐
sedemikian hingga ๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) = 0 sehingga berakibat ๐ฅโ =๐(๐ฅโ). Karena ๐ memiliki titik tetap ๐ฅโ โ ๐, maka barisan {๐ฅ๐ = ๐
๐(๐ฅ0)}๐โโ konvergen ke ๐ฅโ โ ๐ untuk setiap ๐ฅ0 โ ๐ atau ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) = 0.
Langkah terakhir, dibuktikan bahwa ๐ memiliki titik tetap tunggal ๐ฅโ = ๐(๐ฅโ) โ ๐ pada (๐, ๐). Karena ๐ memenuhi (4.19) untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐, maka berdasarkan Lemma 4.3.4, ๐ memiliki titik tetap yang tunggal ๐ฅโ = ๐(๐ฅโ) โ ๐. โ
Selanjutnya, ditunjukkan contoh Teorema 4.3.5 dengan mendefinisikan pemetaan ๐ pada [0,1] dan ๐ metrik parsial yang didefinisikan sebagai ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = max{๐ฅ, ๐ฆ} untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1] . Contoh tersebut dapat dilihat di bawah ini.
54
Contoh 4.3.6. Diberikan ([0,1], ๐) ruang metrik parsial lengkap dengan ๐: [0,1] x [0,1] โ [0,1] yang didefinisikan sebagai ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐๐ฅ{๐ฅ, ๐ฆ} untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1]. Jika fungsi ๐: [0,1] โ [0,1] dengan ๐(๐ฅ) = ๐ฅ
8 untuk setiap ๐ฅ โ [0,1]
dan fungsi ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ: [0,1] x [0,1] โ [0,1] dengan ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ) = 1
2 untuk
setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1], maka ๐ memiliki titik tetap tungggal ๐ฅโ =0 โ [0,1]. Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut.
Pertama-tama diselidiki bahwa ๐ merupakan pemetaan kontraktif lemah pada ([0,1], ๐). Dapat ditunjukkan bahwa terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ yang memenuhi Definisi 4.2.1, yaitu
sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ):
๐ โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐} = sup {
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ):
๐ โค max{๐ฅ, ๐ฆ} โค ๐}}
=1
2
< 1 untuk setiap 0 โค ๐ โค ๐, sehingga
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) = ๐ (๐ฅ
8,๐ฆ
8)
= max {๐ฅ
8,๐ฆ
8}
=1
8max{๐ฅ, ๐ฆ}
โค1
2max{๐ฅ, ๐ฆ}
= ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)๐(๐ฅ, ๐ฆ) untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1].
Selanjutnya, diselidiki bahwa ๐ merupakan pemetaan Kannan lemah pada ([0,1], ๐). Dapat ditunjukkan bahwa terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ yang memenuhi Definisi 4.2.4, yaitu
55
sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ):
๐ โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐} = sup {
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ):
๐ โค max{๐ฅ, ๐ฆ} โค ๐}}
=1
2
< 1 untuk setiap 0 โค ๐ โค ๐, sehingga
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) = ๐ (๐ฅ
8,๐ฆ
8)
= max {๐ฅ
8,๐ฆ
8}
=1
8max{๐ฅ, ๐ฆ}
โค1
4[๐ฅ + ๐ฆ]
=12โ
2[max {๐ฅ,
๐ฅ
8} + max {๐ฆ,
๐ฆ
8}]
=๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)
2[๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ)) + ๐(๐ฆ, ๐(๐ฆ))]
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1].
Karena ๐ merupakan pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ([0,1], ๐), maka dengan menggunakan Teorema 4.3.5, dicari titik tetap dari ๐, yaitu ๐ฅโ โ [0,1] dan dibuktikan bahwa ๐ฅโ bernilai tunggal.
Dari dua penyelidikan sebelumnya, diperoleh bahwa ๐ merupakan pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ([0,1], ๐), artinya terdapat ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ sedemikian hingga
sup {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ):
๐ โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐} = sup {
๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ):
๐ โค max{๐ฅ, ๐ฆ} โค ๐}}
=1
2
56
< 1 untuk setiap 0 โค ๐ โค ๐, sehingga
๐(๐(๐ฅ), ๐(๐ฆ)) = ๐ (๐ฅ
8,๐ฆ
8)
= max {๐ฅ
8,๐ฆ
8}
=1
8max{๐ฅ, ๐ฆ}
โค1
2max {max{๐ฅ, ๐ฆ} ,
1
2[๐ฅ + ๐ฆ]}
=1
2max{
max{๐ฅ, ๐ฆ} ,1
2[max {๐ฅ,
๐ฅ
8} + max {๐ฆ,
๐ฆ
8}]}
= ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)max {๐(๐ฅ, ๐ฆ),
1
2[๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ)) + ๐(๐ฆ, ๐(๐ฆ))]
}
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ [0,1], maka ๐ memiliki titik tetap yang tunggal ๐ฅโ โ [0,1] dan barisan {๐๐(๐ฅ0)}๐โโ konvergen ke ๐ฅโ โ [0,1] untuk setiap ๐ฅ0 โ [0,1] sehingga ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) = 0, seperti pada Teorema 4.3.5.
Kemudian, dicari ๐ฅโ โ [0,1] sedemikian hingga barisan {๐๐(๐ฅ0)}๐โโ konvergen ke ๐ฅโ โ [0,1] di ([0,1], ๐) untuk setiap ๐ฅ0 โ [0,1] dan ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) = 0. Untuk ๐ฅ0 โ [0,1], maka didefinisikan barisan {๐ฅ๐} di [0,1] dengan
๐ฅ๐ = ๐(๐ฅ๐โ1) = ๐๐(๐ฅ0) = (
๐ฅ08)๐
untuk setiap ๐ โ โ. Diselidiki bahwa {๐ฅ๐} konvergen ke titik ๐ฅโ โ [0,1].
๐1(๐ฅ0) = ๐(๐ฅ0) =๐ฅ08
57
๐2(๐ฅ0) = ๐(๐ฅ1) = (๐ฅ08)2
๐3(๐ฅ0) = ๐(๐ฅ2) = (๐ฅ08)3
โฎ โฎ โฎ
๐๐(๐ฅ0) = ๐(๐ฅ๐โ1) = (๐ฅ08)๐
Ketika ๐ โ โ, maka ๐ฅ๐ = ๐๐(๐ฅ0) โ ๐ฅโ = 0. Karena ๐ฅ๐ = ๐๐(๐ฅ0) โ ๐ฅโ = 0, maka {๐ฅ๐} = {๐๐(๐ฅ0)} =
{(๐ฅ0
8)๐} untuk setiap ๐ โ โ konvergen ke titik ๐ฅโ = 0 โ [0,1]
sehingga diperoleh lim๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅโ) = ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ), seperti pada
Definisi 2.3.3 (i). Karena lim๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅโ) = lim
๐โโ๐(๐๐(๐ฅ0), ๐ฅ
โ)
= lim๐โโ
max{๐๐(๐ฅ0), ๐ฅโ}
= lim๐โโ
max {(๐ฅ08)๐
, 0}
= lim๐โโ
(๐ฅ08)๐
= 0 , maka ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) = 0.
Selanjutnya, ditunjukkan bahwa {๐ฅ๐} adalah barisan Cauchy
pada ([0,1], ๐). {๐ฅ๐} = {(๐ฅ0
8)๐} untuk setiap ๐ โ โ dikatakan
barisan Cauchy jika lim๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) ada dan berhingga,
sesuai dengan Definisi 2.3.3 (ii). Misalkan, {๐ฅ๐} = {(๐ฅ0
8)๐}
untuk setiap ๐ โ โ, maka
58
lim๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) = lim๐,๐โโ
๐(๐๐(๐ฅ0), ๐๐(๐ฅ0))
= lim๐,๐โโ
max{๐๐(๐ฅ0), ๐๐(๐ฅ0)}
= lim๐,๐โโ
max {(๐ฅ08)๐
, (๐ฅ08)๐
}
= 0 < โ
untuk setiap ๐ฅ0 โ [0,1], artinya untuk setiap ๐,๐ โ โ,
lim๐,๐โโ
๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) ada dan berhingga, sehingga {๐ฅ๐} = {(๐ฅ0
8)๐}
adalah barisan Cauchy pada ([0,1], ๐) untuk setiap ๐ โ โ.
Kemudian, ditunjukkan bahwa ([0,1], ๐) adalah ruang metrik parsial lengkap. ([0,1], ๐) dikatakan ruang metrik parsial lengkap jika barisan Cauchy {๐ฅ๐} pada ([0,1], ๐) konvergen ke titik ๐ฅโ โ [0,1], sehingga ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) = lim
๐,๐โโ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) untuk
setiap ๐,๐ โ โ, sesuai dengan Definisi 2.3.3 (iii). Diambil sembarang {๐ฅ๐} barisan Cauchy pada ([0,1], ๐) yang konvergen ke titik ๐ฅโ โ [0,1]. Dari penyelidikan sebelumnya,
diperoleh {๐ฅ๐} = {(๐ฅ0
8)๐} adalah barisan Cauchy pada
([0,1], ๐) untuk setiap ๐ โ โ. Diselidiki bahwa {๐ฅ๐} =
{(๐ฅ0
8)๐} yang merupakan barisan Cauchy pada ([0,1], ๐)
konvergen ke titik ๐ฅโ โ [0,1] untuk setiap ๐ โ โ. Dari penyelidikan sebelumnya, juga diperoleh bahwa {๐ฅ๐} =
{(๐ฅ0
8)๐} konvergen ke titik ๐ฅโ = 0 โ [0,1] untuk setiap ๐ โ โ,
sehingga ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) = lim
๐,๐โโ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) = 0
untuk setiap ๐,๐ โ โ. Hal ini menunjukkan bahwa ([0,1], ๐) adalah ruang metrik parsial lengkap.
59
Selanjutnya, ditunjukkan bahwa ๐ memiliki titik tetap, artinya ๐ฅโ = ๐(๐ฅโ). Dari penyelidikan sebelumnya diperoleh ๐ฅโ = 0 dan ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) = 0, sehingga
๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) = ๐ (๐ฅโ,๐ฅโ
8) = max {๐ฅโ,
๐ฅโ
8} = ๐ฅโ = 0
dan
๐(๐(๐ฅโ), ๐(๐ฅโ)) = ๐ (๐ฅโ
8,๐ฅโ
8) = max {
๐ฅโ
8,๐ฅโ
8} =
๐ฅโ
8 = 0.
Artinya, ๐(๐ฅโ, ๐ฅโ) = ๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) = ๐(๐(๐ฅโ), ๐(๐ฅโ)) = 0.
Karena ๐ adalah metrik parsial maka ๐ memenuhi (P1). Akibatnya, ๐ฅโ = ๐(๐ฅโ) = 0 โ [0,1].
Kemudian, ditunjukkan bahwa titik tetap dari ๐, yaitu ๐ฅโ =๐(๐ฅโ) = 0 โ [0,1] merupakan titik tetap tunggal. Andaikan terdapat titik tetap yang lain, yakni ๐ง โ [0,1] dari ๐(๐ฅ) = ๐ฅ
8
untuk setiap ๐ฅ โ [0,1] dengan ๐ง โ ๐ฅโ = 0, artinya 0 < ๐ง โค 1 sehingga ๐(๐ฅโ, ๐ง) > 0. Karena ๐ฅโ dan ๐ง merupakan titik tetap-titik tetap dari ๐ maka ๐ฅโ = ๐(๐ฅโ) dan ๐ง = ๐(๐ง), sehingga ๐(๐ฅโ, ๐ง) = ๐(๐(๐ฅโ), ๐(๐ง))
= max{๐(๐ฅโ), ๐(๐ง)}
= max {๐ฅโ
8,๐ง
8}
= max {0,๐ง
8}
=๐ง
8
โค๐ง
2
=1
2max {๐ง,
1
2๐ง}
60
=1
2max {๐ง,
1
2[0 + ๐ง]}
=1
2max{
max{๐ฅโ, ๐ง} ,1
2[max {๐ฅโ,
๐ฅโ
8} + max {๐ง,
๐ง
8}]}
=1
2max {
max{๐ฅโ, ๐ง} ,1
2[max{๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)} + max{๐ง, ๐(๐ง)}]
}
= ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ(๐ฅ, ๐ฆ)max {๐(๐ฅโ, ๐ง),
1
2[๐(๐ฅโ, ๐(๐ฅโ)) + ๐(๐ง, ๐(๐ง))]
}
Hal ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa ๐(๐ฅโ, ๐ง) =max{๐ฅโ, ๐ง} = ๐ง > 0 untuk ๐ง โ ๐ฅโ = 0, maka satu-satunya yang benar adalah ๐ฅโ = ๐(๐ฅโ) = ๐ง = 0. Artinya, ๐ memiliki titik tetap tunggal, yaitu ๐ฅโ = ๐(๐ฅโ) = 0 โ [0,1].
65
DAFTAR PUSTAKA
[1] Samet, Bessem, Calogero V, Francesca V. 2013. From Metric Spaces to Partial Metric Spaces. Fixed Point Theory and Aplications 2013, 2013:5, 1-11.
[2] Alghamdi, Maryam A, Naseer S, Oscar V. 2012. On Fixed Point Theory in Partial Metric Spaces. Fixed Point Theory and Applications 2012, 2012:175, 1-25.
[3] Kreyszig, E. 1978. Introductory Functional Analysis with Aplication. John Wiley and Sons, Inc.Canada, 30, 300.
[4] Matthews, SG. 1994. Partial Metric Topology. Annals of the New York Academy of Sciences, 183 - 197.
[5] Dugundji, J dan A. Granas. 1978. Weakly Contractive Maps and Elementary Domain Invariance Theorem*. Bull. Greek Math. Soc. 19, 141-151.
[6] Kannan, R. 1968. Some Results On Fixed Points. Bulletin of the Calcutta Mathematical Society, Vol. 60, 71-76.
[7] Ariza-Ruiz, D dan Antonio Jim๏ฟฝฬ๏ฟฝnez-Melado. 2010. A Continuation Method for Weakly Kannan Maps. Fixed Point Theory and Applications, Volume 2010, Article ID 321594, 1-12.
69
Biodata Penulis
Annisa Rahmita Soemarsono
atau biasa dipanggil Annisa, lahir di Surabaya, 6 Agustus 1994. Penulis telah menempuh pendidikan di SD Negeri Kapasari VIII Surabaya, SMP Negeri 9 Surabaya dan SMA Negeri 2 Surabaya.
Penulis yang gemar menulis cerita dan membaca novel, buku-buku psikologi serta majalah-majalah arsitektur ini sedang menempuh pendidikan Strata-1 di
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS). Bidang minat yang sedang ditekuni penulis saat ini adalah Analisis dan Aljabar.
Penulis juga terlibat dalam organisasi baik di dalam lingkup jurusan Matematika ITS maupun di luar jurusan Matematika ITS. Dalam lingkup jurusan Matematika ITS, penulis pernah menjadi staff departemen Sains dan Teknologi Himpunan Mahasiswa Matematika ITS (SAINSTEK HIMATIKA ITS) serta menjadi sekretaris departemen Sains, Terapan dan Keprofesian (SAINSTEK) HIMATIKA ITS. Sedangkan, untuk lingkup di luar jurusan Matematika ITS, penulis menjadi panitia dalam kegiatan yang diselenggarakan oleh Badan Eksekutif Mahasiswa (BEM) ITS, seperti Generasi Integralistik (GERIGI) ITS dan kegiatan-kegiatan lainnya.
Saran dan kritik untuk tugas akhir ini dapat dikirimkan ke penulis melalui email penulis, yaitu [email protected].